2017届高三数学(文)一轮复习课件：8-2 两条直线的位置关系、距离公式

则
－k－5 －5k－15 ＋ ＝－2，解得k＝－3。 k＋4 5k－3
因此直线l的方程为y－2＝－3(x＋1)， 即3x＋y＋1＝0。
微考点
距离公式的应用
【典例3】已知A(4，－3)，B(2，－1)和直线l：4x＋3y－2＝0，在坐标平面 内求一点P，使|PA|＝|PB|，且点P到直线l的距离为2。
aa－1－1×2＝0， ∴l1∥l2⇔ 2 aa －1－1×6≠0， a2－a－2＝0， ⇔ 2 解得a＝－1， a a － 1 ≠ 6 ，
故当a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行。
(2)l1⊥l2时，求a的值。
解析：(2)方法一：当a＝1时，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0， l1与l2不垂直，故a＝1不成立； 当a＝0时，l1：y＝－3，l2：x－y－1＝0，l1不垂直于l2； 当a≠1且a≠0时， a 1 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1 －a
x－y＝0， 解析：由 得l1与l2的交点坐标为(1,1)。所以m＋3＋5＝0，m 2 x － 3 y ＋ 1 ＝ 0
＝－8。 答案：D
微考点
大课堂
考点例析 对点微练
微考点
两条直线的平行与垂直
【典例1】已知直线l1：ax＋2y＋6＝0和直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0。 (1)试判断l1与l2是否平行；
【微练1】已知过点A(－2，m)和点B(m,4)的直线为l1，直线2x＋y－1＝0为 l2，直线x＋ny＋1＝0为l3。若l1∥l2，l2⊥l3，则实数m＋n的值为( A．－10 C．0 B．－2 D．8 )
4－m 解析：∵l1∥l2，∴kAB＝ ＝－2。 m＋2 解得m＝－8。 1 又∵l2⊥l3，∴－ ×(－2)＝－1， n 解得n＝－2，∴m＋n＝－10。 答案：A
方法二：由于l⊥l3，故l是直线系5x＋3y＋C＝0中的一条，而l过l1、l2的交 点(－1,2)， 故5×(－1)＋3×2＋C＝0，由此求出C＝－1， 故l的方程为5x＋3y－1＝0。 方法三：由于l过l1、l2的交点，故l是直线系3x＋2y－1＋λ(5x＋2y＋1)＝0中 的一条， 将其整理，得(3＋5λ)x＋(2＋2λ)y＋(－1＋λ)＝0。 其斜率－ 3 ＋5 λ 5 1 ＝－ ，解得λ＝ ， 3 5 2 ＋2 λ
代入直线系方程即得l的方程为5x＋3y－1＝0。
[规律方法] 常用的直线系方程 (1)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程是Ax＋By＋m＝0 m≠C)； (2)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程是Bx－Ay＋m＝0 (m∈R)； (3)过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程为 A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0 (λ∈R)，但不包括l2。 (m∈R且
)
y′－b×－1＝－1， x′－a 解析：设对称点为(x′，y′)，则 x′＋a＋y′＋b＋1＝0 2 2
b－1，y′＝－a－1。 答案：B
解得x′＝－
5．l1：x－y＝0与l2：2x－3y＋1＝0的交点在直线mx＋3y＋5＝0上，则m的 值为( A．3 ) B．5 C．－5 D．－8
【微练2】已知直线l被两条直线l1：4x＋y＋3＝0和l2：3x－5y－5＝0截得 3x＋y＋1＝ 0 的线段的中点为P(－1,2)，则直线l的一般式方程为__________ 。
解析：方法一：设直线l与l1的交点为A(x0，y0)，由已知条件，得直线l与l2 的交点为 B(－2－x0,4－y0)，
m＋1 ∴1× ＝－1，即m＝－6。 5 答案：B
3．点(0，－1)到直线x＋2y＝3的距离为( A. 5 5 B. 5 C．5 1 D. 5
)
解析：d＝ 答案：B
|0＋2×－1－3| ＝ 5。 5
4．点(a，b)关于直线x＋y＋1＝0的对称点是( A．(－a－1，－b－1) C．(－a，－b) B．(－b－1，－a－1) D．(－b，－a)
微考点
两条直线的交点问题
【典例2】求经过直线l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交点，且垂 直于直线l3：3x－5y＋6＝0的直线l的方程。
3x＋2y－1＝0Байду номын сангаас 解析：方法一：先解方程组 5x＋2y＋1＝0，
得l1、l2的交点坐标为(－1,2)， 3 5 再由l3的斜率 求出l的斜率为－ ， 5 3 5 则直线l的方程为y－2＝－ (x＋1)， 3 即5x＋3y－1＝0。
与Ax＋By＋C＝0垂直的直线可设为Bx－Ay＋n＝0。
微知识❷ 两直线相交 (1)交点：直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的公共点的
A1x＋B1y＋C1＝0， 坐标与方程组 的解一一对应。 A2x＋B2y＋C2＝0
唯一解 ，交点坐标就是方程组的解。 (2)相交⇔方程组有_______ 无解 。 (3)平行⇔方程组_______ 无数个解 (4)重合⇔方程组有_____________ 。
解析：设点P的坐标为(a，b)。 ∵A(4，－3)，B(2，－1)， ∴线段AB的中点M的坐标为(3，－2)。 －3 ＋ 1 而AB的斜率kAB＝ ＝－1， 4－2 ∴线段AB的垂直平分线方程为y＋2＝x－3， 即x－y－5＝0。
∵点P(a，b)在线段AB的垂直平分线上， ∴a－b－5＝0。① 又点P(a，b)到直线l：4x＋3y－2＝0的距离为2， |4a＋3b－2| ∴ ＝2，即4a＋3b－2＝± 10。② 5
4x0＋y0＋3＝0， 并且满足 3－2－x0－54－y0－5＝0， 4x0＋y0＋3＝0， x0＝－2， 即 解得 3 x － 5 y ＋ 31 ＝ 0 ， 0 y0＝5， 0
因此直线l的方程为 即3x＋y＋1＝0。
y－2 x － －1 ＝ ， 5－2 －2－－1
a 1 2 由－2· ＝－1解得a＝ 。 3 1－a
2 方法二：由A1A2＋B1B2＝0得a＋2(a－1)＝0解得a＝ 。 3
[规律方法] 两条直线平行与垂直的解题策略 (1)当直线的方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况， 也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这 一隐含条件。 (2)在判断两直线的平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系 得出结论。
解析：(1)设点P(x，y)，由题意知 2 |x－y| x－1 ＋y ＝|x＋1|，且 ＝ ， 2 2
2 2
y2＝4x， y2＝4x， 所以 即 ① |x－y|＝1， x－y＝1， y2＝4x， 或 ② x－y＝－1， x＝3－2 2， x＝3＋2 2， 解①得 或 y＝2－2 2 y＝2＋2 2， x＝1， 解②得 y＝2，
微知识❸ 三种距离公式 (1)点A(x1，y1)、B(x2，y2)间的距离为
2 2 x － x ＋ y － y 2 1 2 1 |AB|＝_____________________。
(2)点P(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离为 d＝______________。 (3)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0与l2：Ax＋By＋C2＝0(C1≠C2)间的
平行 。 l2_______
与Ax＋By＋C＝0平行的直线，可设为Ax＋By＋m＝0(m≠C)。 (2)两条直线垂直：如果两条直线l1、l2斜率存在，设为k1、k2，则l1⊥
k1· k2＝－1 l2⇔______________ ，当一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在时， 垂直 。 两直线_______
方法二：设直线l的方程为y－2＝k(x＋1)， 即kx－y＋k＋2＝0。
kx－y＋k＋2＝0， －k－5 由 得x ＝ 。 k ＋ 4 4 x ＋ y ＋ 3 ＝ 0 ， kx－y＋k＋2＝0， －5k－15 由 得x ＝ 。 5 k － 3 3 x － 5 y － 5 ＝ 0 ，
|C2－C1| 2 2 A ＋ B 距离为d＝______________。 |Ax0＋By0＋C| A2＋B2
微知识❹ 对称问题
(2a－x0,2b－y0) (1)点P(x0，y0)关于A(a，b)的对称点为P′________________ 。
(2)设点P(x0，y0)关于直线y＝kx＋b的对称点为P′(x′，y′)，则有
a＝27， 7 a＝1， 由①②联立可得 或 b＝－4 b＝－8。 7
27 8 ，－ ∴所求点P的坐标为(1，－4)或 7 7。
[规律方法] (1)点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求，注意直线方 程为一般式。 (2)动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转 化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便。
解析：(1)方法一：当a＝1时， l1：x＋2y＋6＝0， l2：x＝0，l1不平行于l2； 当a＝0时，l1：y＝－3， l2：x－y－1＝0，l1不平行于l2； 当a≠1且a≠0时，两直线可化为 a 1 l1：y＝－ x－3，l2：y＝ x－(a＋1)， 2 1 －a
a 1 －2＝1－a， l1∥l2⇔ 解得a＝－1， －3≠－a＋1， 综上可知，a＝－1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行。 方法二：由A1B2－A2B1＝0，得a(a－1)－1×2＝0，由A1C2－A2C1≠0，得 a(a2－1)－1×6≠0，
y′－y0· x′－x0 k＝－1， x′＋x0 y′＋y0＝k· ＋b， 2 2
可求出x′，y′。
二、小题查验 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)若两直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交。(× )
解析：错误。当方程组有唯一解时两条直线相交，若方程组有无穷 多个解，则两条直线重合。
【微练3】(1)点P到点A′(1,0)和直线x＝－1的距离相等，且P到直线y＝x 的距离等于 A．1个 2 ，这样的点P共有( C ) 2 B．2个 C．3个 D ．4 个