初二数学整式的乘除和因式分解
人教版八年级数学上册《整式的乘除与因式分解》课件
一二
2.同底数幂的乘法法则的逆用 【例 2】 已知 am=2,an=8,求 am+n 的值.
利用 am+n=am·an 转换.
因为 am·an=am+n, 所以 am+n=am·an=2×8=16.
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解析 答案
一二
1.a3·a4 的结果是( ).
A.a4
B.a7
1
2
3
4
5
6
C.a6
D.a12
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1
2
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6
(1)-36×37=-36+7=-313; (2)y5·y4·y=y5+4+1=y10;
(3)a3·a5-a2·a6=a8-a8=0; (4)29×28×23=29+8+3=220.
关闭
答案
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸 面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一上午9时27分13秒09:27:1322.4.11
2.同底数幂的乘法公式:am·an= am+n (m,n 都是正整数).
3.计算:a2·a3 等于( A ).
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9） 【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的除法》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的除法》（注：标题应为《整式的除法》，但根据要求内容仍围绕整式除法展开）一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解整式除法的概念，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，并能准确进行整式的除法运算。
2.数学思维：通过整式除法的探索过程，培养学生的逻辑推理能力、代数运算能力以及问题解决能力。
3.问题解决：学会将实际问题转化为整式除法问题，运用所学知识解决简单的实际问题。
4.情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养认真细致的学习态度和合作学习的精神。
二、教学重点•掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。
•能够准确进行整式的除法运算。
三、教学难点•理解整式除法法则的推导过程及其背后的数学原理。
•灵活运用整式除法法则解决复杂问题，特别是多项式除以单项式时各项系数的处理。
四、教学资源•多媒体课件（包含整式除法示例、动态演示）•教科书及配套习题集•黑板与粉笔•学生练习本五、教学方法•讲授法：介绍整式除法的概念及运算法则。
•演示法：通过例题演示整式除法的运算过程。
•讨论法：组织学生讨论整式除法中的难点和易错点，分享解题经验。
•练习法：通过大量练习巩固学生对整式除法运算法则的理解和掌握。
六、教学过程导入新课•情境引入：通过一个实际问题（如分配苹果给班级同学，计算每人得到的苹果数）引入整式除法的概念，激发学生兴趣。
•复习旧知：回顾整式乘法、单项式、多项式等基本概念，为新课学习做铺垫。
新课教学1.单项式除以单项式•概念阐述：明确单项式除以单项式的意义。
•法则讲解：介绍运算法则（系数相除，相同字母的指数相减）。
•例题演示：通过例题展示运算过程，强调运算步骤和注意事项。
•学生练习：学生独立完成几道练习题，教师巡回指导。
2.多项式除以单项式•概念引入：通过具体例子引入多项式除以单项式的概念。
•法则推导：结合分配律和单项式除法的法则推导运算法则。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
八上人教数学 整式的乘除和因式分解
例 1. 找出下列各多项式的公因式： （1）am+mb ，公因式为_______； （3）5y3–20y2 ，公因式为_______；
（2）x2+4x，公因式为_______； （4）a2b–2ab2+ab ，公因式为_______。
例 2. 将下列多项式进行分解因式：
（1）
（2）
（3）
例 3. 在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
我爱展示
1.C 解析: 解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、不是化为几个整式的积的形式，错误； C、是提公因式法，正确； D、（x﹣1）（x﹣2）=（x﹣2）（x﹣1）并没有改变，是恒等变形，错误； 故选C． 2.m=9,n=20
导学二
知识点讲解 1
例题
1. （1）m；（2）x；（3）5 y2；（4）ab 2. （1） （2） （3） 3. （1）-；（2）-；（3）+；（4）+；（5）-；（6）-。
A．x（a﹣b）=ax﹣bx
B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）
D．ax+by+c=x（a+b）+c
2. [单选题] 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1
B．x2+2x﹣1
C．x2+x+1
D．4x2+4x+1
3. [单选题] 下列各式中不能用公式法分解因式的是（ ）
课首小测
1.（1）
；（2）
；
2.C
解析: 解：A.原式=a2+b2﹣2ab，错误；B.原式=a4，错误；C.原式=6a5，正确；D.原式=﹣a6，错误．
八年级上_第十五章整式的乘除与因式分解复习课件
第十五章 整式乘除与因式分解
单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所 得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每 一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y) D. 2a 2 - 1 （a 2 - 1 ） （a 1 ）a 1 ) 2 2 (
2
4
2
2
2.下列各式是完全平方式的有( 1 2 ① x －４ x 4
计算： 3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- 1 x)2 x 3 考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am · n = am+n a 2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0) m )n = amn 若(x-3)x+2=1, 3、幂的乘方: (a 求 x的值 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
C ) C. 0 D. 1
2.已知 532 - 1 能被20 - - - 30之间的两个整数 整除,这两个整数是 ( C ) A. 25,27 B. 26,28 C. 24,26 D. 22,24 A ) 3.若 x 2 mx -10 (x - 2)(x 5) 则m=( A. 3 B. -10 C. -3 D.-5
初二数学整式的乘除和因式分解
初二数学整式的乘除和因式分解教案计划一、知识点总结：1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5、零指数和负指数；6、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
8、多项式与多项式相乘的法则。
二、例题讲解：1、(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^22、(-3)^5=(-3)(-3)(-3)(-3)(-3)= -2433、(2x^2y^3z)(-3xy)= -6x^3y^4z4、(ab)/(a)=b5、2^-3=1/(2^3)=1/86、(-2x^2y^3z)(3xy)= -6x^3y^4z7、2x(2x-3y)-3y(x+y)=4x^2-6xy-3xy-3y^2=4x^2-9xy-3y^28、(3a+2b)(a-3b)=3a^2-7ab-6b^29、单项式的除法法则：单项式相除时，先将系数相除，再将同底数幂相除，将商的因式作为结果，对于只在被除式中含有的字母，则将其连同指数作为商的一个因式。
例如，-7abm÷49ab可以化简为-1/7m。
10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项除以单项式，然后将所有商相加。
例如，(am+bm+cm)÷m可以化简为a+b+c。
11、平方差公式：平方差公式展开只有两项，左边是两个二项式相乘，其中一个二项式的两项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。
例如，(a+b)(a-b)=a^2-b^2.12、完全平方公式：完全平方公式展开有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
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教案计划（教案）
新知导航：概略构建本堂课教案的知识要点，最好用图表概括。
（2／3页之内）
一、知识点总结：
mnm?n aa?am,n都是正整数）、同底数幂的乘法法则：1
（
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
235)(a?b)(a?b)??(ab如：
mnmn a(a)?m,n都是正整数）（2、幂的乘方法则：5210(?3)?3幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：mnmnnm))a??(aa(幂的乘方法则可以逆用：即62332)?(44?(4)如：nnn nb)?a(ab、积的乘方法则：（是正整数）3 积的乘方，等于各因数乘方的积。
32553525515105z?)))(x?2yz)?2?(x?(y?z?32xy =如：（nmn?m a?a?aa?0,m,nm n)都是正整数，且、同底数幂的除法法则：（44333(ab)?(ab)?(ab)?ab 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：、零指数和负指数；50?a1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1?p?aa?0,p?pp次方的倒数。
如：次方等于这个数的（是正整数），即一个不等于零的数的
p a11?33?)?2(286、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母
分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
1 / 6
③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
23z?3yxy?2x?⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
m(a?b?c)?ma?mb?mcm,a,b,c都是单项式)
(即注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
2x(2x?3y)?3y(x?y)如：8、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加(3a?2b)(a?3b)如：(x?5)(x?6)9、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
242baabm?49?7如：、多项式除以单项式的法则：10 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
ca?b?m?bm?m?cm???(am?bmcm)?m?am?m即：22ba??b)(a?b)?(a11、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同
项)y?z?xy?z)(x?(的平方减去相反项的平方。
如：222b?a?2ab??(ab)、完全平方公式：12公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：2222?2b)abab?(a?b??(ab)??a2
22?4)ab?(a?(a?b)b
222222)?b?(?(a?b)])])?(a?ba(?a?b)?[b)?(a?b??[(a?
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
13、三项式的完全平方公式：
2222?2ab?2ac?c)?a2?bc?bcb(a??
因式分解
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
注：乘法公式
????22b?a?ba?b?a平方差公式：??222b??2ba?ab?a完全平方和公式：??222b?aba?ab??2完全平方差公式：
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方法：1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。
bx?5by?2ax?10ay把分解因式．例
12222cd)d?)?(aab(cb?分解因式．例2把2. 公式法：根据平方差和完全平方公式216x?x?6分解因式配方法：例13.
4.十字相乘法：22c??bxax pq??q)xx?(p型的因式分解型和这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
一次项系数是常数项的两个因数之和．(2) 常数项是两个数之积；(3) (1) 二次项系数是1；22)q)(x?)?(x?(x?p)?q(x?pxp?(p?q)x?pq?x?px?qx?pq?x
2)q)(x??(x?xp?(p?q)x?pq因此，的二次三项式分解因式．运用这个公式，可以把某些二次项系数为1
随堂练习例1. 完成下列各题：
32__________．）x·（－3x1. （2008年山西）计算：22. （2008年湖北省襄樊）下列运算正确的是（）
3412623 x）＝）÷（－2＝xx B. （－6A. xx·x322－x2）4
＝a3a＝－ D. （x－C. 2a－22分解因式的结果是__________．＋2my年哈尔滨）把多项式2mx－4mxy20083. （2＋8ab＝____________．年山东）分解因式：（2a －b） 4. （20085. （2007年广州）下列计算中，正确的是（）
333－x＝x＝xx B. A. x·x
63323＝xx＋xC. x÷x＝xD.
22xy4y，正确的分组是（）＋46. （2007年中山）因式分解1－x8－22）－4y4A. （1－x）＋（8xy22）＋841－xxy－4y B. （22 4x）＋4y xyC. （1＋8）－（22－8xy）D. 1－（4x＋4y5xy y是正整数，且2·2的值有（）＝2x，则、、7. 若xy B.
3 对C. 2对D. 1对A. 4对8. 下列计算正确的是（）232）＝－8x－12x－4x1xx）（4A. （－x2＋3－3223（B. xxy＋）（y＋x）＝＋y
3 / 6
216a）＝1－1）（4a－1 C. （－4a－222yxy＋＝x4－2D. （x－2y）9. （2008
年安徽）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）
222222xy －y＋x －xyB. x D. ＋xy C. xA.
1510的位数是（）×510. 整数N＝2A. 10位B. 11位C. 12位D. 13 位
11. 若a、b互为相反数，且a、b均不为0，n为正整数，则下列结论正确的是（）2n2n也一定互为相反数A. ab和
nn一定互为相反数与B. ab2n2n也一定互为相反数ab与－C. －2n12n1＋＋也一定互为相反数D. a与b22＝（））－（a－（2008年全国数学竞赛广东初赛）化简：
（a＋1）112.
2＋D. 2a2 A. 2 B. 4 C. 4a
课后练习( )
1、下列运算中，正确的是53 2 63323aaaaa= x（ B.(+2b)=5=x3）2b C.3A.xD.·x=x
）2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（
（B（A））
（D（C））
） 3、下列各式是完全平方式的是（D、、A 、 B、 C）、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ 4
））（B（）（C（AD）
）的一次项，则m的值为（5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x D. 1C. 0 –3
B. 3 A.
），则这个正方形的边长为（6、一个正方形的边长增加了，面积相应增加了、8cm D、7cm5cm C A、6cm B、分）分，共183二、填空题：（每小题7、在实数范围
内分解因式、8___________yx=3，=3yx－3等于9、若，则5108107.9×3×秒走过的路程是M/秒，则卫星绕地球运行10、绕地球运动的是12分，共分）4三、计算题：（每小题1211、、4 / 6
）＋（x－2y）（2y＋x）－2x（13、［（x－2y2x－y）］÷2x．
四、因式分解：（每小题4分，共16分）
28y8xy＋2xy－、1514、
22y) －(x(x－y)－4ba16、
五、解方程或不等式：（每小题5分，共10分）
、17
5 / 6
六、解答题：（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）
，求的值。
18、若
6 / 6。