戴维宁定理和诺顿定理
戴维宁定理及诺顿定理
30 +
50V -
R0 +
U0 -
i
5
+
R
85V
-
i R
例4-5 如图所示电路，求戴维宁等效电路。 i
14
+ 14V
-
14
+ 7V
-
+ u或
-
14
+ 14V
-
+ i
14 u
+
7V
-
-
解： 列结点电压方程
(
1 14
1 14
)un1
14 14
7 14
i
R0
un1 u
+
U0
u 10.5 7i
§4.3戴维宁定理和诺 顿定理
重点 戴维宁定理和诺顿定理的内容及应用方法
§4.3 戴维宁定理和诺顿定理
一、戴维宁定理：
任何一个含有独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口网络，对外
电路来说，可以用一个独立电压源Uo和电阻Ri的串联组合来等效替代；其 中电压Uoc等于端口开路电压，电阻Ri等于端口中所有独立电源置零后端口
Ri +
U0 –
+
3 UR -
U=6I1+3I1=9I
1
I1=I6/(6+3)=(2/3) I
U =9 (2/3)I=6I
Ri = U /I=6
UR
6
3
3
9
3V
二、诺顿定理：
任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一端口，对外电路 来说，可以用一个电流源和电导的并联来等效替代；其中电流源的电流等
戴维宁定理及诺顿定理
二、诺顿定理： 任何一个含独立电源、线性电阻和线性受控源的一 端口，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联 来等效替代；其中电流源的电流等于该一端口的短路电 流，而电阻Ri等于把该一端口的全部独立电源置零后的 输入电导。 a Isc Gi b
a
A
b
可由戴维宁定理等效电路通过电源等效变换证明
例4-7 求如图所示诺顿等效电路。
20 40V +
解：
40 + 40V -
3A
20 Isc 60V +
Isc
Ri
i SC
60 40 40 3 A 20 40 20
i SC 1 A
1 Ri 8 1 1 1 20 40 20
注意：用戴维宁和诺顿定理求解时，必须画出等效电路图
30 5 R0 4.29 Ω 35
i U0 80 5.6 A R0 R 4.29 10
R0 + U0 -
i R
例4-5
14 + 14V -
如图所示电路，求戴维宁等效电路。 i
14 + 7V + 14 u 或 + 14V 14 + 7V -
i
+ u -
解： 列结点电压方程 1 1 14 7 ( )un1 i 14 14 14 14 un1 u
u 10.5 7i
R0 + U0 -
R0 7 U 0 10.5V
例4-6 已知如图，求UR 。(含受控源）
+ – 9V 3 – 6I1 + I1 + 3 UR – Ri + Uo –
+ 3 UR -
戴维宁定理和诺顿定理
+E – 已知：R1=5 、 R2=5
R3=10 、 R4=5 E=12V、RG=10 试用诺顿定理求检流计中
的电流IG。
a
IG G RG
b +–
E
有源二端网络
解: (1) 求短路电流IS
因 a、b两点短接，所以对
a 电源 E 而言，R1 和R3 并联，
I1
R2 和 R4 并联，然后再串联。
I3
I2
I4
IS R =(R1//R3) +( R2//R4 )
= 5. 8
I
+E–
b I E 12 A 2 . 07A R 5.8
I1
R3 R1 R3
I
10 10
5
2
.
07 A
1.
38
A
1 I2 I4 2 I 1 . 035 A
IS = I1 – I2 =1. 38 A– 1.035A=0. 345A
解：
+
应用戴维宁定理
6V-
UOC1=2×2+6=10V 2Ω
A 2A R 5Ω
+ 12V -
6Ω
U OC 2
R 12 R6
10V
解得：R=30Ω
+ 10V-
2Ω
A+ 10V
R02
2.7.2 诺顿定理
任何一个有源二端线性网络都可以用一个电流为
IS的理想电流源和内阻 R0 并联的电源来等效代替。
有源 二端 网络
aI
+
U –
RL
IS
b 等效电源
aI + R0 U RL – b
等效电源的电流 IS 就是有源二端网络的短路电流， 即将 a 、b两端短接后其中的电流。
高等学院最新课程第四章《戴维宁定理和诺顿定理》电子电力电气信息
外 电 路
1+ -uoc
1′
Req 1
外
+ -uoc 1′
电 路
1
No
Req
1′
证明戴维宁定理
ia
NS
+ –u
b
ia
Ri
+
N
证明
+ Uoc
–
u –
b
N
证明：用替代定理，将N网络用一独立电流源替代
a
NS
+ u –
叠加
i = NS
a
a
+u' +
–
Ri
+ u'' i –
b
b
b
电流源i为零 网络N中独立源全部置零
isc
i2
i3
iS2
R1 R1 R2
iS1
uS R3
iS2
图4－10
为求Ro，将单口内电压源用短路代替，电流源用开路 代替，得到图(b)电路，由此求得
Ro
(R1 R2 )R3 R1 R2 R3
根据所设isc的参考方向，画出诺顿等效电路[图(c)]。
例4-11求图4-11(a)所示单口的戴维宁-诺顿等效电路。
4、恢复原电路 I
I Uoc R0 0.6
=1.8A
例4-5
I
求电流 I 。
解： 1、如图断开电路；
2、求开路电压
20V
+ 12V
Uoc= -20V
+
-
Uoc=12+3
=15V
3、求R0 R0=6Ω
4、恢复原电路
戴维宁定理与诺顿定理
戴维宁定理与诺顿定理1、戴维宁定理【戴维宁定理】任意线性有源（含有独立电源）一端口电路N，对外电路而言，总可以等效为一个电压源和一个线性电阻串联的支路（戴维宁支路），其中：电压源电压等于原有源一端口电路的端口开路电压，电阻等于原有源一端口电路独立电源置零后的端口入端电阻，如图1所示。
2、诺顿定理【诺顿定理】任意线性有源（含有独立电源）一端口电路N，对外电路而言，总可以等效为一个电流源和一个线性电阻并联的支路（诺顿支路），其中：电流源的电流等于原有源一端口电路的端口短路电流，电阻等于原有源一端口电路独立电源置零后的端口入端电阻，如图4-3-2所示。
【戴维宁定理和诺顿定理的参数关系】根据戴维宁支路和诺顿支路的互换关系，不难得到在图4-3-1和4-3-2所规定的参考方向下，有。
3、戴维宁与诺顿定理的应用【戴维宁定理和诺顿定理的应用】戴维宁定理与诺顿定理常用来获得一个复杂网络的最简单等效电路，特别适用于计算某一条支路的电压或电流，或者分析某一个元件参数变动对该元件所在支路的电压或电流的影响等情况。
【应用的一般步骤】1. 把代求支路以外的电路作为有源一端口网络。
2. 考虑戴维宁等效电路时，计算该有源一端口网络的开路电压。
3. 考虑诺顿等效电路时，计算该有源一端口网络的短路电流。
4. 计算有源一端口网络的入端电阻。
5. 将戴维宁或诺顿等效电路代替原有源一端口网络，然后求解电路。
【例4-3-1】用戴维宁定理计算当图4-3-3中电阻R分别为，时，流过的电流分别是多少？解（1）计算图4-3-3中端口ab的戴维宁等效电路。
§4-3 戴维南定理和诺顿定理
§4-3 戴维南定理与诺顿定理二端网络：对外具有两个端钮的网络，又称单口网络、一端口网络。
负载R L 分别取2Ω和4Ω时，求流过该负载的电流。
当R L ＝2Ω时，AI 522.326=+=当R L ＝4Ω时，AI 75.342.326=+=戴维南定理：任何一个含有独立电源的线性电阻二端网络，对外电路来说，总可以等效为一个电压源串电阻的支路，该电压源等于原二端网络的开路电压u oc ，电阻R o 等于该网络中独立电源置零后在端口处的等效电阻。
u oc R oR o 戴维南定理的证明：端口a 、b 处的电压为u ，电流为i替代定理ii s =i+-u oc+-oc u ′叠加定理i s =i＋N 0 —N 中独立电源为零后的网络。
当网络N 中的电源作用时：oc u u ='0'=i 当电流源i s 作用时：0''''iR R i u ab −=−=i i =''叠加定理：iR u u u u oc 0'''−=+=u ocR b诺顿定理：任何一个含有独立电源的线性电阻二端网络，对外电路来说，总可以等效为一个电流源并电阻的电路，其中电流源等于原二端网络端口处的短路电流i sc ，电阻R o 等于该网络中独立电源置零后在端口处的等效电阻。
诺顿定理的证明：替代定理u s =u′叠加定理u s =u ＋网络N 中电源作用：sc i i ='(短路电流)0'=u u s 作用时：00''R u R u R u i s ab s −=−=−=uu =''所以0'''R ui i i i sc −=+=ai sc一、电路中不含受控源的情况：例4－4：求a 、b 端的戴维南及诺顿等效电路。
33解：（1）求开路电压u ocAi 5.433621=++=Vi u oc 5.176352=−+×=3Ωb（2）求R 0将独立电源置零戴维南等效电路如图17.5V3.5ΩabΩ=+×+=5.333332o Ri sc321V0=u 等效电阻R o 的求法同前a5A536321)213131(−−=++u Aui sc 552=+=（3）例4－5：问R L 取何值可获最大功率？最大功率是多少？2A5Ω5ΩL解：先求R L 左侧电路的戴维南等效电路。
戴维南定理和诺顿定理
解：
Req + Uoc -
U OC 2 PR I R ( ) R f ( R) R Req
R
dPR 0 dR
R Req
Pmax
2 U OC
4 Req
解1
第一步: 求uoc u1 10 u210
，断开所求支路。
+
20 + 15V -
20 + 5V -
5 2A u R OC + 85V _ -
R
a
N0
Req
b
Req + _uOC
i
R
b
五、应用举例
例1
试求图示线性含源二端网络的戴维南等效电路。
a 1Ω 1A 1Ω 1Ω + _ 1V 1Ω b 2Ω
解
第一步：求开路电压Uoc。
1Ω 1A 1Ω + _ 2Ω
a + Uoc
方法：叠加定理
1Ω
1V
1Ω
_ b
解
第一步：求开路电压Uoc。
1Ω 1A 1Ω + _ 2Ω
1Ω
1V
1Ω
_ b
U OC
6
V
2、电流源单独作用， 求U”oc。
U
'' OC
1 1 7 7 '' UOC 1 2 1 1 V V 1 2 6 11 6
解
第一步：求开路电压Uoc。
1Ω 1A 1Ω + _ 2Ω
a + Uoc
方法：叠加定理
1、电压源单独作用， 求U’oc。 1 ' U OC V 6 2、电流源单独作用， 求U”oc。
戴维宁定理和诺顿定理
戴维宁定理和诺顿定理戴维南定理（Thevenin’s theorem）：含独立电源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电压源和电阻串联的单口网络。
电压源的电压等于单口网络在负载开路时的电压uoc；电阻R0是单口网络内全部独立电源为零值时所得单口网络N0的等效电阻。
戴维南定理（又译为戴维宁定理）又称等效电压源定律，是由法国科学家L·C·戴维南于1883年提出的一个电学定理。
由于早在1853年，亥姆霍兹也提出过本定理，所以又称亥姆霍兹-戴维南...对于含独立源，线性电阻和线性受控源的单口网络（二端网络），都可以用一个电压源与电阻相串联的单口网络（二端网络）来等效，这个电压源的电压，就是此单口网络（二端网络）的开路电压，这个串联电阻就是从此单口网络（二端网络）两端看进去，当网络内部所有独立源均置零以后的等效电阻。
uoc 称为开路电压。
Ro称为戴维南等效电阻。
在电子电路中，当单口网络视为电源时，常称此电阻为输出电阻，常用Ro表示；当单口网络视为负载时，则称之为输入电阻，并常用Ri表示。
电压源uoc 和电阻Ro的串联单口网络，常称为戴维南等效电路。
当单口网络的端口电压和电流采用关联参考方向时，其端口电压电流关系方程可表为：U=R0i+uoc。
戴维南定理和诺顿定理是最常用的电路简化方法。
由于戴维南定理和诺顿定理都是将有源二端网络等效为电源支路，所以统称为等效电源定理或等效发电机定理。
诺顿定理(Norton’s theorem)：含独立源的线性电阻单口网络N，就端口特性而言，可以等效为一个电流源和电阻的并联。
电流源的电流等于单口网络从外部短路时的端口电流isc；电阻R0是单口网络内全部独立源为零值时所得网络N0的等效电阻。
诺顿定理与戴维南定理互为对偶的定理。
定理指出，一个含有独立电源线性二端网络N, 就其外部状态而言,可以用一个独立电流源isc 和一个松弛二端网络N0的并联组合来等效。
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工程实际中，常常碰到只需研究某一支路的电 压、电流或功率的问题。对所研究的支路来说，电 路的其余部分就成为一个有源二端网络，可等效变 换为较简单的含源支路(电压源与电阻串联或电流 源与电阻并联支路), 使分析和计算简化。戴维宁定 理和诺顿定理正是给出了等效含源支路及其计算方 法。
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例2. 求U0 。
解 (1) 求开路电压Uoc
6
+ 9V 3
–
– 6I + a +
I 3 U0
–
b
Uoc=6I+3I I=9/9=1A
Uoc=9V
Req
+ Uoc
–
a +
3 U0 -
b
(2) 求等效电阻Req 方法1：加压求流
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1. 戴维宁定理
任何一个线性含源一端口网络，对外电路来说，总可 以用一个电压源和电阻的串联组合来等效置换；此电压源
的电压等于外电路断开时端口处的开路电压uoc，而电阻等
于一端口的输入电阻（或等效电阻Req）。
i a
A
u
b
Req +
Uoc -
i a
u b
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Req 2
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二、诺顿定理
任何一个含源线性一端口电路，对外电路来说，可以 用一个电流源和电导(电阻)的并联组合来等效置换；电流 源的电流等于该一端口的短路电流，而电导(电阻)等于把 该一端口的全部独立电源置零后的输入电导(电阻)。
b = -4+6=2V
(2) 求等效电阻Req
Ia
Req=4//6+6//4=4.8 (3) Rx =1.2时，
Req +
Rx I= Uoc /(Req + Rx) =0.333A
Uoc –
Rx =5.2时，
b
I= Uoc /(Req + Rx) =0.2A
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例3. 求负载RL消耗的功率。
4I1 a
解
(1) 求开路电压Uoc
50
50
+ 100
40V
–
I1
50V +–
b
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RL 5
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4I1 a
50 + 200I1 – a
50
50
+ 100
40V
–
I1 + Uoc –
b
50 +
40V –
100
I1 + Uoc –
Req
u i
a
iSC
b
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注： (1) 外电路可以是任意的线性或非线性电路，外电路
发生改变时，含源一端口网络的等效电路不变(伏 -安特性等效)。
(2) 当一端口内部含有受控源时，控制电路与受控源 必须包含在被化简的同一部分电路中。
例1.
4 a 6
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2.定理的证明
ia
替代 A
A
+–u
N'
b
叠加
A
a
P
+u' +
–
Req
b
则 u' uoc u'' Reqi u u' u''
uoc Reqi
i Req
+ Uoc–
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a
+
ui
–
A中
b
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1 当网络内部不含有受控源时可采用电阻串并联和△－Y
互换的方法计算等效电阻；
2 外加电源法（加压求流或加流求压）。
a
P
+
u
i
Req
–
b
a
P
+
ui
Req
–
b
3 开路电压，短路电流法。
Req
uoc isc
Req
+ Uoc
–
2 3 方法更有一般性。
b
100I1 200I1 100I1 40 I1 0.1A Uoc 100I1 10V
a
50 +
50 Isc
(2) 求等效电阻Req 用开路电压、短路电流法
40V –
b
Isc 40 / 100 0.4A
Req
Uoc I sc
10 / 0.4
25
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例
10 I +
20V –
Req 5 +
Uoc 15V –
a
+ 10
+
U0C
10V ––
b
a +
b
a + 2A 1A 5 U0C
– b
(1) 求开路电压Uoc
I 20 10 0.5A 20
Uoc 0.510 10 15V
(2) 求等效电阻Req
Req 10 // 10 5
6 3
独立源置零
– 6I + I
I0 a +
U – b
U0=6I+3I=9I I=I06/(6+3)=(2/3)I0
U0 =9 (2/3)I0=6I0 Req = U0 /I0=6
方法2：开路电压、短路电流
(Uoc=9V)
6 I1 +
9V 3 –
独立源保留
– 6I + I
a
6 I1 +3I=9
Isc I=-6I/3=-2I
I=0
Isc=I1=9/6=1.5A
b Req = Uoc / Isc =9/1.5=6
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(3) 等效电路
3 U0 6 3 9 3V
Req 6
+ Uoc 9V
–
a +
3 U0 -
b
计算含受控源电路的等效电阻是用外加电源法还是开 路、短路法，要具体问题具体分析，以计算简便为好。
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a
Req 25 IL 5
IL
Uoc 25
50 5
60 30
2A
+
－
PL
5
I
ห้องสมุดไป่ตู้
2 L
54
20W
Uoc 10V –
50V ＋
S
例4.
已知开关S
b
1 A ＝2A 2 V ＝4V
线性 1 2
3+
含源 A V 1A
U
网络
－
5
求开关S打向3，电压U等于多少
解 iSc 2A Uoc 4V U (2 5)1 4 11V
Rx 6
I 4
b
10V
+
–
计算Rx分别为1.2、 5.2时的I；
解
保留Rx支路，将其余一端口 网络化为戴维宁等效电路：
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+ – U1
+ U2 –
10V +–
a (1) 求开路电压
Rx
I
Uoc = U1 + U2 = -104/(4+6)+10 6/(4+6)
独
立
a
源
+
置
u'' i 零
–
b
a
+
u
N'
– b
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3.定理的应用
(1) 开路电压Uoc 的计算
戴维宁等效电路中电压源电压等于将外电路断开时的开 路电压Uoc，电压源方向与所求开路电压方向有关。计算 Uoc的方法视电路形式选择前面学过的任意方法，使易于计 算。
（2）等效电阻的计算
等效电阻为将一端口网络内部独立电源全部置零(电压源 短路，电流源开路)后，所得无源一端口网络的输入电阻。 常用下列方法计算：