3.3 相似三角形的性质和判定
3.3 相似三角形的性质和判定1
相似三角形的性质：
相似三角形的对应角相等，对应边成比例。 即：如果△ ABC ∽△ABC 那么，∠A′=∠A ，∠B′=∠B，∠C′=∠C，
AB = BC = C A . AB BC CA
相似三角形的对应边的比k叫作相似比.
例1 如图3-16，已知△ ABC ∽△ABC，并且 AB =3cm，AB=2.4cm，BC=1.6cm，∠B=65°， ∠C=75°. 求 BC 的长，以及∠B′，∠A′的度数？
图3-16
再探新知
同学们阅读教材71页 “探究”部分
如图，△ABC的边AB，BC，CA的长度， 与△ ABC 的边 AB ， C ， A 的长ຫໍສະໝຸດ C B 如图所示：3cm
3.6cm 1.5cm 4.2cm 1.8cm
2.1cm 图 3-15
相似三角形的判定定理1
判定定理1 如果一个三角形的三条边 与另一个三角形的三条边对应成比例，那么 这两个三角形相似．
相似三角形的性质和判定 1
情境引入
同学们阅读教材 71页 “说一说”
探究新知
什么样的两个三角形叫做相似三角形？ 三个角对应相等，且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形．
如果△ ABC 与△ABC 相似 那么记作 读作 △ ABC ∽△ABC， “△AB C 相似于△ABC ”.
证明： AB = 2 , BC = 2 , AC = 2 ,
DE 3 EF 3 FD 3
AB = BC = AC = 2 , DE EF FD 3
∴ △ABC∽△DEF.
1 似. 三边也对应成比例，其相似比为 2 .
3. 已知△DEF∽△ABC，且∠A=50°，∠B=20°， 求∠F的度数.
3.3(第10课时)相似三角形的性质和判定(提高练习2)(备用)
BC
提示： (1)△ABE∽△ACD
D E B
分析：△AED不可能与△DBC相似； (2)△AED∽△ABC。
C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
A
A 图2 K G H B B E D F C B E D F C E n个 K A
H
K
G
图1 H
…
G
D
F
C
综合练习1(变式2）
12、如图，矩形FGHN内接于△ABC，FG在BC上，NH分别在AB、AC上，且AD⊥BC于D，交 NH于E，AD=8cm,BC=24cm, (1) △ABC∽ △ANH成立吗？试说明理由； (2)设矩形的一边长NF=x,求矩形FGHN 的面积y与x的关系式。
相似三角形判定方法
知识回顾1
1、(定义法)三个角对应相等,且三条边对应成比例的 两个三角形叫作相似三角形. 2、（判定定理1）三边对应成比例的两个三角形相似。 常 3、（判定定理2）两角对应相等的两个三角形相似。 用 4、（判定定理3）两边对应成比例且夹角相等的两 个
三角形相似 5、（特殊）斜边与一直角边对应成比例的两个直角三 角形相似
提示： (2)△CQP∽△CBA
B P C
6、如图, 在△ABC中, ∠C＝ 90°， BC＝ 8cm， 4AC－3BC＝ 0,点P从B点出发,沿BC方向以2cm/s速度 移动.点Q 从C点出发,沿CA方向以1cm/s速度移动.若 P,Q分别从B,C同时出发,经过多少秒时, △CPQ与 A △CBA相似? 提示： (1)△CPQ∽△CBA Q
3.3 相似三角形的性质和判定 第1课时湘教版九年级上册
2.判断下列命题的正误： 1、两个等边三角形相似（ √ ） 2、两个直角三角形相似（ × ） 3、两个等腰直角三角形都相似（ √ ）
4、有一个角为50°的两个等腰三角形相似（ × ）
5、有一个角为100°的两个等腰三角形相似（ √ ）
A 【例2】 △ABC 中， D、E 分别是AB、 AC上的点， 且 DE∥BC，试说明△ABC与△ADE相似． AD·AC=AE·AB； B D E C （1）试说明:
用数学符号表示：
∵ ∠A=∠A′， ∠B=∠B′ ∴ Δ ABC ∽ Δ A′B′C′． (两角对应相等，两三角形相似)
【例1】已知：Δ ABC和Δ DEF中，∠A=40°，∠B=80° ， ∠E=80°，∠F=60°．求证：Δ ABC∽Δ DEF ．
A
40°
D
80° 60° E 80° 60° F B C 【解析】 ∵ 在ΔABC中，∠A=40°，∠B=80° ， ∴ ∠C=180°－∠A－∠B=180°－40°－80°＝60° ∴ ∠B=∠E=80°，∠C=∠F=60°． ∴ ΔABC∽ΔDEF（两角对应相等，两三角形相似）．
画一个三角形，使三个角分别为60°，45°, 75°． ①用刻度尺量出这个三角形三边的长度； ②看看与同桌的三角形的对应边是否成比例． 即如果一个三角形的三个角分别与另一个三角形的三个角 相似 对应相等，那么这两个三角形_______．
相似三角形的识别方法：
如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角 对应相等，那么这两个三角形相似．（两角对应相等， 两三角形相似．） 如果两个三角形仅有一对角是对应相等的，那么它们是 否 一定相似？
3.3
相似三角形的性质和判定
第1课时
1、理解相似三角形的概念； 2、理解相似比的概念及其意义； 3、通过探索，掌握相似三角形的判定定理1,并能应用 该定理解决有关数学问题．
九年级数学上册 3.3 相似三角形的性质和判定教案1 湘教版
九年级数学上册 3.3 相似三角形的性质和判定教案1 湘教版【教学目标】1.知识与技能：了解三角形相似及相似比的概念，会运用相似三角形的判定定理一判定两个三角形相似；掌握相似三角形周长之比、对应边上高线、中线以及对应角平分线之比都等于相似比。
2.过程与方法：引导学生通过观察以及动手测量实践，体验三角形相似的判定定理一；并在合作的基础上探究相似三角形周长之比、对应边上高线、中线以及对应角平分线之比都等于相似比这一特性。
3.情感态度与价值观：运用类比的方法，让学生体验知识的形成过程，从而增强学习数学的兴趣。
【教学重点难点】重点：三角形相似判定定理一及性质难点：运用三角形相似判定定理一判定两个三角形相似及性质的应用【教法与学法指导】学生自学——合作交流——教师释疑——检测反馈【教学过程】一、创设情境、导入新课(1) 两个三角形全等有哪些判定方法？(2) 全等三角形与相似三角形有怎样的关系？(3) 如图，如果要判定△ABC与△A’B’C’相似，是不是一定需要一一验证所有的对应角和对应边的关系？提示：首先，由三角形全等的SSS判定方法，我们会想如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么能否判定这两个三角形相似呢？带领学生画图探究；二、合作探究、解读交流知识点1：三角形相似判定定理一三角形相似的判定方法1 如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似． 如图所示：若△ABC 和△A 1B 1C 1三边满足 AB A1B1 = AC A1C1 = BC B1C1 ，那么 这两个三角形相似。
知识点2：相似三角形性质1. 相似三角形的周长之比等于相似比2.相似三角形对应边上的高线、对应边上的中线、对应角的角平分线之比等于相似比三、课堂检测、迁移应用例1．如图，△ABC 中，点D 、E 、F 分别是AB 、BC 、CA 的中点，求证：△ABC ∽△EDF ． 例2，已知△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为1.5，若AB,为3，B 1C 1为4，AC 为8，求其余各边的长及各三角形周长。
相似三角形的判定与性质
相似三角形的判定与性质一、知识回顾1、相似三角形的判定：（1）如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似。
（2）平行于三角形一边的直线与其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似。
（3）如果两个三角形的两组对应边的比相等，且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似（4）如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。
2、相似三角形的性质（1）对应边的比相等，对应角相等。
（2）相似三角形的周长比等于相似比。
（3）相似三角形的面积比等于相似比的平方。
（4）相似三角形的对应边上的高、中线、角平分线的比等于相似比。
二、典型例题例 1：如图，已知直线 AB： y=4/3 x+b 交 x 轴于点 A（ -3 ， 0），交 y 轴于点 B，过点 B 作BC⊥AB 交 x 轴于点 C．（1）试证明：△ ABC∽△ AOB；（ 2）求△ ABC 的周长．例 2：如图，一次函数y=kx+b 的图象经过点A（ -1 ，0）和点（ 1，4）交 y 轴于点 B．（ 1）求一次函数解析式和 B 点坐标．（ 2）过 B 点的另一直线 1 与直线 AB垂直，且交X轴正半轴于点P，求点 P 的坐标．（3）点 M（ 0，a）为 y 轴正半轴上的动点，点N（ b，O）为 X 轴正半轴上的动点，当直线MN⊥直线 AB时，求 a： b 的值．例 3：（ 2000·陕西）如图，在矩形ABCD 中， EF 是 BD 的垂直平分线，已知 BD=20， EF=15，求矩形 ABCD 的周长．例 4：（ 2010·攀枝花）如图所示，在△ ABC 中， BC ＞ AC ，点 D 在 BC 上，且 DC=AC ，∠ ACB 的平分线 CF 交 AD 于点 F ．点 E 是 AB 的中点，连接 EF ．（ 1）求证： EF ∥BC ；（ 2）若△ ABD 的面积是 6，求四边形 BDFE 的面积．例题(1) 两个相似三角形的面积比为 s 1 : s 2 ，与它们对应高之比h 1 : h 2 之间的关系为 _______(2) 如图，已知 D E ∥ BC ， CD 和 BE 相交于 O ，若 SABC:SCOB9 :16 ，则 AD:DB=_________AABADD ’DEODEEFFGA A ’CC ’OCB B ’BCDBC(2)题图(3) 题图(4) 题图(5) 题图(3)如图，已知 AB ∥CD,BO:OC=1:4, 点 E、 F 分别是 OC， OD的中点，则 EF:AB 的值为(4) 如图，已知DE∥FG∥ BC,且 AD:FD:FB=1:2:3, 则S ABC: S四边形DFGE: S四边形FBCG()A.1:9:36B.1:4:9C.1:8:27D.1:8:36(5)如图，把正方形 ABCD 沿着对角线 AC 的方向移动到正方形 A’B ’C’D ’的位置，它们的重叠部分的面积是原正方形面积的一半，若AC= 2 ,则正方形移动的距离 AA ’是(6) 梯形 ABCD中， AD∥BC，（ AD<BC）， AC、 BD交于点 O,若S OAB6S ABCD,则△AOD与△BOC的周长25之比为 __________ 。
3.3 (第四课时)相似三角形的性质和判定(应用1)
图3-20
（2）已知AC=6，AB=8，BE=5，则BC，DE分别为多少？ 答：∵ Rt△ABC中，AB=8，AC=6，BC=10. 又∵ △ABC∽△DBE， ∴ 即
cm，
A C = 3 0 cm .
A
A
B
C B
C
3. 相似三角形面积的比等于对应高的比的平方吗？ 为什么？ 答： 相似三角形面积的比等于对应高的比的平方.
(提示：因为相似三角形对应高的比等于相似比， 而面积比等于相似比的平方.)
4.如图3-20，△ABC中，∠A=90°，ED⊥BC，则：
A C D E BE BC 6 D E , 5 10
，
D E 3 .
图3-20
1.（1）已知Δ ABC与Δ A′B′C′ 的相似比为2：3，则周
长之比为 2:3
之比为 4:9 .
，对应边之比为 2:3
，面积
（2）已知Δ ABC∽Δ A′B′C′，且面积之比为9：4，则周 长之比为 3:2 . ，相似比为 3:2 ，对应边上的高线
A
E
B
D
C
A
课堂小结
相 似 三 角 形 的 性 质
对应角相等；
B
A
对应边成比例；
D
C B
D′
C
相似三角形的对应高的比等于相似比；
相似三角形周长的比等于相似比； 相似三角形面积的比等于相似比的平方.
知识的升华 P80：A T10/T11
祝 你 成 功！
练习：
2、如图, 已知DE∥BC,DF∥AC,请 尽可能多地找出图中的相似三角形， D 并说明理由。
3.3相似三角形的性质
如图,在△ABC 中,AD:DB=1:2,DE∥BC,若 △ABC的面积为9, A 求S四边形DBCE D E
B
C
如图，在 ABCD中，E为AB延 长线上一点，AB:AE=2:5,若 2 S△DFC=12cm ，求S△EFB D C F
E A B
如图，在 ABCD 中， 2 AE:EB=1:2 ,若S△AEF=6cm ， 求S△CDF D C
求平行四边形BEFD 的面积。
C
A 如图,△ABC是一 块锐角三角形余料, 边BC=120毫米,高 E N M AD=80毫米,要把它 加工成正方形零件, 使正方形的一边在 B Q D P C BC上,其余两个顶 点分别在AB、AC上, 这个正方形零件的 AE = PN AD BC 边长是多少？
解：设正方形PQMN是符合要求的 △ABC的高AD与PN相交于点E。 设正方形PQMN的边长为x毫米。 因为PN∥BC，所以△APN∽ △ABC 所以
F
A E
B
在△ABC中,∠C=90°,D是AC上 一点,DE⊥AB于E,若AB=10， BC=6,DE=2,求四边形DEBC的 C 面积
D
A
E
∟
B
A 5.如图,△ABC中,点 D,E,F分别在边 F AB,AC,BC上， D DF∥BC,EF∥AB , AF:FC=2 :3， S△ABC=S， B E
（2）如果面积扩大为原来的100倍， 那么边长扩大为原来的 10 倍。
２，两个相似三角形的一对对应边 分别是35厘米和14 厘米， （1）它们的周长差60厘米，这两 个三角形的周长分别是 100厘米、40。 厘米 —————— （2）它们的面积之和是58平方厘 米，这两个三角形的面积分别 是———————— 。 50平方厘米、8平方厘米
3.3(第七课时)相似三角形的性质
S ABC S ACD k 2 S A ' B 'C ' S A 'C ' D '
相似多边形面积的比等于相似比的平方．
（2）如图，四边ABCD相似于四边形A/B/C/ D /， 相似比为k，它们的面积比是多少？
A D B
A/
D/ B/ C/
C
②相似多边形面积的比等于相似比的平方.
1.判断
练习
（1）一个三角形的各边长扩大为原来的5倍，这个 三角形的周长也扩大为原来的5倍； （2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个 三角形的面积也扩大为原来的9倍． （1）一个三角形各边扩大为原来5倍，相似比为1：5
原周长 1 ＝ 扩大5倍周长 5
扩大5倍周长＝5原周长
（2）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角 形的面积也扩大为原来的9倍．
A
B
C
（1）相似三角形有哪些判定方法？
定义，预备定理，(SSS)，(SAS)，(AA)，(HL)
（2）相似三角形有什么性质？根据是什么？ 相似多边形呢？ 对应角相等， 对应角相等， 根据 对应边成比例； 定义； 对应边成比例； （3）相似三角形的对应边的比叫什么？ 相似比 （4） ΔABC与ΔA/B/C/ 的相似 比为k,则ΔA/B/C/ 1 与ΔABC的相 似比是多少？
1 BC AD 2 1 B' C ' A' D' 2
1 k B' C 'k A' D' 2 k2 1 B' C ' A' D' 2
AD AB S△ ABC k S△ A'B 'C ' A' D' A' B'
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相似形
★重点★相似三角形的判定和性质
☆内容提要☆
一、本章的两套定理
第一套（比例的有关性质）： 涉
及概念：①第四
比例项②比例中项③比的前项、后项，比的内项、外项④黄金分割等。
第二套：
注意：①定理中“对应”二字的含义;
②平行→相似（比例线段）→平行。
二、相似三角形性质
1．对应线段…;2．对应周长…;3．对应面积…。
三、相关作图
①作第四比例项;②作比例中项。
四、证（解）题规律、辅助线 1．“等积”变“比例”，“比例”找“相似”。
2．找相似找不到，找中间比。
方法：将等式左右两边的比表示出来。
⑴
)(,为中间比n m
n m d c n m b a == ⑵'',,n n n
m d c n m b a === 反比性质：c
d
a b = 更比性质：d
b c a a c b d ==或 合比性质：d
d
c b b a ±=± ⇒=⇔=bc a
d d c
b a （比例基本定理） b
a
n d b m c a n d b n m d c b a =++++++⇒≠+++=== :)0(等比性质 相似基本定理 推论
(骨干定理)
平行线分线段
成比例定理
(基本定理)
应用于△中 相似三角形
判定定
理定理1
定理2 定理3 Rt △ 推论
推论的
逆定理
推论
⑶),(,'''
'''n
m n m n n m m n m d c n m b a =====或 3．添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。
4．对比例问题，常用处理方法是将“一份”看着k;对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k 。
5．对于复杂的几何图形，采用将部分需要的图形（或基本图形）“抽”出来的办法处理。