第三章不可压无粘流详解
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第三章 流体的运动
x x
P1
s1
t+t
v1
y
v1 S 1 t = v2 S 2 t = V
y 得：
h1
t
s2
h2
v2 P2
A = （ P 1 - P 2） V
对于稳定流动来 说，由于在 x y 之间的 P1 流体的动能和重力势能 保持不变，所以机械能
x x
v1
s1
t+t
y
y
的增量仅由 x x 和 两段流体决定。
x x
P1
s1
t+t
v1
y
y
h1
t
s2
A = E 2 - E1
h2
v2 P2
1 2 1 2 （P1 P2 ） V V ( v 2 gh2 ) ( v1 gh1 ) 2 2
即：
1 1 2 2 P v1 gh1 P2 v 2 gh2 1 2 2
三
S2
连续性方程
1 v 1 S 1 t = 2 v 2 S 2 t
V2
S1
V1
2
1
1 v 1 S 1 = 2 v 2 S 2 即： v S = 常量 流体作稳定流动时，单位时间内流过同
一流管中任一截面的流体质量相等。
对于不可压缩的流体，由于它的密度不变 1v1S1= 2v2S2 即 : 1= 2 v 1S 1 = v 2S 2 说 明： (1)定义: 流量 Q = Sv (2)S与v 成反比。 (3)v 取截面S上流速的平均值。 (4)连续性方程的实质：流体在流动中质量守恒。 不可压缩流体的连续性方程
层与层之间的阻 力称为内摩擦力或粘 滞力。 ƒ = dv S dx
第三章 流体力学
1、理想流体：
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
完全不可压缩的无粘滞流体称为理想流体。
液体不易被压缩，而气体的可压缩性大。但当气体可自由流 动时，微小的压强差即可使气体快速流动，从而使气体各部 分的密度差可以忽略不计。
流体内各部分间实际存在着内摩擦力，它阻碍着流体各部分 间的相对运动，称为粘滞性。但对于很“稀”的流体，可近 似看作是无粘滞的。
4l
dQ=vdS
流量
R
Q R4 ( P1 P2 )
8l
泊肃叶定律推导（略）
流速分布： r
r
v P1 P2 ( R2 r 2 )
4l
各流层流速沿径向呈抛 物线分布
v 管轴中心处，流速最大
vmax
P1 P2
4l
R2
管壁处，流速最小 vmin 0
v
平均速度 v P1 P2 R2
由伯努利方程：
p0
gh
p0
1 2
v2
由上式求得：
v 2 gh
p0
A h
B p0 v
习例题题5-1：1 直径为0.10m，高为0.20m的圆筒形容器底部有1cm2的小 孔。水流入容器内的流量为1.4×10-4m3/s 。求：容器内水面能
上升多高？
D
由伯努利方程： v 2 gh
h 当水面升至最高时： QV v S S 2 ghm
若1 < 2 ， 小球(气泡)上浮
1 2
V
v
2 1
gh2V
gh1V
即：
p1
1 2
v
2 1
gh1
流体力学-06 不可压缩无粘流动流体力学总结
不可压缩无粘流动的流体动力学6 不可压缩无粘流动的流体动力学6无粘流动的应力场1 无粘流动的应力场6 1-1, z方向上微元质量应用牛顿第二定律,微元质量应用牛顿第二定律方程两边同除以dxdydz是微小量y方向的牛顿第二定律可以得出对运动的无粘流体而言，点的正应力各向对运动的无粘流体而言一点的正应力各向相同（即是一个标量），无粘流体中正应力等于热力学压强的负值，即等于热力学压强的负值无摩流动动方程欧方程无摩擦流动的动量方程：欧拉方程2 无摩擦流动的动量方程：欧拉方程6-2N S方程N-S方程在无摩擦流动中不存在剪应力，正应力是热力学压强的负值如果重力是唯一的质量力如果z坐标是垂直方向欧拉方程对于重力是唯的质量力的情况，柱对于重力是唯一的质量力的情况，柱坐标形式的分量方程如下：z轴是垂直向上的，因此，g r gθ，g z g=g=-做刚体运动的流体的欧拉方程3 做刚体运动的流体的欧拉方程6-3流体被加速而在相邻流体层之间没有相对运动，即，流体做没有变形的运动时，就不会产生剪应力。
运用合适的自由体动方程我们确定流体内体运动方程，我们可以确定流体内压强的变化。
的变化直线加速运动的流体绕着垂直轴线做稳定旋转运动的流体欧拉方程可以解决非惯性坐标系中做刚体运动的流体内压强分布的问题，可以得到相同的结果。
流线坐标中的欧拉方程6-44 流线坐标中的欧拉方程流线？定常流动中，流体质点的运动轨迹？流线坐标定常流动中，沿着流线：定常流动中，沿着流线的位移是用于描述运动方程较好的坐标坐标。
在非定常流动中，流线可以给出瞬在非定常流动中流线可以给出瞬时速度场的图形表示时速度场的图形表示。
运动方程可以写成沿着流线的位移坐标sn以及流线的法向位移坐标的表达式在流动方向上（即s方向）对体积为dsdndx的微元流体应用牛顿第二定律，并忽略粘性力β是流线的切线和水平方向的夹角αs 是流体质点沿着流线方向的加速度在流动方向上流体质点的随体加速度在具有垂直方向的z轴坐标系中沿着流线方向标系中，沿着流线方向对于定常流动，忽略质量力时，在流动方向上的欧拉方程速度的减小伴随着压强的增加，成反比关系。
《不可压无粘流》课件
基本假设
不可压条件
不可压条件指的是流体在运动中体积保持不变，即密度恒定。
无粘条件
无粘条件是假设流体不存在黏性，没有内部摩擦和粘滞性。
基本方程
质量守恒方程
质量守恒方程描述了流体在运 动过程中质量的守恒。
动量守恒方程
动量守恒方程描述了流体在运 动过程中动量的守恒。
能量守恒方程
能量守恒方程描述了流体在运 动过程中能量的守恒。
不可压无粘流模型忽略了
进不可压无粘流模型，增
适用于许多实际应用。
流体的粘性，可能导致结
加粘性相互作用和更准确
果的一定误差。
的逼近方法。
求解。
后续研究
粘性影响
后续研究可以考虑引入流体的粘性影响，以更准确地描述实际流体运动。
不可压性的逼近方法
研究如何逼近不可压无粘流问题，以在简化计算复杂度的同时保持准确性。
总结
1 不可压无粘流的优点 2 不可压无粘流的局限 3 未来研究方向
性
不可压无粘流模型可以简
未来的研究可以集中在改
化问题，减少计算复杂度，
边界条件
气动力学边界条件
气动力学边界条件指的是流体在与固体壁面接触时 的速度、压力和温度的变化。
热边界条件
热边界条件描述了流体在受热或放热过程中的热传 递性质。
数值解法
1
貌似法
貌似法是一种经验性的数值方法，通可压无粘流问题。
有限体积法是一种基于离散化的数值方 法，将流域划分为有限个控制体积进行
《不可压无粘流》PPT课件
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简介
第三章一元流体动力学基础
2
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
d (gz p 1 u 2 ) 0
2
积分后得 gz p 1 u 2 常数
2
考虑到重度γ=ρg，将上式两端除以重力加速度g，得： z p u 2 常数 （3）
2 . 通过某一空间点在给定瞬间只能有一条流线，一般情况流 线不能相交和分支。否则在同一空间点上流体质点将同时 有几个不同的流动方向。只有在流场中速度为零或无穷大 的那些点，流线可以相交，这是因为，在这些点上不会出 现在同一点上存在不同流动方向的问题。速度为零的点称 驻点，速度为无穷大的点称为奇点。
)
再看右端三式相加： 由于是在重力场中，故流体
dx
u x t
u x x
ux
u x y
uy
u x z
uz
X
1
p x
的质量力只是重力，则 X=0， Y＝0， Z＝－g。
dy
u y t
u y x
ux
u y y
uy
u y z
uz
Y
1
p y
所以: Xdx+Ydy＋Zdz=-gdz
dz
u z t
u z x
非定常流动(unsteady flow) :流动物理参数随时间而变化
如：p f (x, y, z,t),u f (x, y, z,t)
定常流动
非定常流动
有旋流动(rotational flow)：流体在流动中，流场中有若干处 流体微团具有绕通过其自身轴线的旋转运动
无旋流动(irrotational flow)：在整个流场中各处的流体微团 均不绕自身轴线的旋转运动
欧拉法与拉格朗日法区别：
欧拉法：以固定空间为研究对象，了解质点在某一位置时 的流动状况
拉格朗日法：以质点为研究对象，研究某一时刻质点全 部流动过程
第三章 流体的运动(幻)
二、 稳定流动
研究流体运动通常有两种方法： 拉格朗日法——以流体的各个质元为 研究对象，根据牛顿定律研究每个质 元的运动状态随时间的变化。
5
欧拉法——研究各个时刻在流体流经过 的空间每一个点上流体质元的运动速度 的分布。
1、 稳定流动
流体在流动过程中的任一时刻，流体所占 据的空间中的每一个点都具有一定的流速， 其函数表达式为υ（x，y，z，t）。
Sυ是单位时间内通过任一截面S的
流体体积，常称为体积流量。
所以上式又称体积流量守恒定律。
13
对于不可压缩的流体来说，不仅质 量流量守恒，体积流量也是守恒的。 体积流量又可简称为流量，用Q来表示 Q=Sυ Q —— 指单位时间内通过流管中任一截 面的流体体积，其单位为（m3·-1）。 s
四、血流速度分布
1 1 2 2 p1 1 gh P2 2 2 2
则液体从小孔处流出的速度 为：
2 2 gh
与其从高度为h处自由下落时的速度 相等。上式就称为“托里折利公式”。
33
第三节 粘性流体的流动 一、 层流和湍流
粘性——实际流体在流动过程中总 是具有内摩擦力，表现出粘滞性， 简称粘性。因而它在流动过程中需 要克服内摩擦力作功而消耗能量。 粘性流体在运动时主要具有层流、湍 流和过渡流动三种运动形态。
2 gh
30
3、体位对血压的影响
若流体在等截面管中流动，若 其流速不变，由 伯努利方程得
P gh1 P2 gh2 1
P +ρgh = 常量
结论：高处的压强较小，而低处的 压强则较大。
31
压强与高度间的关系，可用来解释体 位因素对血压的影响。
32
流体力学C2 不可压缩无粘性流体平面势流
流体微团加速度 = 微团上单位质量的质量力+表面力 v [ (v )v ] f p 矢量式 t
葛罗米柯方程
纳维-斯托克斯(N-S)方程：可写成葛罗米柯方程： 2
v v [ ( ) (v ) v ] f p t 2 u V 2 1 p ( ) 2( y w z v) f x t x 22 x v V 1 p ( ) 2(z u x w) f y t y 2 2 y w V 1 p ( ) 2(x v y u) f z t z 2 z
流函数的物理意义
流线是流体不可能穿越线，也不能穿越固体表面， 故固 体 表面 也 可看 作 是流 线 。通 常 是以 零 流线 （ψ =0）的流线代表物体表面。 流函数的值线又代表流量。 流过PQ连线的流量: dψ =ψ 2-ψ 1 Q y 流出QR边的流量:udy V u 流出PR边的流量:vdx dψ = udy - vdx v dy P dx R 两流线中间任何一个截面上流过的 流量都是相等的。 x o 流线与流线一般是不相交的。 ψ1 ψ2 (流速为0或无限大处流线可分叉) ψ3
无旋流动:速度的旋度为0. 旋转角速度为0:Ω x=∂w/dy-∂v/dz=0,Ω y=0,Ω z=0 无旋流动存在一速度势函数(速度势)Φ (x,y,z,t), 其梯度为流场速度： V=▽Φ 全微分形式： dΦ =udx+vdy+wdz 可得：u=∂Φ /dx，v=∂Φ /dy，w=∂Φ /dz。 对不可压缩理想流体的无旋流动，由基本方程导得 的速度势函数方程形式比较简单，可利用数学对一 些物体的绕流问题进行求解。
o
流线
例C2.2
【例】已知二维定常不可压流动的速度分布为u=ax，v=-ay， a为常数。流线方程及势函数ф 。 解：由流线的微分方程dx/u = dy/v，得： dx/x = -dy/y 积分得流线方程： xy=C 流线是等边双曲线族，以x，y轴为其渐近线。 由u=∂ф /∂x=ax， v=∂ф /∂y= -ay 分别对x,y进行积分,得:ф =ax2/2+f1(y), ф =ay2/2+f2(x) 由无旋:∂v/∂x - ∂u/∂y= 0-0=0 可知流场存在速度势函数ф ,有:f1(y)=ay2/2,f2(x)= ax2/2 则速度势函数ф 为: ф =1/2 a(x2-y2） 等势线族为：a(x2-y2）= C 等势线也是等边双曲线族,以x=y和x=-y两直线为其渐近线。
第三章不可压无粘流
返回§3.3
§3.4 基本解的叠加
•3.4.1 直匀流加点源
•3.4.2 直匀流加偶极子
•3.4.3 直匀流加偶极子加点涡
返回第三章目录
3.4.1 直匀流加点源
空气动力学
第三章 不可压无粘流
1 v x
1 v y
| | | | |
Q 2 2 x, y v x lnx y 4 Q x, y v y arctany x 2
Q x vx 2 2 2 x y Q y vy 2 2 2 x y
3.3.3 点涡
空气动力学
第三章 不可压无粘流
点涡是涡管的一种极限情况，假设涡 核小到趋于零，这时整个平面流场上除了 涡所在的那一点之外，全是无旋流。 对于点涡流场，流体绕点涡作圆周运 动，只有周向速度，其值与距离点涡的距 离成反比。
v v
x y
dx v y dy v z dz 、 、 dy v z dz v x dx
1 2 dx d (v x ) t 2 vy 1 2 dy d (v y ) t 2 vz 1 2 dz d (v z ) t 2
返回§3.1
•无旋流中的积分 •有旋流中的积分
返回第三章目录
空气动力学
第三章 不可压无粘流
Euler方程变换
Du p f x Dt x
u u u u 1 p u v w fx t x y z x
*
v w (*)式左边加上： v 、 w x x
• 定常不可压无旋流的位函 2 2 2 2 2 0 2 数满足拉普拉斯方程 x y z • 定常不可压平面无旋流的 流函数满足拉普拉斯方程
流体力学不可压缩无粘流动流体力学
不可压缩无粘流动的流体动力学6 不可压缩无粘流动的流体动力学6无粘流动的应力场1 无粘流动的应力场6 1-1, z方向上微元质量应用牛顿第二定律,微元质量应用牛顿第二定律方程两边同除以dxdydz是微小量y方向的牛顿第二定律可以得出对运动的无粘流体而言，点的正应力各向对运动的无粘流体而言一点的正应力各向相同（即是一个标量），无粘流体中正应力等于热力学压强的负值，即等于热力学压强的负值无摩流动动方程欧方程无摩擦流动的动量方程：欧拉方程2 无摩擦流动的动量方程：欧拉方程6-2N S方程N-S方程在无摩擦流动中不存在剪应力，正应力是热力学压强的负值如果重力是唯一的质量力如果z坐标是垂直方向欧拉方程对于重力是唯的质量力的情况，柱对于重力是唯一的质量力的情况，柱坐标形式的分量方程如下：z轴是垂直向上的，因此，g r gθ，g z g=g=-做刚体运动的流体的欧拉方程3 做刚体运动的流体的欧拉方程6-3流体被加速而在相邻流体层之间没有相对运动，即，流体做没有变形的运动时，就不会产生剪应力。
运用合适的自由体动方程我们确定流体内体运动方程，我们可以确定流体内压强的变化。
的变化直线加速运动的流体绕着垂直轴线做稳定旋转运动的流体欧拉方程可以解决非惯性坐标系中做刚体运动的流体内压强分布的问题，可以得到相同的结果。
流线坐标中的欧拉方程6-44 流线坐标中的欧拉方程流线？定常流动中，流体质点的运动轨迹？流线坐标定常流动中，沿着流线：定常流动中，沿着流线的位移是用于描述运动方程较好的坐标坐标。
在非定常流动中，流线可以给出瞬在非定常流动中流线可以给出瞬时速度场的图形表示时速度场的图形表示。
运动方程可以写成沿着流线的位移坐标sn以及流线的法向位移坐标的表达式在流动方向上（即s方向）对体积为dsdndx的微元流体应用牛顿第二定律，并忽略粘性力β是流线的切线和水平方向的夹角αs 是流体质点沿着流线方向的加速度在流动方向上流体质点的随体加速度在具有垂直方向的z轴坐标系中沿着流线方向标系中，沿着流线方向对于定常流动，忽略质量力时，在流动方向上的欧拉方程速度的减小伴随着压强的增加，成反比关系。
流体力学C2 不可压缩无粘性流体平面势流
流函数的物理意义
流线是流体不可能穿越线，也不能穿越固体表面， 故固 体 表面 也 可看 作 是流 线 。通 常 是以 零 流线 （ψ =0）的流线代表物体表面。 流函数的值线又代表流量。 流过PQ连线的流量: dψ =ψ 2-ψ 1 Q y 流出QR边的流量:udy V u 流出PR边的流量:vdx dψ = udy - vdx v dy P dx R 两流线中间任何一个截面上流过的 流量都是相等的。 x o 流线与流线一般是不相交的。 ψ1 ψ2 (流速为0或无限大处流线可分叉) ψ3
定常不可压理想流体无旋流动速度势函数
不可压缩流场中速度场的散度为0,满足连续方程为： ∂u/∂x+ ∂v/∂y+ ∂w/∂z = 0 速度势Ф （或速度位） ： V = ▽Ф 其全微分形式：dФ = udx + vdy + wdz 其中： u = ∂Ф /∂x， v = ∂Ф /∂y， w = ∂Ф /∂z 定常不可压理想流体无旋流动应的满足基本方程： ∂2Ф /∂x2+ ∂2Ф /∂y2+ ∂2Ф /∂z2 = 0 令拉普拉斯算子▽2 = ∂2/∂x2+ ∂2/∂y2+ ∂2/∂z2 即不可压缩无旋流动的速度势满足拉普拉斯方程： △Ф = 0 或 ▽2Ф = 0
C2.3.2 流函数
1.流函数的引入
不可压缩流场中速度场的散度为0： u v u (v) ▽· = 0 V 0 0 x y 平面不可压定常流连续方程为：x y 为函数Ψ (流函数)的偏导数: u ,v
x
y 2 2 ( ) ( ) 0 则 x y y x xy yx d dx dy vdx udy x y 流函数: 1 d dr d r r 1 柱坐标： Vr , V r r 与速度关系为:
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7
§3.1 伯努利方程及应用
• 例3-1 用文德利管测流量 文德利管是一段有细腰的管 子，如左图。管截面积由大 变小，又由小变大，都是渐 变的。文德利管的最大截面 面积 A1 和最小截面面积 A2 都是已知的。 把这样的一段管子插接在一条 有低速流体流动的管道里（串 连），如果测得两截面上的流 体静压差(P1-P2)，我们就能用 连续方程和伯努利方程把管道 中的流量算出来。
§ 3.4 基本解叠加（教材3.2与58页3.3）
§ 3.5 库塔－儒可夫斯基升力定理（教材3.3） § 3.6 边界层理论基础（教材4.1） § 3.7 关于真实流动介绍
3
§3.1 伯努利方程及应用
1、无旋流中欧拉方程的积分（拉格朗日积分）
2、有旋流ห้องสมุดไป่ตู้欧拉方程的积分（伯努利积分）
4
§3.1 伯努利方程及应用
6
p V U C 2
2
或
1 2 p V U C 2
§3.1 伯努利方程及应用
在空气的绕流问题中，重力可以略去，上式变为：
1 2 p0 p V 2 譬如远前方有一股平行的直匀 在这里可以将总压 p
理解为驻点压强.
0
P∞ v∞
A
流流过一个上下对称的物体， 如左图。这时气流分成两路绕 物体上下两边流去。现考察中 间分界流线上的流动情况：在 该流线上流体微团的速度越接 近物面越减小，压强则逐渐增 大，一直到驻点A处为止，在 该点处速度已降为零，压强就 达到了最大值即 p0，因此 p0 是 驻点的压强.
上式为定常理想不可压缩有旋流动沿流线成立的伯努利方程。 此外，彻体力有势。 显然上式中的常数 C 只有沿流线才取同一数值。
V2 p U C 2
13
§ 3.2 流动控制方程
在第二章中，我们详细地推导了流体运动的三大基本 方程：连续方程、动量方程、能量方程。
本节将讨论这些基本方程的解法。对于实际流动问题 ，由于它们所满足的基本方程很复杂，而且确定流动 的边界状态也是千变万化的，因此要对一般实际流动 问题求解基本方程是非常困难甚至是不可能的。
A1
v1
p1 p2
A2
v2
△h
pl
8
§3.1 伯努利方程及应用
•对于文德利管，利用连续方程和伯努利方程就可以计算出 管道中的流量。 假设文德利管是水平放置的，则管道中的流体流动不受重力 影响。由理想不可压缩定常流的伯努利方程，有
1 2 1 2 p1 v1 p2 v2 2 2 V dS 0 A1v1 A2v2 0
11
§3.1 伯努利方程及应用
2、有旋流中欧拉方程的积分（伯努利积分） 有旋流动中欧拉方程可沿流线进行积分. 利用流线微分方程, u dx v dy w dz ; ; v dy w dz u dx 将Euler方程的三个分量方程分别乘以dx，dy，dz，有，
U 1 dx x U 1 dy y U 1 dz z
对于不可压定常流， ，而任意函数 0 t
此时，上式简化为，
V U f (t ) 2 t p
2
f (t ) 为一常数 C。
这就是理想不可压定常无旋流的伯努利方程
式中三项分别表示单位质量流体所具有的动能、压力能和位能 ，这三种能量总称机械能。它们三者之间可以互相转化，但总 和是不变的。
第三章 不可压缩流动
第三章
• 本章的知识点：
不可压缩流动
本章的重点：
伯努利方程 叠加原理 升力定理 附面层 层流 紊流
伯努利方程及其应用 基本解叠加 库塔-儒科夫斯基升力定理。
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第三章
不可压缩流动
§ 3.1 伯努利方程及应用（教材37页2.5）
§ 3.2 流动控制方程（教材49页3.1） § 3.3 方程的基本解（教材52页3.2）
v流过一翼型，如图所示 v 100m / s
vA 0, vB 150m / s, vC 50m / s 空气在海平面上的密度， 1.225kg / m3
求， A， B， C，三点的压强。 解： 直匀流说明流动无旋。 低速的情况下，空气近 似不可压缩流体。 根据理想不可压定常 无旋流的伯努利方程 ，有
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p u dx dx dx V u x t p v dy dy dy V v y t p w dz dz dz V w z t
（ 1）
§3.1 伯努利方程及应用
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B A C
§3.1 伯努利方程及应用
总压为，
对A， B， C，三点，利用理想不可压定常无旋流的伯努利方 程，有
1 2 1 2 2 p0 p v 101200 1.225 100 107325 N / m 2 2 1 2 1 2 p A vA p0 p A p0 vA p0 107325 N / m 2 2 2 1 2 1 2 pB vB p0 pB p0 vB 93825 N / m 2 2 2 1 2 1 2 pC vC p0 pC p0 vC 105794 N / m 2 2 2
S
A1
v1 p1 p2
A2
v2
A2 v1 v2 A1
2 2 v2 2 p1 p2 1 A A 2 1 Q A2v2
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pl
§3.1 伯努利方程及应用
例：在海平面上，有低速直匀流 。 p 101200 N / m2
已知 A， B， C，三点的速度分别为，
1、无旋流中欧拉方程的积分（拉格朗日积分） Euler方程:
0
无粘流的动量方程，称为Euler方程:
DV p f Dt
Du p fx Dt x Dv p fy Dt y Dw p fz Dt z
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§3.1 伯努利方程及应用