几何中的最值问题专题复习PPT课件
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公开课解三角形中的最值及取值范围问题(一)ppt课件
16 b2 c2 2bc cos
6 整理得16 b2 c2 3 bc
2
对称：b c，bc, b2 c2 非对称： 3b c,2b 3c
例5.(2014陕西理科）在ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. （1）若a,b, c成等差数列，证明：sin A sin C 2sin(A C)
正弦边化角： a 2Rsin A,b 2Rsin B, c 2R sin C
（2）余弦定理： c2=a2+b2-2abcosC
余弦定理推论 cos A b2 c2 a2 , 2bc
cos B a2 c2 b2 , cosC a2 b2 c2 ,
2ac
2ab
3
（3）重要不等式：a2 b2 2ab (4)基本不等式：a b a（ b a 0,b 0) 2 (5)变形：ab ( a b )2 2 当且仅当a b时，等号成立。
1.利用余弦定理及基本不 等式建立不等关系。 2.标明取等条件。
注：1.正弦定理化为三角函数为通法。 2.所求式为边的对称式：bc或b c或b2 c2 一般用余弦定理 不等式； 非对称式: 如 3b c,2b 3c, 一般用正弦定理 三角函数。
思考题：在锐角ABC中，角A, B,C的对边分别为a,b, c. 已知：3b 2a sin B, （1）求角A的大小； (2)若a 2,求b c的取值范围。
6
)
1 2
,1
2 3 sin(C ) 3,2 3
6
b c的取值范围为 3,2 3
例4.(2018 湖北八校联考）在 ABC中，角A, B,C的对边分别为 a,b, c
(2)若a 3, A ,求b c的取值范围。
3
解：余弦定理 a2 b2 c2 2bc cos A得，3 b2 c2 2bc cos
2024年中考数学一轮复习专题四++几何最值问题+课件
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5.如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx-4与x轴交于A,B两点(B
在A的右侧),与y轴交于点C,已知OA=1,OB=4OA,连接BC.
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
(1)求抛物线的解析式;
由OA=1,得A(-1,0).∵OB=4OA=4.∴B(4,0).
∵NM⊥BC,∴∠NMC=90°,
∴∠CNM=90°-∠NCM=90°-∠OCB=45°,
∴△NCM为等腰直角三角形,
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专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
∴NM=NC·sin 45°=
NC,∴AN+ CN=AN+NM≥AH,
当A,N,M三点共线时,AN+NM最小值=AH,
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3.(2022·唐山迁安二模)如图,AB是半圆形量角器的直径,点O为半圆的圆
心,DA与半圆O相切于点A,点P在半圆上,且点P对应的示数为120°(60°),
点C是上一点(不与点P重合).连接DO交半圆O于点E,点E对应的示数为
60°(120°).
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
=75°,
°−∠
∠AED=∠ADE=
=75°,
∴∠HBE=∠HEB=180°-60°-75°=45°,
∴HE=HB,∠H=90°,
∵∠ABD=∠ADB=45°,
返回类型清单
专题四 几何最值问题— 两点之间线段最短问题
返回类型清单
∴∠BDH=∠ADE-∠ADB=30°,
∵BD= + = + =6 ,
人教版数学九年级上册22.3实际问题与二次函数(几何面积最值问题)课件
解：(1)设矩形一边长为x，则另一边长为（6-x), S=x(6-x)=-x2+6x,其中0＜x<6.
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
(2)请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并 求出这个费用.
解：(2)S=-x2+6x=-(x-3)2+9; 当x=3时，即矩形的一边长为3m时，矩形 面积最大，为9m2.
这时设计费最多，为9×1000=9000（元）
.
b 2a
时，二次函数有最小
考点探究 利用二次函数求几何图形的面积的最值
例1 用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面 积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时，场 地的面积S最大？
问题1 矩形面积公式是什么？ 问题2 如何用l表示另一边？ 问题3 面积S的函数关系式是什么？
用总长为60m的篱笆围城一个矩形场地，矩形面积S随矩 形一边长l的变化而变化.当l是多少米时，场地的面积S最大？
4
1 2
x(1
x
)
2
x
1 2
2
1 2
(0
x 1)
当x 12时, y有最小值12.
即当E位于AB中点时，正方形EFGH面积最小.
4. 某小区在一块一边靠墙(墙长25m)的空地上修建一个矩形
绿化带ABCD，绿化带一边靠墙， 另三边用总长为40m的栅
栏围住．设绿化带的边长BC为xm，绿化带的面积为ym²．
解： 矩形场地的周长是60m,一边长为lm,
所以另一边长为（60 l）m.
l
场地的面积
2
S=l(30-l)
S
即S=-l2+30l (0<l<30)
因此，当
l
b 2a
30 2 (ห้องสมุดไป่ตู้)
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法演示文稿(实用资料)ppt
作E点关于X轴的对称点对称点E’ 链接CM与BD的交点就是我们做要求的H点的位置 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值
例:（2）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
作若若A点不点P存在关在点于，Q直请左线2说边O明.，M理的当根由对矩；称形据点对称我点A市1 现目前考试题型来看，该部分是个重点，也是个难点，
过D点做DN//y轴,设BD与AC相交于点K
根据直线BD与AC易求出 K（-1， 8）， N（-1， 2） 33
NK
所以，
352 C △ PM Q P Q PM Q M 3 PQ
2. 四边形周长最大值转化为线段最大值
例2：（3）如图，抛物线 y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点
（点A在点B的左边），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点.
再加上思路不清晰，会花大量的时间思考，所以这部分学生就选 线交于点P，过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q，过
根据历年重庆中考试卷分析来看，目前二次函数中几何图形周长的最值问题是必考部分，主要是考查学生点在抛物线上求几何图形的周长最大值的能力，以及点在直线上求几何图 形的周长的最小值的能力（“将军饮马”模型的应用能力）。
二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法演示文稿
目录
一． 二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题 的态度
二． 基本题型及解法 1 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值
含有45°角的直角三角形周长最大值的求法 含有30°（或60°）角的直角三角形周长最大值的求法 任意角的直角三角形周长最大值的求法
原理：两点之间线段最短.
河
中考数学《二次函数-几何最值问题》课件
两
动
l1
l2
两
M B
平
N A
行
l1
l2
B M N
A
A1
线 逆向 对称 顺向 连接
一、透过“前世”知本源
【造桥选址问题】如图，A、B两地在一条河的两岸，现要在河上造一 座桥MN，桥造在何处可使从A到B的路径AMNB最短？（取定河的两岸 是平行的直线，桥要与河岸垂直）
知本源 【模型2】
造
类型1：直线l1， l2且l1∥l2 ,点A，B分别在直线l1、
两
动
l1
l2
l1
l2
两
平
A
行
B
N M
B
N M A
线
顺向 连接
知本源 【模型1】
两
类型3：如图已知直线l1 ， l2及两点A ，B，在直线l 2 上作一点N，在l1上作点M.
定 （2）点A ，B在两直线两外侧 使AN+NM+MB最小
两
动
l1
l2
l1
l2
两 平 行
M A
B N
B1 M
A
B N
A1
线
逆向 对称
一、透过“前世”知本源
（2014•重庆中考B卷）如图，已知抛物线 y= -x2 +2x+3 与x轴交于A、B两点（点A在
点B的左边），与y轴交于点C，连接BC．
（1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点P为线段BC上的一点（不与B、C 重合），PM∥y轴，且PM交抛物线于点M， 交x轴于点N，当△BCM的面积最大时，求 △BPN的周长； （3）在（2）的条件下，当BCM的面积最 大时，在抛物线的对称轴上存在点Q，使得 △CNQ为直角三角形，求点Q的坐标．
二次函数中的几何最值问题(共10张PPT)
(1, 4)
（2）有一条固定线段（固定线段两端点为动点）
2个原理，2种手段，1种思想
利用作“平移”将其转化为一条线段求之。 （2）如图，M为y轴上一动点， 求BM+DM最小值.
(0, 3)
Байду номын сангаас
(2, 3)
（1）求三条线段之和最短；
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
（3）如图，M为 y轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
二次函数中的几何最值问题
1. 在学过的几何中，有哪些与线段最值相关的定理？
1. 所有两点的连线中，线段最短。
2. 直线外一点与直线上各点连接的线段中，垂线段最短。
2. 如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
AC+BC
AB
若求两条（或多条）线
段之和最短时，常将其
A
B
转化为一条线段求之。
3. 求几何最值有哪些常见方法呢？
如图，已知线段AB，点C 为平面内任一点，比较大小
（4）如图，M为 x 轴上一动点， 求
的最小值.
（1）求三条线段之和最短；
求几何最值有哪些常见方法呢？
对称 + 垂线
利用作“对称”将其转化为一条线段求之。
Q 变式：如图，M为 y 轴上一动点， N为抛物线对称轴上一动点，
C M AC+BC
AB
解决方法：
对称 + 垂线
2
（1）两点之间，线段最短；（2）垂线段最短。
2
（1）轴对称； （2）平移。
转化的思想
M
解决方法：
Q
构造角 + 垂线
利用作“平移”将其转化为一条线段求之。
课件解三角形中的最值及取值范围
边的取值范围
总结词
边的取值范围受到角度的取值范围以及三角形的性质影响。
详细描述
在任何三角形中，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。因此，边的取值范围受到角度的取值范 围以及三角形的形状的影响。对于直角三角形，斜边是最长边，其长度大于其他两边之和。对于钝角三角形，最 长边大于其他两边之和，但不能超过其他两边之和的两倍。
引入其他数学工具
为了更深入地研究三角形最值及取值范围问题，可以考虑引入其他数学工具，如微积分、 线性代数等，以期取得更多突破性成果。
拓展应用领域
除航海、航空、地理测量等领域外，三角形最值及取值范围还可以应用于其他领域，如建 筑设计、机械制造等。未来可以加强与其他学科的合作，拓展其应用领域。
THANKS
03
三角形中的取值范围问题
角度的取值范围
总结词
角度的取值范围是三角形中一个重要的问题，它受到三角形内角和为180度以及三角形的形状限制。
详细描述
在任何三角形中，三个内角的和总是等于180度。因此，每个角的取值范围是0度到180度。对于直角 三角形，一个角是90度，其他两个角的角度和为90度，所以每个角的角度范围是0度到90度。对于钝 角三角形，最大的角度大于90度，但不能超过180度。
高的取值范围
总结词
高的取值范围受到角度的取值范围以及 三角形的形状影响。
VS
详细描述
在任何三角形中，高是从顶点垂直到对边 的线段。因此，高的取值范围受到角度的 取值范围以及三角形的形状的影响。对于 锐角三角形，所有的高都大于零。对于直 角三角形，斜边上的高等于另一条直角边 。对于钝角三角形，有两条高在三角形内 部，另一条高在三角形外部。
感谢观看
04
《求几何面积的最值问题》PPT课件
4a
知1－讲
1．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：
当a>0时，函数在 x b 处取得最小值 4ac b2 ，
2a
无最大值；当a<0时，函数在
x
b
4a
处取得最大
值 4ac b2 ，无最小值．
2a
4a
2．二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是
抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数
4ac b2 302 45. 也就是说，小球运动的时间是
4a 4 (5)
3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m.
归纳
知1－导
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c
的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝ b 时，
2a
二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值 4ac b2 .
可以借助函数图象解决这个问题．画出函 数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．
知1－导
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部 分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高 点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数 有最大值． 因此，当t＝ b 30 3 时，h有最大值
2a 2 (5)
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
知1－讲
1．二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况：
当a>0时，函数在 x b 处取得最小值 4ac b2 ，
2a
无最大值；当a<0时，函数在
x
b
4a
处取得最大
值 4ac b2 ，无最小值．
2a
4a
2．二次函数在自变量x的给定范围内，对应的图象是
抛物线上的一段．那么最高点的纵坐标即为函数
4ac b2 302 45. 也就是说，小球运动的时间是
4a 4 (5)
3 s时，小球最高．小球运动中的最大高度是45 m.
归纳
知1－导
一般地，当a>0(a<0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c
的顶点是最低(高)点，也就是说，当x＝ b 时，
2a
二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值 4ac b2 .
可以借助函数图象解决这个问题．画出函 数h＝30t－5t2(0≤t≤6)的图象(如图)．
知1－导
可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部 分．这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高 点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数 有最大值． 因此，当t＝ b 30 3 时，h有最大值
2a 2 (5)
此页为防盗标记页（下载后可删）
1、谢谢大家听得这么专心。 2、大家对这些内容这么感兴趣，真让我高兴。 3、你们专注听讲的表情，使我快乐，给我鼓励。 4、我从你们的姿态上感觉到，你们听明白了。 5、我不知道我这样说是否合适。 6、不知我说清了没有，说明白了没有。 7、我的解释不知是否令你们满意，课后让我们大家再去找有关的书来读读。 8、你们的眼神告诉我，你们还是没有明白，想不想让我再讲一遍？ 9、会“听”也是会学习的表现。我希望大家认真听好我下面要说的一段话。 10、从听课的情况反映出，我们是一个素质良好的集体。 1、谢谢你，你说的很正确，很清楚。 2、虽然你说的不完全正确，但我还是要感谢你的勇气。 3、你很有创见，这非常可贵。请再响亮地说一遍。 4、××说得还不完全，请哪一位再补充。 5、老师知道你心里已经明白，但是嘴上说不出，我把你的意思转述出来，然后再请你学说一遍。 6、说，是用嘴来写，无论是一句话，还是一段话，首先要说清楚，想好了再说，把自己要说的话在心里整理一下就能说清楚。 7、对！说得很好，我很高兴你有这样的认识，很高兴你能说得这么好！ 8、我们今天的讨论很热烈，参与的人数也多，说得很有质量，我为你们感到骄傲。 9、说话，是把自己心里的想法表达出来，与别人交流。说时要想想，别人听得明白吗？ 10、说话，是与别人交流，所以要注意仪态，身要正，不扭动，眼要正视对方。对！就是这样！人在小时候容易纠正不良习惯，经常 注意哦。
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问题情境
1.乌龟与兔子想从点A到点B，走那条路线最短？ ③. 根据是 两点之间，线段最.短
①
② ③
A
B
④
问题情境
2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水 沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试 画出铺设管道的路线？并说明理由。
Q A
B
P
理由：垂线段最短
问题情境
3a＜14 ㎝ .
真题示例1
（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点， 则EP+FP的最小值为（ C ） A．1 B．2 C.3 D．4
P F/
EP+FP= EP+F / P = EF /
【题型特征】利用轴对称求最短路线问题
基本模型
·B
·A
·P ·P
依据：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边.
4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝， ⊙O 的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是 9 ㎝ .
圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
依据： 的近交点距离最短、远交点距离最长
.
知识回顾
①两点之间线段最短； ②垂线段最短； ③三角形的三边关系：三角形两边之差小于第三边， 两边之和大于第三边 ④圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近 交点距离最短、远交点距离最长
小河
·A′
（一）
此时，PA+PB
= PA ′+PB
= BA ′
最小值为BA ′的长.
·A1 草地
M
·A N ·A2 河流
（二）
此时，MA+MN+NA
=MA1+MN+NA2 = A1A2
最小值为A1A2 的长.
真题示例2
（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)， 直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点， D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长 的最小值是______1．0
真题示例3
A
E
O
F
B
D
C
【解题思路、方法】
【解题策略】
1.综合分析题中已知条件，归纳发现动态过程 1.变化中寻找不变性 ；
中的不变元素、不变关系、内在联系；
2.化动为静，根据内在联系转化相关线段. 2.化动为静，化归转化.
【知识源】
真题示例4
（2013宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当 点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P
【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
的近交点距离最短、远交点距离最长
真题示例7 （2016江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次
函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点， 点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；y=x2-2x
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上 滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1， 求四边形PQQ1P1面积的最大值；
E
C1 ·
D ·C2
△CDE周长=CD+CE+DE=C1C2
基本模型
·B ·A
·P ·A′
（一）
小河
·A1 草地
M
·A N ·A2
（二）
河流
【解题思路、方法】
1.利用轴对称画出取最小值时点的位置， 建立相关模型；
2.把线段之和转化在同一条直线上．
【解题策略】
1.画图建模
2.化归转化
试题原创
（原创）如图，在周长为16的菱形ABCD中， ∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为
对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 2 3 .
【知识源】
1.两点之间线段最短 2.垂线段最短
EP+FP= EP+F / P = EF /
当EF /与边AB垂直时 EF /的值最小
真题示例3
（2012浙江宁波）如图，△ABC中， ∠BAC=60°， ∠B=45° ，AB= 2 2 ，D是 线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分 别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长 度的最小值为 .
命题预测
1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的 相互整合渗透；
2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注 重了初、高中知识的衔接；
3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其 他相关问题.
E
E
【解题策略】 1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度、面积； 2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质求
出相应的最值.
专题总结
结合题意，画图尝试，动中觅静； 分析总结图形在运动过程中不变元素 ； 探寻运动变化中隐含的不变关系与内在联系 ； 建立相关模型实现最值转化 .
的坐标是（-1,0） ．
当A、B、P三点不共线时， |PA﹣PB|＜AB
当A、B、P三点共线时，
·P
·P
|PA﹣PB|=AB
|PA﹣PB|≤AB
变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，
-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当
|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是（3,0）．
·A′
P·
P·
PA=P A′ |PA﹣PB|= |PA ′ ﹣PB|
≤A ′ B
当A ′、B、P三点共线时， |PA﹣PB|最大
真题示例5
（2016四川眉山 ）26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（（（（1212C））））、求在PP坐为经平标顶过面为点直A（、的角5B四坐，、边标3C）形系三为x点O菱的y中形抛是？物否若线存存的在在解一，析点请式P求；，出使点得P以的以坐点标A；、B、
A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且
始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
.
真题示例6
【解题思路、方法】
1. 综合已知条件，分析其中不变元素及不变关系，恰当转化； 2.根据点的运动轨迹，找出与定点距离最远时的位置，化动为静 .
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当
|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最
大值．
y
B
P
A
C
O
x
M
真题示例4、5
P·′
·P
·A′
P·
P·
【解题思路、方法】
作图尝试，结合已知定点，利用三角形的三边关系，找出特 殊位置解决线段之差最大问题.
真题示例6
(2016四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点
1.乌龟与兔子想从点A到点B，走那条路线最短？ ③. 根据是 两点之间，线段最.短
①
② ③
A
B
④
问题情境
2.如图，污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水 沟PQ，应如何铺设排水管道，才能使用料最省？试 画出铺设管道的路线？并说明理由。
Q A
B
P
理由：垂线段最短
问题情境
3a＜14 ㎝ .
真题示例1
（2016·福建龙岩）如图，在周长为12的菱形ABCD 中，AE=1，AF=2，若P为对角线BD上一动点， 则EP+FP的最小值为（ C ） A．1 B．2 C.3 D．4
P F/
EP+FP= EP+F / P = EF /
【题型特征】利用轴对称求最短路线问题
基本模型
·B
·A
·P ·P
依据：三角形两边之差小于第三边，两边之和大于第三边.
4.已知圆外一点P到圆⊙O上最近点的距离是5㎝， ⊙O 的半径是2㎝，则这点到圆上最远点的距离是 9 ㎝ .
圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
依据： 的近交点距离最短、远交点距离最长
.
知识回顾
①两点之间线段最短； ②垂线段最短； ③三角形的三边关系：三角形两边之差小于第三边， 两边之和大于第三边 ④圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆的近 交点距离最短、远交点距离最长
小河
·A′
（一）
此时，PA+PB
= PA ′+PB
= BA ′
最小值为BA ′的长.
·A1 草地
M
·A N ·A2 河流
（二）
此时，MA+MN+NA
=MA1+MN+NA2 = A1A2
最小值为A1A2 的长.
真题示例2
（2016·四川内江）如图所示，已知点C(1，0)， 直线y＝－x＋7与两坐标轴分别交于A，B两点， D，E分别是AB，OA上的动点，则△CDE周长 的最小值是______1．0
真题示例3
A
E
O
F
B
D
C
【解题思路、方法】
【解题策略】
1.综合分析题中已知条件，归纳发现动态过程 1.变化中寻找不变性 ；
中的不变元素、不变关系、内在联系；
2.化动为静，根据内在联系转化相关线段. 2.化动为静，化归转化.
【知识源】
真题示例4
（2013宿迁）在平面直角坐标系xOy中，已知点 A（0，1），B（1，2），点P在x轴上运动，当 点P到A、B两点距离之差的绝对值最大时，点P
【知识源】圆外一点与圆心的连线上，该点和此直线与圆
的近交点距离最短、远交点距离最长
真题示例7 （2016江苏常州）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次
函数y=x与二次函数y=x2+bx的图象相交于O、A两点， 点A（3，3），点M为抛物线的顶点．
（1）求二次函数的表达式；y=x2-2x
（2）长度为2 的线段PQ在线段OA（不包括端点）上 滑动，分别过点P、Q作x轴的垂线交抛物线于点P1、Q1， 求四边形PQQ1P1面积的最大值；
E
C1 ·
D ·C2
△CDE周长=CD+CE+DE=C1C2
基本模型
·B ·A
·P ·A′
（一）
小河
·A1 草地
M
·A N ·A2
（二）
河流
【解题思路、方法】
1.利用轴对称画出取最小值时点的位置， 建立相关模型；
2.把线段之和转化在同一条直线上．
【解题策略】
1.画图建模
2.化归转化
试题原创
（原创）如图，在周长为16的菱形ABCD中， ∠A=120°，E、F为边AB、CD上的动点，若P为
对角线BD上一动点，则EP+FP的最小值为 2 3 .
【知识源】
1.两点之间线段最短 2.垂线段最短
EP+FP= EP+F / P = EF /
当EF /与边AB垂直时 EF /的值最小
真题示例3
（2012浙江宁波）如图，△ABC中， ∠BAC=60°， ∠B=45° ，AB= 2 2 ，D是 线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分 别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长 度的最小值为 .
命题预测
1.综合性逐渐增强，如多个知识源、知识点的 相互整合渗透；
2.注重对基本技能和基本思维方法的考查，注 重了初、高中知识的衔接；
3.最值问题“逆” 呈现，如在最值条件下求其 他相关问题.
E
E
【解题策略】 1.树立坐标意识，通过坐标表示相关线段长度、面积； 2.运用函数思想，构建函数模型，通过二次函数的性质求
出相应的最值.
专题总结
结合题意，画图尝试，动中觅静； 分析总结图形在运动过程中不变元素 ； 探寻运动变化中隐含的不变关系与内在联系 ； 建立相关模型实现最值转化 .
的坐标是（-1,0） ．
当A、B、P三点不共线时， |PA﹣PB|＜AB
当A、B、P三点共线时，
·P
·P
|PA﹣PB|=AB
|PA﹣PB|≤AB
变式: 在平面直角坐标系xOy中，已知点A（2，
-1），B（1，2），点P在x轴上运动，当
|PA﹣PB|最大时，点P的坐标是（3,0）．
·A′
P·
P·
PA=P A′ |PA﹣PB|= |PA ′ ﹣PB|
≤A ′ B
当A ′、B、P三点共线时， |PA﹣PB|最大
真题示例5
（2016四川眉山 ）26．已知如图，在平面直角坐标系xOy中，
点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4，
（（（（1212C））））、求在PP坐为经平标顶过面为点直A（、的角5B四坐，、边标3C）形系三为x点O菱的y中形抛是？物否若线存存的在在解一，析点请式P求；，出使点得P以的以坐点标A；、B、
A（1，0），B（1﹣a，0），C（1+a，0）（a＞0），
点P在以D（4，4）为圆心，1为半径的圆上运动，且
始终满足∠BPC=90°，则a的最大值是
.
真题示例6
【解题思路、方法】
1. 综合已知条件，分析其中不变元素及不变关系，恰当转化； 2.根据点的运动轨迹，找出与定点距离最远时的位置，化动为静 .
（3）若点M为该抛物线上一动点，在（2）的条件下，请求出当
|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标，并直接写出|PM﹣AM|的最
大值．
y
B
P
A
C
O
x
M
真题示例4、5
P·′
·P
·A′
P·
P·
【解题思路、方法】
作图尝试，结合已知定点，利用三角形的三边关系，找出特 殊位置解决线段之差最大问题.
真题示例6
(2016四川泸州)如图，在平面直角坐标系中，已知点