2015年上海高考数学(文科)试题答案详解
【推荐】2015年上海市高考数学试卷(文科)
2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f （）=1﹣3sin 2的最小正周期为 ．2．（4分）设全集U=R ，若集合A={1，2，3，4}，B={|2≤≤3}，则A ∩B= ．3．（4分）若复数满足3+=1+i ，其中i 是虚数单位，则= ．4．（4分）设f ﹣1（）为f （）=的反函数，则f ﹣1（2）= ．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2= ．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= ． 7．（4分）抛物线y 2=2p （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．8．（4分）方程log 2（9﹣1﹣5）=log 2（3﹣1﹣2）+2的解为 ．9．（4分）若，y 满足，则目标函数=+2y 的最大值为 ．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．11．（4分）在（2+）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为﹣y 2=1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为 ．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是 ．14．（4分）已知函数f （）=sin ．若存在1，2，…，m 满足0≤1＜2＜…＜m ≤6π，且|f （1）﹣f （2）|+|f （2）﹣f （3）|+…+|f （m ﹣1）﹣f （m ）|=12（m ≥2，m∈N *），则m 的最小值为 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设1、2∈C ，则“1、2均为实数”是“1﹣2是实数”的（ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ） A ．（+8）（2+2+3）＜2 B ．+8＜2（2+2+3）C ．＜D ．＞17．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．18．（5分）设 P n （n ，y n ）是直线2﹣y=（n ∈N *）与圆2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（ ） A ．﹣1B ．﹣C ．1D ．2 三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P ﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．20．（14分）已知函数f （）=a 2+，其中a 为常数（1）根据a 的不同取值，判断函数f （）的奇偶性，并说明理由；（2）若a ∈（1，3），判断函数f （）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待．设t=t 1时乙到达P 地，t=t 2时乙到达Q 地．（1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤t 2时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t 1，t 2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记△AOC 的面积为S ．（1）设A （1，y 1），C （2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=|；（2）设l 1：y=，，S=，求的值；（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论l 1和l 2如何变动，面积S 保持不变．23．（18分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a n0≥a n （n ∈N*），求证：{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=3λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（）=1﹣3sin2的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（）=1﹣3sin2=1﹣3=﹣+cos2，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={|2≤≤3}，则A∩B= {2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={|2≤≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数满足3+=1+i，其中i是虚数单位，则= ．【分析】设=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3+=1+i ，∴3（a+bi ）+（a ﹣bi ）=1+i ，化为4a+2bi=1+i ，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴=． 故答案为：． 【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f ﹣1（）为f （）=的反函数，则f ﹣1（2）= ﹣ ．【分析】由原函数解析式把用含有y 的代数式表示，，y 互换求出原函数的反函数，则f ﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f （）=，得， ，y 互换可得，，即f ﹣1（）=． ∴． 故答案为：． 【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2= 16 ．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解， 即，则c 1﹣c 2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= 4 ．【分析】由题意可得（•a •a •sin60°）•a=16，由此求得a 的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a 的等边三角形，面积为•a •a •sin60°，正棱柱的高为a ， ∴（•a •a •sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y 2=2p （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y 2=2p （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1， 所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log 2（9﹣1﹣5）=log 2（3﹣1﹣2）+2的解为 2 ．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log 2（9﹣1﹣5）=log 2（3﹣1﹣2）+2，∴log 2（9﹣1﹣5）=log 2[4×（3﹣1﹣2）]，∴9﹣1﹣5=4（3﹣1﹣2），化为（3）2﹣12•3+27=0，因式分解为：（3﹣3）（3﹣9）=0，∴3=3，3=9，解得=1或2．经过验证：=1不满足条件，舍去．∴=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若，y 满足，则目标函数=+2y 的最大值为 3 ．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由=+2y 得y=﹣+，平移直线y=﹣+，由图象可知当直线y=﹣+经过点B 时，直线y=﹣+的截距最大， 此时最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数=+2y得=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，5=126种；在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=6种情况；其中只有女教师的有C6则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2+）6的二项式中，常数项等于240 （结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2． ∴常数项等于． 故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为﹣y 2=1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为．【分析】求出C 1的一条渐近线的斜率，可得C 2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C 1、C 2的顶点重合，可得C 2的方程．【解答】解：C 1的方程为﹣y 2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C 2的一条渐近线的方程为y=，因为双曲线C 1、C 2的顶点重合，所以C 2的方程为． 故答案为：． 【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++| 3+ ．【分析】分别以所在的直线为，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则2+y2=9，则++=（1+，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆2+y2=9上点（，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则2+y2=9，∴++=（1+，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆2+y2=9上点（，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，2+y2=4，∴++=（1+，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆2+y2=4上点（，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则2+y2=1∴++=（2+，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是在圆2+y2=1上取点（，y）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵，故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d（r为该圆的半径，d为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f （）=sin ．若存在1，2，…，m 满足0≤1＜2＜…＜m ≤6π，且|f （1）﹣f （2）|+|f （2）﹣f （3）|+…+|f （m ﹣1）﹣f （m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 8 ．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意i ，j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （i ）﹣f （j ）|≤f （）ma ﹣f （）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让i（i=1，2，3，…，m ）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值． 【解答】解：∵y=sin 对任意i ，j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （i ）﹣f （j ）|≤f （）ma ﹣f （）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点， 考虑0≤1＜2＜…＜m ≤6π，|f （1）﹣f （2）|+|f （2）﹣f （3）|+…+|f （m ﹣1）﹣f （m ）|=12，按下图取值即可满足条件，∴m 的最小值为8． 故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意i ，j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （i ）﹣f （j ）|≤f （）ma ﹣f （）min =2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设1、2∈C ，则“1、2均为实数”是“1﹣2是实数”的（ ） A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可． 【解答】解：若1、2均为实数，则1﹣2是实数，即充分性成立，当1=i ，2=i ，满足1﹣2=0是实数，但1、2均为实数不成立，即必要性不成立， 故“1、2均为实数”是“1﹣2是实数”的充分不必要条件， 故选：A ．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ）A ．（+8）（2+2+3）＜2B ．+8＜2（2+2+3）C ．＜D ．＞【分析】根据2+2+3=（+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于+8＜2（2+2+3），从而得出结论．【解答】解：由于2+2+3=（+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于+8＜2（2+2+3）， 故选：B ．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．【分析】根据三角函数的定义，求出∠OA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A 的坐标为（4，1），∴设∠OA=θ，则sin θ==，cos θ==，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则OB 的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B 的纵坐标为y=|OB|sin （θ+）=7（sin θcos+cos θsin）=7（×+）=+6=，故选：D ．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设 P n （n ，y n ）是直线2﹣y=（n ∈N *）与圆2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（ ） A ．﹣1B ．﹣C ．1D ．2【分析】当n →+∞时，直线2﹣y=趋近于2﹣y=1，与圆2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：当n →+∞时，直线2﹣y=趋近于2﹣y=1，与圆2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点Pn （n，yn）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆2+y2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选：A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P，底面圆为O，底面的一条直径为AB，C 为半圆弧的中点，E为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P﹣AOC的体积，并求异面直线PA和OE所成角的大小．【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高，底面积S△AOC又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（）=a2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f （）为非奇非偶函数． （2）∵a ∈（1，3），f （）=a 2+， ∴f ′（）=2a ﹣=，∵a ∈（1，3），∈[1，2]， ∴a ＞1， ∴a 3＞1， ∴2a 3﹣1＞0， ∴f ′（）＞0，∴函数f （）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O ，P ，Q 三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为f （t ）（单位：千米）．甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待．设t=t 1时乙到达P 地，t=t 2时乙到达Q 地． （1）求t 1与f （t 1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t 1≤t ≤t 2时，求f （t ）的表达式，并判断f （t ）在[t 1，t 2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP 长度除以乙的速度即可求得t 1=，当乙到达P 点时，可设甲到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f （t）；1=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，（2）求出t2并连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；）∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f （t ）=，；设g （t ）=25t 2﹣42t+18，，g （t ）的对称轴为t=；且；即g （t ）的最大值为，则此时f （t ）取最大值；即f （t ）在[t 1，t 2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆2+2y 2=1，过原点的两条直线l 1和l 2分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记△AOC 的面积为S ．（1）设A （1，y 1），C （2，y 2），用A 、C 的坐标表示点C 到直线l 1的距离，并证明S=|；（2）设l 1：y=，，S=，求的值；（3）设l 1与l 2的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论l 1和l 2如何变动，面积S 保持不变．【分析】（1）依题意，直线l 1的方程为y=，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l 1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|1y 2﹣2y 1|；（2）由（1）得：S=|1y 2﹣2y 1|=×|1﹣y 1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l 1的斜率为，则直线l 1的方程为y=，联立方程组，消去y 解得=±，可求得1、2、y 1、y 2，利用S=|1y 2﹣2y 1|=•，设=c （常数），整理得：4﹣2m 2+m 2=c 2[24+（1+4m 2）2+2m 2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=m ，则m 12=﹣y 1y 2，变形整理，利用A （1，y 1）、C （2，y 2）在椭圆2+2y 2=1上，可求得面积S 的值． 【解答】解：（1）依题意，直线l 1的方程为y=，由点到直线间的距离公式得：点C 到直线l 1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|1y 2﹣2y 1|；（2）由（1）A （1，y 1），C （2，y 2），S=|1y 2﹣2y 1|=×|1﹣y 1|=．所以|1﹣y 1|=，由12+2y 12=1， 解得A （，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由=，得=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l 1的斜率为，则直线l 2的斜率为，直线l 1的方程为y=， 联立方程组，消去y 解得=±，根据对称性，设1=，则y 1=，同理可得2=，y 2=，所以S=|1y 2﹣2y 1|=•，设=c （常数），所以（m ﹣2）2=c 2（1+22）（2+2m 2）， 整理得：4﹣2m 2+m 2=c 2[24+（1+4m 2）2+2m 2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=， 综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l 1、l 2的斜率分别为、，则=m ， 所以m 12=y 1y 2，∴m 2==m 12y 1y 2，∵A （1，y 1）、C （2，y 2）在椭圆2+2y 2=1上， ∴（）（）=+4+2（+）=1， 即（+4m ）12y 1y 2+2（+）=1，所以+﹣212y 1y 2=（1y 2﹣2y 1）2=[1﹣（4m+）12y 1y 2]﹣212y 1y 2 =﹣（2m++2）12y 1y 2，是常数，所以|1y 2﹣2y 1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=． 【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{a n }与{b n }满足a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），n ∈N *．（1）若b n =3n+5，且a 1=1，求{a n }的通项公式；（2）设{a n }的第n 0项是最大项，即a n0≥a n （n ∈N*），求证：{b n }的第n 0项是最大项；（3）设a 1=3λ＜0，b n =λn （n ∈N *），求λ的取值范围，使得对任意m ，n ∈N *，a n ≠0，且．【分析】（1）把b n =3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n =6，由此得到{a n }是等差数列，则a n 可求；（2）由a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1，结合递推式累加得到a n =2b n +a 1﹣2b 1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M 和最小值m ，再由∈（）列式求得λ的范围． 【解答】（1）解：∵a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ），b n =3n+5，∴a n+1﹣a n =2（b n+1﹣b n ）=2（3n+8﹣3n ﹣5）=6，∴{a n }是等差数列，首项为a 1=1，公差为6，则a n =1+（n ﹣1）×6=6n ﹣5；（2）∵a n =（a n ﹣a n ﹣1）+（a n ﹣1﹣a n ﹣2）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=2（b n ﹣b n ﹣1）+2（b n ﹣1﹣b n ﹣2）+…+2（b 2﹣b 1）+a 1=2b n +a 1﹣2b 1， ∴， ∴．∴数列{b n }的第n 0项是最大项；（3）由（2）可得， ①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n =1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。
2015年高考文科数学上海卷-答案
【解析】()1f x =【提示】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期【考点】二倍角公式，三角函数的周期【答案】{}1,4 【解析】{UB x =<{}1,4UAB =【提示】由A 与B ，找出两集合的交集即可. 【考点】集合交集及其基本运算11【解析】()2f x =【提示】由原函数解析式把【考点】反函数.1sin 60=162a a ⎫⎪⎭【考点】立体几何的基本运算. 【解析】抛物线上的动点到焦点的距离等于动点到准线的距离【解析】12log (9x -且又2log (95)-1433x --+g【解析】条件要求男、女教师都有142332363636C +C C +C C 4515=+数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案. 242246621(2)()C 2240x x ==. 求得r 值，则答案可求. 【解析】双曲线又C【解析】2a b c ++222a b c =++222a b a c b c +++22222a b c a c b c =++++2222()a b c c a b ++++,142cosc a b c a b c a b<+>=+++,1465cosc a b c a b<+>=++.2a b c ++的最大值为1465+. a b c ++的最大值为【提示】分别以a b ，所在的直线为【考点】平面向量的基本运算【解析】()sin 1f x x =当且仅当223())()f x x f x -+-m x ，满足120x x <<L 11【解析】22x x ++直接可得82(x +<它们的解集是相同的3112n b a +-)n λ-，。
[历年真题]2015年上海市高考数学试卷(文科)
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2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为．2．（4分）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B=．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a=．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．9．（4分）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中,常数项等于（结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是．14．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m ∈N*）,则m的最小值为．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件16．（5分）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞17．（5分）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．18．（5分）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．21．（14分）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．23．（18分）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题,满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4分,否则一律零分）1．（4分）（2015•上海）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式,再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解:∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x,∴函数的最小正周期为=π,故答案为:π．【点评】本题主要考查半角公式的应用,余弦函数的周期性,属于基础题．2．（4分）（2015•上海）设全集U=R,若集合A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},则A∩B= {2,3} ．【分析】由A与B,找出两集合的交集即可．【解答】解:∵全集U=R,A={1,2,3,4},B={x|2≤x≤3},∴A∩B={2,3},故答案为:{2,3}【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．【分析】设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解:设z=a+bi,则=a﹣bi（a,b∈R）,又3z+=1+i,∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i,化为4a+2bi=1+i,∴4a=1,2b=1,解得a=,b=．∴z=．故答案为:．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题．4．（4分）（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数,则f﹣1（2）=﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示,x,y互换求出原函数的反函数,则f﹣1（2）可求．【解答】解:由y=f（x）=,得,x,y互换可得,,即f﹣1（x）=．∴．故答案为:．【点评】本题考查了函数的反函数的求法,是基础的计算题．5．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为,则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到,是方程组的解,解方程组即可．【解答】解:由题意知,是方程组的解,即,则c1﹣c2=21﹣5=16,故答案为:16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a,且其体积为16,则a= 4．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16,由此求得a的值．【解答】解:由题意可得,正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a,∴（•a•a•sin60°）•a=16,∴a=4,故答案为:4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题．7．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,则p=2．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小,即可得出结论．【解答】解:因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1,所以=1,所以p=2．故答案为:2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．8．（4分）（2015•上海）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为2．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程,解出并验证即可．【解答】解:∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2,∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x ﹣1﹣2）],∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2）,化为（3x）2﹣12•3x+27=0,因式分解为:（3x﹣3）（3x﹣9）=0,∴3x=3,3x=9,解得x=1或2．经过验证:x=1不满足条件,舍去．∴x=2．故答案为:2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力,属于基础题．9．（4分）（2015•上海）若x,y满足,则目标函数z=x+2y的最大值为3．【分析】作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求z的最大值．【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z,平移直线y=﹣x+z,由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时,直线y=﹣x+z的截距最大,此时z最大．由,解得,即B（1,1）,代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为:3．【点评】本题主要考查线性规划的应用,利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值,利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）（2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血,要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．【分析】根据题意,运用排除法分析,先在9名老师中选取5人,参加义务献血,由组合数公式可得其选法数目,再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解:根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师,共9名老师,在9名老师中选取5人,参加义务献血,有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为:120．【点评】本题考查排列、组合的运用,本题适宜用排除法（间接法）,可以避免分类讨论,简化计算．11．（4分）（2015•上海）在（2x+）6的二项式中,常数项等于240（结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项,由x的指数为0求得r值,则答案可求．【解答】解:由（2x+）6,得=．由6﹣3r=0,得r=2．∴常数项等于．故答案为:240．【点评】本题考查了二项式系数的性质,关键是对二项展开式通项的记忆与运用,是基础题．12．（4分）（2015•上海）已知双曲线C1、C2的顶点重合,C1的方程为﹣y2=1,若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率,可得C2的一条渐近线的斜率,利用双曲线C1、C2的顶点重合,可得C2的方程．【解答】解:C1的方程为﹣y2=1,一条渐近线的方程为y=,因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍,所以C2的一条渐近线的方程为y=x,因为双曲线C1、C2的顶点重合,所以C2的方程为．故答案为:．【点评】本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力,比较基础．13．（4分）（2015•上海）已知平面向量、、满足⊥,且{||,||,||}={1,2,3},则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,分类讨论:当{||,||}={1,2},||=3,设,则x2+y2=9,则++=（1+x,2+y）,有||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值；其他情况同理,然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解:分别以所在的直线为x,y轴建立直角坐标系,①当{||,||}={1,2},||=3,则,设,则x2+y2=9,∴++=（1+x,2+y）,∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=9上点（x,y）与定点（﹣1,﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||,||}={1,3},||=2,则,x2+y2=4,∴++=（1+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是圆x2+y2=4上点（x,y）与定点（﹣1,﹣3）的距离的最大值为2+=2+,③{||,||}={2,3},||=1,则,设,则x2+y2=1∴++=（2+x,3+y）∴||=的最大值,其几何意义是在圆x2+y2=1上取点（x,y）与定点（﹣2,﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵,故|++|的最大值为3+．故答案为:3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解,解题的关键是圆的性质的应用:在圆外取一点,使得其到圆上点的距离的最大值:r+d（r为该圆的半径,d为该点与圆心的距离）．14．（4分）（2015•上海）已知函数f（x）=sinx．若存在x1,x2,…,x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12（m≥2,m∈N*）,则m的最小值为8．【分析】由正弦函数的有界性可得,对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f （x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】解:∵y=sinx对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2,要使m取得最小值,尽可能多让x i（i=1,2,3,…,m）取得最高点,考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤6π,|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（x m﹣1）﹣f（x m）|=12,按下图取值即可满足条件,∴m的最小值为8．故答案为:8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质,考查分析问题和解决问题的能力,考查数学转化思想方法,正确理解对任意x i,x j（i,j=1,2,3,…,m）,都有|f（x i）﹣f（x j）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键,是难题．二、选择题（本大题共4小题,满分20分）每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得5分,否则一律零分. 15．（5分）（2015•上海）设z1、z2∈C,则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件 B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解:若z1、z2均为实数,则z1﹣z2是实数,即充分性成立,当z1=i,z2=i,满足z1﹣z2=0是实数,但z1、z2均为实数不成立,即必要性不成立,故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件,故选:A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断,根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）（2015•上海）下列不等式中,与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,可得不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,从而得出结论．【解答】解:由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0,不等式＜2,等价于x+8＜2（x2+2x+3）,故选:B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用,体现了等价转化的数学思想,属于基础题．17．（5分）（2015•上海）已知点A的坐标为（4,1）,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义,求出∠xOA的三角函数值,利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解:∵点A的坐标为（4,1）,∴设∠xOA=θ,则sinθ==,cosθ==,将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB,则OB的倾斜角为θ+,则|OB|=|OA|=,则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=,故选:D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算,根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）（2015•上海）设P n（x n,y n）是直线2x﹣y=（n∈N*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点,则极限=（）A．﹣1 B．﹣ C．1 D．2【分析】当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出．【解答】解:当n→+∞时,直线2x﹣y=趋近于2x﹣y=1,与圆x2+y2=2在第一象限的交点无限靠近（1,1）,而可看作点P n（x n,y n）与（1,1）连线的斜率,其值会无限接近圆x2+y2=2在点（1,1）处的切线的斜率,其斜率为﹣1．∴=﹣1．故选:A．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题．三、解答题（本大题共有5题,满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）（2015•上海）如图,圆锥的顶点为P,底面圆为O,底面的一条直径为AB,C为半圆弧的中点,E为劣弧的中点,已知PO=2,OA=1,求三棱锥P﹣AOC的体积,并求异面直线PA和OE所成角的大小．又容易得到,从而带【分析】由条件便知PO为三棱锥P﹣AOC的高,底面积S△AOC入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC,从而找到异面直线PA,OE所成角为∠PAC,可取AC中点H,连接PH,便得到PH⊥AC,从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC,从而得到∠PAC．【解答】解:∵PO=2,OA=1,OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°,又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中,AC=,；如图,取AC中点H,连接PH,则PH⊥AC,AH=；∴在Rt△PAH中,cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义,圆锥的高和母线,等弧所对的圆心角相等,能判断两直线平行,以及异面直线所成角的定义及找法、求法,能用反三角函数表示角．20．（14分）（2015•上海）已知函数f（x）=ax2+,其中a为常数（1）根据a的不同取值,判断函数f（x）的奇偶性,并说明理由；（2）若a∈（1,3）,判断函数f（x）在[1,2]上的单调性,并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断,需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解:（1）当a=0时,f（x）=,显然为奇函数,当a≠0时,f（1）=a+1,f（﹣1）=a﹣1,f（1）≠f（﹣1）,且f（1）+f（﹣1）≠0,所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1,3）,f（x）=ax2+,∴f′（x）=2ax﹣=,∵a∈（1,3）,x∈[1,2],∴ax＞1,∴ax3＞1,∴2ax3﹣1＞0,∴f′（x）＞0,∴函数f（x）在[1,2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性,属于基础题．21．（14分）（2015•上海）如图,O,P,Q三地有直道相通,OP=3千米,PQ=4千米,OQ=5千米,现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地,经过t小时,他们之间的距离为f（t）（单位:千米）．甲的路线是OQ,速度为5千米/小时,乙的路线是OPQ,速度为8千米/小时,乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地,t=t2时乙到达Q 地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米,当t1≤t≤t2时,求f（t）的表达式,并判断f（t）在[t1,t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t1=,当乙到达P点时,可设甲到达A点,连接AP,放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP,也就得出f（t1）；（2）求出t2=,设t,且t小时后甲到达B地,而乙到达C地,并连接BC,能够用t表示出BQ,CQ,并且知道cos,这样根据余弦定理即可求出BC,即f（t）,然后求该函数的最大值,看是否超过3即可．【解答】解:（1）根据条件知,设此时甲到达A点,并连接AP,如图所示,则OA=；∴在△OAP中由余弦定理得,f（t1）=AP==（千米）；（2）可以求得,设t小时后,且,甲到达了B点,乙到达了C点,如图所示:则BQ=5﹣5t,CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得,f（t）=BC==；即f（t）=,；设g（t）=25t2﹣42t+18,,g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为,则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1,t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用,以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1,过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D,记△AOC的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2,y2）,用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=|；（2）设l1:y=kx,,S=,求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m,求m的值,使得无论l1和l2如何变动,面积S保持不变．【分析】（1）依题意,直线l1的方程为y=x,利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=,再利用|AB|=2|AO|=2,可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得:S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=,进而得到答案；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,可求得x1、x2、y1、y2,利用S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,可得,此时S=；方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,则mx1x2=﹣y1y2,变形整理,利用A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,可求得面积S的值．【解答】解:（1）依题意,直线l1的方程为y=x,由点到直线间的距离公式得:点C到直线l1的距离d==,因为|AB|=2|AO|=2,所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1,y1）,C（x2,y2）,S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=,由x12+2y12=1,解得A（,﹣）或（,﹣）或（﹣,）或（﹣,）,由k=,得k=﹣1或﹣；（3）方法一:设直线l1的斜率为k,则直线l2的斜率为,直线l1的方程为y=kx,联立方程组,消去y解得x=±,根据对称性,设x1=,则y1=,同理可得x2=,y2=,所以S=|x1y2﹣x2y1|=•,设=c（常数）,所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2）,整理得:k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2],由于左右两边恒成立,所以只能是,所以,此时S=,综上所述,m=﹣,S=．方法二:设直线l1、l2的斜率分别为、,则=m,所以mx1x2=y1y2,∴m2==mx1x2y1y2,∵A（x1,y1）、C（x2,y2）在椭圆x2+2y2=1上,∴（）（）=+4+2（+）=1,即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1,所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2,是常数,所以|x1y2﹣x2y1|是常数,所以令2m++2=0即可,所以,m=﹣,S=．综上所述,m=﹣,S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用,考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力,属于难题．23．（18分）（2015•上海）已知数列{a n}与{b n}满足a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）,n∈N*．（1）若b n=3n+5,且a1=1,求{a n}的通项公式；（2）设{a n}的第n0项是最大项,即a n0≥a n（n∈N*）,求证:{b n}的第n0项是最大项；（3）设a1=3λ＜0,b n=λn（n∈N*）,求λ的取值范围,使得对任意m,n∈N*,a n≠0,且．【分析】（1）把b n=3n+5代入已知递推式可得a n+1﹣a n=6,由此得到{a n}是等差数列,则a n可求；（2）由a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1,结合递推式累加得到a n=2b n+a1﹣2b1,求得,进一步得到得答案；（3）由（2）可得,然后分﹣1＜λ＜0,λ=﹣1,λ＜﹣1三种情况求得a n 的最大值M和最小值m,再由∈（）列式求得λ的范围．﹣a n=2（b n+1﹣b n）,b n=3n+5,【解答】（1）解:∵a n+1﹣a n=2（b n+1﹣b n）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6,∴a n+1∴{a n}是等差数列,首项为a1=1,公差为6,则a n=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵a n=（a n﹣a n﹣1）+（a n﹣1﹣a n﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（b n﹣b n﹣1）+2（b n﹣1﹣b n﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2b n+a1﹣2b1,∴,∴．∴数列{b n}的第n0项是最大项；（3）由（2）可得,①当﹣1＜λ＜0时,单调递减,有最大值；单调递增,有最小值m=a1=3λ＜0,∴的最小值为,最大值为,则,解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时,a2n=1,a2n﹣1=﹣3,∴M=3,m=﹣1,不满足条件．③当λ＜﹣1时,当n→+∞时,a2n→+∞,无最大值；→﹣∞,无最小值．当n→+∞时,a2n﹣1综上所述,λ∈（﹣,0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式,考查了等差关系的确定,考查了数列的函数特性,训练了累加法求数列的通项公式,对（3）的求解运用了极限思想方法,是中档题．参与本试卷答题和审题的老师有:caoqz；sllwyn；沂蒙松；sxs123；maths；刘长柏；danbo7801；吕静；wkl197822；whgcn；wfy814（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。
2015上海高考数学试题(含答案)
2015上海高考数学(文)答案二.选择题15. A 16. B 17. D 18. A 三.解答题19. 11.33P AOC AOC V S PO -==取PB 的中点F ， 连接OF 、EF 因OF||PB 所以 FOE ∠就是异面直线PA,OE 所成的角在三角形OEF 中:2OF =, 1OE = , FE ==所以 cos FOE ∠=故异面直线PA,OE 所成的角为arc 本题也可以以O 为坐标原点,OC,OB,OP 分别为x 轴,y 轴z 轴建立空间直角坐标系利用空间向量知识来解决20.解: 0x R x ∈≠且(1)0a =时 1()f x x = 此时1()()f x f x x-=-=- 此时()f x 为奇函数0a ≠时 21()f x ax x=+此时, (1)1f a -=- (1)1f a =+ (1)(1)(1)(1)f f f f -≠--≠且 此时()f x 是非奇非偶函数(2) 对于任意的 1212x x ≤<≤12221212()()11()()f x f x a x x x x -=-+-所以当(1,3)a ∈时所以12()()0f x f x -<,故()f x 在区间[1,2]为增函数 21.解(1)由已知得: 1237,88t t ==13()()8f t f ===(2).设 t 时刻37[,]88t ∈乙到达E,甲到达F,348()788QE t t =--=-,55QF t =-()f t ==37[,]88t ∈因()f t 在321[,]825单调递减,在217[,]258单调递增121212120,0()(2,16)x x x x x x x x -<>+∈12121212()1[()].a x x x x x x x x a-=+-12121()0x x x x a+->所以max ()f t =3()388f =< 22.解(1) 11||||sin ||||1cos 22S OA OC AOC OA OC =⋅∠=⋅-)]||||OA OC =⋅2|||)(OA OC =⋅-=12211||2x y x y ===-(2)由(1) 1111||23S x == 所以 2213(1)4k x -= -----(1) 又 221(12)1k x += -----(2)(1)/(2)得 25610k k ++= 解得115k ork =-=- （3）设1122(,),(,)mA x kxB x x k由2221y kx x y =⎧⎨+=⎩得212112x k =+ 同理222222k x k m =+ 212211211||||||22m k S x y x y x x k-=-== ∴2142(2)m m +=- 故12m =- 23.解(1) 112()6n n n n a a b b ++-=-= 故数列{}n a 是公差为6等差数列 ∴ 65n a n =-(2)根据题意000011n n n n a a a a +-≥⎧⎪⎨≥⎪⎩ ∴00011n n nn b b b b +-≥⎧⎪⎨≥⎪⎩所以0n b 是{}n b 的最大项(3)由 112()2(1)nn n n n a a b b λλ++-=-=-所以: 121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-++- 2132(1)2(1)2(1)n λλλλλλλ-=+-+-++- 2132(1)2(1)2(1)n λλλλλλλ-=+-+-++-2n λλ=+则12662m nλλλλ+<<+ 111216621m n λλ--+<<+ ∵。
2015年高考数学(文)试题(上海题)含答案
2
21. （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分 6 分，第 2 小题满分 8 分.
如图， O , P, Q 三地有直道相通， OP 3 千米， PQ 4 千米， OQ 5 千米，现甲、乙两警员同时从
O 地出发匀速前往 Q 地，经过 t 小时，他们之间的距离为 f (t ) （单位：千米）.甲的路线是 OQ ，速度为 5 千 米/小时， 乙的路线是 OPQ ， 速度为 8 千米/小时， 乙到达 Q 地后在原地等待.设 t t1 时， 乙到达 P 地，t t2 时，乙到达 Q 地. (1)求 t1 与 f (t1 ) 的值；
2015 年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文
2015 年上海市文科试题
一．填空题（本大题共 14 小题，满分 56 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格 填对得 4 分，否则一律零分） 1.函数 f ( x ) 1 3 sin x 的最小正周期为. 2.设全集 U R .若集合 A {1,2,3,4} ， B {x | 2 x 3} ，则 A (CU B ) . 3.若复数 z 满足 3 z z 1 i ，其中 i 是虚数单位，则 z . 4.设 f
x 1 2
5) log 2 (3 x 1 2) 2 的解为.
x y 0 9.若 x, y 满足 x y 2 ，则目标函数 f x 2 y 的最大值为. y 0
10. 在报名的 3 名男老师和 6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取 方式的种数为 11.在 ( 2 x （结果用数值表示）. （结果用数值表示）.
2015年上海高考数学(文科)填空选择真题解析
n
n (n N* ) 与圆 x 2 y 2 2 在第一象限的交点，则极 n 1
yn 1 （ xn 1
） B.
A. 1
1 2
；
3 2 a a 16 3 ，解得 a 4 4
；
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FunshineMaths 峰行数学
8. 方程 log 2 (9
x 1
5) log 2 (3x 1 2) 2 的解为
；
【解析】 log 2 (9 x 1 5) log 2 (3x 1 2) 2 log 2 (4 3x1 8) ，即 9 x 1 5 4 3x1 8 ， 设 3 t ，化简得 t 12t 27 0 ，即 t 3 或 t 9 ，解得 x 1 （舍）或 x 2 【答案】 x 2
2
；
3 1 2 2 cos 2 x ， T 2 2 2
1 1 1 1 ， b ，∴ z i 4 2 4 2
1 1 i 4 2
x 的反函数，则 f 1 (2) ； 2x 1 x 2 2 【解析】即 2 ，解得 x ，即 f 1 (2) 2x 1 3 3 2 【答案】 3 2 3 c1 x 3 5. 若线性方程组的增广矩阵为 ，则 c1 c2 ，解为 0 1 c2 y 5
大值是 ；
【解析】平方后可知 c 与 a b 同向时，取最大， 情况不是很多，列举法，如图可得 3 5
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2015年上海高考文科数学真题试卷(有答案)讲课教案
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）文2015年上海市文科试题一．填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1.函数x x f 2sin 31)(-=的最小正周期为.2.设全集R =U .若集合}4,3,2,1{=A ，}32|{<≤=x x B ，则=)(B C A U .3.若复数z 满足i z z +=+13，其中i 是虚数单位，则=z .4.设)(1x f-为12)(+=x x x f 的反函数，则=-)2(1f . 5.若线性方程组的增广矩阵为⎝⎛0213⎪⎪⎭⎫21c c 解为⎩⎨⎧==53y x ，则=-21c c . 6.若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a .7.抛物线)0(22>=p px y 上的懂点Q 到焦点的距离的最小值为1，则=p . 8. 方程2)23(log )59(log 1212+-=---x x 的解为.9.若y x ,满足020x y x y y -≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，则目标函数2f x y =+的最大值为.10. 在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）. 11.在62)12(x x +的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）. 12.已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为13.已知平面向量、、满足⊥，且}3,2,1{|}||,||,{|=c b a ，则||c b a ++的最大值是14.已知函数x x f s i n)(=.若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足π6021≤<⋅⋅⋅<<≤m x x x ，且12|)()(||)()(||)()(|13221=-+⋅⋅⋅+-+--m m x f x f x f x f x f x f ),12(*∈≥N m m ，则m 的最小值为二．选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15. 设1z 、C ∈2z ，则“1z 、2z 均为实数”是“21z z -是实数”的（ ）.A. 充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分又非必要条件 16. 下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）.A. 2)32)(8(2<+++x x x B. )32(282++<+x x xC. 823212+<++x x x D. 218322>+++x x x 17. 已知点 A 的坐标为)1,34(，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）.A.233 B. 235 C.211 D. 213 18. 设),(n n n y x P 是直线)(12*∈+=-N n n ny x 与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11limn n n x y ( ).A. 1-B. 21-C. 1D. 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19.(本题满分12分)如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧CB 的中点，已知2,1PO OA ==，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小.20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.已知函数21()f x ax x=+，其中a 为常数 (1)根据a 的不同取值，判断函数()f x 的奇偶性，并说明理由； (2)若(1,3)a ∈，判断函数()f x 在[1,2]上的单调性，并说明理由.21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，,,O P Q 三地有直道相通，3OP =千米，4PQ =千米，5OQ =千米，现甲、乙两警员同时从O 地出发匀速前往Q 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是OQ ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ ，速度为8千米/小时，乙到达Q 地后在原地等待.设1t t =时，乙到达P 地，2t t =时，乙到达Q 地.(1)求1t 与1()f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当12t t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在12[,]t t 上的最大值是否超过3？说明理由.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分.已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记A O C ∆的面积为S .(1)设1122(,),(,)A x y C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明122112S x y x y =-；（2）设1:l y kx =，C ⎝⎭，13S =，求k 的值;(3)设1l 与2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变.23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112(),*n n n n a a b b n N ++-=-∈. (1)若35,n b n =+且11a =,求{}n a 的通项公式;(2)设{}n a 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}n b 的第0n 项是最大项;(3)设130a λ=<,(*)nn b n N λ=∈,求λ的取值范围,使得对任意,*m n N ∈，0n a ≠，且1,66m n a a ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭答案 一、（第1题至第14题）1. π2.{1.4}3. 1142i +4. 23- 5.16 6. 4 7. 2 8. 29. 3 10. 120 11.240 12. 22144x y -=13. 3 14.8 二、（第15题至第18题）15 .A 16.B 17.D 18.A 三、（第19题至第23题） 19.[解] 1112323P AOC V -=⨯⨯= 因为A CO E ,所以PAC ∠为异面直线PA 与OE 所成的角或其补角由2,1PO OA OC ===,得PA PC ==AC =在PAC中，由余弦定理得cos 10PAC ∠=,故异面直线PA 与OE所成的角的大小为arccos 1020.[解]（1）()f x 的定义域为{0,}x x x R ≠∈,关于原点对称，2211()()f x a x ax x x-=-+=--， 当0a =时，()()f x f x -=-为奇函数当0a ≠时，由(1)1,(1)1f a f a =+-=-，知(1)(1)f f -≠-，故()f x 即不是奇函数也不是偶函数。
2015年上海市高考数学试卷(文科)
2015年上海市高考数学试卷（文科）一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分） 1．（4分）函数f （x ）=1﹣3sin 2x 的最小正周期为 ．2．（4分）设全集U=R ，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x ≤3}，则A ∩B= ． 3．（4分）若复数z 满足3z+=1+i ，其中i 是虚数单位，则z= ． 4．（4分）设f ﹣1（x ）为f （x ）=的反函数，则f ﹣1（2）= ．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c 1﹣c 2= ． 6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为16，则a= ．7．（4分）抛物线y 2=2px （p ＞0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p= ．8．（4分）方程log 2（9x ﹣1﹣5）=log 2（3x ﹣1﹣2）+2的解为 ． 9．（4分）若x ，y 满足，则目标函数z=x+2y 的最大值为 ．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于 （结果用数值表示）．12．（4分）已知双曲线C 1、C 2的顶点重合，C 1的方程为﹣y 2=1，若C 2的一条渐近线的斜率是C 1的一条渐近线的斜率的2倍，则C 2的方程为 ． 13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是 ．14．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 ．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z 1、z 2∈C ，则“z 1、z 2均为实数”是“z 1﹣z 2是实数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（ ）A ．（x+8）（x 2+2x+3）＜2B ．x+8＜2（x 2+2x+3）C ．＜D ．＞17．（5分）已知点A 的坐标为（4，1），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．B ．C ．D ．18．（5分）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ．1 D ．2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P ﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．23．（18分）已知数列{an }与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn =3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；（2）设{an }的第n项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且．2015年上海市高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律零分）1．（4分）函数f（x）=1﹣3sin2x的最小正周期为π．【分析】由条件利用半角公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的周期性求得函数的最小正周期．【解答】解：∵函数f（x）=1﹣3sin2x=1﹣3=﹣+cos2x，∴函数的最小正周期为=π，故答案为：π．【点评】本题主要考查半角公式的应用，余弦函数的周期性，属于基础题．2．（4分）设全集U=R，若集合A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，则A∩B= {2，3} ．【分析】由A与B，找出两集合的交集即可．【解答】解：∵全集U=R，A={1，2，3，4}，B={x|2≤x≤3}，∴A∩B={2，3}，故答案为：{2，3}【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．3．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．【分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．【解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R），又3z+=1+i，∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，∴4a=1，2b=1，解得a=，b=．∴z=．故答案为：．【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．4．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=的反函数，则f﹣1（2）= ﹣．【分析】由原函数解析式把x用含有y的代数式表示，x，y互换求出原函数的反函数，则f﹣1（2）可求．【解答】解：由y=f（x）=，得，x，y互换可得，，即f﹣1（x）=．∴．故答案为：．【点评】本题考查了函数的反函数的求法，是基础的计算题．5．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 ．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．【解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．【分析】由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．【解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为•a•a•sin60°，正棱柱的高为a，∴（•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．【点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．7．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．【分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．【解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．【点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．8．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 2 ．【分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．【解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证：x=1不满足条件，舍去．∴x=2．故答案为：2．【点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．9．（4分）若x，y满足，则目标函数z=x+2y的最大值为 3 ．【分析】作出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，通过平移即可求z 的最大值．【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．由z=x+2y得y=﹣x+z，平移直线y=﹣x+z，由图象可知当直线y=﹣x+z经过点B时，直线y=﹣x+z的截距最大，此时z最大．由，解得，即B（1，1），代入目标函数z=x+2y得z=2×1+1=3故答案为：3．【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最大值和最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．10．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120 （结果用数值表示）．【分析】根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案．【解答】解：根据题意，报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种；故答案为：120．【点评】本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算．11．（4分）在（2x+）6的二项式中，常数项等于240 （结果用数值表示）．【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为0求得r值，则答案可求．【解答】解：由（2x+）6，得=．由6﹣3r=0，得r=2．∴常数项等于．故答案为：240．【点评】本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）已知双曲线C1、C2的顶点重合，C1的方程为﹣y2=1，若C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，则C2的方程为．【分析】求出C1的一条渐近线的斜率，可得C2的一条渐近线的斜率，利用双曲线C1、C2的顶点重合，可得C2的方程．【解答】解：C1的方程为﹣y2=1，一条渐近线的方程为y=，因为C2的一条渐近线的斜率是C1的一条渐近线的斜率的2倍，所以C2的一条渐近线的方程为y=x，因为双曲线C1、C2的顶点重合，所以C2的方程为．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．13．（4分）已知平面向量、、满足⊥，且||，||，||}={1，2，3}，则|++|的最大值是3+．【分析】分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，分类讨论：当{||，||}={1，2}，||=3，设，则x2+y2=9，则++=（1+x，2+y），有||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值；其他情况同理，然后求出各种情况的最大值进行比较即可．【解答】解：分别以所在的直线为x，y轴建立直角坐标系，①当{||，||}={1，2}，||=3，则，设，则x2+y2=9，∴++=（1+x，2+y），∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=9上点（x，y）与定点（﹣1，﹣2）的距离的最大值为=3+；②且{||，||}={1，3}，||=2，则，x2+y2=4，∴++=（1+x，3+y）∴||=的最大值，其几何意义是圆x2+y2=4上点（x，y）与定点（﹣1，﹣3）的距离的最大值为2+=2+，③{||，||}={2，3}，||=1，则，设，则x 2+y 2=1∴++=（2+x ，3+y ） ∴||=的最大值，其几何意义是在圆x 2+y 2=1上取点（x ，y ）与定点（﹣2，﹣3）的距离的最大值为1+=1+∵， 故|++|的最大值为3+．故答案为：3+【点评】本题主要考查了向量的模的求解，解题的关键是圆的性质的应用：在圆外取一点，使得其到圆上点的距离的最大值：r+d （r 为该圆的半径，d 为该点与圆心的距离）．14．（4分）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，且|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12（m ≥2，m ∈N *），则m 的最小值为 8 ．【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m 值． 【解答】解：∵y=sinx 对任意x i ，x j （i ，j=1，2，3，…，m ），都有|f （x i ）﹣f （x j ）|≤f （x ）max ﹣f （x ）min =2，要使m 取得最小值，尽可能多让x i （i=1，2，3，…，m ）取得最高点， 考虑0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π，|f （x 1）﹣f （x 2）|+|f （x 2）﹣f （x 3）|+…+|f （x m ﹣1）﹣f （x m ）|=12， 按下图取值即可满足条件，∴m的最小值为8．故答案为：8．【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，正确理解对任意xi ，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi ）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2是解答该题的关键，是难题．二、选择题（本大题共4小题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律零分.15．（5分）设z1、z2∈C，则“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可．【解答】解：若z1、z2均为实数，则z1﹣z2是实数，即充分性成立，当z1=i，z2=i，满足z1﹣z2=0是实数，但z1、z2均为实数不成立，即必要性不成立，故“z1、z2均为实数”是“z1﹣z2是实数”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复数的有关概念是解决本题的关键．16．（5分）下列不等式中，与不等式＜2解集相同的是（）A．（x+8）（x2+2x+3）＜2 B．x+8＜2（x2+2x+3）C．＜ D．＞【分析】根据x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，可得不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），从而得出结论．【解答】解：由于x2+2x+3=（x+1）2+2＞0，不等式＜2，等价于x+8＜2（x2+2x+3），故选：B．【点评】本题主要考查不等式的基本性质的应用，体现了等价转化的数学思想，属于基础题．17．（5分）已知点A的坐标为（4，1），将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（）A．B．C．D．【分析】根据三角函数的定义，求出∠xOA的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可．【解答】解：∵点 A的坐标为（4，1），∴设∠xOA=θ，则sinθ==，cosθ==，将OA绕坐标原点O逆时针旋转至OB，则OB的倾斜角为θ+，则|OB|=|OA|=，则点B的纵坐标为y=|OB|sin（θ+）=7（sinθcos+cosθsin）=7（×+）=+6=，故选：D．【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键．18．（5分）设 P n （x n ，y n ）是直线2x ﹣y=（n ∈N *）与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=（ ） A ．﹣1 B ．﹣ C ．1D ．2【分析】当n→+∞时，直线2x ﹣y=趋近于2x ﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出． 【解答】解：当n→+∞时，直线2x ﹣y=趋近于2x ﹣y=1，与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点 P n （x n ，y n ）与（1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆x 2+y 2=2在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为﹣1． ∴=﹣1．故选：A ．【点评】本题考查了极限思想、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．（12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧的中点，E 为劣弧的中点，已知PO=2，OA=1，求三棱锥P ﹣AOC 的体积，并求异面直线PA 和OE 所成角的大小．【分析】由条件便知PO 为三棱锥P ﹣AOC 的高，底面积S △AOC 又容易得到，从而带入棱锥的体积公式即可得到该三棱锥的体积．根据条件能够得到OE∥AC，从而找到异面直线PA，OE所成角为∠PAC，可取AC中点H，连接PH，便得到PH⊥AC，从而可在Rt△PAH中求出cos∠PAC，从而得到∠PAC．【解答】解：∵PO=2，OA=1，OC⊥AB；∴；E为劣弧的中点；∴∠BOE=45°，又∠ACO=45°；∴OE∥AC；∴∠PAC便是异面直线PA和OE所成角；在△ACP中，AC=，；如图，取AC中点H，连接PH，则PH⊥AC，AH=；∴在Rt△PAH中，cos∠PAH=；∴异面直线PA与OE所成角的大小为arccos．【点评】考查圆锥的定义，圆锥的高和母线，等弧所对的圆心角相等，能判断两直线平行，以及异面直线所成角的定义及找法、求法，能用反三角函数表示角．20．（14分）已知函数f（x）=ax2+，其中a为常数（1）根据a的不同取值，判断函数f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）若a∈（1，3），判断函数f（x）在[1，2]上的单调性，并说明理由．【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义即可判断，需要分类讨论；（2）根据导数和函数的单调性的关系即可判断．【解答】解：（1）当a=0时，f（x）=，显然为奇函数，当a≠0时，f（1）=a+1，f（﹣1）=a﹣1，f（1）≠f（﹣1），且f（1）+f（﹣1）≠0，所以此时f（x）为非奇非偶函数．（2）∵a∈（1，3），f（x）=ax2+，∴f′（x）=2ax﹣=，∵a∈（1，3），x∈[1，2]，∴ax＞1，∴ax3＞1，∴2ax3﹣1＞0，∴f′（x）＞0，∴函数f（x）在[1，2]上的单调递增．【点评】本题考查了函数的奇偶性和单调性，属于基础题．21．（14分）如图，O，P，Q三地有直道相通，OP=3千米，PQ=4千米，OQ=5千米，现甲、乙两警员同时从O地出发匀速前往Q地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是OQ，速度为5千米/小时，乙的路线是OPQ，速度为8千米/小时，乙到达Q地后在原地等待．设t=t1时乙到达P地，t=t2时乙到达Q地．（1）求t1与f（t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米，当t1≤t≤t2时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，t2]上的最大值是否超过3？说明理由．【分析】（1）用OP长度除以乙的速度即可求得t=，当乙到达P点时，可设甲1）；到达A点，连接AP，放在△AOP中根据余弦定理即可求得AP，也就得出f（t1=，设t，且t小时后甲到达B地，而乙到达C地，并（2）求出t2连接BC，能够用t表示出BQ，CQ，并且知道cos，这样根据余弦定理即可求出BC，即f（t），然后求该函数的最大值，看是否超过3即可．【解答】解：（1）根据条件知，设此时甲到达A点，并连接AP，如图所示，则OA=；）∴在△OAP中由余弦定理得，f（t1=AP==（千米）；（2）可以求得，设t小时后，且，甲到达了B点，乙到达了C 点，如图所示：则BQ=5﹣5t，CQ=7﹣8t；∴在△BCQ中由余弦定理得，f（t）=BC==；即f（t）=，；设g（t）=25t2﹣42t+18，，g（t）的对称轴为t=；且；即g（t）的最大值为，则此时f（t）取最大值；即f（t）在[t1，t2]上的最大值不超过3．【点评】考查余弦定理的应用，以及二次函数在闭区间上最值的求法．22．（16分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别与椭圆交于点A、B和C、D，记△AOC的面积为S．（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离，并证明S=|；（2）设l1：y=kx，，S=，求k的值；（3）设l1与l2的斜率之积为m，求m的值，使得无论l1和l2如何变动，面积S保持不变．【分析】（1）依题意，直线l1的方程为y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点C到直线l1的距离d=，再利用|AB|=2|AO|=2，可证得S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）得：S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=，进而得到答案；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，可求得x1、x2、y1、y2，利用S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，可得，此时S=；方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，则mx1x2=﹣y1y2，变形整理，利用A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，可求得面积S的值．【解答】解：（1）依题意，直线l1的方程为y=x，由点到直线间的距离公式得：点C到直线l1的距离d==，因为|AB|=2|AO|=2，所以S=|AB|d=|x1y2﹣x2y1|；（2）由（1）A（x1，y1），C（x2，y2），S=|x1y2﹣x2y1|=×|x1﹣y1|=．所以|x1﹣y1|=，由x12+2y12=1，解得A（，﹣）或（，﹣）或（﹣，）或（﹣，），由k=，得k=﹣1或﹣；（3）方法一：设直线l1的斜率为k，则直线l2的斜率为，直线l1的方程为y=kx，联立方程组，消去y解得x=±，根据对称性，设x1=，则y1=，同理可得x2=，y2=，所以S=|x1y2﹣x2y1|=•，设=c（常数），所以（m﹣k2）2=c2（1+2k2）（k2+2m2），整理得：k4﹣2mk2+m2=c2[2k4+（1+4m2）k2+2m2]，由于左右两边恒成立，所以只能是，所以，此时S=，综上所述，m=﹣，S=．方法二：设直线l1、l2的斜率分别为、，则=m，所以mx1x2=y1y2，∴m2==mx1x2y1y2，∵A（x1，y1）、C（x2，y2）在椭圆x2+2y2=1上，∴（）（）=+4+2（+）=1，即（+4m）x1x2y1y2+2（+）=1，所以+﹣2x1x2y1y2=（x1y2﹣x2y1）2=[1﹣（4m+）x1x2y1y2]﹣2x1x2y1y2=﹣（2m++2）x1x2y1y2，是常数，所以|x1y2﹣x2y1|是常数，所以令2m++2=0即可，所以，m=﹣，S=．综上所述，m=﹣，S=．【点评】本题考查直线与圆锥曲线的综合应用，考查方程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题．23．（18分）已知数列{an }与{bn}满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈N*．（1）若bn =3n+5，且a1=1，求{an}的通项公式；（2）设{an }的第n项是最大项，即an0≥an（n∈N*），求证：{bn}的第n项是最大项；（3）设a1=3λ＜0，bn=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得对任意m，n∈N*，an≠0，且．【分析】（1）把bn =3n+5代入已知递推式可得an+1﹣an=6，由此得到{an}是等差数列，则an可求；（2）由an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1，结合递推式累加得到a n =2bn+a1﹣2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（2）可得，然后分﹣1＜λ＜0，λ=﹣1，λ＜﹣1三种情况求得an的最大值M和最小值m，再由∈（）列式求得λ的范围．【解答】（1）解：∵an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），bn=3n+5，∴an+1﹣an=2（bn+1﹣bn）=2（3n+8﹣3n﹣5）=6，∴{an }是等差数列，首项为a1=1，公差为6，则an=1+（n﹣1）×6=6n﹣5；（2）∵an =（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1=2（bn ﹣bn﹣1）+2（bn﹣1﹣bn﹣2）+…+2（b2﹣b1）+a1=2bn +a1﹣2b1，∴，∴．∴数列{bn }的第n项是最大项；（3）由（2）可得，①当﹣1＜λ＜0时，单调递减，有最大值；单调递增，有最小值m=a1=3λ＜0，∴的最小值为，最大值为，则，解得．∴λ∈（）．②当λ=﹣1时，a2n =1，a2n﹣1=﹣3，∴M=3，m=﹣1，不满足条件．③当λ＜﹣1时，当n→+∞时，a2n→+∞，无最大值；当n→+∞时，a2n﹣1→﹣∞，无最小值．综上所述，λ∈（﹣，0）时满足条件．【点评】本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，训练了累加法求数列的通项公式，对（3）的求解运用了极限思想方法，是中档题．。
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2015年上海高考数学（文科）试题解析版一、填空题（本大题共14小题，每题4分，满分56分） 1、函数()x x f 2sin 31-=的最小正周期为 _________.分析：本题是基础题目，主要考查余弦的二倍角公式，属于常考题目。
答案：π2、设全集U R =，若集合{}4,3,2,1=A ，{}32|≤≤=x x B ，则=B C A U _________. 分析：本题考查了学生的集合运算，属于基础题目和常考题目 。
答案：{1,4}3、若复数z 满足i z z +=+13_，其中i 为虚数单位，则z =___________. 分析：考查复数基本形式及共轭复数的概念，属于基础题目和常规题目。
答案：1142i + 4、设()x f 1-为()12+=x xx f 的反函数，则()=-21f ___________.分析：考查了反函数的知识点，较为基础。
答案：23-5、若线性方程组的增广矩阵为⎪⎪⎭⎫⎝⎛211302c c ，解为⎩⎨⎧==53yx ，则=-21c c ___________.分析：考查了二元一次方程组增广矩阵的概念，属于基础知识，但考前这个小知识点被遗漏的学校较多。
答案：166、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为316，则=a ___________.分析：首先考查了学生对于正三棱柱的认识，其次考查了棱柱的体积公式，题型和知识点较为常规。
答案：47、抛物线()022>=p px y 上的动点Q 到其焦点距离的最小值为1，则=p ___________.分析：考查了抛物线上的点到焦点的距离问题，可以通过第一定义，将到焦点的距离转化成到准线的距离，这样题目就非常容易解决掉。
答案：28、方程()()223log 59log 1212+-=---x x 的解为___________.分析：考查了对数方程的知识点，通过对数运算，去掉对数符号，解出方程的根，易错点为根的验证。
答案：29、若y x ,满足⎪⎩⎪⎨⎧≥≤+≥-020y y x y x ，则目标函数()y x x f 2+=的最大值为___________.分析：本题是线性规划的知识点，属于文科拓展的内容，问题比较直接，并没有拐弯难为学生。
答案：310、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）分析：排列组合知识点出现在第十题这个位置，相比较模拟卷和往年高考卷，难度不算大，可以用容易来形容。
答案：12011、在6212⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的二项展开式中，常数项等于 （结果用数值表示）.分析：考察了二项式定理的通项公式，知识点比较简单，本题的指数不算大，很多同学可以把二项式展开做；数理统计的内容在考卷中连续出现两题，而且较为简单，往年高考中很少见到。
答案：24012、已知双曲线1C 、2C 的顶点重合，1C 的方程为1422=-y x ，若2C 的一条渐近线的斜率是1C 的一条渐近线的斜率的2倍，则2C 的方程为___________.分析：考察了共渐近线的双曲线方程求法，根据顶点相同，可进一步确定双曲线方程；如果本题“斜率的2倍”改成“倾斜角的2倍”，所考查的知识点就多一些，本题相对简单，尤其是出现在12题的位置。
答案：224x y -=13、已知平面向量c b a ,,满足b a ⊥，且{}{}3,2,1,,=c b a ，则c b a ++的最大值为___________.分析：首先考查了集合元素的互异性，可能很多同学会填9；解决本题的最好方法就是数形结合，因为已知a 和b 之间的关系，在通过向量平行且同向时相加模最大，就能够很容易解决本题目。
答案：35+14、已知函数()xx f sin =，存在mx x x ,,21，满足π6021≤<<<≤m x x x ，且()()()()()()()*-∈≥=-++-+-N m m x f x f x f x f x f x f m m ,2,1213221 ，则m 的最小值为____.分析：本题属于压轴的填空题，难度比前面的十三道题都提升了很大一个档次，首先考查了正弦函数的知识点，其次是要理解绝对值的含义，因为要求m 得最小值，所以要尽可能的使得每个绝对值的值尽可能的大，所以会利用正弦函数的最大值和最小值。
答案：8二、选择题（本大题共4小题，每题5分，满分20分）15、设C z z ∈21,，则“21z 、z 均为实数”是“21z z -为实数”的（ ）A 、充分非必要条件B 、必要非充分条件C 、充要条件下D 、既不充分也不必要条件 分析：基础题目，考查了条件与命题和复数的定义。
答案：A16、下列不等式中，与不等式23282<+++x x x 解集相同的是（ ）A 、()()23282<+++x x x B 、 ()()32282++<+x x xC 、823212+<++x x x D 、218322>+++x x x 分析：考查了学生对于分式不等式解法的步骤或者等价性，属于基础题目。
答案：B17、已知点A 的坐标为()1,34，将OA 坐标原点O 逆时针方向旋转3π至OB ，则B 点的纵坐标为（ ） A 、233 B 、235 C 、211 D 、213分析：考查了任意角的三角比的概念及正弦的两角和公式，属于中等题目，但与往年的模拟考中的一道题只是换了一下数据。
答案：D18、设()n n n y x P ,是直线()*∈+=-N n n ny x 12与圆222=+y x 在第一象限的交点，则极限=--∞→11lim n nn x y （ ） A 、1- B 、21-C 、1D 、2 分析:本题的知识点属于极限的求法，但实际上在解题时会先取极限再求值；因为()n n n y x P ,的极限位置为(1,1)点，而题目中所要求的是()n n n y x P ,与(1,1)构成的斜率的极限，由于两点都在圆上，而且无线逼近，可以得到斜率的极限为过(1,1)与圆相切时的斜率。
答案：A三、解答题（本题共5大题，满分74分）19、（本题满分12分）如图，圆锥的顶点为P ，底面圆心为O ，底面的一条直径为AB ，C 为半圆弧AB 的中点，E 为劣弧BC 的中点，已知2PO =，1OA =，求三棱锥P AOC -的体积，并求异面直线PA 与OE 所成角。
分析：本题考查了圆锥的体积公式和异面直线夹角的求法，属于比较基础的题目，几何法主要通过中位线，把已知直线平移到同一个平面内即可，因为垂直关系比较容易找到，从而线段的长度也就容易计算了。
答案：13，10arccos1020、（本题满分14分）已知函数()xax x f 12+=，其中a 为常数， （1）根据a 的不同取值，判断()x f 的奇偶性，并说明理由； （2）若()3,1∈a ，判断()x f 在[1,2]上的单调性，并说明理由。
分析：比较简单的一类奇偶性的判断和证明，首先要注意本题要求先判断，所以解题时要把结论写在前面，然后再去证明；第二问考查了函数单调性的一般步骤，及时含有参数，也比较容易能够判别符号。
总体来说本题考查的知识点偏基础。
答案：（1）0a =时，()f x 为奇函数；0a ≠时，()f x 非奇非偶。
（2）单调递增。
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分． 如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米．现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）．甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时．乙到达B 地后在原地等待．设1t t =时，乙到达C 地．（1）求1t 与1()f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在1[,1]t 上的最大值是否超过3? 说明理由．分析：本题是解三角形与函数最值综合的一道应用题，虽然牵扯到分段函数，但并不是很难，主要考察学生的基础知识——余弦定理的应用及二次函数求最值求法. 答案：（1）13=8AC t h v =乙，设此时甲运动到P 点，则115=8AP v t km =甲，在APC V 中，()1f t PC ==223412cos 8AC AP AC AP A +-⋅=（2）当178t t ≤≤时，乙在CB 上，设为Q 点，设此时甲在P 点，则：878QB A C C B t t =+-=-，55PB AB AP t =-=-∴222()2cos 254218f t PQ QB PB QB PB B t t ==+-⋅=-+，当718t <≤时，乙在B 点不动，设此时甲在P 点，则：()55f t PB AB AP t ==-=-， ∴237254218,88()755,18t t t f t t t ⎧-+≤≤⎪⎪=⎨⎪-<≤⎪⎩∴当318t ≤≤时，341()[0,]8f t ∈，且34138>∴()f t 的最大值超过了3km . 22、（本题满分16分）本题共有2个小题．第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A 、B 和C 、D ，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S ．（1）设11(,)A x y ，22(,)C x y ，用A 、C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-； （2）设1l ：kx y =，⎪⎪⎭⎫⎝⎛33,33C ，31=S ，求k 的值； （3）设直线1l 和2l 的斜率之积为m ，求m 的值，使得无论1l 和2l 如何变动，面积S 保持不变。
分析：本题属于中等偏易的题目.考察了学生直线方程求法和点到直线的距离公式，题目中语言的叙述和问题的提出具有引导作用，很有层次感，只是在整个运算过程中多为字母运算，提升了运算的难度，侧面也反应出计算能力的提升为考试的主要趋势。
第一问面积的求法，在2013年闸北二模卷中出现过类似的题目，当时是文科填空第二题，主要是考察利用矩阵求三角形面积；第二问只需联立直线与椭圆的方程，解出11(,)A x y 然后再带入第一问的公式即可求出k ；第三问考查了一个恒成立问题，直线1l 和2l 的斜率无论怎么变化S 始终不变，所以只需得出的等式中，将斜率作为未知量，其余作为已知量，然后未知量的系数为0即可。
解：（1）直线1l 的方程为：11y y x x =， 则点C 到直线1l 的距离为：1221212112221111(,)1y x y y x x y x d C l x yy x --==+⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（方法1）又221122AB AO x y ==+，∴1(,)S AB d C l =⋅12212x y x y =-.（方法2）11111121122112111221221121221x y S x y x y x y x y x y x y x y x y x y x y =⋅--=-+-+-+=-（2）15-或1-（3）12m =-23、（本题满分16分）本题共3小题.第1小题4分，第2小题6分，第3小题6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n N *∈.（1）若35n b n =+，且11a =，求数列{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0n n a a ≥()n N *∈，求证：数列{}n b 的第0n 项是最大项；（3）设130a λ=<，()n n b λn N *=∈，求λ的取值范围，使得对任意的m 、n ，0n a ≠，且1(,6)6m n a a ∈。