初二数学整式的乘除和因式分解
人教版八年级数学上册《整式的乘除与因式分解》课件
一二
2.同底数幂的乘法法则的逆用 【例 2】 已知 am=2,an=8,求 am+n 的值.
利用 am+n=am·an 转换.
因为 am·an=am+n, 所以 am+n=am·an=2×8=16.
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解析 答案
一二
1.a3·a4 的结果是( ).
A.a4
B.a7
1
2
3
4
5
6
C.a6
D.a12
谢谢观赏
You made my day!
我们，还在路上……
1
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(1)-36×37=-36+7=-313; (2)y5·y4·y=y5+4+1=y10;
(3)a3·a5-a2·a6=a8-a8=0; (4)29×28×23=29+8+3=220.
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答案
不习惯读书进修的人，常会自满于现状，觉得再没有什么事情需要学习，于是他们不进则退。经验丰富的人读书用两只眼睛，一只眼睛看到纸 面上的话，另一眼睛看到纸的背面。2022年4月11日星期一上午9时27分13秒09:27:1322.4.11
2.同底数幂的乘法公式:am·an= am+n (m,n 都是正整数).
3.计算:a2·a3 等于( A ).
八年级数学人教版上册第14章整式的乘除与因式分解14.2.2完全平方公式(第1课时图文详解)
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
一位老人非常喜欢孩子．每当有孩子到他家做客时， 老人都要拿出糖果招待他们．来一个孩子，老人就给这个 孩子一块糖，来两个孩子，老人就给每个孩子两块塘，… （1）第一天有a个男孩去了老人家，老人一共给了这些孩
子多少块糖？ a2
（2）第二天有b个女孩去了老人家，老人一共给了这些孩
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
(2)(-a2+b3)2 【解析】原式= (b3-a2)2
=b6-2 a2 b3+a4 ∵(a-b)2 =(b-a)2 ∴(-a2 +b3)2 = (a2 -b3)2
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
【例2】运用完全平方公式计算:
(1) 1022;
(2) 992.
(2) (4x-3y)2 =16x2-24xy+9y2
(4)(-2m-1)2 =4m2+4m+1
八年级上册第14章整式的乘除与因式分解
1.（日照·中考）由m（a+b+c）=ma+mb+mc，可得a+b)(a2－ ab+b2）=a3－a2b+ab2+a2b－ab2+b3=a3+b3，即（a+b)(a2－ab+b2） =a3+b3 ①.我们把等式①叫做多项式乘法的立方公式. 下列应用这个立方公式进行的变形不正确的是( ) （A）（x+4y)(x2－4xy+16y2）=x3+64y3 （B）（2x+y)(4x2－2xy+y2）=8x3+y3 （C）（a+1)(a2＋a+1）=a3+1 （D） x3+27=（x+3)(x2－3x+9） 【解析选】C.根据乘法的立方公式（a+b）（a2－ab+b2）
八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的除法》
教学设计2024秋季八年级数学上册第十四章整式的乘法与因式分解《整式的乘法：整式的除法》（注：标题应为《整式的除法》，但根据要求内容仍围绕整式除法展开）一、教学目标（核心素养）1.知识与技能：学生能够理解整式除法的概念，掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则，并能准确进行整式的除法运算。
2.数学思维：通过整式除法的探索过程，培养学生的逻辑推理能力、代数运算能力以及问题解决能力。
3.问题解决：学会将实际问题转化为整式除法问题，运用所学知识解决简单的实际问题。
4.情感态度：激发学生对数学的兴趣，培养认真细致的学习态度和合作学习的精神。
二、教学重点•掌握单项式除以单项式、多项式除以单项式的运算法则。
•能够准确进行整式的除法运算。
三、教学难点•理解整式除法法则的推导过程及其背后的数学原理。
•灵活运用整式除法法则解决复杂问题，特别是多项式除以单项式时各项系数的处理。
四、教学资源•多媒体课件（包含整式除法示例、动态演示）•教科书及配套习题集•黑板与粉笔•学生练习本五、教学方法•讲授法：介绍整式除法的概念及运算法则。
•演示法：通过例题演示整式除法的运算过程。
•讨论法：组织学生讨论整式除法中的难点和易错点，分享解题经验。
•练习法：通过大量练习巩固学生对整式除法运算法则的理解和掌握。
六、教学过程导入新课•情境引入：通过一个实际问题（如分配苹果给班级同学，计算每人得到的苹果数）引入整式除法的概念，激发学生兴趣。
•复习旧知：回顾整式乘法、单项式、多项式等基本概念，为新课学习做铺垫。
新课教学1.单项式除以单项式•概念阐述：明确单项式除以单项式的意义。
•法则讲解：介绍运算法则（系数相除，相同字母的指数相减）。
•例题演示：通过例题展示运算过程，强调运算步骤和注意事项。
•学生练习：学生独立完成几道练习题，教师巡回指导。
2.多项式除以单项式•概念引入：通过具体例子引入多项式除以单项式的概念。
•法则推导：结合分配律和单项式除法的法则推导运算法则。
八年级上数学整式的乘除与因式分解基本知识点
整式是一个或多个代数式的和、差或积。
整式的乘除与因式分解是数学中非常重要的概念，是解决各种代数问题的基础。
本文将详细介绍八年级上数学中整式的乘除与因式分解的基本知识点。
一、整式的乘法1.1 单项式的乘法：单项式的乘法是指单项式与单项式之间的乘法。
例如：2x ×3y = 6xy，-4a^2 × 5b^3 = -20a^2b^31.2多项式的乘法：多项式的乘法是指多项式与多项式之间的乘法。
例如：(3x+2)(x-1)=3x^2+x-2二、整式的除法2.1 单项式的除法：单项式的除法是指单项式除以单项式。
例如：4x^2 ÷ x = 4x，10a^3b^2 ÷ 2ab = 5a^2b。
2.2多项式的除法：多项式的除法是指多项式除以多项式。
例如：(12x^3+9x^2+3x)÷3x=4x^2+3x+1三、整式的因式分解整式的因式分解是将一个整式写成几个整式的乘积的形式，其中每个整式都是原来整式的因式。
例如：12x^2+8xy，将其因式分解为4x(3x+2y)。
3.1 提取公因式：如果一个整式的每一项都能被同一个整式整除，那么这个公因式就是整式的一个因子。
例如：12x^2+8xy，公因式是4x。
3.2分解差的平方：差的平方是指形如"一个数的平方减另一个数的平方"的表达式。
例如：x^2-9，可因式分解为(x-3)(x+3)。
3.3 分解二次三项式：二次三项式是指形如"一个平方项加两个相同系数的次项"的表达式。
例如：x^2+2xy+y^2，可因式分解为(x+y)^2四、习题例析例1：将多项式4x^2+16x因式分解。
解：这个多项式2x的平方加4x的倍数，所以可以因式分解为4x(x+4)。
例2：将多项式a^2-9因式分解。
解：由差的平方公式可得，a^2-9=(a-3)(a+3)。
例3：将多项式4x^2y^2-8xy^2因式分解。
八上人教数学 整式的乘除和因式分解
例 1. 找出下列各多项式的公因式： （1）am+mb ，公因式为_______； （3）5y3–20y2 ，公因式为_______；
（2）x2+4x，公因式为_______； （4）a2b–2ab2+ab ，公因式为_______。
例 2. 将下列多项式进行分解因式：
（1）
（2）
（3）
例 3. 在下列各式等号右边的括号前插入“+”或“–”号，使等式成立：
我爱展示
1.C 解析: 解：A、是多项式乘法，不是因式分解，错误； B、不是化为几个整式的积的形式，错误； C、是提公因式法，正确； D、（x﹣1）（x﹣2）=（x﹣2）（x﹣1）并没有改变，是恒等变形，错误； 故选C． 2.m=9,n=20
导学二
知识点讲解 1
例题
1. （1）m；（2）x；（3）5 y2；（4）ab 2. （1） （2） （3） 3. （1）-；（2）-；（3）+；（4）+；（5）-；（6）-。
A．x（a﹣b）=ax﹣bx
B．x2﹣1+y2=（x﹣1）（x+1）+y2
C．y2﹣1=（y+1）（y﹣1）
D．ax+by+c=x（a+b）+c
2. [单选题] 下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A．x2﹣1
B．x2+2x﹣1
C．x2+x+1
D．4x2+4x+1
3. [单选题] 下列各式中不能用公式法分解因式的是（ ）
课首小测
1.（1）
；（2）
；
2.C
解析: 解：A.原式=a2+b2﹣2ab，错误；B.原式=a4，错误；C.原式=6a5，正确；D.原式=﹣a6，错误．
八年级上_第十五章整式的乘除与因式分解复习课件
第十五章 整式乘除与因式分解
单项式的乘法法则： 单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在 一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 单项式与多项式的乘法法则： 单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所 得的积相加． 多项式与多项式的乘法法则： 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每 一项相乘，再把所得的积相加． 单项式的除法法则： 单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在 被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
1.从左到右变形是因式分解正确的是( D ) A.x2-8=(x+3)(x-3)+1 B.(x+2y)2=x2+4xy+4y2 C.y2(x-5)-y(5-x)=(x-5)(y2+y) D. 2a 2 - 1 （a 2 - 1 ） （a 1 ）a 1 ) 2 2 (
2
4
2
2
2.下列各式是完全平方式的有( 1 2 ① x －４ x 4
计算： 3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- 1 x)2 x 3 考查知识点：（当m,n是正整数时） 1、同底数幂的乘法：am · n = am+n a 2、同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0) m )n = amn 若(x-3)x+2=1, 3、幂的乘方: (a 求 x的值 4、积的乘方: (ab)n = anbn 5、合并同类项:
C ) C. 0 D. 1
2.已知 532 - 1 能被20 - - - 30之间的两个整数 整除,这两个整数是 ( C ) A. 25,27 B. 26,28 C. 24,26 D. 22,24 A ) 3.若 x 2 mx -10 (x - 2)(x 5) 则m=( A. 3 B. -10 C. -3 D.-5
初二数学整式的乘除和因式分解
初二数学整式的乘除和因式分解教案计划一、知识点总结：1、同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
2、幂的乘法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。
3、积的乘法则：积的乘方，等于各因数乘方的积。
4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减。
5、零指数和负指数；6、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。
8、多项式与多项式相乘的法则。
二、例题讲解：1、(a+b)(a+b)=a^2+2ab+b^22、(-3)^5=(-3)(-3)(-3)(-3)(-3)= -2433、(2x^2y^3z)(-3xy)= -6x^3y^4z4、(ab)/(a)=b5、2^-3=1/(2^3)=1/86、(-2x^2y^3z)(3xy)= -6x^3y^4z7、2x(2x-3y)-3y(x+y)=4x^2-6xy-3xy-3y^2=4x^2-9xy-3y^28、(3a+2b)(a-3b)=3a^2-7ab-6b^29、单项式的除法法则：单项式相除时，先将系数相除，再将同底数幂相除，将商的因式作为结果，对于只在被除式中含有的字母，则将其连同指数作为商的一个因式。
例如，-7abm÷49ab可以化简为-1/7m。
10、多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式时，先将多项式的每一项除以单项式，然后将所有商相加。
例如，(am+bm+cm)÷m可以化简为a+b+c。
11、平方差公式：平方差公式展开只有两项，左边是两个二项式相乘，其中一个二项式的两项互为相反数，右边是相同项的平方减去相反项的平方。
例如，(a+b)(a-b)=a^2-b^2.12、完全平方公式：完全平方公式展开有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
人教版数学八上第十五章“整式的乘除与因式分解”简介
第十五章“整式的乘除与因式分解”简介人民教育出版社中学数学室左怀玲俞求是人教版《义务教育课程标准实验教科书?数学》第十五章是“整式的乘除与因式分解”。
本章的主要内容是整式的乘除运算、乘法公式以及因式分解。
本章内容建立在已经学习了的有理数运算、列简单的代数式、一次方程及不等式、整式的加减运算等知识的基础上。
整式的乘除运算和因式分解是基本而重要的代数初步知识，这些知识是以后学习分式和根式运算、函数等知识的基础，在后续的数学学习中具有重要意义，同时，这些知识也是学习物理、化学等学科及其他科学技术不可缺少的数学基础知识。
本章共安排了4个小节，教学时间约需13课时（供参考）：15．1 整式的乘法4课时15．2 乘法公式2课时15．3 整式的除法2课时15．4 因式分解3课时数学活动小结2课时一、教科书内容和课程学习目标（一）本章知识结构框图（二）教科书内容本章共包括4节15．1 整式的乘法整式的乘法是整式四则运算的重要组成部分。
本节分为四个小节，主要内容是整式的乘法，这些内容是在学生掌握了有理数运算、整式加减运算等知识的基础上学习的。
其中，幂的运算性质，即同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方是整式乘法的基础，教科书把它们依次安排在前三个小节中，教学中应适当复习幂、指数、底数等概念，特别要弄清正整数指数幂的意义。
在学生掌握了幂的运算性质后，作为它们的一个直接应用，教科书在第四小节安排一般整式乘法的教学内容。
首先是单项式与单项式相乘，由于进行单项式与多项式、多项式与多项式相乘的前提是熟练地进行单项式与单项式相乘，因此，对于单项式与单项式相乘的教学应该予以充分重视。
在学生掌握了单项式与单项式相乘的基础上，教科书利用分配律等进一步引入单项式与多项式相乘、多项式与多项式相乘，这样使整式乘法运算的教学从简到繁，由易到难，层层递进。
15．2 乘法公式本节分为两个小节，分别介绍平方差公式与完全平方公式。
乘法公式是整式乘法的特殊情形，是在学习了一般的整式乘法知识的基础上学习的，运用乘法公式能简化一些特定类型的整式相乘的运算问题，教科书在本节开始首先指出了这一点。
八年级数学整式的乘除与因式分解知识点详解
整式的乘除与因式分解知识点详解一、幂的运算基础知识讲解【学习目标】1. 掌握正整数幂的乘法运算性质（同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方）；2.能用代数式和文字语言正确地表述这些性质，并能运用它们熟练地进行运算.【要点梳理】要点一、同底数幂的乘法性质+⋅=m n m n a a a (其中,m n 都是正整数).即同底数幂相乘，底数不变，指数相加.要点诠释：（1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的实数，也可以是单项式、多项式.（2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即m n p m n p a a a a ++⋅⋅=（,,m n p 都是正整数）.（3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。
即m n m n a a a +=⋅（,m n 都是正整数）.要点二、幂的乘方法则()=m n mn a a (其中,m n 都是正整数).即幂的乘方，底数不变，指数相乘.要点诠释：（1）公式的推广：(())=m n p mnp a a(0≠a ，,,m n p 均为正整数)（2）逆用公式： ()()n mmn m n a a a ==，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形，从而解决问题.要点三、积的乘方法则()=⋅n n n ab a b (其中n 是正整数).即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.要点诠释：（1）公式的推广：()=⋅⋅n n n nabc a b c (n 为正整数).（2）逆用公式：()n n n a b ab =逆用公式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时，计算更简便.如：1010101122 1.22⎛⎫⎛⎫⨯=⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭要点四、注意事项（1）底数可以是任意实数，也可以是单项式、多项式.（2）同底数幂的乘法时，只有当底数相同时,指数才可以相加.指数为1，计算时不要遗漏.（3）幂的乘方运算时，指数相乘，而同底数幂的乘法中是指数相加.（4）积的乘方运算时须注意，积的乘方要将每一个因式(特别是系数)都要分别乘方.（5）灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.（6）带有负号的幂的运算，要养成先化简符号的习惯.二、整式的乘法基础知识讲解【学习目标】1. 会进行单项式的乘法,单项式与多项式的乘法,多项式的乘法计算．2. 掌握整式的加、减、乘、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律简化运算.【要点梳理】要点一、单项式的乘法法则单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式.要点诠释：（1）单项式的乘法法则的实质是乘法的交换律和同底数幂的乘法法则的综合应用.（2）单项式的乘法方法步骤：积的系数等于各系数的积，是把各单项式的系数交换到一起进行有理数的乘法计算，先确定符号，再计算绝对值；相同字母相乘，是同底数幂的乘法，按照“底数不变，指数相加”进行计算；只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里作为积的一个因式.（3）运算的结果仍为单项式，也是由系数、字母、字母的指数这三部分组成.（4）三个或三个以上的单项式相乘同样适用以上法则.要点二、单项式与多项式相乘的运算法则单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即()m a b c ma mb mc ++=++.要点诠释：（1）单项式与多项式相乘的计算方法，实质是利用乘法的分配律将其转化为多个单项式乘单项式的问题.（2）单项式与多项式的乘积仍是一个多项式，项数与原多项式的项数相同. （3）计算的过程中要注意符号问题，多项式中的每一项包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号.（4）对混合运算，应注意运算顺序，最后有同类项时，必须合并，从而得到最简的结果.要点三、多项式与多项式相乘的运算法则多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.三、整式的除法基础知识讲解【学习目标】1. 会用同底数幂的除法性质进行计算．2. 会进行单项式除以单项式的计算．3. 会进行多项式除以单项式的计算．【要点梳理】要点一、同底数幂的除法法则同底数幂相除，底数不变，指数相减，即m n m n a a a-÷=（a ≠0，m n 、都是正整数，并且m n >）要点诠释：（1）同底数幂乘法与同底数幂的除法是互逆运算.（2）被除式、除式的底数相同，被除式的指数大于除式指数，0不能作除式.（3）当三个或三个以上同底数幂相除时，也具有这一性质.（4）底数可以是一个数，也可以是单项式或多项式.要点二、零指数幂a=（a≠0）任何不等于0的数的0次幂都等于1.即01要点诠释：底数a不能为0，00无意义.任何一个常数都可以看作与字母0次方的积.因此常数项也叫0次单项式.要点三、单项式除以单项式法则单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只有被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.要点诠释：（1）法则包括三个方面：①系数相除；②同底数幂相除；③只在被除式里出现的字母，连同它的指数作为商的一个因式.（2）单项式除法的实质即有理数的除法（系数部分）和同底数幂的除法的组合，单项式除以单项式的结果仍为单项式.要点四、多项式除以单项式法则多项式除以单项式：先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.即()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点诠释：（1）由法则可知，多项式除以单项式转化为单项式除以单项式来解决，其实质是将它分解成多个单项式除以单项式.（2）利用法则计算时，多项式的各项要包括它前面的符号，要注意符号的变化.四、乘法公式基础知识讲解【学习目标】1. 掌握平方差公式、完全平方公式的结构特征，并能从广义上理解公式中字母的含义； 2. 学会运用平方差公式、完全平方公式进行计算.了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算.【要点梳理】要点一、平方差公式平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，b a ,既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.抓住公式的几个变形形式利于理解公式.但是关键仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.常见的变式有以下类型：（1）位置变化：如()()a b b a +-+利用加法交换律可以转化为公式的标准型（2）系数变化：如(35)(35)x y x y +-（3）指数变化：如3232()()m n m n +-（4）符号变化：如()()a b a b ---（5）增项变化：如()()m n p m n p ++-+（6）增因式变化：如2244()()()()a b a b a b a b -+++要点二、完全平方公式完全平方公式：()2222a b a ab b +=++2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.以下是常见的变形：()2222a b a b ab +=+-()22a b ab =-+ ()()224a b a b ab +=-+要点三、添括号法则添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号.要点诠释：添括号与去括号是互逆的，符号的变化也是一致的，可以用去括号法则检查添括号是否正确.要点四、补充公式2a b a ab b a b()()；±+=±()()()x p x q x p q x pq++=+++；223333223a b c a b c ab ac bc()222++=+++++.a b a a b ab b±=±+±；2222()33五、提公因式法基础知识讲解【学习目标】1.了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式是，即，而正好是除以m所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即. （2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式. （3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号. （4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.六、平方差公式基础知识讲解【学习目标】1. 能运用平方差公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和平方差公式把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——平方差公式两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积，即：()()22-=+-a b a b a b要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的多项式分解因式.（2）平方差公式的特点：左边是两个数（整式）的平方，且符号相反，右边是两个数（整式）的和与这两个数（整式）的差的积.（3）套用公式时要注意字母a和b的广泛意义，a、b可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．七、完全平方式基础知识讲解【学习目标】1. 能运用完全平方公式把简单的多项式进行因式分解.2. 会综合运用提公因式法和公式法把多项式分解因式；3．发展综合运用知识的能力和逆向思维的习惯.【要点梳理】要点一、公式法——完全平方公式两个数的平方和加上（减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（差）的平方．即()2222a ab b a b ++=+，()2222a ab b a b -+=-.形如222a ab b ++，222a ab b -+的式子叫做完全平方式.要点诠释：（1）逆用乘法公式将特殊的三项式分解因式；（2）完全平方公式的特点：左边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 右边是两数的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有两个，二者不能互相代替，注意二者的使用条件.（4）套用公式时要注意字母a 和b 的广泛意义，a 、b 可以是字母，也可以是单项式或多项式.要点二、因式分解步骤（1）如果多项式的各项有公因式，先提取公因式；（2）如果各项没有公因式那就尝试用公式法；（3）如用上述方法也不能分解，那么就得选择分组或其它方法来分解（以后会学到）．要点三、因式分解注意事项（1）因式分解的对象是多项式；（2）最终把多项式化成乘积形式；（3）结果要彻底，即分解到不能再分解为止．八、十字相乘法及分组分解法基础知识讲解【学习目标】1. 熟练掌握首项系数为1的形如pq x q p x +++)(2型的二次三项式的因式分解.2. 基础较好的同学可进一步掌握首项系数非1的简单的整系数二次三项式的因式分解.3. 对于再学有余力的学生可进一步掌握分数系数；实数系数；字母系数的二次三项式的因式分解.(但应控制好难度)4. 掌握好简单的分组分解法.【要点梳理】要点一、十字相乘法利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.对于二次三项式2x bx c ++，若存在pq c p q b =⎧⎨+=⎩ ，则()()2x bx c x p x q ++=++要点诠释：（1）在对2x bx c ++分解因式时，要先从常数项c 的正、负入手，若0c >，则p q 、同号(若0c <，则p q 、异号)，然后依据一次项系数b 的正负再确定p q 、的符号（2）若2x bx c ++中的b c 、为整数时，要先将c 分解成两个整数的积(要考虑到分解的各种可能)，然后看这两个整数之和能否等于b ，直到凑对为止.要点二、首项系数不为1的十字相乘法在二次三项式2ax bx c ++(a ≠0)中，如果二次项系数a 可以分解成两个因数之积，即12a a a =，常数项c 可以分解成两个因数之积，即12c c c =，把1212a a c c ，，，排列如下： 按斜线交叉相乘，再相加，得到1221a c a c +，若它正好等于二次三项式2ax bx c ++的一次项系数b ，即1221a c a c b +=，那么二次三项式就可以分解为两个因式11a x c +与22a x c +之积，即()()21122ax bx c a x c a x c ++=++.要点诠释：（1）分解思路为“看两端，凑中间” （2）二次项系数a 一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上.要点三、分组分解法对于一个多项式的整体，若不能直接运用提公因式法和公式法进行因式分解时，可考虑分步处理的方法，即把这个多项式分成几组，先对各组分别分解因式，然后再对整体作因式分解——分组分解法.即先对题目进行分组，然后再分解因式.要点诠释：分组分解法分解因式常用的思路有：方法分类分组方法特点二项、二项①按字母分组②按系数分组③符合公式的两项分组四项三项、一项先完全平方公式后平方差公式五项三项、二项各组之间有公因式三项、三项二项、二项、二项各组之间有公因式分组分解法六项三项、二项、一项可化为二次三项式要点四：添、拆项法把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形.添、拆项法分解因式需要一定的技巧性，在仔细观察题目后可先尝试进行添、拆项，在反复尝试中熟练掌握技巧和方法.九、《整式的乘除与因式分解》全章复习与巩固【学习目标】1. 掌握正整数幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；4. 理解因式分解的意义，并感受分解因式与整式乘法是相反方向的运算，掌握提公因式法和公式法（直接运用公式不超过两次）这两种分解因式的基本方法，了解因式分解的一般步骤；能够熟练地运用这些方法进行多项式的因式分解.【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相1.同底数幂的乘法：(m n加.2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积.4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++.4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.要点四、因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等.要点诠释：落实好方法的综合运用：首先提取公因式，然后考虑用公式；两项平方或立方，三项完全或十字；四项以上想分组，分组分得要合适；几种方法反复试，最后须是连乘式；因式分解要彻底，一次一次又一次.。
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教案计划（教案）
新知导航：概略构建本堂课教案的知识要点，最好用图表概括。
（2／3页之内）
一、知识点总结：
mnm?n aa?am,n都是正整数）、同底数幂的乘法法则：1
（
同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
235)(a?b)(a?b)??(ab如：
mnmn a(a)?m,n都是正整数）（2、幂的乘方法则：5210(?3)?3幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：mnmnnm))a??(aa(幂的乘方法则可以逆用：即62332)?(44?(4)如：nnn nb)?a(ab、积的乘方法则：（是正整数）3 积的乘方，等于各因数乘方的积。
32553525515105z?)))(x?2yz)?2?(x?(y?z?32xy =如：（nmn?m a?a?aa?0,m,nm n)都是正整数，且、同底数幂的除法法则：（44333(ab)?(ab)?(ab)?ab 同底数幂相除，底数不变，指数相减。
如：、零指数和负指数；50?a1，即任何不等于零的数的零次方等于1。
1?p?aa?0,p?pp次方的倒数。
如：次方等于这个数的（是正整数），即一个不等于零的数的
p a11?33?)?2(286、单项式的乘法法则：单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母
分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式。
注意：
①积的系数等于各因式系数的积，先确定符号，再计算绝对值。
②相同字母相乘，运用同底数幂的乘法法则。
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③只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式
④单项式乘法法则对于三个以上的单项式相乘同样适用。
23z?3yxy?2x?⑤单项式乘以单项式，结果仍是一个单项式。
如：7、单项式乘以多项式，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加，
m(a?b?c)?ma?mb?mcm,a,b,c都是单项式)
(即注意：
①积是一个多项式，其项数与多项式的项数相同。
②运算时要注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。
③在混合运算时，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。
2x(2x?3y)?3y(x?y)如：8、多项式与多项式相乘的法则；
多项式与多项式相乘，先用多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项，再把所的的积相加(3a?2b)(a?3b)如：(x?5)(x?6)9、单项式的除法法则：
单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。
注意：首先确定结果的系数（即系数相除），然后同底数幂相除，如果只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式
242baabm?49?7如：、多项式除以单项式的法则：10 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，在把所的的商相加。
ca?b?m?bm?m?cm???(am?bmcm)?m?am?m即：22ba??b)(a?b)?(a11、平方差公式：注意平方差公式展开只有两项公式特征：左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数。
右边是相同
项)y?z?xy?z)(x?(的平方减去相反项的平方。
如：222b?a?2ab??(ab)、完全平方公式：12公式特征：左边是一个二项式的完全平方，右边有三项，其中有两项是左边二项式中每一项的平方，而另一项是左边二项式中两项乘积的2倍。
注意：2222?2b)abab?(a?b??(ab)??a2
22?4)ab?(a?(a?b)b
222222)?b?(?(a?b)])])?(a?ba(?a?b)?[b)?(a?b??[(a?
完全平方公式的口诀：首平方，尾平方，加上首尾乘积的2倍。
13、三项式的完全平方公式：
2222?2ab?2ac?c)?a2?bc?bcb(a??
因式分解
常用方法：提公因式法、公式法、配方法、十字相乘法……
注：乘法公式
????22b?a?ba?b?a平方差公式：??222b??2ba?ab?a完全平方和公式：??222b?aba?ab??2完全平方差公式：
2 / 6
方法：1.提公因式法：式子中有公因式时，先提公因式。
bx?5by?2ax?10ay把分解因式．例
12222cd)d?)?(aab(cb?分解因式．例2把2. 公式法：根据平方差和完全平方公式216x?x?6分解因式配方法：例13.
4.十字相乘法：22c??bxax pq??q)xx?(p型的因式分解型和这类式子在许多问题中经常出现，其特点是：
一次项系数是常数项的两个因数之和．(2) 常数项是两个数之积；(3) (1) 二次项系数是1；22)q)(x?)?(x?(x?p)?q(x?pxp?(p?q)x?pq?x?px?qx?pq?x
2)q)(x??(x?xp?(p?q)x?pq因此，的二次三项式分解因式．运用这个公式，可以把某些二次项系数为1
随堂练习例1. 完成下列各题：
32__________．）x·（－3x1. （2008年山西）计算：22. （2008年湖北省襄樊）下列运算正确的是（）
3412623 x）＝）÷（－2＝xx B. （－6A. xx·x322－x2）4
＝a3a＝－ D. （x－C. 2a－22分解因式的结果是__________．＋2my年哈尔滨）把多项式2mx－4mxy20083. （2＋8ab＝____________．年山东）分解因式：（2a －b） 4. （20085. （2007年广州）下列计算中，正确的是（）
333－x＝x＝xx B. A. x·x
63323＝xx＋xC. x÷x＝xD.
22xy4y，正确的分组是（）＋46. （2007年中山）因式分解1－x8－22）－4y4A. （1－x）＋（8xy22）＋841－xxy－4y B. （22 4x）＋4y xyC. （1＋8）－（22－8xy）D. 1－（4x＋4y5xy y是正整数，且2·2的值有（）＝2x，则、、7. 若xy B.
3 对C. 2对D. 1对A. 4对8. 下列计算正确的是（）232）＝－8x－12x－4x1xx）（4A. （－x2＋3－3223（B. xxy＋）（y＋x）＝＋y
3 / 6
216a）＝1－1）（4a－1 C. （－4a－222yxy＋＝x4－2D. （x－2y）9. （2008
年安徽）下列多项式中，能用公式法分解因式的是（）
222222xy －y＋x －xyB. x D. ＋xy C. xA.
1510的位数是（）×510. 整数N＝2A. 10位B. 11位C. 12位D. 13 位
11. 若a、b互为相反数，且a、b均不为0，n为正整数，则下列结论正确的是（）2n2n也一定互为相反数A. ab和
nn一定互为相反数与B. ab2n2n也一定互为相反数ab与－C. －2n12n1＋＋也一定互为相反数D. a与b22＝（））－（a－（2008年全国数学竞赛广东初赛）化简：
（a＋1）112.
2＋D. 2a2 A. 2 B. 4 C. 4a
课后练习( )
1、下列运算中，正确的是53 2 63323aaaaa= x（ B.(+2b)=5=x3）2b C.3A.xD.·x=x
）2、下列从左边到右边的变形，是因式分解的是（
（B（A））
（D（C））
） 3、下列各式是完全平方式的是（D、、A 、 B、 C）、下列多项式中能用平方差公式分解因式的是（ 4
））（B（）（C（AD）
）的一次项，则m的值为（5、如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x D. 1C. 0 –3
B. 3 A.
），则这个正方形的边长为（6、一个正方形的边长增加了，面积相应增加了、8cm D、7cm5cm C A、6cm B、分）分，共183二、填空题：（每小题7、在实数范围
内分解因式、8___________yx=3，=3yx－3等于9、若，则5108107.9×3×秒走过的路程是M/秒，则卫星绕地球运行10、绕地球运动的是12分，共分）4三、计算题：（每小题1211、、4 / 6
）＋（x－2y）（2y＋x）－2x（13、［（x－2y2x－y）］÷2x．
四、因式分解：（每小题4分，共16分）
28y8xy＋2xy－、1514、
22y) －(x(x－y)－4ba16、
五、解方程或不等式：（每小题5分，共10分）
、17
5 / 6
六、解答题：（第22～24小题各6分，第25小题8分，共26分）
，求的值。
18、若
6 / 6。