含参一元二次不等式的解法
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次含参不等式通常是指形如 $ax^2+bx+c\geq0$ 或$ax^2+bx+c\leq0$（$a,b,c$ 为实数，$x$ 为变量，含参的地方通常是 $a,b,c$ 中的某个或某些）的不等式。
这类不等式的解法很多，下面就介绍一些常用的解法。
一、分离变量法如果不等式中的参数只有 $a$，则可尝试使用分离变量法来解决。
以 $ax^2+bx+c\geq0$ 为例，如果 $a>0$，则将所有 $x$ 看作常量，不等式左右两边同除以 $a$，得到关于 $x$ 的二次函数 $f(x) = x^2 + \dfrac{b}{a}x +\dfrac{c}{a}$ 的非负解集，容易通过求出函数图像的顶点坐标和判别式来确定这个非负解集。
二、配方法以 $ax^2+bx+c\geq0$ 为例，令 $x + \dfrac{b}{2a} = t$，则原不等式可化为$a(t-\dfrac{b}{2a})^2+c-\dfrac{b^2}{4a}\geq0$，即 $at^2 +(c-\dfrac{b^2}{4a})\geq0$。
通过求出 $at^2 + (c-\dfrac{b^2}{4a})$ 的图像的顶点坐标和判别式，解得 $t$ 的取值范围，进而解得 $x$ 的取值范围。
三、求导法对于形如 $f(x)\geq0$ 或 $f(x)\leq0$ 的不等式，如果洛必达法则得到$\lim\limits_{x\rightarrow a}\dfrac{f(x)}{x-a}$ 的值总是和 $x$ 无关，那么$f(x)$ 在 $a$ 的附近单调递增或单调递减。
在这种情况下，我们可以使用求导法来解决不等式。
利用求导法可以解决大部分一元二次含参不等式，但需要注意的是，当不等式中含有绝对值时，求导法不一定适用。
四、其他方法在解决复杂的一元二次含参不等式时，可能需要结合多种方法，例如：1. 参照根的公式来求解，将不等式转化为以某个参数为自变量的一元二次函数，然后利用根的公式来解决。
含参数一元二次不等式的解法
含参数一元二次不等式的解法我们把只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是或（其中均为常数，）.解含参一元二次不等式的相关问题对于基础薄弱的同学来说是一个难点.为了帮助这些同学解决此类问题，本文将相关解题方法进行简化、总结，帮助同学们理解和学习.下面我们通过例举进行具体的分析说明.类型一解二次项前不带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键在于通过比较两根的大小，确定参数讨论的界限，进而解出的取值范围.例1 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可解出的取值范围.解：原不等式等价于，所对应方程的两根是当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .2、对应方程（其中均为常数，）不能进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程不能进行因式分解，则分类讨论的关键在于判别式，此时根据判别式确定参数讨论的界限，解出的取值范围.例2 解关于的不等式 .分析：对应方程不能进行因式分解，此时根据判别式确定参数讨论的界限，求出的取值范围.解：原不等式对应方程的判别式为（1）当，时，的两根为或，不等式的解集为 .（2）当，时，的根为，不等式的解集为 .1.当，时, 不等式的解集为 .综上所述：当时，不等式的解集为.当时，不等式的解集为 .当时，不等式的解集为 .类型二解二次项前带参数的一元二次不等式1、对应方程（其中均为常数，）可以进行因式分解.方法：所求解的一元二次不等式对应的一元二次方程可因式分解为（为方程的实数根）的形式，则分类讨论的关键仍然在于通过比较两根的大小确定参数讨论的界限. 另外，需要注意的问题是二次项前带参数与二次项前不带参数不同，参数的范围决定对应二次函数的开口方向，影响对应一元二次不等式的解集.例3 解关于的不等式 .分析：对应方程可因式分解为的形式，讨论两根的大小，即可确定参数讨论的界限，根据参数的不同取值范围，求出不等式相应解集。
含参一元二次不等式的解法知识讲解
含参一元二次不等式的解法温县第一高级中学数学组 任利民解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类例1解关于x 的不等式2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a-的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222a a a >=<这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12a >时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2x ≠ 当12a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.二、 根据判别式的符号分类例2解关于x 的不等式2220x ax ++>. 分析：设2()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0∆>∆=∆<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等式的解集.解：不等式所对应方程的判别式216a ∆=- ① 当0∆>，即4a >或4a <-时，原不等式所对应方程的两根为: 4a x --=或4a x -+=,原不等式的解集为{4a x x -+>或}4a x --< ② 当0∆=，得4a =±. 当4a =时,原不等式的解集为{x x R ∈且1}x ≠-.当4a =-时,原不等式的解集为{xx R ∈且1}x ≠. ③ 当0∆<，即44a -<<时, 原不等式的解集为R .【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a 讨论时，4±的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类.三、 根据二次项系数的符号分类例3解关于x 的不等式220ax x a -+<. 分析：二次项系数决定了不等式的性质（0a=时，是一次不等式；0a ≠时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号 解：①当0a=时,原不等式的解集为{0}x x >. 当0a ≠时,原不等式所对应方程的判别式244a ∆=-.② 当0a>时, 0∆>，即01a <<时,原不等式的解集为11{}x x a a-+<<. 当0∆=，即1a =时，原不等式的解集为φ.当0∆<，即1a>时，原不等式的解集为φ.③ 当0a <时, 0∆>，即10a -<<时,原不等式的解集为1{x x a +<或1}x a-> 当0∆=，即1a =-时，原不等式的解集为{1}x x ≠-.当0∆<，即1a <-时，原不等式的解集为R .【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在0a>或0a <时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.。
高中数学：含参 “一元二次不等式”的解法高中数学黄金解题模板
A．
B．
C．
D．
【答案】C
∵关于 的方程
存在三个不等实根，
∴方程
有两个根，且一正一负，且正根在区间
令
，
内．
则有
，解得
．
∴实数 的取值范围是
．选 C．
点睛：
解答本题时，根据所给函数的特征并利用换元的方法将问题化为方程根的问题处理，然后结合二次方程根
的分布情况再转化成不等式的 问题解决．对于本题中的
根的情况，还要根据数形结合根据两函
个，则有 1－ a2 <0，此时 a2 >1，而 0<b<1+a，故 a>1，
由不等式 a2 1 x2 2bx b2 <0 解得
2b 2ab x 2b 2ab , 即 b x b 1 要使该不等式的解集中的整数恰有 3 个，那么－
2 a2 1
2 a2 1
a 1
a 1
2020 年
数图象交点的个数来判断．
5．若“
”是“
”的充分而不必要条件，则实数 的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
2020 年
B 中的不等式不能分解因式，故考虑判断式 4k 2 4(k 2 k) 4k ，
(1)当 k=0 时， 0, x R . (2)当 k＞0 时，△＜0，x R .
(3)当 k＜0 时， 0, x k k或x k k .
第三步 ，得出结论：
综上所述，k 的取值范围是： k 0或 1 k 0.
考点：1.一元二次不等式的解法；2.含参不等式的解法.
【变式演练 3】已知 a 0 ，解关于 x 的不等式 ax2 (a 2)x 2 0 ．
高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中的重要内容，也是一个比较难以掌握的部分。
而当一元二次不等式中含有参数时，更是让学生感到困惑和挑战。
在数学学习中，一元二次不等式的解法探究是非常重要的，下面我们就来探讨一下高中数学一元二次含参不等式的解法。
一、含参一元二次不等式的一般形式ax^2 + bx + c > 0 或者 ax^2 + bx + c < 0其中a、b、c是常数，x是未知数，不等式的解集也就是x的取值范围。
1. 代入法当一元二次不等式中含有参数时，一种比较简单的解法是采用代入法。
将参数用实数代入，然后对得到的一元二次不等式进行求解。
将得到的解与参数的取值范围相结合，得到最终的解集。
2. 讨论法3. 图像法一元二次函数的图像方法可以帮助我们更直观的理解含参不等式的解法。
我们可以根据一元二次函数的图像特征，结合参数的取值范围，来判断不等式的解集。
1. 例题一已知不等式(x-1)(3x-k) > 0，若k为正数，求x的取值范围。
解：我们根据不等式的性质得到x-1>0，3x-k>0或者x-1<0，3x-k<0。
然后我们可以推导出k>3x或者k<3x。
结合k为正数，可得k>0。
最终，x的取值范围为(1,k/3)。
通过以上应用实例，我们可以看到含参一元二次不等式的解法在实际应用中是非常有用的，能够帮助我们更好地理解和掌握不等式的解题方法。
四、总结含参一元二次不等式是高中数学中的一个重要内容，具有一定的难度。
解决含参一元二次不等式，我们可以采用代入法、讨论法和图像法等多种方法。
在应用实例中，我们可以根据不等式的性质和参数的取值范围来求解不等式，得到最终的解集。
通过不断练习和应用，我们可以更好地掌握含参一元二次不等式的解法，提高自己的数学解题能力。
在学习过程中，我们还需要多总结经验，勤加练习，多探索多思考，在老师的指导下加深对含参一元二次不等式的理解，从而更好地解决各种数学问题。
含参数的一元二次不等式的解法
含参数的一元二次不等式的解法含参一元二次不等式常用的分类方法有三种：一、按$x$项的系数$a$的符号分类，即$a>0$，$a=0$，$a<0$。
例1：解不等式$ax+(a+2)x+1>2$分析：本题二次项系数含有参数，$\Delta=(a+2)^2-4a=a+4>0$，故只需对二次项系数进行分类讨论。
解：当$a>0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a>0$，所以$x_1x_2$或$x<x_1$，即$x\in\left(-\infty,\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}\right)\cup\left(\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a},+\infty\right)$。
当$a=0$时，不等式为$2x+1>2$，解得$x>\frac{1}{2}$，即解集为$x>\frac{1}{2}$。
当$a<0$时，解得方程$ax+(a+2)x+1=0$的两根$x_1=-\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a}$，$x_2=-\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}$，因为$a<0$，所以$x_1<x_2$。
所以解集为$x_1<x<x_2$，即$x\in\left(\frac{a+2-\sqrt{a+4}}{2a},\frac{a+2+\sqrt{a+4}}{2a}\right)$。
例2：解不等式$ax-5ax+6a>(a\neq0)^2$分析：因为$a\neq0$，$\Delta>0$，所以我们只需讨论二次项系数的正负。
解：当$a>0$时，解得方程$ax-5ax+6a=0$的两根$x_1=2$，$x_2=3$，因为$a>0$，所以$x_13$，即$x\in\left(-\infty,2\right)\cup\left(3,+\infty\right)$。
含参数的一元二次不等式的解法
2、上述不等式所对应的一元二次方程的特征是什么？ 二次项前面没有参数、可因式分解
3、若将条件a>1去掉，该不等式如何求解？
分类讨论，比较两根a与1的大小关系
引导探究 变式训练：
1、解关于x的不等式 x2-ax - (a+1) >0
2、解关于x的不等式 ax2-(a+1)x+1>0
数学思想：分类讨论思想
当堂练习（10分钟）
基础题1.解关于x的不等式：x2 + 5ax + 6a2 > 0
2.解关于x的不等式：ax2 + (6a+1)x + 6 > 0
探究题： 已知常数 a R, 解关于x的不等式： ax2 2x a 0
当堂诊学（10分钟）
请同学们根据下面提供的答案自我订正：
思考：
{x x 5 或x 6}
2
R
{x 2 x 1}
3
2
1、解一元二次不等式时要考虑哪些要素？
2、若对于一个一元二次不等式中项的系数含有参数，
该如何解决呢？
解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
引导探究 解关于x的不等式x2-(a+1)x+a>0（a>1）
探究： 1、解一元二次不等式应考虑它的哪些要素？
当a <0时，解集为：{x︱x> －3a或x< －2a};
1：
当a =0时，解集为： {x︱x∈R且x≠0};
当a >0时，解集为：{x︱x> －2a或x< －3a}.
1.当a
0时，解集为x
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高中数学一元二次含参不等式的解法探究
高中数学一元二次含参不等式的解法探究一元二次不等式是高中数学中一个非常重要的知识点，而含参的一元二次不等式更是需要同学们格外注重。
因为含参的一元二次不等式在现实中有着广泛应用，例如通过解决含参的一元二次不等式，可以优化设计制造成本、确定工艺参数、调节运动规律等等问题。
所以，解决含参的一元二次不等式，对提高数学水平和现实生活都是非常有益的。
解决含参的一元二次不等式，可以从以下四个方面入手。
1. 方程法含参的一元二次不等式可以理解为是变量 $x$ 的一元二次函数，而求解含参一元二次不等式，就是为了知道这个函数图像 $y=ax^{2}+bx+c\left( a,b,c\in R \right)$ 在数轴上的位置关系，因此，使用方程法求解含参一元二次不等式是非常直接和简单的。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式的两边同时移项，将不等式转换为相等式，得到一个含参二次方程；2）解出方程，得到二次函数图像的根；3）分别把这些根代入原不等式中，求出参数的取值范围。
例如要求 $\left( 1-\sqrt{x} \right)\left( 1+qx \right)<0$ (其中 $q>0$)，我们可以按以下步骤来解决：3）分别将这些解代回原不等式中，得出 $x>1/q^2$ 或 $x<0$。
因为 $q>0$，所以$x>1/q^2$，也就是说，当 $x\in \left( 0,\frac{1}{q^2}\right)$ 时，原不等式成立。
2. 图像法尽管用方程法可以得到含参一元二次不等式的解，但这种方法需要解出二次方程，不太方便。
另一种方法是通过函数图像，观察函数的零点和拐点，直接得出不等式的解。
这种方法叫做图像法。
具体步骤如下：1）将一元二次不等式写成一元二次函数的形式，并确定函数的最高次幂系数 $a$，括号里的内容作为变量 $x$，同时限制 $x$ 的取值范围，画出函数的图像。
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含参一元二次不等式的解法
温县第一高级中学数学组 任利民
解含参一元二次不等式，常涉及对参数的分类讨论以确定不等式的解，这是解含参一元二次不等式问题的一个难点.解含参一元二次不等式时对参数的分类主要依据有三个因素：①比较两根大小；②判别式的符号；③二次项系数的符号.下面例举几例来加以分析说明.
一、 根据二次不等式所对应方程的根的大小分类
例1解关于x 的不等式
2(1)0x x a a --->. 分析：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是 x a =或1x a =-.这两个根的大小关系不确定，因此分类的标准是a 与1a
-的大小关系.这样就容易将a 分成111,,222
a a a >=<这三类. 解：原不等式等价于()(1)0x a x a -+->，所对应方程的两根是x a =或1x a =-. 当12
a >时，有1a a >-，所以不等式的解集为{x x a >或1}x a <-. 当12a =时，有1a a =-，所以不等式的解集为{x x R ∈且1}2
x ≠ 当12
a <时，有1a a <-，所以不等式的解集为{1x x a >-或}x a <. 【评注】对参数进行的讨论是根据解题的需要而自然引出的，并非一开始就对参数加以分类讨论.当二次项系数不含参数且能进行因式分解时，其解法较容
易，只讨论根的大小.本题中对a 的讨论时，12的选取依据就是比较两个根的大
小.解题关键是熟练掌握二次函数的图象特征，做到眼中有题，心中有图.
二、 根据判别式的符号分类
例2解关于x 的不等式
2220x ax ++>. 分析：设2()22f x x ax =++，欲确定()0f x =的根的情况，需讨论 0,0,0∆>∆=∆<三种情况，由此来确定()f x 的图像，并最终确定不等
式的解集.
解：不等式所对应方程的判别式216a ∆
=- ① 当0∆>，即4a >或4a <-时，原不等式所对应方程的两根为
: 4a x --=
或4
a x -+=,
原不等式的解集为{4a x x -+>或}4
a x --< ② 当0∆
=，得4a =±. 当4a =时,原不等式的解集为{x x R ∈且1}x ≠-.
当4a =-时,原不等式的解集为{x
x R ∈且1}x ≠. ③ 当0∆<，即44a -<<时, 原不等式的解集为R .
【评注】解含参的一元二次不等式，可先分解因式，再讨论求解，若不易分解，也可对∆分类讨论，或利用二次函数图象求解.本题对a 讨论时，4±的选取依据是题设条件和根存在的条件.对于二次项系数不含参数且不能因式分解时，则需对判别式∆的符号分类.
三、 根据二次项系数的符号分类
例3解关于x 的不等式
220ax x a -+<. 分析：二次项系数决定了不等式的性质（0a
=时，是一次不等式；0a ≠时，是二次不等式）.原不等式对应方程的根无法确定，需讨论的符号 解：①当0a
=时,原不等式的解集为{0}x x >. 当0a ≠时,原不等式所对应方程的判别式244a ∆=-.
② 当0a >时, 0∆>，即01a <<时,原不等式的解集为
11{}x x a a
-+<<. 当0∆=，即1a =时，原不等式的解集为φ.
当0∆<，即1a >时，原不等式的解集为φ.
③ 当0a <时, 0∆>，即10a -<<时,原不等式的解集为
1{x x a +<或1}x a
-> 当0∆=，即1a =-时，原不等式的解集为{1}x x ≠-.
当0∆<，即1a <-时，原不等式的解集为R .
【评注】本题中对参数的讨论，选取了0，1，-1其依据是二次项系数的符号、判别式的符号和根的大小.问题比较复杂，但只要抓住这三点，有次序地按大小讨论，问题就不难解决.另要注意原不等式在0a
>或0a <时所对应的两个根的大小是不同的，要注意判断和识别.。