相似三角形的性质(经典全面)
相似三角形的基本概念与性质
相似三角形的基本概念与性质相似三角形作为几何学中的重要概念之一，广泛应用于实际生活和工程领域。
相似三角形具有一些特定的属性和性质，对于理解和解决几何问题有着重要的指导作用。
本文将介绍相似三角形的基本概念与性质，并探讨其在实际问题中的应用。
一、相似三角形的定义相似三角形是指具有相等角度的三角形，其对应的边长之比也相等。
具体而言，对于两个三角形ABC和DEF，如果它们的对应角度相等，则可以记作∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
若三角形的边长比例恒定，则可以记作AB/DE=BC/EF=AC/DF。
这种边长比例的恒定性是相似三角形的核心特点。
二、相似三角形的性质1. 对应角的相等性：已知两个三角形相似，可得到它们对应的角度相等。
2. 边长比例的恒定性：已知两个三角形相似，可得到它们对应边长的比例是恒定的。
3. 周长比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的周长之比等于任意两条对应边之比。
4. 面积比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的面积之比等于任意两条对应边平方的比。
5. 高度比例的恒定性：若两个三角形相似，则它们的任意两个对应高度之比等于任意两条对应边之比。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中具有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景。
1. 测量高距离：通过相似三角形的性质，可以利用影子定理等方法来测量高距离。
例如，可以利用自己身高和影子长度的比例，求得高楼的高度。
2. 图像的放缩：在图像处理或者绘画中，通过相似三角形的性质，可以实现图像的放大和缩小。
只需保持相似三角形的边长比例不变，即可达到图像的放缩效果。
3. 飞机的迎角：在飞行学中，飞机的迎角对于起降和飞行安全至关重要。
通过相似三角形的性质，可以利用飞机的视角和飞行速度的比例，来判断飞机的迎角。
4. 三角测量和导航：在测量和导航领域，利用相似三角形的性质可以进行三角测量和方位导航。
例如，通过估算两个位置的视角差和距离，可以确定自己的位置或者目标位置。
相似三角形的性质
相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。
相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。
本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。
二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。
三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。
这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。
2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。
这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。
3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。
4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。
5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。
6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。
例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。
四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。
相似三角形的性质ppt课件
相似三角形的对应边成比例，对 应角相等，面积比等于相似比的 平方。
判定方法
预备定理
判定定理1
平行于三角形的一边，并且和其他两边相 交的直线，所截得的三角形的三边与原三 角形三边对应成比例。
如果一个三角形的两个角与另一个三角形 的两个角对应相等，那么这两个三角形相 似。
判定定理2
判定定理3
如果两个三角形的两组对应边的比相等， 并且相应的夹角相等，那么这两个三角形 相似。
∠C'。
由于内角相等，我们可以通过正 弦定理或余弦定理来证明对应边
之间的比例关系。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应边成比例的性质被广泛应用于解决各种问题，如测量高度、计 算距离等。
例如，如果我们知道一个三角形的一边和它的一个内角，以及另一个三角形的一边和它的一 个内角，我们可以利用相似三角形的性质来找出这两个三角形之间的相似比，从而计算出未 知边的长度。
证明过程
可以通过相似三角形的定义和性质，结合几何图形进行证明 。
具体证明方法包括：利用相似三角形的对应角相等，通过作 高线将三角形分割为若干个小三角形，再利用小三角形的面 积关系推导出原三角形的面积比关系。
应用举例
在几何题目中，可以利用相似三角形的面积比性质求解一 些与面积相关的问题，如求某个图形的面积、判断两个图 形面积的大小关系等。
由于相似三角形的对应边成比 例，我们可以通过三角函数或 者角度的平分线等性质来证明 它们的对应角相等。
具体证明过程可以通过几何画 图或者数学推导来完成，这里 不再赘述。
应用举例
在几何学中，相似三角形对应角相等的性质被广泛应用于解决各种问题，比如测量 高度、计算角度等。
例如，在测量建筑物高度时，我们可以通过测量建筑物与地面之间的角度和距离， 然后利用相似三角形的性质计算出建筑物的高度。
相似三角形的性质pptPPT课件
（1） A
D
C
A′
B′
第8页/共39页
C′
D
ABC∽ ABC
相似比为 1
2
B
对应中线的比
AD 1 2 AD __________ _
（2） A
D
C
A′
B′
D
C′
第9页/共39页
ABC ∽ ABC
相似比为 1 2
B
对应角平分线的比
AD 1 2 AD ___________
（3） A
D
C
A′
B′
课前复习:
（1）什么叫相似三角形？
对应角相等、对应边成比例的 三角形,叫做相似三角形. （2）如何判定两个三角形相似？
①两个角对应相等； ②两边对应成比例，且夹角相等； ③三边对应成比例.
第1页/共39页
课前复习:
（3）相似三角形有何性质？
A
B
C
B/
①相似三角形的对应角_____________ ②相似三角形的对应边______________
1∶4
(2) △ADE的周长︰△ABC的周长＝_______.
(3) SADE
1
___16____.
D
SABC
(4)
SADE
S四边形BCED
1 15
B
第22页/共39页
1∶4 A E
C
例：已知△ABC∽ △A´B ´C ´，BD和B ´D ´分别是△ABC和△A´B´C´中线，且AB ＝10，A´B´＝2，BD＝6。求B´D´的长。
相似三角形面积的比等于相似比的平方.
第6页/共39页
情境引入
一个三角形有三条重要线段： ___高_、__中_线__、_角__平__分_线_
相似三角形的性质用
们的面积比是多少？
A'
A
D
D'
B
B'
C
分别连接AC，A'C'
则△ABC∽△A'B'C'，△ADC∽△A'C'D'，
S ABC k 2 S A'B'C'
S ACD k 2 S A'C'D'
S ABC k 2S A'B'C '
S ACD k 2S A'C 'D'
S ABC S ACD k 2
1：4＝2：x
x = 8 答：半径是30cm的蛋糕够8个人吃．
第21页，共30页。
5.如图，这是圆桌正上方的灯泡（当成一个点）发出的光线照射桌面 形成阴影的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面为1米 ，若灯泡距离地面3米，则地面上阴影部分的面积为多少？
第22页，共30页。
6.某施工队在道路拓宽施工时遇到这样一个问题，马路旁边 原有一个面积为100平方米，周长为80米的三角形绿化地， 由于马路拓宽绿地被削去了一个角，变成了一个梯形，原 绿化地一边AB的长由原来的30米缩短成18米.现在的问题是: 被削去的部分面积有多大？它的周长是多少？
3、如图,在△ABC中,D是AB的中点，
DE∥ BC，则:
(1)S △ADE : S △ABC =
1:4
(2)S △ADE: S 梯形DBCE = 1:3
第16页，共30页。
* 4、如图,在△ABC中,D、F是AB的三 等分点，
DE∥FG ∥ BC，则:
(1)S △ADE: S △AFG : S △ABC =
相似三角形的基本概念和性质
相似三角形的基本概念和性质相似三角形是几何学中的重要概念之一，它在解决实际问题和计算中有着广泛的应用。
了解相似三角形的基本概念和性质对于理解几何学的相关知识以及解决问题都有着重要的意义。
本文将介绍相似三角形的概念以及与之相关的一些性质，并着重讨论应用相似三角形进行尺度计算和几何分析的方法。
一、相似三角形的基本概念相似三角形是指两个三角形的对应角度相等，并且对应边比例相等的三角形。
具体来说，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F，并且AB/DE = BC/EF = AC/DF，那么这两个三角形就是相似的。
相似三角形有着相似的形状，但尺寸大小可能不同。
二、相似三角形的性质1. 相似三角形的对应角度相等：对应角度相等是相似三角形的基本性质，它说明了两个相似三角形具有相似的形状。
如果两个三角形的对应角度相等，那么它们就是相似的。
2. 相似三角形的对应边比例相等：对应边比例相等是相似三角形的另一个重要性质。
如果两个三角形的对应边比例相等，那么它们就是相似的。
这一性质可以用来计算相似三角形的边长比例。
3. 相似三角形的周长比例相等：对于相似三角形ABC和DEF，它们的边长比例为AB/DE = AC/DF = BC/EF，所以这两个三角形的周长比例也为AB+BC+AC/DE+EF+DF = AB/DE = AC/DF = BC/EF。
这个性质说明了相似三角形的周长比例是相等的，也就是说，相似三角形的边长比例与其周长比例相等。
4. 相似三角形的面积比例为边长比例的平方：如果两个相似三角形ABC和DEF之间的边长比例为k，那么它们的面积比例为k²。
这一性质可以用来计算相似三角形的面积比例。
三、相似三角形的应用相似三角形的性质在实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用场景：1. 尺度计算：相似三角形的性质可以用来进行尺度计算。
例如，在地图上测量两个城市的距离时，可以利用相似三角形的性质来计算实际距离与地图比例尺之间的关系。
【高中数学】高中数学知识点：相似三角形的判定及有关性质
【高中数学】高中数学知识点：相似三角形的判定及有关性质相似三角形的定义：两个三角形具有相等的对应角和成比例的对应边，称为相似三角形。
相似三角形对应边的比值称为相似比（或相似系数）。
预备定理：平行于三角形一侧的直线与其他两侧（或两侧的延长线）相交，形成类似三角形的三角形判定定理1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，则这两个三角形是相似的。
简要描述如下：两个角相等，两个三角形相似。
判定定理2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两侧与另一个三角形的两侧成正比，且夹角相等，则两个三角形是相似的。
简单的描述是：两边成比例，夹角相等，两个三角形相似。
判定定理3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边成正比，则两个三角形是相似的。
简单的描述是：三条边成比例，两个三角形相似。
引理：如果直线与通过切割三角形两侧（或两侧的延长线）获得的相应线段成比例，则直线平行于三角形的第三条边。
直角三角形相似定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应于同一个直角三角形，那么它们是相似的；（2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。
（3）如果直角三角形的斜边和一个直角边与另一个三角形的斜边和直角边成正比，那么这两个直角三角形是相似的。
相似三角形的性质：（1）相似三角形的高度、中心线和角平分线之比等于相似比；（2）相似三角形周长的比等于相似比，相似三角形面积的比等于相似比的平方；（3）相似三角形的对应角相等，对应边成比例；（4）相似三角形外接圆或内切圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆或内切圆的面积等于相似比的平方。
相似三角形的判定方法：由于从定义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6个元素，即三组对应角是否分别相等，三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。
所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形相似的简单方法：（1）如果一个三角形的两侧与另一个三角形的两侧成正比，且夹角相等，则两个三角形相似；（2）如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似；（3）如果一个三角形的两个角等于另一个三角形的两个角，那么这两个三角形是相似的。
相似三角形性质ppt课件
在几何题目中，经常需要证明两条线段的比例关系，如中线定理、角平分线性质等，都可以 通过构造相似三角形并利用其性质进行证明。
利用相似三角形证明角度关系
相似三角形的性质
相似三角形的对应角相等，即若两个三角形相似，则它们的对应角相等。
证明角度关系
通过构造相似三角形，利用相似三角形的性质来证明角度之间的相等或互补关系。例如，若要证明两个角相等，可以构造 包含这两个角的两个相似三角形，然后根据相似三角形的性质推导出这两个角相等。
感和立体感的景观效果。
案例分析：实际问题解决策略
01
案例一
利用相似三角形测量远处山的高度。通过测量山脚下的影子 长度和已知高度的物体，可以计算出山的高度。这种方法被 广泛应用于地理测量和户外探险等领域。
02 03
案例二
在建筑设计中，利用相似三角形原理实现建筑立面的视觉效 果优化。通过调整建筑立面的形状和比例，可以使其在视觉 上更加和谐和美观。这种方法被广泛应用于建筑设计、城市 规划和景观设计等领域。
性质
相似三角形的对应边成比例，对应 角相等，面积比等于相似比的平方。
判定方法
01
02
03
04
预备定理
平行于三角形一边的直线截其 他两边所在的直线，截得的三
角形与原三角形相似。
SSS相似
三边对应成比例，则两个三角 形相似。
SAS相似
两边对应成比例且夹角相等， 则两个三角形相似。
AA相似
两角对应相等，则两个三角形 相似。
在实际应用中，我们可以通过测量两个三角形的对应角来判断它们是否相似。
对应边成比例
相似三角形的对应边成比例， 即如果两个三角形相似，那么 它们的对应边之间的比值相等。
相似三角形的性质(经典全面)
一、相似的有关概念1．相似形具有相同形状的图形叫做相似形．相似形仅是形状相同，大小不一定相同．相似图形之间的互相变换称为相似变换． 2．相似图形的特性两个相似图形的对应边成比例，对应角相等． 3．相似比两个相似图形的对应角相等，对应边成比例．二、相似三角形的概念1．相似三角形的定义对应角相等，对应边成比例的三角形叫做相似三角形．如图，ABC △与A B C '''△相似，记作ABC A B C '''△∽△，符号∽读作“相似于”．A 'B 'C 'CB A2．相似比相似三角形对应边的比叫做相似比．全等三角形的相似比是1．“全等三角形”一定是“相似形”，“相似形”不一定是“全等形”．三、相似三角形的性质1．相似三角形的对应角相等如图，ABC △与A B C '''△相似，则有A A B B C C '''∠=∠∠=∠∠=∠，，．A 'B 'C 'CB A2．相似三角形的对应边成比例 如图，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）． 相似三角形的性质及判定A 'B 'C 'CB A3．相似三角形的对应边上的中线，高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比．如图1，ABC △与A B C '''△相似，AM 是ABC △中BC 边上的中线，A M ''是A B C '''△中B C ''边上的中线，则有AB BC AC AMk A B B C A C A M ====''''''''（k 为相似比）． M 'MA 'B 'C 'C BA图1如图2，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）． H 'H AB C C 'B 'A '图2如图3，ABC △与A B C '''△相似，AD 是ABC △中BAC ∠的角平分线，A D ''是A B C '''△中B A C '''∠的角平分线，则有AB BC AC ADk A B B C A C A D ====''''''''（k 为相似比）．D 'D A 'B C 'C B A图34．相似三角形周长的比等于相似比． 如图4，ABC △与A B C '''△相似，则有AB BC ACk A B B C A C ===''''''（k 为相似比）．应用比例的等比性质有AB BC AC AB BC ACk A B B C A C A B B C A C ++====''''''''''''++．A 'B 'C 'CB A图45．相似三角形面积的比等于相似比的平方．如图5，ABC △与A B C '''△相似，AH 是ABC △中BC 边上的高线，A H ''是A B C '''△中B C ''边上的高线，则有AB BC AC AHk A B B C A C A H ====''''''''（k 为相似比）．进而可得21212ABC A B C BC AH S BC AH k S B C A H B C A H '''⋅⋅==⋅=''''''''⋅⋅△△．H 'H AB C C 'B 'A '图5四、相似三角形的判定1．平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 2．如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．可简单说成：两角对应相等，两个三角形相似．3．如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．4．如果一个三角形的三条边与另一个三角形的你对应成比例，那么这两个三角形相似．可简单地说成：三边对应成比例，两个三角形相似．5．如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．6．直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形相似（常用但要证明）7．如果一个等腰三角形和另一个等腰三角形的顶角相等或一对底角相等，那么这两个等腰三角形相似；如果它们的腰和底对应成比例，那么这两个等腰三角形也相似．五、相似证明中的比例式或等积式、比例中项式、倒数式、复合式证明比例式或等积式的主要方法有“三点定形法”． 1．横向定型法欲证AB BCBE BF=，横向观察，比例式中的分子的两条线段是AB 和BC ，三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；分母的两条线段是BE 和BF ，三个字母B E F ，，恰为BEF △的三个顶点．因此只需证2．纵向定型法欲证AB DEBC EF=，纵向观察，比例式左边的比AB 和BC 中的三个字母A B C ，，恰为ABC △的顶点；右边的比两条线段是DE 和EF 中的三个字母D E F ，，恰为D E F △的三个顶点．因此只需证ABC DEF △∽△． 3．中间比法由于运用三点定形法时常会碰到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可考虑运用等线，等比或等积进行变换后，再考虑运用三点定形法寻找相似三角形．这种方法就是等量代换法．在证明比例式时，常用到中间比．比例中项式的证明，通常涉及到与公共边有关的相似问题。
三角形相似的性质
三角形相似的性质
1.相似三角形对应角相等，对应边成比例；
2.相似三角形的一切对应线段的比等于相似比；
3.相似三角形周长的比等于相似比；
4.相似三角形面积的比等于相似比的平方；
5.相似三角形内切圆、外接圆的直径比和周长比都和相似比相同，且内切圆、外接圆面积比是相似比的平方。
相似三角形的性质
三个角分别相等，三条边成比例的两个三角形叫做相似三角形。
相似三角形的判定方法：
1、两角分别对应相等的两个三角形相似。
2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。
3、三边成比例的两个三角形相似。
4、有一个顶角或底角相等的两个等腰三角形都相似。
相似三角形的性质
由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫作三角形。
平面上三条直线或球面上三条弧线所围成的图形，三条直线所围成的图形叫平面三角形；三条弧线所围成的图形叫球面三角形，也叫三边形。
由三条线段首尾顺次相连，得到的封闭几何图形叫作三角形。
三角形是几何图案的基本图形。
相似三角形的性质
常见的三角形按边分有普通三角形（三条边都不相等），等腰三角（腰与底不等的等腰三角形、腰与底相等的等腰三角形即等边三角形）；按角分有直角三
角形、锐角三角形、钝角三角形等，其中锐角三角形和钝角三角形统称斜三角形。
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相似三角形的性质(经典全面)相似三角形的性质及判定一、相似的有关概念相似形是指具有相同形状的图形，但大小不一定相同。
相似图形之间的互相变换称为相似变换。
二、相似三角形的概念相似三角形是指对应角相等，对应边成比例的三角形。
用符号XXX表示，例如△ABC∽△A B C。
三、相似三角形的性质1.对应角相等：如果△ABC与△A B C相似，则有A A，B B，C C。
2.对应边成比例：如果△ABC与△A B C相似，则有AB/BC=AC/A C=BC/B C=k（k为相似比）。
3.对应边上的中线、高线和对应角的平分线成比例，都等于相似比。
例如，如果AM是△ABC中BC边上的中线，A M是△A B C中B C边上的中线，则有AM/A M=k。
如果AH是△ABC中BC边上的高线，A H是△A B C中B C边上的高线，则有AH/A H=k。
如果AD是△ABC中BAC的角平分线，A D是△A B C中B A C的角平分线，则有AD/A D=k。
4.相似三角形周长的比等于相似比。
如果△ABC与△A B C相似，则有AB+BC+AC/A B+B C+A C=k。
ABCD中间观察，比例式中的比AD和BC中的三个字母A，B，C恰为△ABC的顶点；比CD和EF中的三个EFDC字母D，E，F恰为△DEF的三个顶点．因此只需证欲证△ABC∽△DEF．证明比例中项式或倒数式或复合式的方法，可以运用“三点定形法”，也可以利用“分离比例中项法”或“分离倒数式法”或“分离复合式法”．由于在运用三点定形法时，可能会遇到三点共线或四点中没有相同点的情况，此时可以考虑使用等线、等比或等积进行变换，然后再使用三点定形法来寻找相似三角形。
这种方法被称为等量代换法。
在证明比例式时，常常会用到中间比。
证明比例中项式通常涉及与公共边有关的相似问题。
这类问题的典型模型是射影定理模型，需要熟练掌握和透彻理解其特征和结论。
证明倒数式往往需要先进行变形，将等式的一边化为1，另一边化为几个比值的形式，然后对比值进行等量代换，进而证明之。
证明复合式比较复杂。
通常需要进行等线代换（对线段进行等量代换）、等比代换、等积代换，将复合式转化为基本的比例式或等积式，然后进行证明。
在相似的证明中，常用辅助线的方法是构造平行线段或相似三角形，然后再结合等量代换得到要证明的结论。
常见的等量代换包括等线代换、等比代换、等积代换等。
对于题目AD平分∠BAC交BC于D，求证：DC/AC=BD/BA，可以通过过C作CE∥AD，交BA的延长线于E，证明AC=AE，然后利用AD∥CE，得到DC/AC=BD/BA的结论。
另外，也可以通过过B作AC的平行线，交AD的延长线于E，证明AB=BE，然后得到同样的结论。
在相似的证明中，面积法主要是将面积的比和线段的比进行相互转化来解决问题。
常用的面积法基本模型包括三角形面积比、平行四边形面积比和梯形面积比等。
相似证明中的基本模型包括“山字”型。
“田字”型和“燕尾”型等。
对于“山字”型，可以通过构造相似三角形和平行线段来证明；对于“田字”型，可以利用平行四边形面积比和梯形面积比来证明；对于“燕尾”型，可以利用三角形面积比和平行线段来证明。
例1】在△ABC中，AC>AB，点D在AC边上。
若要使△ABC∽△ACB，则需要增加的条件是BC∥AD。
例2】在△ABC中，D、E分别在AC、AB上，且AD·AC=AE·AB。
则有∠ADE=∠B。
例3】在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，且[ABC]=4[BDE]，AC=6.求DE的长度。
例4】直线DE与△ABC的AB边相交于点D，与AC边相交于点E。
能使△ADE与△ABC相似的条件有①∠AED=∠B；③AE·AC=AD·AB。
例5】在△ABC中，∠ABC=60°，点P是△ABC内一点，使得∠APB=∠XXX∠CPA，PA=8，PC=6.则PB=10.例6】已知三个边长相等的正方形相邻并排，求∠EBF+∠XXX。
例7】在△ABC中，.例8】在△ABC中，BD=CE，DE的延长线交BC的延长线于P。
则有AD·BP=AE·CP。
例9】在△ABC的边AB上取一点D，在AC取一点E，使AD=AE，直线DE和BC的延长线相交于P。
则有BP/BD=CP/CE。
例10】在△ABC中，M、N为边BC上的两点，且BM=MN=NC，一条平行于AC的直线分别交AB、AM和AN 的延长线于点D、E和F。
则有EF=3DE。
B、En-1C的中点，则DnEna.例11】已知平行四边形ABCD中，AB a，CD b，EF c，且AB//EF//CD，求证：a/b=c/(a+c)。
例12】如图，平面直角坐标系中，AB线段在y轴上，BD线段在x轴上，且AB BD，CD BD，垂足分别为B、D，AC和BD相交于点E，EF BD，垂足为F.证明：XXX。
例13】如图，平行四边形ABCD中，XXX，求证：S△例14】如图，四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，直线l平行于BD，且与AB、DC、BC、AD及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P.求证：PM·PN=PR·PS。
例15】已知，如图，四边形ABCD，两组对边延长后交于E、F，对角线BD∥EF，AC的延长线交EF于G．求证：EG=GF。
例16】已知：P为△ABC的中位线MN上任意一点，BP、CP的延长线分别交对边AC、AB于D、E，求证：AD/BD+AE/CE=1.例17】如图所示，ABCDEF是一个凸六边形，P、Q、R分别是直线BA与EF、FE与CD、DC与AB的交点，S、T、U分别是BC与ED、DE与AF、FA与CB的交点，如果例18】设P、Q分别是凸四边形ABCD的边BC、AD上的点，且例19】如图，△ABC中，BC=a，若D₁、E₁分别是AB、AC的中点，则D₁E₁=a/2；若D₂、E₂分别是D₁B、E₁C的中点，则D₂E₂=(a/2)+(a/4)=3a/4；若Dₙ、Eₙ分别是Dₙ₋₁B、Eₙ₋₁C的中点，则DₙEₙ=a/2.例20：如图所示，三角形ABC被点P分成了三个三角形和三个平行四边形。
已知三个三角形的面积分别为S1=1，S2=1，S3=2.求三角形ABC的面积。
解析：根据平行四边形的性质，可以得到平行四边形AGFP、BEPD、CFPE的面积分别为S1、S2、S3.因此，平行四边形ABCD的面积为S1+S2+S3=4.又因为三角形ABC和平行四边形ABCD的面积之和为2倍的三角形ABC的面积，因此三角形ABC的面积为2.例21：如图所示，梯形ABCD的两条对角线与两底所围成的两个三角形的面积分别为p、q。
求梯形ABCD的面积。
解析：由于梯形ABCD的两条对角线相交于点O，因此可以将梯形ABCD分成四个三角形。
根据题意，梯形ABCD 可以分成两个全等的三角形AOD和BOC，以及两个全等的三角形AOC和BOD。
因此，梯形ABCD的面积为p+q。
例22：如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，两条对角线AC、BD相交于O，且三角形AOD和BOC的面积之比为1:9.求三角形BOC和三角形DOC的面积之比。
解析：由于三角形AOD和BOC的面积之比为1:9，因此可以得到三角形AOD的面积为BOC的1/10.又因为三角形AOD和BOC的面积之和等于梯形ABCD的面积，因此三角形AOC和BOD的面积之和等于梯形ABCD的面积的9/10.由于三角形AOC和BOD全等，因此它们的面积之和等于梯形ABCD的面积的9/20.因此，三角形BOC和三角形DOC的面积之比为9:1.例23：如图所示，已知三角形ABC的高AD所在直线与高BE所在直线相交于点F。
当三角形ABC为锐角三角形且∠ABC=45°时，过点F作FG∥BC，交直线AB于点G。
证明FG+DC=AD。
解析：首先，可以得到三角形ABC和三角形FGB相似，因此FG/BC=GB/AC。
又因为三角形ABC和三角形DEC相似，因此DC/BC=EC/AC。
将两个比例式相加，可以得到FG+DC=(GB+EC)×AC/BC。
由于GB+EC=AD，因此FG+DC=AD×AC/BC。
因为三角形ABC为锐角三角形，因此可以得到AC/BC=tan(45°)=1.因此，FG+DC=AD。
例24：如图所示，在三角形ABC中，∠B=60°，∠A=100°，E为AC的中点，∠DEC=80°，D是BC边上的点，BC=1.求三角形ABC的面积与三角形CDE的面积的两倍的和。
解析：首先，可以得到三角形AED和三角形BEC相似，因此AE/BC=ED/EC。
又因为AE=EC，因此可以得到ED=BC/2=1/2.由于∠DEC=80°，因此可以得到∠CEA=50°。
因此，可以得到∠XXX∠CEA-∠B=50°-60°=-10°。
又因为∠A+∠B+∠C=180°，因此可以得到∠C=120°。
因此，三角形ABC的面积为(1/2)×AB×AC×sin(120°)=√3/4.又因为三角形AED和三角形CED的面积之和等于三角形CDE的面积，因此三角形CDE的面积为(1/2)×ED×CD×sin(80°)=sin(80°)/4.因此，三角形ABC的面积与三角形CDE的面积的两倍的和为(√3+sin(80°))/2.例25：如图所示，平行四边形ABCD中，过点B的直线顺次与AC、AD及CD的延长线相交于点E、F、G，且BE=5，EF=2.求FG的长度。
解析：由于平行四边形ABCD中，BE=DC，因此可以得到三角形BEC和三角形DCF相似。
因此，BE/DC=EC/CF=AB/CD。
又因为BE=5，AB=CD=BC，因此可以得到CF=10.又因为EF=2，因此可以得到FG=FC-EC=10-BC=10-5=5.注：原题中的图未能提供，因此无法对答案进行验证。
以上答案仅供参考）例27】如图，ABCD为一个四边形，对角线AC和BD相交于点O。
在AB的延长线上任取一点E，连接OE交BC于点F。
已知AB=a，AD=c，BE=b，求BF的长度。
例28】如图，矩形ABCD的面积为36.在AB和AD的边上分别取点E和F，使得AE=3EB，DF=2AF。
设DE与CF的交点为O，求三角形FOD的面积。
例29】如图，已知矩形ABCD中，E为AD的中点，EF垂直于EC，交AB于F，连接FC（AB>AE）。
1）判断三角形AEF与三角形ECF是否相似，若相似，请证明；若不相似，请说明理由。