苏教版数学高一-【金识源】 必修2教案 1.2.3直线与平面的位置关系(4)
苏教版高中数学必修2- 1.2.4平面与平面的位置关系(3)教案
1.2.4 平面与平面的位置关系（3）教学目标：1．进一步理解和掌握两平面垂直的定义与判定；2．理解掌握两平面垂直的性质，并能运用性质定理与判定定理解题．教材分析及教材内容的定位：两平面垂直是生产、生活中常见问题，应要求学生能熟练地证明有关问题．教学重点：面面垂直的性质定理． 教学难点：面面垂直的性质定理与判定定理的综合应用．教学方法：类比，猜想，验证．教学过程：一、问题情境1．复习二面角的定义；2．复习两平面垂直的定义、判定定理．3．情境问题：如果两平面垂直，那么其中一个平面内的任一点在另一个平面内的射影的位置有什么特殊性吗？二、学生活动 画图探究，类比思考． 三、建构数学1． 两平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面． 简记为：面面垂直⇒线面垂直 面的直线必在第一个平面内．l lββ⎪=⎪⎬⊂⎪⎪⊥⎭已知：α⊥β，A ∈α，AB ⊥β． 求证：AB ⊂α．例2 四棱锥P-ABCD 中，底面四边形ABCD 为正方形，侧面PDC 为正三角形，且平面PDC ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点，求证：平面EDB ⊥平面PBC ．2．练习．（1）如图，在三棱锥A -BCD 中，∠BCD ＝90︒，AB ⊥面BCD ，求证：平面ABC ⊥平面ACD ．变式：如图，已知四边形ABCD 为矩形，PA ⊥平面ABCD ，请写出图中与平面PAB 垂直的所有平面．（2）S 为三角形ABC 所在平面外一点，SA ⊥平面ABC ，平面SAB ⊥平面SBC ．ABCDPEDABPABCD2．已知面面垂直，如何找一个面的垂线？3．解题时要注重线线、线面、面面垂直的相互关系；4．理解数学的化归思想．。
2019年苏教版高中数学必修2- 1.2.3直线与平面的位置关系(3)教案
1.2.3 直线与平面的位置关系（3）
教学目标：
1. 掌握平面的斜线及其在平面上的射影、直线和平面所成角等有关概念；
2. 掌握求直线和平面所成角的方法；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教材分析及教材内容的定位：
直线和平面所成的角是继学习异面直线所成角后的又一个空间角，及后面将学习的二面角都是立体几何的重要概念，它们均需化归为相交直线来求.复习异面直线所成的角有利于学生进行对比和联系，掌握线面所成的角同时也为后继学习作好铺垫.平面外的直线和其在平面内的射影的夹角是直线与平面内任意直线夹角中的最小值、平面外的直线和其在平面内的射影的夹角的大小仅取决于直线和平面的位置说明了直线和平面夹角概念的合理性，教学中需让学生理解，才能真正认同和掌握概念.
应用概念求解直线和平面夹角中关键是找出直线在平面中的射影，在教学中需量化，方法上需强调解题步骤,在思想上要注意平面化思想，以及转化与化归思想的渗透.
教学重点：
线面夹角的概念及求法．
教学难点：
找到直线和平面所成的角.
教学方法：
合作交流，启发式.
教学过程：
一、问题情境
1．问题：观察如图（1）所示的长方体ABCD－A1B1C1D1（1）直线AA1和平面ABCD是什么关系?
（2）直线A1B，A1C，A1D和平面ABCD是否垂直? A B
C D
A1
C1
B1
D1
A B
C D
（3）直线A1B，A1C，A1D与点B，C，D它们又如何命名呢？。
苏教版高中数学(必修2)1.2《点、线、面之间的位置关系》(直线和平面平行)word学案
高二年级数学教学案（2010年9月12日）
(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号α⊄a 来表示a ∥α和A a =α 这两种情形．
(3)直线与平面位置关系的图形画法：
①画直线a 在平面α内时，表示直线α的直线段只能在表示平面能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；
②在画直线a 与平面α相交时，表示直线a 的线段必须有部分在表示平面之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；
、G分别是AB、BC、。
高中数学 第1章 立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案 苏教版必修2
高中数学第1章立体几何1.2.3 直线与平面的位置关系同步教学案苏教版必修2【课时目标】1．理解直线与平面平行的判定定理的含义，会用图形语言、文字语言、符号语言准确描述直线与平面平行的判定定理；2．能运用直线与平面平行的判定定理证明一些空间线面关系的简单问题．位置关系直线a在平面α内直线a与平面α相交直线a与平面α平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示a⊂αa∩α＝A a∥α图形表示2．直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和________________________平行，那么这条直线和这个平面平行．用符号表示为a⊄α，b⊂α且a∥b⇒a∥α．一、填空题1．以下说法(其中a，b表示直线，α表示平面)正确的个数为________．①若a∥b，b⊂α，则a∥α；②若a∥α，b∥α，则a∥b；③若a∥b，b∥α，则a∥α；④若a∥α，b⊂α，则a∥b．2．已知a，b是两条相交直线，a∥α，则b与α的位置关系是________．3．如果平面α外有两点A、B，它们到平面α的距离都是a，则直线AB和平面α的位置关系是______________________________________________________________________．4．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB＝CF∶FB＝1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是________．5．过直线l外两点，作与l平行的平面，则这样的平面为____________个．6．过平行六面体ABCD－A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有________条．7．经过直线外一点有________个平面与已知直线平行．8．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1的面中：(1)与直线AB平行的平面是______________；(2)与直线AA1平行的平面是______________；(3)与直线AD平行的平面是______________．9．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则BD1与过点A，E，C的平面的位置关系是__________________________________________________________________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱BC、C1D1的中点．求证：EF∥平面BDD1B1．11．如图所示，P是▱ABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE∶EA＝BF∶FD．求证：EF∥平面PBC．能力提升12．下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是________．(写出所有符合要求的图形序号)13．正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE，BD上各有一点P，Q，且AP ＝DQ．求证PQ∥平面BCE．(用两种方法证明)直线与平面平行的判定方法(1)利用定义：证明直线a 与平面α没有公共点．这一点直接证明是很困难的，往往借助于反证法来证明．(2)利用直线和平面平行的判定定理：a ⊄α，a∥b，b ⊂α，则a∥α．使用定理时，一定要说明“不在平面内的一条直线和平面内的一条直线平行”，若不注明和平面内的直线平行，证明过程就不完整．因此要证明a∥平面α，则必须在平面α内找一条直线b ，使得a∥b，从而达到证明的目的．证明线线平行时常利用三角形中位线、平行线分线段成比例定理等．1．2．3 直线与平面的位置关系 第1课时 直线与平面平行的判定答案知识梳理1．直线在平面外 a ⊄α 2．这个平面内的一条直线 作业设计 1．0解析 ①a ⊂α也可能成立；②a，b 还有可能相交或异面；③a ⊂α也可能成立；④a，b 还有可能异面．2．b∥α或b 与α相交 3．平行或相交4．平行 5．0,1或无数 6．12解析 如图所示，与BD 平行的有4条，与BB 1平行的有4条，四边形GHFE 的对角线与面BB 1D 1D 平行，同等位置有4条，总共12条．7．无数8．(1)平面A 1C 1和平面DC 1 (2)平面BC 1和平面DC 1 (3)平面B 1C 和平面A 1C 1 9．平行解析 设BD 的中点为F ，则EF∥BD 1． 10．证明 取D 1B 1的中点O ， 连结OF ，OB ．∵OF 綊12B 1C 1，BE 綊12B 1C 1，∴OF 綊BE ．∴四边形OFEB 是平行四边形， ∴EF∥BO．∵EF ⊄平面BDD 1B 1， BO ⊂平面BDD 1B 1， ∴EF∥平面BDD 1B 1．11．证明 连结AF 延长交BC 于G ， 连结PG ．在▱ABCD 中，易证△BFG∽△DFA． ∴GF FA ＝BF FD ＝PE EA ， ∴EF∥PG．而EF ⊄平面PBC ， PG ⊂平面PBC ， ∴EF∥平面PBC ． 12．①③13．证明 方法一 如图(1)所示，作PM∥AB 交BE 于M ，作QN∥AB 交BC 于N ，连结MN ． ∵正方形ABCD 和正方形ABEF 有公共边AB ， ∴AE＝BD ．又∵AP＝DQ ，∴PE＝QB ． 又∵PM∥AB∥QN， ∴PM AB ＝PE AE ，QN DC ＝BQ BD ． ∴PM 綊QN ．∴四边形PQNM 是平行四边形．∴PQ∥MN． 又MN ⊂平面BCE ，PQ ⊄平面BCE ， ∴PQ∥平面BCE ．方法二 如图(2)所示，连结AQ 并延长交BC(或其延长线)于K ，连结EK ．∵KB∥AD，∴DQ BQ ＝AQQK．∵AP＝DQ ，AE ＝BD ，∴BQ＝PE ． ∴DQ BQ ＝AP PE ．∴AQ QK ＝APPE．∴PQ∥EK． 又PQ ⊄面BCE ，EK ⊂面BCE ，∴PQ∥面BCE ．第2课时直线与平面平行的性质【课时目标】1．能应用文字语言、符号语言、图形语言准确地描述直线与平面平行的性质定理．2．能运用直线与平面平行的性质定理，证明一些空间线面平行关系的简单问题．直线与平面平行的性质定理：经过一条直线和一个平面________，经过这条直线的平面和这个平面__________，那么这条直线就和交线________．(1)符号语言描述：______________．(2)性质定理的作用：可以作为________________平行的判定方法，也提供了一种作__________的方法．一、填空题1．已知直线l∥平面α，直线m⊂α，则直线l和m的位置关系是________．2．若不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且A、B、CD/∈α，则面ABC与面α的位置关系为____________．3．若直线m不平行于平面α，且m⊄α，则下列结论成立的是________(填序号)．①α内的所有直线与m异面；②α内不存在与m平行的直线；③α内存在唯一的直线与m平行；④α内的直线与m都相交．4．如图所示，长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别是棱AA1和BB1的中点，过EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H，则HG与AB的位置关系是________．5．直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线条数为________．6．如图所示，平面α∩β＝l1，α∩γ＝l2，β∩γ＝l3，l1∥l2，下列说法正确的是__________(填序号)．①l1平行于l3，且l2平行于l3；②l1平行于l3，且l2不平行于l3；③l1不平行于l3，且l2不平行于l3；④l1不平行于l3，但l2平行于l3．7．设m、n是平面α外的两条直线，给出三个论断：①m∥n；②m∥α；③n∥α．以其中的两个为条件，余下的一个为结论，构造三个命题，写出你认为正确的一个命题：______________．(用序号表示)8．如图所示，ABCD —A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体，M 、N 分别是下底面的棱A 1B 1，B 1C 1的中点，P 是上底面的棱AD 上的一点，AP ＝a3，过P ，M ，N 的平面交上底面于PQ ，Q 在CD 上，则PQ ＝________．9．如图所示，在空间四边形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是四边上的点，它们共面，并且AC∥平面EFGH ，BD∥平面EFGH ，AC ＝m ，BD ＝n ，当四边形EFGH 是菱形时，AE∶EB＝________．二、解答题10．ABCD 是平行四边形，点P 是平面ABCD 外一点，M 是PC 的中点，在DM 上取一点G ，过G 和AP 作平面交平面BDM 于GH ，求证：AP∥GH．11．如图所示，三棱锥A —BCD 被一平面所截，截面为平行四边形EFGH ． 求证：CD∥平面EFGH ．能力提升12．如图所示，在透明塑料制成的长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1容器中灌进一些水，将固定容器底面一边BC 置于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜程度的不同，有以下命题：①水的形状成棱柱形；②水面EFGH 的面积不变；③A 1D 1始终水面EFGH 平行．其中正确的命题序号是________．13．如图所示，P 为平行四边形ABCD 所在平面外一点，M 、N 分别为AB 、PC 的中点，平面PAD∩平面PBC ＝l ．(1)求证：BC∥l；(2)MN 与平面PAD 是否平行？试证明你的结论．直线与平面平行判定定理和直线与平面平行性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出新的线线平行，复杂的题目还可继续推下去．可有如下示意图：线线平行――→在平面内作或找一直线线面平行――→经过直线作或找平面与平面相交的交线线线平行．第2课时 直线与平面平行的性质 答案知识梳理平行 相交 平行⎭⎪⎬⎪⎫a∥αa ⊂ββ∩α＝b ⇒a∥b 直线和直线 平行线作业设计1．平行或异面 2．平行或相交 3．② 4．平行解析 ∵E、F 分别是AA 1、BB 1的中点，∴EF∥AB． 又AB ⊄平面EFGH ，EF ⊂平面EFGH ， ∴AB∥平面EFGH ． 又AB ⊂平面ABCD ，平面ABCD∩平面EFGH ＝GH ， ∴AB∥GH． 5．0或1解析 设这n 条直线的交点为P ，则点P 不在直线a 上，那么直线a 和点P 确定一个平面β，则点P 既在平面α内又在平面β内，则平面α与平面β相交，设交线为直线b ，则直线b 过点P ．又直线a∥平面α，则a∥b．很明显这样作出的直线b 有且只有一条，那么直线b 可能在这n 条直线中，也可能不在，即这n 条直线中与直线a 平行的直线至多有一条．6．①解析 ∵l 1∥l 2，l 2⊂γ，l 1⊄γ， ∴l 1∥γ．又l 1⊂β，β∩γ＝l 3， ∴l 1∥l 3∴l 1∥l 3∥l 2．7．①②⇒③(或①③⇒②)解析 设过m 的平面β与α交于l ． ∵m∥α，∴m∥l，∵m∥n，∴n∥l， ∵n ⊄α，l ⊂α，∴n∥α． 8．223a解析 ∵MN∥平面AC ，平面PMN∩平面AC ＝PQ ，∴MN∥PQ，易知DP ＝DQ ＝2a3，故PQ ＝PD 2＋DQ 2＝2DP ＝22a 3．9．m∶n解析 ∵AC∥平面EFGH ，∴EF∥AC，GH∥AC，∴EF＝HG ＝m·BE BA ，同理EH ＝FG ＝n·AEAB．∵EFGH 是菱形，∴m·BE BA ＝n·AEAB，∴AE∶EB＝m∶n．10．证明 如图所示，连结AC 交BD 于O ，连结MO ， ∵ABCD 是平行四边形，∴O 是AC 中点， 又M 是PC 的中点， ∴AP∥OM．根据直线和平面平行的判定定理， 则有PA∥平面BMD ．∵平面PAHG∩平面BMD ＝GH ， 根据直线和平面平行的性质定理， ∴PA∥GH．11．证明∵四边形EFGH为平行四边形，∴EF∥GH．又GH⊂平面BCD，EF⊄平面BCD．∴EF∥平面BCD．而平面ACD∩平面BCD＝CD，EF⊂平面ACD，∴EF∥CD．而EF⊂平面EFGH，CD⊄平面EFGH，∴CD∥平面EFGH．12．①③13．(1)证明因为BC∥AD，AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，所以BC∥平面PAD．又平面PAD∩平面PBC＝l，BC⊂平面PBC，所以BC∥l．(2)解MN∥平面PAD．证明如下：如图所示，取DC的中点Q．连结MQ、NQ．因为N为PC中点，所以NQ∥PD．因为PD⊂平面PAD，NQ⊄平面PAD，所以NQ∥平面PAD．同理MQ∥平面PAD．又NQ⊂平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，NQ∩MQ＝Q，所以平面MNQ∥平面PAD．所以MN∥平面PAD．第3课时直线与平面垂直的判定【课时目标】1．理解直线与平面垂直的定义．2．掌握直线与平面垂直的判定定理并能灵活应用．1．如果直线a与平面α内的__________________，我们就说直线a与平面α互相垂直，记作：________．图形如图所示．2．从平面外一点引平面的垂线，这个点和________间的距离，叫做这个点到这个平面的距离．3．直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条________直线垂直，那么这条直线______于这个平面．图形表示：用符号表示为：______________________________________________________________．一、选择题1．下列命题中正确的是________(填序号)．①如果直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α；②如果直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α；③如果直线l不垂直于α，则α内没有与l垂直的直线；④如果直线l不垂直于α，则α内也可以有无数条直线与l垂直．2．直线a⊥直线b，b⊥平面β，则a与β的关系是________．3．若a、b、c表示直线，α表示平面，下列条件中能使a⊥α为________．(填序号)①a⊥b，b⊥c，b⊂α，c⊂α；②a⊥b，b∥α；③a∩b＝A，b⊂α，a⊥b；④a∥b，b⊥α．4．如图所示，定点A和B都在平面α内，定点P∉α，PB⊥α，C是平面α内异于A和B的动点，且PC⊥AC，则△ABC的形状为__________三角形．5．如图①所示，在正方形SG1G2G3中，E、F分别是边G1G2、G2G3的中点，D是EF的中点，现沿SE、SF及EF把这个正方形折成一个几何体(如图②使G1、G2、G3三点重合于一点G)，则下列结论中成立的有________(填序号)．①SG⊥面EFG；②SD⊥面EFG；③GF⊥面SEF；④GD⊥面SEF．6．△ABC的三条边长分别是5、12、13，点P到三点的距离都等于7，那么P到平面ABC 的距离为__________________________________________________________________．7．如图所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．8．在直三棱柱ABC—A1B1C1中，BC＝CC1，当底面A1B1C1满足条件______时，有AB1⊥BC1(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况)．9．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱AA1和AB上的点，若∠B1MN是直角，则∠C1MN＝________．二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别是棱B1C1、B1B的中点．求证：CF⊥平面EAB．11．如图所示，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是矩形，侧棱PA垂直于底面，E、F分别是AB，PC的中点，PA＝AD．求证：(1)CD⊥PD；(2)EF⊥平面PCD．能力提升12．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为DD1的中点，O为ABCD的中心，求证B1O⊥平面PAC．13．如图所示，△ABC中，∠ABC＝90°，S A⊥平面ABC，过点A向SC和SB引垂线，垂足分别是P、Q，求证：(1)AQ⊥平面SBC；(2)PQ⊥SC．1．直线和平面垂直的判定方法(1)利用线面垂直的定义．(2)利用线面垂直的判定定理．(3)利用下面两个结论：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若α∥β，a⊥α，则a⊥β．2．在线面垂直的问题中，通过直线与直线垂直，可以证明直线与平面垂直；直线与平面垂直后，直线和平面内的任何直线都垂直．这样，就形成了线线垂直与线面垂直连环使用的思维形式，它对解题方法、策略乃至人们的思维，无疑都是一种提示．第3课时直线与平面垂直的判定答案知识梳理1．任意一条直线都垂直 a⊥α 2．垂足3．相交 垂直 m ，n ⊂α，m∩n＝O ，l⊥m，l⊥n ⇒l⊥α 作业设计1．④ 2．a ⊂β或a∥β 3．④ 4．直角解析 易证AC⊥面PBC ，所以AC⊥BC． 5．① 6．323解析 由P 到三个顶点距离相等．可知，P 为△ABC 的外心，又△ABC 为直角三角形，∴P到平面ABC 的距离为h ＝PD ＝72－⎝ ⎛⎭⎪⎫1322＝323．7．4解析⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥平面ABC BC ⊂平面ABC⇒⎭⎪⎬⎪⎫PA⊥BC AC⊥BC ⇒BC⊥平面PAC ⇒BC⊥PC， ∴直角三角形有△PAB、△PAC、△ABC、△PBC． 8．∠A 1C 1B 1＝90° 解析如图所示，连结B 1C ，由BC ＝CC 1，可得BC 1⊥B 1C ，因此，要证AB 1⊥BC 1，则只要证明BC 1⊥平面AB 1C ，即只要证AC⊥BC 1即可，由直三棱柱可知，只要证AC⊥BC 即可． 因为A 1C 1∥AC，B 1C 1∥BC， 故只要证A 1C 1⊥B 1C 1即可．(或者能推出A 1C 1⊥B 1C 1的条件，如∠A 1C 1B 1＝90°等) 9．90°解析 ∵B 1C 1⊥面ABB 1A 1， ∴B 1C 1⊥MN． 又∵MN⊥B 1M ， ∴MN⊥面C 1B 1M ， ∴MN⊥C 1M ．∴∠C 1MN ＝90°．10．证明 在平面B 1BCC 1中， ∵E、F 分别是B 1C 1、B 1B 的中点， ∴△BB 1E≌△CBF， ∴∠B 1BE ＝∠BCF，∴∠BCF＋∠EBC＝90°，∴CF⊥BE，又AB⊥平面B 1BCC 1，CF ⊂平面B 1BCC 1， ∴AB⊥CF，AB∩BE＝B ，∴CF⊥平面EAB ． 11．证明 (1)∵PA⊥底面ABCD ， ∴CD⊥PA．又矩形ABCD 中，CD⊥AD，且AD∩PA＝A ， ∴CD⊥平面PAD ， ∴CD⊥PD．(2)取PD 的中点G ，连结AG ，FG ．又∵G、F 分别是PD ，PC 的中点，∴GF 綊12CD ，∴GF 綊AE ，∴四边形AEFG 是平行四边形，∴AG∥EF． ∵PA＝AD ，G 是PD 的中点， ∴AG⊥PD，∴EF⊥PD，∵CD⊥平面PAD ，AG ⊂平面PAD ． ∴CD⊥AG．∴EF⊥CD．∵PD∩CD＝D ，∴EF⊥平面PCD ．12．证明 连结AB 1，CB 1，设AB ＝1． ∴AB 1＝CB 1＝2，∵AO＝CO ，∴B 1O⊥AC． 连结PB 1．∵OB 21＝OB 2＋BB 21＝32，PB 21＝PD 21＋B 1D 21＝94，OP 2＝PD 2＋DO 2＝34，∴OB 21＋OP 2＝PB 21． ∴B 1O⊥PO，又∵PO∩AC＝O ， ∴B 1O⊥平面PAC ．13．证明 (1)∵SA⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴SA⊥BC．又∵BC⊥AB，SA∩AB＝A ， ∴BC⊥平面SAB ． 又∵AQ ⊂平面SAB ，∴BC⊥AQ．又∵AQ⊥SB，BC∩SB＝B ， ∴AQ⊥平面SBC ．(2)∵AQ⊥平面SBC ，SC ⊂平面SBC ，∴AQ⊥SC．又∵AP⊥SC，AQ∩AP＝A ， ∴SC⊥平面APQ ．∵PQ ⊂平面APQ ，∴PQ⊥SC．第4课时 直线与平面垂直的性质【课时目标】 1．掌握直线与平面垂直的性质定理．2．会求直线与平面所成的角．1．直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线________．该定理用图形表示为：用符号表示为：________________________．2．直线和平面的距离：一条直线和一个平面________，这条直线上______________到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离．3．平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面______________．规定：若直线与平面垂直，则直线与平面所成的角是________．若直线与平面平行或直线在平面内，则直线与平面所成的角是________的角．一、填空题1．与两条异面直线同时垂直的平面有________个．2．若m 、n 表示直线，α表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为________．① ⎭⎪⎬⎪⎫m∥n m⊥α⇒n⊥α； ②⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn⊥α⇒m∥n； ③⎭⎪⎬⎪⎫m⊥αn∥α⇒m⊥n； ④⎭⎪⎬⎪⎫m∥αm⊥n ⇒n⊥α． 3．已知直线PG⊥平面α于G ，直线EF ⊂α，且PF⊥EF 于F ，那么线段PE ，PF ，PG 的大小关系是______________．4．PA 垂直于以AB 为直径的圆所在平面，C 为圆上异于A ，B 的任一点，则下列关系正确的是________(填序号)．①PA⊥BC；②BC⊥平面PAC ； ③AC⊥PB； ④PC⊥BC．5．P 为△ABC 所在平面外一点，O 为P 在平面ABC 内的射影．(1)若P 到△ABC 三边距离相等，且O 在△ABC 的内部，则O 是△ABC 的________心； (2)若PA⊥BC，PB⊥AC ，则O 是△ABC 的______心；(3)若PA，PB，PC与底面所成的角相等，则O是△ABC的________心．6．线段AB在平面α的同侧，A、B到α的距离分别为3和5，则AB的中点到α的距离为________．7．直线a和b在正方体ABCD－A1B1C1D1的两个不同平面内，使a∥b成立的条件是________．(只填序号)①a和b垂直于正方体的同一个面；②a和b在正方体两个相对的面内，且共面；③a和b平行于同一条棱；④a和b在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直．8．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，(1)直线A1B与平面ABCD所成的角是________；(2)直线A1B与平面ABC1D1所成的角是________；(3)直线A1B与平面AB1C1D所成的角是________．9．如图，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，侧棱长为2，底面三角形的边长为1，则BC1与侧面ACC1A1所成的角是________．(正三棱柱：侧棱与底面垂直，底面为正三角形的棱柱)二、解答题10．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC．求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．11．如图所示，设三角形ABC的三个顶点在平面α的同侧，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别是△ABC和△A′B′C′的重心，求证：GG′⊥α．能力提升12．如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，DB⊥平面ABC，CE＝CA＝2BD，M是EA的中点，N是EC的中点，求证：平面DMN∥平面ABC．13．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝CC1，M，N分别是A1B，B1C1的中点．(1)求证：MN⊥平面A1BC；(2)求直线BC1和平面A1BC所成的角的大小．1．直线和平面垂直的性质定理可以作为两条直线平行的判定定理，可以并入平行推导链中，实现平行与垂直的相互转化，即线线垂直⇒线面垂直⇒线线平行⇒线面平行．2．求线面角，确定直线在平面内的射影的位置，是解题的关键．因为只有确定了射影的位置，才能找到直线与平面所成的角，才能将空间的问题转化为平面的问题来解．第4课时直线与平面垂直的性质答案知识梳理1．平行 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 2．平行 任意一点3．所成的角 直角 0° 作业设计 1．0 2．3解析 ①②③正确，④中n 与面α可能有：n ⊂α或n∥α或相交(包括n⊥α)． 3．PE>PF>PG解析 由于PG⊥平面α于G ，PF⊥EF， ∴PG 最短，PF<PE ，∴PE>PF>PG． 4．①②④解析 PA⊥平面ABC ，得PA⊥BC，①正确； 又BC⊥AC，∴BC⊥面PAC ， ∴BC⊥PC，②、④均正确． 5．(1)内 (2)垂 (3)外 6．4解析 由直线与平面垂直的性质定理知AB 中点到α距离为以3和5为上、下底的直角梯形的中位线的长．7．①②③解析 ①为直线与平面垂直的性质定理的应用，②为面面平行的性质，③为公理4的应用．8．(1)45° (2)30° (3)90° 解析(1)由线面角定义知∠A 1BA 为A 1B 与平面ABCD 所成的角，∠A 1BA ＝45°． (2)连结A 1D 、AD 1，交点为O ，则易证A 1D⊥面ABC 1D 1，所以A 1B 在面ABC 1D 1内的射影为OB ， ∴A 1B 与面ABC 1D 1所成的角为∠A 1BO ，∵A 1O ＝12A 1B ，∴∠A 1BO ＝30°．(3)∵A 1B⊥AB 1，A 1B⊥B 1C 1，∴A 1B⊥面AB 1C 1D ，即A 1B 与面AB 1C 1D 所成的角为90°． 9．30°解析 取AC 的中点E ，连结C 1E ，BE ，则∠BC 1E 即为所求的角．又由BC 1＝3，BE ＝32，所以sin ∠BC 1E ＝12，∠B C 1E ＝30°．10．证明 (1)∵ADD 1A 1为正方形， ∴AD 1⊥A 1D ．又∵CD⊥平面ADD 1A 1，∴CD⊥AD 1． ∵A 1D∩CD＝D ，∴AD 1⊥平面A 1DC ． 又∵MN⊥平面A 1DC ， ∴MN∥AD 1．(2)连结ON ，在△A 1DC 中， A 1O ＝OD ，A 1N ＝NC ．∴ON 綊12CD 綊12AB ，∴ON∥AM． 又∵MN∥OA，∴四边形AMNO 为平行四边形，∴ON＝AM ．∵ON＝12AB ，∴AM＝12AB ，∴M 是AB 的中点．11．证明连结AG 并延长交BC 于D ，连结A′G′并延长交B′C′于D′，连结DD′，由AA′⊥α，BB′⊥α，CC′⊥α，得AA′∥BB′∥CC′．∵D、D′分别为BC 和B′C′的中点， ∴DD′∥CC′∥BB′，∴DD′∥AA′，∵G、G′分别是△ABC 和△A′B′C′的重心， ∴AG GD ＝A′G′G′D′，∴GG′∥AA′， 又∵AA′⊥α，∴GG′⊥α．12．证明 ∵M、N 分别是EA 与EC 的中点， ∴MN∥AC，又∵AC ⊂平面ABC ，MN ⊄平面ABC ， ∴MN∥平面ABC ，∵DB⊥平面ABC ，EC⊥平面ABC ， ∴BD∥EC，四边形BDEC 为直角梯形， ∵N 为EC 中点，EC ＝2BD ，∴NC 綊BD ，∴四边形BCND 为矩形， ∴DN∥BC，又∵DN ⊄平面ABC ，BC ⊂平面ABC ， ∴DN∥平面ABC ， 又∵MN∩DN＝N ，∴平面DMN∥平面ABC ． 13．(1)证明 如图所示，由已知BC⊥AC，BC⊥CC 1， 得BC⊥平面ACC 1A 1．连结AC 1，则BC⊥AC 1．由已知，可知侧面ACC 1A 1是正方形，所以A 1C ⊥AC 1． 又BC∩A 1C ＝C ，所以AC 1⊥平面A 1BC ．因为侧面ABB 1A 1是正方形，M 是A 1B 的中点，连结AB 1，则点M 是AB 1的中点．又点N 是B 1C 1的中点，则MN 是△AB 1C 1的中位线，所以MN∥AC 1．故MN⊥平面A 1BC ． (2)解 如图所示，因为AC 1⊥平面A 1BC ，设AC 1与A 1C 相交于点D ，连结BD ， 则∠C 1BD 为直线BC 1和平面A 1BC 所成的角．设AC ＝BC ＝CC 1＝a ，则C 1D ＝22a ，BC 1＝2a ．在Rt △BDC 1中，sin ∠C 1BD ＝C 1D BC 1＝12，所以∠C 1BD ＝30°，故直线BC 1和平面A 1BC 所成的角为30°．。
1.2.3直线与平面的位置关系(3) 教案 高中数学 必修二 苏教版 Word版
1.2.3直线与平面的位置关系(3)从容说课直线与平面垂直是直线和平面相交中的特例，为了使学生了解直线与平面“斜交”的“程度”，教材中引入了直线与平面所成角的概念，同时从逻辑上给学生认识“直线和平面的位置关系”有一个完整的体系.教学时只需学生了解直线与平面所成角的概念，明确直线与平面所成角的范围，关于它的度量问题将在“空间向量与立体几何”一章中作深入研究.对于直线与平面所成角的范围的教学，有条件的学校可以借助计算机动画演示来帮助学生理解.本节课的主要内容是了解直线和平面所成角的概念，会运用直线与平面垂直的判定定理和性质定理解决有关问题.教学过程中要培养学生将分散的条件集中到某一个图形中进行研究的意识，特别是辅助线的添加.在运用这两个定理解决具体问题时，关键是组织学生探求、创造定理成立的条件，进一步熟悉两个定理应用的关键所在.例3的结论也称“三垂线定理”，是证明线线垂直的一个典型范例，教学时要引导学生归纳证明线线垂直的常见方法，逐步完善学生的知识结构，进一步渗透化归的数学思想方法.例4也是直线和平面垂直的判定定理的一个运用，教学时可引导学生从结论出发寻找证题思路，并激发学生探讨该题的其他证法.教学重点直线和平面垂直的判定定理和性质定理的综合应用.教学难点直线和平面垂直的判定定理和性质定理应用时定理成立条件的创造.教具准备多媒体课件、投影仪、打印好的作业.课时安排1课时三维目标一、知识与技能1.了解直线和平面所成角的概念和范围.2.能熟练地运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关问题.二、过程与方法1.通过师生之间、学生与学生之间互相交流，培养学生做一个会与别人共同学习的人.2.通过探究、思考，培养学生理性思维能力、观察能力以及空间想象能力.3.通过运用直线和平面垂直的判定定理和性质定理解决有关问题，使学生进一步理解解决立体几何问题的基本指导思想，即创造条件将立体几何的问题转化为平面几何的问题来解决.三、情感态度与价值观1.通过学习直线与平面垂直的定义所成角的概念、范围的教学，使学生明确数学概念的来龙去脉，加深对人类认识事物的一般规律的理解和认识，体会知识之间的有机联系，感受数学的整体性.2.在教学过程中，通过学生的相互交流，来加深学生对直线与平面垂直的定义、判定定理、性质定理的理解，增强学生数学交流能力和数学地分析问题、解决问题的能力.3.通过组织学生讨论例4的不同证明方法，激发学生学习数学的热情.教学过程导入新课师前面几节课我们研究了直线和平面平行以及直线和平面垂直的判定和性质，请把你对这些知识的理解和同桌交流一下.(生交流，复习回顾直线和平面的位置关系)师当直线和平面垂直时，直线是否和平面一定相交?生当直线和平面垂直时，直线一定和这个平面相交.师由此可知，直线和平面垂直只是直线和平面相交的一种特殊情况，那么当一条直线和一个平面相交而不垂直时，能否用一个几何量来刻画直线和平面的这种位置关系呢?如何利用直线和平面垂直的有关知识解决一些综合问题呢?这就是我们本节课所要研究的问题.(引入新课，书写课题)推进新课介绍直线和平面所成角的有关概念师你能否在长方体模型中找到直线和平面相交但不垂直的例子?(生探究，师用细铁棍演示，得出如下结论)在如图所示的长方体ABCD-A1B1C1D1中，可以发现A1B、A1D、A1C均和平面ABCD相交，但都不与这个平面垂直.师直线A1A和平面ABCD是什么关系?生直线A1A和平面ABCD垂直，直线A1A叫做平面ABCD的垂线.师那么直线A1B、A1D、A1C和平面ABCD的位置关系又如何命名呢?生直线A1B、A1D、A1C叫做平面ABCD的斜线，点B、C、D叫做斜足.师你能否据此抽象出它们位置关系的一幅图呢?(生讨论交流，得出右图)师过一点和已知平面垂直的直线有几条?生一条.师平面的垂线与平面的交点又如何命名呢?生垂足.师过斜足和垂足的直线和平面的斜线又是怎样的关系呢?在上图中我们能否用一个几何量来刻画这条斜线与这个平面的位置关系呢?(生讨论交流，引出如下概念)一条直线与一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线(obliQue liNe),斜线与平面的交点叫做斜足.斜线上一点与斜足间的线段叫做这个点到平面的斜线段.过斜足和垂足的直线叫做斜线在这个平面上的正投影(简称射影).平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的角.当一条直线和一个平面垂直时，称这条直线和这个平面所成的角是直角(或90°的角)，当一条直线和一个平面平行时，称这条直线和这个平面所成的角是0°的角.师1.平面的斜线和平面所成的角的范围是什么?直线和平面所成的角的范围呢?2.若平面α的斜线l和平面α所成的角为θ1，平面α的斜线l和平面α内任一直线所成的角为θ2，试比较θ1和θ2的大小关系，并给以证明.(生讨论交流，得出如下结论)师(1)平面的一条斜线与这个平面所成的角的范围为(0°,90°).(2)当一条直线和一个平面垂直时，称这条直线和这个平面成90°的角，当一条直线和一个平面平行时，称这条直线和这个平面成0°的角，这样直线和平面所成的角的范围为［0°,90°］.(3)一条直线和一个平面所成的角是这条直线和这个平面内所有直线所成角中的最小角.(4)求解平面的斜线与平面所成的角的关键是找这条直线在这个平面内的射影.【例1】 如图，∠BAC 在平面α内，点P ∉α，∠P AB=∠P AC.求证:点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上.师你能说说你解答该题的思路吗?(生思考)师如果你不能说出一个完整的解题思路的话，对于该题你能做些什么工作?(生交流，得出如下解题思路分析，师板书证明过程)方法引导:要证明P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上，首先应作出点P 在平面α上的射影O ，再证∠BAO=∠CAO 即可.要证∠BAO=∠CAO，只需证明含这两个角的两个三角形全等.证明:过点P 作P O⊥α，P E⊥AB，P F⊥AC，垂足分别是O 、E 、F ，连结OE 、OF 、OA. ⎪⎭⎪⎬⎫=∠=∠⊥⊥PA PA PAF PAE AC PF AB PE ,⇒Rt△P AE≌Rt△P AF ⇒AE=AF.∵P O⊥α,AB ⊂α,∴AB⊥P O.又AB⊥P E ，∴AB⊥平面P EO.∴AB⊥OE.同理，AC⊥OF.在Rt△AOE 和Rt△AOF 中，AE=AF ，OA=OA,∴Rt△AOE≌Rt△AOF.于是，∠EAO=∠FAO，即点P 在平面α上的射影在∠BAC 的平分线上.【例2】 求证:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直,那么这条直线就和这条直线在这个平面内的射影垂直.师你觉得要解决该题，首先要做哪些工作?(生讨论交流)师当我们写出题目的已知、求证并画出相关图形时，所要解决的问题就一目了然了，你能说出空间证明线线垂直的方法都有哪些吗?师证明空间两条直线垂直的方法都有哪些?(生讨论交流，归纳出证明空间两条直线垂直的方法，并完成证明)师证明空间两条直线垂直的方法有如下几种:(1)定义法:若直线a 和直线b 所成角为90°,则a⊥b;(2)根据线面垂直的性质定理即:由“线面垂直推得线线垂直”;(3)“线线垂直 线面垂直 线线垂直”这是解决证明空间垂直问题的一条很有效的途径.探究:证明:如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直,那么这条直线就和这条斜线垂直.(生讨论交流，完成证明)师例2的结论以及上述探究的结论就是我们立体几何中判断空间直线垂直的一个重要定理——“三垂线定理及其逆定理”.(三)目标检测1.课本第37页练习1、2、3、4.2.下列命题中正确的是()A.若a是平面α的斜线，直线b垂直于a在平面α内的射影a′，则a⊥bB.若a是平面α的斜线，平面β内的直线b垂直于a在平面α内的射影a′，则a⊥bC.若a是平面α的斜线，直线b平行于平面α，且b垂直于a在平面α内的射影a′，则a⊥bD.若a是平面α的斜线，b是平面α内的直线，且b垂直于a在另一个平面β内的射影a′，则a⊥b参考答案：C课堂小结师通过本节课的学习，你都有哪些收获，你能把你的收获和你的同桌分享一下吗?(生交流，总结归纳直线和平面所成角的有关概念以及证明空间两条直线垂直的方法) 布置作业1.课本第38页习题1.2(2)第13题.2.如图，ABCD为正方形，过A作线段SA⊥面ABCD，又过A作与SC垂直的平面交SB、SC、SD于E、K、H，求证:E、H分别是点A在直线SB和SD上的射影.板书设计1.2.3直线与平面的位置关系(3)直线和平面所成角的有关概念(例题及学生练习)课堂小结与布置作业活动与探究1.完成课本第38页习题1.2(2)第14题.2.如果直角三角形的斜边与平面α平行，两条直角边所在直线与平面α所成的角分别为θ1和θ2，则()A.si n2θ1+si n2θ2≥1B.si n2θ1+sin2θ2≤1C.si n2θ1+si n2θ2>1D.si n2θ1+si n2θ2<1参考答案:B备课资料典型习题1.如果P A 、P B 、P C 两两垂直，那么P 在平面ABC 内的射影一定是△ABC 的()A.重心B.内心C.外心D.垂心2.设P A 、P B 、P C 是从点P 引出的三条射线，每两条的夹角都等于60°，则直线P C 与平面A P B 所成角的余弦值是() A.21 B.23 C.33 D.36 3.已知P A⊥矩形ABCD 所在平面，M 、N 分别是AB 、P C 的中点.(1)求证:MN ⊥CD;(2)若∠P DA=45°，求证：MN ⊥面P CD.第3题图 第4题图4.如上图，ABCD 为正方形，过A 作线段SA⊥面ABCD ，又过A 作与SC 垂直的平面交SB 、SC 、SD 于E 、K 、H ，求证:E 、H 分别是点A 在直线SB 和SD 上的射影.5.如右图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱P D⊥底面ABCD ，P D=DC ，E 是P C 的中点.(1)证明P A∥平面EDB;(2)求EB 与底面ABCD 所成的角的正切值.参考答案:1.D2.C3.证明：(1)取P D 中点E,又N 为P C 的中点,连结N E,则N E∥CD,N E=21CD. 又∵A M ∥CD,A M =21CD, ∴A M N E.∴四边形A MN E 为平行四边形.∴MN ∥AE.∵AE CD ADP AE ADP CD AD CD PA CD ABCD CD ABCD PA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥⇒⎭⎬⎫⊥⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面面科面. ∴MN ⊥CD.(2)当∠P DA=45°时,Rt△P AD 为等腰直角三角形,则AE⊥P D.又MN ∥AE,∴MN ⊥P D,P D∩CD=D.∴MN ⊥平面P CD.4.证明：BC SA ABCD BC ABCD SA ⊥⇒⎭⎬⎫⊂⊥平面平面 . 又∵AB⊥BC,SA∩AB=A,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AE.∵SC⊥平面AHKE,∴SC⊥AE.又BC∩SC=C,∴AE⊥平面SBC.∴AE⊥SB,即E 为A 在SB 上的射影.同理可证,H 是点A 在SD 上的射影.5.（1）证明：连结AC 交BD 于O.连结EO. ∵ 底面ABCD 是正方形,∴点O 是AC 的中点.在△P AC 中，EO 是中位线，∴P A∥EO.而EO ⊂平面EDB 且P A ⊄平面EDB ，∴P A∥平面EDB.（2）解：作EF⊥DC 交CD 于F.连结BF ，设正方形ABCD 的边长为a.∵P D⊥底面ABCD,∴P D⊥DC.∴EF∥P D,F 为DC 的中点.∴EF⊥底面ABCD ，BF 为BE 在底面ABCD 内的射影. 故∠EBF 为直线EB 与底面ABCD 所成的角. 在Rt△BCF 中，BF=a a a CFBC 25)2(2222=+=+， ∵EF=21P D=2a ， ∴在Rt△EFB 中，ta N ∠EBF=55252aBF EF =. ∴EB 与底面ABCD 所成的角的正切值为55.。
高中数学必修2苏教版配套课件：1.2.3 直线与平面的位置关系
l⊄α，m⊂α ，______ l m ， (2)符号语言：若___________ ∥________ 则 l ∥ α.
线面平行．用该 3．线面平行的判定定理的作用：证明 ________ 定理判断直线 l 和平面 α 平行时 ，必须具备三个条件： ① 直线m在平面α内，即m⊂ α ________________________ ； 直线l不在平面α内，即l⊄α ；② ______________________
l α l⊂β ， (2)符号语言：若________ ∥_________ ，_________
α∩ β＝m ，则l∥m. ________ (3) 直线和平面平行的性质定理中有三个条件： ① 平面 α 和平面 β 相交于直 ________________________ 直线 l和平面α平行，即l∥α ；②______________________
l在平面β内，即l⊂β 线m，即α∩β＝m __________________________ ；③直线 ______________________. 这三个条件是缺一不可的条件． 5 ．直线与平面垂直的定义：如果一条直线 a 与一个 任意一条直线都垂直 ，我们就说直线 a 与平 平面 α 内的 _______________________ 面α互相垂直．
栏 目 链 接
直线与平面垂直 和 10 ． 直 线 和 平 面 相 交 包 括 __________________ 直线与平面不垂直 ________________两种，后者叫做这个平面的斜线，其交点 叫斜足，斜线上任意一点与斜足间的线段，叫做这个点到平
面的斜线段．
11 ．直线和平面所成角：平面的一条斜线与它在这个
栏 目 链 接
平面内的射影所成的锐角，叫做这条直线与这个平面所成的
苏教版数学高一-【金识源】 必修2教案 1.2.3直线与平面的位置关系(2)
1.2.3直线与平面的位置关系（2）
教学目标
1．掌握直线与直线垂直的概念；了解点到平面的距离；直线到平面的距离；
2．掌握直线与平面垂直的判定定理；
3．能够初步运用线面垂直的定义和判定定理证明简单命题．
教材分析及教材内容的定位
垂直关系是历年高考的核心内容之一，空间的垂直有三种：线线垂直、线面垂直和面面垂直；线面垂直是联系线线垂直和面面垂直的桥梁，因而本节课是重中之重. 线面垂直判定定理运用的关键在于证明直线和平面内的两条相交直线垂直；对于线面垂直的定义，用它来证明线面垂直较为困难，而已知线面垂直时，根据定义可知这条直线垂直于这个平面内的所有直线，提供了一种证明线线垂直的方法，即要证明线线垂直，则需要证明线面垂直.线面垂直的性质定理则为证明线线平行提供了一种重要方法.
教学重点
直线与平面垂直的概念、判定定理和性质定理；
教学难点
直线与平面垂直的概念及判定定理的归纳和概括.
教学方法
问题探究，自主发现式．
教学过程
一、问题情境
1．复习：线面平行的定义，判定定理与性质定理
2．在如图所示的长方体中，除了认识的线面平行、线在平面内外，是否存在线面垂直呢？如何判定一条直线与平面垂直呢？
二、学生活动
高中数学
（4）如图，在三棱锥A-BCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证：AC⊥BD.
高中数学。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 1.2.3 直线与平面的位置关系》00
课题：直线与平面垂直教材：苏教版《普通高中课程标准实验教科书·数学》必修②一、教学目标1．通过对实例、图片、模型的观察，让学生提炼并理解直线与平面垂直的定义．2．通过直观感知、操作确认，归纳直线与平面垂直的判定定理，引导学生探究直线与平面垂直的性质定理，尝试用文字、符号、图形语言对定义和定理进行准确表述和合理转换，并能运用定义和定理证明一些空间位置关系的简单命题．3．在探索直线与平面垂直的判定定理过程中发展学生的空间想象能力和合情推理能力，使学生感悟和体验“空间问题转化为平面问题”、“线面垂直转化为线线垂直”等数学思想方法．二、教学重点、难点本节课的教学重点是运用直观感知、问题探究、操作确认等方法概括得出直线与平面垂直的定义和判定定理．教学难点是直线和平面垂直的性质定理的探究、发现和应用．三、教学方法与教学手段启发式教学与探究式教学相结合四、教学过程（一）直线与平面垂直定义的构建请同学们看四张图片：“圆锥图片”“国旗”“灯柱”“倾斜的虎丘塔”，从而引出课题：直线与平面垂直。
进而提出问题如何确定线面垂直关系呢播放动画，引导学生从观察熟悉的数学模型“圆锥体的形成”入手直观感知圆锥体的旋转轴与圆锥底面的垂直关系，以及旋转轴与底面圆上的所有半径都垂直，再通过抽象成数学模型加以分析，使其发现旋转轴所在直线l与圆锥底面所在平面α内的过交点O的直线都是垂直的．进而提出问题：那么直线l与平面α内的所有直线垂直吗？并追问依据是什么？形成概念：由学生概括出自己理解的线面垂直，提出问题：“数学中对于这个概念的定义是如何规定的？”引导学生通过阅读教材予以理性确认，并引导学生用符号语言将它表示出来．（二）直线与平面垂直定义的应用问题一：如图在正方体中，已知AA 1垂直于底面，那么CC 1与底面的位置关系呢？ 问题二：你能写出更一般的正确结论并证明吗？让学生交流感受形成共识：①发现正确结论但不能直接使用；②体会定义的判定作用。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高中数学
1.2.3 直线与平面的位置关系（4）
教学目标
1. 系统理解掌握直线与平面的平行、垂直的判定和性质的应用；
2. 会比较熟练地运用有关结论完成证明；
3. 培养学生的几何直观能力，提高学生的归纳概括能力.
教学重点
直线与平面的平行、垂直的判定．
教学难点
线面平行、垂直的性质与判定的综合应用.
教学方法
合作交流，启发式.
教学过程 一、问题情境
1．复习：
（1）线面平行的定义、判定、性质； （2）线面垂直的定义、判定、性质； 2．情境练习：
（1）在空间中，下列命题：①平行于同一条直线的两条直线互相平行；②垂直于同一条直线的两条直线互相平行；③平行于同一个平面的两条直线互相平行；④垂直于同一个平面的两条直线互相平行．其中正确的是 ．
（2）如图1，PA ⊥平面ABC ，在△ABC 中，BC ⊥AC ，则图中直角三角形有 个
二、典型例题
P
A
B
C
图1 P
A
B
C
D M N
图2
例1如图2，在四棱锥P-ABCD中，M，N分别是AB，PC的中点，若ABCD是平行四边形，求证：MN∥平面PAD．
例2已知矩形ABCD中，过A点作SA⊥平面ABCD，再过点A作AE⊥SB于点E，过点E
高中数学
高中数学。