分类汇编2009.2010北京城八区中考及模拟二次函数综合题完整修改版,无重复习题,

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09年北京中考数学模拟分类汇编——二次函数综合题[1]

09年北京中考数学模拟分类——二次函数综合题1、［2009平谷区二模］24．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC 的顶点(03)A ，、(10)C -，．将矩形OABC 绕原点O 顺时针方向旋转90o，得到矩形OA B C '''．设直线BB '与x 轴交于点M 、与y 轴交于点N ，抛物线经过点C 、M 、N ．解答下列问题：（1）求直线BB '的函数解析式；（2）求抛物线的解析式；（3）在抛物线上求出使OABC C B P S 29S 矩形=''∆的所有点P 的坐标．2、［2009朝阳二模］23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，将△ABO 绕坐标原点O 顺时针旋转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.抛物线y= ax 2+bx+3经过B 、1B 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；（3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；（4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.3、［2009年昌平区二模］24．如图1，在平面直角坐标系xOy 中，已知直线AC的解析式为y =AC 交x 轴于点C ，交y 轴于点A ．（1）若一个等腰直角三角板OBD 的顶点D 与点C 重合，求直角顶点B 的坐标；O（2）若（1）中的等腰直角三角板绕着点O 顺时针旋转，旋转角度为()0180αα︒<<︒，当点B 落在直线AC 上的点B '处时，求α的值；（3）在（2）的条件下，判断点B '是否在过点B 的抛物线23y mx x =+上，并说明理由．x4、［2009年海淀区］23、已知：关于x 的一元二次方程22(2)0x n m x m mn +-+-=①（1）求证：方程①有两个实数根；（2）若10m n --=，求证方程①有一个实数根为1；（3）在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a ，当2x =时，关于m 的函数1y nx am =+与222(2)y x a n m x m mn =+-+-的图像交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与1y 、2y 的图像分别交于点C 、D.当l 沿AB 由点A 平移到B 点时，求线段CD 的最大值.5、［2009年海淀区二模］24、如图，已知抛物线22(3)2(3)4y m x m x m m =-+-+-的顶点A 在双曲线3y x=上，直线y mx b =+经过点A ，与y 轴交于点B ，与x 轴交于点C.（1）确定直线AB 的解析式；（2）将直线AB 绕点O 顺时针旋转90︒，与x 轴交于点D ，与y轴交于点E ，求sin BDE ∠的值.（3）过点B 作x 轴的平行线与双曲线交于点G ，点M 在直线BG上，且到抛物线的对称轴的距离为6，设点N 在直线BG 上，请直接写出使得45AMB ANB ∠+∠=︒的点N 的坐标.6、［2009年丰台区二模］25．已知抛物线2y ax bx c =++经过点A （5，0）、B （6，-6）和原点．（1）求抛物线的解析式；（2）若过点B 的直线y kx n =+与抛物线相交于点C （2，m ），求∆OBC 的面积；（3）过点C 作平行于x 轴的直线交y 轴于点D ，在抛物线对称轴右侧位于直线DC 下方的抛物线上，任取一点P ，过点P 作直线PF 平行于y 轴交x 轴于点F ，交直线DC 于点E ．是否存在点P ，使得以C 、E 、P 为顶点的三角形与∆OCD 相似？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．7、［2009年石景山二模］23．如图，四边形ABCD 是菱形，点D 的坐标是（，3），以点C 为顶点的抛物线c bx ax y ++=2恰经过x 轴上的点A 、B ．（1）求点C 的坐标；（2）若抛物线向上平移后恰好经过点D ，求平移后抛物线的解析式．8、［2009年西城区二模］24．如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，AOB ∆为等边三角形，点A 的坐标是（34，0），点B 在第一象限，AC 是OAB ∠的平分线，并且与y 轴交于点E ，点M 为直线AC 上一个动点，把AOM ∆绕点A 顺时针旋转，使边AO 与边AB 重合，得到ABD ∆．（1）求直线OB 的解析式；（2）当M 与点E 重合时，求此时点D 的坐标；（3）是否存在点M ，使OMD ∆的面积等于33，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．9、［2009年大兴二模］25.已知,抛物线c bx ax y ++=2过点)0,3(-A ,)0,1(B ,)3,0(C ，此抛物线的顶点为D.（1）求此抛物线的解析式；（2）把ABC △绕AB 的中点M 旋转180，得到四边形AEBC . ①求E 点的坐标；②试判断四边形AEBC 的形状，并说明理由．（3）试探求：在直线BC 上是否存在一点P ，使得PAD △的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由．10、［2009年房山二模］24．如图，已知抛物线经过点B (-2,3)、原点O 和x 轴上另一点A ,它的对称轴与x 轴交于点C （2，0），（1）求此抛物线的函数关系式；（2）联结CB, 在抛物线的对称轴上找一点E,使得CB=CE,求点E 的坐标；（3）在(2)的条件下, 联结BE,设BE 的中点为G,对称轴上是否存在点P PBG第23题11、［2009年房山二模］23．已知抛物线232y x x n =++，（1）若n=-1, 求该抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求n 的取值范围．12、［2009年西城二模］24. 如图，抛物线y ＝ax 2+bx +c 的顶点为A （0，1），与x 轴的一个交点B 的坐标为（2，0），点 P 在抛物线上，其横坐标为2n （0<n <1），作PC ⊥x 轴于C ，PC 交射线AB 于点D（1）求抛物线的解析式；（2）用n 的代数式表示CD 、PD 的长，并通过计算说明PD OCCD OB 与的大小关系；（3）若将原题中“0<n <1”的条件改为“n >1”，其他条件不变，请通过计算说明（2）中结论是否仍然成立.13、［2009平谷二模］25、已知，关于x 的一元二次方程:2(4)30x a x a ---+=（0a <）（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ,2x （其中12x x <），若y是关于a 的函数，且2123x y x =+，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a 的方程10y a ++=的解．14、［2009年延庆二模］25.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC 的边BO 在X 轴正半轴上，边CO 在Y 轴的正半轴上，且AB=2，OB=23，矩形ABOC 绕点O 逆时针旋转后得到矩形EFOD ，且点A 落在Y 轴上的E 点，点B 的对应点为点F ，点C 的对应点为点D.xx⑴求F 、E 、D 三点的坐标； ⑵若抛物线c bx ax y ++=2经过点F 、E 、D ，求此抛物线的解析式；⑶在X 轴上方的抛物线上求点Q 的坐标，使得△QOB 的面积等于矩形ABOC15、［2009年门头沟二模］23．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线212y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（点A 在原点的左侧，点B 在原点的右侧），与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．（1）求抛物线的解析式；（2）若点E 在第一象限内的此抛物线上，且OE ⊥BC 于D ，求点E 的坐标；（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使线段PA 与PE 之差的值最大？若存在，请求出这个最大值和点P 的坐标；若不存在，请说明理由．16、［2009宣武区二模］23.（本题满分7分）已知二次函数2441y ax ax a =++-的图象是C 1．（1）求C 1关于点R （1，0）中心对称的图象C 2的函数解析式；（2）在（1）的条件下，设抛物线C 1、C 2与y 轴的交点分别为A 、B ，当AB=18时，求a 的值．17、［2009年密云二模］24．已知：抛物线2(1)y x b x c =+-+经过点(12)P b --，．（1）求b c +的值；（2）若3b =，求这条抛物线的顶点坐标；（3）若3b >，过点P 作直线PA y ⊥轴，交y 轴于点A ，交抛物线于另一点B ，且2BP PA =，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．（提示：请画示意图思考）18、［2009顺义二模］24、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线m x m x y ++-=)1(2（m 是常数）与y 轴交于点C ，与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 左侧），且A 、B 两点在原点两侧．（1）求A 、B 两点的坐标（可用含m 的代数式表示）；（2）若6ABC S ∆=，求抛物线的解析式；（3）设抛物线的顶点为D ，在（2）的条件下，试判断△ACD 的形状，并求tan ∠ACB 的值．。

2010年中考数学真题分类汇编(150套)专题18二次函数的图象和性质2

28．（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形ABCD 的边长AB=6，BC=4，点F 在DC 上，DF=2．动点M 、N 分别从点D 、B 同时出发，沿射线DA 、线段BA 向点A 的方向运动（点M 可运动到DA 的延长线上），当动点N 运动到点A 时，M 、N 两点同时停止运动．连接FM 、MN 、FN ，当F 、N 、M 不在同一直线时，可得ΔFMN ，过ΔFMN 三边的中点作ΔPQW ．设动点M 、N 的速度都是1个单位/秒，M 、N 运动的时间为x 秒．试解答下列问题：（1）说明ΔFMN ∽ΔQWP ；（2）设0≤x ≤4（即M 从D 到A 运动的时间段）．试问x 为何值时，ΔPQW 为直角三角形？当x 在何范围时，ΔPQW 不为直角三角形？（3）问当x 为何值时，线段MN 最短？求此时MN 的值．．【答案】解：（1）由题意可知P 、W 、Q 分别是ΔFMN 三边的中点， ∴PW 是ΔFMN 的中位线，即PW ∥MN ∴ΔFMN ∽ΔQWP（2）由题意可得 DM=BN=x ，AN=6-x ，AM=4-x ，由勾股定理分别得 2FM =24x +，2MN =2)4(x -+2)6(x - 2FN =2)4(x -+16①当2MN =2FM +2FN 时，2)4(x -+2)6(x -=24x ++2)4(x -+16 解得 34=x ②当2FN =2FM +2MN 时，2)4(x -+16=24x ++2)4(x -+2)6(x - 此方程无实数根③2FM =2MN +2FN 时，24x +=2)4(x -+2)6(x -+2)4(x -+16 解得 101=x （不合题意，舍去），42=x 综上，当34=x 或4=x 时，ΔPQW 为直角三角形；当0≤x ＜34或34＜x ＜4时，ΔPQW 不为直角三角形（3）①当0≤x ≤4，即M 从D 到A 运动时，只有当x=4时，MN 的值最小，等于2； ②当4＜x ≤6时，2MN =2AM +2AN =2)4(-x +2)6(x -=2)5(22+-x当x=5时，2MN 取得最小值2， ∴当x=5时，线段MN 最短，MN=2． 29．（2010湖南常德）如图9, 已知抛物线212y x bx c =++与x 轴交于A (－4，0) 和B (1，0)两点，与y 轴交于C 点．（1）求此抛物线的解析式；（2）设E 是线段AB 上的动点，作EF //AC 交BC 于F ，连接CE ，当△CEF 的面积是△BEF面积的2倍时，求E 点的坐标;（3）若P 为抛物线上A 、C 两点间的一个动点，过P 作y 轴的平行线，交AC 于Q ，当P点运动到什么位置时，线段PQ 的值最大，并求此时P 点的坐标．【答案】解：（1）由二次函数212y x bx c =++与x 轴交于(4,0)A -、(1,0)B 两点可得：221(4)4021102b c b c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪⋅++=⎪⎩，．解得： 322b c ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，．故所求二次函数的解析式为213222y x x =+-．（2）∵S △CEF =2 S △BEF , ∴1,2BF CF =1.3BF BC =∵EF //AC , ∴B ,EF BAC BFE BCA ∠=∠∠=∠ ,∴△BEF ～△BAC ,∴1,3BE BF BA BC ==得5,3BE = 故E 点的坐标为(23-,0).xyO BC A图9（3）解法一：由抛物线与y 轴的交点为C ，则C 点的坐标为（0，－2）．若设直线AC的解析式为y kx b =+，则有20,04b k b -=+⎧⎨=-+⎩．解得：1,22k b ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩．故直线AC 的解析式为122y x =-－．若设P 点的坐标为213,222a a a ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，又Q 点是过点P 所作y 轴的平行线与直线AC 的交点，则Q 点的坐标为（1,2)2a a --．则有：2131[(2)](2)222PQ a a a =-+----＝2122a a --＝()21222a -++即当2a =-时，线段PQ 取大值，此时P 点的坐标为（－2，－3）解法二：延长PQ 交x 轴于D 点，则PD AB ⊥．要使线段PQ 最长，则只须△APC的面积取大值时即可.设P 点坐标为（),00y x ，则有:ACO DPCO SAPCADPSSS =+-梯形＝111()222AD PD PD OC OD OA OC ⋅++⋅-⋅ ＝()()000001112242222x y y y x --+-+⋅--⨯⨯＝0024y x ---＝20001322422x x x ⎛⎫-+--- ⎪⎝⎭＝2004xx -- ＝－()22024x ++即02x =-时，△APC 的面积取大值，此时线段PQ 最长，则P 点坐标为（－2，－3）30 ．（2010湖南郴州）如图（1），抛物线42y x x =+-与y 轴交于点A ，E （0，b ）为y 轴上一动点，过点E 的直线y x b =+与抛物线交于点B 、C .（1）求点A 的坐标；（2)当b =0时（如图（2）），ABE 与ACE 的面积大小关系如何？当4b >-时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b ，使得BOC 是以BC 为斜边的直角三角形，若存在，求出b ；若不存在，说明理由.【答案】（1）将x =0，代入抛物线解析式，得点A 的坐标为（0，－4）（2）当b ＝0时，直线为y x =，由24y xy x x =⎧⎨=+-⎩解得1122x y =⎧⎨=⎩，2222x y =-⎧⎨=-⎩所以B 、C 的坐标分别为（－2，－2），（2，2）14242ABES=⨯⨯=，14242ACES =⨯⨯= 所以ABEACE S S=当4b >-时，仍有ABEACE SS=成立.理由如下由24y x b y x x =+⎧⎨=+-⎩，解得11x y b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩所以B 、C b 作BF y ⊥轴，CG y ⊥轴，垂足分别为F 、G ，则而ABE 和ACE 是同底的两个三角形，所以ABEACE SS=.（3）存在这样的b .因为90BF CG,BEF CEG,BFE CGE =∠=∠∠=∠=︒ 所以BEF CEG ≅所以BE CE =，即E 为BC 的中点所以当OE =CE 时，OBC 为直角三角形因为GE b b GC =-== 所以 CE =OE b =b =，解得124,2b b ==-，所以当b ＝4或－2时，ΔOBC 为直角三角形.31．（2010湖南怀化）图9是二次函数k m x y ++=2)(的图象，其顶点坐标为M(1,-4). （1）求出图象与x 轴的交点A,B 的坐标；（2）在二次函数的图象上是否存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45,若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线)1(<+=b b x y 与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.【答案】解;(1) 因为M(1,-4) 是二次函数k m x y ++=2)(的顶点坐标，所以324)1(22--=--=x x x y 令,0322=--x x 解之得3,121=-=x x . ∴A ，B 两点的坐标分别为A （-1，0），B （3,0） (2) 在二次函数的图象上存在点P ，使MAB PAB S S ∆∆=45设),,(y x p 则y y AB S PAB 221=⨯=∆，又8421=-⨯=∆AB S MAB , ∴.5,8452±=⨯=y y 即 ∵二次函数的最小值为-4，∴5=y . 当5=y 时，4,2=-=x x 或.故P 点坐标为（-2，5）或（4，5）……………7分（3）如图1，当直线)1(<+=b b x y 经过A 点时，可得.1=b ……………8分图9图1当直线)1(<+=b b x y 经过B 点时，可得.3-=b由图可知符合题意的b 的取值范围为13<<-b 32．（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，A （-1，0），B （0，2），一动点P 沿过B 点且垂直于AB 的射线BM 运动，P 点的运动速度为每秒1个单位长度，射线BM 与x 轴交与点C ．（1）求点C 的坐标．（2）求过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式．（3）若P 点开始运动时，Q 点也同时从C 出发，以P 点相同的速度沿x 轴负方向向点A 运动，t 秒后，以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形．（点P 到点C 时停止运动，点Q 也同时停止运动）求t 的值．（4）在（2）（3）的条件下，当CQ =CP 时，求直线OP 与抛物线的交点坐标．【答案】（1）点C 的坐标是（4，0）；（2）设过点A 、B 、C 三点的抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c （a ≠0），将点A 、B 、C 三点的坐标代入得：020164a b c c a b c =-+⎧⎪=⎨⎪=++⎩解得12322a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，∴抛物线的解析式是：y = 12-x 2+32x +2．（3）设P 、Q 的运动时间为t 秒，则BP =t ，CQ =t ．以P 、Q 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论．①若CQ =PC ，如图所示，则PC = CQ =BP =t ．∴有2t =BC=t②若PQ =QC ，如图所示，过点Q 作DQ ⊥BC 交CB 于点D ，则有CD =PD ．由△ABC ∽△QDC ，可得出PD =CDt =，解得t③若PQ =PC ，如图所示，过点P 作PE ⊥AC 交AC 于点E ，则EC =QE=5PC ，∴12t=5（t ），解得t（4）当CQ =PC 时，由（3）知t P 的坐标是（2，1），∴直线OP 的解析式是：y =12x ，因而有12x =12-x 2+32x +2，即x 2-2x -4=0，解得x =1OP 与抛物线的交点坐标为（）和（． 33．（2010湖北省咸宁）已知二次函数2y x bx c =+-的图象与x 轴两交点的坐标分别为（m ，0），（3m -，0）（0m ≠）．（1）证明243c b =；（2）若该函数图象的对称轴为直线1x =，试求二次函数的最小值．【答案】（1）证明：依题意，m ，3m -是一元二次方程20x bx c +-=的两根．根据一元二次方程根与系数的关系，得(3)m m b +-=-，(3)m m c ⨯-=-．∴2b m =，23c m =． ∴224312c b m ==．（2）解：依题意，12b-=，∴2b =-．由（1）得2233(2)344c b ==⨯-=．∴2223(1)4y x x x =--=--．∴二次函数的最小值为4-．34．（2010湖北恩施自治州）如图，在平面直角坐标系中，二次函数c bx x y ++=2的图象与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于C （0，-3）点，点P 是直线BC 下方的抛物线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式．（2）连结PO 、PC ，并把△POC 沿CO 翻折，得到四边形POP /C ，那么是否存在点P ，使四边形POP /C 为菱形？若存在，请求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大并求出此时P 点的坐标和四边形ABPC 的最大面积.【答案】解：（1）将B 、C 两点的坐标代入得⎩⎨⎧-==+303c c b解得：⎩⎨⎧-=-=32c b所以二次函数的表达式为：322--=x x y（2）存在点P ，使四边形POP /C 为菱形．设P 点坐标为（x ，322--x x ）， PP /交CO 于E若四边形POP /C 是菱形，则有PC ＝PO ．连结PP / 则PE ⊥CO 于E ，∴OE=EC =23∴y =23-．∴322--x x =23-解得1x =2102+，2x =2102-（不合题意，舍去）∴P 点的坐标为（2102+，23-）…………………………8分（3）过点P 作y 轴的平行线与BC 交于点Q ，与OB 交于点F ，设P （x ，322--x x ），易得，直线BC 的解析式为3-=x y 则Q 点的坐标为（x ，x －3）.EB QP OE QP OC AB S S S S CPQ BPQ ABC ABPC ⋅+⋅+⋅=++=∆∆∆212121四边形 3)3(2134212⨯+-+⨯⨯=x x =87523232+⎪⎭⎫ ⎝⎛--x当23=x 时，四边形ABPC 的面积最大此时P 点的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-415,23，四边形ABPC 的面积875的最大值为． 35．（2010北京）在平面直角坐标系xOy 中，抛物线23454122+-++--=m x x mx m y 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B （2，n ）在这条抛物线上．（1）求B 点的坐标；（2）点P 在线段OA 上，从O 点出发向A 点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交与点E ，延长PE 到点D ，使得ED =PE ，以PD 为斜边，在PD 右侧做等等腰直角三角形PCD （当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动）．① 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此抛物线上时，求OP 的长；② 若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一个点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动）．过Q 点做x 轴的垂线，与直线AB 交与点F ，延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN （当Q点运动时，M 点、N 点也随之运动）．若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值．【答案】解：（1）∵抛物线23454122+-++--=m m x mx m y 经过原点， ∴m 2—3m +2=0. 解的m 1=1，m 2=2. 由题意知m ≠1. ∴m =2，∴抛物线的解析式为x x y 25412+-= ∵点B （2，n ）在抛物线x x y 25412+-=，n=4.∴B 点的坐标为（2，4）（2）①设直线OB 的解析式为y =k 1x 求得直线OB 的解析式y =2x ∵A 点是抛物线与x 轴的一个交点，可求得A 点的坐标为（10，0），设P 点的坐标为（a ，0），则E 点的坐标为（a ，2a ）．根据题意做等腰直角三角形PCD ，如图1.可求得点C 的坐标为（3a ，2a ），有C 点在抛物线上，得2a =－41x （3a ）2+25x 3a . 即49a 2— 211a =0解得 a 1=922，a 2=0（舍去） ∴OP =922 ②依题意作等腰直角三角形QMN . 设直线AB 的解析式y =k 2x +b由点A (10 ，0)，点B （2，4），求得直线AB 的解析式为y =－21x +5 当P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：CD 与NQ 在同一条直线上，如图2所示，可证△DPQ 为等腰直角三角形．此时QP 、OP 、AQ 的长可依次表示为t 、4t 、 2t 个单位． ∴PQ = DP = 4t ∴t +4t +2t =10 ∴t=710第二种情况：PC 与MN 在同一条直线上，如图3所示．可证△PQM 为等腰直角三角形．此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位， ∴OQ = 10 － 2t ∵F 点在直线AB 上 ∴FQ =t ∵MQ =2t ∴PQ =MQ =CQ =2t ∴t +2t +2t =10 ∴t =2.第三种情况：点P 、Q 重合时，PD 、QM 在同一条直线上，如图4所示，此时OP 、AQ 的长依次表示为t 、2t 个单位．∴t +2t=10 ∴t =310 综上，符合题意的值分别为710，2，310． 36．（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数2x y =的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下平移2个单位.（1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式.（2）求经过两次平移后的图像与x 轴的交点坐标，指出当x 满足什么条件时，函数值大于0？【答案】解：画图如图所示：依题意得：2)1(2--=x y =2122-+-x x =122--x x∴平移后图像的解析式为：122--x x （2）当y=0时，122--x x =0 2)1(2=-x 21±=-x 212121+=-=x x ，∴平移后的图像与x 轴交与两点，坐标分别为（21-，0）和（21+，0）由图可知，当x<21-或x>21+时，二次函数2)1(2--=x y 的函数值大于0. 37．（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴相交于两点A (1，0)，B (3，0).与y 轴相较于点C （0，3）．（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点D （7,2m ）是抛物线2y ax bx c =++上一点，请求出m 的值，并求处此时△ABD 的面积．【答案】解：（1）由题意可知09303a b c a b c c ++=⎧⎪++=⎨⎪=⎩ 解得143a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩所以抛物线的函数关系式为243y x x =-+．（2）把D （7,2m ）代人函数解析式243y x x =-+中，得2775()43224m =-⨯+=．所以155(31)244ABDS ∆=⨯-⨯=． 38．（2010湖北随州）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠顶点为C （1，1）且过原点O.过抛物线上一点P （x ，y ）向直线54y =作垂线，垂足为M ，连FM （如图）. （1）求字母a ，b ，c 的值；（2）在直线x ＝1上有一点3(1,)4F ，求以PM 为底边的等腰三角形PFM 的P 点的坐标，并证明此时△PFM 为正三角形；（3）对抛物线上任意一点P ，是否总存在一点N （1，t ），使PM ＝PN 恒成立，若存在请求出t 值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a ＝－1，b ＝2，c ＝0（2）过P 作直线x=1的垂线，可求P 的纵坐标为14，横坐标为1.此时，MP ＝MF ＝PF ＝1，故△MPF 为正三角形. （3）不存在.因为当t ＜54，x ＜1时，PM 与PN 不可能相等，同理，当t ＞54，x ＞1时，PM 与PN 不可能相等.39．（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A(4，0)，B(0，一4)，C(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点M 为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m ，△AMB 的面积为S.求S 关于m 的函数关系式，并求出S 的最大值；(3)若点P 是抛物线上的动点，点Q 是直线y=－x 上的动点，判断有几个位置能使以点P 、Q 、B 、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q 的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y =ax 2+bx +c (a ≠0)，则有1640,4,420.a b c c a b c -+=⎧⎪=-⎨⎪++=⎩解得1,21,4.a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩∴抛物线的解析式y =12x 2+x ﹣4（2）过点M 作MD ⊥x 轴于点D .设M 点的坐标为（m ，n ）. 则AD =m +4，MD =﹣n ，n =12m 2＋m －4 . ∴S = S △AMD +S 梯形DMBO －S △ABO =12( m +4) (﹣n )＋12(﹣n ＋4) (﹣m ) －12×4×4 = ﹣2n -2m -8 = ﹣2(12m 2＋m －4) -2m -8= ﹣m 2-4m (－4< m < 0)∴S 最大值 = 4（3）满足题意的Q 点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+2－，（-2－2＋40．（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线y ＝x2+bx+c 与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C(0，2)，连接AC ，若tan ∠OAC ＝2． (1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l 上是否存在点P ，使∠APC ＝90°，若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接BC ，M 是线段BC 上(不与B 、C 重合)的一个动点，过点M 作直线l ′∥l ，交抛物线于点N ，连接CN 、BN ，设点M 的横坐标为t ．当t 为何值时，△BCN 的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）∵抛物线y=x 2＋bx ＋c 过点C(0,2). ∴x=2又∵tan ∠OAC=OCOA=2, ∴OA=1,即A(1,0). 又∵点A 在抛物线y=x 2＋bx ＋2上. ∴0=12＋b ×1＋2,b=－3 ∴抛物线对应的二次函数的解析式为y=x 2－3x ＋2 （2）存在过点C 作对称轴l 的垂线,垂足为D,如图所示, ∴x=－332212b a -=-=⨯.∴AE=OE-OA=32-1=12,∵∠APC=90°,∴tan ∠PAE= tan ∠CPD ∴PE CDEA DP=,即12PE 322PE =-，解得PE=12或PE=32， ∴点P 的坐标为（32，12）或（32，32）。

[09数学汇编]_2009年全国中考数学试题汇编_二次函数1

年中考二次函数习题版一、选择题、（年台湾）向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间与高度关系为+。

若此炮弹在第秒与第秒时的高度相等，则再下列哪一个时间的高度是最高的？ () 第秒 () 第秒 () 第秒 () 第秒。

、（年泸州）在平面直角坐标系中，将二次函数22x y =的图象向上平移个单位，所得图象的解析式为．222-=x y ．222+=x y ．2)2(2-=x y ．2)2(2+=x y、 (年四川省内江市)抛物线3)2(2+-=x y 的顶点坐标是（）．（，）．（－，）．（，－）．（－，－）、（年桂林市、百色市）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（）．．．．－．23、(年上海市)抛物线22()y x m n =++（m n ，是常数）的顶点坐标是（）．()m n ，．()m n -，．()m n -，．()m n --，、(年陕西省)根据下表中的二次函数c bx ax y ++=2的自变量与函数的对应值，可判断二次函数的图像与轴【】．只有一个交点．有两个交点，且它们分别在轴两侧．有两个交点，且它们均在轴同侧．无交点、（威海）二次函数2365y x x =--+的图象的顶点坐标是（）．(18)-，．(18)，．(12)-，．(14)-，、（湖北省荆门市）函数＋与＋＋（≠）的图象可能是（）解析：本题考查函数图象与性质，当0a >时，直线从左向右是上升的，抛物线开口向上，是错的，函数＋与＋＋（≠）的图象必过（，），所以是正确的，故选．、（年贵州黔东南州）抛物线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能．．是（）、、121212++-x 、121212+--x x 、22++-x x、（年齐齐哈尔市）已知二次函数2(0)y ax bxc a =++≠的图象如图所示，则下列结论：0ac >①；②方程20axbx c ++=的两根之和大于；y ③随x 的增大而增大；④0a b c -+<，其中正确的个数（）．个．个．个．个、（年深圳市）二次函数c bxax y ++=2的图象如图所示，若点（，）、（，）是它图象上的两点，则与的大小关系是（）．21y y < ．21y y = ．21yy > ．不能确定、（桂林百色）二次函数2(1)2y x =++的最小值是（）．．．．－．23、（丽水市）已知二次函数＝＋＋(≠)的图象如图所示，给出以下结论： ①＞.②该函数的图象关于直线1x =对称. ③当13x x =-=或时，函数的值都等于. 其中正确结论的个数是（）．．．．、（烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（）、（年甘肃庆阳）图（）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．如图（）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（）．22y x =- ．22y x = ．212y x=-．212y x =、（年甘肃庆阳）将抛物线22y x =向下平移个单位，得到的抛物线是（）．22(1)y x =+．22(1)y x =-．221y x =+．221y x =-、（年广西南宁）已知二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（）．个．个．个．个、(年鄂州)已知次函数＝2的图象如图．则下列个代数式：，，－，，－中，其值大于的个数为（）．、、、（年孝感）将函数2y x x =+的图象向右平移(0)a >个单位，得到函数232y x x =-+的图象，则的值为．．．．、（泰安）抛物线1822-+-=x x y 的顶点坐标为（）（，）（）（，）（）（，）（）（，）、（年烟台市）二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则一次函数24y bx b ac =+-与反比例函数a b cy x++=在同一坐标系内的图象大致为（）0≠a ，在同一直角坐标系中，函数ax y =与2ax y=的图象有可能是（ ▲ ）图图（）图（）．、（年新疆）如图，直角坐标系中，两条抛物线有相同的对称轴，下列关系不正确．．．的是（）．h m = ．k n = ．k n > ．00h k >>，、（年天津市）在平面直角坐标系中，先将抛物线22y x x =+-关于x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）．22y x x =--+ ．22y x x =-+-．22y x x =-++ ．22y x x =++、（年南宁市）已知二次函数2y a x b x c =++（0a ≠）的图象如图所示，有下列四个结论：20040b c b ac <>->①②③④0a b c -+<，其中正确的个数有（）．个．个．个．个、（年衢州）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是．(，)．(，)．(，)．(，)、（年舟山）二次函数2(1)2y x =--的图象上最低点的坐标是．(，)．(，)．(，)．(，)、（年广州市）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（）（）（）（）、（年济宁市）小强从如图所示的二次函数2y ax bx c =++的图象中，观察得出了下面五条信息：（）0a <；（） 1c >；（）0b >；（） 0a b c ++>；（）0a b c -+>. 你认为其中正确信息的个数有．个．个．个．个、（年广西钦州）将抛物线＝向上平移个单位得到的抛物线的解析式是（）1211O1xy （第题）．＝＋．＝－．＝（＋）．＝（－）、(宁夏)二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是（）．0c > ．20a b += ．240b ac -> ．0a b c -+>、(年南充)抛物线(1)(3)(0)y a x x a =+-≠的对称轴是直线（）．1x = ．1x =- ．3x =- ．3x =、(年湖州)已知图中的每个小方格都是边长为的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点，请你在图中任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过个格点中的多少个？（）．．．．、（年兰州）在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是、（年兰州）把抛物线2y x =-向左平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为．2(1)3y x =--- ．2(1)3y x =-+- ．2(1)3y x =--+．2(1)3y x =-++、（年兰州）二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式不正确的是．a ＜ .abc ＞.c b a ++＞ .ac b 42-＞、（年遂宁）把二次函数3412+--=x x y 用配方法化成()k h x a y +-=2的形式.()22412+--=x y . ()42412+-=x y.()42412++-=x y . 321212+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x y（题图）、（年广州市）二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是（）（）（）（）【关键词】二次函数、（年台湾）向上发射一枚炮弹，经秒后的高度为公尺，且时间与高度关系为+。

全国各地中考模拟试卷数学分类：二次函数综合题汇编含答案

一、二次函数真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图1，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）与x 轴交于点A （﹣1，0）、B （4，0）两点，与y 轴交于点C ，且OC=3OA ．点P 是抛物线上的一个动点，过点P 作PE ⊥x 轴于点E ，交直线BC 于点D ，连接PC ．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2，当动点P 只在第一象限的抛物线上运动时，求过点P 作PF ⊥BC 于点F ，试问△PDF 的周长是否有最大值？如果有，请求出其最大值，如果没有，请说明理由．（3）当点P 在抛物线上运动时，将△CPD 沿直线CP 翻折，点D 的对应点为点Q ，试问，四边形CDPQ 是否成为菱形？如果能，请求出此时点P 的坐标，如果不能，请说明理由．【答案】(1) y=﹣234x +94x+3；(2) 有最大值,365;(3) 存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，此时点P 的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．【解析】试题分析: （1）利用待定系数法求二次函数的解析式；（2）设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ，再利用待定系数法求直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，表示PD=﹣2334m m ，证明△PFD ∽△BOC ，根据周长比等于对应边的比得：=PED PD BOC BC 的周长的周长，代入得：L=﹣95（m ﹣2）2+365，求L 的最大值即可；（3）如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，根据翻折的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，又知Q 落在y 轴上时，则CQ ∥PD ，由四边相等：CD=DP=PQ=QC ，得四边形CDPQ 是菱形，表示P （n ，﹣23n 4 +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣34n+3），利用勾股定理表示PD 和CD 的长并列式可得结论．试题解析:（1）由OC=3OA ，有C （0，3），将A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）代入y=ax 2+bx+c 中，得：016403a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34943a b c ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎩，故抛物线的解析式为：y=﹣234x +94x+3；（2）如图2，设P （m ，﹣34m 2+94m+3），△PFD 的周长为L ， ∵直线BC 经过B （4，0），C （0，3），设直线BC 的解析式为：y=kx+b ，则403k b b +=⎧⎨=⎩ 解得：343k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩ ∴直线BC 的解析式为：y=﹣34x+3，则D （m ，﹣334m +），PD=﹣2334m m +， ∵PE ⊥x 轴，PE ∥OC ，∴∠BDE=∠BCO ，∵∠BDE=∠PDF ，∴∠PDF=∠BCO ，∵∠PFD=∠BOC=90°，∴△PFD ∽△BOC ， ∴=PED PD BOC BC的周长的周长，由（1）得：OC=3，OB=4，BC=5，故△BOC 的周长=12，∴2334125m m L -+=，即L=﹣95（m ﹣2）2+365，∴当m=2时，L 最大=365；（3）存在这样的Q 点，使得四边形CDPQ 是菱形，如图3，当点Q 落在y 轴上时，四边形CDPQ 是菱形，理由是：由轴对称的性质知：CD=CQ ，PQ=PD ，∠PCQ=∠PCD ，当点Q 落在y 轴上时，CQ ∥PD ，∴∠PCQ=∠CPD ，∴∠PCD=∠CPD ，∴CD=PD ，∴CD=DP=PQ=QC ，∴四边形CDPQ 是菱形，过D 作DG ⊥y 轴于点G ，设P （n ，﹣234n +94n+3），则D （n ，﹣34n+3），G （0，﹣334n +），在Rt △CGD 中，CD 2=CG 2+GD 2=[（﹣34n+3）﹣3]2+n 2=22516n ，而|PD|=|（﹣239344n n ++ 3n ++）﹣（﹣34n+3）|=|﹣234n +3n|， ∵PD=CD ，∴﹣235344n n n +=①， ﹣235344n n n +=-②，解方程①得：n=73或0（不符合条件，舍去），解方程②得：n=173或0（不符合条件，舍去），当n=73时，P （73，256），如图3，当n=173时，P （173，﹣253），如图4，综上所述，存在这样的Q点，使得四边形CDPQ是菱形，此时点P的坐标为（73，256）或（173，﹣253）．点睛: 本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求函数的解析式、菱形的性质和判定、三角形相似的性质和判定，将周长的最值问题转化为二次函数的最值问题，此类问题要熟练掌握利用解析式表示线段的长，并利用相似比或勾股定理列方程解决问题．2．已知如图，抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），交y轴于点C，点P是该抛物线上一动点，点P从C点沿抛物线向A点运动（点P不与点A重合），过点P作PD∥y 轴交直线AC于点D．（1）求抛物线的解析式；（2）求点P在运动的过程中线段PD长度的最大值；（3）△APD能否构成直角三角形？若能请直接写出点P坐标，若不能请说明理由；（4）在抛物线对称轴上是否存在点M使|MA﹣MC|最大？若存在请求出点M的坐标，若不存在请说明理由．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）94；（3）点P（1，0）或（2，﹣1）；（4）M（2，﹣3）．【解析】试题分析：（1）把点A、B的坐标代入抛物线解析式，解方程组得到b、c的值，即可得解；（2）求出点C的坐标，再利用待定系数法求出直线AC的解析式，再根据抛物线解析式设出点P的坐标，然后表示出PD的长度，再根据二次函数的最值问题解答；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，②求出抛物线顶点坐标，然后判断出点P为在抛物线顶点时，∠PAD是直角，分别写出点P的坐标即可；（4）根据抛物线的对称性可知MA=MB，再根据三角形的任意两边之差小于第三边可知点M为直线CB与对称轴交点时，|MA﹣MC|最大，然后利用待定系数法求出直线BC的解析式，再求解即可．试题解析：解：（1）∵抛物线y=x2+bx+c过点A（3，0），B（1，0），∴93010b cb c++=⎧⎨++=⎩，解得43bc=-⎧⎨=⎩，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）令x=0，则y=3，∴点C（0，3），则直线AC的解析式为y=﹣x+3，设点P（x，x2﹣4x+3）．∵PD∥y轴，∴点D（x，﹣x+3），∴PD=（﹣x+3）﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x=﹣（x﹣32）2+94．∵a=﹣1＜0，∴当x=32时，线段PD的长度有最大值94；（3）①∠APD是直角时，点P与点B重合，此时，点P（1，0），②∵y=x2﹣4x+3=（x ﹣2）2﹣1，∴抛物线的顶点坐标为（2，﹣1）．∵A（3，0），∴点P为在抛物线顶点时，∠PAD=45°+45°=90°，此时，点P（2，﹣1）．综上所述：点P（1，0）或（2，﹣1）时，△APD能构成直角三角形；（4）由抛物线的对称性，对称轴垂直平分AB，∴MA=MB，由三角形的三边关系，|MA﹣MC|＜BC，∴当M、B、C三点共线时，|MA﹣MC|最大，为BC的长度，设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），则3k bb+=⎧⎨=⎩，解得：33kb=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣3x+3．∵抛物线y=x2﹣4x+3的对称轴为直线x=2，∴当x=2时，y=﹣3×2+3=﹣3，∴点M （2，﹣3），即，抛物线对称轴上存在点M（2，﹣3），使|MA﹣MC|最大．点睛：本题是二次函数综合题，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的最值问题，二次函数的对称性以及顶点坐标的求解，（2）整理出PD的表达式是解题的关键，（3）关键在于利用点的坐标特征作出判断，（4）根据抛物线的对称性和三角形的三边关系判断出点M的位置是解题的关键．3．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．（1）求抛物线的解析式．（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(32-，154)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【解析】【分析】(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．【详解】解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，∴点A(1，0)，∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，∴309330a ba b++⎧⎨-+⎩＝＝，解得：12ab-⎧⎨-⎩＝，＝∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，∴设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，∵抛物线与直线y＝x﹣1交于A、B两点，∴2231y x xy x⎧--+⎨-⎩＝＝，解得：1145xy-⎧⎨-⎩＝＝，221xy＝，＝⎧⎨⎩∴点B(﹣4，﹣5)，如图，过点P作PF∥y轴交直线AB于点F，则点F(m，m﹣1)，∴PF＝﹣m2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m2﹣3m+4，∴S△ABP＝S△PBF+S△PFA＝12(﹣m2﹣3m+4)(m+4)+12(﹣m2﹣3m+4)(1﹣m)＝-52（m+32）2+1258，∴当m＝32-时，P最大，∴点P(32-，154).(3)当x＝﹣1时，y＝﹣1﹣1＝﹣2，∴点E(﹣1，﹣2)，如图，直线BC的解析式为y＝5x+15，直线BE的解析式为y＝x﹣1，直线CE的解析式为y ＝﹣x﹣3，∵以点B、C、E、D为顶点的四边形是平行四边形，∴直线D1D3的解析式为y＝5x+3，直线D1D2的解析式为y＝x+3，直线D2D3的解析式为y＝﹣x﹣9，联立533y xy x+⎧⎨+⎩＝＝得D1(0，3)，同理可得D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)，综上所述，符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．4．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=﹣x+n与x轴、y轴分别交于B、C两点，抛物线y=ax2+bx+3(a≠0)过C、B两点，交x轴于另一点A，连接AC，且tan∠CAO=3．(1)求抛物线的解析式；(2)若点P是射线CB上一点，过点P作x轴的垂线，垂足为H，交抛物线于Q，设P点横坐标为t，线段PQ的长为d，求出d与t之间的函数关系式，并写出相应的自变量t的取值范围；(3)在(2)的条件下，当点P在线段BC上时，设PH=e，已知d，e是以y为未知数的一元二次方程：y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)="0" (m为常数)的两个实数根，点M在抛物线上，连接MQ、MH、PM，且．MP平分∠QMH，求出t值及点M的坐标．【答案】(1) y=-x2+2x+3；(2)223(03){3(3)d t t td t t t=-+<<=->；（3）t=1，2，2)和(12，2).【解析】【分析】（1）当x=0时代入抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）就可以求出y=3而得出C的坐标，就可以得出直线的解析式，就可以求出B的坐标，在直角三角形AOC中，由三角形函数值就可以求出OA 的值，得出A 的坐标，再由待定系数法建立二元一次方程组求出其解就可以得出结论；（2）分两种情况讨论，当点P 在线段CB 上时，和如图3点P 在射线BN 上时，就有P 点的坐标为（t ，-t+3），Q 点的坐标为（t ，-t 2+2t+3），就可以得出d 与t 之间的函数关系式而得出结论；（3）根据根的判别式就可以求出m 的值，就可以求出方程的解而求得PQ 和PH 的值，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，如图2，延长MP 至L ，使LP=MP ，连接LQ 、LH ，就可以得出四边形LQMH 是平行四边形，进而得出四边形LQMH 是菱形，由菱形的性质就可以求出结论．【详解】（1）当x=0，则y=-x+n=0+n=n ，y=ax 2+bx+3=3，∴OC=3=n ．当y=0，∴-x+3=0，x=3=OB ，∴B （3，0）．在△AOC 中，∠AOC ＝90°，tan ∠CAO=33OC OA OA==， ∴OA=1，∴A （-1，0）．将A （-1，0），B （3，0）代入y=ax2+bx+3，得 9330{30a b a b ++=-+=，解得：1{2a b =-= ∴抛物线的解析式：y=-x 2+2x+3；(2) 如图1，∵P 点的横坐标为t 且PQ 垂直于x 轴 ∴P 点的坐标为(t ，－t+3)，Q 点的坐标为(t ，－t 2+2t+3).∴PQ=|(－t+3)－(－t 2+2t+3)|="|" t 2－3t |∴223(03) {3(3)d t t td t t t=-+<<=->；∵d，e是y2－(m+3)y+14(5m2－2m+13)=0（m为常数）的两个实数根，∴△≥0，即△=(m+3)2－4×14(5m2－2m+13)≥0整理得：△= －4(m－1)2≥0，∵－4(m－1)2≤0，∴△=0，m=1，∴ PQ与PH是y2－4y+4=0的两个实数根，解得y1=y2=2∴ PQ=PH=2，∴－t+3=2，∴t="1,"∴此时Q是抛物线的顶点，延长MP至L，使LP=MP，连接LQ、LH，如图2，∵LP=MP，PQ=PH，∴四边形LQMH是平行四边形，∴LH∥QM，∴∠1=∠3，∵∠1=∠2，∴∠2=∠3，∴LH=MH，∴平行四边形LQMH是菱形，∴PM⊥QH，∴点M的纵坐标与P点纵坐标相同，都是2，∴在y=－x2+2x+3令y=2，得x2－2x－1=0，∴x1=1+2，x2=1－2综上：t值为1，M点坐标为(1+2，2)和(1－2，2).5．如图，抛物线y=ax2+bx过点B（1，﹣3），对称轴是直线x=2，且抛物线与x轴的正半轴交于点A．（1）求抛物线的解析式，并根据图象直接写出当y≤0时，自变量x的取值范围；（2）在第二象限内的抛物线上有一点P，当PA⊥BA时，求△PAB的面积．【答案】（1）抛物线的解析式为y=x2﹣4x，自变量x的取值范图是0≤x≤4；（2）△PAB的面积=15．【解析】【分析】（1）将函数图象经过的点B坐标代入的函数的解析式中，再和对称轴方程联立求出待定系数a和b；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x），证明△PFA∽△AEB,求出点P的坐标，将△PAB的面积构造成长方形去掉三个三角形的面积．【详解】（1）由题意得，32 2a bba+-⎧⎪⎨-⎪⎩＝＝，解得14ab-⎧⎨⎩＝＝，∴抛物线的解析式为y=x2-4x，令y=0，得x2-2x=0，解得x=0或4，结合图象知，A的坐标为（4，0），根据图象开口向上，则y≤0时，自变量x的取值范围是0≤x≤4；（2）如图，过点B作BE⊥x轴，垂足为点E，过点P作PE⊥x轴，垂足为F，设P（x，x2-4x）,∵PA⊥BA∴∠PAF+∠BAE=90°,∵∠PAF+∠FPA=90°,∴∠FPA=∠BAE又∠PFA=∠AEB=90°∴△PFA∽△AEB,∴PF AFAE BE=，即244213x x x--=-，解得，x= −1，x=4（舍去）∴x2-4x=-5∴点P的坐标为（-1，-5），又∵B 点坐标为（1，-3），易得到BP 直线为y=-4x+1 所以BP 与x 轴交点为（14，0） ∴S △PAB=115531524⨯⨯+= 【点睛】本题是二次函数综合题，求出函数解析式是解题的关键，特别是利用待定系数法将两条直线表达式解出，利用点的坐标求三角形的面积是关键．6．在平面直角坐标系中，O 为原点，抛物线2(0)2y ax x a =-≠经过点3)A -，对称轴为直线l ，点O 关于直线l 的对称点为点B .过点A 作直线//AC x 轴，交y 轴于点C .（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P 在y 轴上，当PA PB +的值最小时，求点P 的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】（Ⅰ）抛物线的解析式为212y x x =-;抛物线的对称轴为直线x =;（Ⅱ）P 点坐标为9(0,)4-;（Ⅲ）存在，Q 点坐标为或(-，理由见解析【解析】【分析】（Ⅰ）将3)A -点代入二次函数的解析式，即可求出a ，再根据对称轴的公式即可求解.（Ⅱ）先求出B 点胡坐标，要求PA PB +胡最小值，只需找到B 关于轴的对称点1B ，则直线A 1B 与y 轴的交点就是点P ，根据待定系数法求出AB 1的解析式，令y=0，即可求出P 点的坐标.（Ⅲ）设点Q 的坐标，并求出△AOQ 面积，从而得到△AOQ 面积，根据Q 点胡不同位置进行分类，用m 及割补法求出面积方程，即可求解. 【详解】（Ⅰ）∵2(0)y ax x a =≠经过点3)A -，∴23a -=⨯12a =，∴抛物线的解析式为212y x x =，∵212222b x a =-=-=⨯， ∴抛物线的对称轴为直线x =（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x =， ∴点O 关于对称轴的对称点B点坐标为. 作点B 关于轴的对称点1B，得1(B -，设直线AB 1的解析式为y kx b =+，把点3)A -，点1(B -代入得30bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，∴94y x =-.∴直线944y x =--与y 轴的交点即为P 点. 令0x =得9y 4=-， ∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =3OC =，∴113222AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=，又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴32AOQ AOC S S ∆∆==. 设Q点坐标为21(,)2m m ，如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵2AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m -=，解得133m =，223m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ， ∵93AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形， ∴2211331133(3m)3()2222m m m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭393(3)2m m --+-=，化简整理得23180m m --=，解得133m =，223m =-， ∴Q 点坐标为(33,0)或(23,15)-， ∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.【点睛】主要考查了二次函数的性质，以及求两边和的最小值，面积等常见的题型，计算量较大，但难度不是很大.7．如图甲，直线y=﹣x+3与x 轴、y 轴分别交于点B 、点C ，经过B 、C 两点的抛物线y=x 2+bx+c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使以C，P，M为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出所符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当0＜x＜3时，在抛物线上求一点E，使△CBE的面积有最大值（图乙、丙供画图探究）．【答案】（1）y=x2﹣4x+3；（2）（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．【解析】试题分析：（1）由直线解析式可求得B、C坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；（2）由抛物线解析式可求得P点坐标及对称轴，可设出M点坐标，表示出MC、MP和PC 的长，分MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，可分别得到关于M点坐标的方程，可求得M点的坐标；（3）过E作EF⊥x轴，交直线BC于点F，交x轴于点D，可设出E点坐标，表示出F点的坐标，表示出EF的长，进一步可表示出△CBE的面积，利用二次函数的性质可求得其取得最大值时E点的坐标．试题解析：（1）∵直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点B、点C，∴B（3，0），C（0，3），把B、C坐标代入抛物线解析式可得，解得，∴抛物线解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线对称轴为x=2，P（2，﹣1），设M（2，t），且C（0，3），∴MC=，MP=|t+1|，PC=，∵△CPM为等腰三角形，∴有MC=MP、MC=PC和MP=PC三种情况，①当MC=MP时，则有=|t+1|，解得t=，此时M（2，）；②当MC=PC时，则有=2，解得t=﹣1（与P点重合，舍去）或t=7，此时M（2，7）；③当MP=PC时，则有|t+1|=2，解得t=﹣1+2或t=﹣1﹣2，此时M（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；综上可知存在满足条件的点M，其坐标为（2，）或（2，7）或（2，﹣1+2）或（2，﹣1﹣2）；（3）如图，过E作EF⊥x轴，交BC于点F，交x轴于点D，设E（x，x2﹣4x+3），则F（x，﹣x+3），∵0＜x＜3，∴EF=﹣x+3﹣（x2﹣4x+3）=﹣x2+3x，∴S△CBE=S△EFC+S△EFB=EF•OD+EF•B D=EF•OB=×3（﹣x2+3x）=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，△CBE的面积最大，此时E点坐标为（，），即当E点坐标为（，）时，△CBE的面积最大．考点：二次函数综合题．8．抛物线与x轴交于A，B两点（OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求点A，B，C的坐标；（2）点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时点E也从点O出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动，设点P的运动时间为t秒（0＜t＜2）．①过点E作x轴的平行线，与BC相交于点D（如图所示），当t为何值时，的值最小，求出这个最小值并写出此时点E，P的坐标；②在满足①的条件下，抛物线的对称轴上是否存在点F，使△EFP为直角三角形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）A（2，0），B（4，0），C（0，2）；（2）①t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②F（3，2），（3，7）．【解析】试题分析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，令x=0，解方程即可得到结果；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，通过△CDE∽△CBO得到，即，求得有最小值1，即可求得结果；②存在，求得抛物线的对称方程为x=3，设F（3，m），当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，②当∠EFP=90°时，③当∠PEF=90°时，根据勾股定理列方程即可求得结果．试题解析：（1）在抛物线的解析式中，令y=0，即，解得：，，∵OA＜OB，∴A（2，0），B（4，0），在抛物线的解析式中，令x=0，得y=2，∴C（0，2）；（2）①由题意得：OP=2t，OE=t，∵DE∥OB，∴△CDE∽△CBO，∴，即，∴DE=4﹣2t，∴===，∵0＜t＜2，始终为正数，且t=1时，有最大值1，∴t=1时，有最小值1，即t=1时，有最小值1，此时OP=2，OE=1，∴E（0，1），P（2，0）；②存在，∵抛物线的对称轴方程为x=3，设F（3，m），∴，=，=，当△EFP为直角三角形时，①当∠EPF=90°时，，即，解得：m=2，②当∠EFP=90°时，，即，解得；m=0或m=1，不合题意舍去，∴当∠EFP=90°时，这种情况不存在，③当∠PEF=90°时，，即，解得：m=7，综上所述，F（3，2），（3，7）．考点：1．二次函数综合题；2．动点型；3．最值问题；4．二次函数的最值；5．分类讨论；6．压轴题．9．（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=mx2﹣8mx+4m+2（m＞2）与y轴的交点为A，与x轴的交点分别为B（x1，0），C（x2，0），且x2﹣x1=4，直线AD∥x轴，在x 轴上有一动点E（t，0）过点E作平行于y轴的直线l与抛物线、直线AD的交点分别为P、Q．（1）求抛物线的解析式；（2）当0＜t≤8时，求△APC面积的最大值；（3）当t＞2时，是否存在点P，使以A、P、Q为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）；（2）12；（3）t=或t=或t=14．【解析】试题分析：（1）首先利用根与系数的关系得出：，结合条件求出的值，然后把点B，C的坐标代入解析式计算即可；（2）（2）分0＜t＜6时和6≤t≤8时两种情况进行讨论，据此即可求出三角形的最大值；（3）（3）分2＜t≤6时和t＞6时两种情况进行讨论，再根据三角形相似的条件，即可得解．试题解析：解：（1）由题意知x1、x2是方程mx2﹣8mx+4m+2=0的两根，∴x1+x2=8，由．解得：．∴B（2，0）、C（6，0）则4m﹣16m+4m+2=0，解得：m=，∴该抛物线解析式为：y=；．（2）可求得A（0，3）设直线AC的解析式为：y=kx+b，∵∴∴直线AC的解析式为：y=﹣x+3，要构成△APC，显然t≠6，分两种情况讨论：当0＜t＜6时，设直线l与AC交点为F，则：F（t，﹣），∵P（t，），∴PF=，∴S△APC=S△APF+S△CPF===，此时最大值为：，②当6≤t≤8时，设直线l与AC交点为M，则：M（t，﹣），∵P（t，），∴PM=，∴S△APC=S△APF﹣S△CPF===，当t=8时，取最大值，最大值为：12，综上可知，当0＜t≤8时，△APC面积的最大值为12；（3）如图，连接AB，则△AOB中，∠AOB=90°，AO=3，BO=2，Q（t，3），P（t，），①当2＜t≤6时，AQ=t，PQ=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=2（舍），②当t＞6时，AQ′=t，PQ′=，若：△AOB∽△AQP，则：，即：，∴t=0（舍），或t=，若△AOB∽△PQA，则：，即：，∴t=0（舍）或t=14，∴t=或t=或t=14．考点：二次函数综合题．10．已知抛物线C1：y=ax2﹣4ax﹣5（a＞0）．（1）当a=1时，求抛物线与x轴的交点坐标及对称轴；（2）①试说明无论a为何值，抛物线C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；②将抛物线C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线C2，直接写出C2的表达式；（3）若（2）中抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，求a的值．【答案】（1）（﹣1，0）或（5，0）（2）①（0，﹣5），（4，﹣5）②y=﹣ax2+4ax﹣5（3）a=或【解析】试题分析：（1）将a=1代入解析式，即可求得抛物线与x轴交点；（2）①化简抛物线解析式，即可求得两个点定点的横坐标，即可解题；②根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线C2解析式，分类讨论y=2或﹣2，即可解题试题解析：（1）当a=1时，抛物线解析式为y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴对称轴为y=2；∴当y=0时，x﹣2=3或﹣3，即x=﹣1或5；∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣1，0）或（5，0）；（2）①抛物线C1解析式为：y=ax2﹣4ax﹣5，整理得：y=ax（x﹣4）﹣5；∵当ax（x﹣4）=0时，y恒定为﹣5；∴抛物线C1一定经过两个定点（0，﹣5），（4，﹣5）；②这两个点连线为y=﹣5；将抛物线C1沿y=﹣5翻折，得到抛物线C2，开口方向变了，但是对称轴没变；∴抛物线C2解析式为：y=﹣ax2+4ax﹣5，（3）抛物线C2的顶点到x轴的距离为2，则x=2时，y=2或者﹣2；当y=2时，2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；当y=﹣2时，﹣2=﹣4a+8a﹣5，解得，a=；∴a=或；考点：1、抛物线与x轴的交点；2、二次函数图象与几何变换。

2009年北京各区中考一模、二模试题分类汇编一元二次方程

一元二次方程1.（东城二） 15. 解方程：2220x x +-=． 2.（门头沟二）14．解方程：2620x x --=． 3.（平谷二） 14. 用配方法解方程：036x x 2=--. 4.（石景山二）14．解方程：)2(5)2(3+=+x x x ．5.（顺义二） 17. 已知关于x 的一元二次方程222(1)0x m x m -++=有两个整数根，且5m <，求m 的整数值.6.（西城二）15．已知关于x 的一元二次方程 22730x x m -+=（其中m 为实数）有实数根. （1）求m 的取值范围；（2）若m 为正整数，求此方程的根．7.（昌平一）23．已知：关于x 的一元二次方程2220kx x k ++-=．（1）若原方程有实数根，求k 的取值范围；（2）设原方程的两个实数根分别为1x ，2x ． ①当k 取哪些整数时，1x ，2x 均为整数；②利用图象，估算关于k 的方程1210x x k ++-=的解．8.（平谷二）23．已知，关于x 的一元二次方程03a x )4a (x 2=+---)0a (<．（1）求证：方程一定有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为21x ,x （其中21x x <），若y 是关于a 的函数，且12x 32x y +=，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图像，求关于a 的方程01a y =++的解．9.（密云一）23. 关于x 的方程22(3)(2)0ax a x a +-+-=至少有一个整数解，且a 是整数，求a 的值.10.（崇文一）23．已知：关于x 的一元二次方程kx 2+（2k －3)x+k －3 = 0有两个不相等实数根（k<0）．（I ）用含k 的式子表示方程的两实数根；（II ）设方程的两实数根分别是1x ，2x （其中21x x >），若一次函数y=(3k －1)x+b 与反比例函数y =xb的图像都经过点（x 1，kx 2），求一次函数与反比例函数的解析式． 11.19．已知关于x 的一元二次方程0)2()1(22=+---m m x m x . （1）若x =－2是这个方程的一个根，求m 的值和方程的另一个根；（2）求证：对于任意实数m ，这个方程都有两个不相等的实数根.12.（东城二）17.已知关于x 的一元二次方程032=--mx x ，（1）若x = -1是这个方程的一个根，求m 的值（2）对于任意的实数m ，判断方程的根的情况，并说明理由．13.（房山一）23.已知关于x 的一元二次方程kx 2＋（3k ＋1）x ＋2k ＋1＝0. （1）求证：该方程必有两个实数根；（2）设方程的两个实数根分别是12,x x ，若y 1是关于x 的函数，且11y mx =-，其中m=12x x ,求这个函数的解析式；（3）设y 2＝kx 2＋（3k ＋1）x ＋2k ＋1，若该一元二次方程只有整数根，且k 是小于0 的整数.结合函数的图象回答：当自变量x 满足什么条件时，y 2>y 1?14.（房山二）23．已知抛物线232y x x n =++，（1）若n=-1, 求该抛物线与x 轴的交点坐标；（2）当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求n 的取值范围．15.（丰台二）15．已知关于x 的一元二次方程042=+-k x x 有两个不相等的实数根．（1）求k 的取值范围；（2）k 取最大整数值时，解方程042=+-k x x ．16.（门头沟一）23．已知以x 为自变量的二次函数y=x 2＋2mx ＋m －7．（1）求证：不论m 为任何实数，二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2）若二次函数的图象与x 轴的两个交点在点（1，0）的两侧，关于x 的一元二次方程m 2x 2＋(2m ＋3)x ＋1=0有两个实数根，且m 为整数，求m 的值；（3）在（2）的条件下，关于x 的另一方程 x 2＋2(a ＋m )x ＋2a －m 2＋6 m －4=0 有大于0且小于5的实数根，求a 的整数值．17.（通州一）22．若关于x 的一元二次方程m 2x 2-(2m -3)x ＋1=0的两实数根为x 1 、x 2 ，且x 1＋x 2=223m m -, x 1·x 2=21m,两实数根的倒数和是S . 求：（1）m 的取值范围；（2）S 的取值范围.18（宣武一）18．小明在复习数学知识时，针对“求一元二次方程的解”，整理了以下的几种方法，请你将有关内容补充完整：例题：求一元二次方程210x x --=的两个解．解法一：选择合适的一种方法（公式法、配方法、分解因式法）求解．解方程：210x x --=．解法二：利用二次函数图象与坐标轴的交点求解．如图1所示，把方程210x x --=的解看成是二次函数y = 的图象与x 轴交点的x横坐标，即12,x x 就是方程的解．（第18题图1）解法三：利用两个函数图象的交点求解．（1）把方程210x x --=的解看成是一个二次函数y = 的图象与一个一次函数y = （2）画出这两个函数的图象，用12,x x 在x1x 2xy1 23 -1 1 o 2 3 -1 -219.（丰台一）25．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．20.（顺义一）23. 已知：关于x 的一元二次方程22(21)20x m x m m -+++-=．（1）求证：不论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程的两个实数根12x x ，满足12211m x x m +-=+-，求m 的值．21.（海淀一）23．已知: 关于x 的一元一次方程kx =x +2 ①的根为正实数，二次函数y =ax 2-bx +kc （c ≠0）的图象与x 轴一个交点的横坐标为1. （1）若方程①的根为正整数，求整数k 的值；（2）求代数式akcabb kc +-22)(的值；（3）求证: 关于x 的一元二次方程ax 2-bx +c =0 ②必有两个不相等的实数根.22.（海淀二）23．已知: 关于x 的一元二次方程0222=-+-+mn m x m n x )(①.（1）求证: 方程①有两个实数根;（2）若m -n -1=0, 求证方程①有一个实数根为1;（3）在（2）的条件下,设方程①的另一个根为a . 当x =2时,关于m 的函数y 1=nx +am 与y 2=x 2+a (n -2m )x +m 2-mn 的图象交于点A 、B （点A 在点B 的左侧），平行于y 轴的直线l 与y 1、y 2的图象分别交于点C 、D . 当l 沿AB 由点A 平移到点B 时，求CD 的最大值.23.（08北京）23．已知：关于x 的一元二次方程2(32)220(0)mx m x m m -+++=>．（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）设方程的两个实数根分别为1x ，2x （其中12x x <）．若y 是关于m 的函数，且212y x x =-，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：当自变量m 取值范围满足什么条件时，2y m ≤．24.（北京09）23. 已知关于x 的一元二次方程22410x x k ++-=有实数根，k 为正整数. （1）求k 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数2241y x x k =++-的图象向下平移8个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x 轴下方的部分沿x 轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线()12y x b b k =+<与此图象有两个公共点时，b 的取值范围.。

2010年北京中考数学一模二模23题及答案

北京模拟23题答案23．（西城）解：（1）分两种情况：当m =0时，原方程化为033=-x ，解得1=x ， ∴当m =0，原方程有实数根. ···································································· 1分当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，∵△ []0)3(96)32(4)1(3222≥-=+-=----=m m m m m m .∴原方程有两个实数根.综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根. ······································· 3分（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m . ∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y . ·························································· 4分 ②∵0)1()22(12221≥-=---=-x x x y y ，∴y 1≥y 2（当且仅当x =1时，等号成立）. ············································· 5分（3）由②知，当x =1时，y 1＝y 2＝0.∴y 1、y 2的图象都经过（1，0）. ∵对于x 的同一个值， y 1≥y 3≥y 2，∴y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象必经过（1，0）. ··············································· 6分又∵y 3＝ax 2＋bx ＋c 经过（－5，0），∴a ax ax x x a y 54)5)(1(23-+=+-=.设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立， ∴y 3—y 2≥0，∴=y 0)52()24(2≥-+-+a x a ax . 又根据y 1、y 2的图象可得 a >0， ∴04)24()52(42≥---=aa a a y 最小∴0)52(4)24(2≤---a a a . ∴0)13(2≤-a . 而0)13(2≥-a . 只有013=-a ，解得31=a . ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y . ·············································· 7分图723．（东城）解：（1）顶点坐标A （1，-1）. …………………1分……………………………………………………………………………………2分（2）2(1)2(2)y x b y x x =+⎧⎨=-⎩把（1）式代入（2）整理得：230x x b --=.940b ∆=+=，94b =-. …………………4分（3）2(1)2(2)y x b y x x =+⎧⎨=+⎩把（1）式代入（2）整理得：20x x b +-=.140b ∆=+=，14b =-. …………………6分 ∴当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 的取值范围为：9144b -<<-. …………………7分23．（崇文）解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =．（2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =- =16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是1122b x a -+==-+，2122b x a -==--．（3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++= 无实数解即可．由24b ac =- =168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 得最小值为2．23．（丰台）（1）证明：令y =0,则022=-+-m mx x ．∵△)2(4)(2---=m m 842+-=m m =4)2(2+-m ,--------------------------- 1分又∵0)2(2≥-m ， ∴04)2(2>+-m ．即△>0．∴无论m 为任何实数，一元二次方程022=-+-m mx x 总有两不等实根． ∴该二次函数图象与x 轴都有两个交点． -----------------------------2分（2）解：∵二次函数22-+-=m mx x y 的图象经过点（3，6）,∴ 62332=-+-m m .解得 21=m . ∴二次函数的解析式为23212--=x x y .---------------------------- 3分（3）解：将x y =向下平移2个单位长度后得到解析式为：2-=x y .---------------------------- 4分解方程组⎪⎩⎪⎨⎧--=-=．，232122x x y x y 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==．，232111y x ⎩⎨⎧-==．，1122y x ∴直线2-=x y 与抛物线23212--=x x y 的交点为．，)1,1()23,21(--B A ∴点A 关于对称轴41=x 的对称点是)23,0('-A ,点B 关于x 轴的对称点是)1,1('B .设过点'A 、'B 的直线解析式为b kx y +=．O5232k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，．∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=．，123b k b 解得 ∴直线''B A 的解析式为2325-=x y . ∴直线''B A 与x 轴的交点为)0,53(F . -------------------------------- 5分与直线41=x 的交点为)87,41(-E . ----------- 6分则点)87,41(-E 、 )0,53(F 为所求．过点'B 做''''H AA H B 的延长线于点⊥，∴25'=H B ，1'=HA .在Rt △H B A ''中，229''''22=+=H A H B B A .∴所求最短总路径的长为''B A FB EF AE =++2=. ----------------7分 23．（石景山）解：（1）△=(2k-7)2-4k （k+3）>0 k <4049……………………………………………………2分 ∵k 为非负整数，∴k=0，1∵()03722=++-+k x k kx 为一元二次方程∴k=1 ………………………………………………………………3分 (2)把k=1代入方程得x 2-5x+4=0, 解得x 1=1, x 2=4 ∵m<n∴m=1，n=4 …………………………………………………………… 4分把m=1，n=4代入ax y =与xb y 3+=可得a =4，b=1 …………………………………………………………5分 (3)把y=c 代入x y 4=与xy 4= 可得A(4c ，c) B(c 4,c)，由AB=23，可得c 4－4c =23 解得c 1=2, c 2=－8，经检验c 1=2, c 2=－8为方程的根。

北京中考及各区模拟试题分类汇编(二次函数)答案

北京中考及各区模拟试题分类汇编（二次函数）答案一、选择题1、D2、C3、A4、B5、A6、D7、A8、A9、C 10、B 11、A 12、C 13、D 14、B 二、填空题1、（2010年海淀二模）9；2、（2010年宣武二模）2(2)1y x =++ , (2,1)-； 3、（2010年密云二模）①②④ ； 4、（2010年平谷二模）-10；三、解答题1.（2010年北京中考）2、（2010年海淀一模）解：（1）∵关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根， ∴ △=0416≥-c .∴ .4≤c -----------------------1分又∵ c 为正整数，∴ 4,3,2,1=c . ------------------- 2分（2）∵ 方程两根均为整数， ∴ 4,3=c .---------------3分又∵ 抛物线与x 轴交于A 、B 两点， ∴ 3=c .∴ 抛物线的解析式为243y x x =-+.--------------4分∴ 抛物线的对称轴为2x =.∵ 四边形OBPC 为直角梯形，且90COB ∠=︒， ∴ PC ∥BO .∵ P 点在对称轴上，∴ 2=PC .--------------5分（3）02≤<-m 或42≤<m .----------- 7分（写对一个给1分）3、（2010年海淀一模）解：（1）当m =2时，2)2(-=x y ，则(2,0)G ，(4,4)P . -----1分如图，连接QG 、PG ,过点Q 作QF x ⊥轴于F ,过点P 作PE x ⊥轴于E . 依题意,可得△GQF ≌△PGE . 则2,4,FQ EG FG EP ==== ∴ 2=FO .∴ ()2,2-Q . ------------------2分（2）用含,m b 的代数式表示a ：2b m a -=. ------4分（3）如图，延长QC 到点E ，使CQ CE =,连接OE . ∵ C 为OD 中点, ∴ CD OC =. ∵ QCD ECO ∠=∠, ∴ △ECO ≌△QCD .∴ m DQ OE ==. ------------------5分 ∵ QC AQ 2=, ∴ QE AQ =. ∵ QO 平分AQC ∠,∴ 21∠=∠.∴ △AQO ≌△EQO . ------------------6分 ∴ m EO AO ==.∴ ()m A ,0.------------------7分 ∵ ()m A ,0在新的图象上, ∴ 20m m -=.∴ 11=m ，02=m （舍）.4、（2010年海淀二模）（1）证明：令0y =,则2(2)20x a x a +--=.△=22)2(8)2(+=+-a a a ．------------------------------------------ 1分 ∵ 0>a ,∴ 02>+a ． ∴ △0>.∴ 方程2(2)20x a x a +--=有两个不相等的实数根.∴ 抛物线与x 轴有两个交点. ------------------------------------------ 2分（2）①令0y =,则2(2)20x a x a +--=，解方程，得122,x x a ==-. ∵ A 在B 左侧,且0a >,∴ 抛物线与x 轴的两个交点为A (,0)a -，B (2,0). ∵ 抛物线与y 轴的交点为C ，∴ (0,2)C a -. ------------------------------------------3分 ∴ ,2AO a CO a ==.在Rt △AOC 中，222AO CO +=，22(2)20a a +=．可得 2a =±． ∵ 0a >， ∴ 2a =．∴ 抛物线的解析式为24y x =-. ------------------------------------------ 4分②依题意，可得直线'l 的解析式为3y x t=+，'A (2,0)t -,'B (2,0)t +,''4A B AB ==.∵ △''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形， ∴ 当''90PA B ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t -或(2,4)t --. ∴ 3(2)4t t -+=. 解得 52t =或12t =.-------------------6分当''90PB A ∠=︒时，点P 的坐标为(2,4)t +或(2,4)t +-. ∴3(2)4t t ++=. 解得52t =-或12t =-（不合题意，舍去）. 综上所述，52t =或12t =.----------------------------------7分 5、（2010年海淀二模）.解：(1）过E 作EG ⊥OD 于G ．---------------------------1分 ∵ ,90︒=∠=∠EGD BOD D ∠=D ∠， ∴ △BOD ∽△EGD ．∵ 点(0,2)B ，30ODB ∠=︒，可得 2=OB ，32=OD ． ∵ E 为BD 中点， ∴21===OD GD DB DE BO EG ． ∴ 1=EG ，3=GD ．∴ 3=OG ．∴ 点E 的坐标为)1,3(.-----------2分∵ 抛物线236y ax x c =++经过(0,2)B 、(3,1)E 两点， ∴ 231(3)326a =+⨯+. 可得12a =-. ∴ 抛物线的解析式为213226y x x =-++.------------------3分 (2）∵ 抛物线与x 轴相交于A 、F ，A 在F 的左侧， ∴ A 点的坐标为(3,0)-.∴ 23,1AG EG ==,∴ 在△AGE 中，90AGE ∠=︒,()2223113AE =+= . --------4分过点O 作OK ⊥AE 于K ，可得△AOK ∽△AEG ． ∴OK EGAO AE=． ∴1313OK =． ∴ 39.13OK =∴ 2261313AK AO OK =-=. ∵ △OMN 是等边三角形, ∴ 60NMO ∠=︒．∴tan OK KM KMO ===∠．∴13AM AK KM =+=,或13AM AK KM =-=---------6分 (写出一个给1分)（3）m--------------7分当m 取得最小值时，线段AP.-----------------------------8分 6、（2010西城一模）解：（1）分两种情况：当m =0时，原方程化为033=-x ，解得1=x ， ∴当m =0，原方程有实数根. ········································································ 1分当0≠m 时，原方程为关于x 的一元二次方程，∵△ []0)3(96)32(4)1(3222≥-=+-=----=m m m m m m .∴原方程有两个实数根.综上所述，m 取任何实数时，方程总有实数根. ················································ 3分（2）①∵关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称， ∴0)1(3=-m . ∴1=m .∴抛物线的解析式为121-=x y . ··································································· 4分 ②∵0)1()22(12221≥-=---=-x x x y y ，∴y 1≥y 2（当且仅当x =1时，等号成立）. ························································· 5分（3）由②知，当x =1时，y 1＝y 2＝0. ∴y 1、y 2的图象都经过（1，0）. ∵对于x 的同一个值， y 1≥y 3≥y 2，∴y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象必经过（1，0）. ······················································· 6分又∵y 3＝ax 2＋bx ＋c 经过（－5，0）， ∴a ax ax x x a y 54)5)(1(23-+=+-=.设)22(54223---+=-=x a ax ax y y y )52()24(2a x a ax -+-+=. ∵对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y∴y 3—y 2≥0，∴=y 0)52()24(2≥-+-+a x a ax .又根据y 1、y 2的图象可得 a >0，∴04)24()52(42≥---=aa a a y 最小.∴0)52(4)24(2≤---a a a . ∴0)13(2≤-a . 而0)13(2≥-a . 只有013=-a ，解得31=a . ∴抛物线的解析式为35343123-+=x x y . ····················································· 7分 7、（2010年西城二模）解：（1）二次函数321++=bx ax y 的图象经过点A （－3，0），B（1,0）．∴⎩⎨⎧=++=+-.03,0339b a b a解得⎩⎨⎧-=-=.2,1b a∴二次函数图象的解析式为3221+--=x x y ． ····························· 2分 ∴点D 的坐标为（－2，3）． ······················································· 3分（2）12y y >时，x 的取值范围是2-<x 或1>x ． ································· 5分8、（2010年西城二模）解：（1）将原方程整理，得04)4(2=++-m x m x ，△=2222)4(168)4(4)]4([4-=+-=-+-=-m m m m m ac b ＞0 ∴ 2)4()4(-±+=m m x ．∴m x =或4=x ． ····································································· 2分（2）由（1）知，抛物线c bx x y ++-=2与x 轴的交点分别为（m ，0）、（4,0），∵A 在B 的左侧，40<<m . ∴A （m ，0），B （4,0）.则42222222+=+=+=m m OD OA AD ，202422222=+=+=OD OB BD ． ∵AD ·BD =10， ∴AD 2·BD 2=100. ∴100)4(202=+m . ··································································· 3分解得1±=m .··········································································· 4分 ∵40<<m ， ∴1=m .∴51=+=m b ，44-=-=m c .∴抛物线的解析式为452-+-=x x y . ············································ 5分（3）答：存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式，如：4)(3213--=y y y （答案不唯一）. ··································· 6分证明：由题意可得4521-+-=a a y ，410422-+-=a a y ，415923-+-=a a y .∵左边=415923-+-=a a y . 右边=－)(321y y -－44)]4104()45[(322--+---+--=a a a a=41592-+-a a .∴左边=右边.∴4)(3213---=y y y 成立. ············································ 7分9、（2010年西城二模）解：（1）设直线AB 的解析式为b kx y +=．将直线2343--=x y 与x 轴、y 轴交点分别为（－2，0），（0，23-），沿x 轴翻折，则直线2343--=x y 、直线AB 与x 轴交于同一点（－2,0）， ∴A （－2,0）．与y 轴的交点（0，23-）与点B 关于x 轴对称， ∴B （0，23）， ∴⎪⎩⎪⎨⎧==+-.23,02b b k 解得43=k ，23=b ．∴直线AB 的解析式为 2343+=x y ． ················································· 2分（2）设平移后的抛物线2C 的顶点为P （h ，0），则抛物线2C 解析式为：2)(32h x y -==22323432h hx x +-．∴D （0，232h ）． ∵DF ∥x 轴， ∴点F （2h ，232h ），又点F 在直线AB 上，∴23)2(43322+⋅=h h ． ······································································ 3分解得 31=h ，432-=h ．∴抛物线2C 的解析式为6432)3(3222+-=-=x x x y 或83322++=x x y ．----5分（3）过M 作MT ⊥FH 于T ，∴R t △MTF ∽R t △AGF ．∴5:4:3::::==FA GA FG FM TM FT设FT =3k ，TM =4k ，FM =5k ．则FN =)(21AF HF AH ++－FM =16－5k ． ∴24)516(21kk MT FN S MNF -=⋅=∆． ∵8122121⨯⨯=⋅=∆AG FH S AFH=48，又AFH MNF S S ∆∆=21． ∴2424)516(=-kk ．解得56=k 或2=k （舍去）．∴FM =6，FT =518，MT =524，GN =4，TG =512．∴M （56，512）、N （6，－4）． ∴直线MN 的解析式为：434+-=x y ． ··················································· 7分 10、（2010年东城一模）解：（1）m = 0 . ………2分（2）0p <，11p p ∴<+<，又因为抛物开口向上，对称轴为1x =， ∴12y y >. …………5分 11、（2010年东城一模）解：（1）顶点坐标A （1，-1）. …………………1分第25题图2……………………………………………………………………………………2分（2）2(1)2(2)y x b y x x =+⎧⎨=-⎩把（1）式代入（2）整理得：230x x b --=.940b ∆=+=，94b =-. …………………4分（3）2(1)2(2)y x b y x x =+⎧⎨=+⎩把（1）式代入（2）整理得：20x x b +-=.140b ∆=+=，14b =-. …………………6分∴当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 的取值范围为：9144b -<<-. ……7分 12、（2010年东城二模）解：（1） B （3-，0）、C （12，0）是关于抛物线对称轴对称的两点，轴x AD //，∴A 、D 也是关于抛物线对称轴对称的两点．）（m A ,0 ，),9(m D ∴．9=∴AD ．…………2分（2）方法一PE ⊥DP ，∴要使线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合，也就是使以AD 为直径的圆与BC 有两个交点，即m r >．29=r ，29<∴m ．又0>m ，290<<∴m ．…………4分方法二：0>m ，∴点E 在x 轴的上方．过D 作DF ⊥OC 于点F ，设x OP =，OE y =，则 FC ＝OC －AD ＝3，PF ＝9x -．由△POE ∽△DFP ，得OE OPPF DF =，∴9y x x m =-．∴x m x m y 912+-=．当m y =时，219m x x m m=-+，化为0922=+-m x x ．当△=0，即22940m -=，解得92m =时，线段OC 上有且只有一点P ，使相应的点E 点A 重合．0>m ，∴线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合时，m 的取值范围为290<<m ．……4分（3）设抛物线的方程为：)12)(3(-+=x x a y ，又抛物线过点A （0，m ），a m 36-=∴．m a 361-=∴． m x m x x m y 1625)29(361)12)(3(3612+--=-+-=∴． QM BM BQM =∠tan ，m QM 1625=，又6090BQC ︒≤∠≤︒，∴由抛物线的性质得：3045BQM ︒≤∠≤︒．∴当︒=∠30BQM 时，可求出3524=m ，当︒=∠45BQM 时，可求出524=m ．m ∴的取值范围为245m ≤≤．…………7分13、（2010年宣武一模）缺答案14、（2010年宣武二模）解：（1）过点D 作D H ⊥AB 与H ，则四边形DHBC 为矩形.∴DH=BC=4，HB=CD=6. ∴AH=2,52=AD . ∵AP=x ,依题意得,82<<x ∴PH=2-x①当AP=PD 时，52=x . ②当AD=PD 时，有AH=PH ， ∴22-=x ，解得.4=x③当AP=PD 时，则在中,82.5,)2(4222<<=∴-+=x x x x∴Rt △APD 是等腰三角形时，.5,4,52=x ……………………………………….3分（2）∵点P 不与点B 重合，∴点E 必在线段BC 上.易证△DPH ～△PEB.,824,yxx EB PB PH DH -=-∴=∴整理得.42541),8)(2(412-+-=∴--=x x y x x y …………………………….5分（3）假设存在满足条件的点P ，则BE=BC=4，即4.425412=-+-=x x y整理得,0324)10(.0321022<⨯--=∆=+- x x 所以此方程无实数解，与假设矛盾.所以不存在点P ，使得PQ 经过点C. 当BC 满足490≤<BC 时，存在点P ，使得PQ 经过点C ………………………7分 15、（2010年宣武二模）解：16、（2010年崇文一模）解：(1)因为点P 、Q 在抛物线上且纵坐标相同，所以P 、Q 关于抛物线对称轴对称并且到对称轴距离相等．所以，抛物线对称轴3142b x -+=-=，所以，4b =．（2）由（1）可知，关于x 的一元二次方程为2241x x ++=0．因为，24b ac =-=16-8=8>0．所以，方程有两个不同的实数根，分别是12122b x a-+==-+，22122b x a--==--．（3）由（1）可知，抛物线2241y x x =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位后的解析式为2241y x x k =+++．若使抛物线2241y x x k =+++的图象与x 轴无交点，只需22410x x k +++=无实数解即可．由24b ac =-=168(1)k -+=88k -<0，得1k >又k 是正整数，所以k 得最小值为2．17、（2010年崇文一模）解：（1）依题意：31,142 1.a b a b =++⎧⎨=++⎩解得2,4.a b =-⎧⎨=⎩ ∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．（2）点A （1，3）关于y 轴的对称点A '的坐标是（-1，3），点B （2，1）关于x 轴的对称点B '的坐标是（2，-1）．由对称性可知AB BC CD DA +++=''AB B C CD DA +++≥AB A B ''+ 由勾股定理可求AB=5，5A B ''=．所以，四边形ABCD 周长的最小值是55AB A B ''+=+．（3）确定F 点位置的方法：过点E 作直线EG 使对称轴到直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点．设对称轴于x 轴交于点H ，在Rt HEF ∆中，由HE=1，90,45FHE EFH ∠=︒∠=︒，得HF=1．所以，点F 的坐标是（1，1）． 18、（2010年崇文二模）（1）解：由题意，得22210p q +++=，即25q p =--．（2）证明：∵一元二次方程20x px q ++=的判别式24p q ∆=-，由（1）得2224(25)820(4)40p p p p p ∆=++=++=++>， ∴一元二次方程20x px q ++=有两个不相等的实根． ∴抛物线2y x px q =++与x 轴有两个交点．（3）解：由题意，2240x px p +--=．解此方程得 122, 2.(4)x x p p ==--≠-4(4)4(4).AB p p AB P P ∴=+>-=--<-或224y x px p =+--的顶点坐标是2(4)(,)24p p +--。

北京市2009年各区县中考数学模拟试题分类汇编第三章函数

市2009年中考模拟试题分类汇编第三章函数1.（200911）若把代数式223x x --化为()2x m k -+的形式，其中,m k 为常数，则m k +=.2．（2009怀柔一模5）已知，一次函数b kx y +=的图象不经过．．．第二象限，则k 、b 的符号分别为（）A ．k ＜0，b ＞0B ．k ＞0，b ≤0C ．k ＞0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜03．（2009崇文二模5）将抛物线22y x =的图象先向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，得到的抛物线的解析式是A ．22(2)3y x =--B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =+-D ．22(2)3y x =++4．（2009房山一模10）某函数的图象经过点（1，－1），且函数y 的值随自变量x 的值增大而减小，请你写出一个符合上述条件的函数关系式：_. 5．（2009崇文二模6）当k ＜0时，反比例函数y ＝xk和一次函数y ＝kx ＋2的图象大致是ABC D6．（2009崇文二模8）福娃们在一起探讨研究下面的题目：函数y=x 2-x+m(m 为常数)的图象如图所示，如果x=a 时， y ＜0；那么x=a-1时，函数值为（）A ．y ＜0B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y=m 参考下面福娃们的讨论，请你解该题，你选择的答案是（）贝贝：我注意到当x=0时，y=m ＞0．晶晶：我发现图象的对称轴为x=21．欢欢：我判断出x 1＜a ＜x 2．迎迎：我认为关键要判断a-1的符号．妮妮：m 可以取一个特殊的值．7．（2009崇文二模10）函数ax y =与函数23y x b =+ 的图像如图所示，则关于x 、y 的方程组0,323ax y y x b-=⎧⎨-=⎩的解是．8．（2009昌平二模8）当3310122x +-≤≤时，二次函数223y x x =--的最小值为 A ．4- B ．154-C ．12-D ．129.（2009某某一模12）已知抛物线22)1(2m x m x y ++-=与x 轴的两个交点的横坐标均为整数，且m <5，则整数m 的值为. 10.（200917）如图，A 、B 两点在函数()0my x x=>的图象上. （1）求m 的值及直线AB 的解析式；（2）如果一个点的横、纵坐标均为整数，那么我们称这个点是格点.请直接写出图中阴影部分（不包括边界）所含格点的个数。

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2010年北京中考数学模拟分类二次函数综合题1.（2010北京中考）24. 在平面直角坐标系xOy 中，拋物线y = -41-m x 2+45mx +m 2-3m +2 与x 轴的交点分别为原点O 和点A ，点B (2，n )在这条拋物线上。

(1) 求点B 的坐标；(2) 点P 在线段OA 上，从O 点出发向点运动，过P 点作x 轴的垂线，与直线OB 交于点E 。

延长PE 到点D 。

使得ED =PE 。

以PD 为斜边在PD 右侧作等腰直角三角形PCD (当P 点运动时，C 点、D 点也随之运动) 当等腰直角三角形PCD 的顶点C 落在此拋物线上时，求OP 的长；若P 点从O 点出发向A 点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段OA 上另一点Q 从A 点出发向O 点作匀速运动，速度为每秒2个单位(当Q 点到达O 点时停止运动，P 点也同时停止运动)。

过Q 点作x 轴的垂线，与直线AB 交于点F 。

延长QF 到点M ，使得FM =QF ，以QM 为斜边，在QM 的左侧作等腰直角三角形QMN (当Q 点运动时，M 点，N 点也随之运动)。

若P 点运动到t 秒时，两个等腰直角三角形分别有一条直角边恰好落在同一条直线上，求此刻t 的值。

2.( 2010朝阳一模24)已知直线y=kx-3与x 轴交于点A （4，0），与y 轴交于点C ，抛物线234y x mx n =-++经过点A 和点C,动点P 在x 轴上以每秒1个长度单位的速度由抛物线与x 轴的另一个交点B 向点A 运动，点Q 由点C 沿线段CA 向点A 运动且速度是点P 运动速度的2倍. （1）求此抛物线的解析式和直线的解析式；（2）如果点P 和点Q 同时出发，运动时间为t （秒），试问当t 为何值时，△PQA 是直角三角形；（3）在直线CA 上方的抛物线上是否存在一点D ，使得△ACD 的面积最大，若存在，求出点D 坐标；若不存在，请说明理由．3.( 2010东城一模) 23. 已知抛物线C 1：22y x x =-的图象如图所示，把C 1的图象沿y 轴翻折，得到抛物线C 2的图象，抛物线C 1与抛物线C 2的图象合称图象C 3（1）求抛物线C 1的顶点A 坐标，并画出抛物线C 2的图象；（2）若直线y kx b =+与抛物线2(0)y ax bx c a =++≠点时,称直线与抛物线相切. 若直线y x b =+与抛物线C 1相切，求b 的值；（3）结合图象回答，当直线y x b =+与图象C 3 有两个交点时，b 值范围．4. （2010丰台一模）23．已知二次函数22-+-=m mx x y ．（1）求证：无论m 为任何实数，该二次函数的图象与x 轴都有两个交点；（2）当该二次函数的图象经过点（3，6）时，求二次函数的解析式；（3）将直线y =x 向下平移2个单位长度后与（2）中的抛物线交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），一个动点P 自A 点出发，先到达抛物线的对称轴上的某点E ，再到达x 轴上的某点F ，最后运动到点B ．求使点P 运动的总路径最短的点E 、点F 的坐标，并求出这个最短总路径的长．5. （2010丰台一模）25．已知抛物线22--=x x y ．（1）求抛物线顶点M 的坐标；（2）若抛物线与x 轴的交点分别为点A 、B （点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C ，点N 为线段BM 上的一点，过点N 作x 轴的垂线，垂足为点Q ．当点N 在线段BM 上运动时（点N 不与点B ，点M 重合），设NQ 的长为t ，四边形NQAC 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式及自变量t 的取值范围；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使△P AC 为直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．6.（2010海淀一模） 24. 点P 为抛物线222y x mx m =-+(m 为常数，0m >)上任一点，将抛物线绕顶点G 逆时针旋转90︒后得到的新图象与y 轴交于A 、B 两点(点A 在点B 的上方)，点Q 为点P 旋转后的对应点.(1) 当2m =，点P 横坐标为4时，求Q 点的坐标； (2) 设点(,)Q a b ，用含m 、b 的代数式表示a ；(3) 如图，点Q 在第一象限内, 点D 在x 轴的正半轴上，点C 为OD 的中点，QO 平分AQC ∠，2AQ QC =，当QD m =时，求m 的值.7.（2010海淀一模）23.关于x 的一元二次方程240x x c -+=有实数根，且c 为正整数.(1) 求c 的值；(2) 若此方程的两根均为整数，在平面直角坐标系xOy 中,抛物线24y x x c =-+与x 轴交于A 、B 两点(A 在B 左侧)，与y 轴交于点C . 点P 为对称轴上一点，且四边形OBPC 为直角梯形，求PC 的长； (3) 将(2)中得到的抛物线沿水平方向平移，设顶点D 的坐标为(),m n ,当抛物线与(2)中的直角梯形OBPC 只有两个交点，且一个交点在PC 边上时，直接写出m 的取值范围.8. （2010石景山一模）25．已知：如图1，等边ABC ∆的边长为32，一边在x 轴上且()0,31-A ，AC 交y 轴于点E ，过点E 作EF ∥AB 交BC 于点F ．（1）直接写出点C B 、的坐标；（2）若直线()01≠-=k kx y 将四边形EABF 的面积两等分，求k 的值；（3）如图2，过点C B A 、、的抛物线与y 轴交于点D ，M 为线段OB 上的一个动点，过x 轴上一点()0,2-G 作DM 的垂线，垂足为H ，直线GH 交y 轴于点N ，当M 点在线段OB 上运动时，现给出两个结论：① CDM GNM ∠=∠ ②DCM MGN ∠=∠，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪个结论正确，并证明．图1 图29.（2010西城一模） 23．已知关于x 的方程032)1(32=-+--m x m mx ．（1）求证：无论m 取任何实数时，方程总有实数根；（2）若关于x 的二次函数32)1(321-+--=m x m mx y 的图象关于y 轴对称． ①求这个二次函数的解析式；②已知一次函数222-=x y ，证明：在实数范围内，对于x 的同一个值，这两个函数所对应的函数值y 1≥y 2均成立；（3）在（2）的条件下，若二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的图象经过点（－5，0），且在实数范围内，对于x 的同一个值，这三个函数所对应的函数值y 1≥y 3≥y 2均成立．求二次函数y 3＝ax 2＋bx ＋c 的解析式.10.（2010宣武一模）24．已知：将函数y x =的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像．(1)求这个新的函数的解析式；(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y 轴交于O 、A 两点，与直线x =C 、B 两点．试判断以A 、B 、C 、O 四点为顶点的四边形形状，并说明理由；(3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数21222++-=b bx x y 的图象的一部分，求满足条件的实数b 的取值范围．11. （2010崇文一模） 2５．已知抛物线21y ax bx =++经过点A （1，3）和点B （2，1）．（1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点,再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE ,试确定点F 的位置,使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）12（2010崇文一模）23．已知P （3,m -)和Q （1，m ）是抛物线221y x bx =++上的两点．（1）求b 的值；（2）判断关于x 的一元二次方程221x bx ++=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说明理由；（3）将抛物线221y x bx =++的图象向上平移k （k 是正整数）个单位，使平移后的图象与x 轴无交点，求k 的最小值．13.（2010朝阳二模）25．（本小题8分）如图，边长为2的正方形ABCO 中，点F 为x 轴上一点，CF=1，过点B 作BF 的垂线，交y 轴于点E ．（1）求过点E 、B 、F 的抛物线的解析式；（2）将∠EBF 绕点B 顺时针旋转，角的一边交y 轴正半轴于点M ，另一边交x 轴于点N ，设BM 与（1）中抛物线的另一个交点为点G ，且点G 的横坐标为56，EM 与NO 有怎样的数量关系？请说明你的结论．（3）点P 在（1）中的抛物线上，且PE 与y 轴所成锐角的正切值为23，求点P 的坐标．14（2010朝阳二模）22．（本小题5分）已知抛物线222m mx x y +-=与直线x y 2=交点的横坐标均为整数，且2＜m ，求满足要求的m 的整数值．15.（2010东城二模）24．如图，二次函数过A （0，m ）、B （3-，0）、C （12，0），过A 点作x 轴的平行线交抛物线于一点D ，线段OC 上有一动点P ，连结DP ，作PE ⊥DP ，交y 轴于点E ．（1）求AD 的长；（2）若在线段OC 上存在不同的两点P 1、P 2，使相应的点1E 、2E 都与点A 重合，试求m 的取值范围．（3）设抛物线的顶点为点Q ，当6090BQC ︒≤∠≤︒时，求m 的变化范围．16.（2010海淀二模）23. 已知：抛物线2(2)2y x a x a =+--(a 为常数. 且0a >). (1) 求证：抛物线与x 轴有两个交点；(2)x 轴的两个交点分别为A 、B (A 在B 左侧). 与y 轴的交点为C .① 当AC =. 求抛物线的解析式； ② 将①中的抛物线沿x 轴正方向平移t 个单位(t >0). 同时将直线l :3y x =沿y 轴正方向平移t 个单位.平移后的直线为'l . 移动后A 、B 的对应点分别为'A 、'B .当t 为何值时. 在直线'l 上存在点P . 使得△''A B P 为以''B A 为直角边的等腰直角三角形?17（2010海淀二模）25.如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线2y axc=+与x 轴相交于A 、F两点(A 在F 的左侧). (1) 求抛物线的解析式；(2) 等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上. 求AE 及AM 的长； (3) 点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)18（2010石景山二模）23. 已知关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x . (1) 求证：不论m 取何值时，方程总有两个不相等的实数根.(2) 若直线()31+-=x m y 与函数m x y +=2的图象1C 的一个交点的横坐标为2,求关于x 的一元二次方程()0312=-+--m x m x 的解.(3) 在(2)的条件下，将抛物线()312-+--=m x m x y 绕原点旋转︒180，得到图象2C ，点P 为x 轴上的一个动点，过点P 作x 轴的垂线，分别与图象1C 、2C 交于N M 、两点，当线段MN 的长度最小时，求点P 的坐标.19.（2010石景山二模）25. 已知：如图，抛物线2552++-=b ax ax y 与直线b x y +=21交于点)0,3(-A 、点B ，与y 轴交于点C .(1) 求抛物线与直线的解析式；(2) 在直线AB 上方的抛物线上有一点D ，使得△DAB 的面积是8，求点D 的坐标； (3) 若点P 是直线1=x 上一点，是否存在△PAB 是等腰三角形.若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由.20（2010西城二模）23．已知：关于x 的一元二次方程04)4(2=-++-m x m x ，其中40<<m ．（1）求此方程的两个实数根（用含m 的代数式表示）；（2）设抛物线c bx x y ++-=2与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），若点D 的坐标为（0，-2），且AD ·BD =10，求抛物线的解析式；（3）已知点E （a ，1y ）、F （2a ，y 2）、G （3a ，y 3）都在（2）中的抛物线上，是否存在含有1y 、y 2、y 3，且与a 无关的等式？如果存在，试写出一个，并加以证明；如果不存在，说明理由．21. （2010西城二模）25．在平面直角坐标系中，将直线l ：2343--=x y 沿x 轴翻折，得到一条新直线与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，将抛物线1C ：232x y 沿x 轴平移，得到一条新抛物线2C 与y 轴交于点D ，与直线AB 交于点E 、点F ．（1）求直线AB 的解析式；（2）若线段DF ∥x 轴，求抛物线2C 的解析式；（3）在（2）的条件下，若点F 在y 轴右侧，过F 作FH ⊥x 轴于点G ，与直线l 交于点H ，一条直线m （m 不过△AFH 的顶点）与AF 交于点M ，与FH 交于点N ，如果直线m 既平分△AFH 的面积，求直线m 的解析式．22. （2010宣武二模）25. 对于任意两个二次函数: y 1=a 1x+b 1x+c 1; y 2=a 2x+b 2x+c 2, 其中a 1∙a 2≠0. 当Ⅰa 1Ⅰ=Ⅰa 2Ⅰ时, 我们称这两个二次函数的图象为全等抛物线. 现有△ABM, A(-1,0) B(1,0). 我们记过三点的二次函数的图象为“C□□□”(“□□□”中填写相应三个点的字母). 如过点A 、B 、M 三点的二次函数的图像为CABM.(1) 如果已知M(0,1), △ABM≌△ABN. 请通过计算判断CABM 与CABN 是否为全等抛物线;(2) ① 若已知M(0, n), 在图中的平面直角坐标系中, 以A 、B 、M 三点为顶点, 画出平行四边形. 求抛物线CABM 的解析式, 然后请直接写出所有过平行四边形中三个顶点且能与CABM 全等的抛物线解析式. ② 若已知M(m,n), 当m,n 满足什么条件时, 存在抛物线CABM? 根据以上的探究结果, 在图中的平面直角坐标系中, 以A 、B 、M 三点为顶点, 画出平行四边形. 然后请列出所有满足过平行四边形中三个顶点且能与CABM 全等的抛物线C□□□”.23.（2010丰台二模）23．（本小题满分7分）已知：关于x 的一元二次方程0)1(222=++-m x m x 有两个整数根，m <5且m 为整数．（1）求m 的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x 的二次函数22)1(2m x m x y ++-=的图象沿x 轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；（3）当直线y =x +b 与（2）中的两条抛物线有且只有三个．．交点时，求b 的值．24（2010丰台二模）25．（本小题满分8分）已知：如图，四边形OABC 是矩形，4OA =，8OC =，将矩形OABC 沿直线AC 折叠，使点B 落在点D 处，AD 交OC 于点E ．（1）求OE 的长；（2）求过O D C ，，三点的抛物线的解析式；（3）若F 为过O D C ，，三点的抛物线的顶点，一动点P 从点A 出发，沿射线AB 以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间t （秒）为何值时，直线PF 把FAC △分成面积之比为1:3的两部分？25（2010崇文二模）24．如图，在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点A 、B 的坐标分别为A(0,3)和B(5,0)，连结AB ．（1）现将△AOB 绕点O 按逆时针方向旋转90°，得到△COD ，（点A 落到点C 处），请画出△COD ，并求经过B, C, D 三点的抛物线对应的函数关系式；（2）将（1）中抛物线向右平移两个单位，点B 的对应点为点E ，平移后的抛物线与原抛物线相交于点F ．P 为平移后的抛物线对称轴上一个动点，连结PE , PF ，当PE-PF 的绝对值取得最大值时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴上运动时，是否存在点P 使△EPF 为直角三角形？如果存在，请求出点P 的坐标；如果不存在，请说明理由．26（2010崇文二模）23．已知一元二次方程2 10x px q +++=的一根为 2．（1）求q 关于p 的函数关系式；（2）求证：抛物线2 y x px q =++与x 轴有两个交点；（3）设抛物线2 1y x px q =+++与x 轴交于A 、B 两点（A 、B 不重合），且以AB 为直径的圆正好经过该抛物线的顶点．求,p q 的值．2009年北京中考数学模拟分类——二次函数综合题27.（2009朝阳一模）24. 抛物线与x 轴交于A （－1，0）、B 两点，与y 轴交于点C （0，－3），抛物线顶点为M ，连接AC 并延长AC 交抛物线对称轴于点Q ，且点Q 到x 轴的距离为6. （1）求此抛物线的解析式；（2）在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，求出点D 的坐标；（3）抛物线对称轴上是否存在一点P ，使得S △PAM =3S △ACM ，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由.28.（2009东城一模）24．(本题满分7分)在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC 放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，且点A (0，2)，点C (－1，0)，如图所示，抛物线y ＝ax 2＋ax －2经过点B ．(1)求点B 的坐标； (2)求抛物线的解析式；(3)在抛物线上是否还存在点P (点B 除外)，使△ACP 仍然是以AC 为直角边的等腰直角三角形?若存在，求所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．29（2009丰台一模）25．已知抛物线223y x bx c =-++与x 轴交于不同的两点()10A x ，和()20B x ，，与y 轴交于点C ，且12x x ，是方程2230x x --=的两个根（12x x <）．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A 作AD ∥CB 交抛物线于点D ，求四边形ACBD 的面积；（3）如果P 是线段AC 上的一个动点（不与点A 、C 重合），过点P 作平行于x 轴的直线l 交BC 于点Q ，那么在x 轴上是否存在点R ，使得△PQR 为等腰直角三角形？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．30.（2009海淀一模）25．已知抛物线经过点A (0，4)、B (1，4)、C (3，2)，与x 轴正半轴交于点D ．(1)求此抛物线的解析式及点D 的坐标；(2)在x 轴上求一点E ，使得△BCE 是以BC 为底边的等腰三角形；(3)在(2)的条件下，过线段ED 上动点P 作直线PF ∥BC ，与BE 、CE 分别交于点F 、G ，将△EFG 沿FG 翻折得到△E ′FG ．设P (x ，0)，△E ′FG 与四边形FGCB 重叠部分的面积为S ，求S 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围．31.（2009西城一模）24．已知：如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线643+-=x y 与x 轴、y 轴的交点分别为A、B，将∠OBA对折，使点O的对应点H落在直线AB上，折痕交x轴于点C．(1)直接写出点C的坐标，并求过A、B、C三点的抛物线的解析式；(2)若抛物线的顶点为D，在直线BC上是否存在点P，使得四边形ODAP为平行四边形?若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由；(3)设抛物线的对称轴与直线BC的交点为T，Q为线段BT上一点，直接写出｜QA－QO｜的取值范围．32.（2009宣武一模）25．如图，矩形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，点B的坐标是(3，1)，点D是AB边上一个动点(与点A不重合)，沿OD将△OAD翻折后，点A落在点P处．(1)若点P在一次函数y＝2x－1的图象上，求点P的坐标；(2)若点P在抛物线y＝ax2图象上，并满足△PCB是等腰三角形，求该抛物线解析式；(3)当线段OD与PC所在直线垂直时，在PC所在直线上作出一点M，使DM＋BM最小，并求出这个最小值．33.（2009崇文一模）24．(本小题满分7分)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OB＝OC＝3OA．(Ⅰ)求抛物线的解析式；(Ⅱ)探究坐标轴上是否存在点P ，使得以点P ，A ，C 为顶点的三角形为直角三角形?若存在，求出P 点坐标，若不存在，请说明理由； (Ⅲ)直线131+-=x y 交y 轴于D 点，E 为抛物线顶点．若∠DBC ＝α ，∠CBE ＝β ，求α －β 的值．34（2009石景山一模）21．已知：如图，直角三角形AOB 的两直角边OA 、OB 分别在x 轴的正半轴和y 轴的负半轴上，C 为线段OA 上一点，OC ＝OB ，抛物线y ＝x 2－(m ＋1)x ＋m (m 是常数，且m ＞1)经过A 、C 两点．(1)求出A 、B 两点的坐标(可用含m 的代数式表示)： (2)若△AOB 的面积为2，求m 的值．35.（2009朝阳二模）23．（本小题7分）如图，点A 在x 轴的负半轴上，OA=4，将△ABO绕坐标原点O 顺时针旋转90°，得到△O B A 11，再继续旋转90°，得到△O B A 22.抛物线y= ax 2+bx+3经过B 、1B 两点.（1）求抛物线的解析式；（2）点2B 是否在此抛物线上，请说明理由；（3）在该抛物线上找一点P ，使得△2PBB 是以2BB 为底的等腰三角形，求出所有符合条件的点P 的坐标；（4）在该抛物线上，是否存在两点M 、N ，使得原点O 是线段MN 的中点，若存在，直接写出这两点的坐标；若不存在，请说明理由.36.（2009崇文二模）25．（本小题满分８分）在平面直角坐标系中，抛物线c x ax y ++=2经过直线42+=x y 与坐标轴的两个交点B C 、，它与x 轴的另一个交点为A ．点N 是抛物线对称轴与x 轴的交点，点M 为线段AB 上的动点．（1）求抛物线的解析式及点A 的坐标；（2）如图①，若过动点M 的直线BC ME //交抛物线对称轴于点E ．试问抛物线上是否存在点F ，使得以点F E N M ,,,为顶点组成的四边形是平行四边形，若存在，求出点F 的坐标；若不存在，说明理由；（3）如图②，若过动点M 的直线AC MD //交直线BC 于D ，连接CM ．当CDM ∆的面积最大时，求点M 的坐标？图1 图237.（2009东城二模）24. 定义{},,a b c 为函数2y ax bx c =++的 “特征数”．如：函数223y x x =-+的“特征数”是{}1,2,3-，函数23y x =+的“特征数”是{}0,2,3,函数y x =-的“特征数”是{}0,1,0-（1）将“特征数”是⎪⎭⎪⎬⎫⎩⎨⎧1,33,0的函数图象向下平移2个单位，得到一个新函数，这个新函数的解析式；（2）在（1）中，平移前后的两个函数分别与y 轴交于A 、B 两点，与直线3=x 分别交于D 、C 两点，判断以A 、B 、C 、D 四点为顶点的四边形形状,请说明理由并计算其周长．（3）若（2）中的四边形与“特征数”是211,2,2b b ⎧⎫-+⎨⎬⎩⎭的函数图象的有交点，求满足条件的实数 b 的取值范围？38（2009海淀二模）23、已知：关于x 的一元二次方程x 2＋（n －2m ）x ＋m 2－mn=0①(1)、求证：方程①有两个实数根：（2）、若m －n －1=0,求证方程①有一个实数根为1；（3）、在（2）的条件下，设方程①的另一个根为a 。