分数阶微积分发展现状及展望
试论微积分教学的发展趋势
2019第4期下（总第298期）ZHONG GUO NONG CUN JIAO YU随着时代的不断发展，人类对社会科学的探索也逐渐朝向更宽广、更深入的领域和层次，基于这些背景下，高校微积分教学在时代潮流的推动下出现了一些新的发展趋势，具体下文详述。
一、教学内容的时代化当下，互联网科技迅速发展，整个社会科技的探索也愈加广泛，而微积分又与科学技术的发展密不可分，并且相互作用，一方面微积分为科技的探索和发展提供支持，另外一方面，可以的发展成果最终会被微积分理论吸收，成为其不断发展的主要支撑。
因此，基于这种背景和特性，微积分未来的教学越来越会体现出时代化的特点。
这种时代的特点，在于微积分教学内容的更新与发展，而非是保守不变的。
也就是说，微积分的教学会随着时代的进步分更加完备，呈现出不断前进的趋势。
一方面，这种趋势下，时代的迅速发展为微积分教学提出了更高的要求，尤其是科研和人才的需要，而各个高校的人才培养，本身就是为了给时代和社会的进步提供人才的支撑，满足时代的要求，这也为毕业生的就业和生存提供一层保证。
另一方面，对于高校来说，本身就属于学界的范畴，而学界本身也是不断进行理论的探索与更新，探索的主力是教师，探索的成果反哺时代的发展，形成时代化趋势以后，又会在高校推广，应用于对学生的教学上。
因此，在这种循环之下，未来微积分的教学会不断显现出时代化的特色。
二、教学发展的应用化对于微积分未来教学的发展趋势而言，应用化自然少不了，尤其是微积分本身就是很多科学研究的理论基础。
因此来说，在未来的微积分教学发展中，会在本身理论的基础上进行应用性的延伸，也即延伸到各个应用领域中。
这种应用，其实就是一种细分，对于当前高校的不同专业而言，依据应用性的要求，进行微积分侧重点的细分。
当然，这种细分其实对教师和学生都提出了更高的要求，教师要不断的掌握专业新的发展和应用，然后反馈到日常的教学中，学生要不断地接受时代发展带来的新内容，反馈到自身以后的工作上。
分数阶微积分及其应用
分数阶微积分及其应用分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，在过去的几十年中，其应用在物理、工程、生物、经济等多个领域取得了显著的进展。
在分数阶微积分中，函数的导数和积分的阶数可以是非整数，这使得分数阶微积分能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
分数阶微积分的基本概念包括幂级数、勒让德符号等。
幂级数是一种用无穷级数表示函数的方法，通过幂级数，我们可以将一个函数表示成无限多个因子的乘积。
而勒让德符号则是一种表示分数阶导数和积分的符号，它能够简洁地描述分数阶微积分中的运算。
分数阶微积分在实际生活中的应用非常广泛。
例如，在信用卡计息中，分数阶微积分可以描述复利计息的规律，更好地拟合实际数据。
在股票投资中，分数阶微积分可以用于描述股票价格的动态变化，从而帮助投资者更好地预测股票价格的走势。
此外，分数阶微积分在科学研究和工程实践中也有广泛的应用，例如在电磁学、流体动力学、控制理论等领域都有重要的应用。
学习分数阶微积分需要掌握一些基本的技巧。
首先，需要熟悉函数的导数和不定积分的概念，这是学习分数阶微积分的基础。
其次，需要学会使用幂级数和勒让德符号进行运算，这可以帮助我们更准确地描述复杂的函数。
最后，需要掌握分数阶微积分的算法和计算方法，例如通过数值方法和软件包进行分数阶微积分的计算。
总之，分数阶微积分是一种具有重要应用价值的数学工具，它能够更灵活地描述现实世界中的复杂现象。
随着科学技术的不断发展，分数阶微积分的应用前景将更加广阔。
未来，分数阶微积分的研究和应用可能会涉及更多的领域，例如、大数据分析、化学反应动力学等。
随着分数阶微积分理论的不断完善，其应用也将越来越成熟和广泛。
因此，我们应该积极学习和掌握分数阶微积分这一重要的数学技能，为未来的科学研究和工程实践打下坚实的基础。
引言分数阶微积分是一种扩展了传统整数阶微积分概念的数学工具，它允许我们处理具有非整数阶导数的函数。
在过去的几十年里，分数阶微积分在物理学、工程学、生物学等许多领域发现了广泛的应用。
分数阶微积分发展现状及展望
分数阶微积分发展现状及展望分数阶微积分是传统微积分的推广和拓展，它不仅包含了整数阶的微积分概念和方法，还引入了分数阶导数和分数阶积分的概念。
分数阶微积分的发展历程可以追溯到18世纪末，但在过去几十年里，由于计算机技术的快速发展和实际应用需求的推动，分数阶微积分得到了极大地关注和发展。
从教学方面来看，分数阶微积分开始被引入一些高校的课程设置中。
在一些数学、物理、工程和生物等领域的课程中，分数阶微积分被用来对现实问题进行建模和分析。
一些教材和教学资源也开始出现，帮助学生理解和应用分数阶微积分。
从理论研究方面来看，分数阶微积分的理论基础已经逐渐完善。
分数阶导数的定义和性质已经被广泛研究和讨论，分数阶积分的求解方法和性质也得到了进一步的探索。
同时，分数阶微积分和其他数学分支的关系（如数值计算、泛函分析等）也得到了深入的研究。
从应用方面来看，分数阶微积分在各个领域都得到了广泛应用。
例如，分数阶微积分可用于描述非线性、非局域和非平稳系统中的动力学行为，广泛应用于混沌系统、信号处理、图像处理等领域。
另外，分数阶微积分还在金融、生物医学、力学、材料科学等领域中得到了应用。
许多实际问题的建模和分析需要使用分数阶微积分的方法。
展望未来，分数阶微积分仍然存在一些挑战和机遇。
一方面，分数阶微积分的教学仍然相对滞后，需要进一步推广和普及。
多样化和个性化的教学方法、教材和教学资源的开发是当前的重要任务。
另一方面，分数阶微积分的理论研究还有很大的发展空间，需要深入研究分数阶微积分的性质、方法和应用。
分数阶微积分与其他数学分支的交叉研究也是未来的一个重要方向。
另外，随着科技的进步和应用需求的增加，分数阶微积分的应用前景也非常广阔，可以进一步推动分数阶微积分的发展。
总结起来，分数阶微积分是传统微积分的推广和拓展，已经在教学、理论研究和应用方面取得了一定的成果。
未来的发展需要进一步推广和普及分数阶微积分的教学，深入研究理论和方法，并进一步拓展分数阶微积分的应用领域。
分数阶微积分的产生及演变
四 Caputo分数阶微积分
五 空间分数阶拉普拉斯算子的Riesz 定义
六 总结
分数阶微积分的理论主要的研究内容包括： (1)分数阶微积分定义的修正与完善。现在分数 阶微积分的定义有十几种，而这些定义之间又 存在密切的联系。但是，由于定义的使用范围、 涉及的初值条件等不相同，所以在应用方面存 在一些不确定性，因此分数阶微积分定义的分 类与统一是一项非常有意义的开创性工作。
(2)分数阶微积分的数值求解、分数阶微积分定 义的扩展与延伸(如分形导数的一些性质与分析； 正定分数阶微积分的性质与应用)。 (3)分数阶微积分不同于整数阶微积分的性质研 究，分数阶微积分的积分变换，如傅里叶变换、 拉普拉斯变换、z变换等。以上都是分数阶微积 分理论研究的重要方向。
现在，虽然分数阶微积分的定义已被提出， 但是分数阶微积分的理论体系还有待进一步的 扩充与完善，如时间分数阶微积分定义的统一 问题。空间分数阶导数的定义问题更为严重， 在现阶段，空间分数阶微积分的定义在数值计 算中较为使用的是Grunwald-Letnikov定义与 Riesz-Feller定义，其次是Riemann-Liouville定义。 多维空间分数阶定义方面，比较成功的是分数 阶拉普拉斯定义，但是该定义也比较繁琐，现 阶段还未见应用到微分方程的求解中。
进入21世纪以来，分数阶微积分建模方法 和理论在高能物理、反常扩散、复杂粘弹性材 料力学本构关系、系统控制、流变性、地球物 理、生物医学工程、经济学等诸多领域有了若 干非常成功的应用，凸显了其独特优势和不可 代替性，其理论和应用研究在国际上已成为一 个热点。
另外，分数阶微积分的非局域性质，导致 分数阶导数控制方程数值模拟的计算量和存储 量随问题规模的增大而增加得比相应整数阶方 程快得多，一些计算整数阶方程十分有效的数 值方法对分数阶方程也完全失效。而且，目前 大多数的分数阶微积分方程模型还是唯象模型， 其内在的物理和力学机理还不是很清楚，有待 进一步的深入研究。
多尺度分数阶微积分模型及其应用
多尺度分数阶微积分模型及其应用随着科技的不断发展，许多传统的学科正在被更新和改进。
微积分作为数学的基础学科，在现代科技应用中有着越来越广泛的应用。
随着数据和信息时代的到来，越来越多需要对时间序列数据分析和处理的问题出现了，而这些问题无法用传统的微积分方法解决。
因此，分数阶微积分应运而生。
基于分数阶微积分的方法具有分形特性和非局域化特性，拥有更合理的数学描述。
而多尺度分析方法则可以更好地揭示时间序列的动态信息，从而更精确地进行时间序列建模、处理和预测等应用。
因此，结合分数阶微积分和多尺度分析成为时序建模领域的热点。
多分辨率分数阶微积分模型以国内外学者研究的多分辨率分数阶微积分模型为例，这是将分数阶微积分与多分辨率分析相结合的一种理论和方法。
针对实际问题，可以根据问题要求选择不同的分辨率，从而建立出相应的多分辨率分数阶微积分模型。
多分辨率分数阶微积分模型最基础的流程如下：首先，将原始的时间序列分解为多个不同分辨率的序列；然后，分别对这些序列进行分数阶微积分处理；最后，将处理好的序列重新组合起来得到整个时间序列的分数阶微积分模型。
这种模型在参数确定方面更加普适，并具有更广泛的适用性。
应用多分辨率分数阶微积分模型及其扩展形式已经被广泛应用于多个领域。
下面列举几个具体领域的实际应用案例。
金融领域：随着金融市场环境不断变化，如何对市场风险进行准确预测成为重要的研究课题。
多分辨率分数阶微积分模型可以用于股票价格的预测，以及量化投资和交易的决策支持。
其中，多分辨率分数阶随机游动模型（MRSW）是一种典型的方法，其可以更好地处理金融数据的波动性和长期依赖性等特点。
信号处理领域：多分辨率分数阶微积分模型在信号处理领域也有很好的应用前景。
一般而言，信号的时域和频域信息要么直接从信号中提取，要么通过傅里叶变换等方法转换到频域。
但是，这种转换可能会导致信息损失。
而多分辨率分数阶微积分模型可以更全面地考虑时域和频域的多尺度特性，从而更好地提取信号的时频信息。
数学物理学中的分数阶微积分研究
数学物理学中的分数阶微积分研究分数阶微积分是一个比较新颖的研究领域，它将常规的微积分理论推广到了分数维度。
分数阶微积分的研究涉及到多个领域，其中数学和物理都是重要的一部分。
在这篇文章中，我将主要讨论分数阶微积分在数学物理学中的应用和研究进展。
什么是分数阶微积分？分数阶微积分（Fractional Calculus）是指将微积分的概念和方法推广到实数或复数阶的情况。
传统微积分只考虑了整数次导数，而分数阶微积分考虑了任何实数或复数次导数，包括非整数次。
因此，它拥有更广泛的适用范围和更大的内在复杂性。
分数阶微积分的研究历史悠久，早在18世纪，德国数学家利奥波德·欧拉就开始研究分数阶导数，但是这个领域的研究成果并不多。
直到20世纪60年代，分数阶微积分在电学、热力学、流体力学、地震学等领域得到了广泛应用，引起了学者们的广泛兴趣。
自此，分数阶微积分开始成为一门独立的学科，并在不同领域中取得了广泛应用和深入研究。
分数阶微积分在数学物理学中的应用分数阶微积分的发展和应用受到了数学和物理学界的广泛关注，其应用也十分广泛，尤其是在数学物理学中。
分数阶微积分的应用范围涉及微分方程、泛函分析、概率论、积分学等多个领域，它在科学研究中的作用越来越重要。
在物理学中，分数阶微积分的应用相对比较广泛。
以热传导方程为例，传统的热传导方程只能描述整数维空间的扩散和传输过程，而在分数阶微积分的框架下，可以更加准确地描述非整数维度下的扩散、传递和热流等现象，从而更准确地预测和解释一些复杂的物理现象。
除此以外，分数阶微积分在流体力学、声学、结构力学、生态学等领域也有广泛的应用。
分数阶微积分的应用不仅可以推广传统微积分的方法，更可以更好地描述一些现实中复杂的物理现象，为学者提供更准确的理论基础。
分数阶微积分的研究进展如今，分数阶微积分已经成为数学物理学研究的一个重要分支，其研究领域和方法不断丰富和完善。
国内外的学者们纷纷加入到了这一领域的研究中，各种新理论和新方法也相继涌现。
分数阶微积分在图像处理中的研究综述
百家论点分数阶微积分在图像处理中的研究综述白宜禾（西安培华学院，陕西西安710125）摘要：在图像边缘纹路处理工作开展的实践性工作流程之中，为了突出相应纹路处理对象的最终成效，分数阶微积分计算模式在处理环节中的应用频率逐年提升。
本文将微积分在图像处理中的应用作为主要的研究对象。
结合目前国内有关微积分合成模式研究所得的相关技术理论，将理论性研究成果在图像处理实践性工作流程中的应用方式，做出了详细的分析和介绍。
关键词：分数阶微积分；图像处理；应用；分析1引言分数阶微积分是与整数存在形式微积分定理，相对应而存在的理论性研究结果，是原创于美国数学研究领域的一大研究突破。
在社会进入21世纪知识经济的发展进程后，微积分在社会各个生产领域信息技术手段中的应用，已经逐渐成为技术人员提升自身工作时效的有效途径之一。
将分数阶微积分结合应用在图像处理工作之中，就是在这一社会背景下产生的。
2分数阶微积分的研究理论分析2.1分数阶微积分的基本概念界定目前数学理论研究领域中关于分数阶微积分的基本定义，众多研究学者尚未形成统一的认知观念。
基于各个研究人员在分数阶微分研究方面立足的视角和出发点的各不相同，相应概念界定的存在形式也会有所差别。
纵观目前世界范围内有关分数阶微积分理论研究所提出的成果，通常存在三种较为经典的概念界定形式。
GL微积分概念的定义形式、RL微积分基本概念的界定，以及CP基本微积分构成理论研究结果的提出，都是目前应用频率较高的分数阶微积分概念的界定方法。
2.2分数阶微积分方程式的分类由于分数阶微积分方程式构成概念界定方式的各不相同，在实际运算过程之中，可以被工作人员灵活应用的计算方程式，也有多种各不相同的构成形式。
在众多方程式构成形式之中，将时间分数阶参数作为参照依据组建而成的方程式相对较为特别[1]。
与传统微积分方程式的构成模式相比较而言，这一新型微积分方程的构架方式，对时间和空间的偏导型数据信息进行了高度融合重整。
分数阶微积分及分数阶方程初步研究
分数阶微积分及分数阶方程初步研究[摘要]分数阶微积分及分数阶方程是当今国内外研究的最热的研究课题，理论及相关问题的研究还处在初级阶段。
本文旨在通过引入分数阶导数及其相关问题，初步介绍和研究了分数阶微积分的若干性质。
本文分别给出分数阶导数常见的四种定义：Grünwald-Letnikov分数阶导数定义、Riemann-Liouville分数阶导数定义、Caputo分数阶导数定义、Weyl分数阶导数定义，讨论了其联系与区别。
在整数阶微积分的基础上进一步延伸了Riemann-Liouville分数阶导数定义下分数阶的运算法则、基本性质。
最后简要介绍了线性分数阶微分方程初值问题解的唯一存在性。
[关键词] 分数阶导数；分数阶方程；Grünwald-Letniko分数阶导数；Riemann-Liouville分数阶导数；Caputo分数阶导数.Preliminary studies of fractional calculus and fractional equation[Abstract]Fractional Calculus and Fractional equations are the hottest research topic in today's domestic and international research, theoretical and related issues is still in its infancy.This paper aims to introduce fractional derivatives and related issues, initial presentation and study some properties of fractional calculus.This article gives four common definition of the fractional derivatives : Grunwald Letnikov fractional derivative , Riemann Liouville fractional derivative, Caputo fractional derivative, Weyl fractional derivative and the relation and distinction between them. On the basis of the integer-order calculus,further extend the fractional algorithms and basic nature under the definition of the Riemann-Liouville fractional derivative. Finally,briefly introduced the existence and uniqueness of the solutions of linear fractional differential equations.[Keywords]F ractional derivative;Fractional equations; Grünwald-Letnikov fractional derivative;Riemann-Liouville fractional derivative;Caputo fractional derivative.1 引言 (1)1.1分数阶导数的研究背景、意义 (2)1.2分数阶微积分理论的研究现状 (2)1.3 本文的组织结构 (3)2 分数阶微积分的基本概念 (3)2.1 Grünwald-Letnikov分数阶导数定义 (3)2.2 Riemann-Liouville分数阶导数定义 (4)2.3 Caputo分数阶导数定义 (6)2.4 Weyl分数阶导数定义 (6)2.5三种分数阶导数的关系及其与整数阶导数的区别 (8)2.5.1Riemann-Liouville定义与Grünwald-Letnikov定义的比较 (8)2.5.2Grünwald-Letnikov定义和Caputo定义的比较 (10)2.5.3Riemann-Liouville定义和Caputo定义的比较 (11)2.5.4分数阶导数和整数阶导数的比较 (12)3分数阶导数的运算法则 (13)3.1分数阶导数在Riemann-Liouville定义下的运算法则 (13)3.2分数阶导数在其他定义下运算法则探讨 (16)4分数阶导数和积分的基本性质 (17)4.1分数阶微积分的性质 (17)4.2分数阶导数、积分的奇偶性及周期性 (17)5分数阶方程的初步研究 (19)5.1序列分数阶导数 (19)5.2线性分数阶微分方程 (20)结论 (24)致谢语 (24)[参考文献] (17)1.1分数阶导数研究背景、意义整数阶导数以及积分的概念是大家所熟知的。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
分数阶微积分发展现状及展望
在数学领域中，大体分为五种研究方向：基础数学，应用数学，计算数学，概率论与数理统计，统计学与控制论。
这五个方向对数学在当代的发展都有不可或缺的作用。
从研究内容来讲，方程、算子、群论、图论、代数、几何等等都是数学领域重要的研究对象。
作为基础数学专业分数阶微分方程方向的博士生，本文将从分数阶微分方程的发展的历史及现状、本人对分数阶微分方程未来发展的看法来介绍分数阶微分的基本知识。
(一)、发展历史及现状
牛顿和莱布尼兹发明的微积分是现代数学与古典数学的分水岭。
分数阶微积分是关于任意阶微分和积分的理论，它与整数阶微积分是统一的，是整数阶微积分的推广。
整数阶微积分作为描述经典物理及相关学科理论的解析数学工具已为人们普遍接受，很多问题的数学模型最终都可以归结为整数阶微分方程的定解问题，其无论在理论分析还是数值求解方面都已有了比较完善的理论。
但当人们进入到复杂系统和复杂现象的研究时，经典整数阶微积分方程对这些系统的描述将遇到一些问题，如：需要构造非线性方程，并引入一些人为的经验参数和与实际不符的假设条件；因材料或外界条件的微小改变就需要构造新的模型等等。
基于以上原因，人们迫切期待着有一种可用的数学工具和可依据的基本原理来对这些复杂系统进行建模。
分数阶微积分方程非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料和过程，其对复杂系统的描述具有建模简单、参数物理意义清楚、描述准确等优势，因而成为复杂力学与物理过程数学建模的重要工具之一。
对大多数研究人员和工程师而言，分数阶微积分也许还是比较陌生的，但它实际上早在300多年前就被提出。
1695年9月，洛必达（L’Hospital）在给莱布尼兹的著名信件中就写到“对于简单的线性函数f(x)=x，如果函数导数次数为分数而不是整数那会怎样”。
这是公认的第一次提及分数阶微分。
1832年，刘维尔（Liouville）成功的应用了自己提出的分数阶导数的定义，解决了势理论问题。
之后刘维尔发表的一系列文章使他成为分数阶微积分理论的实际级创始人。
1974年，Oldham与Spanier出版了第一本关于分数阶微积分理论的专著。
在近三个世纪里，对分数阶微积分理论的研究主要在数学的纯理论领域里进行，但是从近几十年，分数阶微分方程越来越多的被用来描述光学和热学系统、流变学及材料和力学系统、信号处理和系统识别、控制和机器人及其他应用领域中的问题。
分数阶微积分理论也受到越来越多的国内外学者的广泛关注，特别是从实际问题抽象出来的分数阶微分方程成为很
多数学工作者的研究热点。
随着分数阶微分方程在越来越多的科学领域里出现，无论对分数阶微分方程的理论分析还是数值计算的研究都显得尤为迫切。
但是目前分数阶微积分的实际工程应用存在许多障碍，很重要的一个原因是分数阶微积分的数学基础仍未完善。
目前就数学领域而言，分数阶微积分存在的主要问题有:多种分数阶微分算子定义形式，在实际应用中都各有优势，尚不能做到统一；在理论研究方面，几乎所有结果全都假定了满足李氏条件，而且证明方法也和经典微积分方程一样，换句话说，这些工作基本上可以说只是经典微积分方程理论的一个延拓。
对分数阶微分方程的定性分析很少有系统性的结果，大多只是给出了一些非常特殊的方程的求解，且常用的求解方法都具有局限性。
在数值求解方面，现有分数阶方程数值算法还很不成熟，主要表现为：（1）在数值计算中一些挑战性难题仍未得到彻底解决，如长时间历程的计算和大空间域的计算等；（2）成熟的数值算法比较少，现在研究较多的算法主要集中在有限差分方法与有限单元；（3）未形成成熟的数值计算软件，严重滞后于应用的需要。
(二)、对未来发展的看法
鉴于此目前分数阶微积分发展的现状及主要问题，我认为未来分数阶微积分的发展要抓住几个关键点：（1）分数阶微积分还处在探索阶段，其理论体系还需要进一步扩充和完善。
这也是我们方向未来的主要工作。
（2）分数阶微积分作为一种新颖的数学工具，在应用来解决物理、力学、生物、信号处理、材料等学科问题还任重而道远。
未来要着重于理论研究与实际应用相结合。
（3）在数值计算方面应发展新数值算法，特别是在保证计算可靠性和精度的前提下，提高计算效率，解决分数阶微分方程计算量和存储量过大的难点问题，发展相应的计算力学应用软件成为迫切需要关注的课题。