2014年高考文科数学真题解析分类汇编:K单元 概率(纯word可编辑)
2014年高考真题——文科数学(湖北卷)部分试题解析版Word版含解析

2014年普通高等学校招生全国统一考试(湖北卷)数学(文科)部分解析一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知全集}7,6,5,4,3,2,1{=U ,集合}6,5,3,1{=A ,则=A C U ( )A.}6,5,3,1{B. }7,3,2{C. }7,4,2{D. }7,5,2{2. i 为虚数单位,则=+-2)11(ii ( ) A. 1 B. 1- C. i D.i -3. 命题“R ∈∀x ,x x ≠2”的否定是( )A. R ∉∀x ,x x ≠2B. R ∈∀x ,x x =2C. R ∉∃x ,x x ≠2D. R ∈∃x ,x x =24.若变量x 、y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤-≤+0,024y x y x y x ,则y x +2的最大值是( )A.2B.4C.7D.85.随机投掷两枚均匀的投骰子,学 科 网他们向上的点数之和不超过5的概率为1P ,点数之和大于5的概率为2P ,点数之和为偶数的概率为3P ,则( )A. 321P P P <<B. 312P P P <<C. 231P P P <<D. 213P P P <<6.根据如下样本数据:得到的回归方程为a bx y+=ˆ,则( ) A.0,0>>b a B.0,0<>b a C.0,0><b a D.0.0<<b a7.在如图所示的空间直角坐标系xyz O -中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号①、②、③、④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为( )A.①和②B.③和①C. ④和③D.④和②8.设a 、b 是关于t 的方程0sin cos 2=+θθt t 的两个不等实根,则过),(2a a A ,),(2b b B 两点的直线与双曲线1sin cos 2222=-θθy x 的公共点的个数为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.已知)(x f 是定义在R 上的奇函数,当0≥x 时,x x x f 3)(2-=,则函数3)()(+-=x x f x g 的零点的集合为( )A.{1,3}B.{3,1,1,3}--C.{2-D.{2--10.《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“盖”的术:置如其周,令相承也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了有圆锥的底面周长L 与高h ,计算其体积V 的近似公式21.36v L h ≈它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么近似公式2275v L h ≈相当于将圆锥体积公式中的π近似取为( ) A.227 B.258 C.15750 D.355113二.填空题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.请将答案天灾答题卡对应题号的位置上,答错位置,书写不清,模棱两可均不得分.11.甲、乙两套设备生产的同类产品共4800件,采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80 的样本进行检测.若样本中有50件产品由甲设备生产,则乙设备生产的产品总数为________件.12.若向量)3,1(-=OA ,||||OB OA =,0=∙OB OA ,则=||AB ________.13.在ABC ∆中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,已知6π=A ,1=a ,3=b ,则=B ________.14.阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入n 的值为9,则输出S 的值为 .15.如图所示,函数)(x f y =的图象由两条射线和三条线段组成.若R ∈∀x ,)1()(->x f x f ,则正实数a 的取值范围是 .16.某项研究表明,在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F (单位时间内测量点的车辆数,单位:辆/小时)与车流速度v (假设车辆以相同速度v 行驶,单位:米/秒)平均车长l (单位:米)的值有关,其公式为lv v vF 2018760002++=(1)如果不限定车型,05.6=l ,则最大车流量为_______辆/小时;(2)如果限定车型,5=l ,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加 辆/小时.17. 已知圆1:22=+y x O 和点)0,2(-A ,若定点)2)(0,(-≠b b B 和常数λ满足:对圆O 上那个任意一点M ,都有||||MA MB λ=,则 (1)=b ; (2)=λ .。
2014全国统一高考数学真题及逐题详细解析(文科)—江苏卷

2014年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)解析版数学Ⅰ一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上......... 1. 已知集合A ={4,3,1,2--},}3,2,1{-=B ,则=B A I . 2. 已知复数2)i 25(+=z (i 为虚数单位),则z 的实部为 . 3. 右图是一个算法流程图,则输出的n 的值是 .4. 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是 .5. 已知函数x y cos =与)2sin(ϕ+=x y (0≤πϕ<),它们的图象有一个横坐标为3π的交点,则ϕ的值是 .6. 设抽测的树木的底部周长均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,则在抽测的60株树木中,有 株树木的底部周长小于100cm.7. 在各项均为正数的等比数列}{n a 中,,12=a 4682a a a +=,则6a 的值是 . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面分别为1S ,2S ,体积分别为1V ,2V ,若它们的侧面积相等,且4921=S S ,则21V V 的值是 .100 80 90 110 120 130 底部周长/cm(第6题)(第3题)9. 在平面直角坐标系xOy 中,直线032=-+y x 被圆4)1()2(22=++-y x 截得的弦长 为 .10. 已知函数2()1f x x mx =+-,若对于任意]1,[+∈m m x ,都有0)(<x f 成立,则实数m 的取值范围是 .11. 在平面直角坐标系xOy 中,若曲线xbax y +=2(a ,b 为常数)过点)5,2(-P ,且该曲线在点P 处的切线与直线0327=++y x 平行,则b a +的值是 .12. 如图,在平行四边形ABCD 中,已知8AB =,5AD =,3CP PD =u u u r u u u r ,2AP BP ⋅=u u u r u u u r ,则AB AD ⋅u u u r u u u r的值是 .13. 已知)(x f 是定义在R 上且周期为3的函数,当)3,0[∈x 时,21()22f x x x =-+. 若函数a x f y -=)(在区间]4,3[-上有10个零点(互不相同),则实数a 的取值范围是 .14. 若△ABC 的内角满足C B A sin 2sin 2sin =+,则C cos 的最小值是 .二、解答题:本大题共6小题,共计90分.请在答题卡指定区域.......内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. (本小题满分14分)已知),2(ππα∈,55sin =α.(1)求)4sin(απ+的值; (2)求)265cos(απ-的值.16. (本小题满分14分)如图,在三棱锥ABC P -中,D ,E ,F 分别为棱AB AC PC ,,的中点.已知AC PA ⊥,6PA =,8BC =,5DF =.求证:(1) 直线//PA 平面DEF ;(2) 平面⊥BDE 平面ABC .(第16题)PDCEFBA(第12题)如图,在平面直角坐标系xOy 中,21,F F 分别是椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点,顶点B的坐标为),0(b ,连结2BF 并延长交椭圆于点A ,过点A 作x 轴的垂线交椭圆于另一点C ,连结C F 1.(1) 若点C 的坐标为)31,34(,且22=BF ,求椭圆的方程;(2) 若1F C AB ⊥,求椭圆离心率e 的值.18. (本小题满分16分)如图,为了保护河上古桥OA ,规划建一座新桥BC ,同时设立一个圆形保护区. 规划要求:新桥BC 与河岸AB 垂直;保护区的边界为圆心M 在线段OA 上并与BC 相切的圆. 且古桥两端O 和A 到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量,点A 位于点O 正北方向60m 处,点C 位于点O 正东方向170m 处(OC 为河岸),34tan =∠BCO . (1) 求新桥BC 的长;(2) 当OM 多长时,圆形保护区的面积最大?19. (本小题满分16分)已知函数x x x f -+=e e )(,其中e 是自然对数的底数. (1) 证明:)(x f 是R 上的偶函数;(2) 若关于x 的不等式)(x mf ≤1e -+-m x 在),0(+∞上恒成立,求实数m 的取值范围;(3) 已知正数a 满足:存在),1[0+∞∈x ,使得)3()(030x x a x f +-<成立. 试比较1e -a 与1e -a 的大小,并证明你的结论.设数列}{n a 的前n 项和为n S .若对任意正整数n ,总存在正整数m ,使得m n a S =,则称}{n a 是“H 数列”.(1) 若数列}{n a 的前n 项和n n S 2=(∈n N *),证明:}{n a 是“H 数列”;(2) 设}{n a 是等差数列,其首项11=a ,公差0<d . 若}{n a 是“H 数列”,求d 的值; (3) 证明:对任意的等差数列}{n a ,总存在两个“H 数列”}{n b 和}{n c ,使得n n n c b a += (∈n N *)成立.数学Ⅱ(附加题)21.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)如图,AB 是圆O 的直径,C 、D 是圆O 上位于AB 异侧的两点. 证明:∠ OCB =∠ D .22.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)已知矩阵A 121x -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,B 1121⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦,向量2y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α,x ,y 为实数.若=A αB α,求x +y 的值. 23.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分) 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程21,2)(2;xt t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩为参数,直线l 与抛物线24y x =相交于A 、B 两点,求线段AB 的长.24.[选修4—4:不等式证明选讲](本小题满分10分) 已知x >0,y >0,证明:22(1)(1)9x y x y xy ++++≥. 25. (本小题满分10分)盒中共有9个球,其中有4个红球,3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同. (1) 从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ;(2) 从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1、x 2、x 3, 随机变量X 表示x 1、x 2、x 3中的最大数,求X 的概率分布和数学期望E (X ). 26. (本小题满分10分)已知函数sin ()(0)xf x x x=>,设()n f x 是1()n f x -的导数,n ∈*N . (1) 求12πππ2()()222f f +的值;(2) 证明:对于任意n ∈*N ,等式1πππ2()()444n n nf f -+=都成立.(第21—A 题)参考答案一、选择题 1.【答案】{1,3}-解析:由题意得{1,3}A B =-I 【考点】交集、并集、补集 (B). 【答案】}3,1{-【解析】根据集合的交集运算,两个集合的交集就是所有既属于集合A 又属于集合B 的元素组成的集合,从所给的两个集合的元素可知,公共的元素为-1和3,所以答案为}3,1{-【点评】本题重点考查的是集合的运算,容易出错的地方是审错题目,把交集运算看成并集运算。
2014年高考真题精校精析纯word可编辑·2014高考真题解析2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)

2014·全国新课标卷Ⅰ(文科数学)1.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知集合M ={x |-1<x <3},N ={-2<x <1},则M ∩N =( )A .(-2,1)B .(-1,1)C .(1,3)D .(-2,3)1.B [解析]利用数轴可知M ∩N ={x |-1<x <1}. 2.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 若tan α>0,则( ) A .sin α>0B .cos α>0 C .sin2α>0D .cos2α>0 2.C [解析]因为sin2α=2sin αcos αsin 2α+cos 2α=2tan α1+tan 2α>0,所以选C.3.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设z =11+i+i ,则|z |=( ) A.12B.22C.32D .2 3.B [解析]z =11+i+i =1-i 2+i =12+12i ,则|z |=22.4.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知双曲线x 2a 2-y 23=1(a >0)的离心率为2,则a =( )A .2B.62C.52D .1 4.D [解析]因为c 2=a 2+3,所以e =ca=a 2+3a2=2,得a 2=1,所以a =1. 5.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x ),g (x )的定义域都为R ,且f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,则下列结论中正确的是( )A .f (x )g (x )是偶函数B .|f (x )|g (x )是奇函数C .f (x )|g (x )|是奇函数D .|f (x )g (x )|是奇函数5.C [解析]因为f (x )是奇函数,g (x )是偶函数,所以有f (-x )=-f (x ),g (-x )=g (x ),于是f (-x )·g (-x )=-f (x )g (x ),即f (x )g (x )为奇函数,A 错;|f (-x )|g (-x )=|f (x )|g (x ),即|f (x )|g (x )为偶函数,B 错;f (-x )|g (-x )|=-f (x )|g (x )|,即f (x )|g (x )|为奇函数,C 正确; |f (-x )g (-x )|=|f (x )g (x )|,即f (x )g (x )为偶函数,所以D 也错. 6.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设D ,E ,F 分别为△ABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点,则EB →+FC →=( )A.AD →B.12AD →C.12BC →D.BC → 6.A [解析] EB +FC =EC +CB +FB +BC =12AC +12AB =AD .7.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 在函数①y =cos|2x |,②y =|cos x |,③y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6,④y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4中,最小正周期为π的所有函数为( )A .①②③B .①③④C .②④D .①③7.A [解析]函数y =cos|2x |=cos2x ,其最小正周期为π,①正确;将函数y =cos x 的图像中位于x 轴上方的图像不变,位于x 轴下方的图像对称地翻转至x 轴上方,即可得到y =|cos x |的图像,所以其最小天正周期也为π,②正确;函数y =cos ⎝⎛⎭⎫2x +π6的最小正周期为π,③正确;函数y =tan ⎝⎛⎭⎫2x -π4的最小正周期为π2,④不正确.8.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-1,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是( )A .三棱锥B .三棱柱C .四棱锥D .四棱柱8.B [解析]从俯视图为矩形可以看出,此几何体不可能是三棱锥或四棱锥,其直观图如图,是一个三棱柱.9.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 执行如图1-1的程序框图,若输入的a ,b ,k 分别为1,2,3,则输出的M =( )图1-1A.203B.72C.165D.1589.D [解析]第一次循环后,M =32,a =2,b =32,n =2;第二次循环后,M =83,a =32,b =83,n =3;第三次循环后,M =158,a =83,b =158,n =4,此时n >k (n =4,k =3),结束循环,输出M =158.10.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知抛物线C :y 2=x 的焦点为F ,A (x 0,y 0)是C 上一点,|AF |=54x 0,则x 0=( )A .1B .2C .4D .810.A [解析]由抛物线方程y 2=x ,知p =12,又因为|AF |=x 0+p 2=x 0+14=54x 0,所以得x 0=1.11.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设x ,y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≥a ,x -y ≤-1,且z =x +ay 的最小值为7,则a =( )A .-5B .3C .-5或3D .5或-311.B [解析]当a <0时,作出相应的可行域,可知目标函数z =x +ay 不存在最小值.当a ≥0时,作出可行域如图,易知当-1a >-1,即a >1时,目标函数在A 点取得最小值.由A ⎝⎛⎭⎫a -12,a +12,知z min =a -12+a 2+a 2=7,解得a =3或-5(舍去).图2-2-512.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知函数f (x )=ax 3-3x 2+1,若f (x )存在唯一的零点x 0,且x 0>0,则a 的取值范围是( )A .(2,+∞)B .(1,+∞)C .(-∞,-2)D .(-∞,-1)12.C [解析]显然a =0时,函数有两个不同的零点,不符合.当a ≠0时,由f ′(x )=3ax 2-6x =0,得x 1=0,x 2=2a .当a >0时,函数f (x )在(-∞,0),⎝⎛⎭⎫2a ,+∞上单调递增,在⎝⎛⎭⎫0,2a 上单调递减,又f (0)=1,所以函数f (x )存在小于0的零点,不符合题意;当a <0时,函数f (x )在⎝⎛⎭⎫-∞,2a ,(0,+∞)上单调递减,在⎝⎛⎭⎫2a ,0上单调递增,所以只需f ⎝⎛⎭⎫2a >0,解得a <-2,所以选C. 13.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.13.23 [解析]2本数学书记为数1,数2,3本书共有(数1数2语),(数1语数2),(数2数1语),(数2语数1),(语数1数2),(语数2数1)6种不同的排法,其中2本数学书相邻的排法有4种,对应的概率为P =46=23.14.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ,B ,C 三个城市时,甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B 城市.乙说:我没去过C 城市.丙说:我们三人去过同一城市.由此可判断乙去过的城市为________.14.A [解析]由甲没去过B 城市,乙没去过C 城市,而三人去过同一城市,可知三人去过城市A ,又由甲最多去过两个城市,且去过的城市比乙多,故乙只去过A 城市.15.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=⎩⎪⎨⎪⎧e x -1,x <1,x 13,x ≥1,则使得f (x )≤2成立的x 的取值范围是________.15.(-∞,8] [解析]当x <1时,由e x -1≤2,得x <1;当x ≥1时,由x 13≤2,解得1≤x ≤8,综合可知x 的取值范围为x ≤8.16.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-3,为测量山高MN ,选择A 和另一座山的山顶C 为测量观测点.从A 点测得M 点的仰角∠MAN =60°,C 点的仰角∠CAB =45°,以及∠MAC =75°,从C 点测得∠MCA =60°.已知山高BC =100m ,则山高MN =________m.图1-316.150 [解析]在Rt △ABC 中,BC =100,∠CAB =45°,所以AC =100 2.在△MAC中,∠MAC =75°,∠MCA =60°,所以∠AMC =45°,由正弦定理有AM sin ∠MCA =ACsin ∠AMC,即AM =sin60°sin45°×1002=1003,于是在Rt △AMN 中,有MN =sin60°×1003=150.17.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知{a n }是递增的等差数列,a 2,a 4是方程x 2-5x +6=0的根.(1)求{a n }的通项公式;(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和.17.解:(1)方程x 2-5x +6=0的两根为2,3. 由题意得a 2=2,a 4=3.设数列{a n }的公差为d ,则a 4-a 2=2d , 故d =12,从而得a 1=32.所以{a n }的通项公式为a n =12n +1.(2)设⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 的前n 项和为S n ,由(1)知a n 2n =n +22n +1,则S n =322+423+…+n +12n +n +22n +1,12S n =323+424+…+n +12n +1+n +22n +2, 两式相减得12S n =34+⎝⎛⎭⎫123+…+12n +1-n +22n +2=34+14⎝⎛⎭⎫1-12n -1-n +22n +2,所以S n =2-n +42n +1. 18.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 从某企业生产的某种产品中抽取100件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频数分布表:(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图;(2)估计这种产品质量指标值的平均值及方差(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);(3)根据以上抽样调查数据,能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定?18.解:(1)频率分布直方图如下:(2)质量指标值的样本平均数为x =80×0.06+90×0.26+100×0.38+110×0.22+120×0.08=100. 质量指标值的样本方差为s 2=(-20)2×0.06+(-10)2×0.26+0×0.38+102×0.22+202×0.08=104.所以这种产品质量指标值的平均数的估计值为100,方差的估计值为104.(3)质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.38+0.22+0.8=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定.19.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 如图1-4,三棱柱ABC A 1B 1C 1中,侧面BB 1C 1C 为菱形,B 1C 的中点为O ,且AO ⊥平面BB 1C 1C .图1-4(1)证明:B 1C ⊥AB ;(2)若AC ⊥AB 1,∠CBB 1=60°,BC =1,求三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高.19.解:(1)证明:连接BC 1,则O 为B 1C 与BC 1的交点. 因为侧面BB 1C 1C 为菱形,所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ,所以B 1C ⊥AO , 由于BC 1∩AO =O ,故B 1C ⊥平面ABO . 由于AB ⊂平面ABO ,故B 1C ⊥AB .(2)作OD ⊥BC ,垂足为D ,连接AD .作OH ⊥AD ,垂足为H . 由于BC ⊥AO ,BC ⊥OD ,且AO ∩OD =O , 故BC ⊥平面AOD ,所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ,且AD ∩BC =D , 所以OH ⊥平面ABC .因为∠CBB 1=60°,所以△CBB 1为等边三角形,又BC =1,可得OD =34. 因为AC ⊥AB 1,所以OA =12B 1C =12.由OH ·AD =OD ·OA ,且AD =OD 2+OA 2=74,得OH =2114. 又O 为B 1C 的中点,所以点B 1到平面ABC 的距离为217.故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为217.20.、、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 已知点P (2,2),圆C :x +y -8y =0,过点P 的动直线l 与圆C 交于A ,B 两点,线段AB 的中点为M ,O 为坐标原点.(1)求M 的轨迹方程;(2)当|OP |=|OM |时,求l 的方程及△POM 的面积. 20.解:(1)圆C 的方程可化为x 2+(y -4)2=16, 所以圆心为C (0,4),半径为4.设M (x ,y ),则CM =(x ,y -4),MP =(2-x ,2-y ). 由题设知CM ·MP =0,故x (2-x )+(y -4)(2-y )=0,即(x -1)2+(y -3)2=2. 由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是(x -1)2+(y -3)2=2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1,3)为圆心,2为半径的圆.由于|OP |=|OM |,故O 在线段PM 的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON ⊥PM . 因为ON 的斜率为3,所以直线l 的斜率为-13,故l 的方程为y =-13x +83.又|OM |=|OP |=22,O 到直线l 的距离为4105,故|PM |=4105,所以△POM 的面积为165.21.、[2014·全国新课标卷Ⅰ] 设函数f (x )=a ln x +1-a 2x 2-bx (a ≠1),曲线y =f (x )在点(1,f (1))处的切线斜率为0. (1)求b ;(2)若存在x 0≥1,使得f (x 0)<aa -1,求a 的取值范围. 21.解:(1)f ′(x )=ax +(1-a )x -b .由题设知f ′(1)=0,解得b =1, (2)f (x )的定义域为(0,+∞), 由(1)知,f (x )=a ln x +1-a 2x 2-x ,f ′(x )=ax +(1-a )x -1=1-a x ⎝⎛⎭⎫x -a 1-a (x -1).(i)若a ≤12,则a1-a ≤1,故当x ∈(1,+∞)时,f ′(x )>0,f (x )在(1,+∞)上单调递增.所以,存在x 0≥1,使得f (x 0)<a 1-a 的充要条件为f (1)<a a -1,即1-a 2-1<aa -1,解得-2-1<a <2-1.(ii)若12<a <1,则a 1-a>1,故当x ∈⎝⎛⎭⎫1,a1-a 时,f ′(x )<0;当x ∈⎝⎛⎭⎫a1-a ,+∞时,f ′(x )>0.f (x )在⎝⎛⎭⎫1,a 1-a 上单调递减,在⎝⎛⎭⎫a1-a ,+∞上单调递增.所以,存在x 0≥1,使得f (x 0)<a a -1的充要条件为f ⎝⎛⎭⎫a 1-a <aa -1. 而f ⎝⎛⎭⎫a 1-a =a ln a 1-a +a 22(1-a )+a a -1>aa -1,所以不合题意.(iii)若a >1, 则f (1)=1-a 2-1=-a -12<a a -1,符合题意.综上,a 的取值范围是(-2-1,2-1)∪(1,+∞).22.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4-1:几何证明选讲 如图1-5,四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与DC 的延长线交于点E ,且CB =CE .图1-5(1)证明:∠D =∠E ;(2)设AD 不是⊙O 的直径,AD 的中点为M ,且MB =MC ,证明:△ADE 为等边三角形. 22.证明:(1)由题设知A ,B ,C ,D 四点共圆, 所以∠D =∠CBE .由已知得∠CBE =∠E ,故∠D =∠E .(2)设BC 的中点为N ,连接MN ,则由MB =MC 知MN ⊥BC ,故点O 在直线MN 上. 又AD 不是⊙O 的直径,M 为AD 的中点, 故OM ⊥AD ,即MN ⊥AD , 所以AD ∥BC ,故∠A =∠CBE . 又∠CBE =∠E ,故∠A =∠E .由(1)知,∠D =∠E ,所以△ADE 为等边三角形.23.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线C :x 24+y 29=1,直线l :⎩⎪⎨⎪⎧x =2+t ,y =2-2t (t 为参数).(1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程;(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线,交l 于点A ,求|P A |的最大值与最小值.23.解:(1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x =2cos θ,y =3sin θ(θ为参数),直线l 的普通方程为2x +y -6=0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ,3sin θ)到直线l 的距离d =55|4cos θ+3sin θ-6|, 则|P A |=d sin30°=255|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α=43.当sin(θ+α)=-1时,|P A |取得最大值, 最大值为2255.当sin(θ+α)=1时,|P A |取得最小值, 最小值为255.24.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 选修4-5:不等式选讲 若a >0,b >0,且1a +1b=ab .(1)求a 3+b 3的最小值;(2)是否存在a ,b ,使得2a +3b =6?请说明理由.24.解:(1)由ab =1a +1b ≥2ab ,得ab ≥2,当且仅当a =b =2时等号成立.故a 3+b 3≥2a 3b 3≥42,当且仅当a =b =2时等号成立. 所以a 3+b 3的最小值为4 2.(2)由(1)知,2a +3b ≥26ab ≥4 3.由于43>6,从而不存在a ,b ,使2a +3b =6.。
2014年高考数学试题分类汇编 K概率

数 学K 单元 概率K1 随事件的概率 20.、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量....X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多..有1年的年入流量超过120的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?20.解:(1)依题意,p 1=P (40<X <80)=1050=0.2,p 2=P (80≤X ≤120)=3550=0.7,p 3=P (X >120)=550=0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p =C 04(1-p 3)4+C 14(1-p 3)3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y =5000,E (Y )=5000×1=5000.②安装2台发电机的情形. 依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5000-800=4200,因此P (Y =4200)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当X ≥80时,两台发电机运行,此时Y =5000×2=10 000,因此P (Y =10 000)=P (X ≥80)= p 2+所以,E (Y )=4200×0.2+③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5000-1600=3400,因此P (Y =3400)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,两台发电机运行,此时Y =5000×2-800=9200,因此P (Y =9200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X >120时,三台发电机运行,此时Y =5000×3=15 000,因此P (Y =所以,E (Y )=3400×综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. 17.,,,[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.17.解:(1)X 可能的取值为10,20,100,-200. 根据题意,有P (X =10)=C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1-122=38,P (X =20)=C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1-121=38, P (X =100)=C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1-120=18, P (X =-200)=C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1-123=18. 所以X(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i =1,2,3),则 P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X =-200)=18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P (A 1A 2A 3)=1-⎝⎛⎭⎫183=1-1512=511512. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知,X 的数学期望为EX =10×38+20×38+100×18-200×18=-54.这表明,获得分数X 的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.K2 古典概型 11.、[2014·广东卷] 从0,1,2,3,4,5,6,7,8,9中任取七个不同的数,则这七个数的中位数是6的概率为________.11.1618.、、[2014·福建卷] 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求:(i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.18.解:(1)设顾客所获的奖励额为X .(i)依题意,得P (X =60)=C 11C 13C 24=12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12,(ii)依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X =60)=12,P (X =20)=C 23C 24=12,即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10X 1,则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×16=60,X 1的方差为D (X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X 2,则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)=40×16+60×23+80×16=60,X 2的方差为D (X 2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.5.[2014·新课标全国卷Ⅰ] 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为( )A.18B.38C.58D.785.D 6.[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离不小于...该正方形边长的概率为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.456.C 16.、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 16.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13·C 27+C 03·C 37C 310=4960,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X =k )=C k 4·C 3-k6C 310(k =0,1,2,3),随机变量X 的数学期望E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.9.、[2014·浙江卷] 已知甲盒中仅有1个球且为红球,乙盒中有m 个红球和n 个蓝球(m ≥3,n ≥3),从乙盒中随机抽取i (i =1,2)个球放入甲盒中.(a)放入i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为ξi (i =1,2);(b)放入i 个球后,从甲盒中取1个球是红球的概率记为p i (i =1,2). 则( )A .p 1>p 2,E (ξ1)<E (ξ2)B .p 1<p 2,E (ξ1)>E (ξ2)C .p 1>p 2,E (ξ1)>E (ξ2)D .p 1<p 2,E (ξ1)<E (ξ2)9.A 18.,[2014·重庆卷] 一盒中装有9张各写有一个数字的卡片,其中4张卡片上的数字是1,3张卡片上的数字是2,2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片.(1)求所取3张卡片上的数字完全相同的概率;(2)X 表示所取3张卡片上的数字的中位数,求X 的分布列与数学期望. (注:若三个数a ,b ,c 满足a ≤b ≤c ,则称b 为这三个数的中位数)18.解:(1)由古典概型中的概率计算公式知所求概率为P =C 34+C 33C 39=584. (2)X 的所有可能值为1,2,3,且P (X =1)=C 24C 15+C 34C 39=1742,P (X =2)=C 13C 14C 12+C 23C 16+C 33C 39=4384, P (X =3)=C 22C 17C 39=112,故X 的分布列为从而E (X )=1×1742+2×4384+3×112=4728.K3 几何概型 14.、[2014·福建卷] 如图1-4,在边长为e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆,则它落到阴影部分的概率为________.图1-414.2e2 7.[2014·湖北卷] 由不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0,y ≥0,y -x -2≤0确定的平面区域记为Ω1,不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x +y ≤1,x +y ≥-2确定的平面区域记为Ω2,在Ω1中随机取一点,则该点恰好在Ω2内的概率为( )A.18B.14C.34D.78 7.D14.[2014·辽宁卷] ,-1),C (1,1),D (-1,1)分别在抛物线y =-x 2和y =x 2上,如图1-3所示.若将—个质点随机投入正方形ABCD 中,则质点落在图中阴影区域的概率是14.23K4 互斥事件有一个发生的概率 17.、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.17.解:记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功},由题设知P (E )=23,P (E )=13,P (F )=35,P (F )=25,且事件E 与F ,E 与F ,E 与F ,E 与F 都相互独立.(1)记H ={至少有一种新产品研发成功},则H =E F ,于是P (H )=P (E )P (F )=13×25=215,故所求的概率为P (H )=1-P (H )=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X =0)=P (E F )=13×25=215,P (X =100)=P (E F )=13×35=15,P (X =120)=P (E F )=23×25=415,P (X =220)=P (EF )=23×35=25,数学期望为E (X )=0×215+100×15+120×415+220×25=300+480+132015=210015=140.16.、、[2014·天津卷] 某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X 的分布列和数学期望. 16.解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ,则P (A )=C 13·C 27+C 03·C 37C 310=4960,所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0,1,2,3.P (X =k )=C k 4·C 3-k6C 310(k =0,1,2,3),随机变量X 的数学期望E (X )=0×16+1×12+2×310+3×130=65.K5 相互对立事件同时发生的概率 17.、[2014·安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值(数学期望).17.解: 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k 表示“第k 局甲获胜”,B k 表示“第k 局乙获胜”,则P (A k )=23,P (B k )=13,k =1,2,3,4,5.(1)P (A )=P (A 1A 2)+P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2)+P (B 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)=⎝⎛⎭⎫232+13×⎝⎛⎭⎫232+23×13×⎝⎛⎭⎫232=5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=P (A 1A 2)+P (B 1B 2)=P (A 1)P (A 2)+P (B 1)P (B 2)=59,P (X =3)=P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2B 3)= P (B 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (B 2)P (B 3)=29,P (X =4)=P (A 1B 2A 3A 4)+P (B 1A 2B 3B 4)=P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)+P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)=1081, P (X =5)=1-P (X =2)-P (X =3)-P (X =4)=881.故X 的分布列为EX =2×59+3×29+4×1081+5×881=22481.16.、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x 为表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X 为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX 与x 的大小.(只需写出结论)16.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6”,事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C =AB ∪AB ,A ,B 相互独立.根据投篮统计数据,P (A )=35,P (B )=25.故P (C )=P (AB )+P (AB ) =35×35+25×25 =1325. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX =x -.17.、[2014·广东卷] 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位:件),获得数据如下:30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36.根据上述数据得到样本的频率分布表如下:(1)确定样本频率分布表中n 1,n 2,f 1和f 2的值;(2)根据上述频率分布表,画出样本频率分布直方图;(3)根据样本频率分布直方图,求在该厂任取4人,至少有1人的日加工零件数落在区间(30,35]的概率.20.、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量....X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多..有1年的年入流量超过120的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?20.解:(1)依题意,p 1=P (40<X <80)=1050=0.2,p 2=P (80≤X ≤120)=3550=0.7,p 3=P (X >120)=550=0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p =C 04(1-p 3)4+C 14(1-p 3)3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y =5000,E (Y )=5000×1=5000.②安装2台发电机的情形. 依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5000-800=4200,因此P (Y =4200)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当X ≥80时,两台发电机运行,此时Y =5000×2=10 000,因此P (Y =10 000)=P (X ≥80)= p 2+所以,E (Y )=4200×0.2+③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5000-1600=3400,因此P (Y =3400)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,两台发电机运行,此时Y =5000×2-800=9200,因此P (Y =9200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X >120时,三台发电机运行,此时Y =5000×3=15 000,因此P (Y =所以,E (Y )=3400×综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. 21.、、[2014·江西卷] 随机将1,2,…,2n (n ∈N *,n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数.A 组最小数为a 1,最大数为a 2;B 组最小数为b 1,最大数为b 2.记ξ=a 2-a 1,η=b 2-b 1.(1)当n =3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率P (C );(3)对(2)中的事件C ,C -表示C 的对立事件,判断P (C )和P (C -)的大小关系,并说明理由.21.解:(1)当n =3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组,不同的分组方法共有C 36=20(种),所以ξ的分布列为:E ξ=2×15+3×310+4×310+5×15=72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n -1,n ,n +1,…,2n -2.又ξ和η恰好相等且等于n -1时,不同的分组方法有2种; ξ和η恰好相等且等于n 时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n +k (k =1,2,…,n -2)(n ≥3)时,不同的分组方法有2C k 2k 种. 所以当n =2时,P (C )=46=23,当n ≥3时,P (C )=2⎝⎛⎭⎫2+∑n -2k =1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得,当n =2时,P (C )=13,因此P (C )>P (C ).而当n ≥3时,P (C )<P (C ).理由如下:P (C )<P (C )等价于4(2+∑n -2k =1C k 2k )<C n2n ,①用数学归纳法来证明:(i)当n =3时,①式左边=4(2+C 12)=4(2+2)=16,①式右边=C 36=20,所以①式成立. (ii)假设n =m (m ≥3)时①式成立,即4⎝⎛⎭⎫2+∑m -2k =1C k 2k <C m 2m 成立,那么,当n =m +1时, 左边=4⎝⎛⎭⎫2+∑m +1-2k =1C k 2k=4⎝⎛⎭⎫2+∑m -2k =1C k 2k +4C m-12(m -1)<C m 2m +4C m -12(m -1)=(2m )!m !m !+4·(2m -2)!(m -1)!(m -1)!=(m +1)2(2m )(2m -2)!(4m -1)(m +1)!(m +1)!<(m +1)2(2m )(2m -2)!(4m )(m +1)!(m +1)!=C m +12(m +1)· 2(m +1)m (2m +1)(2m -1)<C m +12(m +1)=右边, 即当n =m +1时,①式也成立.综合(i)(ii)得,对于n ≥3的所有正整数,都有P (C )<P (C )成立. 18.、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图1-4所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望E (X )及方差D (X ).18.解:(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”,A 2表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”.因此P (A 1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P (A 2)=0.003×50=0.15,P (B )=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为P (X =0)=C 03·(1-0.6)3=0.064,P (X =1)=C 13·0.6(1-0.6)2=0.288,P (X =2)=C 23·0.62(1-0.6)=0.432,P (X =3)=C 33·0.63=0.216. X 的分布列为因为X ~B (3,0.6)×0.6×(1-0.6)=0.72. 20.、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)X 表示同一工作日需使用设备的人数,求X 的数学期望.20.解:记A 1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i =0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备.C 表示事件:丁需使用设备.D 表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.(1)因为P (B )=0.6,P (C )=0.4,P (A i )=C i 2×0.52,i =0,1,2, 所以P (D )=P (A 1·B ·C +A 2·B +A 2·B ·C )= P (A 1·B ·C )+P (A 2·B )+P (A 2·B ·C )=P (A 1)P (B )P (C )+P (A 2)P (B )+P (A 2)P (B )P (C )= 0.31.(2)X 的可能取值为0,1,2,3,4,其分布列为 P (X =0)=P (B ·A 0·C ) =P (B )P (A 0)P (C )=(1-0.6)×0.52×(1-0.4) =0.06,P (X =1)=P (B ·A 0·C +B ·A 0·C +B ·A 1·C )=P (B )P (A 0)P (C )+P (B )P (A 0)P (C )+P (B )P (A 1)P (C )=0.6×0.52×(1-0.4)+(1-0.6)×0.52×0.4+(1-0.6)×2×0.52×(1-0.4)=0.25,P (X =4)=P (A 2·B ·C )=P (A 2)P (B )P (C )=0.52×0.6×0.4=0.06, P (X =3)=P (D )-P (X =4)=0.25,P (X =2)=1-P (X =0)-P (X =1)-P (X =3)-P (X =4)=1-0.06-0.25-0.25-0.06=0.38,所以 EX =0×P (X =0)+1×P (X =1)+2×P (X =2)+3×P (X =3)+4×P (X =4)=0.25+2×0.38+3×0.25+4×0.06=2.17.,,,[2014·四川卷] 一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得10分,出现两次音乐获得20分,出现三次音乐获得100分,没有出现音乐则扣除200分(即获得-200分).设每次击鼓出现音乐的概率为12,且各次击鼓出现音乐相互独立.(1)设每盘游戏获得的分数为X ,求X 的分布列.(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?(3)玩过这款游戏的许多人都发现,若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.17.解:(1)X 可能的取值为10,20,100,-200. 根据题意,有P (X =10)=C 13×⎝⎛⎭⎫121×⎝⎛⎭⎫1-122=38,P (X =20)=C 23×⎝⎛⎭⎫122×⎝⎛⎭⎫1-121=38, P (X =100)=C 33×⎝⎛⎭⎫123×⎝⎛⎭⎫1-120=18, P (X =-200)=C 03×⎝⎛⎭⎫120×⎝⎛⎭⎫1-123=18. 所以X 的分布列为:(2)设“第i 盘游戏没有出现音乐”为事件A i (i =1,2,3),则 P (A 1)=P (A 2)=P (A 3)=P (X =-200)=18.所以“三盘游戏中至少有一盘出现音乐”的概率为1-P (A 1A 2A 3)=1-⎝⎛⎭⎫183=1-1512=511512. 因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.(3)由(1)知,X 的数学期望为EX =10×38+20×38+100×18-200×18=-54.这表明,获得分数X 的均值为负.因此,多次游戏之后分数减少的可能性更大.K6 离散型随机变量及其分布列 17.、[2014·安徽卷] 甲乙两人进行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完5局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为23,乙获胜的概率为13,各局比赛结果相互独立.(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率;(2)记X 为比赛决出胜负时的总局数,求X 的分布列和均值(数学期望).17.解: 用A 表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”,A k 表示“第k 局甲获胜”,B k 表示“第k 局乙获胜”,则P (A k )=23,P (B k )=13,k =1,2,3,4,5.(1)P (A )=P (A 1A 2)+P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2A 3A 4) =P (A 1)P (A 2)+P (B 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)=⎝⎛⎭⎫232+13×⎝⎛⎭⎫232+23×13×⎝⎛⎭⎫232=5681. (2)X 的可能取值为2,3,4,5.P (X =2)=P (A 1A 2)+P (B 1B 2)=P (A 1)P (A 2)+P (B 1)P (B 2)=59,P (X =3)=P (B 1A 2A 3)+P (A 1B 2B 3)= P (B 1)P (A 2)P (A 3)+P (A 1)P (B 2)P (B 3)=29,P (X =4)=P (A 1B 2A 3A 4)+P (B 1A 2B 3B 4)=P (A 1)P (B 2)P (A 3)P (A 4)+P (B 1)P (A 2)P (B 3)·P (B 4)=1081, P (X =5)=1-P (X =2)-P (X =3)-P (X =4)=881.故X 的分布列为EX =2×59+3×29+4×1081+5×881=22481.16.、[2014·北京卷] 李明在10场篮球比赛中的投篮情况统计如下(假设各场比赛相互独立):(1)从上述比赛中随机选择一场,求李明在该场比赛中投篮命中率超过0.6的概率; (2)从上述比赛中随机选择一个主场和一个客场,求李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率;(3)记x 为表中10个命中次数的平均数,从上述比赛中随机选择一场,记X 为李明在这场比赛中的命中次数,比较EX 与x 的大小.(只需写出结论)16.解:(1)根据投篮统计数据,在10场比赛中,李明投篮命中率超过0.6的有5场,分别是主场2,主场3,主场5,客场2,客场4.所以在随机选择的一场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6的概率是0.5.(2)设事件A 为“在随机选择的一场主场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6”,事件B 为“在随机选择的一场客场比赛中,李明的投篮命中率超过0.6”,事件C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6”.则C =AB ∪AB ,A ,B 相互独立.根据投篮统计数据,P (A )=35,P (B )=25.故P (C )=P (AB )+P (AB ) =35×35+25×25 =1325. 所以,在随机选择的一个主场和一个客场中,李明的投篮命中率一场超过0.6,一场不超过0.6的概率为1325.(3)EX =x -.18.、、[2014·福建卷] 为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球,球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额.(1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元,其余3个均为10元,求: (i)顾客所获的奖励额为60元的概率;(ii)顾客所获的奖励额的分布列及数学期望.(2)商场对奖励总额的预算是60 000元,并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成,或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由.18.解:(1)设顾客所获的奖励额为X .(i)依题意,得P (X =60)=C 11C 13C 24=12.即顾客所获的奖励额为60元的概率为12,(ii)依题意,得X 的所有可能取值为20,60. P (X =60)=12,P (X =20)=C 23C 24=12,即X 的分布列为所以顾客所获的奖励额的期望为E (X )=20×0.5+60×0.5=40(元).(2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为60元.所以,先寻找期望为60元的可能方案.对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为60元是面值之和的最大值,所以期望不可能为60元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为60元是面值之和的最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10,50,50),记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40),记为方案2.以下是对两个方案的分析:对于方案1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为X 1,则X 1的分布列为X 1的期望为E (X 1)=20×16+60×23+100×16=60,X 1的方差为D (X 1)=(20-60)2×16+(60-60)2×23+(100-60)2×16=16003.对于方案2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为X 2,则X 2的分布列为X 2的期望为E (X 2)=40×16+60×23+80×16=60,X 2的方差为D (X 2)=(40-60)2×16+(60-60)2×23+(80-60)2×16=4003.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案2奖励额的方差比方案1的小,所以应该选择方案2.20.、、、、[2014·湖北卷] 计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站,过去50年的水文资料显示,水年入流量....X (年入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米)都在40以上,其中,不足80的年份有10年,不低于80且不超过120的年份有35年,超过120的年份有5年,将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量相互独立.(1)求未来4年中,至多..有1年的年入流量超过120的概率. (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最多可运行台数受年入流量X800万元,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机多少台?20.解:(1)依题意,p 1=P (40<X <80)=1050=0.2,p 2=P (80≤X ≤120)=3550=0.7,p 3=P (X >120)=550=0.1.由二项分布得,在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p =C 04(1-p 3)4+C 14(1-p 3)3p 3=0.94+4×0.93×0.1=0.947 7. (2)记水电站年总利润为Y (单位:万元). ①安装1台发电机的情形.由于水库年入流量总大于40,故一台发电机运行的概率为1,对应的年利润Y =5000,E (Y )=5000×1=5000.②安装2台发电机的情形. 依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5000-800=4200,因此P (Y =4200)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当X ≥80时,两台发电机运行,此时Y =5000×2=10 000,因此P (Y =10 000)=P (X ≥80)= p 2+所以,E (Y )=4200×0.2+③安装3台发电机的情形. 依题意,当40<X <80时,一台发电机运行,此时Y =5000-1600=3400,因此P (Y =3400)=P (40<X <80)=p 1=0.2;当80≤X ≤120时,两台发电机运行,此时Y =5000×2-800=9200,因此P (Y =9200)=P (80≤X ≤120)=p 2=0.7;当X >120时,三台发电机运行,此时Y =5000×3=15 000,因此P (Y =所以,E (Y )=3400×综上,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装发电机2台. 17.、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组,他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲组研发新产品A ,乙组研发新产品B .设甲、乙两组的研发相互独立. (1)求至少有一种新产品研发成功的概率.(2)若新产品A 研发成功,预计企业可获利润120万元;若新产品B 研发成功,预计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列和数学期望.17.解:记E ={甲组研发新产品成功},F ={乙组研发新产品成功},由题设知P (E )=23,P (E )=13,P (F )=35,P (F )=25,且事件E 与F ,E 与F ,E 与F ,E 与F 都相互独立.(1)记H ={至少有一种新产品研发成功},则H =E F ,于是P (H )=P (E )P (F )=13×25=215,故所求的概率为P (H )=1-P (H )=1-215=1315.(2)设企业可获利润为X (万元),则X 的可能取值为0,100,120,220.因为P (X =0)=P (E F )=13×25=215,P (X =100)=P (E F )=13×35=15,P (X =120)=P (E F )=23×25=415,P (X =220)=P (EF )=23×35=25,数学期望为E (X )=0×215+100×15+120×415+220×25=300+480+132015=210015=140.12.[2014·江西卷] 10件产品中有7件正品、3件次品,从中任取4件,则恰好取到1件次品的概率是________.12.1221.、、[2014·江西卷] 随机将1,2,…,2n (n ∈N *,n ≥2)这2n 个连续正整数分成A ,B 两组,每组n 个数.A 组最小数为a 1,最大数为a 2;B 组最小数为b 1,最大数为b 2.记ξ=a 2-a 1,η=b 2-b 1.(1)当n =3时,求ξ的分布列和数学期望;(2)令C 表示事件“ξ与η的取值恰好相等”,求事件C 发生的概率P (C );(3)对(2)中的事件C ,C -表示C 的对立事件,判断P (C )和P (C -)的大小关系,并说明理由.21.解:(1)当n =3时,ξ的所有可能取值为2,3,4,5.将6个正整数平均分成A ,B 两组,不同的分组方法共有C 36=20(种),所以ξ的分布列为:E ξ=2×15+3×310+4×310+5×15=72.(2)ξ和η恰好相等的所有可能取值为n -1,n ,n +1,…,2n -2.又ξ和η恰好相等且等于n -1时,不同的分组方法有2种; ξ和η恰好相等且等于n 时,不同的分组方法有2种;ξ和η恰好相等且等于n +k (k =1,2,…,n -2)(n ≥3)时,不同的分组方法有2C k 2k 种. 所以当n =2时,P (C )=46=23,当n ≥3时,P (C )=2⎝⎛⎭⎫2+∑n -2k =1C k 2k C n 2n.(3)由(2)得,当n =2时,P (C )=13,因此P (C )>P (C ).而当n ≥3时,P (C )<P (C ).理由如下:P (C )<P (C )等价于4(2+∑n -2k =1C k 2k )<C n2n ,①用数学归纳法来证明:(i)当n =3时,①式左边=4(2+C 12)=4(2+2)=16,①式右边=C 36=20,所以①式成立. (ii)假设n =m (m ≥3)时①式成立,即4⎝⎛⎭⎫2+∑m -2k =1C k 2k <C m 2m 成立,那么,当n =m +1时, 左边=4⎝⎛⎭⎫2+∑m +1-2k =1C k 2k=4⎝⎛⎭⎫2+∑m -2k =1C k 2k +4C m -12(m -1)<C m 2m +4C m -12(m -1)=(2m )!m !m !+4·(2m -2)!(m -1)!(m -1)!=(m +1)2(2m )(2m -2)!(4m -1)(m +1)!(m +1)!<(m +1)2(2m )(2m -2)!(4m )(m +1)!(m +1)!=C m +12(m +1)· 2(m +1)m (2m +1)(2m -1)<C m +12(m +1)=右边, 即当n =m +1时,①式也成立.综合(i)(ii)得,对于n ≥3的所有正整数,都有P (C )<P (C )成立. 18.、、[2014·辽宁卷] 一家面包房根据以往某种面包的销售记录,绘制了日销售量的频率分布直方图,如图1-4所示.将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售量相互独立.(1)求在未来连续3天里,有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率;(2)用X 表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数,求随机变量X 的分布列,期望E (X )及方差D (X ).18.解:(1)设A 1表示事件“日销售量不低于100个”,A 2表示事件“日销售量低于50个”,B 表示事件“在未来连续3天里有连续2天日销售量不低于100个且另1天销售量低于50个”.因此P (A 1)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6, P (A 2)=0.003×50=0.15,P (B )=0.6×0.6×0.15×2=0.108.(2)X 可能取的值为0,1,2,3,相应的概率分别为P (X =0)=C 03·(1-0.6)3=0.064,P (X =1)=C 13·0.6(1-0.6)2=0.288,P (X =2)=C 23·0.62(1-0.6)=0.432,P (X =3)=C 33·0.63=0.216. X 的分布列为因为X ~B (3,0.6)×0.6×(1-0.6)=0.72. 18.,[2014·山东卷] 乒乓球台面被网分隔成甲、乙两部分,如图1-4所示,甲上有两个不相交的区域A ,B ,乙被划分为两个不相交的区域C ,D .某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定:回球一次,落点在C 上记3分,在D 上记1分,其他情况记0分.对落点在A 上的来球,队员小明回球的落点在C 上的概率为12,在D 上的概率为13;对落点在B 上的来球,小明回球的落点在C 上的概率为15,在D 上的概率为35.假设共有两次来球且落在A ,B 上各一次,小明的两次回球互不影响.求:(1)小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率; (2)两次回球结束后,小明得分之和ξ的分布列与数学期望.图1-418.解:(1)记A i 为事件“小明对落点在A 上的来球回球的得分为i 分”(i =0,1,3), 则P (A 3)=12,P (A 1)=13,P (A 0)=1-12-13=16;记B i 为事件“小明对落点在B 上的来球回球的得分为i 分”(i =0,1,3), 则P (B 3)=15,P (B 1)=35,P (B 0)=1-15-35=15.记D 为事件“小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上”.由题意,D =A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3, 由事件的独立性和互斥性,P (D )=P (A 3B 0+A 1B 0+A 0B 1+A 0B 3) =P (A 3B 0)+P (A 1B 0)+P (A 0B 1)+P (A 0B 3) =P (A 3)P (B 0)+P (A 1)P (B 0)+P (A 0)·P (B 1)+P (A 0)P (B 3) =12×15+13×15+16×35+16×15 =310, 所以小明两次回球的落点中恰有1次的落点在乙上的概率为310.由题意,随机变量ξ可能的取值为0,1,2,3,4,6. (2)由事件的独立性和互斥性,得 P (ξ=0)=P (A 0B 0)=16×15=130,。
2014年山东省高考数学试卷(文科)(附参考答案+详细解析Word打印版)

2014年山东省普通高等学校招生统一考试数学试卷(文科)一.选择题每小题5分,共50分1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=()A.3﹣4i B.3+4i C.4﹣3i D.4+3i2.(5分)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=()A.(0,2]B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)3.(5分)函数f(x)=的定义域为()A.(0,2) B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根5.(5分)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.x3>y3B.sinx>sinyC.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.>6.(5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 7.(5分)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=()A.2 B.C.0 D.﹣8.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.6 B.8 C.12 D.189.(5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)10.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b >0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5 B.4 C.D.2二.填空题每小题5分,共25分11.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为.12.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为.13.(5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为.14.(5分)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为.15.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为.三.解答题共6小题,共75分16.(12分)海关对同时从A,B,C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(Ⅰ)求这6件样品来自A,B,C各地区商品的数量;(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.17.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.19.(12分)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=a,记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)n b n,求T n.20.(13分)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D 在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;(ii)求△OMN面积的最大值.2014年山东省高考数学试卷(文科)参考答案与试题解析一.选择题每小题5分,共50分1.(5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a+i=2﹣bi,则(a+bi)2=()A.3﹣4i B.3+4i C.4﹣3i D.4+3i【分析】利用两个复数相等的充要条件求得a、b的值,再利用两个复数代数形式的乘法法则求得(a+bi)2的值.【解答】解:∵a+i=2﹣bi,∴a=2、b=﹣1,则(a+bi)2=(2﹣i)2=3﹣4i,故选:A.【点评】本题主要考查两个复数相等的充要条件,两个复数代数形式的乘法法则,属于基础题.2.(5分)设集合A={x|x2﹣2x<0},B={x|1≤x≤4},则A∩B=()A.(0,2]B.(1,2) C.[1,2) D.(1,4)【分析】分别解出集合A和B,再根据交集的定义计算即可.【解答】解:A={x|0<x<2},B={x|1≤x≤4},∴A∩B={x|1≤x<2}.故选:C.【点评】本题是简单的计算题,一般都是在高考的第一题出现,答题时要注意到端点是否取得到,计算也是高考中的考查点,学生在平时要加强这方面的练习,考试时做到细致悉心,一般可以顺利解决问题.3.(5分)函数f(x)=的定义域为()A.(0,2) B.(0,2]C.(2,+∞)D.[2,+∞)【分析】分析可知,,解出x即可.【解答】解:由题意可得,,解得,即x>2.∴所求定义域为(2,+∞).故选:C.【点评】本题是对基本计算的考查,注意到“真数大于0”和“开偶数次方根时,被开方数要大于等于0”,及“分母不为0”,即可确定所有条件.高考中对定义域的考查,大多属于容易题.4.(5分)用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是()A.方程x3+ax+b=0没有实根B.方程x3+ax+b=0至多有一个实根C.方程x3+ax+b=0至多有两个实根D.方程x3+ax+b=0恰好有两个实根【分析】直接利用命题的否定写出假设即可.【解答】解:反证法证明问题时,反设实际是命题的否定,∴用反证法证明命题“设a,b为实数,则方程x3+ax+b=0至少有一个实根”时,要做的假设是:方程x3+ax+b=0没有实根.故选:A.【点评】本题考查反证法证明问题的步骤,基本知识的考查.5.(5分)已知实数x,y满足a x<a y(0<a<1),则下列关系式恒成立的是()A.x3>y3B.sinx>sinyC.ln(x2+1)>ln(y2+1)D.>【分析】本题主要考查不等式的大小比较,利用函数的单调性的性质是解决本题的关键.【解答】解:∵实数x,y满足a x<a y(0<a<1),∴x>y,A.当x>y时,x3>y3,恒成立,B.当x=π,y=时,满足x>y,但sinx>siny不成立.C.若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=﹣1时,满足x >y,但x2>y2不成立.D.若>,则等价为x2+1<y2+1,即x2<y2,当x=1,y=﹣1时,满足x>y,但x2<y2不成立.故选:A.【点评】本题主要考查函数值的大小比较,利用不等式的性质以及函数的单调性是解决本题的关键.6.(5分)已知函数y=log a(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是()A.a>1,c>1 B.a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1【分析】根据对数函数的图象和性质即可得到结论.【解答】解:∵函数单调递减,∴0<a<1,当x=1时log a(x+c)=log a(1+c)<0,即1+c>1,即c>0,当x=0时log a(x+c)=log a c>0,即c<1,即0<c<1,故选:D.【点评】本题主要考查对数函数的图象和性质,利用对数函数的单调性是解决本题的关键,比较基础.7.(5分)已知向量=(1,),=(3,m),若向量,的夹角为,则实数m=()A.2 B.C.0 D.﹣【分析】由条件利用两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式,求得m的值.【解答】解:由题意可得cos===,解得m=,故选:B.【点评】本题主要考查两个向量的夹角公式、两个向量的数量积公式的应用,属于基础题.8.(5分)为了研究某药品的疗效,选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据(单位:kPa)的分组区间为[12,13),[13,14),[14,15),[15,16),[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组,第二组,…,第五组.如图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20人,第三组中没有疗效的有6人,则第三组中有疗效的人数为()A.6 B.8 C.12 D.18【分析】由频率=以及直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人的频率,即可求出第三组中有疗效的人数得到答案;【解答】解:由直方图可得分布在区间第一组与第二组共有20人,分布在区间第一组与第二组的频率分别为0.24,0.16,所以第一组有12人,第二组8人,第三组的频率为0.36,所以第三组的人数:18人,第三组中没有疗效的有6人,第三组中有疗效的有12人.故选:C.【点评】本题考查古典概型的求解和频率分布的结合,列举对事件是解决问题的关键,属中档题.9.(5分)对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,下列函数中是准偶函数的是()A.f(x)=B.f(x)=x2C.f(x)=tanx D.f(x)=cos(x+1)【分析】由题意判断f(x)为准偶函数的对称轴,然后判断选项即可.【解答】解:对于函数f(x),若存在常数a≠0,使得x取定义域内的每一个值,都有f(x)=f(2a﹣x),则称f(x)为准偶函数,∴函数的对称轴是x=a,a≠0,选项A函数没有对称轴;选项B、函数的对称轴是x=0,选项C,函数没有对称轴.函数f(x)=cos(x+1),有对称轴,且x=0不是对称轴,选项D正确.故选:D.【点评】本题考查函数的对称性的应用,新定义的理解,基本知识的考查.10.(5分)已知x,y满足约束条件,当目标函数z=ax+by(a>0,b >0)在该约束条件下取到最小值2时,a2+b2的最小值为()A.5 B.4 C.D.2【分析】由约束条件正常可行域,然后求出使目标函数取得最小值的点的坐标,代入目标函数得到2a+b﹣2=0.a2+b2的几何意义为坐标原点到直线2a+b﹣2=0的距离的平方,然后由点到直线的距离公式得答案.【解答】解:由约束条件作可行域如图,联立,解得:A(2,1).化目标函数为直线方程得:(b>0).由图可知,当直线过A点时,直线在y轴上的截距最小,z最小.∴2a+b=2.即2a+b﹣2=0.则a2+b2的最小值为.故选:B.【点评】本题考查简单的线性规划,考查数形结合的解题思想方法,考查了数学转化思想方法,训练了点到直线距离公式的应用,是中档题.二.填空题每小题5分,共25分11.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入的x的值为1,则输出的n的值为3.【分析】计算循环中不等式的值,当不等式的值大于0时,不满足判断框的条件,退出循环,输出结果即可.【解答】解:循环前输入的x的值为1,第1次循环,x2﹣4x+3=0≤0,满足判断框条件,x=2,n=1,x2﹣4x+3=﹣1≤0,满足判断框条件,x=3,n=2,x2﹣4x+3=0≤0满足判断框条件,x=4,n=3,x2﹣4x+3=3>0,不满足判断框条件,输出n:3.故答案为:3.【点评】本题考查循环结构的应用,注意循环的结果的计算,考查计算能力.12.(5分)函数y=sin2x+cos2x的最小正周期为π.【分析】利用两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式化简函数的解析式为f(x)=sin(2x+),从而求得函数的最小正周期【解答】解:∵函数y=sin2x+cos2x=sin2x+=sin(2x+)+,故函数的最小正周期的最小正周期为=π,故答案为:π.【点评】本题主要考查两角和的正弦公式、二倍角的余弦公式,正弦函数的周期性,属于基础题.13.(5分)一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为12.【分析】判断棱锥是正六棱锥,利用体积求出棱锥的高,然后求出斜高,即可求解侧面积.【解答】解:∵一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,∴棱锥是正六棱锥,设棱锥的高为h,则,∴h=1,棱锥的斜高为:==2,该六棱锥的侧面积为:=12.故答案为:12.【点评】本题考查了棱锥的体积,侧面积的求法,解答的关键是能够正确利用体积与表面积公式解题.14.(5分)圆心在直线x﹣2y=0上的圆C与y轴的正半轴相切,圆C截x轴所得弦的长为2,则圆C的标准方程为(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.【分析】由圆心在直线x﹣2y=0上,设出圆心坐标,再根据圆与y轴相切,得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径,表示出半径r,由弦长的一半,圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程,求出方程的解得到t的值,从而得到圆心坐标和半径,根据圆心和半径写出圆的方程即可.【解答】解:设圆心为(2t,t),半径为r=|2t|,∵圆C截x轴所得弦的长为2,∴t2+3=4t2,∴t=±1,∵圆C与y轴的正半轴相切,∴t=﹣1不符合题意,舍去,故t=1,2t=2,∴(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.故答案为:(x﹣2)2+(y﹣1)2=4.【点评】此题综合考查了垂径定理,勾股定理及点到直线的距离公式.根据题意设出圆心坐标,找出圆的半径是解本题的关键.15.(5分)已知双曲线﹣=1(a>0,b>0)的焦距为2c,右顶点为A,抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c,且|FA|=c,则双曲线的渐近线方程为y=±x.【分析】求出双曲线的右顶点A(a,0),拋物线x2=2py(p>0)的焦点及准线方程,根据已知条件得出及,求出a=b,得双曲线的渐近线方程为:y=±x.【解答】解:∵右顶点为A,∴A(a,0),∵F为抛物线x2=2py(p>0)的焦点,F,∵|FA|=c,∴抛物线的准线方程为由得,,由①②,得=2c,即c2=2a2,∵c2=a2+b2,∴a=b ,∴双曲线的渐近线方程为:y=±x , 故答案为:y=±x .【点评】熟练掌握圆锥曲线的图象与性质是解题的关键.三.解答题共6小题,共75分16.(12分)海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(Ⅰ)求这6件样品来自A ,B ,C 各地区商品的数量;(Ⅱ)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.【分析】(Ⅰ)先计算出抽样比,进而可求出这6件样品来自A ,B ,C 各地区商品的数量;(Ⅱ)先计算在这6件样品中随机抽取2件的基本事件总数,及这2件商品来自相同地区的事件个数,代入古典概型概率计算公式,可得答案.【解答】解:(Ⅰ)A ,B ,C 三个地区商品的总数量为50+150+100=300, 故抽样比k==,故A 地区抽取的商品的数量为:×50=1; B 地区抽取的商品的数量为:×150=3; C 地区抽取的商品的数量为:×100=2;(Ⅱ)在这6件样品中随机抽取2件共有:=15个不同的基本事件;且这些事件是等可能发生的,记“这2件商品来自相同地区”为事件A ,则这2件商品可能都来自B 地区或C 地区,则A中包含=4种不同的基本事件,故P(A)=,即这2件商品来自相同地区的概率为.【点评】本题考查的知识点是分层抽样,古典概型概率计算公式,难度不大,属于基础题.17.(12分)△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a=3,cosA=,B=A+.(Ⅰ)求b的值;(Ⅱ)求△ABC的面积.【分析】(Ⅰ)利用cosA求得sinA,进而利用A和B的关系求得sinB,最后利用正弦定理求得b的值.(Ⅱ)利用sinB,求得cosB的值,进而根两角和公式求得sinC的值,最后利用三角形面积公式求得答案.【解答】解:(Ⅰ)∵cosA=,∴sinA==,∵B=A+.∴sinB=sin(A+)=cosA=,由正弦定理知=,∴b=•sinB=×=3.(Ⅱ)∵sinB=,B=A+>∴cosB=﹣=﹣,sinC=sin(π﹣A﹣B)=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=×(﹣)+×=,∴S=a•b•sinC=×3×3×=.【点评】本题主要考查了正弦定理的应用.解题过程中结合了同角三角函数关系,三角函数恒等变换的应用,注重了基础知识的综合运用.18.(12分)如图,四棱锥P﹣ABCD中,AP⊥平面PCD,AD∥BC,AB=BC=AD,E,F分别为线段AD,PC的中点.(Ⅰ)求证:AP∥平面BEF;(Ⅱ)求证:BE⊥平面PAC.【分析】(Ⅰ)证明四边形ABCE是平行四边形,可得O是AC的中点,利用F为线段PC的中点,可得PA∥OF,从而可证AP∥平面BEF;(Ⅱ)证明BE⊥AP、BE⊥AC,即可证明BE⊥平面PAC.【解答】证明:(Ⅰ)连接CE,则∵AD∥BC,BC=AD,E为线段AD的中点,∴四边形ABCE是平行四边形,BCDE是平行四边形,设AC∩BE=O,连接OF,则O是AC的中点,∵F为线段PC的中点,∴PA∥OF,∵PA⊄平面BEF,OF⊂平面BEF,∴AP∥平面BEF;(Ⅱ)∵BCDE是平行四边形,∴BE∥CD,∵AP⊥平面PCD,CD⊂平面PCD,∴AP⊥CD,∴BE⊥AP,∵AB=BC,四边形ABCE是平行四边形,∴四边形ABCE是菱形,∴BE⊥AC,∵AP∩AC=A,∴BE⊥平面PAC.【点评】本题考查直线与平面平行、垂直的判定,考查学生分析解决问题的能力,正确运用直线与平面平行、垂直的判定是关键19.(12分)在等差数列{a n}中,已知公差d=2,a2是a1与a4的等比中项.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设b n=a,记T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)n b n,求T n.【分析】(Ⅰ)由于a2是a1与a4的等比中项,可得,再利用等差数列的通项公式即可得出.(Ⅱ)利用(Ⅰ)可得b n=a=n(n+1),因此T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)n b n=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1)n n•(n+1).对n分奇偶讨论即可得出.【解答】解:(Ⅰ)∵a2是a1与a4的等比中项,∴,∵在等差数列{a n}中,公差d=2,∴,即,化为,解得a1=2.∴a n=a1+(n﹣1)d=2+(n﹣1)×2=2n.(Ⅱ)∵b n=a=n(n+1),∴T n=﹣b1+b2﹣b3+b4﹣…+(﹣1)n b n=﹣1×(1+1)+2×(2+1)﹣…+(﹣1)n n•(n+1).=2k(2k+1)﹣(2k﹣1)(2k﹣1+1)=4k当n=2k(k∈N*)时,b2k﹣b2k﹣1T n=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣b2k﹣1)=4(1+2+…+k)=4×=2k(k+1)=.当n=2k﹣1(k∈N*)时,T n=(b2﹣b1)+(b4﹣b3)+…+(b2k﹣2﹣b2k﹣3)﹣b2k﹣1=n(n+1)=﹣.故T n=.(也可以利用“错位相减法”)【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论思想方法,属于中档题.20.(13分)设函数f(x)=alnx+,其中a为常数.(Ⅰ)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数f(x)的单调性.【分析】(Ⅰ)根据导数的几何意义,曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y﹣f (1)=f′(1)(x﹣1),代入计算即可.(Ⅱ)先对其进行求导,即,考虑函数g(x)=ax2+(2a+2)x+a,分成a≥0,﹣<a<0,a≤﹣三种情况分别讨论即可.【解答】解:,(Ⅰ)当a=0时,,f′(1)=,f(1)=0∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y=(x﹣1).(Ⅱ)(1)当a≥0时,由x>0知f′(x)>0,即f(x)在(0,+∞)上单调递增;(2)当a<0时,令f′(x)>0,则>0,整理得,ax2+(2a+2)x+a >0,令f′(x)<0,则<0,整理得,ax2+(2a+2)x+a<0.以下考虑函数g(x)=ax2+(2a+2)x+a,g(0)=a<0.,对称轴方程.①当a≤﹣时,△≤0,∴g(x)<0恒成立.(x>0)②当﹣<a<0时,此时,对称轴方程>0,∴g(x)=0的两根一正一负,计算得当0<x<时,g(x)>0;当x>时,g(x)<0.综合(1)(2)可知,当a≤﹣时,f(x)在(0,+∞)上单调递减;当﹣<a<0时,f(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减;当a>0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增.【点评】导数是高考中极易考察到的知识模块,导数的几何意义和导数的单调性是本题检查的知识点,特别是单调性的处理中,分类讨论是非常关键和必要的,分类讨论也是高考中经常考查的思想方法.21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,直线y=x被椭圆C截得的线段长为.(Ⅰ)求椭圆C的方程;(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A,B两点(A,B不是椭圆C的顶点).点D 在椭圆C上,且AD⊥AB,直线BD与x轴、y轴分别交于M,N两点.(i)设直线BD,AM的斜率分别为k1,k2,证明存在常数λ使得k1=λk2,并求出λ的值;(ii)求△OMN面积的最大值.【分析】(Ⅰ)由椭圆离心率得到a,b的关系,化简椭圆方程,和直线方程联立后求出交点的横坐标,把弦长用交点横坐标表示,则a的值可求,进一步得到b 的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)(i)设出A,D的坐标分别为(x1,y1)(x1y1≠0),(x2,y2),用A的坐标表示B的坐标,把AB和AD的斜率都用A的坐标表示,写出直线AD的方程,和椭圆方程联立后利用根与系数关系得到AD横纵坐标的和,求出AD中点坐标,则BD斜率可求,再写出BD所在直线方程,取y=0得到M点坐标,由两点求斜率得到AM的斜率,由两直线斜率的关系得到λ的值;(ii)由BD方程求出N点坐标,结合(i)中求得的M的坐标得到△OMN的面积,然后结合椭圆方程利用基本不等式求最值.【解答】解:(Ⅰ)由题意知,,则a2=4b2.∴椭圆C的方程可化为x2+4y2=a2.将y=x代入可得,因此,解得a=2.则b=1.∴椭圆C的方程为;(Ⅱ)(i)设A(x1,y1)(x1y1≠0),D(x2,y2),则B(﹣x1,﹣y1).∵直线AB的斜率,又AB⊥AD,∴直线AD的斜率.设AD方程为y=kx+m,由题意知k≠0,m≠0.联立,得(1+4k2)x2+8kmx+4m2﹣4=0.∴.因此.由题意可得.∴直线BD的方程为.令y=0,得x=3x1,即M(3x1,0).可得.∴,即.因此存在常数使得结论成立.(ii)直线BD方程为,令x=0,得,即N().由(i)知M(3x1,0),可得△OMN的面积为S==.当且仅当时等号成立.∴△OMN面积的最大值为.【点评】本题考查椭圆方程的求法,主要考查了直线与椭圆的位置关系的应用,直线与曲线联立,根据方程的根与系数的关系解题,是处理这类问题的最为常用的方法,但圆锥曲线的特点是计算量比较大,要求考试具备较强的运算推理的能力,是压轴题.。
2014年普通高等学校招生全国统一考试(全国大纲卷)数学试题(文科)解析版

2014年普通高等学校统一考试(大纲)文科第Ⅰ卷(共60分)一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的.1.设集合{1,2,4,6,8},{1,2,3,5,6,7}M N ==,则M N 中元素的个数为( )A .2B .3C .5D .72.已知角α的终边经过点(4,3)-,则cos α=( ) A .45 B .35 C .35- D .45-3.不等式组(2)0||1x x x +>⎧⎨<⎩的解集为( )A .{|21}x x -<<-B .{|10}x x -<<C .{|01}x x <<D .{|1}x x >4.已知正四面体ABCD 中,E 是AB 的中点,则异面直线CE 与BD 所成角的余弦值为( ) A .16 B .36 C .13D .335.函数3ln(1)(1)y x x =+>-的反函数是( ) A .3(1)(1)x y e x =->- B .3(1)(1)xy e x =->- C .3(1)()x y e x R =-∈ D .3(1)()xy e x R =-∈6.已知a b 、为单位向量,其夹角为060,则(2)a b b -•=( ) A .-1 B .0 C .1 D .27. 有6名男医生、5名女医生,从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组,则不同的选法共有( )A .60种B .70种C .75种D .150种8.设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,若243,15,S S ==则6S =( ) A .31 B .32 C .63 D .649. 已知椭圆C :22221x y a b+=(0)a b >>的左、右焦点为1F 、2F ,离心率为33,过2F 的直线l 交C 于A 、B 两点,若1AF B ∆的周长为43,则C 的方程为( )A .22132x y +=B .2213x y += C .221128x y += D .221124x y +=10.正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱锥的高位4,底面边长为2,则该球的表面积为( ) A .814π B .16π C .9π D .274π11.双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的离心率为23,则C的焦距等于( )A .2B .22C .4D .4212.奇函数()f x 的定义域为R ,若(2)f x +为偶函数,且(1)1f =,则(8)(9)f f +=( ) A .-2 B .-1 C .0 D .1第Ⅱ卷(共90分)二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 6(2)x -的展开式中3x 的系数为 .(用数字作答)14.函数cos 22sin y x x =+的最大值为 .15. 设x 、y 满足约束条件02321x y x y x y -≥⎧⎪+≤⎨⎪-≤⎩,则4z x y =+的最大值为.16. 直线1l 和2l 是圆222x y +=的两条切线,若1l 与2l 的交点为(1,3),则1l 与2l 的夹角的正切值等于 .三、解答题 (本大题共6小题. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)(17)(本小题满分10分)数列{a n }满足a 1=1,a 2=2,a n+2=2a n+1-a n +2.(1)设b n =a n+1-a n ,证明{b n }是等差数列; (2)求数列{a n }的通项公式.解:(1)由a n+2=2a n+1-a n +2得a n+2- a n+1=a n+1-a n +2,即b n+1=b n +2,又b 1=a 2-a 1=1. 所以{b n }是首项为1,公差为2的等差数列;(1) 由(1)得b n =1+2(n-1),即a n+1-a n =2n-1.于是111()(21)nnk k k k a a k +==-=-∑∑于是a n -a 1=n 2-2n ,即a n =n 2-2n +1+a 1.又a 1=1,所以{a n }的通项公式为a n =n 2-2n +2.(18)(本小题满分10分)△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知3acosC=2ccosA,tanA=13,求B.解:由题设和正弦定理得,3sinAcosC=2sinCcosA, 所以3tanAcosC=2sinC.因为tanA=13,所以cosC=2sinC.tanC=1 2 .所以tanB=tan[180︒-(A+C)]=-tan(a+c)=tan tan1tan tanA CA C+--=-1,即B=135︒.(19)(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,点A1在平面ABC内的射影D在AC上,∠ACB=90︒,BC=1,AC=CC1=2.(1)证明:AC1⊥A1B;(2)设直线AA1与平面BCC1B1的距离为3,求二面角A1-AB-C的大小.解法一:(1)∵A1D⊥平面ABC, A1D⊂平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC,所以BC⊥平面AA1C1C,连结A1C,因为侧面AA1C1C是棱形,所以AC1⊥A1C,由三垂线定理的AC1⊥A1B.(2) BC⊥平面AA1C1C,BC⊂平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E为垂足,则A1E⊥平面BCC1B1,又直线A A1∥平面BCC1B1,因而A1E为直线A A1与平面BCC1B1间的距离,A13,因为A1C为∠ACC1的平分线,故A1D=A13作DF⊥AB,F为垂足,连结A1F,由三垂线定理得A1F⊥AB,故∠A1FD为二面角A1-AB-C的平面角,由AD=1=,得D 为AC 的中点,DF=125AC BC AB ⨯⨯=,tan ∠A 1FD=1A DDF=,所以二面角A 1-AB-C 的大小为解法二:以C 为坐标原点,射线CA 为x 轴的正半轴,以CB 的长为单位长,建立如图所示的空间直角坐标系C-x y z ,由题设知A 1D 与z 轴平行,z 轴在平面AA 1C 1C 内. (1)设A 1(a ,0,c ),由题设有a ≤2,A (2,0,0)B (0,1,0),则AF =(-2,1,0),1(2,0,0),(2,0,)AC AA a c =-=-,111(4,0,),(,1,)AC AC AA a c BA a c =+=-=-,由12AA =2=,即2240a a c -+=,于是11AC BA ⋅=2240a a c -+=①,所以11AC BA ⊥.(2)设平面BCC 1B 1的法向量(,,)m x y z =,则m CB ⊥,1,m CB m BB ⊥⊥,即10,0m CB m BB ⋅=⋅=,因11(0,1,0),(2,0,)CB BB AA a c ==-,故y=0,且(a-2)x -c z =0,令x =c ,则z =2-a ,(,0,2)m c a =-,点A到平面BCC 1B 1的距离为cos ,CA m CA m CA c mc ⋅⋅<>===,又依题设,点A 到平面BCC 1B 1的距c= .代入①得a=3(舍去)或a=1.于是1(1AA =-,设平面ABA 1的法向量(,,)n p q r =,则1,n AA n AB⊥⊥,即10,0n AA n AB ⋅=⋅=.0p-=且-2p +q =0,令p =,则q =2,r=1,(3,2n =,又(0,0,1)p =为平面ABC 的法向量,故cos 1,4n p n p n p⋅<>==,所以二面角A 1-AB-C 的大小为arccos 1420. (本小题满分12分)设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别是0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否使用设备相互独立,(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用,若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1,求k 的最小值.解:记A i 表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i=0,1,2.B 表示事件:甲需使用设备.C 表示事件:丁需使用设备.D 表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件:同一工作日4人需使用设备.F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k. (1)D=A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·CP(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i )=220.5,0,1,2i C i ⨯=.所以P(D)=P(A 1·B ·C+A 2·B+A 2·B ·C )= P(A 1·B ·C)+P(A 2·B)+P(A 2·B ·C ) = P(A 1P)·P(B)·P(C)+P(A 2)·P(B)+P(A 2)·p (B )·p (C )=0.31. (2)由(1)知,若k=3,则P(F)==0.31>0.1.又E=B ·C ·A 2,P(E)=P(B ·C ·A 2)= P(B)·P(C)·P(A 2)=0.06; 若k=4,则P(F)=0.06<0.1. 所以k 的最小值为3.21. (本小题满分12分)函数f(x )=a x 3+3x 2+3x (a ≠0).(1)讨论函数f(x )的单调性;(2)若函数f(x )在区间(1,2)是增函数,求a 的取值范围.解:(1)2()363f x ax x '=++,2()3630f x ax x '=++=的判别式△=36(1-a ). (i )若a ≥1,则()0f x '≥,且()0f x '=当且仅当a=1,x =-1,故此时f (x )在R 上是增函数.(ii )由于a ≠0,故当a<1时,()0f x '=有两个根:1211x x a a---==, 若0<a<1,则当x ∈(-∞,x 2)或x ∈(x 1,+∞)时,()0f x '>,故f (x )在(-∞,x 2),(x 1,+∞)上是增函数;当x ∈(x 2,x 1)时,()0f x '<,故f (x )在(x 2,x 1)上是减函数;(2)当a>0,x >0时, ()0f x '>,所以当a>0时,f (x )在区间(1,2)是增函数.若a<0时,f (x )在区间(1,2)是增函数当且仅当(1)0f '≥且(2)0f '≥,解得504a -≤<. 综上,a 的取值范围是5[,0)(0,)4-+∞. 22. (本小题满分12分)已知抛物线C:22(0)y px p =>的焦点为F ,直线y=4与y 轴的交点为P ,与C 的交点为Q ,且54QF PQ =. (1)求抛物线C 的方程;(2)过F 的直线l 与C 相交于A,B 两点,若AB 的垂直平分线l '与C 相交于M,N 两点,且A,M,B,N 四点在同一个圆上,求直线l 的方程.解:(1)设Q (x 0,4),代入由22(0)y px p =>中得x 0=8p, 所以088,22p p PQ QF x p p ==+=+,由题设得85824p p p+=⨯,解得p =-2(舍去)或p =2.所以C 的方程为24y x =.(2)依题意知直线l 与坐标轴不垂直,故可设直线l 的方程为1x my =+,(m ≠0)代入24y x =中得2440y my --=,设A (x 1,y 1),B(x 2,y 2),则y 1+y 2=4m ,y 1y 2=-4,故AB 的中点为D (2m 2+1,2m ),2124(1)AB y m =-=+,有直线l '的斜率为-m ,所以直线l '的方程为2123x y m m=-++,将上式代入24y x =中,并整理得2244(23)0y y m m+-+=. 设M(x 3,y 3),N(x 4,y 4),则234344,4(23)y y y y m m+=-=-+. 故MN的中点为E(223422224(23,),m m MN y m m m+++-=-=). 由于MN 垂直平分AB ,故A,M,B,N 四点在同一个圆上等价于12AE BE MN ==,从而2221144AB DE MN +=,即222222224224(1)(21)4(1)(2)(2)m m m m m m m +++++++=,化简得m 2-1=0,解得m =1或m =-1,所以所求直线l 的方程为x -y-1=0或x +y-1=0.。
【备考2015】全国2014数学试题分类解析汇编(11月第四期)K单元 概率

K单元概率目录K单元概率 (1)K1 随事件的概率 (1)K2 古典概型 (1)K3 几何概型 (1)K4 互斥事件有一个发生的概率 (1)K5 相互对立事件同时发生的概率 (1)K6 离散型随机变量及其分布列 (1)K7 条件概率与事件的独立性 (1)K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布 (1)K9 单元综合 (1)K1 随事件的概率K2 古典概型【数学(文)卷·2015届某某省某某市高三第一次高考适应性考试(201411)word版】17.(本小题满分12分)城市公交车的数量若太多则容易造成资源的浪费;若太少又难以满足乘客需求.某某市公交公司在某站台的60名候车乘客中随机抽取15人,将他们的候车时间作为样本分成5组,如下表所示(单位:分钟):(1)估计这60名乘客中候车时间少于10分钟的人数;(2)若从上表第三、四组的6人中任选2人作进一步的调查,求抽到的两人恰好来自不同组的概率. 【知识点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;古典概型及其概率计算公式.K2【答案】【解析】(1)32;(2)815 解析:(1)候车时间少于10分钟的概率为2681515+=, 所以候车时间少于10分钟的人数为8603215⨯=人. ………………………6分 (2)将第三组乘客编号为1,234,,a a a a ,第四组乘客编号为1,2b b .从6人中任选两人包含一下基本事件:12(,)a a ,13(,)a a ,14(,)a a ,11(,)a b ,12(,)a b ,23(,)a a ,24(,)a a ,21(,)a b ,22(,)a b ,34(,)a a ,31(,)a b ,32(,)a b ,41(,)a b ,42(,)a b ,12(,)b b其中恰好来自不同组包含8个基本事件,所以,所求概率为815………………………12分 【思路点拨】(1)候车时间少于10分钟的人数所占的比例为2681515+=,用60乘以此比例,即得所求.(2)从这6人中选2人作进一步的问卷调查,用列举法列出上述所有可能情况共有15种,用列举法求得抽到的两人恰好来自不同组的情况共计8种,由此求得抽到的两人恰好来自不同组的概率.【数学文卷·2015届某某省长郡中学2015届高三月考试卷(三)word 版】16.(本小题满分12分)某城市要建成宜商、宜居的国际化新城,该城市的东城区、西城区分别引进8个厂家,现对两个区域的16个厂家进行评估,综合得分情况如茎叶图所示.(1)根据茎叶图判断哪个区域厂家的平均分较高;(2)规定综合得分85分以上(含85分)为优秀厂家,若从该两个区域各选一个优秀厂家,求得分差距不超过5分的概率.【知识点】用样本估计总体;茎叶图;古典概型. I2 K2【答案】【解析】(1) 东城区的平均分较高;(2)35.解析:(1) 根据茎叶图知,东城区的平均分为:7879798888899394==868x +++++++东,西城区的平均分为7279818384859494==848x +++++++西, ∴东城区的平均分较高.………………………………………………………(5分)(2)从两个区域各选一个优秀厂家,所有的基本事件数为53=15⨯种,满足得分差距不超过5分的事件:()()()()()()()()()88,8588,85,89,8589,9489,94939493,9494,9494,94、、、、、,、、、9种, ∴满足条件的概率为93155P ==…………………………………………………………(12分) 【思路点拨】(1)根据平均数得定义求得东、西两个城区厂家的平均分;(2)用列举法写出 从两个区域各选一个优秀厂家的所有情况共15种,其中满足得分差距不超过5分的情况有9种,所以满足条件的概率为93155P ==.【数学文卷·2015届某某省某某市执信中学高三上学期期中考试(201411)】17. (本小题满分12分)在某次体检中,有6位同学的平均体重为65公斤,用n x 表示编号为n (n =(1)求第6位同学的体重6x 及这6位同学体重的标准差s ;(2)从前5位同学中随机地选2位同学,求恰有1位同学的体重在区间()58,65中的概率.【知识点】古典概型及其概率计算公式;极差、方差与标准差.K2 K6【答案】【解析】(1)7s =;(2)25解析:(1)由题意得660+66+62+60+62+656x = ,故 680x =…… 2分 6位同学体重的标准差7s == …… 4分所以第6位同学的体重680x =,这6位同学体重的标准差7s =…… 5分(2)从前5位同学中随机地选2位同学的基本事件为(60,66),(60,62),(60,60),(60,62),(66,62),(66,60),(66,62),(62,60),(62,62),(60,62),共10种…… 8分 其中恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的基本事件有(60,66),(66,62),(66,60),(60,62),共4种…… 10分 所以恰有1位同学的体重在区间(58,65)中的概率42105P ==…… 12分 【思路点拨】由平均数和标准差的计算公式可得出x 6和s ,然后由古典概型计算公式可算出所求概率.K3 几何概型【数学文卷·2015届某某省长郡中学2015届高三月考试卷(三)word 版】10.A ,B ,C 是平面内不共线的三点,点P 在该平面内且有23PA PB PC ++=0,现将一粒芝麻随机撒在△ABC 内,则这粒芝麻落在△PBC 内的概率为A.13B.14C.15D.16【知识点】几何概型. K3【答案】【解析】D 解析:由23PA PB PC ++=02()3()0AP AB AP AC AP ⇒-+-+-=,得1132AP AB AC =+,设C 到AB 距离d,如图,则:11112326PCE ABC S AB d S ∆∆=⨯⨯⨯⨯=, 1111223233ABPE ABC S AB AB d AB d S ∆⎛⎫=+⋅⋅=⋅= ⎪⎝⎭,所以 121(1)S S 636PBC ABC ABC S ∆∆∆=--=,所以所求概率为:16.故选D.【思路点拨】根据已知确定点P 位置,结合图形求PBC ∆与ABC ∆面积等量关系.K4 互斥事件有一个发生的概率【数学理卷·2015届某某省某某市执信中学高三上学期期中考试(201411)】18.(本小题满分14分)袋中装着标有数学1,2,3,4,5的小球各2个,从袋中任取3个小球,每个小球被取出的可能性都相等,用ξ表示取出的3个小球上的最大数字,求:(Ⅰ)取出的3个小球上的数字互不相同的概率;(Ⅱ)随机变量ξ的概率分布和数学期望;【知识点】互斥事件的概率加法公式;离散型随机变量及其分布列;离散型随机变量的期望与方差.K4 K5 K6【答案】【解析】(Ⅰ)32;(Ⅱ)133解析:(Ⅰ) 一次取出的3个小球上的数字互不相同的事件记为A,一次取出的3个小球上有两个数字相同的事件记为B ,则事件A 和B 是对立事件。
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x1 x2
7
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11. 解析 依题意得 f x k
1 1 0 在 1, 上恒成立,即 k 在 1, 上恒成立,因为 x x
2
ห้องสมุดไป่ตู้
代入上式,解得 a1 2 ,所以 S n 2n
n n 1 2 n n 1 .故选 A. 2
2 2 3
6.解析该零件是两个圆柱体构成的组合体,其体积为 π 2 4 π 3 2 34π cm ,圆柱体毛 坯的体积为 π 3 6 54π cm ,所以切削掉部分的体积为
1 1 1 1
6
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8.解析 k 1 时, 1 2 成立,此时 M 2 , S 2 3 5 ; k 2 时, 2 2 成立,此时 M 2 ,
S 2 5 7 ; k 3 时, 3 2 ,终止循环,输出 S 7 .故选 D.
(6)如图,网格纸上正方形小格的边长为 1(表示 1cm) , 图中粗线画出的是某零件的三视图, 该零件由一个底面半径为 3cm,高为 6c m 的圆柱体毛坯切削得到,则切削掉部分的体积与原 来毛坯体积的比值为
(A)
17 27
( B)
5 9
(C)
10 27
(D)
1 3
(7)正三棱柱 ABC A1 B1C1 的底面边长为 2,侧棱长为 3 ,D 为 BC 中点,则 三棱锥 A B1 DC1 的体积为
x 1 ,所以 0
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数 学K 单元 概率 K1 随事件的概率13.[2014·新课标全国卷Ⅱ] 甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种,则他们选择相同颜色运动服的概率为________.13.13[解析] 甲有3种选法,乙也有3种选法,所以他们共有9种不同的选法.若他们选择同一种颜色,则有3种选法,所以其对应的概率P =39=13. 13.[2014·全国新课标卷Ⅰ] 将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行,则2本数学书相邻的概率为________.13.23[解析] 2本数学书记为数1,数2,3本书共有(数1数2语),(数1语数2),(数2数1语),(数2语数1),(语数1数2),(语数2数1)6种不同的排法,其中2本数学书相邻的排法有4种,对应的概率为P =46=23. 14.[2014·浙江卷] 在3张奖券中有一、二等奖各1张,另1张无奖.甲、乙两人各抽取1张,两人都中奖的概率是________.14.13[解析] 基本事件的总数为3×2=6,甲、乙两人各抽取一张奖券,两人都中奖只有2种情况,所以两人都中奖的概率P =26=13.19.[2014·陕西卷] 某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下:(1)若每辆车的投保金额均为2800元,估计赔付金额大于投保金额的概率;(2)在样本车辆中,车主是新司机的占10%,在赔付金额为4000元的样本车辆中,车主是新司机的占20%,估计在已投保车辆中,新司机获赔金额为4000元的概率.19.解:(1)设A 表示事件“赔付金额为3000元”,B 表示事件“赔付金额为4000元”,以频率估计概率得P (A )=1501000=0.15,P (B )=1201000=0.12. 由于投保金额为2800元,所以赔付金额大于投保金额的概率为P (A )+P (B )=0.15+0.12=0.27.(2)设C 表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”,由已知,得样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000=100(辆),而赔付金额为4000元的车辆中,车主为新司机的有0.2×120=24(辆),所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为24100=0.24.由频率估计概率得P (C )=0.24.16.、[2014·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率.16.解:(1)由题意,(a ,b ,c )所有的可能为:(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”为事件A ,则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,所以P (A )=327=19. 因此,“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”为事件B ,则事件B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P (B )=1-P (B )=1-327=89. 因此,“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率为89.K2 古典概型20.,[2014·福建卷] 根据世行2013年新标准,人均GDP 低于1035美元为低收入国家;人均GDP 为1035~4085美元为中等偏下收入国家;人均GDP 为4085~12 616美元为中等偏上收入国家;人均GDP 不低于12 616美元为高收入国家.某城市有5个行政区,各区人口占该城市人口比例及人均GDP 如下表:(1)判断该城市人均GDP 是否达到中等偏上收入国家标准;(2)现从该城市5个行政区中随机抽取2个,求抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准的概率.20.解:(1)设该城市人口总数为a ,则该城市人均GDP 为8000×0.25a +4000×0.30a +6000×0.15a +3000×0.10a +10 000×0.20a a= 6400(美元).因为6400∈[4085,12 616),所以该城市人均GDP 达到了中等偏上收入国家标准.(2)“从5个行政区中随机抽取2个”的所有的基本事件是:{A ,B},{A ,C},{A ,D},{A ,E},{B ,C},{B ,D},{B ,E},{C ,D},{C ,E},{D ,E},共10个.设事件M 为“抽到的2个行政区人均GDP 都达到中等偏上收入国家标准”,则事件M 包含的基本事件是:{A ,C},{A ,E},{C ,E},共3个.所以所求概率为P (M )=310. 12.[2014·广东卷] 从字母a ,b ,c ,d ,e 中任取两个不同字母,则取到字母a 的概率为________.12.25[解析] 所有事件有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(a ,e ),(b ,c ),(b ,d ),(b ,e ),(c ,d ),(c ,e ),(d ,e ),共10个,其中含有字母a 的基本事件有(a ,b ),(a ,c ),(a ,d ),(a ,e ),共4个,所以所求事件的概率是P =410=25. 5.[2014·湖北卷] 随机掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1,点数之和大于5的概率记为p 2,点数之和为偶数的概率记为p 3,则( )A .p 1<p 2<p 3B .p 2<p 1<p 3C .p 1<p 3<p 2D .p 3<p 1<p 25.C [解析]则p 1=1036,p 2=2636,p 3=1836.故p 1<p 3<p 2.故选C. 17.、[2014·湖南卷] 某企业有甲、乙两个研发小组,为了比较他们的研发水平,现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下:(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ).其中a ,a 分别表示甲组研发成功和失败;b ,b 分别表示乙组研发成功和失败.(1)若某组成功研发一种新产品,则给该组记1分,否则记0分.试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差,并比较甲、乙两组的研发水平.(2)若该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品,试估计恰有一组研发成功的概率.17.解:(1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1,其平均数为x 甲=1015=23, 方差为s 2甲=115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-232×10+⎝⎛⎭⎫0-232×5=29. 乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1,其平均数为x 乙=915=35, 方差为s 2乙=115⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1-352×9+⎝⎛⎭⎫0-352×6=625. 因为x 甲>x 乙,s 2甲<s 2乙,所以甲组的研发水平优于乙组.(2)记E ={恰有一组研发成功}.在所抽得的15个结果中,恰有一组研发成功的结果是(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),(a ,b ),共7个,故事件E 发生的频率为715. 将频率视为概率,即得所求概率为P (E )=715. 4.[2014·江苏卷] 从1,2,3,6这4个数中一次随机地取2个数,则所取2个数的乘积为6的概率是________.4.13[解析] 基本事件有(1,2),(1,3)(1,6),(2,3),(2,6),(3,6),共6种情况,乘积为6的是(1,6)和(2,3),则所求事件的概率为13. 3.[2014·江西卷] 掷两颗均匀的骰子,则点数之和为5的概率等于( )A.118B.19C.16D.1123.B [解析] 掷两颗均匀的骰子,一共有36种情况,点数之和为5的有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),共4种,所以点数之和为5的概率为436=19. 21.、、[2014·江西卷] 将连续正整数1,2,…,n (n ∈N *)从小到大排列构成一个数123…n ,F (n )为这个数的位数(如n =12时,此数为123456789101112,共有15个数字,F (12)=15),现从这个数中随机取一个数字,p (n )为恰好取到0的概率.(1)求p (100);(2)当n ≤2014时,求F (n )的表达式;(3)令g (n )为这个数中数字0的个数,f (n )为这个数中数字9的个数,h (n )=f (n )-g (n ),S ={n |h (n )=1,n ≤100,n ∈N *},求当n ∈S 时p (n )的最大值.21.解:(1)当n =100时,这个数中总共有192个数字,其中数字0的个数为11,所以恰好取到0的概率为p (100)=11192. (2)F (n )=⎩⎪⎨⎪⎧n ,1≤n ≤9,2n -9,10≤n ≤99,3n -108,100≤n ≤999,4n -1107,1000≤n ≤2014.(3)当n =b (1≤b ≤9,b ∈N *),g (n )=0;当n =10k +b (1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N )时,g (n )=k ;当n =100时,g (n )=11,即g (n )=⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n ≤9,k ,n =10k +b ,11,n =100.1≤k ≤9,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,同理有f (n )=⎩⎪⎨⎪⎧0,1≤n ≤8,k ,n =10k +b -1,1≤k ≤8,0≤b ≤9,k ∈N *,b ∈N ,n -80,89≤n ≤98,20,n =99,100. 由h (n )=f (n )-g (n )=1,可知n =9,19,29,39,49,59,69,79,89,90,所以当n ≤100时,S ={9,19,29,39,49,59,69,79,89,90}.当n =9时,p (9)=0.当n =90时,p (90)=g (90)F (90)=9171=119. 当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )=g (n )F (n )=k 2n -9=k 20k +9,由y =k 20k +9关于k单调递增,故当n =10k +9(1≤k ≤8,k ∈N *)时,p (n )的最大值为p (89)=8169. 又8169<119,所以当n ∈S 时,p (n )的最大值为119. 18.、[2014·辽宁卷] 某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯,在全校一年级学生中进行(1)习惯方面有差异”;(2)已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生,其中2名喜欢甜品,现在从这5名学生中随机抽取3人,求至多有1人喜欢甜品的概率.附:χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2,18.解:(1)将2×2列联表中的数据代入公式计算,得χ2=n (n 11n 22-n 12n 21)2n 1+n 2+n +1n +2=100×(60×10-20×10)270×30×80×20=10021≈4.762. 由于4.762>3.841,所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.(2)从5名数学系学生中任取3人的一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={(a 1,a 2,b 1),(a 1,a 2,b 2),(a 1,a 2,b 3),(a 1,b 1,b 2),(a 1,b 1,b 3),(a 1,b 2,b 3),(a 2,b 1,b 2),(a 2,b 1,b 3),(a 2,b 2,b 3),(b 1,b 2,b 3)},其中a i 表示喜欢甜品的学生,i =1,2,b j 表示不喜欢甜品的学生,j =1,2,3.Ω由10个基本事件组成,且这些基本事件的出现是等可能的.用A 表示“3人中至多有1人喜欢甜品”这一事件,则A ={(a 1,b 1,b 2),(a 1,b 1,b 3),(a 1,b 2,b 3),(a 2,b 1,b 2),(a 2,b 1,b 3),(a 2,b 2,b 3),(b 1,b 2,b 3)}.事件A 由7个基本事件组成,因而P (A )=710. 16.,[2014·山东卷] 海关对同时从A ,B ,C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测,从各地区进口此种商品的数量(单位:件)如表所示.工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.(1)求这6件样品中来自(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测,求这2件商品来自相同地区的概率.16.解:(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是650+150+100=150,所以样本中包含三个地区的个体数量分别是:50×150=1,150×150=3,100×150=2. 所以A ,B ,C 三个地区的商品被选取的件数分别是1,3,2.(2)设6件来自A ,B ,C 三个地区的样品分别为:A ;B 1,B 2,B 3;C 1,C 2.则抽取的这2件商品构成的所有基本事件为:{A ,B 1},{A ,B 2},{A ,B 3},{A ,C 1},{A ,C 2},{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 1,C 1},{B 1,C 2},{B 2,B 3}{B 2,C 1},{B 2,C 2},{B 3,C 1},{B 3,C 2},{C 1,C 2},共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些基本事件的出现是等可能的.记事件D 为“抽取的这2件商品来自相同地区”,则事件D 包含的基本事件有{B 1,B 2},{B 1,B 3},{B 2,B 3},{C 1,C 2},共4个.所以P (D )=415,即这2件商品来自相同地区的概率为415. 6.[2014·陕西卷] 从正方形四个顶点及其中心这5个点中,任取2个点,则这2个点的距离小于该正方形边长的概率为( )A.15B.25C.35D.456.B [解析] 由古典概型的特点可知从5个点中选取2个点的全部情况共有10种,其中选取的2个点的距离小于该正方形边长的情况共有4种,故所求概率为P =410=25. 16.、[2014·四川卷] 一个盒子里装有三张卡片,分别标记有数字1,2,3,这三张卡片除标记的数字外完全相同.随机有放回地抽取3次,每次抽取1张,将抽取的卡片上的数字依次记为a ,b ,c .(1)求“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”的概率;(2)求“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率.16.解:(1)由题意,(a ,b ,c )所有的可能为:(1,1,1),(1,1,2),(1,1,3),(1,2,1),(1,2,2),(1,2,3),(1,3,1),(1,3,2),(1,3,3),(2,1,1),(2,1,2),(2,1,3),(2,2,1),(2,2,2),(2,2,3),(2,3,1),(2,3,2),(2,3,3),(3,1,1),(3,1,2),(3,1,3),(3,2,1),(3,2,2),(3,2,3),(3,3,1),(3,3,2),(3,3,3),共27种.设“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”为事件A ,则事件A 包括(1,1,2),(1,2,3),(2,1,3),共3种,所以P (A )=327=19. 因此,“抽取的卡片上的数字满足a +b =c ”的概率为19. (2)设“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”为事件B ,则事件B 包括(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),共3种.所以P (B )=1-P (B )=1-327=89. 因此,“抽取的卡片上的数字a ,b ,c 不完全相同”的概率为89. 15.、[2014·天津卷] 某校夏令营有3名男同学A ,B ,C 和3名女同学X ,Y ,Z ,其年级情况如下表:现从这6).(1)用表中字母列举出所有可能的结果;(2)设M 为事件“选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学”,求事件M 发生的概率.15.解:(1)从6名同学中随机选出2人参加知识竞赛的所有可能结果为{A ,B },{A ,C },{A ,X },{A ,Y },{A ,Z },{B ,C },{B ,X },{B ,Y },{B ,Z },{C ,X },{C ,Y },{C,Z},{X,Y},{X,Z},{Y,Z},共15种.(2)选出的2人来自不同年级且恰有1名男同学和1名女同学的所有可能结果为{A,Y},{A,Z},{B,X},{B,Z},{C,X},{C,Y},共6种.因此,事件M发生的概率P(M)=615=25.17.、[2014·重庆卷] 20名学生某次数学考试成绩(单位:分)的频率分布直方图如图1-3所示.(1)求频率分布直方图中a的值;(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数;(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人,求此2人的成绩都在[60,70)中的概率.17.解:(1)据直方图知组距为10,由(2a+3a+7a+6a+2a)×10=1,解得a=1200=0.005.(2)成绩落在[50,60)中的学生人数为2×0.005×10×20=2.成绩落在[60,70)中的学生人数为3×0.005×10×20=3.(3)记成绩落在[50,60)中的2人为A1,A2,成绩落在[60,70)中的3人为B1,B2,B3,则从成绩在[50,70)的学生中任选2人的基本事件共有10个,即(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).其中2人的成绩都在[60,70)中的基本事件有3个,即(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3).故所求概率为P=310.K3 几何概型13.[2014·福建卷] 如图1-5所示,在边长为1的正方形中随机撒1000粒豆子,有180粒落到阴影部分,据此估计阴影部分的面积为________.图1-513.0.18[解析] 设阴影部分的面积为S.随机撒1000粒豆子,每粒豆子落在正方形内任何一点是等可能的,落在每个区域的豆子数与这个区域的面积近似成正比,即S 1≈落在阴影部分中的豆子数落在正方形中的豆子数=1801000=0.18,所以可以估计阴影部分的面积为0.18.5.[2014·湖南卷] 在区间[-2,3]上随机选取一个数X ,则X ≤1的概率为( ) A.45 B.35C.25D.155.B [解析] 由几何概型概率计算公式可得P =1-(-2)3-(-2)=35. 6.[2014·辽宁卷] 若将一个质点随机投入如图1-1所示的长方形ABCD 中,其中AB =2,BC =1,则质点落在以ABA.π2B.π4C.π6D.π86.B [解析] 由题意AB =2,BC =1,可知长方形ABCD 的面积S =2×1=2,以AB为直径的半圆的面积S 1=12×π×12=π2.故质点落在以AB 为直径的半圆内的概率P =π22=π4. 15.[2014·重庆卷] 某校早上8:00开始上课,假设该校学生小张与小王在早上7:30~7:50之间到校,且每人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少早5分钟到校的概率为________.(用数字作答)15.932[解析] 设小张到校的时间为x ,小王到校的时间为y ,(x ,y )可以看成平面中的点.试验的全部结果所构成的区域为Ω=⎩⎨⎧⎭⎬⎫(x ,y )|152≤x ≤476,152≤y ≤476,这是一个正方形区域,面积为S Ω=13×13=19.事件A 表示小张比小王早到5分钟,所构成的区域为A =(x ,y )x -y ≥112,152≤x ≤476,152≤y ≤476,即图中的阴影部分,面积为S A =12×14×14=132.这是一个几何概型问题,所以P (A )=S A S Ω=932.K4 互斥事件有一个发生的概率K5 相互对立事件同时发生的概率20.、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k 台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k ”的概率小于0.1,求k 的最小值.20.解:记A 1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i 人需使用设备,i =0,1,2. B 表示事件:甲需使用设备.C 表示事件:丁需使用设备.D 表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.E 表示事件:同一工作日4人需使用设备.F 表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k .(1)因为P (B )=0.6,P (C )=0.4,P (A i )=C i 2×0.52,i =0,1,2,所以P (D )=P (A 1·B ·C +A 2·B +A 2·B ·C )=P (A 1·B ·C )+P (A 2·B )+P (A 2·B ·C )=P (A 1)P (B )P (C )+P (A 2)P (B )+P (A 2)P (B )P (C )=0.31.(2)由(1)知,若k =2,则P (F )=0.31>0.1,P (E )=P (B ·C ·A 2)=P (B )P (C )P (A 2)=0.06.若k =3,则P (F )=0.06<0.1,所以k 的最小值为3.K6 离散型随机变量及其分布列22.[2014·江苏卷] 盒中共有9个球,其中有4个红球、3个黄球和2个绿球,这些球除颜色外完全相同.(1)从盒中一次随机取出2个球,求取出的2个球颜色相同的概率P ;(2)从盒中一次随机取出4个球,其中红球、黄球、绿球的个数分别记为x 1,x 2,x 3,随机变量X 表示x 1,x 2,x 3中的最大数,求X 的概率分布和数学期望E (X ).22.解:(1)取到的2个颜色相同的球可能是2个红球、2个黄球或2个绿球,所以P =C 24+C 23+C 22C 29=6+3+136=518. (2)随机变量X 所有可能的取值为2,3,4.{X =4}表示的随机事件是“取到的4个球是4个红球”,故P (X =4)=C 44C 49=1126; {X =3}表示的随机事件是“取到的4个球是3个红球和1个其他颜色的球,或3个黄球和1个其他颜色的球”,故P (X =3)=C 34C 15+C 33C 16C 49=20+6126=1363;于是P (X =2)=1-P (X =3)-P (X =4)=1-1363-1126=1114. 所以随机变量X 的概率分布如下表:因此随机变量X 的数学期望E (X )=2×1114+3×1363+4×1126=209.K7 条件概率与事件的独立性K8 离散型随机变量的数字特征与正态分布20.、[2014·全国卷] 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4,各人是否需使用设备相互独立.(1)求同一工作日至少3人需使用设备的概率;(2)实验室计划购买k台设备供甲、乙、丙、丁使用.若要求“同一工作日需使用设备的人数大于k”的概率小于0.1,求k的最小值.20.解:记A1表示事件:同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备,i=0,1,2.B表示事件:甲需使用设备.C表示事件:丁需使用设备.D表示事件:同一工作日至少3人需使用设备.E表示事件:同一工作日4人需使用设备.F表示事件:同一工作日需使用设备的人数大于k.(1)因为P(B)=0.6,P(C)=0.4,P(A i)=C i2×0.52,i=0,1,2,所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2·B·C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2·B·C)=P(A1)P(B)P(C)+P(A2)P(B)+P(A2)P(B)P(C)=0.31.(2)由(1)知,若k=2,则P(F)=0.31>0.1,P(E)=P(B·C·A2)=P(B)P(C)P(A2)=0.06.若k=3,则P(F)=0.06<0.1,所以k的最小值为3.K9 单元综合。