高中概率问题
高中数学第十章概率典型例题(带答案)
高中数学第十章概率典型例题单选题1、“某彩票的中奖概率为1100”意味着（ ）A ．购买彩票中奖的可能性为1100 B ．买100张彩票能中一次奖 C ．买100张彩票一次奖也不中 D ．买100张彩票就一定能中奖 答案：A分析：根据概率的定义，逐项判定，即可求解.对于A 中，根据概率的定义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，由某彩票的中奖概率为1100，可得购买彩票中奖的可能性为1100，所以A 正确；对于B 、C 中，买任何1张彩票的中奖率都是1100，都具有偶然性，可能中奖，还可能中奖多次，也可能不中奖，故B 、C 错误；对于D 选项、根据彩票总数目远大于100张，所以买100张也不一定中一次奖，故D 错误. 故选：A.2、北京2022年冬奥会新增了女子单人雪车､短道速滑混合团体接力､跳台滑雪混合团体､男子自由式滑雪大跳台､女子自由式滑雪大跳台､自由式滑雪空中技巧混合团体和单板滑雪障碍追逐混合团体等7个比赛小项，现有甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作，且甲､乙两人的选择互不影响，那么甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是（ ） A ．249B ．649C ．17D ．27 答案：C分析：根据古典概型概率的计算公式直接计算.由题意可知甲､乙两名志愿者分别从7个比赛小项中各任选一项参加志愿服务工作共有7×7=49种情况， 其中甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作共7种，所以甲､乙两名志愿者选择同一个比赛小项进行志愿服务工作的概率是749=17，故选：C.3、某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是（）A．62%B．56%C．46%D．42%答案：C分析：记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，然后根据积事件的概率公式P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)可得结果.记“该中学学生喜欢足球”为事件A，“该中学学生喜欢游泳”为事件B，则“该中学学生喜欢足球或游泳”为事件A+B，“该中学学生既喜欢足球又喜欢游泳”为事件A⋅B，则P(A)=0.6，P(B)=0.82，P(A+B)=0.96，所以P(A⋅B)=P(A)+P(B)−P(A+B)=0.6+0.82−0.96=0.46所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例为46%.故选：C.小提示：本题考查了积事件的概率公式，属于基础题.4、若随机事件A，B互斥，且P(A)=2−a，P(B)=3a−4，则实数a的取值范围为（）A．(43,32]B．(1,32]C．(43,32)D．(12,43)答案：A分析：根据随机事件概率的范围以及互斥事件概率的关系列出不等式组，即可求解.由题意，知{0<P(A)<1 0<P(B)<1P(A)+P(B)≤1，即{0<2−a<10<3a−4<12a−2≤1，解得43<a≤32，所以实数a的取值范围为(43,32].故选：A.5、甲、乙两人投篮，投中的概率分别为0.6，0.7，若两人各投2次，则两人投中次数不等的概率是（）A．0.6076B．0.7516C．0.3924D．0.2484答案：A分析：先求出两人投中次数相等的概率，再根据对立事件的概率公式可得两人投中次数不相等的概率.两人投中次数相等的概率P＝0.42×0.32+C21×0.6×0.4×C21×0.7×0.3+0.62×0.72=0.3924，故两人投中次数不相等的概率为：1﹣0.3924＝0.6076.故选：A.小提示：本题考查了对立事件的概率公式和独立事件的概率公式，属于基础题.6、下列各对事件中，不互为相互独立事件的是（）A．掷一枚骰子一次，事件M“出现偶数点”；事件N“出现3点或6点”B．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”C．袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到黑球”D．甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M“从甲组中选出1名男生”，事件N“从乙组中选出1名女生”答案：C分析：利用对立事件和相互独立事件的概念求解．解：对于选项A，事件M={2,4,6}，事件N={3,6}，事件MN={6}，基本事件空间Ω={1,2,3,4,5,6}，所以P(M)=36=12，P(N)=26=13，P(MN)=16=12×13，即P(MN)=P(N)P(M)，因此事件M与事件N是相互独立事件；对于选项B，袋中有3白、2黑共5个大小相同的小球，依次有放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N“第二次摸到白球”，则事件M发生与否与N无关，同时，事件N发生与否与M无关，则事件M与事件N是相互独立事件；对于选项C，袋中有3白、2黑，5个大小相同的小球，依次不放回地摸两球，事件M“第一次摸到白球”，事件N “第二次摸到黑球”， 则事件M 发生与否和事件N 有关，故事件M 和事件N 与不是相互独立事件；对于选项D ，甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，事件M “从甲组中选出1名男生”，事件N “从乙组中选出1名女生”，则事件M 发生与否与N 无关，同时，事件N 发生与否与M 无关，则事件M 与事件N 是相互独立事件； 故选：C.7、2021年12月9日，中国空间站太空课堂以天地互动的方式，与设在北京、南宁、汶川、香港、澳门的地面课堂同步进行.假设香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13，若主持人向这两个分课堂中的一名学生提问，则该学生恰好为女生的概率是（ ） A ．18B ．38C ．12D ．58答案：C分析：利用互斥事件概率加法公式计算古典概型的概率即可得答案.解：因为香港、澳门参加互动的学生人数之比为5：3，其中香港课堂女生占35，澳门课堂女生占13， 所以香港女生数为总数的58×35=38，澳门女生数为总数的38×13=18，所以提问的学生恰好为女生的概率是38+18=12. 故选：C.8、某学校共有教职工120人，对他们进行年龄结构和受教育程度的调查，其结果如下表：60％ B ．该教职工具有研究生学历的概率超过50％ C ．该教职工的年龄在50岁以上的概率超过10％D ．该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率超过10％ 答案：D分析：根据表中数据，用频率代替概率求解.A.该教职工具有本科学历的概率p=75120=58=62.5%>60%，故错误；B.该教职工具有研究生学历的概率p=45120=38=37.5%<50%，故错误；C.该教职工的年龄在50岁以上的概率p=10120=112≈8.3%<10%，故错误；D.该教职工的年龄在35岁及以上且具有研究生学历的概率p=15120=18=12.5%>10%，故正确.小提示：本题主要考查概率的求法，还考查了分析求解问题的能力，属于基础题.多选题9、下列有关古典概型的说法中，正确的是（）A．试验的样本空间的样本点总数有限B．每个事件出现的可能性相等C．每个样本点出现的可能性相等D．已知样本点总数为n，若随机事件A包含k个样本点，则事件A发生的概率P(A)=kn答案：ACD分析：根据古典概型的定义逐项判断即可.由古典概型概念可知：试验的样本空间的样本点总数有限；每个样本点出现的可能性相等.故AC正确；每个事件不一定是样本点，可能包含若干个样本点，所以B不正确；根据古典概型的概率计算公式可知D正确．故选：ACD10、某学校为调查学生迷恋电子游戏情况，设计如下调查方案，每个被调查者先投掷一枚骰子，若出现向上的点数为3的倍数，则如实回答问题“投掷点数是不是奇数?”，反之，如实回答问题“你是不是迷恋电子游戏?”．已知被调查的150名学生中，共有30人回答“是”，则下列结论正确的是（）A．这150名学生中，约有50人回答问题“投掷点数是不是奇数?”B．这150名学生中，必有5人迷恋电子游戏C．该校约有5%的学生迷恋电子游戏D．该校约有2%的学生迷恋电子游戏答案：AC分析：先由题意计算出回答问题一的人数50人，再计算出回答问题一“是”的人数25人，故可得到回答问题二“是”的人数5人,最后逐一分析四个选项即可.由题意可知掷出点数为3的倍数的情况为3,6，故掷出点数为3的倍数的概率为13，故理论上回答问题一的人数为150×13=50人.掷出点数为奇数的概率为12，理论上回答问题一的50人中有25人回答“是”，故回答问题二的学生中回答“是”的人数为30-25=5人.对于A, 抽样调查的这150名学生中，约有50人回答问题一，故A正确.对于B, 抽样调查的这150名学生中，约有5人迷恋电子游戏，“必有”过于绝对，故B错.对于C,抽样调查的150名学生中，50名学生回答问题一，故有100名学生回答问题二，有5名学生回答“是”，故该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故C正确.对于D,由C可知该校迷恋电子游戏的学生约为5100=5%，故D错.故选：AC.11、不透明的口袋内装有红色､绿色和蓝色卡片各2张，一次任意取出2张卡片，则与事件“2张卡片都为红色”互斥而不对立的事件有（）A．2张卡片都不是红色B．2张卡片恰有一张红色C．2张卡片至少有一张红色D．2张卡片都为绿色答案：ABD分析：列举出所有情况，然后再利用互斥事件和对立事件的定义判断.解：6张卡片中一次取出2张卡片的所有情况有：“2张都为红色”､“2张都为绿色”､“2张都为蓝色”､“1张为红色1张为绿色”､“1张为红色1张为蓝色”､“1张为绿色1张为蓝色”，选项中给出的四个事件中与“2张都为红色”互斥而非对立的事件是：“2张都不是红色”，“2张恰有一张红色”，“2张都为绿色”，其中“2张至少一张为红色”包含事件“2张都为红色”，二者并非互斥.故选：ABD.12、设A，B分别为随机事件A，B的对立事件，已知0<P(A)<1，0<P(B)<1，则下列说法正确的是（）A．P(B|A)+P(B|A)=1B．P(B|A)+P(B|A)=0C．若A，B是相互独立事件，则P(A|B)=P(A)D．若A，B是互斥事件，则P(B|A)=P(B)答案：AC分析：计算得AC正确；当A，B是相互独立事件时，P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B 是互斥事件，得P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．解：P(B|A)+P(B|A)=P(AB)+P(AB)P(A)=P(A)P(A)=1，故A正确；当A，B是相互独立事件时，则P(B|A)+P(B|A)=2P(B)≠0，故B错误；因为A，B是相互独立事件，则P(AB)=P(A)P(B)，所以P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)，故C正确；因为A，B是互斥事件，P(AB)=0，则根据条件概率公式P(B|A)=0，而P(B)∈(0,1)，故D错误．故选：AC．13、袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（）A．至少有一个白球与都是白球B．恰有一个红球与白、黑球各一个C．至少一个白球与至多有一个红球D．至少有一个红球与两个白球答案：BD分析：根据互斥事件的定义和性质判断.袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立.在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立；在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立；在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立；故选：BD.小提示：本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 填空题14、甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____． 答案：0.3解析：甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，利用独立事件的概率乘法公式和概率的加法公式能求出甲队以2:1获胜的概率． 甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立， 甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜， 则甲队以2:1获胜的概率是：P =0.6×0.5×0.6+0.4×0.5×0.6=0.3. 所以答案是：0.3．小提示：本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15、已知事件A ，B ，C 相互独立，若P (AB )=16，P(BC)=14，P(ABC)=112，则P (A )=______． 答案：13分析：根据相互独立事件的概率公式，列出P (A ),P (B ),P(C),P(B)的等式，根据对立逐一求解，可求出P (A )的值.根据相互独立事件的概率公式，可得{ P (A )P (B )=16P(B)P (C )=14P (A )P (B )P(C)=112，所以P (A )=13． 所以答案是：13.16、在一个口袋中有大小和质地相同的4个白球和3个红球，若不放回的依次从口袋中每次摸出一个球，直到摸出2个红球就停止，则连续摸4次停止的概率等于______．答案：935分析：根据题设写出基本事件，再应用互斥事件加法公式求概率.由题意知，连续依次摸出的4个球分别是：白白红红，白红白红，红白白红共3种情况，第一种摸出“白白红红”的概率为47×36×35×12=335，第二种摸出“白红白红”的概率为47×36×35×12=335，第三种摸出“红白白红”的概率为37×46×35×12=335，所以连续摸4次停止的概率等于935．所以答案是：935解答题17、数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.答案：（1）条形统计图见解析，90∘；（2）不同，理由见解析；（3）13.分析：（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；（3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案. （1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人， 所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了1100.55=200人，所以用银行卡支付的人有200×0.15=30人，用微信支付的人有200×0.3=60人， 用现金支付所占比例为50200=0.25，所以0.25×360∘=90∘，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，补全统计图如图所示：（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝. （3）将微信记为A 、支付宝记为B 、银行卡记为C ，画树状图如下：∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种， ∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为39=13.18、某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米跑（互不影响）的成绩在13s 内（称为合格）的概率分别为25，，13.若对这三名短跑运动员的100跑的成绩进行一次检测，则求：（Ⅰ）三人都合格的概率；34（Ⅱ）三人都不合格的概率；（Ⅲ）出现几人合格的概率最大.答案：（Ⅰ）110；（Ⅱ）110；（Ⅲ）1人. 分析：记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13，从而根据不同事件的概率求法求得各小题.记甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A ，B ，C ，显然事件A ，B ，C 相互独立，则P(A)=25，P(B)=34，P(C)=13 设恰有k 人合格的概率为P k (k =0,1,2,3).（Ⅰ）三人都合格的概率：P 3=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=25×34×13=110（Ⅱ）三人都不合格的概率：P 0=P(ABC)=P(A)⋅P(B)⋅P(C)=35×14×23=110.（Ⅲ）恰有两人合格的概率：P 2=P(ABC)+P(ABC)+P(ABC)=25×34×23+25×14×13+35×34×13=2360. 恰有一人合格的概率：P 1=1−P 0−P 2−P 3=1−110−2360−110=2560=512.因为512>2360>110，所以出现1人合格的概率最大.。
高中概率论试题及答案
高中概率论试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 如果一个事件的概率是0.5，那么它的对立事件的概率是（）。
A. 0.3B. 0.5C. 0.7D. 0.8答案：C2. 抛一枚硬币三次，至少出现一次正面的概率是（）。
A. 0.5B. 0.75C. 0.875D. 0.9答案：C3. 从一副去掉大小王的扑克牌中随机抽取一张牌，抽到红桃的概率是（）。
A. 1/4B. 1/3C. 1/2D. 2/3答案：A4. 一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是（）。
A. 5/8B. 3/8C. 5/3D. 3/5答案：A5. 一个骰子连续投掷两次，两次都出现6点的概率是（）。
A. 1/6B. 1/36C. 1/12D. 1/9答案：B6. 一个袋子里有10个球，其中3个是红球，7个是蓝球。
随机抽取两个球，两个都是红球的概率是（）。
A. 3/10B. 1/10C. 3/45D. 7/90答案：C7. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是（）。
A. 1/2B. 1/10C. 1/5D. 5/10答案：A8. 一个袋子里有3个红球和7个蓝球，随机抽取一个球，抽到蓝球的概率是（）。
A. 7/10B. 3/10C. 7/3D. 3/7答案：A9. 一个骰子连续投掷三次，至少出现一次6点的概率是（）。
A. 1/2B. 5/6C. 2/3D. 1/6答案：B10. 一个袋子里有2个红球和8个蓝球，随机抽取一个球，抽到蓝球的概率是（）。
A. 2/10B. 8/10C. 4/5D. 1/5答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 如果事件A的概率是0.7，那么它的对立事件的概率是______。
答案：0.312. 抛一枚硬币四次，恰好出现两次正面的概率是______。
答案：6/16 = 3/813. 一个袋子里有4个红球和6个蓝球，随机抽取一个球，抽到红球的概率是______。
条件概率高中练习题及讲解及答案
条件概率高中练习题及讲解及答案### 条件概率高中练习题及讲解#### 练习题一某班级有50名学生，其中男女生各半。
已知该班级有10名学生近视。
若随机抽取一名学生，该学生是男生的概率为P(A)=0.5，是近视的概率为P(B)=0.2。
求以下概率：1. 抽取的学生是男生且近视的概率P(AB)。
2. 抽取的学生是男生，给定他是近视的情况下的概率P(A|B)。
#### 解题步骤及讲解首先，我们需要理解条件概率的定义：P(A|B) = P(AB) / P(B)。
1. 计算P(AB)：已知班级中男生和女生各半，近视学生占20%，那么男生中近视的学生比例为20%。
计算P(AB)，即男生且近视的学生数占总学生数的比例，即：\[ P(AB) = \frac{10}{50} = 0.2 \]2. 计算P(A|B)：根据条件概率公式，我们需要已知P(B)和P(AB)。
我们已经计算出P(AB)为0.2，而P(B)为0.2。
代入公式得：\[ P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{0.2}{0.2} = 1 \]#### 练习题二在一个装有红球和蓝球的箱子中，红球有30个，蓝球有20个。
随机抽取一个球，求以下概率：1. 抽到红球的概率P(A)。
2. 若已知抽到的球是红球，再抽一个球，抽到蓝球的概率P(B|A)。
#### 解题步骤及讲解1. 计算P(A)：红球总数占总球数的比例即为抽到红球的概率：\[ P(A) = \frac{30}{30+20} = \frac{30}{50} = 0.6 \]2. 计算P(B|A)：已知抽到红球后，箱子中剩余的球数为49（30个红球和20个蓝球）。
此时抽到蓝球的概率为：\[ P(B|A) = \frac{20}{49} \]#### 练习题三某地区有两家医院，A医院和B医院。
A医院的诊断准确率为90%，B医院的诊断准确率为95%。
某患者分别在两家医院进行了检查，两家医院都诊断为阳性。
高中概率练习题及讲解讲解
高中概率练习题及讲解讲解一、基础题1. 题目：一个袋子里有5个红球和3个蓝球，随机取出一个球，求是红球的概率。
答案：首先计算总球数为8个，红球数为5个。
根据概率公式 P(A) = 事件发生的次数 / 总的可能次数，红球的概率 P(红球) = 5/8。
2. 题目：掷一枚均匀的硬币两次，求至少出现一次正面的概率。
答案：首先列出所有可能的结果：正正、正反、反正、反反。
其中正正和正反、反正是至少出现一次正面的情况。
根据概率公式，P(至少一次正面) = 3/4。
3. 题目：一个班级有30名学生，随机选取5名学生作为代表，求其中至少有一名男生的概率（假设班级男女比例为1:1）。
答案：首先计算总的选取方式，即从30名学生中选取5名的组合数。
然后计算没有男生的选取方式，即从15名女生中选取5名的组合数。
根据对立事件的概率计算，P(至少一名男生) = 1 - P(没有男生)。
二、进阶题1. 题目：一个工厂每天生产100个零件，其中有5%的次品。
今天工厂生产了200个零件，求至少有10个次品的概率。
答案：首先确定次品数为10、11、...、20。
使用二项分布公式P(X=k) = C(n, k) * p^k * (1-p)^(n-k)，其中 n=200, p=0.05。
计算总概率P(X ≥ 10) = Σ P(X=k) (k=10 to 20)。
2. 题目：一个盒子里有10个球，编号为1到10。
随机抽取3个球，求抽取的球的编号之和大于15的概率。
答案：列出所有可能的抽取组合，计算和大于15的组合数。
然后根据概率公式计算概率。
3. 题目：一个班级有50名学生，其中男生30名，女生20名。
随机选取5名学生，求选取的学生中恰好有3名男生的概率。
答案：使用组合数计算选取3名男生和2名女生的组合数，然后除以总的选取方式数，即从50名学生中选取5名的组合数。
三、高难题1. 题目：一个连续掷骰子直到出现6点停止，求掷骰子次数的期望值。
高中数学概率统计难题集
高中数学概率统计难题集
1. 排列组合
1. 某班有10个男生和8个女生，从中选择5位同学参加一次数学竞赛，其中必须至少有2名男生和3名女生参赛。
求参赛人员的组合数。
2. 概率计算
2. 在一副有52张牌的扑克牌中，从中随机抽出5张牌，求抽到四张皇后的概率。
3. 离散型随机变量
3. 一批零件的质量服从正态分布，均值为80，标准差为5。
从中随机抽取一个零件，求质量小于75的概率。
4. 连续型随机变量
4. 一家餐厅餐桌到达的时间符合指数分布，平均每10分钟有一桌。
求在20分钟内没有餐桌到达的概率。
5. 相关性分析
5. 一对骰子同时抛掷，求两个骰子的和为7的概率。
这些难题涵盖了高中数学概率统计的不同概念和技巧，希望能
够提供给学生们一些有趣而具有挑战性的练题。
尝试解答这些问题，不断提升自己的数学思维能力和解题技巧。
> 注意：以上问题解析仅供参考，具体解答可能与题目提供的
信息有关。
在实际解题过程中，请根据题目给出的条件和公式进行
思考和推导，以获得正确的答案。
以上就是一份高中数学概率统计难题集的文档，希望对你有所
帮助！。
高中概率试题及答案
高中概率试题及答案一、选择题（每题2分，共10分）1. 抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是多少？A. 0.5B. 0.25C. 0.75D. 12. 从52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是多少？A. 1/4B. 1/2C. 1/3D. 1/133. 一个袋子里有3个红球和2个蓝球，随机取出一个球，取到蓝球的概率是多少？A. 1/3B. 1/2C. 2/5D. 3/54. 一个事件的概率为0.3，那么它的对立事件的概率是多少？A. 0.7B. 0.3C. 0.5D. 0.65. 一个班级有30名学生，其中10名男生和20名女生，随机抽取一名学生，抽到女生的概率是多少？A. 1/3B. 2/3C. 1/2D. 3/4二、填空题（每题3分，共15分）6. 一个骰子有6个面，每个面出现的概率是_________。
7. 如果一个事件的概率是0.4，那么它发生的概率是_________。
8. 从10个不同的球中随机抽取3个，不放回，抽到特定3个球的概率是_________。
9. 一个袋子里有5个红球和5个蓝球，随机取出2个球，两个球都是红球的概率是_________。
10. 一个事件的概率为0.2，那么它不发生的概率是_________。
三、解答题（每题5分，共10分）11. 一个袋子里有2个红球和3个蓝球，随机取出2个球，求至少一个红球的概率。
12. 一个班级有50名学生，其中25名男生和25名女生。
随机抽取3名学生，求至少有1名男生的概率。
四、计算题（每题7分，共14分）13. 一个袋子里有5个红球，3个蓝球和2个黄球。
随机取出3个球，求取出的球中至少有一个红球的概率。
14. 一个盒子里有10个球，其中3个是中奖球。
随机抽取2个球，求至少抽到一个中奖球的概率。
五、应用题（每题8分，共16分）15. 一个学校有500名学生，其中300名是高中生，200名是初中生。
随机抽取10名学生，求至少有8名高中生的概率。
高中概率问题练习题及讲解
高中概率问题练习题及讲解1. 掷骰子问题- 题目：一个均匀的六面骰子被掷两次，求两次掷出的点数之和为7的概率。
- 解析：首先确定所有可能的结果总数，即6*6=36种。
然后找出两次掷骰子点数和为7的组合，它们是(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)和(6,1)，共6种。
因此，所求概率为6/36，简化后为1/6。
2. 抽卡片问题- 题目：从一副没有大小王的52张扑克牌中随机抽取一张，求抽到黑桃A的概率。
- 解析：一副标准扑克牌中有13张黑桃，其中只有1张是黑桃A。
因此，抽到黑桃A的概率为1/52。
3. 独立事件问题- 题目：如果一个事件A发生的概率是0.3，另一个事件B发生的概率是0.5，且A和B是相互独立的，求A和B同时发生的概率。
- 解析：独立事件同时发生的概率等于各自发生概率的乘积。
因此，A和B同时发生的概率为0.3*0.5=0.15。
4. 互斥事件问题- 题目：如果事件A和事件B是互斥的，且它们发生的概率分别为0.4和0.3，求至少有一个事件发生的概率。
- 解析：互斥事件至少有一个发生的概率等于它们各自发生概率的和，减去它们同时发生的概率（如果有的话）。
由于A和B互斥，它们不可能同时发生，所以同时发生的概率为0。
因此，至少有一个事件发生的概率为0.4+0.3=0.7。
5. 条件概率问题- 题目：已知事件A发生的概率为0.5，事件B在A发生条件下发生的概率为0.7，求事件B发生的概率。
- 解析：事件B发生的总概率等于事件A发生且B发生的概率加上事件A不发生且B发生的概率。
由于A和B在A发生条件下是相关的，我们只能计算A发生且B发生的概率，即0.5*0.7=0.35。
事件A不发生且B发生的概率需要额外信息才能计算。
6. 全概率公式问题- 题目：如果事件A1、A2、A3是两两互斥的事件，它们发生的概率分别为p1、p2、p3，且它们的并集概率为1，求事件B在这些条件下发生的概率，已知B在A1、A2、A3条件下发生的概率分别为p(B|A1)、p(B|A2)、p(B|A3)。
高中概率题型及解题方法
高中概率题型及解题方法概率是高中数学中重要且有趣的话题。
它涉及到事件发生的可能性，并通过数学方法计算概率值。
在高中学习中，学生经常会遇到各种概率题型。
本文将介绍一些常见的高中概率题型及解题方法。
1. 事件概率计算：在这种类型的题目中，我们需要计算某个特定事件发生的概率。
一般情况下，事件概率等于事件发生的次数除以总的可能次数。
解决这类问题时，关键是确定事件发生的次数和总的可能次数。
2. 独立事件概率计算：当我们面对多个独立事件时，我们可以将每个事件的概率相乘来得到它们同时发生的概率。
例如，投掷一枚硬币和掷一颗骰子是独立事件，我们可以计算得到同时出现正面和点数为3的概率。
3. 互斥事件概率计算：互斥事件是指两个事件不能同时发生的情况。
在这种情况下，我们可以计算每个事件发生的概率并将它们相加。
例如，抽一张扑克牌，获得红桃和黑桃的两个事件就是互斥事件，我们可以计算它们的概率并相加。
4. 条件概率计算：当我们已经知道某个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率，我们可以使用条件概率来解决问题。
条件概率等于两个事件同时发生的概率除以已知条件发生的概率。
解题时，我们需要明确给出的条件和需要计算的事件。
5. 排列组合问题：在一些概率问题中，我们需要考虑对象的排列顺序或组合方式。
这涉及到排列和组合的概念。
排列是指对象的顺序，组合是指对象的选择，与顺序无关。
解决这类问题时，我们需要正确地使用排列和组合的公式。
高中概率题型多种多样，每个题目都有其独特的解题方法。
关键是理解概率的基本概念，掌握如何把问题转化为数学语言，并使用适当的公式和计算方法得出正确的答案。
通过反复的练习和理解，我们可以在高中学习中显著提高我们的概率问题解决能力。
高中算概率的试题及答案
高中算概率的试题及答案试题一：掷骰子问题题目：一个公平的六面骰子被掷两次，求两次掷出的点数之和为7的概率。
答案：1. 首先，确定基本事件总数。
一个六面骰子有6个面，掷两次，所以基本事件总数为6×6=36。
2. 然后，找出所有两次掷出的点数之和为7的情况。
这些情况有：(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，共6种。
3. 最后，计算概率。
概率P(A)=有利事件数/基本事件总数=6/36=1/6。
试题二：抽卡片问题题目：一个袋子里有5张红牌和3张蓝牌，随机抽取两张牌，求两张牌颜色相同的概率。
答案：1. 计算基本事件总数。
从8张牌中抽取两张，基本事件总数为C(8,2)=28。
2. 计算两张牌都是红牌的事件数。
从5张红牌中抽取两张，事件数为C(5,2)=10。
3. 计算两张牌都是蓝牌的事件数。
从3张蓝牌中抽取两张，事件数为C(3,2)=3。
4. 计算两张牌颜色相同的事件总数。
两张牌颜色相同包括两张都是红牌和两张都是蓝牌，事件总数为10+3=13。
5. 计算概率。
概率P(A)=有利事件数/基本事件总数=13/28。
试题三：独立事件问题题目：甲、乙两人独立射击同一目标，甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.7。
求甲、乙两人都击中目标的概率。
答案：1. 由于甲、乙两人射击是独立事件，所以两人都击中目标的概率等于各自击中目标概率的乘积。
2. 计算概率。
概率P(A)=P(甲击中)×P(乙击中)=0.6×0.7=0.42。
试题四：几何概率问题题目：在一个半径为1的圆内随机取一点，求该点到圆心的距离小于0.5的概率。
答案：1. 确定基本事件对应的面积。
整个圆的面积为π×1²=π。
2. 确定有利事件对应的面积。
距离圆心小于0.5的区域是一个半径为0.5的圆，其面积为π×0.5²=0.25π。
3. 计算概率。
概率P(A)=有利事件面积/基本事件面积=0.25π/π=0.25。
概率高中练习题及讲解
概率高中练习题及讲解### 概率高中练习题及讲解#### 练习题一：掷骰子问题题目：一个公平的六面骰子被掷两次，求至少出现一次6点的概率。
解题思路：1. 首先确定总的可能结果数，即掷两次骰子的所有组合。
2. 然后确定至少出现一次6点的组合数。
3. 使用古典概型概率公式求解。
解答：- 总的可能结果数为 \(6 \times 6 = 36\) 种。
- 至少出现一次6点的组合数为 \(6 + 6 - 1 = 11\) 种（第一次出现6点，第二次出现6点，以及第一次和第二次都出现6点的组合）。
- 概率 \( P = \frac{11}{36} \)。
#### 练习题二：生日问题题目：在一个有30人的班级中，求至少有两人生日相同的概率。
解题思路：1. 考虑一年有365天，忽略闰年。
2. 使用生日问题的经典解法，即计算所有人都有不同生日的概率，然后用1减去这个概率。
解答：- 所有人都有不同生日的概率为 \( \frac{365}{365} \times\frac{364}{365} \times ... \times \frac{336}{365} \)。
- 至少有两人生日相同的概率为 \( 1 - \frac{365 \times 364\times ... \times 336}{365^{30}} \)。
#### 练习题三：独立事件问题题目：一个袋子里有5个红球和5个蓝球。
第一次随机取出一个球，不放回，然后第二次再取出一个球。
求第二次取出红球的概率。
解题思路：1. 确定第一次取出球后，第二次取球的总可能数和有利结果数。
2. 使用条件概率公式求解。
解答：- 第一次取出红球的概率为 \( \frac{5}{10} = 0.5 \)，此时第二次取红球的概率为 \( \frac{4}{9} \)。
- 第一次取出蓝球的概率也为 \( 0.5 \)，此时第二次取红球的概率为 \( \frac{5}{9} \)。
- 总概率为 \( 0.5 \times \frac{4}{9} + 0.5 \times \frac{5}{9} = \frac{9}{18} = 0.5 \)。
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高中概率问题．随机事件的概率随机事件的概率1、必然事件：一般地，把在条件S 下，一定会发生的事件叫做相对于条件S 的必然事件。
2、不可能事件：把在条件S 下，一定不会发生的事件叫做相对于条件S 的不可能事件。
3、确定事件：必然事件和不可能事件统称相对于条件S 的确定事件。
4、随机事件：在条件S 下可能发生也可能不发生的事件，叫相对于条件S 的随机事件。
5、频数：在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为事件A 出现的频数。
6、频率：事件A 出现的比例()=A n n A nf 。
7、概率：随机事件A 的概率是频率的稳定值，反之，频率是概率的近似值.概率的意义1、概率的正确解释：随机事件在一次试验中发生与否是随机的，但随机性中含有规律性。
认识了这种随机中的规律性，可以比较准确地预测随机事件发生的可能性。
2、游戏的公平性：抽签的公平性。
3、决策中的概率思想：从多个可选答案中挑选出正确答案的决策任务，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则。
——极大似然法、小概率事件4、天气预报的概率解释：明天本地降水概率为70%解释是“明天本地下雨的机会是70%”。
5、试验与发现：孟德尔的豌豆试验。
6、遗传机理中的统计规律。
概率的基本性质1、事件的关系与运算（1）包含。
对于事件A 与事件B ，如果事件A 发生，则事件B 一定发生，称事件B 包含事件A （或事件A 包含于事件B ），记作(B A ⊇⊆或A B)。
不可能事件记作∅。
（2）相等。
若B A A B ⊇⊇且，则称事件A 与事件B 相等，记作A=B 。
（3）事件A 与事件B 的并事件（和事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生或事件B 发生。
（4）事件A 与事件B 的交事件（积事件）：某事件发生当且仅当事件A 发生且事件B 发生。
（5）事件A 与事件B 互斥：A B I 为不可能事件，即=A B ∅I ，即事件A 与事件B 在任何一次试验中并不会同时发生。
（6）事件A 与事件B 互为对立事件：A B I 为不可能事件，A B U 为必然事件，即事件A 与事件B 在任何一次试验中有且仅有一个发生。
2、概率的几个基本性质（1）0()1P A ≤≤.（2）必然事件的概率为1.()1P E =.（3）不可能事件的概率为0. ()0P F =.（4）事件A 与事件B 互斥时，P(A U B)=P(A)+P(B)——概率的加法公式。
（5）若事件B 与事件A 互为对立事件，，则A B U 为必然事件，()1P A B =U .古典概型古典概型1、基本事件：基本事件的特点：（1）任何两个事件是互斥的；（2）任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本时间的和。
2、古典概型：（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等。
具有这两个特点的概率模型称为古典概型。
3、公式：()=AP A 包含的基本事件的个数基本事件的总数（整数值）随机数的产生如何用计算器产生指定的两个整数之间的取整数值的随机数——书上例题。
几何概型几何概型1、几何概型：每个事件发生的概率只有与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例的概率模型。
2、几何概型中，事件A发生的概率计算公式：() P A=构成事件A的区域长度（面积或体积）试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）均匀随机数的产生常用的是[]0,1上的均匀随机数，可以用计算器来产生0~1之间的均匀随机数。
本章知识小结（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别。
（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式。
（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率。
（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（参见例3）。
（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程。
重难点的归纳：重点：1、了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，正确理解概率的意义．2、理解古典概型及其概率计算公式．3、关于几何概型的概率计算4、体会随机模拟中的统计思想：用样本估计总体．难点：1、理解频率与概率的关系.2、设计和运用模拟方法近似计算概率．3、把求未知量的问题转化为几何概型求概率的问题．（二）高考概率概率考试内容：随机事件的概率．等可能性事件的概率．互斥事件有一个发生的概率．相互独立事件同时发生的概率．独立重复试验．考试要求：（1）了解随机事件的发生存在着规律性和随机事件概率的意义．（2）了解等可能性事件的概率的意义，会用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率。
（3）了解互斥事件、相互独立事件的意义，会用互斥事件的概率加法公式与相互独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率．（4）会计算事件在n 次独立重复试验中恰好发生κ次的概率．以下归纳9个常见考点：解析概率与统计试题是高考的必考内容。
它是以实际应用问题为载体，以排列组合和概率统计等知识为工具，以考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算和随机变量概率分布列性质及其应用为目标的中档师，预计这也是今后高考概率统计试题的考查特点和命题趋向。
下面对其常见题型和考点进行解析。
考点1考查等可能事件概率计算。
在一次实验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等。
如果事件A包含的结果有m个，那么()mP An。
这就是等可能事件的判断方法及其概率的计n算公式。
高考常借助不同背景的材料考查等可能事件概率的计算方法以及分析和解决实际问题的能力。
例1（2004 天津）从4名男生和2名女生中任3人参加演讲比赛.(I)求所选3人都是男生的概率；(II)求所选3人中恰有1名女生的概率；(III)求所选3人中至少有1名女生的概率.考点2 考查互斥事件至少有一个发生与相互独立事件同时发生概率计算。
不可能同时发生的两个事件A、B叫做互斥事件，它们至少有一个发生的事件为A+B，用概率的加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)计算。
事件A（或B）是否发生对事件B（或A）发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立事件，它们同时发生的事件为AB。
用概率的乘法公式P(AB)=P(A)P(B)计算。
高考常结合考试竞赛、上网工作等问题对这两个事件的识别及其概率的综合计算能力进行考查。
例2.（2005 全国卷Ⅲ）设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响。
已知在某一小时内，甲、乙都需要照顾的概率为，甲、丙都需要照顾的概率为，乙、丙都需要照顾的概率为，（Ⅰ）求甲、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少；（Ⅱ）计算这个小时内至少有一台需要照顾的概率。
考点3 考查对立事件概率计算。
必有一个发生的两个互斥事件A、B叫做互为对立事件。
用概率的减法公式P(A)=1-P(A)计算其概率。
高考常结合射击、电路、交通等问题对对立事件的判断识别及其概率计算进行考查。
例3．(2005 福建卷文）甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为122和5。
（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，求恰好命中一次的概率；（Ⅱ）甲、乙两人在罚球线各投球二次，求这四次投球中至少一次命中的概率；考点4 考查独立重复试验概率计算。
若n次重复试验中，每次试验结果的概率都不依赖其它各次试验的结果，则此试验叫做n次独立重复试验。
若在1次试验中事件A发生的概率为P，则在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为Pn(k)=n ()(1)k k n knP A C p p-=-。
高考结合实际应用问题考查n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率的计算方法和化归转化、分类讨论等数学思想方法的应用。
例4．（2005 湖北卷）某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同。
假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2。
从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换。
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；（Ⅲ）当p1=，p2=时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）考点5考查随机变量概率分布与期望计算。
解决此类问题时，首先应明确随机变量可能取哪些值，然后按照相互独立事件同时发生概率的法公式去计算这些可能取值的概率值即可等到分布列，最后根据分布列和期望、方差公式去获解。
以此考查离散型随机变量分布列和数学期望等概念和运用概率知识解决实际问题的能力。
例5．（2005 湖北卷）某地最近出台一项机动车驾照考试规定；每位考试者一年之内最多有4次参加考试的机会，一旦某次考试通过，使可领取驾照，不再参加以后的考试，否则就一直考到第4次为止。
如果李明决定参加驾照考试，设他每次参加考试通过的概率依次为，，，，求在一年内李明参加驾照考试次数ξ的分布列和ξ的期望，并求李明在一年内领到驾照的概率。
考点6考查随机变量概率分布列与其他知识点结合1、考查随机变量概率分布列与函数结合。
例6.（2005 湖南卷）某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是，，，且客人是否游览哪个景点互不影响，设ξ表示客人离开该城市时游览的景点数与没有游览的景点数之差的绝对值。
（Ⅰ）求ξ的分布及数学期望；（Ⅱ）记“函数f(x)＝x2－3ξx＋1在区间[2，＋∞)上单调递增”为事件A，求事件A的概率。
2、考查随机变量概率分布列与数列结合。
例7甲乙两人做射击游戏，甲乙两人射击击中与否是相互独立事件，规则如下：若射击一次击中，原射击者继续射击，若射击一次不中，就由对方接替射击。
已知甲乙两人射击一次击中的概率均为7，且第一次由甲开始射击。
（1）求前4次射击中，甲恰好射击3次的概率。
（2）若第n次由甲射击的概率为an ，求数列{an}的通项公式；求lim a n，并说明极n→∞限值的实际意义。
3、考查随机变量概率分布列与线形规划结合。
例8（2005 辽宁卷）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都是经过第一和第二工序加工而成，两道工序的加工结果相互独立，每道工序的加工结果均有A、B两个等级对每种产品，两道工序的加工结果都为A级时，产品为一等品，其余均为二等品。
（Ⅰ）已知甲、乙两种产品每一道工序的加工结果为A级的概率如表一所示，分别求生产出的甲、乙产品为一等品的概P(甲)、P(乙)；（Ⅱ）已知一件产品的利润如表二所示，用ξ、η分别表示一件甲、乙产品的利润，在（I）的条件下，求ξ、η的分布列及Eξ、Eη；（Ⅲ）已知生产一件产品需用的工人数和资金额如表三所示.该工厂有工人40名，可用资金60万元。