2015年上海高考数学理科含答案word版
2015年普通高等学校招生全国统一考试理科数学答案(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学（理科）一、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.1、设全集U R =．若集合{}1,2,3,4A =，{}23x x B =≤≤，则U A B =ð ． 【答案】{}1,4【解析】因为{|32}U C B x x x =><或，所以{4,1}U A C B =【考点定位】集合运算2、若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = ． 【答案】1142i +【解析】设(,)z a bi a b R =+∈，则113()1412142a bi a bi i ab z i ++-=+⇒==⇒=+且【考点定位】复数相等，共轭复数 3、若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= ． 【答案】16【解析】由题意得：121223233521,05,21516.c x y c x y c c =+=⨯+⨯==⋅+=-=-= 【考点定位】线性方程组的增广矩阵4、若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = ． 【答案】4 【解析】2331636444a a a a ⋅=⇒=⇒= 【考点定位】正三棱柱的体积5、抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ． 【答案】2【考点定位】抛物线定义6、若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．【答案】3π【解析】由题意得：1:(2)222rl h r l h ππ⋅=⇒=⇒母线与轴的夹角为3π 【考点定位】圆锥轴截面7、方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ． 【答案】2【考点定位】解指对数不等式8、在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）． 【答案】120【解析】由题意得，去掉选5名女教师情况即可：55961266120.C C -=-= 【考点定位】排列组合9、已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ．若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 ．【答案】32y x =±【考点定位】双曲线渐近线10、设()1f x -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ． 【答案】4【解析】由题意得：2()22x xf x -=+在[0,2]上单调递增，值域为1[,2]4，所以()1f x -在1[,2]4上单调递增，因此()()1y f x f x -=+在1[,2]4上单调递增，其最大值为1(2)(2)22 4.f f -+=+=【考点定位】反函数性质11、在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）． 【答案】45【考点定位】二项展开式12、赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12ξξE -E =（元）． 【答案】0.213、已知函数()sin f x x =．若存在1x ，2x ，⋅⋅⋅，m x 满足1206m x x x π≤<<⋅⋅⋅<≤，且 ()()()()()()1223112n n f x f x f x f x f x f x --+-+⋅⋅⋅+-=（2m ≥，m *∈N ），则m 的最小值 为 ． 【答案】8【考点定位】三角函数性质14、在锐角三角形C AB 中，1tan 2A =，D 为边CB 上的点，D ∆AB 与CD ∆A 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥AB 于E ，DFC ⊥A 于F ，则D DF E⋅= ． 【答案】1615-【考点定位】向量数量积，解三角形二、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.15、设1z ，2C z ∈，则“1z 、2z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【考点定位】复数概念，充要关系16、已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A ．332 B ．532 C ．112D ．132【答案】D 【解析】133313(cossin )(43)()332222OB OA i i i i ππ=⋅+=+⋅+=+，即点B 的纵坐标为132【考点定位】复数几何意义17、记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数．当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ．方程①有实根，且②有实根B ．方程①有实根，且②无实根C ．方程①无实根，且②有实根D ．方程①无实根，且②无实根 【答案】B【解析】当方程①有实根，且②无实根时，22124,8a a ≥<，从而4222321816,4a a a =<=即方程③：2340x a x ++=无实根，选B.而A,D 由于不等式方向不一致，不可推；C 推出③有实根【考点定位】不等式性质 18、设(),n n n x y P 是直线21nx y n -=+（n *∈N ）与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A ．1- B ．12- C ．1 D ．2 【答案】A【考点定位】极限三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2015年上海高考数学试卷(理)与答案
2015 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1. 设全集U R =，若集合{}{}1,2,3,4,|23A B x x ==≤≤，则U A B =ð . 【答案】{}1,4；2.若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z = . 【答案】1142i +； 3.若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -= . 【答案】16；4. 若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a = . 【答案】4；5.抛物线()220y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 【答案】2；6.若圆锥的侧面积与过轴的截面积面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 【答案】3π； 7.方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 .【答案】2；8.在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方法的种数为 .（结果用数值表示） 【答案】120；9.已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C ，若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 .【答案】y x =； 10.设()1f x -为()[]22,0,22x xf x x -=+∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 . 【答案】4；11. 在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 .（结果用数值表示）【答案】45；12.赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客现在标有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在每一局赌博中的赌金与奖金，则12E E ξξ-= .（元） 【答案】0.2； 13.已知函数()s i n fx x =，若12,,,m x x x 存在满足1206m x x x π≤<<<≤，且()()()()()()()*12231122,m m f x f xf x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，则m 的最小值为 . 【答案】8；14.在锐角ABC ∆中，1tan 2A =，D 为BC 边上的一点，ABD ∆与ACD ∆面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF ⋅【答案】1615-；二、选择题（本大题共有4题，满分20分）考生应在答题纸相应编号位置填涂，每题只有一个正确选项，选对得5分，否则一律得零分.15.设12,z z C ∈，则“12,z z 中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ） A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 【答案】B ；16.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针转3π至OB ，则B 的纵坐标为（ ） B.C.112D.132【答案】D ；17.记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中123,,a a a 是正实数.当123,,a a a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ） A.方程①有实根，且②有实根B.方程①有实根，且②无实根C.方程①无实根，且②有实根D.方程①无实根，且②无实根D【答案】B ；18.设(),n n n P x y 是直线()*21nx y n N n -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限1lim1n n n y x →∞-=-（ ） A. 1-B.12-C.1D.2【答案】A ；三、解答题（本题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19.（本题满分12分）如图，在长方体中1111ABCD A B C D -，11AA =，2AB AD ==，E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，证明1A 、1C 、F 、E 四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小.【答案】； 【解析】（1）由于E 、F 分别是棱AB 、BC 的中点，所以//EF AC ，又11//AC AC ，所以11//EF AC ，由公理三的推论，可知1A 、1C 、F 、E 四点共面.（2）连接1A F 、1A B 由于11//CD A B ，所以直线1CD 与平面11A C FE 所成角的大小与1A B 与平面11A C FE 所成角的大小相等.设1A B 与平面11A C FE 所成角为θ，点B 到平面1A EF 的距离为d ，则1sin dA Bθ=，在三棱锥1A EFB -中，体积1A EFB B A EF V V --=，所以 111133EFB A EF S AA S d ∆∆⋅=⋅，即11EFBA EF S AA d S ∆∆⋅=，结合题中的数据，可以计算出12EFB S ∆=，1AF A B ==1A F EF =1A F =1A EF S ∆=，所以d =，所以1sin d A B θ==，即θ=，所以直线1CD 与平面11A C FE所成角的大小为.本题亦可采用空间向量解决，不再赘述. 19.（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题6分，第2小题8分ABCDEF1A 1B 1C 1D ABCD F1A 1B 1C 1D如图，A 、B 、C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米，现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()f t （单位：千米）.甲的路线是AB ，速度是5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后原地等待，设1t t =时，乙到达C 地. （1）求1t 与()1f t 的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离为3千米.当11t t ≤≤时，求()f t 的表达式，并判断()f t 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.【答案】（1）138t =，()1f t =（2）()13788755,18t f t tt ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩；最大值不超过3. 【解析】（1）由题中条件可知138t =小时，此时甲与A 点距离为158千米，由余弦定理可知()2211515336992388564f t ⎛⎫=+-⨯⨯⨯=⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭，所以()1f t =； （2）易知，当78t =时乙到达B 位置，所以 ①当3788t ≤≤时，()()()()()2222147855278552542185f t t t t t t t =-+--⋅-⋅-⋅=-+⎡⎤⎣⎦； ②当718t ≤≤时，()55f t t =-；综合①②，()13788755,18t f t t t ≤≤=⎨⎪-<≤⎪⎩当321825t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为35⎡⎢⎣⎦；当217258t ≤≤时，()f t 单调递增，此时函数的值域为35,58⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 当718t ≤≤时，()f t 单调递减，此时函数的值域为50,8⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 由此，函数()f t 在[]1,1t 上的值域为0,8⎡⎢⎣⎦，而29<⎝⎭3<， 所以()f t 在[]1,1t 上的最大值没有超过3.21.（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.BC已知椭圆2221x y +=，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、，记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（1）设()11,A x y ，()22,C x y .用A C 、坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212S x y x y =-；（2）设1l 与2l 的斜率之积为12-，求面积S 的值. 【答案】（1）C 到直线1l（2）S =【解析】（1）由题易知A C 、两点的横坐标不能同时为零，下面分两种情况①当A C 、两点的横坐标有一个为零时，不妨设10x =，20x ≠不失一般性，此时1l 与y 轴重合，C 到直线1l 的距离为2x ，平行四边形ACBD 的面积为212S x y =；②当A C 、两点的横坐标均不为0时，即1l 和2l 的斜率均存在时，设1l 的方程为y kx =，其中11y k x =，由2221y kxx y =⎧⎨+=⎩可得()222110k x +-=，所以弦长AB ===点C 到直线1l的距离d ==所以四边形ACBD 的面积为12212S AB d x y x y =⋅=- 综合①②点C 到直线1lACBD 的面积为12212x y x y -.（2）易知两直线的斜率分别为：111l y k x =，222l y k x =，由1l 与2l 的斜率之积为12-可得： 12122x x y y =-，又221112x y =-，222212x y =-，所以()()2222222121212122124x x y y y y y y =-=-++，即221212y y +=， ()()()()222222222222122112211221211212242412124S x y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎡⎤=-=+-=-+-+⎣⎦化简得()2221242S y y =+=22.（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知数列{}n a 与{}n b 满足()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈. （1）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（2）设{}n a 的第0n 项是最大项，即()0*N n n a a n ≥∈，求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （3）设()*10,N n n a b n λλ=<=∈，求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 与最小值m ，且()2,2Mm∈-. 【答案】（1）()*65N n a n n =-∈；（2）证明见解析；（3）1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；【解析】（1）由35n b n =+可得：()()*1126N n n n n a a b b n ++-=-=∈，又11a =，所以数列{}n a 为以1为首项，6为公差的等差数列，即有()*65N n a n n =-∈； （2）由()*112,N n n n n a a b b n ++-=-∈可得：()21212a a b b -=- ()32322a a b b -=-()()1122n n n n a a b b n ---=-≥将上述式子累加可得()()1122n n a a b b n -=-≥，当1n =时，也成立，所以()()*112N n n a a b b n -=-∈，由此可得 111122n n b a b a =+-，由于1112b a -为常数，所以当{}n a 的第0n 项是最大项时，111122n a b a +-最大，即{}n b 的第0n 项是最大项；（3）有（2）可知()()*112N n n a a b b n -=-∈，即1122n n a b a b =+-，结合1,n n a b λλ==可得2n n a λλ=⋅-，分三种情况进行讨论：①当1λ=-时，则n 为偶数时3n a =，n 为奇数时1n a =-，即有3M =，1m =-，此时()32,2Mm=-∉-，由此，此情况不符合条件； ②当()1,0λ∈-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于()1,0λ∈-，所以()0,1λ-∈，从而n λ随着n 增大值减小，此时0n λ>，()2maxnλλ=，无最小值（无限靠近0）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于()1,0λ∈-，所以()0,1λ-∈，从而()nλ-随着n 增大值减小，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值增大，此时()minn λλ=，无最大值（无限靠近0）；由此可知数列{}n a 的最大值22M λλ=-，最小值2m λλλ=-=，2221M m λλλλ-==-，又()2,2M m ∈-，所以21221210λλλ-<⎧⎪->-⎨⎪-<<⎩，解之102λ-<<； ③当1λ<-时，则n 为偶数时，()nn λλ=-，由于1λ<-，所以()1,λ-∈+∞，从而n λ随着n增大值增大，此时0n λ>，()2minnλλ=，无最大值（无限靠近+∞）；n 为奇数时，0n λ<，此时()nn λλ=--，由于1λ<-，所以1λ->，从而()nλ-随着n 增大值增大，结合()nn λλ=--，可知随着n 增大n λ值减小，此时()maxn λλ=，无最小值（无限靠近-∞）；由此可知，在1λ<-条件下，数列{}n a 无最值，显然不符合条件； 综上，符合条件的实数λ的取值范围为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭.23.（本题满分18分）本题共3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得()cos g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，()00f =，()4f T π=； （1）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）设a b <，证明对任意()(),c f a f b ∈⎡⎤⎣⎦，存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解”的充要条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解”，并证明对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+. 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；【解析】（1）证明：()cosh cos sin 3x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()()6cosh 6cos 6sin cos 6sin cos sin cosh 333x x x x x x x x ππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=++=+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （2）当()c f a =或者()c f b =时，由于()f x 单调递增，所以存在0x a =或0x b =使得()0f x c =成立；当()()(),c f a f b ∈，构造函数()()p x f x c =-，则()0p a <，()0p b >，从而()()0p a p b ⋅<，所以存在()0,x a b ∈，使得()00p x =，即存在[]0,x a b ∈，使得()0f x c =成立，证毕.（3）先证必要性0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解，即0cos ()1f u =，由[]00,u T ∈可得[]0,2u T T T +∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00()cos cos ()1f u T f u +==，即0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解； 再证充分性0u T +为方程cos ()1f x =在[],2T T 上的解，即0c 1s ()o f u T +=，由[]0,2u T T T +∈可得[]00,u T ∈，由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以00cos cos ()()1f u f u T =+=，即0u 为方程cos ()1f x =在[]0,T 上的解；下证：对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.由于函数()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，所以cos ()cos ()f x f x T =+，即有 cos ()cos ()0f x f x T -+=，所以()()()()2sinsin022f x f x T f x f x T ++-+-=，即()()2f x f x T k π++=或()()()Z 2f x f x T k k π-+=∈所以()()2f x T f x k π++=或()()()2Z f x T k f x k π+=+∈ ①若()()2f x T f x k π++=，由()00f =，()4f T π=，可得2k =. 所以()()4f x T f x π++=，这与函数()f x 为增函数矛盾，舍去；②若()()()2Z f x T k f x k π+=+∈，由()00f =，()4f T π=，可得2k =， 所以()()4f x T f x π+=+，即()()()f x T f x f T +=+.由此，对任意[]0,x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.。
2015年上海市高考数学试卷(理科)解析
2015年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题(本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分,否则一律得零分．1．(4分）(2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2,3，4｝，Β={x｜2≤x≤3｝，则Α∩∁UΒ=．2．（4分)(2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．3．(4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．4．(4分)（2015•上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a=．5．（4分）（2015•上海）抛物线y2=2px(p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p=．6．(4分）(2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．7．（4分)(2015•上海）方程log2(9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为．8．（4分）(2015•上海）在报名的3名男老师和6名女教师中,选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有,则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示)．9．(2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同,P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍,P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x，则C2的渐近线方程为．10．（4分)（2015•上海）设f﹣1（x）为f（x)=2x﹣2+,x∈［0,2］的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为．11．（4分）（2015•上海）在（1+x+）10的展开式中,x2项的系数为（结果用数值表示）．12．（4分）(2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是:赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位:元）;随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金,则 E ξ1﹣E ξ2= （元)．13．（4分）（2015•上海）已知函数f （x ）=sinx ．若存在x 1，x 2，…，x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤6π,且｜f （x 1）﹣f （x 2）|+｜f(x 2）﹣f(x 3）｜+…+|f(x m ﹣1)﹣f （x m ）｜=12（m ≥12，m ∈N ＊)，则m 的最小值为 ．14．（2015•上海）在锐角三角形 A BC 中，tanA=，D 为边 BC 上的点，△A BD 与△ACD 的面积分别为2和4．过D 作D E ⊥A B 于 E ，DF ⊥AC 于F ，则•= ．二、选择题(本大题共有4题，满分15分．)每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．(5分)（2015•上海）设z 1，z 2∈C ，则“z 1、z 2中至少有一个数是虚数"是“z 1﹣z 2是虚数”的（ ）A ． 充分非必要条件B ． 必要非充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分又非必要条件16．（5分)(2015•上海）已知点A 的坐标为（4，1),将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至OB ，则点B 的纵坐标为（ ）A ．B ．C ．D ．17．(2015•上海)记方程①：x 2+a 1x+1=0,方程②：x 2+a 2x+2=0，方程③：x 2+a 3x+4=0,其中a 1,a 2,a 3是正实数．当a 1，a 2，a 3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）A ． 方程①有实根，且②有实根B ． 方程①有实根，且②无实根C ． 方程①无实根，且②有实根D ． 方程①无实根，且②无实根18．（5分）（2015•上海）设 P n （x n ，y n )是直线2x ﹣y=（n ∈N ＊)与圆x 2+y 2=2在第一象限的交点，则极限=( ） A ． ﹣1B ． ﹣C ． 1D ． 2三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.19．(12分）（2015•上海）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AA1=1，AB=AD=2，E、F 分别是AB、BC的中点，证明A1、C1、F、E四点共面，并求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．20．(14分)（2015•上海）如图，A，B,C三地有直道相通，AB=5千米,AC=3千米，BC=4千米．现甲、乙两警员同时从A地出发匀速前往B地，经过t小时，他们之间的距离为f （t）（单位：千米）．甲的路线是AB，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB，速度为8千米/小时．乙到达B地后原地等待．设t=t1时乙到达C地．（1）求t1与f（t1)的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时,求f（t）的表达式，并判断f（t)在[t1，1］上的最大值是否超过3？说明理由．21．(14分）（2015•上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于A、B和C、D，记得到的平行四边形ABCD的面积为S．（1）设A（x1,y1）,C（x2，y2），用A、C的坐标表示点C到直线l1的距离,并证明S=2|x1y2﹣x2y1｜；（2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积S的值．22．（16分)（2015•上海）已知数列{a n｝与{b n}满足a n+1﹣a n=2(b n+1﹣b n），n∈N＊．（1）若b n=3n+5,且a1=1，求数列｛a n｝的通项公式；（2）设｛a n｝的第n0项是最大项，即a≥a n（n∈N*），求证：数列{b n}的第n0项是最大项；(3)设a1=λ＜0，b n=λn（n∈N*），求λ的取值范围，使得｛a n}有最大值M与最小值m，且∈（﹣2，2）．23．（18分）（2015•上海）对于定义域为R的函数g（x），若存在正常数T，使得cosg（x）是以T为周期的函数，则称g（x)为余弦周期函数,且称T为其余弦周期．已知f（x）是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R．设f(x）单调递增，f（0)=0，f（T）=4π．(1）验证g（x)=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；（2)设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）］,存在x0∈［a，b］，使得f(x0）=c；（3)证明:“u0为方程cosf（x)=1在［0,T］上得解，"的充分条件是“u0+T为方程cosf（x）=1在区间［T,2T]上的解”，并证明对任意x∈[0，T］，都有f(x+T)=f(x）+f（T）．2015年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14题,满分48分．)考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．1．（4分）(2015•上海）设全集U=R．若集合Α={1，2,3，4}，Β=｛x|2≤x≤3｝,则Α∩∁UΒ=｛1，4｝．考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简,故直接运算得出答案即可．解答:解：∵全集U=R，集合Α=｛1，2，3，4｝，Β=｛x｜2≤x≤3},∴（∁U B)=｛x|x＞3或x＜2}，∴A∩(∁U B）={1，4｝，故答案为:{1，4｝．点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．2．（4分）（2015•上海）若复数z满足3z+=1+i,其中i是虚数单位,则z=．考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析:设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈R)，利用复数的运算法则、复数相等即可得出．解答:解：设z=a+bi，则=a﹣bi(a，b∈R）,又3z+=1+i,∴3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i,化为4a+2bi=1+i,∴4a=1，2b=1,解得a=，b=．∴z=．故答案为：．点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等,属于基础题．3．（4分）（2015•上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．考点: 二阶行列式与逆矩阵．专题：矩阵和变换．分析:根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解答：解:由题意知，是方程组的解,即,则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为:16．点评：本题主要考查增广矩阵的求解,根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．4．(4分)（2015•上海)若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16,则a=4．考点：棱锥的结构特征．专题: 空间位置关系与距离．分析:由题意可得（•a•a•sin60°）•a=16，由此求得a的值．解答:解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形,面积为•a•a•sin60°,正棱柱的高为a，∴(•a•a•sin60°）•a=16，∴a=4，故答案为：4．点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式,属于基础题．5．(4分）(2015•上海)抛物线y2=2px（p＞0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2．考点：抛物线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．解答:解:因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．故答案为：2．点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．6．(4分)（2015•上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为．考点: 旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．专题: 空间位置关系与距离．分析:设圆锥的底面半径为r,高为h,母线长为l,由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h,进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．解答：解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为:πrl，过轴的截面面积为：rh，∵圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π,∴l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==，故θ=，故答案为：．点评:本题考查的知识点是旋转体,其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．7．（4分）（2015•上海)方程log2(9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2)+2的解为2．考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．解答：解：∵log2（9x﹣1﹣5)=log2（3x﹣1﹣2)+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2［4×（3x﹣1﹣2)]，∴9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2)，化为（3x)2﹣12•3x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，∴3x=3，3x=9，解得x=1或2．经过验证:x=1不满足条件,舍去．∴x=2．故答案为：2．点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法,考查了计算能力，属于基础题．8．(4分）（2015•上海)在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为120（结果用数值表示）．考点：排列、组合的实际应用．专题：计算题;排列组合．分析:根据题意，运用排除法分析，先在9名老师中选取5人，参加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况;即可得答案．解答：解：根据题意,报名的有3名男老师和6名女教师，共9名老师，在9名老师中选取5人，参加义务献血，有C95=126种；其中只有女教师的有C65=6种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为126﹣6=120种;故答案为:120．点评：本题考查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法)，可以避免分类讨论,简化计算．9．(2015•上海）已知点P和Q的横坐标相同,P的纵坐标是Q的纵坐标的2倍，P和Q的轨迹分别为双曲线C1和C2．若C1的渐近线方程为y=±x,则C2的渐近线方程为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析:设C1的方程为y2﹣3x2=λ，利用坐标间的关系，求出Q的轨迹方程,即可求出C2的渐近线方程．解答：解：设C1的方程为y2﹣3x2=λ，设Q（x，y），则P（x，2y）,代入y2﹣3x2=λ，可得4y2﹣3x2=λ，∴C2的渐近线方程为4y2﹣3x2=0，即．故答案为：．点评：本题考查双曲线的方程与性质,考查学生的计算能力，比较基础．10．（4分)(2015•上海）设f﹣1(x）为f（x）=2x﹣2+,x∈［0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为4．考点：反函数．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）=2x﹣2+在x∈［0，2］上为增函数可得其值域，得到y=f﹣1(x)在［］上为增函数，由函数的单调性求得y=f（x）+f﹣1（x)的最大值．解答：解：由f（x)=2x﹣2+在x∈［0,2］上为增函数，得其值域为［］，可得y=f﹣1（x）在[］上为增函数，因此y=f（x）+f﹣1（x）在［］上为增函数，∴y=f（x）+f﹣1（x)的最大值为f（2）+f﹣1(2)=1+1+2=4．故答案为：4．点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关系，考查了函数的单调性,属中档题．11．（4分）（2015•上海)在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为45（结果用数值表示）．考点：二项式系数的性质．专题：二项式定理．分析:先把原式前两项结合展开,分析可知仅有展开后的第一项含有x2项，然后写出第一项二项展开式的通项,由x的指数为2求得r值，则答案可求．解答：解:∵（1+x+)1=，∴仅在第一部分中出现x2项的系数．再由，令r=2，可得，x2项的系数为．故答案为：45．点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题．12．（4分）（2015•上海）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2，3，4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）;随后放回该卡片,再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则Eξ1﹣Eξ2=0.2(元）．考点：离散型随机变量的期望与方差．专题: 概率与统计．分析:分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论．解答：解：赌金的分布列为P所以Eξ1=（1+2+3+4+5)=3，奖金的分布列为P所以Eξ2=1.4×(×1+×2+×3+×4）=2。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则UAB =_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x x f x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U AB =ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
2015年高考理科数学上海卷(含答案解析)
数学试卷 第1页（共18页） 数学试卷 第2页（共18页） 数学试卷 第3页（共18页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U AB =ð .2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为 . 10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A的坐标为（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )ABC .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共18页） 数学试卷 第5页（共18页） 数学试卷 第6页（共18页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数； （Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.数学试卷 第7页（共18页） 数学试卷 第8页（共18页） 数学试卷 第9页（共18页）1sin602a a ︒，1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征123270x+=011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第10页（共18页） 数学试卷 第11页（共18页） 数学试卷 第12页（共18页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，按照下图所示取值可以满足条件，所以m的最小值为8．【提示】对任意的i x ，j x ，|()()|2i j f x f x -=，让i x 取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，12231|()()||()()||()()|12m m f x f x f x f x f x f x --+-++-=，【解析】解：如图，ABD △与ACD △的面积分别为2和4||||22AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-．85||||15DE DF =数学试卷 第13页（共18页） 数学试卷 第14页（共18页） 数学试卷 第15页（共18页）为坐标原点，、DC 、DD 分别为xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得(0,2,D C =，11(2,2,0)A C =-，(0,1,A E =设平面11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,,)(2,2,0)0,)(0,1,1)x y z y z -=-=2-⎧所以(1,1,1)n =，111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =上的Q 点，设甲在cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代值计算可得；由已知数据和余弦定理可得3数学试卷 第16页（共18页） 数学试卷 第17页（共18页） 数学试卷 第18页（共18页）2(a a +-+2112()b b a +++-112)b a +-2(a a +-+1(22n a b +)n x <<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程c o s ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,；而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解； ∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可； （Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查c o s ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
2015年高考理科数学上海卷(含详细答案)
数学试卷 第1页（共42页） 数学试卷 第2页（共42页） 数学试卷 第3页（共42页）绝密★启用前2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）理科数学注意事项:1.本试卷共6页,23道试题,满分150分.考试时间120分钟.2.本考试分设试卷和答题纸.试卷包括试题与答题要求.作答必须涂（选择题）或写（非选择题）在答题纸上,在试卷上作答一律不得分.3.答卷前,务必用钢笔或圆珠笔在答题纸正面清楚地填写姓名、准考证号,并将核对后的条形码贴在指定位置上.一、填空题：本大题共有14题,满分56分.直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．设全集=U R .若集合={1,2,3,4}A ，{23}B x x ≤≤=，则U A B =ð . 2．若复数z 满足31i z z +=+，其中i 为虚数单位，则z = .3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫ ⎪⎝⎭、解为35x y ，，=⎧⎨=⎩则12c c -= . 4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为163，则a = .5．抛物线22(0)y px p =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = . 6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 . 7．方程1122log (95)log (32)2x x ---=-+的解为 .8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）.9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C .若1C 的渐近线方程为3y x =±，则2C 的渐近线方程为 .10．设1()f x -为2()22x xf x -=+，[0,2]x ∈的反函数，则1()()y f x f x -=+的最大值为 . 11．在1020151(1)x x++的展开式中，2x 项的系数为 （结果用数值表示）. 12．赌博有陷阱.某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）.若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元.13．已知函数()sin f x x =.若存在12,,m x x x 满足1206πm x x x ≤＜＜＜≤，且1|f x （）223-1|||++||=122,m m f x f x f x f x f x m m *N （）（）（）（）（）（≥）-+--∈，则m 的最小值为 .14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD △与ACD △的面积分别为2和4.过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则 DE DF = . 二、选择题：本大题共有4题,满分20分.每题有且只有一个正确答案,将正确答案填在题后括号内,选对得5分,否则一律得零分.15．设12,z z C ∈，则“12z z ,中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的( )A .充分非必要条件B .必要非充分条件C .充要条件D .既非充分又非必要条件16．已知点A 的坐标为43,1（），将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转π3至OB ，则点B 的纵坐标为( )A .33 B .53C .112D .13217．记方程①：2110x a x ++=，方程②：2220x a x ++=，方程③：2340x a x ++=，其中1a ，2a ，3a 是正实数.当1a ，2a ，3a 成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是( )A .方程①有实根，且②有实根B .方程①有实根，且②无实根C .方程①无实根，且②有实根D .方程①无实根，且②无实根18．设(),n n n P x y 是直线2()1nx y n n *N -=∈+与圆222x y +=在第一象限的交点，则极限 1lim 1n n ny x →∞-=-( ) A .1- B .12- C .1D .2三、解答题：本大题共有5题,满分74分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.19.（本小题满分12分）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AA =，2AB AD ==，E ，F 分别是棱AB ，BC 的中点.证明：11A C F E ，，，四点共面，并求直线1CD 与平面11A C FE 所成的角的大小.20.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.如图，A ，B ，C 三地有直道相通，5AB =千米，3AC =千米，4BC =千米.现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为f t ()(单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时.乙到达B 地后在原地等待.设1=t t 时，乙到达C 地. （Ⅰ）求1t 与1f t ()的值；（Ⅱ）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米.当11t t ≤≤时，求f t ()的表达式，并判断f t ()在1[,1]t 上的最大值是否超过3？说明理由.21.（本小题满分14分）本题共有2个小题,第1小题满分6分,第2小题满分8分.姓名________________ 准考证号_____________--------在--------------------此--------------------卷--------------------上--------------------答--------------------题--------------------无--------------------效----------------数学试卷 第4页（共42页） 数学试卷 第5页（共42页） 数学试卷 第6页（共42页）已知椭圆1222=+y x ，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A ，B 和C ，D .记得到的平行四边形ACBD 的面积为S .（Ⅰ）设11(,)A x y ，22(,)C x y .用A ，C 的坐标表示点C 到直线1l 的距离，并证明12212||S x y x y =-；（Ⅱ）设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22.（本小题满分16分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.已知数列{}n a 与{}n b 满足112()n n n n a a b b ++-=-，n *N ∈. （Ⅰ）若35n b n =+，且11a =，求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设{}n a 的第0n 项是最大项，即0()n n a a n *N ≥∈.求证：{}n b 的第0n 项是最大项； （Ⅲ）设10a ＜λ=，()n n b n *N λ=∈.求λ的取值范围，使得{}n a 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2)Mm∈-.23.（本小题满分18分）本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期.已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0f =，()4πf T =. （Ⅰ）验证()sin 3x h x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（Ⅱ）设a b <.证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =； （Ⅲ）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]x T ∈都有()()()f x T f x f T +=+.3 / 141sin602a a ︒，正棱柱的高1sin 601632a a a ⎫︒=⎪⎭【提示】由题意可得1sin 601632a a a ⎛⎫︒=⎪⎭【考点】棱锥的结构特征数学试卷 第10页（共42页）数学试卷 第11页（共42页） 数学试卷 第12页（共42页）123270x +=5 / 14011019102015201511(1)C x x x ⎛⎫⎛⎫+++⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，项的系数．数学试卷 第17页（共42页） 数学试卷 第18页（共42页）【解析】对任意的i x ，j x ，max min |()()|()()2i j f x f x f x f x -≤-=， 欲使m 取最小值，尽可能多的让(1,2,,)i x i m =取最值点，考虑到1206πm x x x ≤<<<≤，*12231|()()||()()||()()|12(2,)m m f x f x f x f x f x f x m m N --+-++-=≥∈，6m x <<≤|(m f x -++的最小值．7 / 14【解析】解：如图，||||2AB DE =，||||4AC DF =，可得4||||DE AB =，8||||DF AC =，32||||||||DE DF AB AC =．1tan 2A =，∴sin 1cos 2A A =，联立||||sin 2AB AC A ||||12AB AC =85||||15DE DF =8||||||||cos ,DE DF DE DF DE DF ==故答案为：1615-． 85||||15DE DF =数学试卷第22页（共42页）数学试卷第23页（共42页）数学试卷第24页（共42页）9 / 14易求得(0,2,D C =，(2,2,0)AC =-，(0,1,A E =11AC EF 的法向量为(,y,)n x z =11100n A C n A E ⎧=⎪⎨=⎪⎩，所以,)(2,2,0),)(0,1,1)z z -=-=，所以(1,1,1)n =，所以111|||(1,1,1)(0,2,1)||cos ,|||||35n D C n D C n D C -===CD 与平面11A C FE 所成的角的大小arcsincos AC AP A =数学试卷 第28页（共42页）数学试卷 第29页（共42页） 数学试卷 第30页（共42页）cos QB PB B22(78)(5t --cos AC AP A ，代3数学试卷 第34页（共42页）2(a a +-+2112()b b a +++-2)b a +-2(a +-+1(2a b +（Ⅱ）∵()f x 的值域为R ；∴存在0x ，使0()f x c =；又(),)]([c f a f b ∈；∴0()()()f a f x f b ≤≤，而()f x 为增函数；∴0a x b ≤≤；即存在0,[]x a b ∈，使0()f x c =；（Ⅲ）证明：若0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解；则：0cos ()1f u T +=，02T u T T +≤≤；∴0cos ()1f u =，且00u T ≤≤；∴0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解；∴“0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上得解”的充分条件是“0u T +为方程cos ()1f x =在区间[],2T T 上的解”；下面证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+：①当0x =时，(0)0f =，∴显然成立；②当x T =时，cos (2)cos ()1f T f T ==；∴11(2)2,()f T k k Z π=∈，()4πf T =，且12π4πk >，∴12k >；1）若13k =，(2)6πf T =，由（Ⅱ）知存在0(0,)x T ∈，使0()2πf x =；0002cos ()cos ()1()2πf x T f x f x T k +==⇒+=，2k ∈Z ；∴0()()(2)f T f x T f T <+<；∴24π2π6πk <<；∴223k <<4，无解；2）若15k ≥，(2)10πf T ≥，则存在122T x x T <<<，使得1()6πf x =，2()8πf x =；则T ，1x ，2x ，2T 为cos ()1f x =在[],2T T 上的4个解；但方程cos ()1f x =在[0]2T ,上只有()0f x =，2π，4π，3个解，矛盾； 3）当14k =时，(2)8π()()f T f T f T ==+，结论成立；③当(0)x T ∈,时，()(04π)f x ∈,，考查方程cos ()f x c =在(0)T ,上的解； 设其解为1()f x ，2()f x ，…，()n f x ，12()n x x x <<<；则1()f x T +，2()f x T +，…，()n f x T +为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；又()(4π8π)f x T +∈,； 而1()4πf x +，2()4πf x +，…，()4π(4π,8π)n f x +∈为方程cos ()f x c =在[,2]T T 上的解；∴()()4π()()i i i f x T f x f x f T +=+=+；数学试卷 第40页（共42页）∴综上对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+．【提示】（Ⅰ）根据余弦周期函数的定义，判断(6π)cosg x +是否等于cos ()g x 即可；（Ⅱ）根据()f x 的值域为R ，便可得到存在0x ，使得0()f x c =，而根据()f x 在R 上单调递增即可说明0,[]x a b ∈，从而完成证明；（Ⅲ）只需证明0u T +为方程cos ()1f x =在区间[2]T T ,上的解得出0u 为方程cos ()1f x =在[0]T ,上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解．证明对任意,[]0x T ∈，都有()()()f x T f x f T +=+，可讨论0x =，x T =，(0)x T ∈,三种情况：0x =时是显然成立的；x T =时，可得出cos (2)1f T =，从而得到1(2)2πf T k =，1k ∈Z ，根据()f x 单调递增便能得到12k >，然后根据()f x 的单调性及方程cos ()1f x =在[],2T T 和它在[0]T ,上解的个数的情况说明13k =，和15k ≥是不存在的，而14k =时结论成立，这便说明x T =时结论成立；而对于(0)x T ∈,时，通过考查cos ()f x c =的解得到()()()f x T f x f T +=+，综合以上的三种情况，最后得出结论即可．【考点】函数与方程的综合运用。
15年高考真题——理科数学(上海卷)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（上海）卷数学（理科）一．填空题：共14小题，每小题4分，共56分。
1．设全集U R =，若集合{}1,2,3,4A =，{}23B x x =≤≤，则U A B = ð_________。
2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =_________。
3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩，则12c c -=__________。
4．若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为a =__________。
5．抛物线22y px =（0p >）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p =_______。
6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为_______。
7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为___________。
28．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为________（结果用数值表示）。
9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为双曲线1C 和2C 。
若1C的渐近线方程为y =，则2C 的渐近线方程为__________。
10．设()1fx -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为_________。
11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为________（结果用数值表示）。
12．赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1,2,3,4,5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）。
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2015年上海高考数学理科含答案word版2015年上海高等学校招生数学试卷（理工农医类）一. 填空题（本大题共有14题，每题4分，满分56分）1．设全集U=R ，若集合{}A=12,3,4，，{}23B x x =≤≤，则U A C B =I ；2．若复数z 满足31z z i +=+，其中i 为虚数单位，则z =；3．若线性方程组的增广矩阵为122301c c ⎛⎫⎪⎝⎭，解为35x y =⎧⎨=⎩ ，则12c c -= ；4．若正三棱柱的所有棱长均为a ，且其体积为3a = ；5．抛物线22(p 0)ypx =>上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则p = ；6．若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角大小为 ； 7．方程()()1122log 95log 322x x ---=-+的解为 ；8．在报名的3名男教师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 ；（结果用数值表示）9．已知点P 和Q 的横坐标相同，P 的纵坐标是Q 的纵坐标的2倍，P 和Q 的轨迹分别为1C 和2C ，若1C 的渐近线方程为3y x=，则2C 的渐近线方程为 ； 10．设()1f x -为()222x xf x -=+，[]0,2x ∈的反函数，则()()1y f x f x -=+的最大值为 ；11．在10201511x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中，2x 项的系数为 ；（结果用数值表示）12．赌博有陷阱，某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1、2、3、4、5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4倍作为其奖金（单位：元）；若随机变量1ξ和2ξ分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则12E E ξξ-= 元；13．已知函数()sin f x x=，若存在12,,mx x x L 满足1206m x x x π≤<<<≤L ，且()()()()()()()*12231++=122,m m f x f x f x f x f x f x m m N --+--≥∈L ，则m的最小值为 ；14．在锐角三角形ABC 中，1tan 2A =，D 为边BC 上的点，ABD V 与ACD V 的面积分别为2和4，过D 作DE AB ⊥于E ，DF AC ⊥于F ，则DE DF =u u u r u u u r g ；二. 选择题（本大题共有4题，每题5分，满分20分） 15．设12z zC∈、，则“12z z 、中至少有一个数是虚数”是“12z z -是虚数”的（ ）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要条件 16．已知点A 的坐标为()43,1，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为（ ） A. 332 B. 532 C. 112D. 13217．记方程①：2110x a x ++= ；方程②：2210xa x ++=；③：2310xa x ++=；其中123a a a 、、是正实数，当123a a a 、、成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实数根的是（ ）A. 方程①有实根，且②有实根B. 方程①有实根，且②无实根C. 方程①无实根，且②有实根D. 方程①无实根，且②无实根18．设(),n n nP x y 是直线()*21n x y n N n -=∈+与圆222xy +=在第一象限的交点，则极限1lim 1nx nyx→∞-=-（ ）A. 1-B. 12-C. 1D. 2三. 解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19. (本题满分12分)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11,2,AA AB AD E F===、分别是棱AB BC 、的中点.证明11A C F E 、、、四点共面，并求直线1CD 与平面11AC FE 所成的角的大小.20. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分.如图，A B C 、、三地有直道相通，5AB =千米，3AC =，4BC =千米，现甲乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过t 小时，他们之间的距离为()t f (单位：千米).甲的路线是AB ，速度为5千米/小时，乙的路线是ACB ，速度为8千米/小时. 乙到达B 地后在原地等待. 设1=t t 时，乙到达C 地.(1)求1t 与()1f t 的值；(2)已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米. 当11≤≤t t时，求()t f 的表达式，并判断()t f 在[]1,1t 上的最大值是否超过3？说明理由.21. (本题满分14分)本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 已知椭圆1222=+y x，过原点的两条直线1l 和2l 分别与椭圆交于点A B 、和C D 、记得到的平行四边形ABCD 的面积为S .(1)设()()1122,,C ,y A x y x . 用A C 、的坐标表示C 到直线1l的距离，并证明12212y x yx S -=；(2)设1l 与2l 的斜率之积为21-，求面积S 的值.22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分6分.已知数列{}na 与{}nb 满足112(),*n n n n aa b b n N ++-=-∈. (1)若35,nbn =+且11a=,求{}na 的通项公式;(2)设{}na 的第0n 项是最大项,即0(*)n n a a n N ≥∈,求证:{}nb 的第0n 项是最大项;(3)设10a λ=<,(*)n nbn N λ=∈,求λ的取值范围,使得{}na 有最大值M 和最小值m ，且使得(2,2).M m∈-23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分, 第3小题满分8分.对于定义域为R 的函数()g x ，若存在正常数T ，使得cos ()g x 是以T 为周期的函数，则称()g x 为余弦周期函数，且称T 为其余弦周期，已知()f x 是以T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R ，设()f x 单调递增，(0)0,()4.f f T π==（1）验证()sin 3xh x x =+是以6π为余弦周期的余弦周期函数；（2）设a b <，证明对任意[(),()]c f a f b ∈，存在0[,]x a b ∈，使得0()f x c =；（3）证明：“0u 为方程cos ()1f x =在[0,]T 上的解”的充要条件是“0+u T 为方程cos ()1f x =在[,2]T T 上的解”，并证明对任意[0,]+=+。
f x T f x f T∈都有()()()x T参考答案一. 填空题. 题号 123 4 5 67答案 {}1,41142i +16 4 2 3π2x =题号 8 910 111213 14答案 12032y x =±4 45 0.281615-二. 选择题.15. B ；16. D ；17. D ；18. A三. 解答题19.（1）证明：连结AC ，111111111111AA =CC AAC C A C //AC AA //CC EF //AC A C E F AE BE EF //A C BF CF ⎫⎫⇒⇒⎬⎪⎪⎭⇒⇒⎬=⎫⎪⇒⎬⎪=⎭⎭为平行四边形、、、四点共面（2）以D 为坐标原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴建立空间直角坐标系，()()()()()()()()()()1111111112,0,1,0,2,0,0,0,1,2,1,0,1,2,01,1,0,0,1,1,,001,1,1cos ,1502,111A C D E F EF A E AC FE n a b c a+b=0n EF n A E=b-c=0n n CD CD =-CD AC FE ⎫⇒=-=-⎪⎬=⎪⎭-⎧=⇒⎨⎩⎫⇒⎪⇒=⎬⎪⎭⇒u u u r u u u rr r u u u r r u u u r g g rr u u u u r u u u u r 设平面的一个法向量为且的一个值为而，与平面1515arcsin所成的角的大小为20. 解：（1）133,cos 85tA ==，由余弦定理得：()()()221111122211158258cos 325648053418f t t t t t At t t =+-=+-=g g g g（2）37,88t B F E ≤<当时，乙尚未到达地，设此时乙位于，甲位于则 47855cos 5BF=-t BE=-t B=，，，由余弦定理得：()()()()()222785527855cos 254218f t t t t t B t t =-+----=-+g g ()()321217373413825258888f t t t t f t ⎡⎤⎡⎫∈∈≤<≤<⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭在，单调递减，在，单调递增，故时，()()75155,388t B f t t f t ≤≤=-≤<当时，乙已到达地，单调递减，()2372542188875518t t t f t t t ⎧-+≤<⎪⎪=⎨⎪-≤≤⎪⎩，()3f t 的最大值小于.21. （1）证明：22111110,l y x x y AB=2x y -=+的方程为：，()1212221112122211,0y x x y C x y y x x y d S=AB d=2x y y x x y--==⇒⋅-+到直线的距离为：（2）解：1l y=kx l x=-ky 2设：，则直线：2，将直线方程分别代入椭圆方程可得：22221212222122,212121k k x x x x k k k ==⇒=+++2121212121212222222x x k S=x y y x =kx x x x k k+⇒-+=⋅=22.（1）nna a =6n-5为等差数列， （2）()()()()0000000000000001112121122202n n n n n n n n n n k n n k n k n k n k n ka ab b a a b b aa b b a a b b ---------+--+-⎫-=-⎪⎪-=-⎪⇒-=-≥⎬⎪⎪-=-⎪⎭L同理：()00020n n k n n k aa b b ++-=-≥综上所述，0n b 为{}nb 的最大项（3）()()()()1112122121222,222122n n n n n n n n n n a a n a a a n a a λλλλλλλλ------⎫⎪-=-⎪⎪≥-=-⇒=-=⎬⎪⎪⎪-=-⎭L 时时也成立①21211,3,k k =a a λ--=-=当时，不满足题意②()1,0λλλ∈-当时，偶数项递减且均大于-，奇数项递增且均小于-()221221212,2,022M=a M m m a λλλλλλλλ⎧=--⎛⎫⇒⇒==-∈-⇒∈-⎨ ⎪==⎝⎭⎩③(),1λλλ∈-∞-当时，偶数项递增且均大于-，奇数项递减且均小于-，无最值。