二项式定理的练习及答案
二项式定理常考题型练(含答案)
二项式定理常考题型汇总（含答案）1. 展开式中的常数项是 （用数字作答）2.若在展开式中系数为-80，则a= 。
3.如果 的展开式中各项系数之和为128，则展开式中 的系数是（ ）A. 7B. –7C. 21D. –21 4.设k=1，2，3，4，5，则的展开式中k x 的系数不可能是（ ）A. 10B. 40C. 50D. 80 5.在的展开式中的系数是（ ）A. –14B. 14C. –28D. 286. 的展开式中 项的系数为 。
7.的展开式中 项的系数 。
8. 521⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的展开式中，4x 的系数是 。
9. 若nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+321展开式的各项系数之和为32，则其展开式中的常数项是 。
10. 522⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中2x 的系数是 ，展开式各项系数之和是 ，展开式各项的二项式系数之和是 。
11. 622⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，2x 的系数是 。
12. ()6211⎪⎭⎫ ⎝⎛-++x x x x 的展开式中的常数项为 。
1.（2005·福建卷）展开式中的常数项是（用数字作答）分析：当得r=2.∴，即所求常数项为240。
2.（2004·重庆卷）若在展开式中系数为-80，则a=。
解：∴当r=3时有∴由题设得∴a=-2，即应填-2。
3.（2005·山东卷）如果的展开式中各项系数之和为128，则展开式中的系数是（）A. 7B. –7C. 21D. –21分析：设，则∴由已知得，解得n=7∴令得r=6.∴，故所求系数为，应选C。
4.（2005·江苏卷）设k=1，2，3，4，5，则的展开式中的系数不可能是（）A. 10B. 40C. 50D. 80分析：立足于二项展开式的通项公式：∴当k=1时，r=4，的系数为；当k=2时，r=3，的系数为；当k=3时，r=2，的系数为；当k=4时，r=1，的系数为。
∴综上可知应选C。
(完整版)二项式定理测试题及答案
二项式定理测试题及答案1.有多少个整数n 能使(n+i)4成为整数（B ） A.0 B.1 C.2 D.3 2. ()82x -展开式中不含．．4x 项的系数的和为（B ）A.-1B.0C.1D.23．若S=123100123100A A A A ++++L L ，则S 的个位数字是（C ）A 0B 3C 5D 8 4．已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是（ C ） A.28B.38C.1或38D.1或285．在3100(25)+的展开式中，有理项的个数是（ D ） Ａ．15个Ｂ．33个Ｃ．17个 Ｄ．16个6.在2431⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中，x 的幂指数是整数的项共有（C ） A ．3项 B ．4项C ．5项D ．6项7．在(1－x)5－(1－x)6的展开式中，含x 3的项的系数是（ C ）A 、－5B 、 5C 、10D 、－10 8．35)1()1(x x +⋅-的展开式中3x 的系数为（ A ）A ．6B ．-6C ．9D ．-9 9．若x=21，则(3+2x)10的展开式中最大的项为（B ） A.第一项 B.第三项 C.第六项 D.第八项 10.二项式431(2)3nx x-的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ A ） A ．7B ．12C ．14D ．511.设函数,)21()(10x x f -=则导函数)(x f '的展开式2x 项的系数为（Ｃ ）A ．1440B ．-1440C ．-2880D ．2880 12．在51(1)x x+-的展开式中，常数项为（ B ） （A ）51 （B ）－51 （C ）－11 （D ）1113．若32(1)1()n n x x ax bx n *+=+++++∈N L L ，且:3:1a b =，则n 的值为（ Ｃ ） Ａ．9Ｂ．10Ｃ．11Ｄ．1214．若多项式102x x +=10109910)1()1()1(++++⋅⋅⋅+++x a x a x a a ，则=9a （ ）（A ） 9 （B ）10 （C ）9- （D ）10- 解：根据左边x10的系数为1,易知110=a ，左边x 9的系数为0,右边x 9的系数为0109910109=+=+a C a a ,∴109-=a故选D 。
(完整版)二项式定理(习题含答案)
二项式定理一、 求展开式中特定项 1、在的展开式中，的幂指数是整数的共有（ ） A ．项 B ．项 C ．项 D ．项 【答案】C 【解析】，，若要是幂指数是整数，所以0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C ．3、若展开式中的常数项为 ．（用数字作答）【答案】10【解】由题意得，令，可得展示式中各项的系数的和为32，所以，解得，所以展开式的通项为，当时，常数项为， 4、二项式的展开式中的常数项为 ． 【答案】112【解析】由二项式通项可得，（r=0,1,,8）,显然当时，，故二项式展开式中的常数项为112.5、的展开式中常数项等于________．【答案】．【解析】因为中的展开式通项为，当第一项取时，，此时的展开式中常数为；当第一项取时，，此时的展开式中常数为；所以原式的展开式中常数项等于，故应填． 6、设，则的展开式中常数项是 ．【答案】 332，30x 4567()r r rrr r x C x x C T 6515303303011--+⋅=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅=30......2,1,0=r =r 2531()x x+1x =232n =5n =2531()x x+10515r rr T C x -+=2r =2510C=82)x3488838122rrr r rr r x C xx C --+-=-=)()()(T 2=r 1123=T 41(2)(13)x x--1441(2)(13)x x--4(13)x -4C (3)r rx -204C 1=21x-14C (3)12x -=-12141420sin 12cos 2x a x dx π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭⎰()622x ⎛⋅+ ⎝332=-()200sin 12cos sin cos (cos sin )202x a x dx x x dx x x πππ⎛⎫=-+=+=-+= ⎪⎝⎭⎰⎰的展开式的通项为，所以所求常数项为．二、 求特定项系数或系数和7、的展开式中项的系数是（ ）A ．B ．C ．D ． 【答案】A【解析】由通式，令，则展开式中项的系数是．8、在x （1+x ）6的展开式中，含x 3项的系数是 ． 【答案】15【解】的通项，令可得．则中的系数为15.9、在的展开式中含的项的系数是 ． 【答案】-55【解析】的展开式中项由和两部分组成，所以的项的系数为． 10、已知，那么展开式中含项的系数为 ． 【答案】135【解析】根据题意，，则中，由二项式定理的通项公式，可设含项的项是，可知，所以系数为．11、已知，则等于（ ）A ．－5B ．5C ．90D ．180【答案】D 因为，所以等于选Ｄ．12、在二项式 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则________；展开式中的第4项＝_______．6(=6663166((1)2r r r r r rr r T C C x ---+==-⋅⋅3633565566(1)22(1)2T C C --=-⋅⋅+-⋅332=-8()x 62x y 5656-2828-r r r y x C )2(88--2=r 62x y 56)2(228=-C ()61x +16r r r T C x +=2r =2615C =()61x x +3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 6(1)(2)x x -⋅-3x 336)(2x C -226)(x -x C -⋅）（3x 552-2636-=-C C dx xn 16e 1⎰=nx x ）（3-2x 66e111ln |6e n dx x x=⎰==n x x ）（3-1r n r r r n T C a b -+=2x 616(3)r rr r T C x -+=-2r =269135C ⨯=()()()()10210012101111x a a x a x a x +=+-+-++-L 8a 1010(1)(21)x x +=-+-8a8210(2)454180.C -=⨯=1)2nx =n【答案】，．【解析】由二项式定理展开通项公式，由题意得，当且仅当时，取最大值，∴，第4项为． 13、如果，那么的值等于（ ） （A ）－1 （B ）－2 （C ）0 （D ）2 【答案】A【解析】令，代入二项式，得，令，代入二项式，得，所以，即，故选A ．14、（﹣2）7展开式中所有项的系数的和为【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x ﹣2）（x ﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16、在的展开式中，所有项的系数和为，则的系数等于 ．【答案】【解析】当时，，解得，那么含的项就是，所以系数是-270. 17、设，若，则．【答案】0. 【解析】由81937x -21()(2)33111()()22n r n r r r r r r r nn T C x x C x -++=-⋅=-4n =r n C 8n =119(163)333381()72C x x +-=-7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 017a a a +++L 1x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70127(12)1a a a a -=++++=-L 0x =7270127(12)x a a x a x a x -=++++L 70(10)1a -==12711a a a ++++=-L 1272a a a +++=-L *3)()n n N -∈32-1x 270-1=x ()322--=n5=n x1()x x C 1270313225-=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⨯0(sin cos )k x x dx π=-⎰8822108)1(x a x a x a a kx ++++=-K 1238a a a a +++⋅⋅⋅+=0(sin cos )(cos sin )k x x dx x x ππ=-=--⎰，令得：，即 再令得：，即 所以18、设（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和为M ，二项式系数和为N ，若M ﹣N=240，则展开式中x 的系数为 . 【答案】150解：由于（5x ﹣）n 的展开式的各项系数和M 与变量x 无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n =4n ．再由二项式系数和为N=2n ，且M ﹣N=240，可得 4n ﹣2n =240，即 22n ﹣2n ﹣240=0. 解得 2n =16，或 2n =﹣15（舍去），∴n=4. （5x ﹣）n 的展开式的通项公式为 T r+1=？（5x ）4﹣r ？（﹣1）r ？=（﹣1）r ？？54﹣r ？．令4﹣=1，解得 r=2，∴展开式中x 的系数为 （﹣1）r？？54﹣r=1×6×25=150，19、设，则 ． 【答案】【解析】， 所以令，得到， 所以 三、 求参数问题20、若的展开式中第四项为常数项，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据二项式展开公式有第四项为，第四项为常数，则必有，即，所以正确选项为B. 21、二项式的展开式中的系数为15，则（ ）(cos sin )(cos0sin 0)2ππ=-----=1x =80128(121)a a a a -⨯=++++K 01281a a a a ++++=K 0x =80128(120)000a a a a -⨯=+⨯+⨯++⨯K 01a =12380a a a a +++⋅⋅⋅+=8877108)1(x a x a x a a x ++++=-Λ178a a a +++=L 255178a a a +++=L 87654321a a a a a a a a +-+-+-+-1-=x =82876543210a a a a a a a a a +-+-+-+-2551256-20887654321=-==+-+-+-+-a a a a a a a a a nn =45672533333342)21()(---==n nn nxC xx C T 025=-n 5=n )()1(*N n x n ∈+2x =nA 、5B 、 6C 、8D 、10 【答案】B【解析】二项式的展开式中的通项为，令，得，所以的系数为，解得；故选B ． 22、(a ＋x)4的展开式中x 3的系数等于8，则实数a ＝________．【答案】2【解析】∵，∴当，即时，． 23、若的展开式中的系数为10，则实数（ ） A1 B ．或1 C ．2或 D ． 【答案】B．【解析】由题意得的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式，∴或，故选B ． 24、设，当时，等于（ ）A ．5B ．6C ．7D ．8 【答案】C ． 【解析】令，则可得，故选C ． 四、 其他相关问题25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵20152015=2015=？20162015﹣？20162014+？20162013﹣？20162012+…+？2016﹣，故20152015除以8的余数为﹣=﹣1，即20152015除以8的余数为7，)()1(*N n x n ∈+k n kn k x C T -+⋅=12=-k n 2-=n k 2x 152)1(22=-==-n n C C n n n 6=n 4r+14T =C r r r a x-43r -=1r =133324T =C 48,2ax ax x a ==∴=()()411x ax ++2x a =53-53-4(1)ax +14r r rr T C a x +=22144101C a C a a +=⇒=53-23(1)(1)(1)(1)n x x x x ++++++⋅⋅⋅++2012n n a a x a x a x =+++⋅⋅⋅+012254n a a a a +++⋅⋅⋅+=n 1x =2312(21)22222225418721n nn n n +-+++⋅⋅⋅+==-=⇒+=⇒=-。
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项(二项式定理)练习(附答案)
2024届高考数学复习：精选历年真题、好题专项（二项式定理）练习一. 基础小题练透篇1.已知(2x ＋1)n 的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，则n ＝( ) A ．7 B ．6 C ．5 D ．42．[2023ꞏ上海市月考]在⎝⎛⎭⎫x －1x 7的二项展开式中，系数最大的是第( )项A ．3B ．4C ．5D ．63．[2023ꞏ福建省莆田第一中学高三考试]在⎝⎛⎭⎫x －2x 6的展开式中，常数项为( )A ．80B ．－80C ．160D ．－160 4．[2023ꞏ福建省福州第八中学高三训练](x ＋2y )(x －y )5的展开式中的x 3y 3项系数为( ) A ．30 B ．10 C ．－30 D ．－105．[2023ꞏ重庆市检测]若(x 2＋1)(4x ＋1)8＝a 0＋a 1(2x ＋1)＋a 2(2x ＋1)2＋…＋a 10(2x ＋1)10，则a 1＋a 2＋…a 10等于( )A ．2B ．1C ．54D ．－146．[2023ꞏ江西省联考]已知(x ＋1)4＋(x －2)8＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋…＋a 8(x －1)8，则a 3＝( )A ．64B ．48C ．－48D ．－647．[2023ꞏ湖南省高三第一次大联考]设(1＋2x )n ＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，若a 5＝a 6，则n ＝( )A ．6B ．7C ．8D ．98．[2023ꞏ云南省昆明市高三检测]若(3x ＋x )n 的展开式的所有项的系数和与二项式系数和的比值是32，则展开式中x 3项的系数是__________.二. 能力小题提升篇1.[2023ꞏ辽宁省凤城市月考]在(x －1)n 的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，则n ＝( )A ．8B ．9C ．10D ．112．[2023ꞏ江苏省常州市高三模拟 ]若(1－ax ＋x 2)(1－x )8的展开式中含x 2的项的系数为21，则a ＝( )A ．－3B ．－2C ．－1D ．13．[2023ꞏ上海市一模]二项式(x ＋13x)30的展开式中，其中是有理项的项数共有( )A ．4项B ．7项C ．5项D ．6项4．[2023ꞏ吉林省吉林市月考]若二项式⎝⎛⎭⎫12－x n 的展开式中所有项的系数和为164 ，则展开式中二项式系数最大的项为( )A ．－52 x 3B ．154 x 4 C ．－20x 3 D ．15x 45．[2023ꞏ浙江省高三联考](x－23x)6的展开式的中间一项的系数是__________．(用数字作答).6．[2023ꞏ浙江嘉兴检测]已知⎝⎛⎭⎫3x 2＋1x n展开式中的各二项式系数的和比各项系数的和小240，则n ＝__________；展开式中的系数最大的项是________．三. 高考小题重现篇1.[2020ꞏ北京卷]在(x －2)5的展开式中，x 2的系数为( ) A ．－5 B ．5 C ．－10 D ．102．[2019ꞏ全国卷Ⅲ](1＋2x 2)(1＋x )4的展开式中x 3的系数为( ) A ．12 B ．16 C ．20 D ．243．[2022ꞏ新高考Ⅰ卷]⎝⎛⎭⎫1－yx (x ＋y )8的展开式中x 2y 6的系数为________________(用数字作答).4．[2020ꞏ全国卷Ⅲ]⎝⎛⎭⎫x 2＋2x 6的展开式中常数项是______(用数字作答).5．[2021ꞏ上海卷]已知二项式(x ＋a )5展开式中，x 2的系数为80，则a ＝________． 6．[2021ꞏ浙江卷]已知多项式(x －1)3＋(x ＋1)4＝x 4＋a 1x 3＋a 2x 2＋a 3x ＋a 4，则a 1＝________，a 2＋a 3＋a 4＝________．四. 经典大题强化篇1.已知(2x －1)5＝a 0x 5＋a 1x 4＋a 2x 3＋a 3x 2＋a 4x ＋a 5.求下列各式的值： (1)a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5； (2)|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|； (3)a 1＋a 3＋a 5.2．[2023ꞏ江西省景德镇一中考试]已知函数f (n ，x )＝⎝⎛⎭⎫2m ＋m x n (m >0，x >0).(1)当m ＝2时，求f (7，x )的展开式中二项式系数最大的项；(2)若f (10，x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2 ＋…＋a 10x 10 ，且a 2＝180，参考答案一 基础小题练透篇1．答案：C答案解析：因为（2x ＋1）n的展开式中，第三项和第四项的二项式系数相等，所以C 2n ＝C 3n ，由组合数的性质可得n ＝2＋3＝5.2．答案：C答案解析：在二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1x 7 的展开式中，通项公式为T r ＋1＝C r 7 ·x 7－r ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－1x r ＝（－1）r C r7 x 7－2r，故第r ＋1项的系数为（－1）r C r7 ，当r ＝0，2，4，6时，系数为正，因为C 07 <C 17 ＝C 67 <C 27 <C 47 ，所以当r ＝4时，系数最大的项是第5项． 3．答案：D答案解析：由于x ，1x互为倒数，故常数项为第4项，即常数项为C 36 x 3⎝ ⎛⎭⎪⎫－2x 3 ＝20×（－8）＝－160.故选D. 4．答案：B答案解析：因为（x ＋2y ）（x －y ）5＝x （x －y ）5＋2y （x －y ）5，（x －y ）5的通项为：T r ＋1＝C r5 x 5－r （－y ）r ，令r ＝3，则T 4＝C 35 x 2（－y ）3，令r ＝2，则T 3＝C 25 x 3（－y ）2，所以x 3y 3的系数为C 35 （－1）3＋2C 25 （－1）2＝－10＋20＝10. 故选B. 5．答案：D答案解析：令x ＝0，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 10＝（0＋1）×（0＋1）8＝1，令x ＝－12，则a 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋1 ×（－2＋1）8＝54 ，∴a 1＋a 2＋…＋a 10＝1－54 ＝－14 . 6．答案：C答案解析：由（x ＋1）4＋（x －2）8＝[（x －1）＋2]4＋[（x －1）－1]8＝a 0＋a 1（x －1）＋a 2（x －1）2＋…＋a 8（x －1）8，得a 3·（x －1）3＝C 14 ·（x －1）3·2＋C 58 ·（x －1）3·（－1）5，∴a 3＝8－C 58 ＝－48.故选C. 7．答案：C答案解析：（1＋2x ）n 展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r n （2x ）r ＝C r n 2r x r，∵a 5＝a 6，∴C 5n 25＝C 6n 26，即C 5n ＝2C 6n ，∵n ！5！（n －5）！ ＝2×n ！6！（n －6）！ ， 整理得n －5＝3，∴n ＝8. 故选C.8．答案：15答案解析：令x ＝1，得所有项的系数和为4n ，二项式系数和为2n ，所以4n 2n ＝2n＝32，即n ＝5，（3x ＋x ）5的第r ＋1项为C r5 ·（3x ）5－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫x 12 r＝C r 5 ·35－r ·x 5－r2 .令5－r2＝3，得r ＝4，所以x 3项的系数是C 45 ×3＝15.二 能力小题提升篇1．答案：C答案解析：因为在（x －1）n的二项展开式中，仅有第6项的二项式系数最大，即C 5n 最大，所以n ＝10.2．答案：C答案解析：（1－x ）8展开式第r ＋1项T r ＋1＝C r 8 18－r （－x ）r ＝（－1）r C r 8 x r，（1－ax ＋x 2）（1－x ）8的展开式中含x 2的项的系数为1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ，所以1·（－1）2C 28 －a ·（－1）C 18 ＋1·（－1）0C 08 ＝21，解方程可得a ＝－1，故选C.3．答案：D答案解析：二项式（x ＋13x ）30的展开式中，通项公式为C r 30 ·（x ）30－r·（13x）r＝C r30 ·x15－56r，0≤r ≤30，∴r ＝0，6，12，18，24，30时满足题意，共6项． 4．答案：A答案解析：令x ＝1可得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－1 n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 n ＝164 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 6 ，所以n ＝6，展开式有7项，所以二项式⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 6 展开式中二项式系数最大的为第4项T 4＝（－1）3C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 6－3x 3＝－52x 3. 5．答案：－16027答案解析：由二项式展开式可知，⎝⎛⎭⎪⎪⎫x 3－23x 6的展开式的中间一项的系数为C 36 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13 3·（－2）3＝－16027. 6．答案：4 108x 5答案解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫3x 2＋1x n 展开式中，各二项式系数的和比各项系数的和小240，即2n －（3＋1）n ＝－240，化简得22n －2n －240＝0，解得2n ＝16或2n＝－15（不合题意，舍去），所以n ＝4.所以⎝ ⎛⎭3x 2＋1x 4＝81x 8＋4×27x 5＋6×9x 2＋4×3x ＋1x4 ，展开式中的系数最大的项是108x 5.三 高考小题重现篇1．答案：C答案解析：由二项式定理得（x －2）5的展开式的通项T r ＋1＝C r 5 （x ）5－r （－2）r＝C r 5 （－2）rx 5－r2 ，令5－r 2＝2，得r ＝1，所以T 2＝C 15 （－2）x 2＝－10x 2，所以x 2的系数为－10.2．答案：A答案解析：展开式中含x 3的项可以由“1与x 3”和“2x 2与x ”的乘积组成，则x 3的系数为C 34 ＋2C 14 ＝4＋8＝12.3．答案：－28答案解析：因为⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8＝()x ＋y 8－y x()x ＋y 8，所以⎝⎛⎭⎪⎫1－y x()x ＋y 8的展开式中含x 2y 6的项为C 68 x 2y 6－y xC 58 x 3y 5＝－28x 2y 6，⎝ ⎛⎭⎪⎫1－y x ()x ＋y 8的展开式中x 2y 6的系数为－28. 4．答案：240答案解析：展开式的通项为T r ＋1＝C r6 （x 2）6－r·⎝ ⎛⎭⎪⎫2x r＝2r C r 6 x12－3r ，令12－3r ＝0，解得r ＝4，故常数项为24C 46 ＝240.5．答案：2答案解析：（x ＋a ）5的展开式的通项为T r ＋1＝C r 5 x 5－r a r ，令5－r ＝2，得r ＝3，则C 35 a 3＝80，解得a ＝2.6．答案：5 10答案解析：（x －1）3展开式的通项T r ＋1＝C r 3 x 3－r ·（－1）r ，（x ＋1）4展开式的通项T k ＋1＝C k 4 x 4－k ，则a 1＝C 03 ＋C 14 ＝1＋4＝5；a 2＝C 13 （－1）1＋C 24 ＝3；a 3＝C 23 （－1）2＋C 34 ＝7；a 4＝C 33 （－1）3＋C 44 ＝0.所以a 2＋a 3＋a 4＝3＋7＋0＝10.四 经典大题强化篇1．答案解析：（1）令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1.（2）令x ＝－1，得－35＝－a 0＋a 1－a 2＋a 3－a 4＋a 5.由（2x －1）5的通项T r ＋1＝C r 5 （－1）r ·25－r ·x 5－r， 知a 1，a 3，a 5为负值，所以|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 5|＝a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＝35＝243. （3）由a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 5＝1，－a 0＋a 1－a 2＋…＋a 5＝－35，得2（a 1＋a 3＋a 5）＝1－35，所以a 1＋a 3＋a 5＝1－352＝－121.2．答案解析：（1）当m ＝2时，f （7，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋2x 7 的展开式共有8项，二项式系数最大的项为第四项或第五项，所以T 4＝C 37 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 3 ＝280x3 或T 5＝C 47 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 4＝560x4 .（2）①f （10，x ）＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2m ＋m x 10 的通项公式为T r ＋1＝C r 10 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2m10－r⎝ ⎛⎭⎪⎫m x r＝210－r ·m 2r －10·C r 10 x －r ，且f （10，x ）＝a 0＋a 1x＋a 2x2 ＋…＋a n xn ，所以1x2 的系数为a 2＝28C 210 m －6＝180，解得m＝2，所以f （10，x ）的通项公式为T r ＋1＝C r10 ⎝ ⎛⎭2x r＝2r C r 10 x －r ，所以a r ＝2r C r10 ，当r ＝0时，a 0＝1，令x ＝1，∑10i ＝1a i ＝310－1＝59 048， ②设a r ＝2r C r10 为a i （0≤i ≤10）中的最大值，则⎩⎨⎧2r C r 10 ≥2r －1C r －110 2r C r 10 ≥2r ＋1C r ＋110， 解得⎩⎪⎨⎪⎧2（11－r ）≥r r ＋1≥2（10－r ） ，即193 ≤r ≤223 ，r ∈N ，所以r ＝7，所以（a i ）max ＝a 7＝27C 710 ＝15 360.。
二项式定理典型例题(含解答)
二项式定理典型例题典型例题一例1 在二项式nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛+421的展开式中前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项．分析：典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．解：二项式的展开式的通项公式为：4324121C 21)(C rn r r n rr n r n r x x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t nn ， 由已知：)1(8112312-+=+=n n n tt t ，∴8=n 通项公式为1431681,82,1,021C +-+==r rr rr T r x T 为有理项，故r 316-是4的倍数，∴.8,4,0=r 依次得到有理项为228889448541256121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类似地，1003)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有典型例题四例4（1）求103)1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21(++xx 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．解：（1）103)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项：用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5510C x ；用3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；用3)1(x -中的2x 乘以10)1(x +展开式中的3x 可得到531033102C 3C 3x x x =⋅；用 3)1(x -中的3x 项乘以10)1(x +展开式中的2x 项可得到521022103C C 3x x x -=⋅-，合并同类项得5x 项为：5521031041051063)C C 3C C (x x -=-+-．（2）2121⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x 1251)21(⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++x x x x ．由121⎪⎪⎭⎫⎝⎛+x x 展开式的通项公式r rrrrr x x T --+=⎪⎭⎫ ⎝⎛=61212121C 1)2(C ，可得展开式的常数项为924C 612=．说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．典型例题五例5 求62)1(x x -+展开式中5x 的系数．分析：62)1(x x -+不是二项式，我们通过22)1(1x x x x -+=-+或)(12x x -+展开． 解：方法一：[]6262)1()1(x x x x -+=-+ -+++-+=44256)1(15)1(6)1(x x x x x其中含5x 的项为55145355566C 15C 6C x x x x =+-．含5x 项的系数为6．方法二：[]6262)(1)1(x x x x -+=-+其中含5x 的项为555566)4(15)3(20x x x x =+-+-．∴5x 项的系数为6．方法3：本题还可通过把62)1(x x -+看成6个21x x -+相乘，每个因式各取一项相乘可得到乘积的一项，5x 项可由下列几种可能得到．5个因式中取x ，一个取1得到556C x ．3个因式中取x ，一个取2x -，两个取1得到)(C C 231336x x -⋅⋅． 1个因式中取x ，两个取2x -，三个取1得到222516)(C C x x -⋅⋅． 合并同类项为5525161336566)C C C C (C x x =+-，5x 项的系数为6．典型例题六例6 求证：（1）1212C C 2C -⋅=+++n n n n n n n ；（2）)12(11C 11C 31C 21C 1210-+=++++++n n nn n n n n ． 分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质nn n n n n 2C C C C 210=++++ ．解：（1）11C )!()!1()!1()!()!1(!)!(!!C --=+--⋅=--=-⋅=k n kn n k n k n n k n k n k n k n k k ∴左边111101C C C ----+++=n n n n n n n =⋅=+++=-----11111012)C C C (n n n n n n n 右边．（2）)!()!1(!)!(!!11C 11k n k n k n k n k k k n --=-⋅+=+11C 11)!()!1()!1(11+++=-++⋅+=k n n k n k n n ． ∴左边112111C 11C 11C 11++++++++++=n n n n n n n =-+=++++=+++++)12(11)C C (C 111112111n n n n n n n 右边． 说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：求10C 2C 2C 2C 22108107910810109+++++ 的结果．仔细观察可以发现该组合数的式与10)21(+的展开式接近，但要注意：10101099102210110010102C 2C 2C 2C C )21(⋅+⋅++⋅+⋅+=+从而可以得到：)13(21C 2C 2C 21010101099108210-=++++ ． 典型例题七例7 利用二项式定理证明：98322--+n n 是64的倍数．分析：64是8的平方，问题相当于证明98322--+n n 是28的倍数，为了使问题向二项式定理贴近，变形1122)18(93++++==n n n ，将其展开后各项含有k 8，与28的倍数联系起来．解：∵98322--+n n 98)18(98911--+=--=++n n n n64)C 8C 8(112111⋅++⋅+=-+-++n n n n n 是64的倍数．说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．典型例题八例8 展开52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x ．分析1：用二项式定理展开式．解法1：52232⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 2232524150250523)2(23)2(23)2(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x C x x C x x C 分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．解法2：10535232)34(232x x x x -=⎪⎭⎫ ⎝⎛-233254315530510)3()4()3()4()4([321-+-+=x C x C x C x 10742532243840513518012032xx x x x x -+-+-=． 说明：记准、记熟二项式nb a )(+的展开式，是解答好与二项式定理有关问题的前提条件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．典型例题九例9 若将10)(z y x ++展开为多项式，经过合并同类项后它的项数为（ ）． A ．11 B ．33 C ．55 D ．66 分析：10)(z y x ++看作二项式10])[(z y x ++展开．解：我们把z y x ++看成z y x ++)(，按二项式展开，共有11“项”，即∑=-⋅+=++=++10010101010)(])[()(k k k kz y x C z y x z y x ．这时，由于“和”中各项z 的指数各不相同，因此再将各个二项式ky x -+10)(展开，不同的乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）展开后，都不会出现同类项． 下面，再分别考虑每一个乘积k kk z y x C ⋅+-1010)(（10,,1,0 =k ）．其中每一个乘积展开后的项数由ky x -+10)(决定，而且各项中x 和y 的指数都不相同，也不会出现同类项．故原式展开后的总项数为66191011=++++ ，∴应选D ．典型例题十例10 若nx x ⎪⎭⎫⎝⎛-+21的展开式的常数项为20-，求n ．分析：题中0≠x ，当0>x 时，把nx x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-+21转化为nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+；当0<x 时，同理nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+．然后写出通项，令含x 的幂指数为零，解出n ． 解：当0>x 时nn x x x x 2121⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+，其通项为rn r n r r rn r n r x C xx C T 222221)()1()1()(--+-=-=，令022=-r n ，得r n =， ∴展开式的常数项为n nnC2)1(-；当0<x 时，nn n x x x x 21)1(21⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+， 同理可得，展开式的常数项为n n n C 2)1(-．无论哪一种情况，常数项均为nn n C 2)1(-． 令20)1(2-=-nn n C ，以 ,3,2,1=n ，逐个代入，得3=n ．典型例题十一例11 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式的第3项小于第4项，则x 的取值范围是______________． 分析：首先运用通项公式写出展开式的第3项和第4项，再根据题设列出不等式即可． 解： 1031⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 有意义必须0>x ；依题意有43T T <即3373102382101)(1)(⎪⎭⎫ ⎝⎛<⎪⎭⎫ ⎝⎛x x C x x C ．∴31123891012910xx ⨯⨯⨯⨯⨯<⨯⨯（∵0>x ）．解得5648980<<x ．∴x 的取值范围是⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<5648980x x ．∴应填：5648980<<x ．典型例题十二例12 已知n xx)1(2log +的展开式中有连续三项的系数之比为321∶∶，这三项是第几项？若展开式的倒数第二项为112，求x 的值．解：设连续三项是第k 、1+k 、2+k 项（+∈N k 且1>k ），则有32111∶∶∶∶=+-k n k n k n C C C ， 即321!)1)(1(!!)(!!!)1)(1(!∶∶∶∶=--+-+--k n k n k n k n k n k n ．∴321)1(1)(1)1)((1∶∶∶∶=+-+--k k k n k k n k n ． ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+-⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-+=+---32)()1(21132)()1(21)1)(()(k n k k n k k n k k k k n k n k n k 14=⇒n ，5=k 所求连续三项为第5、6、7三项．又由已知，1122log 1314=xx C ．即82log =x x ．两边取以2为底的对数，3)(log 22=x ，3log 2±=x ，∴32=x ，或32-=x ．说明：当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时，常利用二项式通项，根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解．典型例题十三例13 nx )21(+的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项和系数最大的项． 分析：根据已知条件可求出n ，再根据n 的奇偶性；确定二项式系数最大的项．解：556)2(x C T n =，667)2(x C T n =，依题意有8226655=⇒=n C C n n ． ∴8)21(x +的展开式中，二项式系数最大的项为444851120)2(x x C T ==．设第1+r 项系数最大，则有65222211881188≤≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧⋅≥⋅⋅≥⋅++--r C C C C r r r r r r r r ． ∴5=r 或6=r （∵{}8,,2,1,0 ∈r ）．∴系娄最大的项为：561792x T =，671792x T =．说明：(1)求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质，n 为奇数时中间两项的二项式系数最大，n 为偶数时，中间一项的二项式系数最大．(2)求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的，需根据各项系数的正、负变化情况，一般采用列不等式，解不等式的方法求得．典型例题十四例14 设nm x x x f )1()1()(+++=(+∈N n m ,)，若其展开式中关于x 的一次项的系数和为11，问n m ,为何值时，含2x 项的系数取最小值？并求这个最小值．分析：根据条件得到2x 的系数关于n 的二次表达式，然后用二次函数性质探讨最小值．解：1111=+=+m n C C n m ．211)(21222222-+=-+-=+n m n n m m C C n m499)211(55112211022+-=+-=-=n n n mn ．∵+∈N n ， ∴5=n 或6，6=m 或5时，2x 项系数最小，最小值为25． 说明：二次函数499)211(2+-=x y 的对称轴方程为211=x ，即5.5=x ，由于5、6距5.5等距离，且对+∈N n ，5、6距5.5最近，所以499)211(2+-n 的最小值在5=n 或6=n 处取得． 典型例题十五例15 若0166777)13(a x a x a x a x ++++=- ，求(1) 721a a a +++ ；(2) 7531a a a a +++；(3) 6420a a a a +++．解：(1)令0=x ，则10-=a ，令1=x ，则128270167==++++a a a a ． ①∴129721=+++a a a ．(2)令1-=x ，则701234567)4(-=+-+-+-+-a a a a a a a a ②由2②①-得：8256]4128[2177531=--=+++）（a a a a (3)由2②①+得：6420a a a a +++][210123456701234567）（）（a a a a a a a a a a a a a a a a +-+-+-+-++++++++=8128])4(128[217-=-+=． 说明：（1）根据问题恒等式特点来用“特殊值”法．这是一种重要方法，它适用于恒等式．(2)一般地，对于多项式nn n x a x a x a a q px x g ++++=+= 2210)()(，)(x g 的各项的系数和为)1(g ：)(x g 的奇数项的系数和为)]1()1([21-+g g ．)(x g 的偶数项的系数和为)]1()1([21--g g ．典型例题十六例16 填空：(1) 3230-除以7的余数_____________；(2) 155555+除以8的余数是___. 分析(1)：将302分解成含7的因数，然后用二项式定理展开，不含7的项就是余数．解：3230-3)2(103-=3)8(10-=3)17(10-+=37771010910911010010-++++=C C C C又∵余数不能为负数，需转化为正数。
二项式定理习题(带答案)
（A）－540
（B）－162
（C）162
（D）540
33、A 解析：令 x=1，得 2n=64，得 n=6.设常数项为 Tr+1= Cr6（3 ）6-r·（- ）r
=Cr636-r·（-1）r·x3-r 令 3-r=0 得 r=3.∴常数项 T4=-540.
36、在
的二项展开式中，若只有 的系数最大，则
6、C7、C8、A9、A
16、3.若
的展开式中 的系数是(
A.14 )A
B.－14
B
C
C.42 D
D.－42
17、在
的展开式中 的系数是 （ ）A.－14 B.14 C.－28 D.28
16、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B. 17、B 解析：（x－1）（x+1）8=（x－1）（1+x）8，∴含 x5 的项为 x·C x4+（－1）C x5=14x5，∴x5 的系数是 14，故选 B.
（3）二项式系数的和：
C
0 n
C1 nCຫໍສະໝຸດ 2 nCk n
C
n n
2n
奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即
C0n +C2n +
=C1n +C3n +
=2n-1
对称性 （2）二项式系数的三个性质 增减性和最值
二项式系数和
基本题型
(一)通项公式的应用
1、 (2x 1 )6 的展开式中第三项的二项式系数为________；第三项的系数为_______； x
2024-2025年北师大版数学选择性必修第一册5.4.1二项式定理的推导(带答案)
§4二项式定理4．1 二项式定理的推导必备知识基础练知识点一二项式定理的正用、逆用1.若(2x－3x )n＋3(n∈N*)的展开式中共有15项，则n的值为( ) A．11 B．12 C．13 D．142．1－3C110＋9C210－27C310＋…－39C910＋310＝______．3．求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除．知识点二二项展开式的通项与系数4.(x－2 y)10的展开式中x6y4的系数是( )A．－840 B．840 C．210 D．－2105．(2x－1x)6的二项展开式中的常数项为________．6．在(x ＋124x)n的展开式中，前三项的系数按原顺序成等差数列．(1)求展开式中含x项的系数；(2)求展开式中的有理项．知识点三二项展开式中各项系数的和7.在(2x＋x2)10的展开式中，各项的系数之和为( )A．1 B．310－1C．310 D．2108．将(1－2x)(1－x)8的展开式写成按升幂排列的和的形式，那么所有奇数项的系数和为________，所有奇次项的系数和为________．9．设(1－2x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020(x∈R).(1)求a0＋a1＋a2＋…＋a2 020的值；(2)求a1＋a3＋a5＋…＋a2 019的值；(3)求|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a2 020|的值．关键能力综合练一、选择题1．若(1＋2 )5＝a ＋b 2 (a ，b 为有理数)，则a ＋b ＝( ) A ．45 B ．55 C ．70 D ．802．在(x ＋2x)n的展开式中，若常数项为60，则n ＝( )A ．3B ．6C ．9D ．123．已知(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，则a ＝( ) A ．－1 B ．－2 C ．－3 D ．－44．二项式(x －a x)8的展开式中x 2的系数是－7，则其中正确的是( ) A ．a ＝12B ．展开式中含x 6项的系数是－4C ．展开式中含x －1项 D ．展开式中常数项为405．[探究题](x ＋1x2 －1)6展开式中x 2的系数为( )A ．－45B ．－15C ．15D ．45 二、填空题6．设a ∈Z ，且0≤a <13，若512 017＋a 能被13整除，则a ＝________．7．若(x ＋2)n (n ∈N *)的展开式的第4项是52，第3项的二项式系数是15，则x 的值为________．8．[易错题]若(1＋2x 2)(1＋1x )n 的展开式中所有项的系数和为96，则展开式中含1x2 项的系数是________．三、解答题9．已知(x －23x)n (n ∈N *)的展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1.(1)求展开式中的所有有理项；(2)求n ＋6C 2n ＋36C 3n ＋…＋6n －1C nn 的值；(3)求系数的绝对值最大的项．(注：结果可以有组合数、幂)学科素养升级练1.[多选题]若(x ＋a x )(2x －1x)5的展开式中各项系数之和为2，则下列结论正确的是( )A ．a ＝1B ．展开式中x 6的系数是－32C ．展开式中含x －1项D ．展开式中的常数项为402．[学科素养——数学运算]设f (x )＝(1＋x )m ＋(1＋x )n的展开式中含x 项的系数是19(m ，n ∈N *).(1)求f (x )的展开式中含x 2项的系数的最小值；(2)当f (x )的展开式中含x 2项的系数取最小值时，求f (x )的展开式中含x 7项的系数．4．1 二项式定理的推导必备知识基础练1．解析：因为(2x －3x )n ＋3的展开式中共有n ＋4项，所以n ＋4＝15，即n ＝11.故选A.答案：A2．解析：1－3C 110 ＋9C 210 －27C 310 ＋…－39C 910 ＋310＝C 010 (－1)10×30＋C 110 (－1)9×31＋C 210 (－1)8×32＋…＋C 1010 (－1)0×310＝(－1＋3)10＝210＝1 024.答案：1 024(或210)3．证明：32n ＋2－8n －9 ＝9n ＋1－8n －9＝(8＋1)n ＋1－8n －9 ＝8n ＋1＋C 1n ＋1 8n ＋C 2n ＋1 8n －1＋…＋C n －1n ＋1 82＋C nn ＋1 8＋1－8n －9 ＝82(8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 )＋8(n ＋1)＋1－8n －9＝64(8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 ).∵n ∈N *，∴8n －1＋C 1n ＋1 8n －2＋C 2n ＋1 8n －3＋…＋C n －1n ＋1 是整数， ∴32n ＋2－8n －9(n ∈N *)能被64整除． 4．解析：在通项T k ＋1＝C k10 x 10－k(－2 y )k 中，令k ＝4，即得(x －2 y )10的展开式中x 6y 4的系数为C 410 ×(－2 )4＝840.答案：B5．解析：二项式(2x －1x )6的展开式的通项为T k ＋1＝C k 6 ·(2x )6－k·(－1x)k ＝(－1)k C k 6 ·26－k·x6－32k .令6－32k ＝0，解得k ＝4，所以常数项为(－1)4×C 46 ×22＝60.答案：60 6．解析：(x ＋124x)n 的展开式中前三项的系数分别为C 0n ，12C 1n ，14C 2n ，由题意知C 1n ＝C 0n ＋14 C 2n ，所以n ＝1＋n （n －1）8，即n 2－9n ＋8＝0，解得n ＝8或n ＝1(舍去).则二项式(x ＋124x)8的展开式的通项为T k ＋1＝C k8 ·x8－k 2·12k ·x －k4 ＝12k ·C k 8 ·x 4－34k.(1)令4－34 k ＝1，得k ＝4，所以含x 项的系数为124 ×C 48 ＝358 .(2)设展开式中，第k ＋1项为有理项，则当k ＝0，4，8时对应的项为有理项， 有理项分别为T 1＝x 4，T 5＝358 x ，T 9＝1256x2 .7．解析：设(2x ＋x 2)10＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 20x 20，令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 20＝310.故选C.答案：C8．解析：设(1－2x )(1－x )8＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 9x 9，则所有奇数项的系数和为a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8，所有奇次项的系数和为a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9.令x ＝1，则a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0 ①，令x ＝－1，则a 0－a 1＋a 2－a 3＋a 4－a 5＋a 6－a 7＋a 8－a 9＝3×28＝768 ②.由①＋②，得a 0＋a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝12 ×768＝384.由①－②，得a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝－12×768＝－384，所以所有奇数项的系数和为384，所有奇次项的系数和为－384.答案：384 －3849．解析：(1)令x ＝1，得a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝(－1)2 020＝1.(2)令x ＝－1，得a 0－a 1＋a 2－…－a 2 019＋a 2 020＝32 020， ① 由(1)，知a 0＋a 1＋a 2＋…＋a 2 020＝1， ②由②－①，得2(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＝1－32 020， ∴a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2 019＝1－32 0202.(3)∵T k ＋1＝(－1)k C k2 020 (2x )k，∴|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 2 020|＝a 0－a 1＋a 2－…＋a 2 020＝32 020.关键能力综合练1．解析：由二项式定理，得(1＋2 )5＝1＋C 15 ×2 ＋C 25 ×(2 )2＋C 35 ×(2 )3＋C 45 ×(2 )4＋C 55 ×(2 )5＝1＋52 ＋20＋202 ＋20＋42 ＝41＋292 .所以a ＝41，b ＝29，所以a ＋b ＝70.故选C.答案：C2．解析：展开式的通项为T k ＋1＝C k n(x )n －k (2x )k ＝2k C kn x n －3k2 ，令n －3k 2＝0，得n ＝3k .根据题意有2k C k3k ＝60，验证知k ＝2，故n ＝6.答案：B3．解析：因为(1＋ax )(1＋x )5的展开式中x 2的系数为5，所以C 25 ＋a C 15 ＝5，即10＋5a ＝5，解得a ＝－1，故选A.答案：A4．解析：二项式(x －a x)8的展开式的通项公式为T k ＋1＝C k 8 x8－k(－a x)k ＝(－a )k C k 8 x8－2k.对于A ：令8－2k ＝2，解得k ＝3，所以展开式中x 2的系数(－a )3C 38 ＝－7，解得a ＝12，故A 正确；对于B ：二项式(x －a x )8即(x －12x )8，展开式的通项公式为T k ＋1＝(－12)k C k 8 x 8－2k.令8－2k ＝6，解得k ＝1，所以展开式中含x 6项的系数是(－12 )1C 18 ＝－4，故B 正确；令8－2k ＝－1，解得k ＝92 ，不为整数，故展开式中不含x －1项，故C 错误；令8－2k ＝0，解得k ＝4，所以展开式中常数项为(－12 )4C 48 ＝358，故D 错误．故选AB.答案：AB5．解析：(x ＋1x 2 －1)6＝[(x ＋1x2 )－1]6，展开式的通项为T r ＋1＝C r 6 (x ＋1x 2 )6－r (－1)r ＝C r 6 ·(－1)r(x ＋1x2 )6－r (r ＝0，1，…，6)，对于(x ＋1x 2 )6－r ，设其展开式的通项为U k ＋1＝C k 6－r x 6－r －k (1x2 )k ＝C k 6－r x 6－r －3k (k ＝0，1，…，6)，令6－r －3k ＝2，所以r ＋3k ＝4，解得r ＝1，k ＝1或者r ＝4，k ＝0.所以(x ＋1x2 －1)6展开式x 2的系数为C 16 (－1)1C 15 ＋C 46 (－1)4C 02 ＝－15，故选B.答案：B6．解析：∵512 017＋a ＝(52－1)2 017＋a ＝C 02 017 ·522 017－C 12 017 522 016＋…＋C 2 0162 017 521－1＋a 能被13整除，且0≤a ＜13，a ∈Z ，∴－1＋a 能被13整除，故a ＝1.答案：17．解析：由(x ＋2)n (n ∈N *)的展开式的第4项为23C 3n x n －3，第3项的二项式系数是C 2n ，可知23C 3n xn －3＝52 ，C 2n ＝15，可得n ＝6，x ＝14. 答案：148．解析：当x ＝1时，(1＋2x 2)(1＋1x)n 的展开式中所有项的系数和为3×2n＝96，解得n ＝5，∴(1＋1x )5展开式的通项为T k ＋1＝C k 5 1xk ，∴(1＋2x 2)(1＋1x )5展开式中含1x2 项的系数为C 25 ＋2C 45 ＝20.答案：209．解析：(1)(x －23x )n (n ∈N *)的展开式的通项为T k ＋1＝C k n (x )n －k(－23x)k ＝C k n (－2)kx3n －5k 6.由于展开式中第5项的系数与第3项的系数的比为30∶1， 则C 4n 24C 2n 22 ＝30，化简得n 2－5n －84＝0， 解得n ＝12或n ＝－7(舍去)， 则展开式的通项为T k ＋1＝C k12 (－2)kx36－5k 6，当k ＝0，6，12时对应的项为有理项，即T 1＝x 6，T 7＝C 612 26x ，T 13＝C 1212 ·212x －4.(2)n ＋6C 2n ＋36C 3n ＋…＋6n －1C nn ＝C 112 ＋6C 212 ＋36C 312 ＋…＋612－1C 1212＝16 (1＋6C 112 ＋62C 212 ＋63C 312 ＋…＋612C 1212 )－16 ＝16 ×(1＋6)12－16 ＝712－16.(3)设第k ＋1项的系数的绝对值最大， 由T k ＋1＝C k12 (－2)k·x36－5k 6，得⎩⎪⎨⎪⎧C k12 2k≥C k －112 2k －1，C k 12 2k ≥C k ＋112 2k ＋1， 即⎩⎪⎨⎪⎧2C k12 ≥C k －112 ，C k 12 ≥2C k ＋112 ，即有⎩⎪⎨⎪⎧ 26－2k ≥k ，24－2k ≤1＋k ，解得233 ≤k ≤263 ，则k ＝8，故系数的绝对值最大的项为T 9＝C 81228x －23.学科素养升级练1．解析：因为(x ＋a x)(2x －1x)5的展开式中各项系数的和为2，令x ＝1得，1＋a ＝2，所以a ＝1，故A 正确；(x ＋a x)(2x －1x)5＝(x ＋1x)(2x －1x)5，(2x －1x)5展开式的通项为C k5 (2x )5－k·(－1x)k ＝C k 5 25－k (－1)k x 5－2k(k ＝0，1，…，5).令5－2k ＝5，解得k ＝0，所以x 6的系数是32，故B 错误；令5－2k ＝－2，无整数解，令5－2k ＝0，无整数解，所以展开式中不含x －1项，故C 错误；令5－2k ＝－1，解得k ＝3，令5－2k ＝1，解得k ＝2，所以展开式中的常数项为C 35 ·22·(－1)3＋C 25 ·23·(－1)2＝40，故D 正确．故选AD.答案：AD2．解析：(1)由题意知，m ＋n ＝19，所以m ＝19－n ， 令x 2项的系数为C 2m ＋C 2n ＝C 219－n ＋C 2n ＝（19－n ）（18－n ）2 ＋n （n －1）2＝n 2－19n＋171＝(n －192 )2＋3234 .因为n ∈N *，所以当n ＝9或n ＝10时，含x 2项的系数最小，为(12 )2＋3234＝81. (2)当n ＝9，m ＝10或n ＝10，m ＝9时，x 2项的系数取最小值，此时x 7项的系数为C 710 ＋C 79 ＝C 310 ＋C 29 ＝156.。
二项式定理训练题(含答案)
二项式定理训练题一、单选题（共4题；共8分）1.若二项式的展开式中各项的系数和为243，则该展开式中含x项的系数为（）A. 1B. 5C. 10D. 202.已知二项式的展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，则的系数为（）A. 14B.C. 240D.3.若，则的值为（）A. B. C. D.4.在（x2﹣x﹣2）5的展开式中，x3的系数为（）A. ﹣40B. 160C. 120D. 200二、填空题（共13题；共15分）5.二项式的展开式中常数项为________.6.展开式中常数项为________.7.的展开式中，x3的系数为________．8.已知的展开式中各项系数和为2，则其展开式中常数项是________.9.的二项展开式中，含项的系数为________．10.若，则的展开式的第4项的系数为________.（用数字作答）11.二项式的展开式的各项系数之和为________，的系数为________．12.已知的展开式中的系数为108，则实数________.13.的展开式中，的系数是20，则________.14.展开式中的系数是15，则展开式的常数项为________，展开式中有理项的二项式系数和为________.15.在的展开式中，的系数是________.16.的展开式中的系数为________.17.在的展开式中，的系数为15，则实数________．三、解答题（共3题；共25分）18.已知展开式中各项系数和比它的二项式系数和大992，其中．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求其展开式中的有理项．19.设.（1）求；（2）求及关于的表达式.20.已知二项式的二项展开式中所有奇数项的二项式系数之和为128.（1）求的展开式中的常数项；（2）在(1＋x)＋(1＋x)2＋(1＋x)3＋(1＋x)4＋…＋(1＋x) 的展开式中，求项的系数.(结果用数字作答)答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】由令得，解得，二项式展开式的通项公式为，令，解得，故展开式中含x项的系数为.故答案为：C.【分析】令，结合展开式中各项的系数和为234列方程，求得n的值，再利用二项式展开式的通项公式，即可求得含x项的系数.2.【答案】C【解析】【解答】二项展开式的第项的通项公式为由展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5，可得：.解得：.所以令，解得：，所以的系数为故答案为：C【分析】由二项展开式的通项公式为及展开式中第2项与第3项的二项式系数之比是2︰5可得：，令展开式通项中x的指数为3，即可求得，问题得解．3.【答案】C【解析】【解答】展开式的通项为：，故，，根据对称性知：.故答案为：C.【分析】计算，根据二项式系数的对称性即可得到答案.4.【答案】C【解析】【解答】∵（x2﹣x﹣2）5＝（x+1）5（x﹣2）5，∴x3的系数为.故答案为：C.【分析】先把（x2﹣x﹣2）5变形为（x+1）5（x﹣2）5，再利用二项式定理中的通项公式求出结果.二、填空题5.【答案】60【解析】【解答】二项式的展开式的通项公式为,令，解得，所以该二项式展开式中常数项为，故答案为：60。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二项式定理的练习及答案
基础知识训练
（一）选择题
1）
A.第4项 D.2
2．(x－1)11展开式中x的偶次项系数之和是（）
A.-2048
B.-1023
C.-1024
D.1024
3）
A.4
B.5
C.6
D.7
4m等于（）
A.4或5
B.5或6
C.3或4
D.5
5．设(2x-3)4a0+a1+a2+a3的值为（）A.1 B.16 C.-15 D.15
6）
（二）填空题
7
x5y2
8
9. 的展开式中的有理项是展开式的第项
10．(2x-1)5
11
12．0.9915精确到0.01的近似值是
（三）解答题
13．求(1+x+x2)(1-x)10展开式中x4的系数
14．求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数
15．已知(1-2x)5展开式中第2项大于第1项而不小于第3，求x的取值范围
16．x的系数为21，问m、n为何值时，x2的系数最小？
17．自然数n为偶数时，求证：
189除的余数
1914；3，求展开式
20．在(x2+3x+2)5的展开式中，求x的系数
21．求(2x+1)12展开式中系数最大的项
参考解答：
1．
选（B）
2．设f(x)=(x-1)11, C）
3r=0，2，4，6时，均为有理项，故有理项的项数为4
417n=9，若n=8，
，若n=9
或m=5，综上知，m=4或m=5，故选（A）
5.C
6.C 8.4n; 9.3,9,15,21
10．(2x-1)5展开式中各项系数系数绝对值之和实为(2x+1)5展开式系数之和，故令x=1，则所
11．(1+3x+3x2+x3)10=(1+x)30,此题中的系数就是二项式系数，系数最大的项是T16
12.0.9915=(1-0.009)5
13
要得到含x4的项，必须第一个因式中的1与(1-x)9
x3与(1-x)9
x4
14
x3实为这分子中的x4 15
16．由条件得m+n=21，x2n∈N，故当n=10或11时上式有最小值，也就是m=11和n=10，或m=10和n=11时，x2的系数最小
17．原式
18.
∵k
∈Z,∴9k-1∈Z 9除余8
19
∴
n=10
设第r+1项为常数项，又
180
20
在(x+1)5展开式中，常数项为1，含x在(2+x)5展开式中，常数项为25=32，
含x
∴展开式中含x 的项为
x 的系数为240
21．设T r+1的系数最大，则T r+1的系数不小于T r 与T r+2的系数，即有
∴展开式中系数最大项为第5项，T 5
三.拓展性例题分析
例1
理项．
分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公式解决．
解：二项式的展开式的通项公式为：
通项公式为
4的倍数，
说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r的取值，得到了有理项．类
r的取值，得到共有17页
例2（1（2
数项．
分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式．
解：（1然后合并同类项：
展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到
用的乘展开式中的可得到
用乘开式中可得到
（2
说明：问题（2）中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决．这时我们还可以通过合并项转化为二项式展开的问题来解决．
例3
把它看成二项式展开．
解：
6．
6．
方法3：6每个因式各取一项相乘
5个因式中取x，一个取1
3个因式中取x1
1个因式中取x1
6．
例4求证：（1
（2
分析：二项式系数的性质实际上是组合数的性质，我们可以用二项式系数的性质来证明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值．解决这两个小题的关键是通过组合数公式将等式左边各项变化的等数固定下来，从而使用二项式系数性质
解：（1
（2
说明：本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和，再用二项式系数的性质求解．此外，有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式，但这需要逆用二项式定理才能完成，所以需仔细观察，我们可以看下面的例子：
例5
例664的倍数．
分析：64是8的平方，为了使问题向二项
来．
解：
64的倍数．
说明：利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题，而且可以用此方程求一些复杂的指数式除以一个数的余数．
例7
分析1：用二项式定理展开式．
解法1
分析2：对较繁杂的式子，先化简再用二项式定理展开．
解法2
说明：
件．对较复杂的二项式，有时先化简再展开会更简便．
例8 ）．
A．11 B．33 C．55 D．66
解：，即
．
∴应选D．
例9
分析：题中，当时，把三项式转化为
；当时，同理
然后写出通项，
解：
.
精品。