2000年上海高考数学理科卷

2000年上海高考数学理科卷2000年全国普通高等学校招生统一考试上海 数学试卷（理工农医类）考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。

1．已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。

2．函数，x x y --=312log2的定义域为 。

3．圆锥曲线⎩⎨⎧=+=θθtg y x 31sec 4的焦点坐标是 。

4．计算：lim()2n n n n →∞+= 。

5．已知b x f x +=2)(的反函数为)(),(11x f y x f --=若的图象经过点)2,5(Q ，则b = 。

6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。

（按：1999年本市常住人口总数约1300）7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。

8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。

9．在二项式11)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数为 ，（结果用数值表示）10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。

11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。

12．在等差数列{}n a 中，若0=z a ，则有等式),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++πΛΛ成立，类比上述性质，相就夺：在等此数列{}n b 中，若10=b ，则有等式成立。

二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出代号为A 、B 、C 、D 的四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确结论的代号写在题后的圆括号内，选对得4分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分。

13．复数的三角形式是是虚数单位))(5sin 5(cos 3i i z ππ--= ).56sin 56(cos 3)( ),54sin 54(cos 3)().5sin 5(cos 3)( )],5sin()5[cos(3)(ππππππππi D i C i B i A -++-+-[答]（ ）14．设有不同的直线a 、b 和不同的平面a 、β、γ，给出下列三个命题：（1）若a a //，a b //，则b a //。

（2）若a a //，β//a ，则β//a 。

（3）若γΛa ,γβΛ，则β//a 。

其中正确的个数是（A ）0． （B ）1． （C ）2． （D ）3．[答]（ ）15．若集合{}{}T s R x x y y T R x y y S x I 则.,1| ..3|2∈-==∈==是：(D) (C) T. (B) S. )(有限集φA .[答]（ ）16．下列命题中正确的命题是（A ）若点)0)(2,(≠a a a P 为角a 终边上一点，则552sin =a 。

（B ）同时满足23cos ,21sin ==a a 的角a 有且只有一个。

（C ）当{}1πa 时，)(arcsin a tg 的值恒正。

（D ）三角方程3)3(=+πx tg 的解集为{}Z k k x x ∈=,|π。

[答]（ ）三、解答题（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤。

17．（本题满分12分）已知椭圆C 的焦点分别为)0,22()0,22(21F F 和-，长轴长为6，设直2+=x y 交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。

[解]18．（本题满分12分）如图所示四面体ABCD 中，AB 、BC 、BD两两互相垂直，且AB=BC=2，E 是AC 中点，异面直线AD 与BE 所成的角的大小为1010arccos ，求四面体ABCD 的体积。

[解]19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。

已知函数],1[,2)(2+∞∈++=x x a x x x f 。

（1）当21=a 时，求函数)(x f 的最小值：（2）若对任意0)(],,1[φx f x +∞∈恒成立，试求实数a 的取值范围。

[解]（1）[解]（2）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分10分。

根据指令),(θr )180180,0(οοπ≤-≥θr ，机器人在平面上能完成下列动作：先原地旋转角度θ（θ为正时，按逆时针方向旋转θ，θ为负时，按顺时针方向旋转－θ），再朝其面对的方向沿直线行走距离r 。

（1）现机器人在直角坐标系的坐标原点，且面对x 轴正方向，试给机器人下一个指令，使其移动到点（4，4）。

（2）机器人在完成该指令后，发现在点（17，0）处有一小球正向坐标原点作匀速直线滚动，已知小球滚动的速度为机器人直线行走速度的2倍，若忽略机器人原地旋转所需的时间，问机器人最快可在何处截住小球？并给出机器人截住小球所需的指令（结果精确到小数点后两位）。

[解]（1）[解]（2）21．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。

在XOY 平面上有一点列,),,(,),,(),,(222111ΛΛnn n b a P b a P b a P 对每个自然数n ，点P ，位于函数x a y ⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=102000（100<<a ）的图象上，且点n P ，点)0.1()0,(+n n 与点构成一个以n P 为顶点的等腰三角形。

（1）求点n P 的纵坐标nb 的表达式。

（2）若对每个自然数n ，以n b ，21,++n n b b 为边长能构成一个三角形，求a 取值范围。

（3）设().21N n b b b B n n ∈=Λ，若a 取（2）中确定的范围内的最小整数，求数列{}n B 的最大项的项数。

[解]（1）[解]（2）[解]（3）22．（本小题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分8分。

已知复数y x y x i y x w yi x z m mi z '''+'=+=-=,,,,),0(10其中和φ均为实数，i 为虚数单位，且对于任意复数||2||,,0z w z zw z =⋅=有。

（1）试求m 的值，并分别写出x '和y '用x 、y 表示的关系式； （2）将(x 、y )作为点P 的坐标，(x '、y ')作为点Q 的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P 变到这一平面上的点Q ，当点P 在直线1+=x y 上移动时，试求点P 经该变换后得到的点Q 的轨迹方程；（3）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由。

[解]（1）[解]（2）[解]（3）2000年全国普通高等学校招生统一考试上海数学试卷（理工农医类）答案要点及评分标准说明1．本解答列出试题的一种或几种解法，如果考生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准的精神进行评分。

2．评阅试卷，应坚持每题评阅以底，不要因为考生的解称中出现错误而中断对该题的评阅，当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分，但该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响程度决定后面部分的给分，这时原则上不应超过后面部分应给分数之半，如果有较严重的概念性错误，就不给分。

3．第17至第22题中右端所注的分数，表示考生正确做到这一步应得的该题的累加分数，给分或扣分均以1分为单位。

解答一、（第1题至第12题）每一题正确的给4分，否则一律得零分。

1．4． 2．)3,21( 3．(－4，0)，(6，0)。

4．2-e 。

5．1． 6．9． 7．侧棱相等/侧棱与底面所成角相等/…… 8．X ． 9．－462。

10．141 11．32 12．),17(172121N n n b b b b b b n n ∈=-πΛΛ二、（第13题至第16题）第一题正确的给4分。

代号C A A D三、（第17题至第22题） 17．[解]设椭圆C 的方程为)(2 12222分Λ=+by a x由题意1,22,3===b c a 于是)(4 1922分的方程为椭圆Λ=+∴y x C⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=,0273610192222x x y x x y 得由因为该二次方程的判别式△＞0，所以直线与椭圆有两个不同交点， …（8分）设)(12 )51,59(,518),,(),,(212211分的中点坐标为故线段则设Λ--=+AB x xy x B y x A18．[解法一]如图建立空间直角坐标系 …（2分） 由题意，有A(0，2，0)，C(2，0，0)，E(1，1，0)。

设D 点的坐标为(0，0，z))0(φz ，则{}{})10( ,4,4,10142cos ,1010arccos ,2cos 42,BE )(6 ,,2,0,0,1,1222分的长度是故得所成的角的大小为与且则所成的角为与设分ΛΛBD z zBE AD z BE AD AD z AD BE ==+=∴+⋅=⋅-==θθθ又)(4 ,38,61分的体积是因此四面体ΛABCD BD BC AB V ABCD ⨯⨯=[解法二]过A 引BE 的平行线，交与CB 的延长线于F ，∠DAF 是异面直线BE 与AD 所成的角， ∴∠DAF=1010arccos …（4分）∵E 是AC 的中点，∴B 是CF 的中点， AF=2BE=22。

…（6分）又BF ，BA 分别是DF ，DA 的射影，且BF=BC=BA 。

∴DF=DA 。

…（8分）三角形ADF 是等腰三角形，20cos 12=∠⋅=DAFAF AD ，故422=-=AB AD BD ，…（10分） 又BD BC AB V ABCD⨯⨯=61，因此四面体ABCD的体积是38， …（12分）19．[解]（1）当221)(,21++==xx x f a 时， )(x f Θ在区间),1(+∞上为增函数， …（3分）)(x f Θ地区间),1(+∞上最小值为27)1(=f ， …（6分）（2）[解法一]在区让),1(+∞上，202)(22φφa x x xa x x x f ++⇔++=恒成立恒成立， …（8分）设),1(,22+∞∈++=x a x xy ，1)1(222-++=++=a x a x x y 递增，∴当1=x 时，ay +=3min ， …（12分） 于是当且仅当03minφa y +=时，函数0)(φx f 恒成立，故3-φa 。