高中数学必修4课件全册(人教A版)
sin
tan
1 1
cos
cot
sin
神奇的六边形
sec
csc
同角三角函数基本关系注意事项:
（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们 都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2 =1 不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角 使等式两边都有意义的前提下成立. （2）同角三角函数的基本关系常用于：①已知 角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值； ②化简三角函数式；③证明三角恒等式
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。 10 60 , R 10, l (cm) 3 3
=2R+ R （2） 扇形周长C=2R+l
1 1 s lr (c 2r )r 2 2
c 0r 2
y P MO A
2.正弦线、余弦线、正切线
正弦线： 有向线段MP
y x x y
r
o x
r x2 y2
三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系： tan cot 1 sin csc 1 cos se c 1 商关系： si n tan cos cos cot si n 平方关系： sin 2 cos2 1
高中数学必修四课件全册 （人教A版）
2017年12月7日
知识网络结构
同角公式 诱导公式
任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
任意角的 三角函数
两角和与差的 三角函数 二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）
弧长公式与 扇形面积公式
三角函数的 图形和性质
y A sinx
各个象限的半角范围可以用下图记 忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围；
例1(90年 ， 上 海 ) α α 设α 角 是 第 二 象 限 且 满 ｜ 足 cos ｜ cos ， 2 2 α 则 角属于 ( C )A.第 － 象 限 ; B.第 二 象 限 ; 2 C.第 三 象 限 ; D.第 四 象 限 .
1 tan2 sec2 1 cot2 csc2
5.同角三角函数基本关系:
平方关系
2 2
倒数关系
商式关系
sin cos 1 tan cot 1 tan sin 2 2 cos tan 1 sec sec cos 1 cos cot 2 1 csc2 csc sin 1 cot
_
1x 0
y
+ _
o
-1
sin , csc y, r
0
cos , sec x, r
+
_
_
+
0x
tan , cot y, x
不存在
一、任意角的三角函数定义
y
P(x,y) 的终边
●
y x sin , cos , tan r r r r csc , sec , cot y x
sin cos 1 若为其它象限角呢？
例7 求函数 y cos x tan x的定义域.
x 2k x 2k , k Z 2
4.三角函数的符号
sin
1 0 +
y
cos
0 x -1
tan
不存在
+
o
_ _
0
o
y
+
指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制 两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易 记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度 换算为弧度.
1 10 1 3 2 S弓 S扇 S 10 10 sin 60 50 （ ）（cm2 ) 2 3 2 3 2
O
x
O
x
O
x
2k k Z
k k Z
k 2
k Z
一、角的基本概念
(1)与 角终边相同的角的集合: { | =2k+, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: (2k<<2k+ 2 , kZ) <<2k+, kZ) (2 k + 第二象限角: 2 第三象限角: (2k+<<2k+ 3 , kZ) 2 第四象限角:
x
余弦线： 有向线段OM 正切线： 有向线段AT
T
注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线
（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一 个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点， 正切线不存在。
正弦、余弦函数的图象
三角函数 正弦函数
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y
的终边
正角 x 零角
o
负角
的终边
(,)
三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 y 2、象限角、象间角与区间角的区别
2k ,2k k Z
O
x
3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式 y y y
1 答：圆心角为π-2，面积是 ( 2) r 2 2
5、用单位圆证明sian α < α <tanα.(00< α<900 提示：利用三角函数线和三角形面积与 扇形面积大小关系证明。 y P
T
O
M
A
x
y
sin x cos x
x O sin x cos x
y
sin x cos x 0 sin x cos x 0 O
sin=MP
cos=OM tan=AT
y P
-1
T
三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
余弦函数
正切函数
O
M
A(1,0)
x
注意：三角 函数线是有 向线段！
为第二象限角时
P
为第一象限角时
P
M O
OM
为第三象限角时
M
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第四象限角时
三角函数线的应用
一、三角式的证明
1、已知：角 为锐角，
试证：（1）
sin tan
(2) 1 sin cos 2 2、已知：角 0 为锐角， 4 2 试证：sin cos 2
4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形 圆心角是多少？扇形的的面积是多少？
3 4
弧度 0
5 6
3 2
2
例3．已知角和满足 3 4 求角–的范围.
解：
, 0
.
3
,
3
.
7 , 4 4 3 12
例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半 径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值 是多少？
正弦型函数的图象
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含 角在内）的集合为. k 360 , k Z （4）角在“到”范围内，指.0 360
1 1 略解：S lr (100 2r )r r 2 50r (r 25) 2 625 . 2 2 l r 25, l 50, 2(rad )扇形面积最大值为625. r
例 7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是 R. ①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧 所在的弓形面积. ②若扇形的周长是一定值 C(C ＞ 0) ，当α为多少 弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大 值?
2、角度与弧度的互化
2 360
180
180 , 1弧度 ( ) 57.30 5718 1
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度
0 30 45 60 90 120
6 4
3 2
2 3
135 150 180 270 360
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度
20 1 360 480 60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） 2
（2） 3
评析： 在解选择题或填空题时， 如求角所在象限，也可以不讨论k的 几种情况，如图所示利用图形来判断.
x
例5 已知角的终边经过点 P(3a,4a) (a 0)
求 sin 2cos 值。
a0
a0
tan
1 1
cos
cot
sin
神奇的六边形
sec
csc
同角三角函数基本关系注意事项:
（1）上述几个基本关系中，必须注意：①它们 都是同一个角的三角函数，因此sin2+sin2 =1 不一定成立；②这几个恒等式都是在所取的角 使等式两边都有意义的前提下成立. （2）同角三角函数的基本关系常用于：①已知 角的某个三角函数值，求角的其他三角函数值； ②化简三角函数式；③证明三角恒等式
解：（1）设弧长为l，弓形面积为S弓。 10 60 , R 10, l (cm) 3 3
=2R+ R （2） 扇形周长C=2R+l
1 1 s lr (c 2r )r 2 2
c 0r 2
y P MO A
2.正弦线、余弦线、正切线
正弦线： 有向线段MP
y x x y
r
o x
r x2 y2
三角函数值的符号：“第一象限全为正，二正三切四余弦”
二、同角三角函数的基本关系式
倒数关系： tan cot 1 sin csc 1 cos se c 1 商关系： si n tan cos cos cot si n 平方关系： sin 2 cos2 1
高中数学必修四课件全册 （人教A版）
2017年12月7日
知识网络结构
同角公式 诱导公式
任意角的概念
角的度量方法 （角度制与弧度制）
任意角的 三角函数
两角和与差的 三角函数 二倍角的 三角函数
三角函数式的恒等变形 （化简、求值、证明）
弧长公式与 扇形面积公式
三角函数的 图形和性质
y A sinx
各个象限的半角范围可以用下图记 忆，图中的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别指第 一、二、三、四象限角的半角范围；
例1(90年 ， 上 海 ) α α 设α 角 是 第 二 象 限 且 满 ｜ 足 cos ｜ cos ， 2 2 α 则 角属于 ( C )A.第 － 象 限 ; B.第 二 象 限 ; 2 C.第 三 象 限 ; D.第 四 象 限 .
1 tan2 sec2 1 cot2 csc2
5.同角三角函数基本关系:
平方关系
2 2
倒数关系
商式关系
sin cos 1 tan cot 1 tan sin 2 2 cos tan 1 sec sec cos 1 cos cot 2 1 csc2 csc sin 1 cot
_
1x 0
y
+ _
o
-1
sin , csc y, r
0
cos , sec x, r
+
_
_
+
0x
tan , cot y, x
不存在
一、任意角的三角函数定义
y
P(x,y) 的终边
●
y x sin , cos , tan r r r r csc , sec , cot y x
sin cos 1 若为其它象限角呢？
例7 求函数 y cos x tan x的定义域.
x 2k x 2k , k Z 2
4.三角函数的符号
sin
1 0 +
y
cos
0 x -1
tan
不存在
+
o
_ _
0
o
y
+
指导:扇形的弧长和面积计算公式都有角度制和弧度制 两种给出的方式，但其中用弧度制给出的形式不仅易 记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度 换算为弧度.
1 10 1 3 2 S弓 S扇 S 10 10 sin 60 50 （ ）（cm2 ) 2 3 2 3 2
O
x
O
x
O
x
2k k Z
k k Z
k 2
k Z
一、角的基本概念
(1)与 角终边相同的角的集合: { | =2k+, k∈Z}. (2)象限角、象限界角(轴线角) ①象限角 第一象限角: (2k<<2k+ 2 , kZ) <<2k+, kZ) (2 k + 第二象限角: 2 第三象限角: (2k+<<2k+ 3 , kZ) 2 第四象限角:
x
余弦线： 有向线段OM 正切线： 有向线段AT
T
注意： （1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫单位圆.在 平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线
（2）当角α的终边在x轴上时，正弦线，正切线变成一 个点；当角α的终边在y轴上时，余弦线变成一个点， 正切线不存在。
正弦、余弦函数的图象
三角函数 正弦函数
一、任意角的三角函数
1、角的概念的推广 y
的终边
正角 x 零角
o
负角
的终边
(,)
三、终边相同的角
1、终边相同的角与相等角的区别 终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。 y 2、象限角、象间角与区间角的区别
2k ,2k k Z
O
x
3、角的终边落在“射线上”、“直线上”及“互相 垂直的两条直线上”的一般表示式 y y y
1 答：圆心角为π-2，面积是 ( 2) r 2 2
5、用单位圆证明sian α < α <tanα.(00< α<900 提示：利用三角函数线和三角形面积与 扇形面积大小关系证明。 y P
T
O
M
A
x
y
sin x cos x
x O sin x cos x
y
sin x cos x 0 sin x cos x 0 O
sin=MP
cos=OM tan=AT
y P
-1
T
三角函数线 正弦线MP 余弦线OM 正切线AT
余弦函数
正切函数
O
M
A(1,0)
x
注意：三角 函数线是有 向线段！
为第二象限角时
P
为第一象限角时
P
M O
OM
为第三象限角时
M
MP为角的正弦线,OM为角的余弦线
为第四象限角时
三角函数线的应用
一、三角式的证明
1、已知：角 为锐角，
试证：（1）
sin tan
(2) 1 sin cos 2 2、已知：角 0 为锐角， 4 2 试证：sin cos 2
4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形 圆心角是多少？扇形的的面积是多少？
3 4
弧度 0
5 6
3 2
2
例3．已知角和满足 3 4 求角–的范围.
解：
, 0
.
3
,
3
.
7 , 4 4 3 12
例4、 已知扇形的周长为定值100，问扇形的半 径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值 是多少？
正弦型函数的图象
已知三角函数值，求角
一、基本概念：
1.角的概念的推广 （1）正角，负角和零角.用旋转的观点定义角， 并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和 零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.
（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与 直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半 轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角 是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个 角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角. （3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角 叫终边相同的角，所有与角终边相同的角（包含 角在内）的集合为. k 360 , k Z （4）角在“到”范围内，指.0 360
1 1 略解：S lr (100 2r )r r 2 50r (r 25) 2 625 . 2 2 l r 25, l 50, 2(rad )扇形面积最大值为625. r
例 7.已知一扇形中心角是α，所在圆的半径是 R. ①若α＝60°，R＝10cm，求扇形的弧长及该弧 所在的弓形面积. ②若扇形的周长是一定值 C(C ＞ 0) ，当α为多少 弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大 值?
2、角度与弧度的互化
2 360
180
180 , 1弧度 ( ) 57.30 5718 1
180
特殊角的角度数与弧度数的对应表
度
0 30 45 60 90 120
6 4
3 2
2 3
135 150 180 270 360
点评: 本题先由α所在象限确定α/2所在象限,再α/2的 余弦符号确定结论.
例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：
解：分针所转过的角度
20 1 360 480 60
例2 已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角 （1） 2
（2） 3
评析： 在解选择题或填空题时， 如求角所在象限，也可以不讨论k的 几种情况，如图所示利用图形来判断.
x
例5 已知角的终边经过点 P(3a,4a) (a 0)
求 sin 2cos 值。
a0
a0
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人教A版高中数学选择性必修第二册精品课件 第4章 数列 4.4 数学归纳法
第四章
4.4*
数学归纳法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
数学归纳法
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男
同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同
学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).
an=(2-1),且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
2
解:(1)由题意可知,a2=2×(2×2-1)
1
类似地,求得 a3=35 .
=
1 + 2
1
,a1=3,则
6
1
a2=15 .
1
a1=3.
(2)由
1
1
1
1
a1= ,a2= ,a3= ,猜想:an=
.
1×3
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
4.4*
数学归纳法
内
容
索
引
01
自主预习 新知导学
02
合作探究 释疑解惑
自主预习 新知导学
数学归纳法
1.问题1:根据观察,今天第一个到教室的是男同学,第二个到教室的是男
同学,第三个到教室的也是男同学,于是得出结论:第四个到教室的是男同
学.
问题2:已知数列1,2,4,8,则它的通项公式为an=2n-1(n≤4,n∈N*).
an=(2-1),且
(1)求a2,a3.
(2)猜想数列{an}的通项公式,并证明.
2
解:(1)由题意可知,a2=2×(2×2-1)
1
类似地,求得 a3=35 .
=
1 + 2
1
,a1=3,则
6
1
a2=15 .
1
a1=3.
(2)由
1
1
1
1
a1= ,a2= ,a3= ,猜想:an=
.
1×3
(2)假设当n=k(k∈N*)时等式成立,
即1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)=k(k+1)2.
那么当n=k+1时,
1×4+2×7+3×10+…+k(3k+1)+(k+1)[3(k+1)+1]
=k(k+1)2+(k+1)[3(k+1)+1]=(k+1)(k2+4k+4)
=(k+1)[(k+1)+1]2,即当n=k+1时等式也成立.
人教A版高中必修4数学2.3《平面向量的基本定理及坐标表示》同步练习课件(共3课时)
新知探究
题型探究
感悟提升
解
(1)∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60° . 如图，延长AB至点D，使AB＝BD， → → 则AB＝BD， → → ∴∠DBC为向量AB与BC的夹角． ∵∠DBC＝120° ， → → ∴向量AB与BC的夹角为120° .
(2)∵E为BC的中点， ∴AE⊥BC， → → ∴AE与EC的夹角为90° .
新知探究 题型探究 感悟提升
1 → → → → → 1→ BC＝FD＝AD－AF＝AD－2AB＝a－2b， → → → → → → 1→ EF＝DF－DE＝－FD－DE＝－BC－2DC
1 1 1 1 ＝－a－2b－2×2b＝4b－a.
新知探究
题型探究
感悟提升
类型二 向量的夹角问题
→ → → → 提示 不相同，它们互补.AC与AB的夹角为∠CAB，而CA与AB 的夹角为π－∠CAB.
新知探究 题型探究 感悟提升
类型一
用基底表示向量
【例1】 如图，四边形OADB是以 → → OA＝a，OB＝b为边的平行四边形， 1 1 又BM＝3BC，CN＝3CD，试用a、b → → → 表示OM、ON、MN.
【例2】 已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，则a＋b与a的夹
角是多少？a－b与a的夹角又是多少？ [思路探索] 以a，b为邻边作平行四边形，则a＋b，a－b分别表示 对角线向量，利用平行四边形的知识求解．
新知探究
题型探究
感悟提升
解
→ → 如图所示，作 OA ＝a， OB ＝b，且∠
AOB＝60° . → → 以 OA ， OB 为邻边作平行四边形OACB，则 → → OC＝a＋b，BA＝a－b. 因为|a|＝|b|＝2，所以平行四边形OACB是菱形，又∠AOB＝ → → → → 60° ，所以OC与OA的夹角为30° ，BA与OA的夹角为60° . 即a＋b与a的夹角是30° ，a－b与a的夹角是60° .
高中数学(新人教A版)必修第一册：集合的基本运算【精品课件】
当A与B无公共元素时，A与B
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
的交集仍存在，此时A∩B＝∅.
（三）交集
【做一做】
【探究2】
已知集合A＝{0,2}，B＝{－2，－1,0,1,2}，
则A∩B＝(
)
A．{0,2}
C．{0}
B．{1,2}
D．{－2，－1,0,1,2}
交集的性质：
[答案]
A
①A∩B＝B∩A；②A∩A＝A；
③A∩∅＝∅； ④若A⊆B，则A∩B＝A；
（四）集合的交并运算
【巩固练习1】
(1) 已知集合A＝{x|(x－1)(x＋2)＝0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＝0}，则集合A∪B是(
A．{－1,2,3}
B．{－1，－2,3}
C．{1，－2,3}
D．{1，－2，－3}
(2) 若集合A＝{x|－2≤x＜3}，B＝{x|0≤x＜4}，则A∪B＝________.
⑤(A∩B)⊆A；(A∩B)⊆B.
（四）集合的交并运算
1.集合的并集运算
例1.
（1）设集合M＝{x| 2 ＋2x＝0，x∈R}，N＝{x| 2 －2x＝0，x∈R}，则M∪N＝(
A.{0}
B.{0,2} C.{－2,0} D.{－2,0,2}
（2）已知A＝{x|x≤－2，或x>5}，B＝{x|1<x≤7}，求A∪B。
（2）在解决问题时，用到了哪些数学思想？
第一章 集合与常用逻辑用语
1.3 集合的基本运算（第2课时）
教材分析
本小节内容选自：
《普通高中数学必修第一册》
人教A版（2019）
第一课时
课时内容
集合的并集、交集运算
集合的补集、综合运算
所在位置
教材第10页
新教材高中数学第5章第1课时公式二公式三和公式四课件新人教A版必修第一册ppt
解决条件求值问题的技巧
提醒：设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关 键．
[跟进训练]
2．(1)若 sin(π＋α)＝12，α∈－π2，0，则 tan(π－α)＝(
)
A．－12
B．－
3 2
C．－ 3
D．
3 3
(2)已知 cos6π－α＝ 33，求 cos56π＋α－sin2α－π6的值．
NO.1
情境导学·探新知
观察单位圆，回答下列问题： (1)角α与角π＋α的终边有什么关系？ (2)角α与角π＋α的终边与单位圆的交点P，P1有什么对称关系？ (3)在(2)中，点P，P1的坐标有什么关系？由此你能得到它们的正 弦、余弦、正切之间的关系吗？
知识点 公式二～四 终边关系
公 角 π＋α 与角 α 的 式 终边关于_原__点__对 二称
诱导公式中角 α 只能是锐角吗？ [提示] 诱导公式中角 α 可以是任意角，要注意正切函数中要求 α≠kπ＋π2，k∈Z.
填空：
(1)若 sin(π＋α)＝13，则 sin α＝________.
(2)若 cos(π－α)＝13，则 cos α＝________.
(3)已知 tan α＝6，则 tan(－α)＝________.
数？ [提示] 利用公式一～四可以把任意角的三角函数转化为锐角三
角函数，一般可按下面步骤进行：
任意负角的 三角函数
―用 三―公 或―式 一→
任意正角的 三角函数
―用―公―式―一→
0～2π的角 的三角函数
―用 二―公 或―式 四→
锐角的三 角函数
谢谢观看 THANK YOU!
∴sin(α－75°)＝－ 1－cos2α－75°
人教A版高中数学必修4-1.5函数y=Asin(ωxφ)的图象-课件
三 、 教学目标
１.知识与能力目标：
理解三个参数A、ω、φ对函数y=Asin(ωx+φ) 图象的影响；揭示函数y=Asin(ωx+φ)的图象与 正弦曲线的变换关系，
２.过程与方法目标：
结合具体函数图象的变化，领会由简单到复杂 ，由特殊到一般的化归思想，通过A、ω、φ变化 与函数y=Asin(ωx+φ)图象变换的关系，加深对数 形结合思想的理解。
函数.
那么函数 y Asin( x )与函数y=sinx
有什么关系呢?
从解析式上来看函数y=sinx就是函数
y Asin( x )在A=1，ω=1， 0 的情况.
下面就来探索 、、A 对函数
y Asin( x )
的图象的影响.
***检测复习***
y sin x, x [0,2 ]的图象
合
函数y=sinx(>0)图象:
作 探
究
y=sinx 横坐标变为本来的1/倍 y=sinx
纵坐标不变
小试牛刀
2. 要得到函数 y=sin3x 的图象，只需将 y=sinx 图象（ B ）
A. 横坐标伸长到本来的3倍 ，纵坐标不变 B.横坐标缩小到本来的1/3倍 ，纵坐标不变 C.纵坐标扩大到本来的3倍，横坐标不变 D.纵坐标缩小到本来的1/3倍，横坐标不变
1 sin x 0
2
1 2
0
1 2
0
函数 y 2sin x、y 1 sin x与y sin x 的图象
2
间的变化关系.
y
自
2
主 学
1
习
O
3
2
x
2
-1
y 1 sin x
-2
高一数学必修4课件：2-3-2、3平面向量的正交分解及坐标表示和平面向量的坐标运算
如图所示，在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O，下列 是正交分解的是( )
→ → → → → → A.AB＝OB－OA B.BD＝AD－AB → → → → → → C.AD＝AB＋BD D.AB＝AC＋CB
[答案]
B
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
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(x1＋x2，y1＋y2) a＋b＝_______________
符号表示
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
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两个向量差的坐标分别等 减法 于这两个向量相应坐标的
差 _____
a－b＝
(x1－x2，y1－y2) _________________
实数与向量的积的坐标等 数乘 于用这个实数乘原来向量
[解析]
→ → → → → 由于AD⊥AB，则BD＝AD－AB是正交分解．
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
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2．平面向量的坐标表示 (1)基底：在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向
单位 基底 相同 _______的两个_____向量i，j作为______． 有且只有一 (2)坐标：对于平面内的一个向量a，____________对实数 (x，y) x，y，使得a＝xi＋yj，我们把有序实数对_______叫做向量a的
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[例2]
设向量a、b的坐标分别是(－1,2)，(3，－5)，求a
＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐标． [分析] 解． 直接利用向量在坐标形式下的各种运算法则求
第二章
2.3 2.3.2 2.3.3
高中数学新人教A版必修第一册 第四章 4.4.2 第1课时 对数函数的图象和性质 课件(44张)
(1)已知函数 f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在[1，4]上的最大值与最小值的和是 2，则 a 的值为________． 【解析】当 a＞1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上为增函数，所以 y＝logax 在[1，4]上 最大值为 loga4，最小值为 loga1；当 0＜a＜1 时，y＝logax 在(0，＋∞)上为减函数， 所以 y＝logax 在[1，4]上的最大值为 loga1，最小值为 loga4.故有 loga1＋loga4＝2， 即 loga4＝2，a2＝4，a＝±2.又 a＞0，所以 a＝2. 答案：2
【加固训练】
如图,若 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,则( )
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.a>b>1
D.b>a>1
【解析】选 B.根据 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,可得 0<b<1,0<a<1, 且 b<a.
综合类型 简单的值域问题(数学运算) 根据单调性求值域 【典例】函数 f(x)＝2x＋log2x(x∈[1，2])的值域为________．
(1)对于对数函数 y＝logax，为什么一定过点(1，0) ？ 提示：当 x＝1 时，loga1＝0 恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0) .
(2)在下表中，？处 y 的范围是什么？
提示：
2.反函数
指数函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 与对数函数 y＝logax(a>0，且a≠1) 互为反函数，它
1．对数函数的图象和性质
0<a<1
a>1
【加固训练】
如图,若 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,则( )
A.0<a<b<1
B.0<b<a<1
C.a>b>1
D.b>a>1
【解析】选 B.根据 C1,C2 分别为函数 y=logax 和 y=logbx 的图象,可得 0<b<1,0<a<1, 且 b<a.
综合类型 简单的值域问题(数学运算) 根据单调性求值域 【典例】函数 f(x)＝2x＋log2x(x∈[1，2])的值域为________．
(1)对于对数函数 y＝logax，为什么一定过点(1，0) ？ 提示：当 x＝1 时，loga1＝0 恒成立，即对数函数的图象一定过点(1，0) .
(2)在下表中，？处 y 的范围是什么？
提示：
2.反函数
指数函数 y＝ax(a>0，且a≠1) 与对数函数 y＝logax(a>0，且a≠1) 互为反函数，它
1．对数函数的图象和性质
0<a<1
a>1
2024-2025学年高二数学选择性必修第一册(人教A版)教学课件第一章-1.2空间向量基本定理
－3λ＋μ＝1，
∴λ＋μ＝2， 2λ－μ＝－1
此方程组无解， ∴O→A，O→B，O→C不共面，
∴{O→A，O→B，O→C}可以作为空间的一个基底.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
反思感悟 基底的判断思路 (1)判断一组向量能否作为空间的一个基底，实质是判断这三个向量是否共面，若不共面， 就可以作为一个基底. (2)判断基底时，常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体，用它们从同 一顶点出发的三条棱对应的向量为基底，并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
三、证明平行、共面问题
例3 如图，已知正方体ABCD－A′B′C′D′，E，F分别为AA′和CC′的中点. 求证：BF∥ED′. 证明 B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋12—C—C′→＝A→D＋12—DD—′→，
—ED—′→＝—E—A′→＋—A′——D′→＝21—A—A′→＋A→D＝12—D—D′→＋A→D， ∴B→F＝—ED—′→，∴B→F∥—ED—′→，∵直线BF与ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
高中数学 选择性必修第一册 RJ·A
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求夹角、证明垂直问题？ 几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围.
a·b
(1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝ |a||b| . (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔ a·b＝0 .
思考 怎样利用向量的数量积解决几何中的求距离(长度)问题？ 几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用数量积可以求得.
又M→N＝12A→C＝ 25， —BC→1 ＝ 2，
所以
cos〈M→N，—BC→1 〉＝
→ —→ M→N·—BC→1 ＝
新教材高中数学第四章数列4.2等差数列4.2.2.2等差数列习题课课件新人教A版选择性必修第二册
所以Sn-Sn-1=-2SnSn-1①. 因为a1=12 ,所以SnSn-1≠0,
①式的两边同除以SnSn-1得:
1 Sn1
1 Sn
2即：1 Sn
1 Sn1
2，
所以数列 { 1是} 首项为2,公差为2的等差数列,
Sn
所以 S1n=2+2(n-1)=2n,即:Sn=21n ,则
an
2SnSn1
1 （n 2n(n 1)
【类题·通】 应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相 距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑 出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m.
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前
【习练·破】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【素养·探】 在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过 对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和. 将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
①式的两边同除以SnSn-1得:
1 Sn1
1 Sn
2即：1 Sn
1 Sn1
2，
所以数列 { 1是} 首项为2,公差为2的等差数列,
Sn
所以 S1n=2+2(n-1)=2n,即:Sn=21n ,则
an
2SnSn1
1 （n 2n(n 1)
【类题·通】 应用等差数列解决实际问题的一般思路
【习练·破】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树,每人植树一棵,相邻两棵树相 距10 m,开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边,使每位同学从各自树坑 出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小,此最小值为________ m.
【解析】假设20位同学是1号到20号依次排列,使每位同学从各自树坑出发前
【习练·破】 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,满足a1+a2=10,S5=40. (1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=|13-an|,求数列{bn}的前n项和Tn.
【素养·探】 在裂项求和与并项求和有关的问题中,经常利用核心素养中的数学运算,通过 对数列通项结构特征的分析和适当变形,选择恰当的方法求和. 将本例1的条件改为“an=(-1)n(3n-2)”,试求a1+a2+…+a10.
【解析】a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10·(3×10-2) =(-1+4)+(-7+10)+…+[(-1)9·(3×9-2)+(-1)10·(3×10-2)]=3×5=15.
高中数学(新课标人教A版)必修4 第一章三角函数精品课件 1.2任意角的三角函数(3课时)
tan 3
例5.求下列三角函数值
sin1480 10
'
9 s 4
11 tan( ) 6
小结:
1.任意角的三角函数是由角的终边与单 位圆交点的坐标来定义的. 2.三角函数值的符号是利用三角函数的 定义来推导的.要正确记忆三个三角函数 在各个象限内的符号； 3.诱导公式一的作用可以把大角的三角 函数化为小角的三角函数.
应用 1．利用同角三角函数的基 本关系求某个角的三角函数 值 例1．已知sinα＝－3/5，且 α在第三象限，求cosα和 tanα的值.
例2．已知 cos m (m 0, m 1), 求的其他三角函数值
4 sin 2 cos 例3.已知 tanα=3,求值（1） 5 cos 3 sin
y
a的终边 P(x,y)
1
P(x,y)
a
O
M
A(1,.0)
x
（1）y叫做 的正弦，记作sin ，即 sin y （2）x叫做 的余弦，记作cos，即 cos x y y （3） 叫做 的正切，记作tan ，即 tan x x
阅读课本P12：三角函数的定义
例题:
5 1 求 的正弦、余弦和正切值. 3
作业：
课本P20习题1.2A组
1,2，6，7，9
1.2.1任意角的三角函数(2)
复习回顾
1、三角函数的定义； 2、三角函数在各象限角的符号； 3、三角函数在轴上角的值； 4、诱导公式（一）：终边相同的角的 同一三角函数的值相等； 5、三角函数的定义域.
角是一个图形概念，也是一个数量概 念（弧度数）. 作为角的函数——三角函数是一个 数量概念（比值），但它是否也是一个 图形概念呢?