可解论文：可解 李超代数 完备 导子
一类李超代数的完备性
Ｖｏ ． ５ Ｎ ３ １３ ９ －
Ｓ ｅｐ．２ ０２ ０
２ ０ 年 ９月 ０２
文 章 编 号 ：４ ５７ ４ （ ０ ２ ０— ０ ９０ ０ ６— ９ ２ ２ ０ ） ３０ ２ —５
一
类 李 超 代 数 的 完 备 性
王立云 孟道骥
（ 开 大 学 数 学 系 ， 津 ，０ ０ １ 南 天 ３０７）
分 解 为 ： ： 马＿ ｒ 其 中 马 ｒ分别 为 ｇ ｇ ｆ ， － ， 的 Ｌ ｖ 子 代数 与 根基 ． ｅｉ 定理 １ 设 ｇ为李 超 代数 ， Ｃ（ ）一 ０ 如果 且 ｇ ．
｛ ∈ Ｄ ｒ （）一 ０ Ｄ ｅｇ Ｄ 马 ｌ ） ａｇ ｄ
则 ｇ为 完备 李 超代 数 ．
・
３ ・ ０
南 开 大 学 学 报 （ 自然 科 学 版 ）
第 ３ ５卷
在Ｃｇ ≠０ （ ） 的情况． Ｔ ∑ 一 。 ｚ＋五ｚ＋ｚ 一 ｛ Ｄｒ）ｌ（） ｝ 设ｇ一 ＋ ｚ ｒ， 。 ＤＥ（ｅ ￣ 一０， ｇ Ｄ
ｌ １ ＝
Ｗ１ ｛ （ ｒ ） ｌ 一 Ｄ Ｅ Ｄｅｇ ＴＤ（ ）一 ０ ． ｝
本 文 中总假 定李 超 代数 ｇ满 足下 面 两个 条件 ． １ ｇ 为 约 化李 代 数 ， ｇ 即 一 马＋ Ｃ（ ， ）
２ ｉ ｇ是半单 ｇ 模， ｇ ：ｇ ＋ｇ － … － ｇ， 是单 ｇ 模． 即 Ｔ ； ；｝ ｝ ； ； － － ｇ
这 类 李超 代 数 的结 构 已在 ［ Ｏ １ ］中讨 论 过 ． 这里 将研 究 这类 李 超代 数 的完 备性 ． 别 给 出 了 马 单李 代 特 是 数 时 ｇ为完 备李 超 代数 的充 分 必要 条 件． 同时 给 出 了一些 构 造完 备李 超 代数 的方法 ， 而 丰 富 了完备 李 超 从 代 数 的例 子 ， 利 于完 备 李超 代 数 的进 一步 研究 ． 有
奇Contact李超代数偶部到奇部的导子
奇Contact李超代数偶部到奇部的导子
曹燕;刘文德
【期刊名称】《东北师大学报：自然科学版》
【年(卷),期】2011(43)3
【摘要】在特征p>3的情况下,首先确定了奇Contact李超代数偶部的生成元集,然后通过计算方法确定了奇Contact李超代数偶部到奇部的-次数为-1,-2,-3的导子.
【总页数】5页(P5-9)
【关键词】阶化;奇Contact李超代数;导子
【作者】曹燕;刘文德
【作者单位】哈尔滨理工大学荣成学院;哈尔滨师范大学数学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O152.5
【相关文献】
1.奇Hamilton李超代数偶部到奇部的导子 [J], 华秀英;刘文德
2.奇Hamiltonian李超代数偶部的非负Z-齐次导子空间 [J], 华秀英;刘文德
3.奇Hamiltonian李超代数偶部到奇部的Z-次数为-1的导子 [J], 曹燕;张健;刘文德
4.奇Contact李超代数偶部到奇部的负次数的导子 [J], 曹燕;刘文德;关宝玲
5.奇Contact李超代数偶部的应用 [J], 曹燕;张健;刘文德
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【国家自然科学基金】_lie导子_基金支持热词逐年推荐_【万方软件创新助手】_20140729
2012年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33
科研热词 导子 自同构群 自同构 泛中心扩张 导子代数 中心扩张 三角代数 量子环面 部分ξ -lie可导映射 罗朗多项式代数 次不变子代数 李超代数 李代数 李三系 李poisson超代数 李color代数 收缩 广义李导子 广义李三导子 幂零根基 导子塔 完备李color代数 可解李代数 分裂扩张 位似 二上循环 严格上三角矩阵 ξ -lie可导映射 witt代数 virasoro-like代数 solvable lie algebra nilpotent radical derivations
推荐指数 4 3 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
2009年 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
科研热词 导子 量子环面 套代数 中心扩张 零点广义lie可导映射 阶化平移toroidal李代数 自同构 泛中心扩张 模李超代数 广义导子 导子超代数 导子代数 完备李代数 变形李代数 单完备李代数 内导子 二上圈 不可约模 不可分解模 z-阶化李超代数 torus loop代数 lie可导映射 lie代数 (r,s)-微分算子
科研热词 导子 阶化 李代数 奇contact李超代数 高阶导子 非线性映射 非线性强积零导子 零点lie高阶可导映射 次理想 极大环面 李超三系 李color代数 权空间分解 广义导子 左对称代数 可解完备李代数 单李代数 全形 保强交换性 低维上同调群 上同调 三角代数 ξ -lie导子 witt超代数 novikov代数 jordan导子 hom-李代数 banach空间 3-李代数
Hom-李超代数的结构
Hom-李超代数的结构高宇佳;孙丽萍;刘文德【摘要】类比于单李超代数的结构性质，证明了单 Hom-李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想。
通过给出保积 Hom-李超代数的若干性质，建立了保积Hom-李超代数与李超代数之间的关系。
特别地，证明了正则Hom-李超代数是可解(幂零)的充要条件是其容许李超代数是可解(幂零)的，并给出了正则Hom-李超代数是单的必要条件为其容许李超代数是单的。
%This paper considers finite-dimensional Hom-Lie superalgebras over a field of characteristic zero. Analogous to the structural properties of the simple Lie superalgebra, we prove that a simple Hom-Lie superal-gebra dose not have any non-trivial left or right ideals (graded or not). We establish the relationship between the multiplicative Hom-Lie superalgebra and the Lie superalgebra by giving some properties of the multiplicative Hom-Lie superalgebra. Especially, we characterize that a regular Hom-Lie superalgebra is solvable (or nilpo-tent) if and only if its admissible Lie superalgebra is solvable (or nilpotent). Furthermore, a regular Hom-Lie superalgebra is simple if its admissible Lie superalgebra is simple.【期刊名称】《纯粹数学与应用数学》【年(卷),期】2014(000)002【总页数】9页(P186-194)【关键词】单Hom-李超代数;保积Hom-李超代数;可解性【作者】高宇佳;孙丽萍;刘文德【作者单位】哈尔滨师范大学数学系，黑龙江哈尔滨 150025;哈尔滨理工大学应用科学学院，黑龙江哈尔滨 150080;哈尔滨师范大学数学系，黑龙江哈尔滨150025【正文语种】中文【中图分类】O151.22006年,Hartwing,Larsson和 Silvestrov为了研究Witt代数与 Virasoro代数的形变,提出了 Hom-李代数的概念[13].事实上,这个概念已经隐含在许多更早期的文献中,例如,文献[4-7].Hom-李代数理论对微积分、物理学等领域的发展起到了很大的促进作用[8],研究Hom-李代数结构是李理论中的活跃课题.例如,2012年,生云鹤研究了Hom-李代数的伴随表示与平凡表示,以及 Hom-李代数的导子、形变、中心扩张等[9].2000年,文献[10]将Hom-李代数推广到Hom-李超代数上.2012年,文献[11]证明了复数域上有限维单李超代数只有平凡的保积Hom-李超代数结构. 类比李超代数的方法,本文证明了单Hom-李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想并给出了保积Hom-李超代数的一些基本性质.本文结构如下:第1节介绍了基本概念与基本性质;第2节给出单Hom-李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想这一定理及其证明;第3节研究保积Hom-李超代数的基本性质,特别地,证明了正则Hom-李超代数是可解(幂零)的充要条件为其容许李超代数是可解(幂零)的,并给出了正则Hom-李超代数是单的必要条件为其容许李超代数是单的.今后拟将本文的结果应用于研究超交换环上的微分算子构成的代数结构上的Hom-李超代数,参见文献[12].本文约定所有的代数都是有限维的,且定义在特征零的代数闭域上.域上向量空间V,连同它的一个子空间直和分解,称为一个超空间(或-阶化空间);中的元素称为偶元素,中的元素称为奇元素,偶、奇元素统称为-齐次元素.如果v是-齐次元素,用符号|v|表示v的-次数.超空间的子空间W 称为超子空间(或-阶化子空间),若W 关于V的-阶化分解是封闭的,即W 的任一元素的齐次分支仍在W 中,等价地,设V,W 为超空间,φ:V→W 是一个线性映射.φ称为偶的,如果φ(Vα)⊂Wα;φ称为奇的,如果设V是超空间,γ:V→V是一线性映射,使得对任意x∈Vα,α∈Z2,有γ(x)=(−1)|x|x,称γ是符号映射.以下如无特殊说明,γ表示符号映射.显然,γ是线性同构,特别地,γ2=idV.引理 2.1 若V是超空间,W 是V的子空间.则W 是Z2-阶化子空间当且仅当W 是γ的不变子空间.域上的一个向量空间G称为一个代数,如果G有一个双线性乘法:设X,Y是代数G的两个非空子集,用符号XY表示所有形如xy的元素张成的子空间,其中x∈X,y∈Y.代数G的子空间B称为G的子代数,如果B关于G的乘法封闭,即BB⊂B.代数G的子空间J称为G的左(右)理想,如果GJ⊂J(JG⊂J).如果J既是左理想又是右理想,则称之为理想.设G为代数,称为代数G的导出序列G(k),k∈.若存在正整数n,使得G(n)=0,则称代数G是可解的.称为代数G的降中心列Gk,k∈.若存在正整数n,使得Gn=0,则称代数G是幂零的. 设G,L是两个代数,线性映射f:G→L称为代数同态,若f(xy)=f(x)f(y),对于任意的x,y∈G.设G是域F上的代数,如果G有一个超空间结构并且它的乘法与其超结构相容:则称G是域F上的超代数(或-阶化代数).超代数G的子代数B称为-阶化子代数,如果B还是G的-阶化子空间;超代数G的理想B称为-阶化理想,如果B还是G的-阶化子空间.引理 2.2 符号映射γ是超代数G的自同构.证明如前所述,γ是线性同构,因此只需证明γ保持乘法运算.对于任意综上,γ是超代数G的同构映射.引理 2.3 设G是超代数,J是G的子空间,则J是G的左(右)理想当且仅当γ(J)是G 的左(右)理想.证明首先证明命题对于左理想成立.由于γ是G的自同构且γ2=idG,所以只需证明必要性成立.对于任意的则γ(J)是左理想.同理,命题对于右理想仍然成立.超代数同态是指保持-阶化的代数同态.也就是说,超代数同态φ:G→L不仅保持乘法,而且是偶的线性映射.设G为域F上的超代数,若α:G→G是偶的线性映射,则称(G,α)为Hom-超代数,α为G的Hom-结构.若α是G的自同态,则称(G,α)为保积Hom-超代数;若α是G 的自同构,则称(G,α)为正则Hom-超代数.设(G,α)为Hom-超代数,超代数G的-阶化子代数B称为(G,α)的Hom--阶化子代数,若B是α的不变子空间,即α(B)⊂B;超代数G的-阶化理想J称为(G,α)的Hom--阶化理想,若J是α的不变子空间,即α(J)⊂J;超代数G的自同态(同构)φ称为Hom-超代数(G,α)的自同态(同构),若φ◦α=α◦φ.定义 2.1 设(G,α)为Hom-超代数,其双线性乘法用[−,−]表示.若G中的任意齐次元素x,y,z,满足:则称(G,[−,−],α)为Hom-李超代数.Hom-李超代数的Hom-阶化子代数、Hom--阶化理想、Hom-李超代数同态(同构)等概念与Hom-超代数相应的概念相同;Hom-李超代数的Hom-导出序列、Hom-降中心列、可解、幂零的定义与一般代数的导出序列、降中心列、可解、幂零的定义相同.定义 2.2 设(G,[−,−],α)为Hom-李超代数,若α是(G,[−,−],α)的自同态(自同构),则称(G,[−,−],α)为保积(正则)Hom-李超代数.定义 2.3 若 Hom-李超代数(G,[−,−],α)没有任何非平凡的 Hom--阶化理想且[G,G]/=0,则称Hom-李超代数(G,[−,−],α)为单Hom-李超代数.定义 2.4 设(G,[−,−]α,α)为Hom-李超代数,若G上存在一个双线性的乘法[−,−],使得(G,[−,−])是一个李超代数,并且则称(G,[−,−]α,α)为李型Hom-李超代数,并称(G,[−,−])为其容许李超代数.由定义2.3,单Hom-李超代数没有任何非平凡的Hom--阶化理想,因此从逻辑上说,单Hom-李超代数可能有非-阶化的Hom-理想.根据李超代数理论,有限维单李超代数没有任何非平凡的左(右)理想、理想,见文献[13]的定理1.2.2.下面将此结论推广到Hom-李超代数上,即单Hom-李超代数没有任何非平凡的Hom-左(右)理想、Hom-理想(这里的Hom-左(右)理想、Hom-理想不要求是-阶化的).为此,首先证明下面引理成立:引理 3.1 设(G,[−,−],α)是单Hom-李超代数,τ:G→G是奇的线性映射.若τ◦α= α◦τ,且对于任意的x,y∈G,有τ([x,y])=[x,τ(y)],则τ=0.证明由于τ(α(kerτ))=(τ◦α)(kerτ)=(α◦τ)(kerτ)=α(τ(kerτ))=0,所以kerτ在α之下不变.同理有Im τ在α之下也不变,因此kerτ与Im τ均是(G,[−,−],α)的Hom-理想.由于|τ|=,则kerτ与Im τ都是(G,[−,−],α)的Hom-阶化理想.又由(G,[−,−],α)的单性可知,τ=0或τ是双射.假设τ是双射,下面欲推出矛盾.此时,(4)式的左边是对称的,右边是斜对称的.此时,(4)式的左边是斜对称的,右边是对称的.综上,等式(4)关于x,y一边是对称的,而另一边是斜对称的,从而−τ2([y,x])=0.又由于τ是双射,所以[y,x]=0.(2)若|x||y|,由于τ是奇映射,则|x|=|τ(y)|.由以上证明可知,τ([x,y])=[x,τ(y)]=0,故[x,y]=0.从而,[G,G]=0,这与G是单Hom-李超代数矛盾,于是τ=0.下面定理证明思路与文献[13]的定理1.2.2类似,但注意证明过程与Hom-结构的关联性.定理 3.1 单Hom-李超代数没有任何非平凡Hom-左(右)理想、Hom-理想.证明设(G,[−,−],α)是单Hom-李超代数,首先分步证明命题对于Hom-左理想成立: (1)符号映射γ是(G,[−,−],α)的自同构.事实上,由引理2.2可知,γ是一般超代数的自同构,因此只需证γ◦α=α◦γ即可.注意α为偶的线性映射,对于任意的有由 x的任意性知,γ◦α=α◦γ,从而γ是(G,[−,−],α)的自同构.(2)设J是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想,则γ(J)也是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想.事实上,由引理2.3知,γ(J)是一般超代数的左理想.又由于故γ(J)在α之下不变,所以γ(J)是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想.(3)G有非零左Hom-理想的直和分解:G=J⊕γ(J).事实上,由(2)知,J+γ(J),J∩γ(J)是(G,[−,−],α)的非零左Hom-理想.又由于γ2是恒等映射,则J+γ(J),J∩γ(J)在γ下不变,根据引理1.1,J+γ(J),J∩γ(J)是(G,[−,−],α)的非零左Hom--阶化理想.由(G,[−,−],α)的单性可知,J+γ(J)=G,J∩γ(J)=0,从而G=J⊕γ(J).(4)事实上,对于任意的x∈G,显然有首先证明成立,记A={y+γ(y)|y∈J}.包含关系“⊃”显然成立.包含关系“⊂”:对于任意的其中x∈G.由G=J⊕γ(J)可知,存在y,z∈J,使得x=y+γ(z),则同理可证,等式也成立.(5)由 (3)知存在线性映射τ:G→ G是线性映射,满足其中x∈J 则|τ|=,且τ有以下的性质:对于任意的x,y∈G,τ◦α=α◦τ,τ([x,y])=[x,τ(y)].事实上,对于任意的其中y∈J,则从而同理有所以τ是奇的.由τ的定义可知,显然有τ2=idG成立.由于τ是奇的线性映射,有且又由τ2=idG,则对于任意的其中y∈J,有类似地,对于中的元素有同样的结果,从而τ◦α=α◦τ成立.当x∈G,y∈J时,由于J是理想,有当x∈G,y∈γ(J)时,由于γ(J)是理想,有从而对于任意的x,y∈G,τ([x,y])=[x,τ(y)]成立.这与引理 3.1矛盾,故假设不成立,即单Hom-李超代数没有任何非平凡的左Hom-理想.同理,命题对于右理想成立,从而对于理想成立.命题 4.1 设(G,[−,−]α,α)为正则Hom-李超代数,则(G,[−,−]α,α)是李型Hom-李超代数,且其容许李超代数为(G,[−,−]),其中[−,−]=α−1[−,−]α.证明首先证明(G,[−,−])为李超代数,只需证明超 Jacobi-恒等式成立.对于任意的x,y,z∈G,其次证明等式(3)成立.由,易见,其中x,y∈G.由α是的自同构,有由α是单射,有命题 4.2 李型Hom-李超代数是保积Hom-李超代数.证明设为李型Hom-李超代数,为其容许李超代数,由定义2.4知,从而为保积的.设I为保积Hom-李超代数的Hom-理想,在商空间G/I中规定引理 4.1 设I为保积Hom-李超代数的Hom-理想,则为保积Hom-李超代数,其中如(5)与(6)式规定.命题 4.3 设为保积 Hom-李超代数,则为保积 Hom-李超代数.特别地,当 k为使得kerαk=kerαk+1成立的最小正整数时,为李型Hom-李超代数.证明由于αk(α(kerαk))=αk+1(kerαk)=0,从而kerαk在α之下不变,且即从而kerαk是理想,由引理 4.1可知,为保积的Hom-李超代数.对于任意x,y∈G,设那么则x−y∈kerαk+1=kerαk,从而x+kerαk=y+kerαk,故为双射.由命题 4.1知,为李型Hom-李超代数.定理 4.1 设(G,[−,−]α,α)为正则Hom-李超代数,则(G,[−,−]α,α)可解(幂零)的充分必要条件是其容许李超代数(G,[−,−])可解(幂零).证明用和分别表示和(G,[−,−])的Hom-导出序列,用和分别表示(G,[−,−]α,α)和(G,[−,−])的Hom-降中心列.首先用归纳法证明当k=1时,,命题成立.假设当k=m−1时命题成立,即当k=m时,从而由于α是可逆的,所以=0当且仅当G(n)=0.同理可证,=0当且仅当Gn=0,故命题成立.定理 4.2 设(G,[−,−]α,α)为正则 Hom-李超代数,(G,[−,−])为其容许李超代数.若(G,[−,−])是单李超代数,则(G,[−,−]α,α)是单Hom-李超代数.证明反证法令I为(G,[−,−]α,α)的非平凡的Hom--阶化理想,那么由于α是(G,[−,−])的自同构,则α(I)=I,α(G)=G,从而故I为(G,[−,−])的非平凡-阶化理想,这与(G,[−,−])的单性矛盾,从而(G,[−,−]α,α)无非平凡的Hom--阶化理想.又由(G,[−,−])的单性,有综上所述,(G,[−,−]α,α)为单Hom-李超代数.定理 4.3 设为李型Hom-李超代数,φ:G→G′是线性映射且α′可逆.则φ是到的同构映射当且仅当φ是其容许李超代数到的同构映射并且满足证明设φ为到的同构映射,则由定义2.4,可得根据α′是可逆的,得φ([x,y])=[φ(x),φ(y)]′,即φ为(G,[−,−])到(G′,[−,−]′)的同构映射. 反之,若φ为(G,[−,−])到(G′,[−,−]′)的同构映射,在α′◦φ=φ◦α的条件下,以上过程是可逆的.从而φ也是到的同构映射.参考文献[1]Larsson D,Silvesrov S D.Quasi-hom-Lie algebra,central extensions and 2-cocycle-like identities[J].J. Algebra,2005,288(2):321-344.[2]Hartwig J T,Larsson D,Silvesrov S D.Derformations of the Lie algebras using σ-deriveations[J].J.Algebra, 2007,295:314-361.[3]Larsson D,Silvesrov S D.Quasi-hom-derformations of sl2(F)using twisted derivations[J].Comm.Algebra, 2007,35(12):4303-4318.[4]Chaichian M,Kulish P,Lukierski J.q-Deformed Jacobi identity,q-oscillators and q-deformed inf i nitedimensionalalgebras[J].Phys.Lett.B,1990,237(3):401-406.[5]Aizawa N,Sato H.q-Deformation of the Virasoro algebra with central extension[J].Phys.Lett.B, 1991,256(2):185-190.[6]Liu K.Characterizations of quantum Wittalgebra[J].Lett.Math.Phys.,1992,24(4):257-265.[7]Hu N.q-Witt algebras,q-Virasoro algebra,q-Lie algebras,q-holomorph structure and representations[J]. Algebra Colloquium,1999,6(1):51-70. [8]Ammarb F,Mabroukb S,Makhloufa A.Representations and cohomology of n-ary multiplicative Hom-Nambu-Liealgebras[J].J.Geom.Phys.,2011,61(10):1898-1913.[9]Sheng H Y.Representations of Hom-Liealgebras[J].Algebr.Represent.Theory,2012,15(6):1081-1098.[10]Ammar F,Makhlouf A.Hom-Lie superalgebras and Hom-Lie admissible superalgebras[J].J.Algebra, 2010,324(7):1513-1528.[11]Cao B T,Luo L.Hom-Lie superalgebra structures on f i nite-dimensional simple Lie superalgebras[EB/OL]. arXiv:1203.0136,2012.[12]孔祥青.Witt型单李超代数[J].纯粹数学与应用数学,2010,26(003):508-512.[13]Musson I M.Lie Superalgebras and Enveloping Algebras[M].New York:Amer.Math.Soc.,2012.。
δ-李超三系上带权λ的广义k阶导子
δ-李超三系上带权λ的广义k阶导子刘贵来;郝仲杰;张庆成【摘要】给出δ-李超三系上带权λ的(广义)(θ,φ)-k阶导子和带权λ的(广义)Jordan(θ,φ)-k阶导子的定义,得到带权λ的Jordan (θ,φ)-k阶导子是带权λ的(θ,φ)-k阶导子的充要条件和带权λ的广义Jordan(θ,φ)-k阶导子是带权λ的广义(θ,φ)-k阶导子的充要条件,并证明δ-李超三系上带权λ的Jordanθ-k阶导子就是带权λ的θ-k阶导子.【期刊名称】《黑龙江大学自然科学学报》【年(卷),期】2019(036)004【总页数】10页(P391-400)【关键词】导子;Jordan导子;δ-李超三系【作者】刘贵来;郝仲杰;张庆成【作者单位】东北师范大学数学与统计学院,长春130024;东北师范大学数学与统计学院,长春130024;东北师范大学数学与统计学院,长春130024【正文语种】中文【中图分类】O152.50 引言李三系的概念是在Cartan研究黎曼几何的过程中出现的。
1949年，Jacobson在研究Jordan理论和量子力学相关问题时，从代数的角度引入了李三系［1］。
作为李三系的推广，李超三系的概念是Okubo在研究Yang-Baxter方程时引入的［2］，目前在此领域已经产生了很多重要的成果［3－8］。
而δ-李超三系［9］是比李超三系更广泛的代数。
当δ=1时，δ-李超三系即为李超三系，关于δ-李超三系的研究也已得到一些成果［10］。
本文将对δ-李超三系上的带权λ的(广义)(θ，φ)-k阶导子和带权λ的(广义)Jordan(θ，φ)-k阶导子进行研究，并利用了带权λ的Rota-Baxter 3-李代数［11］的一些思想。
本文默认δ=±1，R表示实数集，Z表示整数集，基域F的特征不等于3。
定义1［2］Z2-阶化线性空间T若有三元运算［，，］满足下列条件:其中，x，y，z，u，v是 T 中的齐次元素，δ= ±1。
无限维模李超代数S(r,q,l,m)的导子超代数的开题报告
无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数的开题报告一、引言无限维模李超代数是一类重要的数学结构，在物理、数学和计算机科学等领域都有广泛的应用。
而导子超代数则是超对称理论和弦理论的重要工具，在现代物理学中也发挥着重要作用。
本开题报告将结合这两者，探究无限维模李超代数的导子超代数的相关性质。
二、研究目标本研究旨在深入研究无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数及其特征，包括但不限于以下方面：1. 探究无限维模李超代数S(r，q，l，m)的定义、表现形式和一般性质。
2. 研究无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数，探究它们之间的关系。
3. 研究导子超代数的性质和特征，如鬼场、BRST变换等等。
4. 研究无限维模李超代数S(r，q，l，m)的基础和应用，如理论物理、数学、计算机科学等领域。
三、研究内容本研究将重点研究无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数及其相关性质，具体内容包括以下方面：1. 无限维模李超代数的定义、性质、表现形式和一般性质的研究。
2. 导子超代数的定义、性质、特征和应用的研究。
3. 无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数的基础和应用研究。
4. 无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数的算法优化和计算复杂度分析。
四、研究方法本研究采用理论分析与计算机模拟相结合的方法，具体研究方法包括以下方面：1. 利用代数学、微积分学等基础数学理论，对无限维模李超代数的定义、性质、表现形式和一般性质进行理论分析。
2. 利用超对称理论、弦理论等物理理论，对导子超代数的定义、性质、特征和应用进行理论分析。
3. 利用计算机算法，对无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数进行计算机模拟分析。
4. 利用数理统计学和计算机科学等领域的理论和工具，对无限维模李超代数S(r，q，l，m)的导子超代数的算法优化和计算复杂度进行分析。
五、论文结构本文将分为六个部分：第一部分：绪论。
具有约化偶部的李超代数
证明
显 然 ［ｄ，Ｄ ａｓ ＝－ａ Ｄ（） ｓ ，ＤＥＤ ｒ ， 于 ８Ｄ 都是 线 性 的． － ｄ ｓ， Ｅｓ ｅｇ 对 ， 而且Ｖ ，２ ， １ｓ∈§ＤＥＤ ｒ， ｅｇ
Ｓ Ｄ＝［ｄ ， ：一ａ Ｄ（） ∈ｅ ＤＥＤｅｇ ａ ｓ Ｄ ｄ ｓ， ， ｒ
有［ｄ ｓ ， 一 ［ｄ ［ｄ Ｄ］ 一［ｄ。［ｄ Ｄ］ ． ａ ［… ］Ｄ ａｓ，ａｓ， ］ ａｓ，ａｓ， ］ 由此 可知 如果定 义 自在 Ｄｅｇ上 的作 用为 ｒ
如果等价类｛ ｝ ． ｛，， ”对应的连通分支是 ｒ 型的， Ｆ 一 衅， 为此连通分支中 ｇ ． １２…，） 三 ， ． 记 Ｉ Ｉ ｒ
点 的个数 ， 也是 对 应的等 价类 中单子 模 的个 数． 下面 引进 一些 简单 的记 号． ｆ ， ［÷ ］ ０ 若 ｇ ， 一０
显 然 ～是等 价关 系．
将 用一个点表示 ・ ［ ～ｇ ］ ， 若 』 ≠ｏ则在表示 ｇ 和 的点之间连一条线－ ÷ 如此得到一个 图－ 对关系
～
的每个 等价类 中对 应此 图 中的一个 连通 分 支． 定义 ２ １ 一 个 连通分 支称 为 ｒ 型 的 ， 果此 分支 中含 有 自环图 ， 如 即对应 的等 价类
摘
要
设 口是 一 个 李 超 代 数 其 偶 部 是 约 化 李 代 数 并 且 偶 部 在 奇 数 部 作 用 是 完 全 可 约 的． 文 研 究 了这 类李 超 代 数 本 的结 构 及 其上 的一 类 导 子
关键 词 ： 约化李代数 李超代数 ； 导子 ； 超 完备李超 代数 ；不可约表示
则 １ ｒ 为 模 ，ｄ ３ Ｏ ｅａ ａ ｇ为 子 模 ． §模 的完 全可 约 性 知 有 子模 分 解 Ｉｅ￣ ｄ ４Ｗ ， 中 Ⅳ 同 构 于 Ｄｅｇ 由 ）ｒ ＝ａ ０ － 其 ｒ／
δ-李超三系线性变换构成的六类代数
δ-李超三系线性变换构成的六类代数邢晋;牛艳君;陈良云【摘要】We considered six types of algebras generated by linear transformations of a δ-Lie supertriple system T:the derivation algebraDer(T),the quasiderivation algebra QDer(T),the generalized derivation algebra GDer(T),the central derivation algebra ZDer(T),the centroid algebra C(T),and the quasicentroid algebra QC(T).We first proved that ZDer(T) was an ideal of Der(T) and ZDer(T)(≤)Der(T)(≤)QDer(T)(≤)GDer(T)(≤)End(T),then obtained that[Der(T),C(T)](≤)C(T),[QDer(T),QC(T)](≤)QC(T),[QC(T),QC(T)](≤)QDer(T),QDer( T)+QC(T)=GDer(T) and [C(T),QC(T)](≤)End(T,Z(T)).Moreover,we proved that if a δ-Lie supertriple system was decomposable,then its generalized derivation algebra,quasiderivation algebra,centroid algebra,and quasicentroid algebra also had corresponding decomposition,respectively.%考虑δ-李超三系T线性变换构成的六类代数:导子代数Der(T)、拟导子代数QDer(T)、广义导子代数GDer(T)、中心导子代数ZDer(T)、型心代数C(T)、拟型心代数QC(T).证明ZDer(T)是Der(T)的理想,且ZDer(T)(≤)Der(T)(≤)QDer(T)(≤)GDer(T)(≤)End(T),得到了[Der(T),C(T)](≤)C(T),[QDer(T),QC(T)](≤)QC(T),[QC(T),QC(T)](≤)QDer(T),QDer( T)+QC(T)=GDer(T),[C(T),QC(T)](≤)End(T,Z(T)).同时,证明一个δ-李超三系若是可分解的,则它的广义导子代数、拟导子代数、型心代数和拟型心代数也有相应的分解.【期刊名称】《吉林大学学报（理学版）》【年(卷),期】2017(055)004【总页数】7页(P784-790)【关键词】李超三系;δ-李超三系;广义导子;拟型心【作者】邢晋;牛艳君;陈良云【作者单位】长春广播电视大学财经系,长春 130051;长春工程学院理学院,长春130012;东北师范大学数学与统计学院,长春 130024【正文语种】中文【中图分类】O152.5李三系[1]可视为关于三元括积封闭的李代数的子空间, 其在几何、物理和量子力学中应用广泛[2], 例如: 对称空间的切代数是一个李三系；李三系是李代数和Jordan代数之间的桥梁[1,3]; 李三系的研究方法和结论已被用于Jordan代数的研究中[1,4]. 目前，在Yang-Baxter方程的研究中已引进了李超三系的概念[5-6]，李超三系作为李三系的推广, 已成为研究物理系统的有效工具. 关于李超三系的研究已有许多结果[7-14]. 特别地, 文献[5]利用李超三系得出了Yang-Baxter方程的一些新解和一个简单解, 即Yang-Baxter方程可以简化为一个三元乘法关系. 文献[15]给出了δ-李超三系的概念, 当δ=1时, δ-李超三系即为李超三系. 又由于李超代数都可以视为一个特殊的李超三系, 因此δ-李超三系比李超代数和李超三系更广泛, 它与Jordan李三系、李三系、 Freudenthal-Kantor三系、 Jordan李超三系、 Freudenthal-Kantor李超三系、 Jordan李超三系和李超三系等代数关系密切[16].积[,,]：1) d([x,y,z])≡(d(x)+d(y)+d(z))(mod 2);2) [x,y,z]=-(-1)xy[y,x,z];3) (-1)d(x)d(z)[x,y,z]+(-1)d(y)d(x)[y,z,x]+(-1)d(z)d(y)[z,x,y]=0;4) [u,v,[x,y,z]]=[[u,v,x],y,z]+(-1)d(u+v)d(x)[x,[u,v,y],z]+(-1)d(u+v)d(x+y)[x,y,[u,v,z]], ∀x,y,z,u,v∈T.本文定义d(x)为d(x).定义2[17] 设⊕为一个超代数, 其乘法记为[,], 即∀α,β∈Z2, [Lα,Lβ]⊆Lα+β. 如果其乘法满足下列等式：1) [a,b]=-(-1)d(a)d(b)[b,a];2) [a,[b,c]]=[[a,b],c]+(-1)d(a)d(b)[b,[a,c]], ∀a,b,c∈L.则称L为李超代数.注1 设L是李超代数(李代数), 由[x,y,z]=[[x,y],z](∀x,y,z∈T)引入一个三元乘法[x,y,z], 则L成为一个李超三系(李三系). 所以在这种意义下每个李超代数(李代数)都是一个李超三系(李三系). 一般地, 李代数的许多重要性质对李超代数不成立, 例如: 李代数的李定理和\%Levi\%定理对李超代数一般都不成立. 同理, 李三系的许多重要性质对李超三系也不一定成立.定义3[15] 设L是Z2-阶化向量空间, 即⊕若二元线性运算[·,·]: L⊗L→L满足:1) d([x,y])≡(d(x)+d(y))(mod 2);2) [y,x]=-δ(-1)d(x)d(y)[x,y];3) (-1)d(x)d(z)[[x,y],z]+(-1)d(y)d(x)[[y,z],x]+(-1)d(z)d(y)[[z,x],y]=0,∀x,y,z,u,v∈L.则称L是δ-李超代数. 显然, 当δ=1时, δ-李超代数是李超代数.三元括积[,,]：1) d([x,y,z])≡(d(x)+d(y)+d(z))(mod 2);2) [x,y,z]=-δ(-1)xy[y,x,z];3) (-1)d(x)d(z)[x,y,z]+(-1)d(y)d(x)[y,z,x]+(-1)d(z)d(y)[z,x,y]=0;4) [u,v,[x,y,z]]=[[u,v,x],y,z]+(-1)d(u+v)d(x)[x,[u,v,y],z]+δ(-1)d(u+v)d(x+y)[x,y[u,v,z]], ∀x,y,z,u,v∈T, δ=±1.注2 1) 由定义1和定义4可知, 当δ=1时, δ-李超三系即为李超三系. 设L是δ-李超代数(李代数), 由[x,y,z]=[[x,y],z](∀x,y,z∈L)引入一个三元乘法[x,y,z], 则L成为一个δ-李超三系(李三系). 所以在这种意义下每个δ-李超代数(李代数)都是一个δ-李超三系(李三系), 所以δ-李超三系是比δ-李超代数和李超三系更广泛的代数. 2) 对任意一个δ-李超三系T, 均可视为一个δ-李超代数的子空间. 事实上, 令Ls(T)=InnDer(T)⊕T, 其中T. 按照运算其中：x1,x2∈T; D1,D2∈InnDer(T). 直接验证可知Ls(T)构成δ-李超代数.定义5 设T是一个δ-李超三系, 若[S,S,S]⊆S, 则T的子空间S称为L的子系; 若[I,T,T]⊆I, 则T的子系I称为T的理想; 若[I,T,T]=0, 则称I为T的交换理想. 设I是T的非空子集. 令(a,x)=0, ∀a∈I}, 其中R(a,x)z=(-1)d(z)(d(a)+d(x))[z,a,x], 则ZT(I) 称为I在T中的中心化子. 特别地,称为T的中心, 记作Z(T).定义6 设T是域F上δ-李超三系. 如果T的齐次线性映射D: T→T满足则称D为T的k-导子. 记d(D)为齐次线性映射D的Z2-阶化次数, T的所有k-导子的集合为Derk(T).引理1 设任意D∈Derk(T), D′∈Ders(T), 满足[D,D′]=DD′-(-1)d(D)d(D′)D′D, 则[D,D′]∈Derk+s(T).证明: ∀x,y,z∈T, 有即[D,D′]∈Derk+s(T)成立. 证毕.令(T), 由引理1知Der(T)是李超代数, 因此Der(T)是End(T)子代数, 称为T的导子代数.定义7 设T是δ-李超三系, 若存在D,D′,D″,D‴∈E nd(T), 它们的次数相同, 且满足则D∈End(T)称为T的k-阶广义导子. 记T的广义导子集合构成的代数为GDer(T)(T).定义8 设T是δ-李超三系, 若存在D,D′∈End(T), 它们的次数相同, 且满足则D∈End(T)称为k-阶拟导子. 记T的拟导子集合构成的代数为QDer(T)(T).定义9 设T是δ-李超三系, 若∀x,y,z∈T, 有则Ck(T)称为T的k-阶型心. 记T的型心集合构成的代数为C(T)(T).定义10 设T是δ-李超三系, 若∀x,y,z∈T, 有则QC(T)称为T的拟型心代数.定义11 设T是δ-李超三系, 若则ZDer(T)称为T的中心导子代数.定理1 设T是δ-李超三系, 则下列结论成立:1) GDer(T), QGer(T)和C(T)是End(T)的子代数;2) ZDer(T)是Der(T)的理想;3) ZDer(T)⊆Der(T)⊆QDer(T)⊆GDer(T)⊆End(T).证明: 1) 设D1∈GDerk(T), D2∈GDers(T). 用类似引理1的证明可得[D1,D2]∈Ck+s(T), 因此C(T)是End(T)的子代数.2) 设D1∈ZDer(T), D2∈Derk(T), 则∀x,y,z∈T, 有由广义导子和中心导子的定义得故[D1,D2]∈ZDer(T), 因此ZDer(T)是Der(T)的理想.3) 根据定义直接验证即可.定理2 设T是δ-李超三系, 则下列结论成立:1) [Der(T),C(T)]⊆C(T); 2) [QDer(T),QC(T)]⊆QC(T); 3) D(Der(T))⊆Der(T), ∀D∈C(T); 4) QC(T)⊆QDer(T); 5) [QC(T),QC(T)]⊆QDer(T); 6)QDer(T)+QC(T)=GDer(T).证明: 1) 设D1∈Derk(T), D2∈Cs(T), 则∀x,y,z∈T, 有从而且故同理因此[D1,D2]∈Ck+s(T), 即[Der(T),C(T)]⊆C(T).2) 类似1)的证明.3) 设D1∈Ck(T), D2∈Ders(T), 则∀x,y,z∈T, 有因此D1D2∈Derk+s(T).4) 设D∈QC(T). 则∀x,y,z∈T, 有存在k使得令D′=3δkD∈End(T), 则D∈QDer(T).5) 设D1,D2∈QC(T), 则∀x,y,z∈T, 有且因此故[D1,D2]∈QDer(T).6) 易见QDer(T)+QC(T)⊆GDer(T). 另一方面, 若D∈GDerk(T), 则存在D′,D″,D‴∈End(T)且∀x,y,z∈T, d(D)=d(D′)=d(D″)=d(D‴), 使得则进而故D′∈GDerk(T). 由[式(1)+式(2)]/2得且故从而进而可得即(T).推论1 设T是δ-李超三系, 若T有平凡中心, 则C(T)是GDer(L)的交换子代数. 证明: 由定理2知C(T)是GDer(T)的子代数, 且D1∈Ck(T), D2∈Cs(T), x,y,z∈T, 则故[(D1D2(-1)d(D1)d(D2)D2D1)(x),y,z]=0. 又T中心为0, 则[D1,D2](x)=0. 由x 的任意性可得[D1,D2]=0. 故结论成立.推论2 设T是δ-李超三系, 则QC(T)+[QC(T),QC(T)]是GDer(T)的子代数.证明: 由定理2中5),6), 得QC(T)+[QC(T),QC(T)]⊆GDer(T), 且由李超代数的阶化Jacobi恒等式, 易证[QDer(L),[QC(L),QC(L)]]⊆[QC(L),QC(L)]. 因而故结论成立.引理2 1) 设T是δ-李超三系, I是T的理想, 则ZT(I)是T的理想; 特别地,Z(T)=ZT(T)与Z(I)=ZI(I)是T的理想;2) 设T是δ-李超三系, 且T可分解为两个理想的直和, 即T=A⊕B, 则Z(T)=Z(A)⊕Z(B);3) 若Z(T)=0, 则Der(T)=Der(A)⊕Der(B).证明: 证明类似文献[10]中李超三系的证明, 故略.定理3 设δ-李超三系T可分解为两个理想的直和, 且T有平凡中心, 即T=A⊕B且Z(T)=0, 则下列结论成立:1) GDer(T)=GDer(A)⊕GDer(B);2) QDer(T)=QDer(A)⊕QDer(B);3) C(T)=C(A)⊕C(B);4) QC(T)=QC(A)⊕QC(B).证明: 1) 设D′∈GDerk(A), 将其扩张为T上的线性变换, 并令D′(a+b)=D′(a),∀a∈A, b∈B. 显然, D′∈GDerk(T), GDer(A)⊆GDer(T). 同理GDer(B)⊆GDer(T). 设a∈A, b1,b2∈B, D∈Derk(T), 则设D(a)=a′+b′, 其中a′∈A, b′∈B, 则0=[D(a),b1,b2]=[a′,b1,b2]+[b′,b1,b2]. 故[b′,b1,b2]=0, b′∈Z(B). 由引理2知Z(T)=Z(A)⊕Z(B)且b′=0. 因此D(a)=a′∈A, 即D(A)⊆A. 同理D(B)⊆B.设D∈GDer(T), x=a+b∈A+B, 其中a∈A, b∈B. 定义E,F∈End(T)为E(a+b)=D(a), F(a+b)=D(b), 则E∈GDer(A), F∈GDer(B). 故D=E+F∈GDer(A)+GDer(B). 又GDer(A)∩Ger(B)={0}, 因而作为子空间,GDer(T)=GDer(A)GDer(B).设E∈GDer(A), F∈GDer(B), b∈B. 则[E,D]=(ED-(-1)d(D)d(E)DE)(b)=0. 因此[E,D]∈GDer(A), GDer(A)◁GDer(T). 同理GDer(B)◁GDer(T).2)～4)的证明方法类似1), 故略.定理4 设T是δ-李超三系, 则[C(T),QC(T)]⊆End(T,Z(T)). 特别地, 若Z(T)={0}, 则[C(T),QC(T)]={0}.证明: 设D1∈Ck(T), D2∈QC(T), 则∀x,y,z∈T, 有因此[D1,D2](x)∈Z(T), 进而[D1,D2]∈End(T,Z(T)). 若Z(T)={0}, 则[C(T),QC(T)]={0}.【相关文献】[1] Jacobson N. 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可解论文：低维可解完备李超代数的确定
【中文摘要】本文在复数域C上具体讨论了偶部维数为1的可解
李超代数,以及奇部维数分别为1、2的低维可解李超代数,确定出其
中完备的李超代数的结构,并在某些情况下给出了相应的可解李超代
数是否完备的一般判断.
【英文摘要】In this paper, we mainly discuss
low-dimensional solvable complete Lie superalgebras over the complex field C. Solvable Lie superalgebras whose even part’s dimension is 1, or odd part’s dimension is 1 or 2 are discussed respectively, and the structures of these com-plete Lie superalgebras are given. In some cases, general methods of determining whether a solvable Lie superalgebra complete or not
are given.
【关键词】可解李超代数完备导子
【英文关键词】Solvable Lie superalgebra Complete
Derivations
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【目录】低维可解完备李超代数的确定中文摘要6-7
英文摘要7 1 引言9-10 2 预备知识10-12 3 偶
部维数为1的可解李超代数12-15 4 奇部为零的可解李超代
数15-16 5 奇部维数为1的可解李超代数16-31 5.1 L_0是交换李代数16-18 5.2 L_0是完备李代数,[L_1,L_1]≠018-20 5.3 L_0不是完备李代数,[L_0,L_0]≠0,[L_1,L_1]≠020-27 5.4 [L_0,L_0]≠0,[L_1,L_1]=027-31 6 奇部维数为2的可解李超代数31-54 6.1 L_0是交换李代数
31-34 6.2 dim L_0=2,3且[L_0,L_0]≠034-54参考文献54-56致谢56。