一类与正整数有关的恒等式的数列证法

一类与正整数有关的恒等式的数列证法
昆明三中 耿留忠
众所周知，对于数列}{n a ，如果01=a ，当且1≥n 时，有01=-+n n a a ，那么数列}{n a 的每一项均为零；对于数列}{n b ，如果11=b ，当且1≥n 时，有11=+n
n b b ，那么数列}{n b 的每一项均为1。

运用这种思想我们可以找到与正整数n 有关的恒等式)()(n g n f =的一种证法。

（1）如果)(n f 是由多项式之和组成的，则构造数列}{n a ，使它的通项公式为)()(n g n f a n -=，这样就只要证明对一切*N n ∈，均有0=n a 。

（2） 如果)(n f 是由多项式之积组成的，且)(n f 不为零，则构造数列}{n b ，使它的通项公式为)
()(n g n f b n =
，这样就只要证明，均有1=n b 。

例1，证明：6
)12)(1(3212
222++=++++n n n n （高中数学选修 64p 例2） 证明：构造数列}{n a ，使=n a 6
)12)(1(3212222++-++++n n n n 则，06
)112)(11(1121=+∙+-=a ， 当1≥n 时，6
)12)(1(6]1)1(2][1)1)[(1()1(21++++++++-+=-+n n n n n n n a a n n 0]2)32)(2(66[612=++++-++=n n n n n n 所以，数列}{n a 的每一项均为零，
即对任意*N n ∈，均有 6
)12)(1(3212222++=++++n n n n 。

例2，证明：)12(531!
2)!2(-∙∙∙∙=∙n n n n （其中*N n ∈） （高中数学必修第二册下（A ）142p ）
证明：本题等价于证明)12(5312)2()3)(2)(1(-∙∙∙∙∙=∙∙+++n n n n n n
构造数列}{n a ，使=
n a )12(5312)2()3)(2)(1(-∙∙∙∙⨯+++n n n n n n ， 则11
21111=∙+=a ， 当1≥n 时，1)
12(221)22)(12(11=+∙∙+++=++n n n n a a n n
n n 即数列}{n a 的每一项均为1，
所以 对任意*N n ∈，均有)12(5312)2()3)(2)(1(-∙∙∙∙∙=∙∙+++n n n n n n 即：)12(531!
2)!2(-∙∙∙∙=∙n n n n 例3，设实数0≠a ，数列}{n a 是首项为a ，公比为a -的等比数列， 记n n n a a b lg =， ,3,2,1=n ； n n b b b b s ++++= 321 （ ,3,2,1=n ） 求证：当1-≠a 时，对一切*N n ∈都有])1()1(1[)1(lg 12
n n n a na n a a
a s ++-++=+ （87年高考理科考题）
证明：构造数列}{n c ，使=n c ])1()1(1[)1(lg (12
321n n n a na n a a
a b b b b ++-++-+++++ 则=1c ])11()1(1[)1(lg 1121a a a a
a b ++-++-+])2(1[)1(lg lg 2a a a a a a a ++⨯+-=
0]11[lg =-=a a
当1≥n 时，]])1()1(1[)1(1[)1(lg 122
11++++++++-++-=-n n n n n a a n n a a
a b c c ])1()1(1[)1(lg 12n n a na n a a
a ++-++++ )]1()1(2)1[()1(lg )1(lg 22111++++++--=+++n a n a n a a
a a a n n n n 221)1(lg )1)(1()1()(lg )(a a a n a a a a a n n n n +++--
--=+ 0lg )1()1(lg )1()1(11=+--+-=++a n a a n a
n n n n
即数列}{n c 的每一项均为0，
所以 对任意*N n ∈，均有])1()1(1[)1(lg 12
n n n a na n a a
a s ++-++=+。

例4，求证：对任意*N n ∈和任意实数k
m x x 2(π≠ .,,2,1,0n k =)Z m ∈有 x x x
x x x n n 2cot cot 2sin 18sin 14sin 12sin 1-=++++ 证明：构造数列}{n a ，使
=n a )2cot (cot )2sin 18sin 14sin 12sin 1(x x x
x x x n n --++++ 则：=1a x x x 2cot cot 2sin 1+-0tan 2tan 1tan 1tan 2tan 122=-+-+=x
x x x x 当1≥n 时，x x x
a a n n n n n 2cot 2cot 2sin 1111-+=-+++ 02tan 12tan 2)2(tan 12tan 2)2(tan 1222=--++=x
x x x x n n n n 即数列}{n a 的每一项均为0，
所以 对任意*N n ∈，均有x x x
x x x n n 2cot cot 2sin 18sin 14sin 12sin 1-=++++ 。

例5，是否存在常数c b a ,,，使得等式
12
)1()1(3221222+=
+++⨯+⨯n n n n )(2c bn an ++⨯对一切*N n ∈ 都成立，并证明你的结论。

（89年高考理科考题） 解：假设存在常数c b a ,,使题设等式成立，则令3,2,1=n 等式成立。

由⎪⎪⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=++=++=++703922)24(214
)(61c b a c b a c b a ⇒ ⎪⎩⎪⎨⎧===10113c b a
这时问题变为证明12
)1()1(3221222+=+++⨯+⨯n n n n )10113(2++⨯n n 对一切*N n ∈ 都成立。

构造数列}{n a ，使=n a ]10113(12)1([
])1(3221[2222+++-+++∙+∙n n n n n n 则，0)10113(6
141=++-=a ， 当1≥n 时，]10)1(11)1(3[12)2)(1()2)(1(221++++++-
++=-+n n n n n n a a n n )10113(12
)1(2++++n n n n ]10113)2)(2111()1)(2(3)2(12[12
12322n n n n n n n n n +++++-++-++= 0=
即数列}{n a 的每一项均为零，
所以 对一切*N n ∈，均有12
)1()1(3221222+=+++⨯+⨯n n n n )10113(2++⨯n n 成立； 所以存在常数10,11
,3===c b a 使得等式12
)1()1(3221222+=+++⨯+⨯n n n n )(2c bn an ++⨯对一切*N n ∈ 都成立。

从以上几例可以看出：虽然它们都可以用数学归纳法加以证明，但只要我们仔细观察，认真研究，就能将看似不相关的知识建立起联系。

换一下视角，能使人的视野豁然开朗，使问题的解决简便快捷。

以下各题均可用构造数列的方法求解，不妨一试：
（1）证明：()()
14311253122222-=-++++n n n （2）证明：()1!1!!33!22!1-+=∙++∙+∙+n n n
（3）已知数列{}n a 中，()παα<<=0cos n a n ，证明：
2
sin 21cos 2sin
321ααα+=
++++n n a a a a n （4）证明：()()()()()[]
()()34112221254433221222222++-=+--++∙-∙+∙-∙n n n n n n n （5）证明：n
n n 211116119114112+=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛
- （以上各题中的*∈N n ）。