八年级(下期)期中数学试卷+参考答案与试题解析

八年级（下）期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列调查适合作普查的是（）A．了解“嫦娥三号”卫星零部件的状况B．了解在校大学生的主要娱乐方式C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．了解某市居民对废电池的处理情况3．下列说法正确的是（）A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件4．代数式﹣，，x+y，，，中是分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个5．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．=B．C．D．6．把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值（）A．扩大到原来的8倍 B．扩大到原来的4倍C．缩小到原来的D．不变7．已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列结论中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y18．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①=；②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②④C．①③④ D．①④二、填空题（每小题3分，共30分）9．已知双曲线y=经过点（﹣1，2），那么k的值等于．10．已知反比例函数y=（m为常数）的图象在一、三象限，则m的取值范围为．11．分式方程﹣=0的解为x=．12．若关于x的方程+=2有增根，则m的值是．13．某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有人．14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD 于点E，则AE•ED=．15．已知，则的值为．16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为．17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=．18．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．计算或化简：（1）（2）2﹣﹣x．20．解方程：（1）﹣=0（2）．21．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．22．某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？23．化简：﹣÷，并在﹣3≤x≤2中选取一个你喜欢的整数x的值代入计算．24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．25．如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数y=与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移5个单位，再向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′；（2）若点C在函数y=的图象上，△ABC是以AB为底的等腰三角形，请写出点C的坐标．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段OC上时（不与点O、C重合），则线段CF与OD之间的数量关系为；位置关系为．（2）当点D在线段OC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举一反例；（3）设D点坐标为（t，0）当D点从O点运动到C点时，用含t的代数式表示E点坐标，并直接写出E点所经过的路径长．八年级（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】中心对称图形；轴对称图形．【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【解答】解：A、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误；B、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项正确；C、此图形旋转180°后不能与原图形重合，此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误；D、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误．故选：B．2．下列调查适合作普查的是（）A．了解“嫦娥三号”卫星零部件的状况B．了解在校大学生的主要娱乐方式C．日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命D．了解某市居民对废电池的处理情况【考点】全面调查与抽样调查．【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．【解答】解：A、了解“嫦娥三号”卫星零部件的状况调查需要精确，适合普查，故本选项正确；B、了解在校大学生的主要娱乐方式适合抽样调查，故本选项错误；C、日光灯管厂要检测一批灯管的使用寿命适合抽样调查，故本选项错误；D、了解某市居民对废电池的处理情况适合抽样调查，故本选项错误；故选A．3．下列说法正确的是（）A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50名学生的视力B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏一定会中奖C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式D．“掷一枚硬币，正面朝上”是必然事件【考点】总体、个体、样本、样本容量；全面调查与抽样调查；随机事件；概率的意义．【分析】根据样本容量为所抽查对象的数量，抽样调查，随机事件，即可解答．【解答】解：A．为了了解某中学800名学生的视力情况，从中随机抽取了50名学生进行调查，在此次调查中，样本容量为50，故错误；B．若一个游戏的中奖率是1%，则做100次这样的游戏有一次中奖，故错误；C．了解无锡市每天的流动人口数，采用抽查方式，正确；D．因为一枚硬币有正反两面，所以“掷一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故错误；故选：C．4．代数式﹣，，x+y，，，中是分式的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【考点】分式的定义．【分析】根据分式的定义在所给的式子中只有，是分式．【解答】解：代数式﹣，，x+y，，，中是分式的为：，．故选A．5．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．=B．C．D．【考点】分式的基本性质．【分析】依据分式的基本性质进行变化，分子分母上同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变．【解答】解：A、a扩展了10倍，a2没有扩展，故A错误；B、符号变化错误，分子上应为﹣x﹣1，故B错误；C、正确；D、约分后符号有误，应为b﹣a，故D错误．故选C．6．把分式中的x、y都扩大到原来的4倍，则分式的值（）A．扩大到原来的8倍 B．扩大到原来的4倍C．缩小到原来的D．不变【考点】分式的基本性质．【分析】根据题意得出算式，再根据分式的基本性质化简，即可得出答案．【解答】解：根据题意得：==，即和原式的值相等，故选D．7．已知点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，则下列结论中正确的是（）A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y1＜y3＜y2D．y2＜y3＜y1【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】根据点的坐标得出A在第二象限，B、C在第四象限，得出y1＞0，0＞y3＞y2，即可得出选项．【解答】解：∵点A（﹣2，y1），B（2，y2），C（3，y3）都在反比例函数y=﹣的图象上，∴A在第二象限，B、C在第四象限，∴y1＞0，∵2＜3，∴0＞y3＞y2，∴y2＜y3＜y1，故选D．8．如图，OABC是平行四边形，对角线OB在y轴正半轴上，位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线和y=的一支上，分别过点A、C作x轴的垂线，垂足分别为M和N，则有以下的结论：①=；②阴影部分面积是（k1+k2）；③当∠AOC=90°时，|k1|=|k2|；④若OABC是菱形，则两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．其中正确的结论是（）A．①②③ B．②④C．①③④ D．①④【考点】反比例函数综合题．【分析】作AE⊥y轴于点E，CF⊥y轴于点F，根据平行四边形的性质得S△AOB=S△COB，利用三角形面积公式得到AE=CF，则有OM=ON，再利用反比例函数k的几何意义和三角形面积公式得到S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN，所以有=；由=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|）=（k1﹣k2）；当S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，得到S阴影部分∠AOC=90°，得到四边形OABC是矩形，由于不能确定OA与OC相等，则不能判断△AOM≌△CNO，所以不能判断AM=CN，则不能确定|k1|=|k2|；若OABC是菱形，根据菱形的性质得OA=OC，可判断Rt△AOM≌Rt△CNO，则AM=CN，所以|k1|=|k2|，即k1=﹣k2，根据反比例函数的性质得两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称．【解答】解：作AE⊥y轴于E，CF⊥y轴于F，如图，∵四边形OABC是平行四边形，∴S△AOB=S△COB，∴AE=CF，∴OM=ON，∵S△AOM=|k1|=OM•AM，S△CON=|k2|=ON•CN，∴=，故①正确；∵S△AOM=|k1|，S△CON=|k2|，=S△AOM+S△CON=（|k1|+|k2|），∴S阴影部分而k1＞0，k2＜0，=（k1﹣k2），故②错误；∴S阴影部分当∠AOC=90°，∴四边形OABC是矩形，∴不能确定OA与OC相等，而OM=ON，∴不能判断△AOM≌△CNO，∴不能判断AM=CN，∴不能确定|k1|=|k2|，故③错误；若OABC是菱形，则OA=OC，而OM=ON，∴Rt△AOM≌Rt△CNO，∴AM=CN，∴|k1|=|k2|，∴k1=﹣k2，∴两双曲线既关于x轴对称，也关于y轴对称，故④正确．故选D．二、填空题（每小题3分，共30分）9．已知双曲线y=经过点（﹣1，2），那么k的值等于﹣3．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】直接把点（﹣1，2）代入双曲线y=，求出k的值即可．【解答】解：∵双曲线y=经过点（﹣1，2），∴2=，解得k=﹣3．故答案为：﹣3．10．已知反比例函数y=（m为常数）的图象在一、三象限，则m的取值范围为m＜．【考点】反比例函数的性质．【分析】先根据反比例函数的性质得出2﹣3k＞0，再解不等式即可得出结果．【解答】解：∵y=（k为常数）的图象在第一、三象限，∴1﹣3m＞0，解得m＜．故答案为：m＜．11．分式方程﹣=0的解为x=6．【考点】解分式方程．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：3x﹣6﹣2x=0，解得：x=6，经检验x=6是分式方程的解，故答案为：612．若关于x的方程+=2有增根，则m的值是0．【考点】分式方程的增根．【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣2），把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出x的值，然后代入进行计算即可求出m 的值．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣2）得，2﹣x﹣m=2（x﹣2），∵分式方程有增根，∴x﹣2=0，解得x=2，∴2﹣2﹣m=2（2﹣2），解得m=0．故答案为：0．13．某学校计划开设A、B、C、D四门校本课程供全体学生选修，规定每人必须并且只能选修其中一门，为了了解各门课程的选修人数．现从全体学生中随机抽取了部分学生进行调查，并把调查结果绘制成如图所示的条形统计图．已知该校全体学生人数为1200名，由此可以估计选修C课程的学生有240人．【考点】用样本估计总体；条形统计图．【分析】根据样本的数据，可得样本C占样本的比例，根据样本的比例，可C占总体的比例，根据总人数乘以C占得比例，可得答案．【解答】解：C占样本的比例，C占总体的比例是，选修C课程的学生有1200×=240（人），故答案为：240．14．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=5，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AD 于点E，则AE•ED=4．【考点】矩形的性质；勾股定理．【分析】连接BE，则BE=BC=5，由矩形的性质得出∠A=90°，AD=BC=5，由勾股定理求出AE，得出ED，即可得出结果．【解答】解：连接BE，如图所示：则BE=BC=5，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD=BC=5，∴AE===4，∴ED=AD﹣AE=1，∴AE•ED=4×1=4；故答案为：4．15．已知，则的值为2．【考点】分式的化简求值．【分析】先根据+=得出ab与a+b的关系，代入所求代数式进行计算即可．【解答】解：∵+=，∴=，即ab=2（a+b），∴原式==2．故答案为：2．16．如图，四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，过O点的三条直线将菱形分成阴影和空白部分．当菱形的两条对角线的长分别为6和8时，则阴影部分的面积为12．【考点】中心对称；菱形的性质．【分析】根据菱形的面积等于对角线乘积的一半求出面积，再根据中心对称的性质判断出阴影部分的面积等于菱形的面积的一半解答．【解答】解：∵菱形的两条对角线的长分别为6和8，∴菱形的面积=×6×8=24，∵O是菱形两条对角线的交点，∴阴影部分的面积=×24=12．故答案为：12．17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，连接AC、BD，CE平分∠ACD交BD于点E，则DE=﹣1．【考点】正方形的性质；角平分线的性质．【分析】过E作EF⊥DC于F，根据正方形的性质和角平分线的性质以及勾股定理即可求出DE的长．【解答】解：过E作EF⊥DC于F，∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴EO=EF，在Rt△COE和Rt△CFE中，∴Rt△COE≌Rt△CFE（HL），∴CO=FC，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=，∴CO=AC=，∴CF=CO=，∴EF=DF=DC﹣CF=1﹣，∴DE==﹣1，另法：因为四边形ABCD是正方形，∴∠ACB=45°=∠DBC=∠DAC，∵CE平分∠ACD交BD于点E，∴∠ACE=∠DCE=22.5°，∴∠BCE=45°+22.5°=67.5°，∵∠CBE=45°，∴∠BEC=67.5°，∴BE=BC，∵正方形ABCD的边长为1，∴BC=1，∴BE=1，∵正方形ABCD的边长为1，∴AC=，∴DE=﹣1，故答案为：﹣1．18．如图，△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∠ACO=∠ADB=90°，反比例函数y=在第一象限的图象经过点B，若OA2﹣AB2=8，则k的值为4．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征．【分析】设B点坐标为（a，b），根据等腰直角三角形的性质得OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，则OA2﹣AB2=8变形为AC2﹣AD2=4，利用平方差公式得到（AC+AD）（AC﹣AD）=4，所以（OC+BD）•CD=4，则有a•b=4，根据反比例函数图象上点的坐标特征易得k=4．【解答】解：设B点坐标为（a，b），∵△OAC和△BAD都是等腰直角三角形，∴OA=AC，AB=AD，OC=AC，AD=BD，∵OA2﹣AB2=8，∴2AC2﹣2AD2=8，即AC2﹣AD2=4，∴（AC+AD）（AC﹣AD）=4，∴（OC+BD）•CD=4，∴a•b=4，∴k=4．故答案为：4．三、解答题（本大题共8小题，共66分）19．计算或化简：（1）（2）2﹣﹣x．【考点】分式的加减法．【分析】（1）分别根据平方差公式与完全平方公式把分子与分母因式分解，再约分即可；（2）先通分，再把分子相加减即可．【解答】解：（1）原式==；（2）原式=﹣﹣===．20．解方程：（1）﹣=0（2）．【考点】解分式方程．【分析】两分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）去分母得：2x﹣x+2=0，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是原方程的根；（2）去分母得：x2﹣4x+4﹣16=x2﹣4，解得：x=﹣2，经检验x=﹣2是增根，分式方程无解．21．如图所示的正方形网格中，△ABC的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题：（1）以A点为旋转中心，将△ABC绕点A顺时针旋转90°得△AB1C1，画出△AB1C1．（2）作出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A2B2C2．（3）作出点C关于x轴的对称点P．若点P向右平移x（x取整数）个单位长度后落在△A2B2C2的内部，请直接写出x的值．【考点】作图-旋转变换．【分析】（1）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可．（2）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得△A2B2C2．（3）先作出点C关于x轴的对称点P．再根据平移的性质得到x的值．【解答】解：（1）作图如右：△A1B1C1即为所求；（2）作图如右：△A2B2C2即为所求；（3）x的值为6或7．22．某校为了创建书香校园，去年又购进了一批图书，经了解，科普书的单价比文学书的单价多4元，用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等，求去年购进的文学书和科普书的单价各是多少元？【考点】分式方程的应用．【分析】设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据关键语句“用1200元购进的科普书与用800元购进的文学书本数相等”，可列方程求解．【解答】解：设文学书的单价是x元，则科普书的单价是（x+4）元，根据题意，得=，解得x=8．经检验得：（x+4）x=12×8=96≠0，故x=8是方程的根，则x+4=12．答：去年购进的文学书的单价是8元，科普书的单价是12元．23．化简：﹣÷，并在﹣3≤x≤2中选取一个你喜欢的整数x的值代入计算．【考点】分式的化简求值．【分析】首先分母因式分解，将除法转化为乘法，约分，再通分，最后代值计算．【解答】解：原式=﹣•===﹣，x只能取﹣2或﹣3，当x=﹣2时，原式=1，当x=﹣3时，原式=．24．如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC．设MN交∠ACB 的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F．（1）若CE=12，CF=5，求OC的长；（2）当点O在边AC上运动时，四边形BCFE会是菱形吗？若是，请证明；若不是，则说明理由；（3）当点O运动到何处，且△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？并说明理由．【考点】菱形的判定；正方形的判定．【分析】（1）如图1中，先证明∠ECF=90°，再证明OC=OE=OF，利用勾股定理即可解决．（2）如图2中，根据直角三角形的斜边大于直角边即可判断EF＞CF，由此即可判断．（3）先证明四边形AECF是平行四边形，再证明是矩形，最后证明是正方形即可．【解答】（1）解：如图1中，∵CE平分∠BCA，CF平分∠ACD，∴∠ACE=∠ECB=∠ACB，∠ACF=∠FCD=∠ACD，∴∠ACE+∠ACF=（∠ACB+∠ACD）=90°，∴∠ECF=90°，∵MN∥BC，∴∠OEC=∠ECB=∠OCE，∠OFC=∠FCD=∠FCO，∴EO=OC=FO，在RT△ECF中，∵∠ECF=90°，EC=12，CF=5，∴EF===13，∴OC=EF=．（2）如图2中，四边形BCFE不可能是菱形．由（1）可知∠ECF=90°，∴EF＞CF，∴四边形BCFE不可能是菱形．（3）如图3中，当点O运动到AC等中点，且∠ACB=90°时四边形AECF是正方形．证明：由（1）可知OC=OE=OF，∵OA=OC，OE=OF，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC=EF，∴四边形AECF是矩形，∵MN∥BC，∵∠AOE=∠ACB=90°，∴EO⊥AC，∵OA=OC，∴EA=EC，∴四边形AECF是正方形．25．如图，在方格纸中（小正方形的边长为1），反比例函数y=与直线的交点A、B均在格点上，根据所给的直角坐标系（O是坐标原点），解答下列问题：（1）分别写出点A、B的坐标后，把直线AB向右平移5个单位，再向上平移5个单位，画出平移后的直线A′B′；（2）若点C在函数y=的图象上，△ABC是以AB为底的等腰三角形，请写出点C的坐标．【考点】反比例函数综合题；一次函数图象与几何变换．【分析】（1）根据两点所在象限及距离坐标轴的距离可得相应坐标，进而把两点做相应的平移，连接即可；（2）看AB的垂直平分线与双曲线哪两点相交即可．【解答】解：（1）A（﹣1，﹣4）、B（﹣4，﹣1）平移后的直线为A′B′；（2）C点的坐标为C1（﹣2，﹣2）或C2（2，2）．26．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，1），OA=AC，∠OAC=90°，点D为x轴上一动点，以AD为边在AD的右侧作正方形ADEF．（1）当点D在线段OC上时（不与点O、C重合），则线段CF与OD之间的数量关系为相等；位置关系为垂直．（2）当点D在线段OC的延长线上时，（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请举一反例；（3）设D点坐标为（t，0）当D点从O点运动到C点时，用含t的代数式表示E点坐标，并直接写出E点所经过的路径长．【考点】四边形综合题．【分析】（1）比较两个线段的大小，首先要表示出两条线段．连接CF，发现△ODA与△CFA 非常相近，进而考虑是否全等．通过同角的余角相等可得∠OAD=∠CAF，由正方形性质可得AD=AF，再由已知OA=OC易证，即得两三角形全等，而OD=CF．位置关系由图易猜想为垂直，即考虑∠FCO是否等于90°．∠FCO=∠FCA+∠ACO，由△ODA≌△CFA，所以∠FCA=∠DOA，即∠FCO=∠FCA+∠ACO=∠DOA+∠ACO（Rt△OAC的两个锐角的和），故∠FCO=90°，猜想成立．（2）分析本问，首先要表示出该情形．在备用图中x轴上C的右方任取一点，按题目要求构造正方形ADEF，连接CF，观察发现（1）的结论好像在这种情形下依然成立．利用（1）的方法证明，结论易得．（3）求某点坐标首先要做关于x轴、y轴的平行线将其横纵坐标表示出来，如图发现情况分为t＜1，t=1，t＞1三种．分别讨论利用全等三角形代换所求边长易得结论．注意边长都是正数，而若点出现在三四象限，纵坐标的值要为边长的相反数．后半问的经过路径长首先要清楚点的运动路径．根据上半问的坐标可以分析出点运动的轨迹，再利用所求知识求得．【解答】解：（1）相等；垂直．（2）（1）中结论依然成立，即OD=CF，OD⊥CF在x轴C点右方任取一点D，连接AD，并以AD为一边如图建立正方形ADEF，连接CF．∵∠OAC=90°，∠DAF=90°∴∠OAC=∠DAF∴∠OAD=∠OAC+∠CAD=∠DAF+∠CAD=∠CAF在△OAD和△CAF中∴△OAD≌△CAF∴OD=CF，∠AOD=∠ACF∴∠OCF=∠OCA+∠ACF=∠OCA+∠AOC在Rt△OAC中∵∠OCA+∠AOC=90°∴∠OCF=90°∴OD⊥CF（3）过点A作AG⊥x轴于G，过点E作EH⊥x轴于H∵OA=CA∴OG=CG∵A的坐标为（1，1）∴OG=1，AG=1，OC=2当D在线段OG上，如左图，此时t＜1，则DG=1﹣t在Rt△ADG中∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠HDE=90°∴∠DAG=∠HDE在△ADG和△DEH中∴△ADG≌△DEH∴HE=DG=1﹣t，DH=AG=1∴OH=OD+DH=t+1∴E点坐标为（t+1，﹣（1﹣t）），即（t+1，t﹣1）当D与G点重合，E点与C点重合，即E点坐标为（2，0）．由此时t=1，所以E点坐标也为（t+1，t﹣1）当D在线段GC上，如右图，此时t＞1，则DG=t﹣1∵∠ADE=90°∴∠ADG+∠HDE=90°在Rt△ADG中∵∠DAG+∠ADG=90°∴∠DAG=∠HDE在△ADG和△DEH中∴△ADG≌△DEH∴HE=DG=t﹣1，DH=AG=1∴OH=OD+DH=t+1∴E点坐标为（t+1，t﹣1）综上所述，E点坐标为（t+1，t﹣1），0≤t≤2由（t+1，t﹣1）在y=x﹣2上，则E点由（1，﹣1）直线运动到（3，1），作关于x轴、y轴的平行线，利用勾股定理易得，E点运动的距离为2．。