2006年高考试题——数学文(全国卷2)

绝密★启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（必修+选修I ）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分，考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。

答在试卷上的答案无效。

选择题（选择题共12小题，每小题5分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么 球的表面积公式P (A +B ) =P (A ) +P (B ) 24R S π= 如果事件A 、B 相互独立，那么 其中R 表示球的半径 P (A ·B ) = P (A )·P (B ) 球的体积公式 如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么 234R V π=n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率其中R 表示球的半径k n kk n n P P C k P --=)1()(一、选择题（1）已知向量a =（4，2），向量b =（x ，3），且a ∥b ，则x = （A ）9 （B ）6 （C ）5 （D ）3（2）已知集合|1log |||,3||2>=<=x x N x x M ，则=N M（A ）（B ）|30||<<x x （C ）|31||<<x x（D ）|32||<<x x（3）函数y = sin 2x cos 2x 的最小正周期是（A ）2π （B ）4π（C ）4π（D ）2π（4）如果函数)(x f y =的图像与函数x y 23-=的图像关于坐标原点对称，则)(x f y =的表 达式为 （A ）32-=x y（B ）32+=x y（C ）32+-=x y（D ）32--=x y（5）已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆1322=+y x ，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上，则△ABC 的周长是 （A ）32 （B ）6 （C ）34 （D ）12 （6）已知等差数列{}n a 中，72=a ，154=a ，则前10项和10S =（A ）100（B ）210（C ）380（D ）400（7）如图，平面α⊥平面β，A ∈α，B ∈β，AB 与两平面α、β所成的角分别为4π和6π，过A 、B 分别作两平面交线的垂 线，垂足为‘、B A '，则AB ：‘B A '=（A ）4 （B ）6 （C ）8（D ）9（8）函数)0(1ln >+=x x y 的反函数为（A ）)(1R x e y x ∈=+ （B ）)(1R x e y x ∈=-（C ）)1(1>=+x e y x（D ）)1(1>=-x e y x（9）已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线方程为x y 34=，则双曲线的离心率为（A ）35 （B ）34 （C ）45（D ）23（10）若=-=)(cos ,2cos 3)(sin x f x x f 则 （A ）x 2cos 3- （B ）3x 2sin -（C ）x 2cos 3+ （D ）x 2sin 3+（11）过点（－1，0）作抛物线12++=x x y 的切线，则其中一条切线为 （A ）022=++y x （B ）033=+-y x（C ）01=++y x（D ）01=+-y x（12）5名志原者分到3所学校支教，要求每所学校至少有1名志愿者，则不同的分法共有（A ）150种（B ）180种（C ）200种（D ）280绝密 ★ 启用前2006年普通高等学校招生全国统一考试文科数学非选择题（非选择题共10小题，共90分）注意事项：本卷共2页，10小题，用黑色碳素笔将答案在答题卡上。

答在试卷上的答案无效 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。

把答案填在答题卡上。

（13）在104)1(xx +的展开式中常数项是 。

（用数字作答） （14）已知圆O 1是半径为R 的球O 1的一个小圆，且圆O 的面积与球O 的表面积的比值为92，则线段OO 1与R 的比值为 。

（15）过点（1，2）的直线l 将圆4)2(22=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k = 。

（16）一个社会调查机构就某地居民的月收入调查10 000人，并根据所得数据画了样本的频率分布直方图（如下图）。

为了分析居民的收入与年龄、学历、职业等方面的关系，要从这10 000人中再用分层抽样方法抽出100人作进一步调查，则在（2 500，3 000）（元）月收入段应抽出 人。

三、解答题：本大题共6小题，共74分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

（17）（本小题满分12分） 已知△ABC 中，∠B =45°，AC =10，cos C =.552 （Ⅰ）求BC 边的长；（Ⅱ）记AB 的中点为D ，求中线CD 的长.（18）（本小题满分12分） 记等比数列}{n a 的前n 项和为n S . 已知17,184==S S ，}{n a 的通项公式.（19）（本小题满分12分）某批产品成箱包装，每箱5件，一用户在购进该批产品前先取出3箱，再从每箱中任意抽取2件产品进行检验，设取出的第一、二、三箱中分别有0件、1件、2件二等品，其余为一等品.（Ⅰ）求恰有一件抽检的6件产品中二等品的概率；（Ⅱ）若抽检的6件产品中有2件或2件以上二等品，用户就拒绝购买这批产品，求这批产品被用户拒绝购买的概率.（20）（本小题满分12分）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB =BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点. （Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线； （Ⅱ）设AA 1=AC =,2AB 求二面角A 1－AD －C 1的大小.（21）（本小题满分12分）已知∈a R ，二次函数.22)(2a x ax x f --= 设不等式0)(>x f 的解集为A ，又知集合}.31|{<<=x x B 若A ∩B ≠ ，求a 的取值范围.（22）（本小题满分14分）已知抛物线y x 42=的焦点为B A F ,,是抛物线上的两动点，且).0(>=λλ 过A 、B 两点分别作抛物线的切线，设其交点为M .（Ⅰ）证明⋅为定值；（Ⅱ）设△ABM 的面积为S ，写出)(λf S =的表达式，并求S 的最小值.2006的普通高等学校招生全国统一考试文科数学试题（必修+选修II）参考答案及评分参考评分说明：1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制订相应的评分细则.2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4．只给整数分数一选择题和填空题不给中间分.一．选择题（1）B （2）D （3）D （4）D （5）C （6）B（7）B （8）B （9）A （10）C （11）D （12）A二．填空题（13）45 （14）31 （5）22 （6）25 三、解答题 （17）解：（I ）由55sinC 552cos ==得C ，)sin (cos 22)45180sin(sin C C C A +=-︒-︒==.10103……………………………………3分 由正弦定理知.23101032210sin sin =⋅=⋅=A B AC BC ……………………6分 （II ）.121.2552210sin sin ===⋅=⋅=AB BD C B AC AB …………9分 由余弦定理知13222312181cos 222=⋅⋅⋅-+=⋅⋅-+=B BC BD BC BD CD ……12分 （18）解：设}{n a 的公比为q ，由S 4=1，S 8=17知1≠q ，所以得11)1(41=--q q a ， ①171)1(81=--q q a . ②………………2分由①、②式得171148=--q q ， 整理得,1714=+q 解得.164=q所以2=q 或2-=q .………………8分将2=q 代入①式得1511=a ，所以1521-=n n a ；………………10分将2-=q 代入①式得511-=a ，所以.52)1(1-⨯-=n n n a ………………12分（19）解：设A i 表示事件“第二箱中取出i 件二等品”，i=0，1； B i 表示事件“第三箱中取出i 件二等品”，i=0，1，2.（I ）依题意所求的概率为)()(10011B A P B A P p ⋅+⋅==.2512)()()()(2512132524252325141001=⋅⋅+⋅=⋅+⋅C C C C C C C C C B P A P B P A P …………6分 （II ）解法一：所求的概率为.501725121)(1252325241002=-⋅-=-⋅-=C C C C p B A P p ……12分解法二：所求的概率为)()()(2120112B A P B A P B A P p ⋅+⋅+⋅=)()()()()()(212011B P A P B P A P B P A P ++=.501725222514252225242512132514=⋅+⋅+⋅⋅=C C C C C C C C C C C C C ………………9分 （20）解法一：（I ）设O 为AC 中点，连结EO ，BO ，则EO 21C 1C ，又C 1C 21B 1B . 所以EO DB ，EOBD 为平行四边形，ED ∥OB . …………2分 ∵AB =BC ，∴BO ⊥AC ，又平面ABC ⊥平面ACC 1A 1，BO ⊂面ABD ，故BC ⊥平面ACC 1A 1， ∴ED ⊥平面ACC 1A 1，ED 为异面直线AC 1与BB 1的公垂线.……6分 （II ）连结A 1E . 由AA 1=AG =2AB 可知，A 1ACC 1为正方形，∴A 1E ⊥AC 1. 又由ED ⊥平面A 1ACC 1和ED ⊂平面ADC 1知平面ADC 1⊥平面A 1ACC 1， ∴A 1E ⊥平面ADC 1. 作EF ⊥AD ，垂足为F ，连结A 1F ，则A 1F ⊥AD ， ∠A 1FE 为二面角A 1—AD —C 1的平面角. 不妨设AA 1=2，则AC =2，AB =2. ED =OB =1，EF =32=⨯ADEDAE ，tan ∠A 1FE =31=EFEA ， ∴∠A 1FE=60°.所以二面角A 1—AD —C 1为60°.………………12分 解法二：（I ）如图，建立直角坐标系O —xyz ，其中原点O 为AC 的中点. 设).2,,0(),0,,0(),0,0,(1c b B b B a A∥= ∥ = ∥=则).,,0(),,0,0(),2,0,(),0,0,(1c b D c E c a C a C --………3分,,0).2,0,0(),0,,0(111BB ED BB c BB b ⊥∴=⋅==又 .,0),2,0,2(111AC ED AC c a AC ⊥∴=⋅-= 所以ED 是异面直线BB 1与AC 1的公垂线. …………6分 （II ）不妨设A （1，0，0）， 则B （0，1，0），C （－1，0，0），A 1（1，0，2），.,,,,0,0,20,0,0(),0,1,1(),0,1,1(11111AD A BC A AA AB AA BC AB BC AA BC AB BC AA 面又即⊥∴=⋂⊥⊥=⋅=⋅=-=--=又),0,0,1(),1,1,0(),1,0,0(-C D EE ED AE ED EC AE EC =⋂⊥⊥=⋅=⋅又即,,,0,0， AD C EC 1面⊥∴. ………………10分 21||||,cos =⋅>=<BC EC ，即得和的夹角为60°. 所以二面角A 1—AD —C 1为60°. …………12分 （21）解：由)(x f 为二次函数知.0≠a 令)(x f =0解得其两根为.121,1212221aa x a a x ++=+-=由此可知0,021><x x .…………………………12分（i ）当a >0时，}.|{}|{21x x x x x x A >⋃<=A ∩B ≠ 的充要条件是32<x ，即,31212<++aa 解得.76>a ……………………6分（ii ）当0<a 时，}.|{21x x x x A <<=A ∩B ≠ 的充要条件是12>x ，即,11212>++aa 解得.2-<a ……………………10分综上，使A ∩B ≠ 成立的a 的取值范围).,76()2,(+∞⋃--∞…………12分（22）解：（I ）由已条件，得F （0，1），0>λ.设,).,(),,(2211y x B y x A λ=由 即得),1,()1,(2211-=--y x y x λ ⎩⎨⎧-=-=-∴).1(12121y y x x λλ将①式两边平方并把22221141,41x y x y ==代入得221y y λ=， ③ 解②、③式得λλ1,21==y y ，且有.4422221-=-=-=y x x x λλ抛物线方程为.412x y = 求导得.21x y =' 所以过抛物线上A 、B 两点的切线方程分别是,)(21)(21222111y x x y y x x x y +-=⋅+-=即.4121,4121222211x x x y x x x y -=-=解出两条切线的交点M 的坐标为).1,2()4,2(212121-+=+x x x x x x …………4分 所以 ),()2,2(121221y y x x x x AB FM --⋅-+=⋅=)4141(2)(2121222122x x x x --- =0所以⋅为定值，真值为0. ………………7分① ②。