中考数学专题复习几何证明含解析含答案

几何证明压轴题1、如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BCD=90°,且AB=1，BC=2，tan ∠ADC=2.(1) 求证：DC=BC;(2) E 是梯形内一点，F 是梯形外一点，且∠EDC=∠FBC ，DE=BF ，试判断△ECF 的形状，并证明你的结论；(3) 在（2）的条件下，当BE ：CE=1：2，∠BEC=135°时，求sin ∠BFE 的值.[解析] （1）过A 作DC 的垂线AM 交DC 于M, 则AM=BC=2.又tan ∠ADC=2,所以212DM ==.即DC=BC. (2)等腰三角形.证明：因为,,DE DF EDC FBC DC BC =∠=∠=.所以，△DEC ≌△BFC所以，,CE CF ECD BCF =∠=∠.所以，90ECF BCF BCE ECD BCE BCD ∠=∠+∠=∠+∠=∠=︒即△ECF 是等腰直角三角形.（3）设BE k =,则2CE CF k ==，所以EF =.因为135BEC ∠=︒，又45CEF ∠=︒，所以90BEF ∠=︒.所以3BF k == 所以1sin 33k BFE k ∠==.2、已知：如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，AG ∥DB 交CB 的延长线于G ．（1）求证：△ADE ≌△CBF ；（2）若四边形 BEDF 是菱形，则四边形AGBD 是什么特殊四边形？并证明你的结论．[解析] （1）∵四边形ABCD 是平行四边形，∴∠1＝∠C ，AD ＝CB ，AB ＝CD ．∵点E 、F 分别是AB 、CD 的中点，∴AE ＝21AB ，CF ＝21CD ． ∴AE ＝CF∴△ADE ≌△CBF ．（2）当四边形BEDF 是菱形时，四边形 AGBD 是矩形．∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ．∵AG ∥BD ，E BF C DA∴四边形 AGBD 是平行四边形．∵四边形 BEDF 是菱形，∴DE ＝BE ．∵AE ＝BE ，∴AE ＝BE ＝DE ．∴∠1＝∠2，∠3＝∠4．∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝180°，∴2∠2＋2∠3＝180°．∴∠2＋∠3＝90°．即∠ADB ＝90°．∴四边形AGBD 是矩形3、如图13－1，一等腰直角三角尺GEF 的两条直角边与正方形ABCD 的两条边分别重合在一起．现正方形ABCD 保持不动，将三角尺GEF 绕斜边EF 的中点O （点O 也是BD 中点）按顺时针方向旋转．（1）如图13－2，当EF 与AB 相交于点M ，GF 与BD 相交于点N 时，通过观察或测量BM ，FN 的长度，猜想BM ，FN 满足的数量关系，并证明你的猜想；（2）若三角尺GEF 旋转到如图13－3所示的位置时，线段FE 的延长线与AB 的延长线相交于点M ，线段BD 的延长线与GF 的延长线相交于点N ，此时，（1）中的猜想还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．[解析]（1）BM =FN ．证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴ ∠ABD =∠F =45°，OB = OF ．又∵∠BOM =∠FON ， ∴ △OBM ≌△OFN ．∴ BM =FN ．（2） BM =FN 仍然成立．（3） 证明：∵△GEF 是等腰直角三角形，四边形ABCD 是正方形，∴∠DBA =∠GFE =45°，OB =OF ．∴∠MBO =∠NFO =135°．又∵∠MOB =∠NOF ， ∴ △OBM ≌△OFN ．∴ BM =FN ．4、如图，已知⊙O 的直径AB 垂直于弦CD 于E ，连结AD 、BD 、OC 、OD ，且OD ＝5。

图13－2图13－3图13－1 A ( G ) B ( E )（1）若sin ∠BAD =35，求CD 的长；（2）若 ∠ADO ：∠EDO ＝4：1，求扇形OAC （阴影部分）的面积（结果保留π）。

[解析] （1）因为AB 是⊙O 的直径，OD ＝5所以∠ADB ＝90°，AB ＝10在Rt △ABD 中，sin ∠BAD BD AB = 又sin ∠BAD =35，所以BD 1035=，所以BD =6AD AB BD =-=-=22221068因为∠ADB ＝90°，AB ⊥CD所以DE AB AD BD CE DE ··，==所以DE ⨯=⨯1086 所以DE =245 所以CD DE ==2485（2）因为AB 是⊙O 的直径，AB ⊥CD所以CB BD AC AD ⌒⌒⌒⌒，==所以∠BAD ＝∠CDB ，∠AOC ＝∠AOD因为AO ＝DO ，所以∠BAD ＝∠ADO所以∠CDB ＝∠ADO设∠ADO ＝4x ，则∠CDB ＝4x由∠ADO ：∠EDO ＝4：1，则∠EDO ＝x因为∠ADO ＋∠EDO ＋∠EDB ＝90°所以4490x x x ++=︒所以x ＝10°所以∠AOD ＝180°－（∠OAD ＋∠ADO ）＝100°所以∠AOC ＝∠AOD ＝100°S OAC 扇形=⨯⨯=1003605125182ππ5、如图，已知：C 是以AB 为直径的半圆O 上一点，CH ⊥AB 于点H ，直线AC 与过B 点的切线相交于点D ，E 为CH 中点，连接AE 并延长交BD 于点F ，直线CF 交直线AB 于点G.（1）求证：点F 是BD 中点；（2）求证：CG 是⊙O 的切线；（3）若FB=FE=2，求⊙O 的半径．[解析] (1)证明：∵CH ⊥AB ，DB ⊥AB ，∴△AEH ∽AFB ，△ACE ∽△ADF ∴FDCE AF AE BF EH ==，∵HE ＝EC ，∴BF ＝FD (2)方法一：连接CB 、OC ，∵AB 是直径，∴∠ACB ＝90°∵F 是BD 中点，∴∠BCF=∠CBF=90°-∠CBA=∠CAB=∠ACO∴∠OCF=90°,∴CG 是⊙O 的切线---------6′方法二：可证明△OCF ≌△OBF(参照方法一标准得分)(3)解：由FC=FB=FE 得：∠FCE=∠FEC可证得：FA ＝FG ，且AB ＝BG由切割线定理得：（2＋FG ）2＝BG ×AG=2BG 2 ○1 在Rt △BGF 中，由勾股定理得：BG 2＝FG 2－BF2 ○2 由○1、○2得：FG 2-4FG-12=0 解之得：FG 1＝6，FG 2＝－2（舍去）∴AB ＝BG ＝24∴⊙O 半径为226、如图，已知O 为原点，点A 的坐标为（4，3），⊙A 的半径为2．过A 作直线l 平行于x 轴，点P 在直线l 上运动．（１）当点P 在⊙O 上时，请你直接写出它的坐标；（２）设点P 的横坐标为12，试判断直线OP 与⊙A 的位置关系，并说明理由.[解析]解: ⑴点P 的坐标是（2,3）或（6,3）⑵作AC ⊥OP,C 为垂足.∵∠ACP=∠OBP=90,∠1=∠1∴△ACP ∽△OBP ∴AC AP OB OP=在OBP Rt ∆中,OP =又AP=12-4=8, ∴3AC =∴AC=24 1.94∵1.94<2∴OP 与⊙A 相交.7、如图，延长⊙O 的半径OA 到B ，使OA=AB ，DE 是圆的一条切线，E 是切点，过点B 作DE 的垂线，垂足为点C . CE求证：∠ACB=31∠OAC . [解析] 证明：连结OE 、AE ，并过点A 作AF ⊥DE 于点F ， （3分）∵DE 是圆的一条切线，E 是切点，∴OE ⊥DC ，又∵BC ⊥DE ,∴OE ∥AF ∥BC .∴∠1=∠ACB ，∠2=∠3.∵OA=OE ，∴∠4=∠3.∴∠4=∠2.又∵点A 是OB 的中点，∴点F 是EC 的中点.∴AE=AC .∴∠1=∠2.∴∠4=∠2=∠1.即∠ACB =31∠OAC . 8、如图１，一架长4米的梯子AB 斜靠在与地面OM 垂直的墙壁ON 上，梯子与地面的倾斜角α为60．⑴求AO 与BO 的长；⑵若梯子顶端A 沿NO 下滑，同时底端B 沿OM 向右滑行.①如图2，设A 点下滑到C 点，B 点向右滑行到D 点，并且AC:BD=2:3，试计算梯子顶端A 沿NO 下滑多少米；②如图３，当A 点下滑到A ’点，B 点向右滑行到B ’点时，梯子AB 的中点P 也随之运动到P ’点．若∠POP ’＝ 15，试求AA ’的长．[解析]⑴AOB Rt 中,∠O=90,∠α= 60∴,∠OAB= 30，又ＡＢ＝4米，∴122OB AB ==米.sin 6042OA AB =⋅=⨯=. -------------- (3分)⑵设2,3,AC x BD x ==在COD Rt ∆中,2,23,4OC x OD x CD ==+=根据勾股定理:222OC OD CD +=∴()()2222234x x ++= ------------- (5分)∴(213120x x +-=∵0x ≠ ∴0381213=-+x∴1213x = ------------- (7分)AC=2x=2413即梯子顶端A 沿NO 下滑了2413米. ---- (8分)⑶∵点P 和点P '分别是AOB Rt ∆的斜边AB 与''OB A Rt ∆的斜边''B A 的中点∴PO PA =，O P A P '''= ------------- (9分) ∴,PAO AOP P A O A OP ''''∠=∠∠=∠------- (10分)∴P A O PAO A OP AOP ''''∠-∠=∠-∠∴15P A O PAO POP '''∠-∠=∠=∵30PAO ∠=∴45P A O ''∠= ----------------------- (11分)∴cos 4542A O A B '''=⨯=⨯=分)∴AA OA A O ''=-=米. -------- (13分)。