2012年上海高考数学理科试题
2012年上海高考理科数学试卷及解析
2012年上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： （ 为虚数单位）．．（ 上海）若集合 ＞ ， ﹣ ＜ ，则 ．．（ 上海）函数 （ ） 的值域是 ．．（ 上海）若 （﹣ ， ）是直线 的一个法向量，则 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．．（ 上海）在的二项展开式中，常数项等于．．（ 上海）有一列正方体，棱长组成以 为首项、为公比的等比数列，体积分别记为 ， ， ， ， ，则（ ）．．（ 上海）已知函数 （ ） ﹣ （ 为常数）．若 （ ）在区间 ， ）上是增函数，则 的取值范围是 ．．（ 上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为 的半圆面，则该圆锥的体积为 ．．（ 上海）已知 （ ） 是奇函数，且 （ ） ，若 （ ） （ ） ，则 （﹣ ） ．．（ 上海）如图，在极坐标系中，过点 （ ， ）的直线 与极轴的夹角 ，若将 的极坐标方程写成 （ ）的形式，则 （ ）．．（ 上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）．．（ 上海）在平行四边形 中， ，边 、 的长分别为 、 ，若 、 分别是边 、 上的点，且满足 ，则的取值范围是 ．．（ 上海）已知函数 （ ）的图象是折线段 ，其中 （ ， ）、 （， ）、 （ ， ），函数 （ ）（ ）的图象与 轴围成的图形的面积为 ．．（ 上海）如图， 与 是四面体 中互相垂直的棱，，若 ，且 ，其中 、 为常数，则四面体 的体积的最大值是 ．二、选择题（ 分）：．（ 上海）若 是关于 的实系数方程 的一个复数根，则（）． ， ． ﹣ ， ． ﹣ ， ﹣ ． ， ﹣．（ 上海）在 中，若 ＜ ，则的形状是（）．锐角三角形 ．直角三角形 ．钝角三角形 ．不能确定．（ 上海）设 ＜ ＜ ＜ ， ，随机变量 取值 、 、 、 、 的概率均为 ，随机变量 取值、、、、的概率也均为 ，若记 、 分别为 、的方差，则（）． ＞．． ＜． 与 的大小关系与 、 、 、 的取值有关．（ 上海）设 ， ，在 ，， 中，正数的个数是（）． ． ． ．三、解答题（共 小题，满分 分）．（ 上海）如图，在四棱锥 ﹣ 中，底面 是矩形， 底面 ， 是 的中点，已知 ， ， ，求：（ ）三角形 的面积；（ ）异面直线 与 所成的角的大小．．（ 上海）已知 （ ） （ ）（ ）若 ＜ （ ﹣ ）﹣ （ ）＜ ，求 的取值范围；（ ）若 （ ）是以 为周期的偶函数，且当 时， （ ） （ ），求函数 （ ）（ ， ）的反函数．．（ 上海）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为 轴正方向建立平面直角坐标系（以 海里为单位长度），则救援船恰好在失事船正南方向 海里 处，如图，现假设：失事船的移动路径可视为抛物线；定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；救援船出发 小时后，失事船所在位置的横坐标为（ ）当 时，写出失事船所在位置 的纵坐标，若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向．（ ）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？．（ 上海）在平面直角坐标系 中，已知双曲线 ： ﹣．（ ）过 的左顶点引 的一条渐进线的平行线，求该直线与另一条渐进线及 轴围成的三角形的面积；（ ）设斜率为 的直线 交 于 、 两点，若 与圆 相切，求证： ；（ ）设椭圆 ： ，若 、 分别是 、 上的动点，且 ，求证： 到直线 的距离是定值．．（ 上海）对于数集 ﹣ ， ， ， ， ，其中 ＜ ＜ ＜ ＜ ， ，定义向量集 （ ， ）， ， ，若对任意，存在，使得，则称 具有性质 ．例如 ﹣ ， ， 具有性质 ．（ ）若 ＞ ，且 ﹣ ， ， ， 具有性质 ，求 的值；（ ）若 具有性质 ，求证： ，且当 ＞ 时， ；（ ）若 具有性质 ，且 、 （ 为常数），求有穷数列 ， ， ， 的通项公式．年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（ 分）：．（ 上海）计算： ﹣ （ 为虚数单位）．考点：复数代数形式的乘除运算。
2012年高考真题试卷理科数学(上海卷)答案解析版(2)
2012年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理）一、填空题（56分）： 1．计算：=+-ii13 （i 为虚数单位）。
【解析】复数i ii i i i i i 21242)1)(1()1)(3(13-=-=-+--=+-。
【答案】i 21-2．若集合}012|{>+=x x A ，}2|1||{<-=x x B ，则=B A 。
【解析】集合}21{}012{->=>+=x x x x A ，}31{}21{<<-=<-=x x x x B ，所以}321{<<-=x x B A ，即)3,21(-。
【答案】)3,21(-3．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是 。
【解析】函数x x x x f 2sin 212cos sin 2)(--=--=，因为12s i n 1≤≤-x ，所以212s i n 2121≤-≤-x ，232sin 21225-≤--≤-x ，即函数)(x f 的值域为]23,25[--。
【答案】]23,25[--4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）。
【解析】【 设倾斜角为α，由题意可知，直线的一个方向向量为（1,2），则2tan =α， ∴α=2arctan 。
【答案】2arctan5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 。
【解析】二项展开式的通项为k kk k k k k x C xx C T )2()2(26666661-=-=----+，令026=-k ，得3=k ，所以常数项为160)2(3364-=-=C T 。
【答案】160-6．有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 21，则=+++∞→)(lim 21n n V V V 。
【解析】由题意可知，该列正方体的体积构成以1为首项，81为公比的等比数列， ∴1V +2V +…+n V =811811--n =)811(78n -，∴=+++∞→)(lim 21n n V V V 78。
2012年高考理科数学上海卷
CD 上的点,且满足 | BM | | CN | ,则 AM AN 的取值范围是
.
| BC | | CD |
13.已知函数 y f (x) 的图像是折线段 ABC,其中 A(0,0) 、B(1 ,5) 、 2
C(1,0) .函数 y xf (x) (0≤x≤1) 的图像与 x 轴围成的图形的
面积为
数值表示）.
（结果用反三角函
5.在 (x 2)6 的二项展开式中,常数项等于
.
x
6.有一列正方体,棱长组成以 1 为首项, 1 为公比的等比数列,体积分别记为
2
题
V1,V2 , ,Vn 则 lnim(V1 V2 Vn )
.
7.已知函数 f (x) e|xa|（a 为常数）.若 f (x) 在区间[1,+)上是增函数,则 a 的取值范围
6
效
式,则 f ( )
.
数学试卷 第 1 页（共 4 页）
11.三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目,则有且仅有
两人选择的项目完全相同的概率是
（结果用最简分数表示）.
12.在平行四边形 ABCD 中, A= π ,边 AB、AD 的长分别为 2、1.若 M、N 分别是边 BC、 3
22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小 题满分 6 分. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C1 : 2x2 y2 1.
（Ⅰ）过 C1 的左顶点引 C1 的一条渐近线的平行线,求该直线与另一条渐近线及 x 轴围 成的三角形的面积； （Ⅱ）设斜率为 1 的直线 l 交 C1 于 P、Q 两点.若 l 与圆 x2 y2 1 相切,求证：OP⊥OQ； （Ⅲ）设椭圆 C2 : 4x2 y2 1.若 M、N 分别是 C1 、 C2 上的动点,且 OM⊥ON,求证： O 到直线 MN 的距离是定值.
2012年高考真题——理科数学试题及答案(天津卷、山东卷、上海卷、全国新课标卷、大纲版)解析版
2012年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数 学 （理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。
第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利！第Ⅰ卷注意事项：本卷共8小题，每小题5分，共40分.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）i 是虚数单位，复数ii+-37= （A ） 2 + i （B ）2 – i （C ）-2 + i （D ）-2 – i【解析】复数i ii i i i i i -=-=+---=+-2101020)3)(3()3)(7(37，选B. 【答案】B（2）设,R ∈ϕ则“0=ϕ”是“))(cos()(R x x x f ∈+=ϕ为偶函数”的（A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分与不必要条件【解析】函数)cos()(ϕ+=x x f 若为偶函数，则有Z k k ∈=,πϕ,所以“0=ϕ”是“)cos()(ϕ+=x x f 为偶函数”的充分不必要条件，选A.【答案】A（3）阅读右边的程序框图，运行相应的程序，当输入x 的值为-25时，输出x 的值为（A ）-1 （B ）1 （C ）3 （D ）9【解析】第一次循环,415125=-=--=x ，第二次循环11214=-=-=x ，第三次循环不满足条件输出3112=+⨯=x ，选C.【答案】C（4）函数22)(3-+=x x f x在区间(0,1)内的零点个数是 （A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【解析】因为函数22)(3-+=x x f x的导数为032ln 2)('2≥+=x x f x，所以函数22)(3-+=x x f x 单调递增，又0121)0(<-=-=f ，01212)1(>=-+=f ，所以根据根的存在定理可知在区间)1,0(内函数的零点个数为1个，选B. 【答案】B（5）在52)12(xx -的二项展开式中，x 的系数为（A ）10 （B ）-10 （C ）40 （D ）-40【解析】二项展开式的通项为k k k k k k kk x C xx C T )1(2)1()2(310555251-=-=---+，令1310=-k ，解得3,93==k k ，所以x x C T 40)1(232354-=-=，所以x 的系数为40-，选D.【答案】D（6）在ABC ∆中，内角A ，B ，C 所对的边分别是c b a ,,，已知8b=5c ，C=2B ，则cosC=（A ）257 （B ）257- （C ）257± （D ）2524【解析】因为B C 2=,所以B B B C cos sin 2)2sin(sin ==,根据正弦定理有BbC c sin sin =，所以58sin sin ==B C b c ，所以545821sin 2sin cos =⨯==B C B 。
2012年高考理科数学上海卷-答案
2012年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学试卷(理工农医类)【解析】方向向量(1,2)d =，所以2l k =，倾斜角arctan2α=【提示】根据直线的法向量求出直线的一个方向向量，从而得到直线的斜率，根据tan k α=可求出倾斜角 【考点】平面向量坐标 5.【答案】160-【解析】展开式通项662166(1)2(1)2r r r r r r r r rr T C x x C x ---+=-=-，令620r -=，得3r =，故常数项为3362160C -⨯=-【提示】研究常数项只需研究二项式的展开式的通项，使得x 的指数为0，得到相应的r ，从而可求出常数项【考点】二项式定理6.【答案】87【提示】由题意可得，正方体的体积1318n n n V a -⎛⎫== ⎪⎝⎭是以1为首项，以18为公比的等比数，由不等数列的求和公式可求【考点】数列的极限，棱柱，棱锥，棱台的体积． 7.【答案】1a ≤【解析】令()||g x x a =-，则()()e g x f x =，由于底数1e >，故()()f x g x ↑⇔↑，由()g x 的图像知()f x 在区间[1,)+∞上是增函数时，1a ≤【提示】由题意，复合函数()f x 在区间[1,)+∞上是增函数可得出内层函数||t x a =-在区间[1,)+∞上是增函数，又绝对值函数||t x a =-在区间[)a +∞，上是增函数，可得出[1,,)[)a ⊆+∞+∞，比较区间端点即可得出a 的取值范围【考点】指数函数单调性8.【答案】3【解析】如图，21π2π22l l =⇒=，又22ππ2π1r l r==⇒=，所以h =21π3V r h ==【提示】通过侧面展开图的面积．求出圆锥的母线，底面的半径，求出圆锥的体积即可 【考点】旋转体 9.【答案】1-【解析】2()y f x x =+是奇函数，则22(1)(1)[(1)1]4f f -+-=-+=-，所以(1)3f -=-，(1)(1)21g f -=-+=-【提示】由题意，可先由函数是奇函数求出(1)3f -=-，再将其代入(1)g -求值即可得到答案 【考点】函数奇偶性，函数的值 10.【答案】()π61sin θ-【解析】(2,0)M 的直角坐标也是(2)0，，斜率k =，所以其直角坐标方程为2x -=，化为极坐标方程为：cos 2ρθθ-=，1cos 12ρθθ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，πsin 16ρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，()π61sin ρθ=-，即()π61()sin f θθ=-．【提示】取直线l 上任意一点(,)P ρθ，连接OP ，则OP ρ=，POM θ∠=，在三角形POM 中，利用正弦定理建立等式关系，从而求出所求 【考点】极坐标方程【提示】先求出三个同学选择的所求种数，然后求出有且仅有两人选择的项目完全相同的种数，最后利用古典概型及其概率计算公式进行求解即可 【考点】古典概型，概率计算 12.【答案】[2,5]【提示】画出图形，建立直角坐标系，利用比例关系，求出M ，N 的坐标，然后通过二次函数求出数量积的范围【考点】平面向量 13.【答案】54133211201122535515510|(10)|10|533212124124x x x =⨯+-⨯+⨯=-+-==故答案为：54【提示】根据题意求得110,02()11010,12x x f x x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭=⎨⎛⎫⎪-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，从而22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧⎛⎫≤≤ ⎪⎪⎪⎝⎭==⎨⎛⎫⎪-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎩，利用定积分可求得函数(),(01)y xf x x =≤≤的图像与x 轴围成的图形的面积 【考点】函数的图像319.【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）π420.【答案】（Ⅰ）2133x -<< （Ⅱ）310xy =-，0,[]lg2x ∈（Ⅱ）结合函数的奇偶性和反函数知识进行求解． 【考点】函数的周期性，反函数，对数函数图像与性质． 21.【答案】/时 救援船速度的方向为北偏东7arctan30弧度 （Ⅱ）救援船的时速至少是25海里才能追上失事船22.【答案】（Ⅰ）双曲线212:1112x y C -=左顶点A ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，渐近线方程为：y =．23.【答案】（Ⅰ）选取1(,2)a x =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式(1,)b -．11 / 11综上所述1i i x q -=，1,2,,i n =⋯【提示】（Ⅰ）在Y 中取1(,2)a x =u u r ，根据数量积的坐标公式，可得Y 中与1a u u r 垂直的元素必有形式(1,)b -，所以2x b =，结合2x >，可得x 的值．（Ⅱ）取111(,)a x x =u u r ，2(,)a s t =u u r 根据120a a =u u r u u r g ，化简可得0s t +=，所以s t 、异号．而1-是数集X 中唯一的负数，所以s t 、中的负数必为1-，另一个数是1，从而证出1X ∈，最后通过反证法，可以证明出当1n x >时，11x =（Ⅲ）先猜想结论：1i i x q -=，1,2,3,...i n =记2{1,1,,,}k k A x x =-L ，2,3,,k n =⋯通过反证法证明出引理：若1k A +具有性质P ，则k A 也具有性质P ．最后用数学归纳法，可证明出1i i x q -=，1,2,3,...i n =【考点】数列，向量，元素，集合关系．。
2012上海市高考数学理科试卷及参考答案
2012年上海高考数学（理科）试卷及参考答案一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1．计算：ii +-13= （i 为虚数单位）.2．若集合}012|{>+=x x A ，}21|{<-=x x B ，则B A = . 3．函数1sin cos 2)(-=x xx f 的值域是 .4．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.5．在6)2(xx -的二项展开式中，常数项等于 .6．有一列正方体，棱长组成以1为首项，21为公比的等比数列，体积分别记为V 1,V 2,…,V n ,…，则=+++∞→)(lim 21n n V V V .7．已知函数||)(a x e x f -=（a 为常数）.若)(x f 在区间[1,+∞)上是增函数，则a 的取值范围是 .8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为 . 9．已知2)(x x f y +=是奇函数，且1)1(=f .若2)()(+=x f x g ，则=-)1(g . 10．如图，在极坐标系中，过点)0,2(M 的直线lπα=.若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式，则 =)(θf .11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛.若每人都选择其中两个项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是 （结果用最简分数表示）.12．在平行四边形ABCD 中，∠A=3π, 边AB 、AD 的长分别为2、1. 若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点，且满足||||CD BC =，则AN AM ⋅的取值范围是 .13．已知函数)(x f y =的图像是折线段ABC ，若中A (0,0)，B (21,5)，C (1,0). 函数)10()(≤≤=x x xf y 的图像与x 轴围成的图形的面积为 .14．如图，AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱，BC=2.若AD=2c ，且AB+BD=AC+CD=2a ，其中a 、c 为 常数，则四面体ABCD 的体积的最大值是 .二、选择题（本大题共有4题，满分20分）15．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根，则（ ）（A ）3,2==c b . （B ）3,2=-=c b . （C ）1,2-=-=c b .（D ）1,2-==c b . 16．在ABC ∆中，若C B A 222sin sin sin <+，则ABC ∆的形状是（ ）（A ）锐角三角形. （B ）直角三角形. （C ）钝角三角形. （D ）不能确定. 17．设443211010≤<<<≤x x x x ，5510=x . 随机变量1ξ取值1x 、2x 、3x 、4x 、5x 的概率均为0.2，随机变量2ξ取值21x x +、32x x +、43x x +、54x x +、15x x +的概率也为0.2. 若记1ξD 、2ξD 分别为1ξ、2ξ的方差，则（ ）（A ）1ξD ＞2ξD . （B ）1ξD ＝2ξD . （C ）1ξD ＜2ξD .ABCD（D ）1ξD 与2ξD 的大小关系与1x 、2x 、3x 、4x 的取值有关.18．设1sin πnn a =，n n a a a S +++= 21. 在10021,,,S S S 中，正数的个数是 （ ） （A ）25. （B ）50.（C ）75.（D ）100.三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19．如图，在四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点.已知AB=2， AD=22，PA=2.求：（1）三角形PCD 的面积；（6分）（2）异面直线BC 与AE 所成的角的大小.（6分）20．已知函数)1lg()(+=x x f .（1）若1)()21(0<--<x f x f ，求x 的取值范围；（6分）（2）若)(x g 是以2为周期的偶函数，且当10≤≤x 时，有)()(x f x g =，求函数ABCD PE)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.（8分）21．海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处，如图.24912x y =援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为t 7.（1）当5.0=t 时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（6分）（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？（8分）22．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线12:221=-y x C .（1）过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成的三角形的面积；（4分）（2）设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点，若l 与圆122=+y x 相切，求证：OP ⊥OQ ；（6分）（3）设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点，且OM ⊥ON ， 求证：O 到直线MN 的距离是定值.（6分）23．对于数集},,,,1{21n x x x X -=，其中n x x x <<<< 210，2≥n ，定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1，存在Y a ∈2，使得021=⋅a a ，则称X 具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P.（1）若x ＞2，且},2,1,1{x -，求x 的值；（4分）（2）若X 具有性质P ，求证：1∈X ，且当x n ＞1时，x 1=1；（6分） （3）若X 具有性质P ，且x 1=1，x 2=q （q 为常数），求有穷数列n x x x ,,,21 的通项公式.（8分）2012年上海高考数学（理科）试卷解答一、填空题（本大题共有14题，满分56分）1． 1-2i 2． )3,(21- . 3． ],[2325-- . 4． arctan2 5． -160 . 6．78. 7． (-∞, 1] . 8．π33 .9． -1 .10． )sin(1θπ- .11．3212． [2, 5] .13． 45.14．12232--c a c .二、选择题（本大题共有4题，满分20分） 15. B ; 16． C ; 17． A ; 18． D ;三、解答题（本大题共有5题，满分74分）19． [解]（1）因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA ⊥CD ，又AD ⊥CD ，所以CD ⊥平面PAD ，从而CD ⊥PD . ……3分因为PD=32)22(222=+，CD =2，所以三角形PCD 的面积为32221=⨯⨯分 （2）[解法一] 则B (2, 0, 0)，C (2, 22,0)，E (1, 2 )1,2,1(=AE ，)0,22,0(=BC . 设与的夹角为θ，则222224cos ===⨯⋅BCAE θ，θ=4π. 由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分[解法二]取PB 中点F ，连接EF 、AF ，则 EF ∥BC ，从而∠AEF （或其补角）是异面直线 BC 与AE 所成的角 ……8分 在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形， 所以∠AEF =4π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π ……12分20[解]（1）由⎩⎨⎧>+>-01022x x ，得11<<-x .yAB C DPEF由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x x x x 得101122<<+-x x . ……3分因为01>+x ，所以1010221+<-<+x x x ，3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-1211x x 得3132<<-x . ……6分 （2）当x ∈[1,2]时，2-x ∈[0,1]，因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==. ……10分由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为y x 103-=，所以所求反函数是x y 103-=，]2lg ,0[∈x . ……14分21．[解]（1）5.0=t 时，P 的横坐标x P =277=t ，代入抛物线方程24912x y = 中，得P 的纵坐标y P =3. ……2分由|AP |=2949，得救援船速度的大小为949海里/时. ……4分由tan∠OAP =30712327=+，得∠OAP =arctan 307，故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度.6分（2）设救援船的时速为v 海里，经过t 小时追上失事船，此时位置为)12,7(2t t . 由222)1212()7(++=t t vt ，整理得337)(1442122++=t t v .……10分 因为2212≥+t t ，当且仅当t =1时等号成立， 所以22253372144=+⨯≥v ，即25≥v .因此，救援船的时速至少是25海里才能追上失事船. ……14分22． [解]（1）双曲线1:21212=-y C x ，左顶点)0,(2-A ，渐近线方程：x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(222+=x y ，即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ，得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x . ……2分所以所求三角形的面积1为21||||==y OA S . ……4分（2）设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切，故12||=b ，即22=b . ……6分由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ，得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2)，则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2，所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ，故OP ⊥OQ . (10)分（3）当直线ON 垂直于x 轴时， |ON |=1，|OM |=22，则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时， 设直线ON 的方程为kx y =（显然22||>k ），则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ，得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ，所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM . ……13分设O 到直线MN 的距离为d ，因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+，所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ，即d =33.综上，O 到直线MN 的距离是定值. ……16分23． [解]（1）选取)2,(1x a =，Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -. ……2分 所以x =2b ，从而x =4. ……4分 （2）证明：取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ，所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数，所以s 、t 中之一为-1，另一为1，故1∈X . (7)分假设1=k x ，其中n k <<1，则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11，并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ，即01=+n tx sx ， 则s 、t 异号，从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1，则2，矛盾；若t =-1，则n n x s sx x ≤<=1，矛盾.所以x 1=1. ……10分（3）[解法一]猜测1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……12分 记},,,1,1{2k k x x A -=，k =2, 3, …, n .先证明：若1+k A 具有性质P ，则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =，s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时，显然有2a 满足021=⋅a a ； 当1-≠s 且1-≠t 时，s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P ，所以有),(112t s a =，1s 、1t ∈1+k A ，使得021=⋅a a ，从而1s 和1t 中有一个是-1，不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ，则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ，得11++≥=k k x tx s ，与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P. ……15分现用数学归纳法证明：1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . 当n =2时，结论显然成立；假设n=k 时，},,,1,1{2k k x x A -=有性质P ，则1-=i i q x ，i =1, 2, …, k ； 当n=k +1时，若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P ，则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P ，所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=，并设),(2t s a =满足021=⋅a a ，即01=++qt s x k .由此可得s与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ，则1，不可能；所以1-=s ，k k k q q q qt x =⋅≤=-+11，又11-+>k k q x ，所以k k q x =+1. 综上所述，1-=i i q x 1-=i i q x ，i =1, 2, …, n . ……18分 [解法二]设),(111t s a =，),(222t s a =，则021=⋅a a 等价于2211s t t s -=. 记|}|||,,|{t s X t X s B ts >∈∈=，则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于原点对称. ……14分注意到-1是X 中的唯一负数，},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数，所以),0(∞+ B 也只有n -1个数.由于1221x x x x x x x xn n n n n n <<<<-- ，已有n -1个数，对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<……12x x注意到12111x x x x x x n n >>>- ，所以12211x x x x x xn n n n ===--- ，从而数列的通项公式为111)(12--==k k x x k q x x ，k =1, 2, …, n . ……18分。
2012上海高考数学理科
2012上海理一、填空题 1 ．计算:3-i=1+i__________(i 为虚数单位). 2 ．若集合}012|{>+=x x A ,}2|1||{<-=x x B ,则=B A _________.3 ．函数1sin cos 2)(-= x xx f 的值域是___________.4 ．若)1,2(-=是直线l 的一个法向量,则l 的倾斜角的大小为__________(结果用反三角函数值表示).5 ．在6)2(xx -的二项展开式中,常数项等于___________. 6．有一列正方体,棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列,体积分别记为，，，，n V V V 21,则=+++∞→)(lim 21n n V V V _________.7．已知函数||)(a x e x f -=(a 为常数).若)(x f 在区间),1[+∞上是增函数,则a 的取值范围是_______.8．若一个圆锥的侧面展开图是面积为π2的半圆面,则该圆锥的体积为________.9．已知2)(x x f y+=是奇函数,且1)1(=f ,若2)()(+=x f x g ,则=-)1(g ______.10．如图,在极坐标系中,过点)0,2(M 的直线l 与极轴的夹角6πα=,若将l 的极坐标方程写成)(θρf =的形式,则=)(θf ___________.11．三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是__________(结果用最简分数表示).12．在平行四边形ABCD 中,3π=∠A ,边AB 、AD 的长分别为2、1,若M 、N 分别是边BC 、CD 上的点,||||CD BC =则AN AM ⋅的取值范围是__________.13．已知函数)(x f y =的图象是折线段ABC ,其中)0,0(A 、)5,21(B 、)0,1(C ,函数)(x xf y =(10≤≤x )的图象与x 轴围成的图形的面积为____________.14．如图,AD 与BC 是四面体ABCD 中互相垂直的棱,2=BC ,若c AD 2=,且a CD AC BD AB 2=+=+,其中a 、c 为常数,则四面体ABCD 的体积的最 大值是_______.二、选择题 15 ．若i 21+是关于x 的实系数方程02=++c bx x 的一个复数根,则( )A.3,2==c bB.3,2=-=c bC.1,2-=-=c bD.1,2-==c b16 ．在ABC ∆中,若C B A 222sin sin sin <+,则ABC ∆的形状是( )A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定17．设443211010≤<<<≤x x x x ,5510=x ,随机变量1ξ取值54321x x x x x 、、、、的概率均为2.0,随机变量2ξ取值222221554433221x x x x x x x x x x +++++、、、、的概率也均为2.0,若记21ξξD D 、分别为21ξξ、的方差,则( ) A.21ξξD D > B.21ξξD D =C.21ξξD D <D.1ξD 与2ξD 的大小关系与4321x x x x 、、、的取值有关18．设25sin 1πn n a n =,n n a a a S +++= 21,在10021,,,S S S 中,正数的个数是 （ ） A ．25B ．50C ．75D ．100三、解答题19．如图,在四棱锥P -ABCD 中,底面ABCD 是矩形,PA ⊥底面ABCD ,E 是PC 的中点.已知AB=2, AD=22,PA=2.求: (1)三角形PCD 的面积;(2)异面直线BC 与AE 所成的角的大小.20．已知函数)1lg()(+=x x f .(1)若1)()21(0<--<x f x f ,求x 的取值范围;(2)若)(x g 是以2为周期的偶函数,且当10≤≤x 时,有)()(x f x g =,求函数)(x g y =])2,1[(∈x 的反函数.A BC D P EF21．海事救援船对一艘失事船进行定位:以失事船的当前位置为原点,以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系(以1海里为单位长度),则救援船恰在失事船的正南方向12海里A 处,如图. 现假设:①失事船的移动路径可视为抛物线212x y =;②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援;③救 援船出发t 小时后,失事船所在位置的横坐标为.(1)当5.0=t 时,写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合,求救援船速度的大小和方向;(2)问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船?22．在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线12:221=-y xC .(1)过1C 的左顶点引1C 的一条渐近线的平行线,的三角形的面积;(2)设斜率为1的直线l 交1C 于P 、Q 两点,若l 与圆122=+y x 相切,求证: OP ⊥OQ ;(3)设椭圆14:222=+y x C . 若M 、N 分别是1C 、2C 上的动点,且OM ⊥ON , 求证:O 到直线MN 的距离是定值.23．对于数集},,,,1{21n x x x X-=,其中n x x x <<<< 210,2≥n ,定义向量集},),,(|{X t X s t s a a Y ∈∈==. 若对于任意Y a ∈1,存在Y a ∈2,使得021=⋅a a ,则称X 具有性质P. 例如}2,1,1{-=X 具有性质P. (1)若x >2,且},2,1,1{x -,求x 的值;(2)若X 具有性质P,求证:1∈X ,且当x n >1时,x 1=1;(3)若X 具有性质P,且x 1=1,x 2=q (q 为常数),求有穷数列n x x x ,,,21 的通 项公式.2012上海理参考答案一、选择题 1. 1-2i 2. ⎪⎭⎫⎝⎛-3,21 3.⎥⎦⎤⎢⎣⎡--23,25【解析】根据题目22sin 212cos sin )(--=--=x x x x f ，因为12sin 1≤≤-x ，所以23)(25-≤≤-x f .4. 2arctan5. 160-6. 78 7.(]1,∞-8.33π9. 1- 10.)6sin(1θ-11. 32 12.[]5,2【解析】以向量AB 所在直线为x 轴，以向量AD 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示，因为1,2==AD AB ，所以 51(0,0),(2,0),(,1)(,1).22A B C D 设1515515151(,1)(), , - , - , (2,()sin ).22224284423N x x BM CN CN x BM x M x x π≤≤===+--则根据题意，有)83235,4821(),1,(xx AM x AN --==→→.所以83235)4821(x x x AN AM -+-=∙→→⎪⎭⎫⎝⎛≤≤2521x ，所以2 5.AM AN →→≤∙≤13.45【解析】根据题意得到，110,02()11010,12x x f x x x ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪-+≤⎪⎩ 从而得到22110,02()11010,12x x y xf x x x x ⎧≤≤⎪⎪==⎨⎪-+<≤⎪⎩所以围成的面积为45)1010(10121221=+-+=⎰⎰dx x x xdx S ，所以围成的图形的面积为45 .14.13222--c a c 【解析】据题a CD AC BD AB 2=+=+，也就是说，线段CD AC BD AB ++与线段的长度是定值，因为棱AD 与棱BC 互相垂直，当ABD BC 平面⊥时，此时有最大值，此时最大值为：13222--c a c .二、填空题 15. B 16. C 17. A 18. C 三、解答题19. (1)因为PA ⊥底面ABCD ,所以PA ⊥CD ,又AD ⊥CD ,所以CD ⊥平面PAD ,从而CD ⊥PD因为PD=32)22(222=+,CD =2, 所以三角形PCD 的面积为323221=⨯⨯ (2)[解法一]如图所示,建立空间直角坐标系, 则B (2, 0, 0),C (2, 22,0),E (1, 2, 1),)1,2,1(=,)0,22,0(=设AE 与的夹角为θ,则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BCAE θ,θ=4π. 由此可知,异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二]取PB 中点F ,连接EF 、AF ,则EF ∥BC ,从而∠AEF (或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中,由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =π. 因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π 20. (1)由⎩⎨⎧>+>-01022x x ,得11<<-x .由1lg )1lg()22lg(0122<=+--<+-x xx x 得101122<<+-x x因为01>+x ,所以1010221+<-<+x x x ,3132<<-x . 由⎩⎨⎧<<-<<-313211x x 得3132<<-x (2)当x ∈[1,2]时,2-x ∈[0,1],因此)3lg()2()2()2()(x x f x g x g x g y -=-=-=-==由单调性可得]2lg ,0[∈y .因为yx 103-=,所以所求反函数是x y 103-=,]2lg ,0[∈x21. (1)5.0=t 时,P 的横坐标x P =277=t,代入抛物线方程24912x y = 中,得P 的纵坐标y P =3 由|AP |=2949,得救援船速度的大小为949海里/时由tan ∠OAP =727=,得∠OAP =arctan 307,故救援船速度的方向为北偏东arctan 307弧度(2)设救援船的时速为v 海里,经过t 小时追上失事船,此时位置为)12,7(2t t .由222)1212()7(++=t t vt ,整理得337)(1442122++=tt v因为2212≥+t t ,当且仅当t =1时等号成立,所以22253372144=+⨯≥v ,即25≥v .因此,救援船的时速至少是25海里才能追上失事船22. (1)双曲线1:21212=-y C x ,左顶点)0,(22-A ,渐近线方程:x y 2±=.过点A 与渐近线x y 2=平行的直线方程为)(22+=x y ,即12+=x y .解方程组⎩⎨⎧+=-=122x y x y ,得⎪⎩⎪⎨⎧=-=2142y x所以所求三角形的面积1为21||||==y OA S(2)设直线PQ 的方程是b x y +=.因直线与已知圆相切, 故12||=b ,即22=b由⎩⎨⎧=-+=1222y x b x y ,得01222=---b bx x . 设P (x 1, y 1)、Q (x 2, y 2),则⎩⎨⎧--==+1222121b x x bx x . 又2,所以221212121)(2b x x b x x y y x x OQ OP +++=+=⋅ 022)1(2222=-=+⋅+--=b b b b b ,故OP ⊥OQ(3)当直线ON 垂直于x 轴时, |ON |=1,|OM |=22,则O 到直线MN 的距离为33.当直线ON 不垂直于x 轴时, 设直线ON 的方程为kx y =(显然22||>k ),则直线OM 的方程为x y k1-=. 由⎩⎨⎧=+=1422y x kx y ,得⎪⎩⎪⎨⎧==++22242412k k k y x ,所以22412||k k ON ++=.同理121222||-+=k k OM设O 到直线MN 的距离为d ,因为22222||||)|||(|ON OM d ON OM =+,所以3133||1||1122222==+=++k k ON OM d ,即d =33.综上,O 到直线MN 的距离是定值23. (1)选取)2,(1x a =,Y 中与1a 垂直的元素必有形式),1(b -所以x =2b ,从而x =4(2)证明:取Y x x a ∈=),(111.设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a . 由0)(1=+x t s 得0=+t s ,所以s 、t 异号.因为-1是X 中唯一的负数,所以s 、t 中之一为-1,另一为1, 故1∈X假设1=k x ,其中n k <<1,则n x x <<<101.选取Y x x a n ∈=),(11,并设Y t s a ∈=),(2满足021=⋅a a ,即01=+n tx sx , 则s 、t 异号,从而s 、t 之中恰有一个为-1. 若s =-1,则2,矛盾;若t =-1,则n n x s sx x ≤<=1,矛盾. 所以x 1=1(3)[解法一]猜测1-=i i q x ,i =1, 2, , n 记},,,1,1{2k k x x A -=,k =2, 3, , n . 先证明:若1+k A 具有性质P,则k A 也具有性质P.任取),(1t s a =,s 、t ∈k A .当s 、t 中出现-1时,显然有2a 满足021=⋅a a ; 当1-≠s 且1-≠t 时,s 、t ≥1.因为1+k A 具有性质P,所以有),(112t s a =,1s 、1t ∈1+k A ,使得021=⋅a a , 从而1s 和1t 中有一个是-1,不妨设1s =-1.假设1t ∈1+k A 且1t ∉k A ,则11+=k x t .由0),1(),(1=-⋅+k x t s ,得11++≥=k k x tx s ,与s ∈k A 矛盾.所以1t ∈k A .从而k A 也具有性质P现用数学归纳法证明:1-=i i q x ,i =1, 2, , n . 当n =2时,结论显然成立;假设n=k 时,},,,1,1{2k k x x A -=有性质P,则1-=i i q x ,i =1, 2, , k ; 当n=k +1时,若},,,,1,1{121++-=k k k x x x A 有性质P,则},,,1,1{2k k x x A -=也有性质P,所以},,,,1,1{111+-+-=k k k x q q A .取),(11q x a k +=,并设),(2t s a =满足021=⋅a a ,即01=++qt s x k .由此可得s 与t 中有且只有一个为-1.若1-=t ,则1,不可能;所以1-=s ,k k k q q q qt x =⋅≤=-+11,又11-+>k k q x ,所以k k q x =+1. 综上所述,1-=i i q x 1-=i i q x ,i =1, 2, , n[解法二]设),(111t s a =,),(222t s a =,则021=⋅a a 等价于2211st t s -=.记|}|||,,|{t s X t X s B t s >∈∈=,则数集X 具有性质P 当且仅当数集B 关于 原点对称注意到-1是X 中的唯一负数,},,,{)0,(32n x x x B ---=-∞ 共有n -1个数, 所以),0(∞+ B 也只有n -1个数. 由于1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<-- ,已有n -1个数,对以下三角数阵1221x x x x x x x x n n n n n n <<<<--113121x x x x x x n n n n n -----<<<12x x注意到12111x x x x x x n n >>>- ,所以12211x x x x x x n n n n ===--- ,从而数列的通项公式为111)(12--==k k x x k q x x ,k =1, 2,… , n。
2012年高考数学上海卷第22题的引申与推广
（ 作 者单位
●０
安徽 省 涡 阳第四 中学 ）
● ＜ ） ●Ｃ ¨ ・ ●（＞ ●０ ●Ｃ ＞ ●０ ●＜ ＞●＜ ＞●＜＞ ●＜＞ ●＜＞ ●ｏ ●０ ●
●Ｃ ¨ Ｃ ）●Ｃ ●＜ ¨ Ｃ ）．＜ ）－Ｃ ” Ｃ ＂ Ｃ ¨ ０
●Ｃ ●（ ●Ｃ ｝●Ｃ ¨ Ｃ Ｈ ０
了解英语 交际 中常用 的体 态语 ， 了解英 语 国家 的饮食 习俗 ， 用恰 好教学实践 的一个保障 。寻找适 当的教学方法并加入文化背景 知 有助于初 中英语 教学实践。文化教学从途径上讲是 多方 当 的方 式表 达 赞扬 等 意义 。新课 程 标 准 中规定 的功 能项 目如 识学 习，
肘（ ２ ， 、 ／ 一 ） ， Ⅳ （ 、 ／ ， １ ） ， ０为坐标 原点．
．
定值 ； 若不是， 请说明理由． （ ２ ） 求Ｉ
参考文献 ：
Ｏ Ｂ ｌ 的最小值．
（Ｉ） 求 椭圆 Ｅ的方程 ； （Ⅱ） 是否存在 圆心在 原点 的圆 ， 使巧［ Ｊ ］ ． 中学数 学教 学参
该圆的任意一条切线与椭圆 Ｅ恒在两个交点 Ａ ， 且 Ｊ ＿ － ｏ － ￣？ 考， ２ ０ １ １ （ ３ ） ： ６ ｌ 一 ６ ３ ．
若存在， 写出该圆的方程， 并求 Ｉ Ａ Ｂ ｌ 的取值范围； 若不存在 ， 说明
＜ ）●（ ）●＜ ＞ ● ０ ●ｏ ●ｏ ●Ｃ Ｍ Ｃ ） ．Ｃ Ｈ Ｃ ＞ ●０ ●ｏ ●０ ●０ ●Ｃ ¨ Ｃ ）● ｂ ● ｏ ●０ ●ｏ
一
、
高 考试 题
例： （ ２ ０ １ ２年 上 海卷 理 科 第 ２ ２ 题） 在 平 面 直 角 坐标 系 ｘ Ｏ ｙ中 ，
理 由 。 略 解 ： （ Ｉ ） 椭 圆 Ｅ 的 方 程 为 等 － － １ ・