分数阶微积分的历史背景
微积分产生的历史背景课件人教新课标(4)
现代科技的推动力
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
牛顿、莱布尼茨之前的微积分方法
微积分理论的建立聚集了许许多多数学 家的努力，如： 开普勒的求积术 卡瓦列里不可分量原理 笛卡儿求切线方程的“圆法” 费马求极大、极小值的方法 巴罗的“微分三角形” 沃利斯的“无穷算术”
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现代科技的推动力
凡此一切都归结为如下一些基本问题： 1、确定非匀速运动物体的速度和加速度需要研究瞬时变化 率问题； 2、望远镜的设计需要确定透镜曲面上任一点的法线因而需 要研究曲线的切线问题； 3、确定炮弹的最大射程等需要研究最大、最小值； 4、确定行星运行的路程、向径扫过的面积等又需要计算曲 线长、曲边图形的面积等。
微积分产生的历史背景
17世纪最伟大的数学成绩是微积分的发明。微积分 是描述运动过程的数学，它的产生为力学、天文学以及 后来的电磁学等提供了必不可少的工具。
微积分产生的前提有两个：几何坐标和函数概念。 而这两个方面由于笛卡儿和费马等人的工作，其基础已 基本具备。
微积分及其产生条件
对微积分的发明起了直接推动作用的是现代科技的发展。 1、17世纪，开普勒提出行星运行定律，从数学上推证这些 定律成了当时自然科学的中心课题； 2、伽利略的自由落体定律、动量定律、抛物体运动性质等也 激起了人们用数学方法研究动力学的热情。
微积分创立的背景与过程
微积分创立的背景与过程微积分是一门综合性的数学学科，它是由牛顿、莱布尼茨等数学家在17世纪末发明的。
微积分的发明是为了解决物理学中的一些问题，如速度、加速度等，因此，它是在物理学的研究中发展起来的。
微积分是研究函数和它们的变化率、极限、积分等的一门数学学科。
微积分的创立过程、背景和发展历程是非常复杂的，这篇文章将从以下几个方面进行介绍。
1. 微积分的背景微积分的发展背景是欧洲文艺复兴时期的科学繁荣。
在这个时期，人们开始追求自由和民主，同时也开始研究自然界和宇宙的规律。
牛顿、莱布尼茨等数学家在这个时期提出了微积分的概念，为物理学和其他科学领域的研究提供了新的数学工具。
2. 微积分的发展过程微积分的发展过程非常漫长，它由牛顿、莱布尼茨等数学家在不同的时间、不同的地方进行研究。
牛顿在1665年至1666年间，在农村避瘟疫的时候，开始研究运动的规律。
他发现物体的速度在不断变化，而速度的变化率就是加速度。
牛顿发明了微积分的基本概念，即导数和积分，从而解决了运动学中的很多问题。
莱布尼茨则在牛顿之后，于1675年左右独立发明了微积分。
他发现导数和积分是可以互相转换的，从而大大简化了微积分的运算。
莱布尼茨还发明了微积分符号，这使得微积分的表达更加简单和精确。
3. 微积分的应用微积分的应用非常广泛，它是物理学、工程学、经济学、生物学、化学等学科中不可或缺的工具。
在物理学中，微积分可以用来研究物体的运动、力学、电磁学等问题。
在工程学中，微积分可以用来设计建筑物、桥梁、道路等。
在经济学中，微积分可以用来研究市场供求关系、价格变动等。
在生物学中，微积分可以用来研究动植物的生长、繁殖等。
在化学中，微积分可以用来研究化学反应的速率、平衡等。
微积分的发明是人类智慧的结晶，它在解决物理学和其他科学领域的问题中发挥了重要作用。
微积分的发展历程是一个漫长而复杂的过程，但它对人类的进步和发展做出了巨大的贡献。
微积分建立的时代背景和历史意义
微积分建立的时代背景和历史意义微积分（Calculus）是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支。
它是数学的一个基础学科。
内容主要包括极限、微分学、积分学及其应用。
微分学包括求导数的运算，是一套关于变化率的理论。
它使得函数、速度、加速度和曲线的斜率等均可用一套通用的符号进行讨论。
积分学，包括求积分的运算，为定义和计算面积、体积等提供一套通用的方法。
微积分学基本定理指出，微分和积分互为逆运算，这也是两种理论被统一成微积分学的原因。
我们可以以两者中任意一者为起点来讨论微积分学，但是在教学中，微分学一般会先被引入。
微积分学是微分学和积分学的总称。
它是一种数学思想，‘无限细分’就是微分，‘无限求和’就是积分。
无限就是极限，极限的思想是微积分的基础，它是用一种运动的思想看待问题。
比如，子弹飞出枪膛的瞬间速度就是微分的概念，子弹每个瞬间所飞行的路程之和就是积分的概念。
如果将整个数学比作一棵大树，那么初等数学是树的根，名目繁多的数学分支是树枝，而树干的主要部分就是微积分。
微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。
极限和微积分的概念可以追溯到古代。
到了十七世纪后半叶，牛顿和莱布尼茨完成了许多数学家都参加过准备的工作，分别独立地建立了微积分学。
他们建立微积分的出发点是直观的无穷小量，理论基础是不牢固的。
直到十九世纪，柯西和维尔斯特拉斯建立了极限理论，康托尔等建立了严格的实数理论，这门学科才得以严密化。
微积分是与实际应用联系着发展起来的，它在天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学等多个分支中，有越来越广泛的应用。
特别是计算机的发明更有助于这些应用的不断发展。
客观世界的一切事物，小至粒子，大至宇宙，始终都在运动和变化着。
因此在数学中引入了变量的概念后，就有可能把运动现象用数学来加以描述了。
由于函数概念的产生和运用的加深，也由于科学技术发展的需要，一门新的数学分支就继解析几何之后产生了，这就是微积分学。
分数阶微积分的历史背景
分数阶微积分的历史背景一、微积分学的创立微积分学作为一门高等数学的基础学科，是在十七世纪产生的。
微积分的基本概念和内容包微分学积分学。
但是早在公元前三世纪，就已经出现过利用微积分思想解决问题的实例了，如庄子在天下篇中曾记载“一尺之锤,日取其半,万世不竭”，阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠的面积以及旋转双曲体的体积问题中，都体现了极限的概念。
十七世纪，人们面临着许多新的数学问题，比如求瞬时速度的问题等，这些问题促成了微积分的产生，当时有许多著名的数学家都为了解决相关问题做了大量的研究，其中莱布尼茨和牛顿的成就尤为突出。
1666年，莱布尼茨写成“论组合术”(De ArtCombinatoria)一文，讨论了平方数序列0，1，4，9，16，…的性质，例如它的第一阶差为1，3，5，7，…，第二阶差则恒等于2，2，2，…等．他注意自然数列的第二阶差消失，平方序列的第三阶差消失，等等．同时他还发现，如果原来的序列是从0开始的，那么第一阶差之和就是序列的最后一项，如在平方序列中，前5项的第一阶差之和为1+3+5+7=16，即序列的第5项．他用X表示序列中项的次序，用Y表示这一项的值．这些讨论为他后来创立微积分奠定了初步思想，可以看作是他微积分思想的萌芽．“论组合术”是他的第一篇数学论文，使他跻身于组合数学研究者之列。
流数(fluxion)1665年5月20日，英国杰出物理学家牛顿第一次提出“流数术”（微积分），后来世人就以这天作为“微积分诞生日”。
牛顿将古希腊以来求解无穷小问题的种种特殊方法统一为两类算法：正流数术（微分）和反流数术（积分），反映在1669年的《运用无限多项方程》、1671年的《流数术与无穷级数》、1676年的《曲线求积术》三篇论文和《原理》一书中，以及被保存下来的1666年10月他写的在朋友们中间传阅的一篇手稿《论流数》中。
所谓“流量”就是随时间而变化的自变量如x、y、s、u等，“流数”就是流量的改变速度即变化率，写作等。
riemann-liouvile}型分数阶微积分
Riemann-Liouville型分数阶微积分是近年来微积分领域的一个热门研究方向，它延续了传统微积分理论的思想，同时又拓展了微积分的应用范围。
本文将通过对Riemann-Liouville型分数阶微积分的理论基础、应用与研究进展等方面进行系统的介绍，旨在加深对这一领域的理解，促进读者对分数阶微积分的探索与应用。
一、Riemann-Liouville型分数阶微积分的基本概念1.1 分数阶微积分的起源和发展背景分数阶微积分作为微积分的一种新的分支，在20世纪引起了学术界的广泛关注。
它的研究起源于对非整数阶微分方程的求解问题，随着分数阶微积分理论的不断发展，逐渐涉及到了信号处理、控制系统、金融工程等众多领域。
1.2 Riemann-Liouville型分数阶微积分的定义Riemann-Liouville型分数阶微积分是分数阶微积分理论中最经典的一种类型，其定义如下：对于函数f(x)和实数α，Riemann-Liouville型分数阶积分的定义如下：\[D^{\alpha}_{a+}f(x)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)}\int_{a}^{x}(x-t)^{n-\alpha-1}f(t)dt\]1.3 Riemann-Liouville型分数阶微积分的性质及其意义Riemann-Liouville型分数阶微积分具有一系列与传统整数阶微积分不同的性质，如线性性质、微分学基本定理、分部积分等。
这些性质的存在使得Riemann-Liouville型分数阶微积分在实际问题中具有更加灵活的应用。
二、Riemann-Liouville型分数阶微积分的应用2.1 信号处理中的应用在信号处理领域，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于分析非平稳信号和非线性系统，提高信号处理的精度和效果。
2.2 控制系统中的应用在控制系统理论中，Riemann-Liouville型分数阶微积分可以用于描述复杂系统的动态特性，并设计出更加优越的控制算法，提高控制系统的稳定性和鲁棒性。
微积分产生的历史背景
微积分发生的汗青配景数学中的转机点是笛卡尔的变数，有了变数，活动进入了数学，有了变数，辩证法进入了数学，有了变数，微分学跟积分学也就破即成为须要的了，而它们也就破即发生，同时是有牛顿跟莱布尼兹年夜要上实现的，但不是由他们创造的。
恩格斯从15世纪初欧洲文艺振兴时代起，产业、农业、帆海奇迹与商贾商业的年夜范围开展，构成了一个新的经济时代，宗教变革与对教会思维监禁的疑心，西方进步的迷信技巧经过阿拉伯的传入，以及拜占庭帝国毁灭后希腊少量文献的流入欧洲，在事先的常识阶级眼前出现出一个完整斩新的相貌。
而十六世纪的欧洲，正处在资源主义抽芽时代，消费力掉掉了非常年夜的开展，消费理论的开展向天然迷信提出了新的课题，急切请求力学、地理学等根底学科的开展，而这些学科基本上深入依附于数学的，因此也推进的数学的开展。
迷信对数学提出的各种请求，最初汇总成车个中心咨询题：（1）活动中速率与间隔的互求咨询题〔多少何演示〕即，已经明白物体挪动的间隔S表为时间的函数的公式S=S〔t〕,求物体在恣意时辰的速率跟减速率；反过去，已经明白物体的减速率表为时间的函数的公式，求速率跟间隔。
这类咨询题是研讨活动时直截了当出现的，艰苦在于，所研讨的速率跟减速率是时时刻刻都在变更的。
比方，盘算物体在某时辰的刹时速率，就不克不及象盘算均匀速率那样，用活动的时间去除挪动的间隔，因为在给定的霎时，物体挪动的间隔跟所用的时间是0，而0/0是有意思的。
然而，依照物理，每个活动的物体在它活动的每一时辰必有速率，这也是无疑的。
已经明白速率公式求挪动间隔的咨询题，也碰到异样的艰苦。
因为速率时时刻刻都在变更，因此不克不及用活动的时间乘恣意时辰的速率，来掉掉物体挪动的间隔。
（2）求曲线的切线咨询题〔多少何演示〕那个咨询题自身是纯多少何的，并且对于迷信使用有宏年夜的主要性。
因为研讨地理的需求，光学是时十七世纪的一门较主要的迷信研讨，透镜的计划者要研讨光芒经过透镜的通道，必需明白光芒入射透镜的角度以便使用反射定律，这里主要的是光芒与曲线的法线间的夹角，而法线是垂直于切线的，因此老是就在于求出法线或切线；另一个触及到曲线的切线的迷信咨询题出现于活动的研讨中，求运植物体在它的轨迹上任一点上的活动偏向，即轨迹的切线偏向。
分数阶微积分的历史与发展
分数阶微积分的历史与发展摘要：分数阶微积分作为一种新的数学分支，近年来备受关注。
分数阶微积分与整数阶微积分相比，其具有更广泛的应用领域，如控制论、力学、经济学、生物医学等。
本文主要介绍了分数阶微积分的历史、发展及其应用领域，并分析了其未来发展趋势。
本文的目的是为读者提供对分数阶微积分的基本认识和启发。
关键词：分数阶微积分，历史，发展，应用领域，未来趋势一、分数阶微积分的历史分数阶微积分的出现，是为了解决传统整数阶微积分难以处理的问题而产生的。
实际上，很多现象和系统的行为不能用整数阶微积分来刻画，反而可以用非整数阶微积分来描述。
比如，分数阶微积分可以处理无界增长的数据，比如空气质量指数、绿色产业数据，分数阶微积分还可以处理非线性行为的系统，比如人口增长理论、化学反应系统。
分数阶微积分更能够处理系统之间的耦合关系，例如，它可用于描述经济中提高关税的决策对不同国家经济的影响。
分数阶微积分的历史可以追溯到1695年，Leibniz和L'Hôpital在处理常微分方程时首次提出了非整数阶导数的概念。
19世纪中叶，Grünwald和Letnikov独立地研究了分数阶导数，并提出了一种数值计算方法，即Grünwald-Letnikov导数。
20世纪初，Riesz研究了分数阶微积分的理论，并提出了一种新的导数定义，即Riesz导数。
1959年，Samoilov首次应用分数阶微积分理论解决了具有记忆效应的动态问题。
分数阶微积分的引入是为了使电力系统更加稳定。
在 19 世纪时，对于实际技术问题，整数阶微积分已成为解决这一问题的主要工具。
然而，在 20 世纪60 年代末到 70 年代初期，一些科学家发现，现实生活中很多现象不能用整数阶微积分来解释，于是，引入了分数阶微积分。
分数阶历史的成因：1、时代趋势：在数字化时代，人们对时间的刻划更加准确、更加精细，因此，在历史研究领域，分数阶历史逐渐得到了应用。
（二）分数阶微积分
（⼆）分数阶微积分2.1 分数阶微积分的历史分数阶微积分已有300多年的历史，最早由L'Hospital 1695年9⽉30号在给Leibnitz 的信件中提出，经Euler,Lagrange,Lacroix,Fourier,Liouville,Riemman,Weyl 等数学家的⾟勤⼯作初步建⽴起来的,但数学理论仍有诸多不完善。
分数阶导数进展缓慢，直⾄近代分数阶微积分才有了较⼤的发展，这要归功于各种应⽤学科例如流体⼒学、控制论、⽣物学等的发展⼈们逐渐认识到了分数阶微积分的实际意义，近年来，分数阶微积分⼴泛应⽤于反常扩散、信号处理与控制、流体⼒学、图像处理特别是核磁共振成像、软物质研究、地震分析、分形理论、分数阶PID 控制器等，研究分数阶微积分的学者与专著也⽇益增多。
分数阶微积分的优点体现在下⾯的⼏个⽅⾯:1. 从数学上讲体现了历史发展的必然性。
2. 分数阶微积分具有记忆性。
3. 分数阶模型与现实世界更加吻合。
4. 与⾮线性模型⽐较,表达更加简洁。
2.2 分数阶导数的定义与计算分数阶导数的定义有很多种，最常⽤的有Riemman-Liouville 导数和Caputo 导数,在经典的微积分理论中易见D −n f (t )=1(n −1)!∫t a f (τ)(t −τ)n −1d τ=1Γ(n )∫t a f (τ)(t −τ)n −1d τ因此，定义分数阶积分D −βf (x )=1Γ(β)∫t a (t −τ)β−1f (τ)d τ,(β>0)a. 若利⽤导数与积分的关系（先积分后求导）,设m =[β]+1D β=D m D −(m −β)定义⾮整数Riemman-Liouville 分数阶导数为RL a D −βtf (x )=1Γ(m −β)d m dt m ∫t a (t −τ)m −β−1f (τ)d τb. 若利⽤导数与积分的关系（先求到后积分）D −β=D −(m −β)D m定义Caputo 导数C aD −βtf (x )=1Γ(m −β)∫t a (t −τ)m −β−1f (m )(τ)d τRemark ：其中k (t ,τ)=(t −τ)(m −β−1)称为记忆核函数.从上也可以看出Riemman 分数阶导数和Caputo 分数阶导数在数值计算可能会有所不同，因为⼀般D −m −αD m ≠D m D −(m −α) 例如常函数的Caputo 型分数阶导数为0⽽Riemman 型分数阶导数不为0.Caputo 型分数阶导数要求f (x )具有m 阶导数在数学上要求⽐Riemman 型分数阶导数要苛刻很多。
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• Sonin在莫斯科数学通报中提出“任意指标 的微分”。所有这些学者共同奠定了今天 普遍认可的R-L分数微积分基础。
• 1892年，另一个重要的进步是来Heavisid
的线性微分方程的算子解法．当他用L变换
• 由于在应用数学、材料力学、生物物理学 等方面提出分数阶微积分的应用背景，分 数阶微积分才被人们重视，特别是到1982 美籍法国数学家曼德尔布罗特 ((B.B.Mandelbrot)首次指出自然界和许多技 术科学中存在大量分数维的事实，并在整
体与部分之间存在自相似现象以后，分数
阶微积分作为分形几何和分数维动力学的
(1)自L’Hospital与Leibnitz从1695年通信到 1812年
• 这期间，虽然有Euler，Bernoulli等大家关 注，分数微积分仍然只是纯数学的一些议 论和猜想。
(2)1812～1974年
• 这个时期从逐渐提出分数微积分的相关概
念、名词，到给出确切定义和性质，导出
了为数不多但确有见地的实际应用，并于
假定之下，对 R，定义 t a 的 阶导数
D t a
1 a a
t
a
• 而Riemann在1847年对分数阶微积分的定义 作了进一步的补充，在他逝世后的28年， 即1892年，发表了他在学生时代研究的分 数积分理论。对 f t ，遗著给出的公式为
D
c
os
Px
adP
• 定义的任意阶导数为：
d
f x
dt
1
2
f ada cos(Px a )dP
2
• N. H. Abel在1823年求解一个积分方程的 过程中涉及到了分数阶微积分。
• 特别是1832年，Liouville才给出了分数阶 导数的第一个合理的定义，Liouville在给 出第一个应用例子的同时，给出了两个公 式，其中之一是由Gamma函数定义即在一些
分数阶微积分的历史背景
历史背景
• 分数阶微积分的出现己有300多年的历史，几乎 古典微积分的概念刚被提出，分数阶微积分就受 到众多学者的青睐。
• 1695年，法国的L’Hospital函询G W Leibnitz ，问 到导数的阶数为分数时如何理解？特别提到n=1/2 时d^ny/dx^n的含义是什么?这距Leibnitz发表首篇 微积分论文仅11年，它显然是一个难以回答的问 题。不过Leibnitz还是于1695年9月30日复了一 函．说了一些似是而非的猜测以后，他写道， “你可以这样看，分数导数可以在两整数阶导数 的阶数之间引入某种插入法(interpolation)”．这一 点虽然也是猜测，但毕竟用现在的手段做到了， 这封信历史上不止一次公开发表．此后大致分为 三个阶段：
基础和有力工具才获得了飞跃的发展，并
在松弛、振荡、控制系统、扩散和输运理
论、生物组织、高分子材料的解链、混沌
与湍流、随机游走、统计与随机过程、粘
弹性力学及非牛顿流体力学、电化学等诸 多领域得以应用。
• M.Zahle, N.Patzschke在应用分数阶微积分 于分形集方面作了很多工作，首先把分数 阶微积分应用于研究自仿函数，得到了自 仿函数的可导临界阶，并且深入研究了自 仿函数的分数阶微积分变换的阶与计盒维 数上界的关系，获得了很好的结果;其次， 把分数阶微积分理论有机的应用到随机过 程、自仿随机过程等方面，取得了深入的 结果。而这些领域的应用研究反过来又促 进了分数阶微积分的理论研究的进一步发 展，成为当前国际上的一个热点研究课题， 相信随着学科融合和细化的速度的不断加 快，分数阶微积分将会有更加广阔的发展 前景。
1974年出版了第一本分数微积分的专著。
• 期间，首先是1812年Laplace用积分定义一
个分数导数．1819年，他首次提到“任意
阶导数”名词．同年Laeroix给出y当 x
时，
1
d2y 2 x
1
dx 2
• 1822年Fourier用他自己的函数的积分表示
f
x
1
2
f
ada
式1
S2
去得到逆变换时，得到微分算子
1
1
D2
d2
1
dt 2
并且运用于电路理论之中，最终人们还是
把他的算子方法与分数微积分和分数微分
方程很好地联系起来 。
• 概括的说分数阶微积分最早有系统化的研 究是由Liouville (1832), Riemann(1853) 和Holmgren(1864)在19世纪初期和中叶完 成的，但Grunwald和Krug最先统一了 Liouville和Riemann分数阶微积分定义。 而针对分数阶微积分，后来人们又提出许 多不同的定义 ，例如Grunwald分数阶微积 分，Weyl-Marchaud分数阶微积分，局部分 数阶微分，Caputo分数阶微分等等。
• 并针对这些定义，类似经典微积分的研究， 研究了有关它们的一些性质。然而，由于 分数阶微积分缺少明确的物理意义且应用 前景不明朗而发展缓慢。
(3)1974年迄今
• 1974年以后，分数微积分与分数微分方程 无论是应用还是理论上都有飞速发展，应 用面越来越宽，出现了许多专著和论文集， 至少有20种以上，开始呈现全面推广常微 分方程乃至泛函微分方程的分数阶理论．
f
t
1
t
c
t
1
f
d
t
这与现在的R-L定义只差了一个Riemann称
之为“补充函数”的 t．他附加 t的原
意是想对不同的积分下限予以调整．几经
争论，终于去掉 t 。
• 此后，又有Weyl, Erdel，Sler，Letnikov 等数学家对分数阶微积分进行过专门的研 究。