高中物理八大解题方法之五：极值法
(完整word版)高中物理八大解题方法之五：极值法
- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法.一、 二次函数求极值二次函数a ac b a b x a c bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a 〉0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起）动能损失最大.设第一个物体的质量为1m ,速度为1V .第二个物体的质量为2m ,速度为2V .碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' (2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =（)22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m (3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1)得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4)代入（3）得：- 2 - E k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+］ 二次函数求极值， 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ (5) 时∆E k 有极大值.回到物理问题,将（5)代入(4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明，m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
高考物理中数学方法
处理物理问题的数学方法一、极值法1、 利用二次函数求极值：y ＝ax 2＋bx ＋c ＝a (x 2＋b a x ＋b 24a 2)＋c －b 24a ＝a (x ＋b 2a )2＋4ac －b 24a(其中a 、b 、c 为实常数)，当x ＝－b2a 时，有极值y m ＝4ac －b 24a (若二次项系数a >0，y 有极小值；若a <0，y 有极大值)．2、 利用三角函数求极值：y ＝a cos θ＋b sin θ＝a 2＋b 2(a a 2＋b 2cos θ＋ba 2＋b 2sin θ) 令sin φ＝a a 2＋b 2，cos φ＝ba 2＋b 2则有：y ＝a 2＋b 2(sin φcos θ＋cos φsin θ)＝a 2＋b 2sin (φ＋θ)3、 利用均值不等式求极值：对于两个大于零的变量a 、b ，若其和a ＋b 为一定值p ，则当a ＝b 时，其积ab 取得极大值 p 24例题：[2013山东理综 22（15分）]如图所示，一质量m =0.4kg 的小物块，以v 0=2m/s 的初速度，在与斜面成某的角度的拉力F 作用下，沿斜面向上做匀加速运动，经t =2s 的时间物块由A 点运动到B 点，AB 两点间的距离L ＝10m.已知斜面倾角30=θ，物块与斜面之间的动摩擦因数33=μ，重力加速度g 取10m/s 2. （1）求物块加速度的大小及到达B 点时速度的大小。
（2）拉力F 与斜面夹角多大时，拉力F 最小？拉力F 的最小值是多少？ 答：（1）物块加速度的大小为3m/s 2，到达B 点的速度为8m/s ； （2）拉力F 与斜面的夹角30°时，拉力F 最小，最小值是N 53 13=F min解析：（1）物体做匀加速直线运动，根据运动学公式，有：221at L =①， v=at ②联立解得； a=3m/s 2，v=8m/s （2）对物体受力分析 根据牛顿第二定律，有：水平方向：Fcosα-mgsinα-F f =ma 竖直方向：Fsinα+F N -mgcosα=0 其中：F f =μF N 联立解得：α)+sin(60 3 32ma +μcosα)+mg(sin α= sin cos ma +μcosα)+mg(sin α=F ︒+αμα故当α=30°时，拉力F 有最小值，为N 53 13=F min ； 二、几何法利用几何方法求解物理问题时，常用到的有“对称点的性质”、“两点间直线距离最短”、“直角三角形中斜边大于直角边”以及“全等、相似三角形的特性”等相关知识，如：带电粒子在有界磁场中的运动类问题，物体的变力分析时经常要用到相似三角形法、作图法等．与圆有关的几何知识在力学部分和电学部分的解题中均有应用，尤其在带电粒子在匀强磁场中做圆周运动类问题中应用最多，此类问题的难点往往在圆心与半径的确定上常见的几何关系：1．依切线的性质确定．从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点作切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点的连线为半径．2．依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，且平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)确定．如图1所示．图1由勾股定理得：R 2＝(R －CE )2＋EB 2解得：R ＝EB 22CE ＋CE2．例题：[2014山东理综 24（20分）]如图-2甲所示，间距为、垂直于纸面的两平行板间存在匀强磁场。
物理解题方法 极值法0
三、 用不等式法求极值 如果所求物理量表达式可化为“Y=Kab”的形式，其中均为a、b变量，但a+b=恒量（a>0、b>0），则可根据不等式性质ab≤(a+b)2/2求极值。（“定和求积法”） [例4]一个下端封闭,上端开口的粗细均匀的玻璃管,竖直放置,管全长90厘米,管中有一段长20厘米的水银柱,在温度270C时,水银柱下面空气柱长为60厘米,若外界大气压P0=76cmHg,要使管中水银全部溢出,温度至少应升到多少?
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二、利用三角函数法求极值 如果所求物理量表达式中含有三角函数， 可利用三角函数求极值。 1．若所求物理量表达式可化为“y=A sinθ cosθ”形式（即y= sin2θ）,则在θ=45o时，y有极 值A/2。
[例2]如图，n个倾角不同的光滑斜面具有共同的底边ＡＢ，当物体沿不同的倾角无初速从顶端滑到底端，下列哪种说法正确（ ） （A）倾角为30o时,所需时间最短。 （B）倾角为45o时,所需时间最短。 （C）倾角为75o时,所需时间最短。 （D）所需时间均相等。
六、用假设推理法求极值 通过假设法使研究对象处于临界状态，然后再利用物理规律求得极值。（“临界”法）
[例7]如图，能承受最大拉力为10N的细OA与竖直方向成450，能承受最大拉力为5N的细线OB水平，细线OC能承受足够大的拉力，为使OA和OB均不被拉断，OC下端所悬y=asinθ +bcosθ ”,则将该式化为“y=a2+b2 sin(θ +Φ )”从而得出y的极值a2+b2 。（即“和差化积”法） [例3]质量为10千克的木箱置于水平地面上，它与地面间滑动摩擦因数µ= ，受到一个与水平方向成角θ斜 向上的拉力F，为使木箱作匀速直线运动，拉力F最小值为多大？
高中物理解题常用思维方法
高中物理解题常用思维方法高中物理解题常用思维方法一、逆向思维法逆向思维是解答物理问题的一种科学思维方法，对于某些问题，运用常规的思维方法会十分繁琐甚至解答不出，而采用逆向思维，即把运动过程的“末态”当成“初态”，反向研究问题，可使物理情景更简单，物理公式也得以简化，从而使问题易于解决，能收到事半功倍的效果。
高中物理解题常用思维方法二、对称法对称性就是事物在变化时存在的某种不变性。
自然界和自然科学中，普遍存在着优美和谐的对称现象。
利用对称性解题时有时可能一眼就看出答案，大大简化解题步骤。
从科学思维方法的角度来讲，对称性最突出的功能是启迪和培养学生的直觉思维能力。
用对称法解题的关键是敏锐地看出并抓住事物在某一方面的对称性，这些对称性往往就是通往答案的捷径。
高中物理解题常用思维方法三、图象法图象能直观地描述物理过程，能形象地表达物理规律，能鲜明地表示物理量之间的关系，一直是物理学中常用的工具，图象问题也是每年高考必考的一个知识点。
运用物理图象处理物理问题是识图能力和作图能力的综合体现。
它通常以定性作图为基础(有时也需要定量作出图线)，当某些物理问题分析难度太大时，用图象法处理常有化繁为简、化难为易的功效。
高中物理解题常用思维方法四、假设法假设法是先假定某些条件，再进行推理，若结果与题设现象一致，则假设成立，反之，则假设不成立。
求解物理试题常用的假设有假设物理情景，假设物理过程，假设物理量等，利用假设法处理某些物理问题，往往能突破思维障碍，找出新的解题途径。
在分析弹力或摩擦力的有无及方向时，常利用该法。
高中物理解题常用思维方法五、整体、隔离法物理习题中，所涉及的往往不只是一个单独的物体、一个孤立的过程或一个单一的题给条件。
这时，可以把所涉及到的多个物体、多个过程、多个未知量作为一个整体来考虑，这种以整体为研究对象的解题方法称为整体法;而把整体的某一部分(如其中的一个物体或者是一个过程)单独从整体中抽取出来进行分析研究的方法，则称为隔离法。
高考物理解题方法指导之极值问题
高考物理解题方法指导之极值问题综述求解极值问题的方法可分为物理方法和数学方法．物理方法包括：（1）利用临界条件求极值；（2）利用问题的边界条件求极值；（3）利用矢量图求极值；（4）用图像法求极值．数学方法包括：（1）用三角函数求极值；（2）用二次方程的判别式求极值；（3）用不等式的性质求极值；（4）利用二次函数极值公式求极值．一般而言，物理方法直观、形象，对构建模型及动态分析等能力要求较高，而用数学方法求极值思路严谨，对数学能力要求较高．多数极值问题，并不直接了当地把极值或临界值作为题设条件给出，而是隐含在题目中，要求学生在对物理概念、规律全面理解的基础上，仔细审题，深入细致地分析问题，将隐含的题设条件——极值挖掘出来，把极值问题变成解题的中间环节．互动探究例1、如图所示，重为G的物体放在水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ=3/3，物体做匀速直线运动．求牵引力F的最小值和方向角θ．例1例2、从车站开出的汽车作匀加速运动，它开出一段时间后，突然发现有乘客未上车，于是立即制动做匀减速运动，结果汽车从开动到停下来共用时20，前进了50m，求这过程中汽车达到的最大速度．例3、已知直角三角形底边长恒为b，当斜边与底边所成夹角θ为多大时，物体沿此光滑斜边由静止从顶端滑到底端所用时间最短例4、如图所示，一个质量为m的小物块以初速度v0=10m/沿光滑地面滑行，然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上，并由高台上飞出．当高台的高度h为多大时，小物块飞行的水平距离最大？这个距离是多少？（g取10m/2）例4例5、一轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球，拉起小球使轻绳水平伸直，然后无初速度的释放，从小球开始运动直到轻绳到达竖直位置的过程中，小球所受重力的瞬时功率在何处取得最大值？-1-Er例6、如图所示，已知定值电阻R1，电源内阻r，滑动变阻器的最大阻值为R（R>R1+r），当滑动变阻器连入电路的电阻R某多大时，在变阻器上消耗的功率最大？R1R例6例7、如图所示，均匀导线制成金属圆环，垂直磁场方向放在磁感应强度为B的匀强磁场中，圆环总电阻为R．另有一直导线OP长为L，其电阻为QROP，一端处于圆环圆心，一端与圆环相连接，金属转柄OQ的电阻为ROQ，它以nB的转速沿圆环匀速转动，问OP中电流强度的最小值是多少？PO例7例8、如图所示是显像管中电子束运动的示意图，设加速电场B两极间的电势差为U，匀强磁场区域的宽度为L，要使电子束从磁场飞出时，在图中所示不超过120°范围内发生偏转（即上下各偏转不120°超过60°），求磁感应强度B的变化范围（设磁场方向垂直于纸面向里时，磁感应强度为正值）？UL例8例9、如图所示，宽为L的金属导轨置于磁感应强度为B的匀强P磁场中，磁场方向竖直向下．电源电动势为E，内阻为r，不计其他电阻和一切摩擦，求开关K闭合后，金属棒PQ速度多大时，安培力的功率最大？Er最大值是多少？vKQB例9例10、一个质量为m的电子与一个静止的质量为M的原子发生正碰，碰后原子获得一定速度，并有一定的能量E被贮存在这个原子内部．求电子必须具有的最小初动能是多少？课堂反馈反馈1、一辆汽车在十字路口等候绿灯，当绿灯亮时汽车以3m/的加速度开始行驶，恰在这时一辆自行车以6m/的速度匀速驶来，从后边赶过汽车．汽车从路口开动后，在追上自行R1车之前过多长时间两车相距最远？此时距离是多少？aPR3R2b反馈2、如图所示的电路中，电源的电动势E=12V，内阻r=0.5Ω，外阻R1=2Ω，VR2=3Ω，滑动变阻器R3＝5Ω．求滑动变阻器的滑动头P滑到什么位置，电路中的伏特计的示数有最大值最大值是多少Er反馈2达标测试1、某物体从静止开始沿直线运动，当停止运动时，位移为L，若运动中加速度大小只能是a或是零，那么此过程的最大速度是多大？最短时间为多少？-2-22、某中学举办了一次别开生面的―物理体育比赛‖，比赛中有个项目：运动员从如图所示的A点起跑，到MN槽线上抱起一个实心球，然后跑到B点．比赛时，谁用的时间最少谁胜．试问运动员比赛时，应沿着什么路线跑最好？达标23、一条宽为L的河流通，水流速度为u，船在静水划行速度为v，若vO4、如图所示，一辆四分之一圆弧小车停在粗糙水平地面上，质量为m的小球从静止开始由车顶无摩擦滑下，若小车始终保持静止状态，试分析：当小球运动到什么位置时，地面对小车的摩擦力最大？最大值是多少达标45、如图所示，光滑轨道竖直放置，半圆部分半径为R，在水平轨道上停着一个质量为M=0.99kg的木块，一颗质量为m=0.01Kg的子弹，以v0=400m/的水平速度射入木块中，然后一起运动到轨道最高点水平抛出，试分析：当圆半径R多大时，平抛的水平位移是最大？且最大值为多少？ROmv0M达标56、一架升飞机，从地面上匀加速垂直飞行到高度H的天空，如果加速度a和每秒消耗的油量y之间的关系是y=ka+n（k>0，n>0），应当选择怎样的加速度，才能使这飞机上升到高度H时耗油量最低．7、如图所示，已知电流表内阻忽略不计，电源电动势E＝10V，内阻r＝1Ω，ErRo＝R＝4Ω，其中R为滑动变阻器的最大值．当滑动片P从最左端滑到最右端R0的过程中，电流表的最小值是多少最大值是多少电流表的示数将怎样变化PAaRb8、如图所示，AB、CD是两条足够长的固定平行金属导轨，两条导达标7轨间的距离为L，导轨平面与水平面的夹角是θ，在整个导轨平面内部有RCA垂直于导轨平面斜向上方的匀强磁场，磁感应强度为B．在导轨的AC端连接一个阻值为R的电阻，一根垂直于导轨放置的金属棒ab，质量为m，ba从静止开始沿导轨下滑．已知ab与导轨间的滑动摩擦系数为μ，导轨和金属棒的电阻不计，求ab棒的最大速度．θBD达标8θθ9、如图所示，顶角为2θ的光滑圆锥，置于磁感应强度大小为B，方向竖直向下的匀强磁场中，现有一个质量为m，带电量为+q的小球，沿圆锥面在水平面作匀速圆周运动，求小球作圆周运动的轨道半径．-3-B达标910、如图所示，一束宽为d的平行光，由红、蓝两种色光组成，入射到一块上、下表面平行的玻璃砖，其入射角为i，玻璃对红、蓝光的折射率分别为n1和n2，则要想从下底面得到两束单色光，玻璃砖的厚度L至少为多大？达标1011、如图所示，水平传送带水平段长l=6m，两皮带轮直径D均为0.2m，距地面高H=5m，与传送带等高的光滑水平台上有一小物块以v0=5m/的初速度滑上传送带，物块与传送带之间的动摩擦因数μ=0.2．求：（1）若传送带静止，物块滑到右端后做平抛运动的水平距离0等于多少（2）当皮带轮匀速转动，且角速度为ω时，物体做平抛运动的水平位移为，以不同角速度ω做上述实验，得到一组对应的ω和值．设皮带轮顺时针转动时ω>0，逆时针转动时ω<0，试画出平抛距离随ω变化的曲线．专题十一，课时2解析例1解析：物体的受力图如图．建立坐标系，有：Fcoθ-μN=0①Finθ+N-G=0②得F=μG／(coθ+μinθ)2令tanφ=μ，则coθ+μinθ=1co(θ-φ)∴F=当θ=φ时，co(θ-φ)取极大值1，F有最小值．Fmin==G/2，tanφ=μ=1/3，φ=30o，∴θ=30o解法二、将四力平衡转化为三力平衡，用图象法求解．将N与f合成为一全反力R．tanΦ=f/N=μ．可见，N变化会一个起f变、R变，但R的方向是不变的．物体处于平衡状态，R、F、G的合力必为0，三力构成一封闭三角形．由图可知，当F垂直于R时，F最小．-4-此时，θ=Φ=arctan(1/√3)=30o，Fmin=GinΦ=G/2例2解析：设最大速度为vm，即加速阶段的末速度为vm，画出其速度时间图象如右图所示，图线与t轴围成的面积等于位移．即：v/m·-1vm11tvm，5020vm，vm=5m/．22O20t/例3解析：设斜面倾角为θ时，斜面长为，物体受力如图所示，由图知b……①co12at……②2N由匀变速运动规律得：由牛顿第二定律得：mginθ=ma……③联立①②③式解得：tmg4bgin22Sa2bgincoθb可见，在90°≥θ≥0°内，当2θ=90°，θ=45°时，in2θ有最大值，t有最小值．例4解析：设小物块从曲面顶部的高台飞出的瞬间的速度为v，由机械能守恒定律，1212mv0mvmgh⑴2212hgt小物块做平抛运动，⑵2vt22v0v02h2将⑴⑵联立，hv02gh2h，g4g4g22v0v0当h2.5m时，最大飞行距离：ma某5m．4g2g22例5解析：当小球运动到绳与竖直方向成θ角的C时，重力的功率为：P=mgvcoα=mgvinθ…………①小球从水平位置到图中C位置时，机械能守恒有：mgLco12mv……………②2OθLA2解①②可得：Pmg2gLcoin2令y=coθinθC21ycoin(2co2in4)21(2co2in2in2)2αθBvmg又2co2in2in22(in2co2)2根据基本不等式abc3abc，定和求积知：22当且仅当2coin，y有最大值由2co21co2得：co33-5-。
高三物理复习中的极值求解
高三物理复习中的极值求解高三物理复习中经常遇到极值问题，多数极值问题是在某一过程中或某一状态的物理量在其变化中，由于受到物理规律和条件的限制，其取值往往只能在一定范围内才能符合物理问题的实际，而在这一范围内，该物理量可能有最大值、最小值或确定的边界值等一些特殊的值。
极值问题可分为简单的极值问题与条件极值问题，区分的依据是根据是否受附加条件的限制。
在中学物理中，条件极值更为普遍，是教学之重点，物理极值问题涉及到力学、热学、电磁学及光学、原子物理各个部分内容，是中学物理常用的解题方法之一。
极值求解物理问题，既要明确其物理意思，又要借助于数学规律求解，既能培养学生理解、推理、分析、综合能力，又能培养学生应用数学知识处理物理问题的能力，是高层次能力的培养。
解决物理极值问题的主要方法有两类：一类是物理分析方法。
这种方法就是通过物理过程的分析抓住极值的条件进行求解。
另一类就是数学方法。
这种方法是指：通过对问题的分析，依据物理规律写出物理量之间的函数关系式，或画出函数图像，用数学方法求出物理习题的极值。
下面就上述两种主要方法列举几例：一、应用数学方法求解物理习题的极值问题(1) 二次函数法利用y=ax 2+bx+c 的图像的顶点坐标)44,2(2a b ac y a b x -=-=求极值1、 二次函数法求解关于恒定电流习题的极值问题例：如图（1）所示的电路中，已知Ω=Ω=Ω=Ω==5,3,2,5.0,3.6321R R R r V ε（为滑动变阻器的最大阻值），闭合电键S ，调节滑动变阻器的触点P ，求通过电源的电流范围。
解：假设ap 段电阻为x ，则pb 段电阻为R 3-x ，102141112312++-=-+++=∴x x x R R x R R 外 可得通过的电流I 为：264632643.61022++-=++-⨯==x x x x rR I ＋外ε令y=-x 2+4x+26=-(x-2)2+30,则有：（1） 当Ω=2x 时，y 有极大值y max =30,也即此时外电路电阻最大，Ω=++-5.2102142x x R ＝外时，此时电流有最小值，最小电流I 1＝2.1A 。
专题08 极值法-2019年高三复习冲刺物理方法汇总(解析版)
2019年高三复习冲刺物理方法汇总专题08 极值法极值法是中学物理教学中重要的解题方法，在问题中主要表现在求物理量极大值、极小值、临界值、物理量的取值范围等方面。
在应用极值法解题时，首先要选用合适的物理模型，应用物理规律构建待求物理量与其他物理量的函数关系，再利用数学方法求其极值。
极值法可分为二次函数极值法、和积不等式极值法等。
1.二次函数极值法函数2y ax bx c =++，依a 的正负，可有极大值、极小值。
①若求y 极植可用配方法224()24b ac b y a x a a -=++, 当2bx a =-，244ac b y a -=。
（综合图像解）②亦可用判别式法：2y ax bx c =++整理为关于x 的一元二次方程：20ax bx c y ++-=，若x 有实解，则24()0b a c y ∆=--≥，244ac b y a -≥。
例1.如图1所示，ABC 为一固定在竖直平面内的光滑轨道，BC 段水平，AB 段与BC 段平滑连接。
质量为1m 的小球从高位h 处由静止开始沿轨道下滑，与静止在轨道BC 段上质量为2m 的小球发生碰撞，碰撞后两球两球的运动方向处于同一水平线上，且在碰撞过程中无机械能损失。
求碰撞后小球2m 的速度大小2v ；碰撞过程中的能量传递规律在物理学中有着广泛的应用。
为了探究这一规律，我们才用多球依次碰撞、碰撞前后速度在同一直线上、且无机械能损失的恶简化力学模型。
如图2所示，在固定光滑水平轨道上，质量分别为1231n m m m m -、、……、n m ……的若干个球沿直线静止相间排列，给第1个球初能1k E ，从而引起各球的依次碰撞。
定义其中第n 个球经过依次碰撞后获得的动能k E 与1k E 之比为第1个球对第n 个球的动能传递系数1n ka) 求1n kb) 若10004,,k m m m m m ==为确定的已知量。
求2m 为何值时，1n k 值最大 【解析】（1）设碰撞前1m 的速度为10v ，根据机械能守恒定律 2101121v m gh m =① 设碰撞后1m 与2m 的速度分别为1v 和2v ，根据动量守恒定律 2211101v m v m v m +=② 碰撞过程机械能守恒2222112101212121v m v m v m +=③ ①②③解得211222m m gh m v +=（2）a.由④式，考虑到2101121v m E k = 222221v m E k = 得()12212124k k E m m m m E +=根据动能传递系数的定义，对于1、2两球()2212112124m m m m E E k k k +==同理对于2、3两球碰撞后，动能传递系数13k 应为()()23232221212312131344m m m m m m m m E E E E E E k k k k k k k +∙+=∙==④ 依次类推()()()21232221221232221114n n nn n n m m m m m m m m m m m k +⋅⋅⋅++⋅⋅⋅=---⑤b.将014m m =，03m m =代入④()()2202022013464⎥⎦⎤⎢⎣⎡++=m m m m m m k为使13k 最大，通过配方，只需使()()02202202029214mm m m m m m m m +⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=++最大 当2022m m m =，即022m m =时，13k 最大。
高中物理求极值方法与常用结论总结
高中物理求极值方法与常用结论总结高中物理中，求极值方法和常用结论是常见的问题类型，通过总结这些方法和结论，有助于高中物理学习者更好地理解和应用。
一、求极值方法：1.极值定理：对于一个连续函数f(x)在闭区间[a,b]上，必然存在至少一个极大值和极小值，即f(x)在[a,b]上必然取得极值。
2.导数法则：利用导数的相关概念和性质，可以简化极值的求解过程。
(1)极值的必要条件：函数f(x)在x=c处取得极值，必然满足f'(c)=0。
(2)极值的充分条件：若函数f'(x)在x=c的邻域内存在符号变化，且在c处f''(c)存在，则f(x)在x=c处取得极值。
3.端点法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，当x=a或x=b时，可以直接求解f(a)和f(b)，作为极值的候选值。
4.区间内部法：闭区间[a,b]上的函数f(x)，通过求解f'(x)=0，得到f(x)的驻点。
然后比较驻点和两个端点的函数值，选取最大和最小值作为极值。
5.辅助线法：即画出函数的图像，观察图像的整体形状，然后根据函数的性质和题目要求，确定极值所在的位置。
二、常用结论：1.函数的单调性：函数在给定的定义域内是递增的还是递减的。
(1)若f'(x)>0，则f(x)在区间上递增。
(2)若f'(x)<0，则f(x)在区间上递减。
2.极值判定：通过一、二阶导数的符号来判断函数的极值。
(1)若f''(x)>0，则f(x)在x处取得极小值。
(2)若f''(x)<0，则f(x)在x处取得极大值。
3.凹凸性：函数图像在其中一区间上是凹向上还是凹向下。
(1)若f''(x)>0，则f(x)在区间上是凹向上的。
(2)若f''(x)<0，则f(x)在区间上是凹向下的。
4.零点定理：对于一个连续函数f(x)，若f(a)和f(b)异号，则在开区间(a,b)内至少存在一个实根。
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- 1 -高中物理解题方法之极值法江苏省特级教师 戴儒京高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。
本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。
一、 二次函数求极值二次函数aacb a b x ac bx ax y 44)2(222--+=++=，当a b x 2-=时，y 有极值ab ac y m 442-=，若a>0，为极小值，若a<0，为极大值。
例1试证明在非弹性碰撞中，完全非弹性碰撞(碰撞后两物体粘合在一起)动能损失最大。
设第一个物体的质量为1m ，速度为1V 。
第二个物体的质量为2m ，速度为2V 。
碰撞以后的速度分别为'1V 和'2V 。
假使这四个速度都在一条直线上。
根据动量守恒定律有：'+'=+22112211V m V m V m V m （1）如果是完全非弹性碰撞，两物体粘合在一起，（1）则变为V m m V m V m '+=+)(212211，即212211m m V m V m V ++=' （2）现在就是要证明，在满足（1）式的碰撞中，动能损失最大的情况是（2）式。
碰撞中动能损失为ΔE k =()22()22222211222211'+'-+v m vm v m v m （3） 转变为数学问题：ΔE k 为v 的二次函数:由（1）得：v 2ˊ=2112211)(m v m v m v m '-+ （4）将（4）代入（3）得：k =++++-'12221112'1211)(2)(v m v m v m m v m m m m [2222112222112)(22m v m v m v m v m +-+] 二次函数求极值,- 2 - 当v 1ˊ=)()(212211m m v m v m ++ （5） 时∆E k 有极大值。
回到物理问题,将（5）代入（4）得v 2ˊ=)()(212211m m v m v m ++此两式表明,m 1和m 2碰后速度相等,即粘合在一起,此时动能损失(ΔE k )最大。
二、 由公式0)(2≥-b a 得ab b a 222≥+ 当b a =时，22b a +有极小值ab 2，若ba 1=，此时极小值为2。
同理，ab 的极大值为222b a +。
例2 求弹性正碰中m 1所传递给m 2的动能最大或最小的条件。
设一个质量为m 1，动能为Ek 的物体与一个质量为m 2的不动的物体正碰，假定发生的是弹性碰撞，试讨论m 1传递给m 2动能最大或最小的条件。
设m 1原来的速度为V 1，碰撞后两物体的速度分别为'1V 和'2V ，根据弹性正碰中的动量守恒和动能守恒，有方程组：⎪⎩⎪⎨⎧+'='+'=2'22211211221111212121V m V m V m V m V m V m解此方程得：121211V m m m m V +-='， 121122V m m m V +='m 1传递给m 2动能，即为m 2获得的动能：Ek m m m m V m m m m V m Ek 221212121122222)(4)2(2121+=+='='。
现在求'2Ek 的极值条件和极值。
Ek m m m m Ek m m m m m m Ek 12212221212122424++=++='当m 1= m 2时1221m m m m +有极小值2，所以当m 1= m 2时，'2Ek 有极大值Ek ，即m 1- 3 -传递给m 2动能最大的条件是二者质量相等。
此时m 1的全部动能传递给m 2，也就是说：碰撞之后'1V =0，12V V ='。
这在物理学史上有一段趣闻，在成立不久的英国皇家学会的一次例会上，一位工程师的表演引起了与会者的极大兴趣：两个质量相同的钢球A 和B ，分别吊在细绳上，静止时紧靠在一起，使A 球偏开一个角度后放开，它回到原来的位置时撞上B 球，碰撞后A 球静止下来，B 球摆到与A 求原来高度几乎相等的高度。
惠斯通通过对此现象的研究和解释中确定了动能的定义。
此问题可扩大到第二个物体原来不静止的情况。
设m 2碰前的速度为V 2，则方程组变为： ⎪⎩⎪⎨⎧'+'=+'+'=+22221122221122'21221121212121V m V m V m V m V m V m V m V m其解为：221212121'12V m m m V m m m m V +++-=22112121122V m m m m V m m m V +-++='则2222'22222121V m V m Ek Ek Ek -=-'=∆，将'2V 的表达式代入此式，并且以Ek 1代入21121V m ，以2Ek 代入22221V m ，得： 2122121212122121)()(2)()(4V V m m m m m m Ek Ek m m m m Ek +---+=∆，当m 1= m 2时，因后项为零，前项取最大值，故Ek ∆取最大值。
此时，m 1把原来m 2多的那部分动能全部传递给m 2。
三、 三角函数求极值：三角函数x y sin =，当0=x 时，y 取最小值0，当2π=x 时，y 取最大值1，（x 在0到2π范围内），同理，0,cos ==x x y 时，y 取最大值1，2π=x 时，y 取最小值0。
例3 在倾角θ=300的斜面上，放置一个重量为200牛顿的物体，物体与斜面间的滑动摩擦系数为33=μ，要使物体沿斜面匀速向上移动，所加的力至少要多大？方向如何？ 设所加的外力F 与斜面夹角为a ，物体受力情况如图所示。
N F- 4 -G由于物体作匀速直线运动，根据共点力的平衡条件，有方程组：⎪⎩⎪⎨⎧==-+=--N f m g a F N f m g a F μθθ0cos sin 0sin cos解此方程组，消去N ，得： aa mg F sin cos )cos (sin μθμθ++=，因为θ为已知，故分子为定值，分母是变量为a 的三角函数，令)sin(1)sin cos cos (sin 1)sin 1cos 11(1sin cos 22222a a a a a y ++=⋅++=++++=+=ϕμϕαϕμαμμμμμ其中，211sin μϕ+=， 21c o s μμϕ+=即 μϕ1=tg ，当090=+ϕa 时，即 ϕ-=090a 时，y 取最大值21μ+，F 最小值为21)c o s (s i n μθμθ++mg ，由于33=μ，即3=ϕtg ，所以060=ϕ将200=mg N ， 030=θ，33=μ，代入上式得：当000306090=-=a 时，F 最小值为3100N ，约为173N 。
四、导数法求极值：一般的函数)(x f y =，求一阶导数)(x f y '='，令其为零时的x 值0x ，即为y 取极值的条件；再求二阶导数)(x f y ''=''，当0x x =时，若0>''y ，则上述极值为极小值；若0<''y ，则为极大值。
- 5 -例4 在用滑线式电桥测电阻的实验中，触头在滑线中点附近平衡时，实验误差较小。
I g x1l 2l证明：设滑线长为l ，触点一边长为1l ，则另一边长为12l l l -=。
当电桥平衡时，待测电阻x R 的计算式是：12l l RR x =，求其全微分为： 12122112dl l Rl dl l RdR l l dR x -+==∆x R 12122112l l Rl l l RR l l ∆-∆+∆两边同除以12l l RR x =，得： 2112l l l l R R R R x x ∆+∆+∆=∆，这就是待测电阻的相对误差的表达式。
因RR∆与滑线长度的读数误差无关，故此项不再考虑，将12l l l -=代入，并考虑到21l l ∆=∆（同一尺上的读数误差），得上式中后两项之和（设为r ）为：11l l l lr ∆-=，设1l ∆的系数为111)(l l l l R -=， 求R 对1l 的导数：21121)()(l l l ll l l dl dR -+-==21211)()2(l l l l l l --，-6 - 当21ll =时，值为0，此时R 有极值，再求二阶导数： 212dl R d =414112*********)()]()(2[)2()(2l l l l l l l l l l l l l l ll ----⋅--- 当21ll =时，大于0，故此时R 有极小值，即说明滑动触头在中点平衡时，实验误差最小。
除了上述四种基本方法以外，还可以用不等式求极值，也可以根据物理中的临界条件求极值，等等。
从上述例题可以看出：用求极值方法解决物理问题的关键在于：把物理问题转化为数学问题，首先要正确地分析物理过程，建立正确的物理模型或物理图景，恰当地运用物理规律和物理公式，正确地把物理问题转化为数学问题，然后才能用极值方法去解。
五、平抛运动中的极值问题例1．一探险队员在探险时遇到一山沟，山沟的一侧竖直，另一侧的坡面呈抛物线形状。
此队员从山沟的竖直一侧，以速度v 0沿水平方向跳向另一侧坡面。
如图所示，以沟底的O 点为原点建立坐标系Oxy 。
已知：山沟竖直一侧的高度为2h ，坡面的抛物线方程为y=221x h，探险队员的质量为m 。
人视为质点，忽略空气阻力，重力加速度为g 。
（1） 求此人落到坡面时的动能；（2） 此人水平跳出的速度为多大时，他落在坡面时的动能最小？动能的最小值为多少？【解析】- 7 -（1） 平抛运动的分解：t v x 0=，2212gt h y -=（注意：此处不能像通常那样写成221gt y =，因为本题是以图中的O 点为坐标原点，以向上为正方向。
而通常的公式221gt y =是以抛出点为原点、以向下为正方向得到的），得平抛运动的轨迹方程22022x v g h y -=，此方程与坡面的抛物线方程为y=221x h的交点为ghv v h x +=20224，gh v hv y +=20202。
根据机械能守恒，k E mgy mv h mg +=+⋅20212 解得）（ghv h g v m E k +-=202220421 （2）【解法1：配方法求极值】动能公式可改写为gh ghv gh gh v m E k 3}22122020++-+=（，当gh v =0时，括号内的值为0，平方项取极小值，这时，动能取极小值mgh E k 23min =。