山东省济南市槐荫区九年级(上)期末数学试卷
22. 如图，正方形 ABCD 的边长为 6，点 E 是 AB 边上的一个动点， 过点 E 作 EF⊥DE 交 BC 边于点 F，当 BE=2AE 时，求 BF 的长．
23. 如图，已知等腰三角形 ABC 的底角为 30°，以 BC 为直径的⊙O 与底边 AB 交于点 D，过 D 作 DE⊥AC，垂足为 E． （1）证明：DE 为⊙O 的切线； （2）连接 OE，若 BC=4，求△OEC 的面积．
九年级（上）期末数学试卷
题号 得分
一
二
三
一、选择题（本大题共 12 小题，共 48.0 分） 1. 下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）
A.
B.
C.
四
总分
D.
2. 一种零件的长是 2 毫米，在一幅设计图上的长是 40 厘米，这幅设计图的比例尺是
（ ）
A. 200：1
B. 2000：1
C. 1：2000
24. 如图是太阳能电池板支撑架的截面图，其中 AB=300cm，AB 的倾斜角为 30°， BE=CA=50cm，FE⊥AB 于点 E．点 D、F 到地面的垂直距离均为 30cm，点 A 到地 面的垂直距离为 50cm．求 CD 和 EF 的长度各是多少 cm（结果保留根号）．
A. 256 B. 76 C. 56 D. 16
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9. 如图，已知点 E 是矩形 ABCD 的对角线 AC 上的一动点，正方 形 EFGH 的顶点 G、H都在边 AD 上，若 AB=3，BC=4，则 tan∠AFE 的值（ ）
A. 等于 37
B. 等于 33
C. 等于 34
y=2xx 轴，BC∥EF∥y 轴，则 S△ABC-S△DEF=（ ）
A. 112
B. 16
C. 14
D. 512
D. −5<t≤4
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
13. 若反比例函数 y=-6x 的图象经过点 A（m，3），则 m 的值是______． 14. 如图，AT 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT=40°，则
5. 将函数 y=x2 的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点 A（1，4）的方法是
（ ）
A. 向左平移 1 个单位
B. 向右平移 3 个单位
C. 向上平移 3 个单位
D. 向下平移 1 个单位
6. 制作一块 3m×2m 长方形广告牌的成本是 120 元，在每平方米制作成本相同的情况 下，若将此广告牌的四边都扩大为原来的 3 倍，那么扩大后长方形广告牌的成本是
D. 1：200
3. 如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则 cosA 的值
是（ ）
A. 34
B. 43
C. 35
D. 45
4. a、b 是实数，点 A（2，a）、B（3，b）在反比例函数 y=-2x 的图象上，则（ ）
A. a<b<0
B. b<a<0
C. a<0<b
D. b<0<a
（ ）
A. 360 元
B. 720 元
C. 1080 元
D. 2160 元
7. 如图，下列四个选项不一定成立的是（ ）
A. △COD∽△AOB
B. △AOC∽△BOD
C. △DCA∽△BAC
D. △PCA∽△PBD
8. 如图，⊙O 的直径 AB 经过 CD 的中点 H，cos∠CDB=45， BD=5，则 OH 的长度为（ ）
11. 二次函数 y=-x2+mx 的图象如图，对称轴为直线 x=2，
若关于 x 的一元二次方程-x2+mx-t=0（t 为实数）在 1＜
x＜5 的范围内有解，则 t 的取值范围是（ ）
A. t>−5
B. −5<t<3
C. 3<t≤4
12. 如图，△ABC 和△DEF 的各顶点分别在双曲线 y=1x，
18. 手机上常见的 wifi 标志如图所示，它由若干条圆心相同的 圆弧组成，其圆心角为 90°，最小的扇形半径为 1．若每两 个相邻圆弧的半径之差为 1，由里往外的阴影部分的面积 依次记为 S1、S2、S3…，则 S1+S2+S3+…+S20=______．
三、计算题（本大题共 1 小题，共 8.0 分） 19. 为推进我市生态文明建设，某校在美化校园活动中，
四、解答题（本大题共 8 小题，共 70.0 分） 20. （12）2-（2018-2019）0+（2+1）（2-1）+3tan30°
21. 已知抛物线的顶点 A（1，-4），且与直线 y=x-3 交于点 B（3，0），点 C（0，-3） （1）求抛物线的解析式； （2）当直线高于抛物线时，直接写出自变量 x 的取值范围是多少？
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16. 如图，与抛物线 y=x2-2x-3 关于直线 x=2 成轴对称的函数 表达式为______．
17. 如图所示，正方形 OEFG 和正方形 ABCD 是位似 图形，点 F 的坐标为（-1，1），点 C 的坐标为 （-4，2），则这两个正方形位似中心的坐标是 ______．
D. 随点 E 位置的变化而变化
10. 在平面直角坐标系内，直线 AB 垂直于 x 轴于点 C（点 C 在原点的右侧），并分别
与直线 y=x 和双曲线 y=1x 相交于点 A、B，且 AC+BC=4，则△OAB 的面积为（ ）
A. 23+3 或 23−3
B. 2+1 或 2−1
C. 23−3
D. 2−1
设计小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够 长），用 30m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD （篱笆只围 AB，BC 两边），设 AB=xm． （1）若花园的面积为 216m2，求 x 的值； （2）若在 P 处有一棵树与墙 CD，AD 的距离分别是 17m 和 8m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考 虑树的粗细），求花园面积 S 的最大值．
∠ATB=______．
15. 如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，一辆小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车 门打开角度∠AOB 为 40°时，车门是否会碰到墙？______；（填“是” 或“否”）请简述你的理由______． （参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）
山东省济南市槐荫区九年级(上)期末数学试卷
（）
A. 360 元
B. 720 元
C. 1080 元
D. 2160 元
A. 7. 如图，下列四个选项不一定成立的是（ △COD∽△AOB
）
B.△AOC∽△BOD
C.△DCA∽△BAC
D.△PCA∽△PBD
8. 如图，⊙O 的直径 AB 经过 CD 的中点 H，cos∠CDB=45， BD=5，则 OH 的长度为（ ）
A. 112
B. 16
C. 14
D. 512
D. −5<t≤4
二、填空题（本大题共 6 小题，共 24.0 分）
13. 若反比例函数 y=-6x 的图象经过点 A（m，3），则 m 的值是
．
14. 如图，AT 切⊙O 于点 A，AB 是⊙O 的直径．若∠ABT=40°，则
∠ATB=
．
15. 如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧 OB 与墙 MN 平行且距离为 0.8 米，一辆小汽车车门宽 AO 为 1.2 米，当车
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27. 已知直线 y=-12x+2 与 x 轴、y 轴分别交于点 A、C，抛物线 y=-12x2+bx+c 过点 A、 C，且与 x 轴交于另一点 B，在第一象限的抛物线上任取一点 D，分别连接 CD、 AD，作 DE⊥AC 于点 E． 1 求抛物线的表达式； 2 求△ACD 面积的最大值； 3 若△CED 与△COB 相似，求点 D 的坐标．
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故 =2± ， 所以 A（2+ ，2+ ），B（2+ ，2- ）或 A（2- ，2- ），B（2- ，2+
）， ∴AB=2 ． ∴△OAB 的面积= ×2 ×（2± ）=2 ±3． 故选：A． 根据题意表示出 AC，BC 的长，进而得出等式求出 m 的值，进而得出答案． 此题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，正确表示出各线段长是解题 关键． 11.【答案】D
2019—2020学年度济南市槐荫区第一学期初三期末考试初中数学
2019—2020学年度济南市槐荫区第一学期初三期末考试初中数学九年级数学一、选择题(本大题共10个小题。
每题3分．共30分．在每题给出的四个选项中。
只有一项为哪一项符合题目要求的，请将答案填在下面的表格中．) 1．以下方程是关于x x 的一元二次方程的是A ．03=+y xB ．022=+y x C ．032=+x x D ．03=+x2．在ABC Rt ∆中，︒=∠90C ，假设23sin =A 那么B cos 等于 A ．21B ．23C ．23D ．13．如图，AB 是O ⊙的直径，C 是O ⊙上一点，假设︒=∠70B ，那么A ∠的度数是A ．︒20B ．︒25C ．︒30D ．︒354．以下讲法合理的是A ．小明在10次抛图钉的试验中发觉3次钉尖朝上，因此他讲顶尖朝上的概率是30％B ．抛掷一枚一般的正六面体骰子，显现6的概率是61的意思是讲每6次就有1次掷得6 C ．某彩票的中奖机会是2％，假如你买100张彩票一定会有2张中奖D ．在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学依照试验数据估量硬币落地后正面朝上的概率分不为0.48和0.51 5．以下命题中的假命题是A ．三个内角度数之比为l:2:3的三角形是直角三角形B ．三条边长之比为3:4:5的三角形是直角三角形C ．三条边长之比为8:16:17的三角形是直角三角形D ．三个内角度数之比为1:1:2的三角形是直角三角形6．在一个能够改变容积的密闭容器内，装有一定质量m 的某种气体，当改变容积V 时，气体的密度也随之改变．与V 在一定范畴内满足，它的图象如下图，那么该气体的质量m为A ．kg 4.1B ．kg 5C ．kg 4.6D ．kg 77．如图，用8个积木搭成了333⨯⨯的立方体，其中311⨯⨯的长方体有3个，321⨯⨯的长方体有2个，122⨯⨯的长方体有1个，111⨯⨯的立方体有2个．某人站在该立方体的左侧观看，请你判定他看到的图形是8．老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华讲：过点(3,0)；小彬讲：过点(4,3)；小明讲：1=a ;小颖讲：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的讲法中，正确的有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9．只用一把刻度尺检查一张四边形纸片是否是矩形，以下操作中最为恰当的是 A ．先测量两对角线是否互相平分，再测量对角线是否相等 B ．先测量两对角线是否互相平分，再测量是否有一个内角是直角 C ．先测量两组对边是否相等，再测量对角线是否相等D ．先测量两组对边是否互相平行，再测量对角线是否相等 10．依照以下表格的对应值：x3.23 3.24 3.25 3.26 c bx ax ++2-0.06-0.020.030.09判定方程),,,0(0为常数c b a a c bx ax ≠=++为常数)一个解x 范畴是 A ．23.33<<xB ．24.323.3<<xC ．25.324.3<<xD ．26.325.3<<x二、填空题(本大题共6小题。
初三数学期末考试试卷槐荫
1. 若实数a，b满足a+b=2，则a^2+b^2的最小值为（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，则∠C的大小为（）A. 60°B. 75°C. 45°D. 90°3. 下列各数中，属于无理数的是（）A. √4B. √9C. √16D. √254. 已知二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0），若a>0，b=0，c<0，则该函数图象的开口方向是（）A. 向上B. 向下C. 向左D. 向右5. 下列各图形中，属于相似图形的是（）A. 正方形和长方形B. 等腰三角形和等边三角形C. 等腰梯形和矩形D. 圆和椭圆6. 若a，b是方程x^2-2x-3=0的两个实数根，则a+b的值为（）A. 2B. -3C. 3D. -27. 已知一次函数y=kx+b（k≠0）的图象经过点A（2，3），则该函数图象与x轴的交点坐标为（）A.（-1，0）B.（1，0）C.（2，0）D.（3，0）8. 在平面直角坐标系中，点P（-3，4）关于原点的对称点坐标为（）A.（3，-4）B.（-3，-4）C.（4，-3）D.（-4，3）9. 若a，b是方程2x^2-5x+2=0的两个实数根，则a^2+b^2的值为（）A. 10B. 15C. 20D. 2510. 下列各数中，属于有理数的是（）A. √-1B. √2C. √3D. √411. 若实数x满足不等式|x|<3，则x的取值范围为________。
12. 在△ABC中，∠A=30°，∠B=75°，则∠C的度数为________。
13. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，则第n项an=________。
14. 二次函数y=ax^2+bx+c（a≠0）的图象开口向上，且与x轴的交点坐标为（1，0），则a的值为________。
15. 在平面直角坐标系中，点A（2，3）关于y轴的对称点坐标为________。
槐荫区初三期末数学试卷
一、选择题（每题3分，共30分）1. 若方程 2x - 3 = 5 的解为 x = 4，则方程 4x - 6 = 10 的解为（）A. x = 5B. x = 4C. x = 3D. x = 22. 下列函数中，定义域为实数集 R 的是（）A. y = 1/xB. y = √xC. y = |x|D. y = x²3. 已知 a、b 是实数，且 a + b = 0，则下列结论正确的是（）A. a² + b² = 0B. a² - b² = 0C. a³ + b³ = 0D. a³ - b³ = 04. 在直角坐标系中，点 P（-2，3）关于 x 轴的对称点坐标为（）A. （-2，-3）B. （2，3）C. （2，-3）D. （-2，6）5. 已知等腰三角形 ABC 中，AB = AC，若∠BAC = 40°，则∠B = （）A. 40°B. 50°C. 60°D. 70°6. 若二次函数y = ax² + bx + c 的图象开口向上，且 a = 1，则下列结论正确的是（）A. b > 0B. b < 0C. c > 0D. c < 07. 下列不等式中，正确的是（）A. 2x + 3 > 5B. 2x + 3 < 5C. 2x - 3 > 5D. 2x - 3 < 58. 已知一元二次方程x² - 3x + 2 = 0，则它的两个根分别为（）A. x₁ = 1，x₂ = 2B. x₁ = 2，x₂ = 1C. x₁ = -1，x₂ = -2D. x₁ = -2，x₂ = -19. 下列函数中，单调递增的是（）A. y = x²B. y = -x²C. y = x³D. y = -x³10. 在三角形 ABC 中，若∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C = （）A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知x² - 5x + 6 = 0，则x² + 5x 的值为 ________。
2023届山东省济南市槐荫区九年级数学第一学期期末监测试题含解析
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点（﹣1，0），对称轴是x＝1，现有结论：①abc＞0 ②9a﹣3b+c＝0 ③b＝﹣2a④（2﹣1）b+c＜0，其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个2．已知关于x的一元二次方程22cos0-+=有两个相等的实数根，则锐角α等于（）x xαA．15B．30C．45D．603．“泱泱华夏，浩浩千秋．于以求之？旸谷之东．山其何辉，韫卞和之美玉……”这是武汉16岁女孩陈天羽用文言文写70周年阅兵的观后感．小汀州同学把这篇气势磅礴、文采飞扬的文章放到自己的微博上，并决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将文章发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n 个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（）A．9 B．10 C．11 D．124．在如图所示的网格纸中，有A、B两个格点，试取格点C，使得△ABC是等腰三角形，则这样的格点C的个数是（）A．4 B．6 C．8 D．105．在▱ABCD中，∠ACB=25°，现将▱ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，点D落在G处，则∠GFE的度数（）A．135°B．120°C．115°D．100°6．﹣2的绝对值是（）A．2 B．12C．12-D．2-7．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的高，∠A≠45°，则下列比值中不等于cosA的是（）A．BDCBB．CDCBC．ACABD．ADAC8．如果关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k>－14B．k>－14且0k≠C．k<－14D．k≥－14且0k≠9．如图，PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，点C为⊙O上一点，连AC、BC，若∠P＝80°，则的∠ACB度数为（）A．40°B．50°C．60°D．80°10．如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点(C与点A、B不重合)，过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE＝x，AP＝y，下列图象中，最能刻画y 与x的函数关系的图象是( )A ．B ．C ．D ．二、填空题(每小题3分,共24分)11．已知是111a b -=，则4a ab b a ab b--+-的值等于____________． 12．如图，ABC ∆的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______．13．如图，一个可以自由转动的转盘，任意转动转盘一次，当转盘停止时，指针落在红色区域的概率为____．14．如图，已知圆锥的底面半径为3，高为4，则该圆锥的侧面积为______．15．如果将抛物线221y x x =+-向上平移，使它经过点(0,3)A ，那么所得新抛物线的表达式是_______________． 16．在函数y 4x -+（x ﹣5）﹣1中，自变量x 的取值范围是_____． 17．如图所示，在ABC ∆中，AB AC =，将ABC ∆绕点A 旋转，当点B 与点C 重合时，点C 落在点D 处，如果2sin 3B =，6BC =，那么BC 的中点M 和CD 的中点N 的距离是______.18．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形，点D恰好在双曲线上kyx，则k值为_____．三、解答题(共66分)19．（10分）为倡导“低碳生活”，常选择以自行车作为代步工具，如图1所示是一辆自行车的实物图．车架档AC与CD的长分别为45cm，60cm，且它们互相垂直，座杆CE的长为10cm，点A，C，E在同一条直线上，且∠CAB=75°，如图1．（1）求车架档AD的长；（1）求车座点E到车架档AB的距离．(结果精确到1 cm．参考数据：sin75°="0.966," cos75°=0.159，tan75°=3.731)20．（6分）已知抛物线y＝x2+（1﹣2a）x﹣2a（a是常数）．（1）证明：该抛物线与x轴总有交点；（2）设该抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），若2＜m≤5，求a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若a为整数，将抛物线在x轴下方的部分沿x轴向上翻折，其余部分保持不变，得到一个新图象G，请你结合新图象，探究直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点个数的情况．21．（6分）如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°，延长EF交BC的延长线于点G；(1)求证：△ABE∽△EGB；(2)若AB＝4，求CG的长.22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的顶点A C ，分别在x 轴和y 轴的正半轴上，顶点B 的坐标为（4,2），AC 的垂直平分线分别交BC OA ，于点D E ，，过点D 的反比例函数()0k y x x =>的图像交AB 于点F ． （1）求反比例函数k y x=的表示式； （2）判断DF 与AC 的位置关系，并说明理由；（3）连接OD ，在反比例函数图像上存在点G ，使90ODG ∠=，直接写出点G 的坐标．23．（8分）某商场经销-种进价为每千克50元的水产品，据市场分析，每千克售价为60元时，月销售量为500kg ，销售单价每涨1元时，月销售量就减少10kg ，针对这种情况，请解答以下问题：（1）当销售单价定为65元时，计算销售量和月销售利润；（2）若想在月销售成本不超过12000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？24．（8分）已知二次函数y ＝ax ²＋bx －4(a ，b 是常数.且a ≠0)的图象过点(3，－1).(1)试判断点(2，2－2a )是否也在该函数的图象上，并说明理由.(2)若该二次函数的图象与x 轴只有一个交点，求该函数表达式.(3)已知二次函数的图像过(1x ，1y )和(2x ，2y )两点，且当1x ＜2x ≤23时，始终都有1y ＞2y ，求a 的取值范围. 25．（10分）如图，在ABC 中，,120AC BC ACB =∠=︒， 点D 是AB 边上一点，连接CD ，以CD 为边作等边CDE △.()1如图1，若45,6CDB AB ∠=︒=求等边CDE △的边长;()2如图2，点D 在AB 边上移动过程中，连接BE ，取BE 的中点F ，连接,CF DF ，过点D 作DG AC ⊥于点G .①求证:CF DF ；②如图3，将CFD △沿CF 翻折得'CFD ，连接'BD ，直接写出'BD AB 的最小值.26．（10分）已知关于x 的一元二次方程2(31)30kx k x +++=(0)k ≠．（1）求证：无论k 取何值，方程总有两个实数根；（2）若二次函数2(31)3y kx k x =+++的图象与x 轴两个交点的横坐标均为整数，且k 为整数，求k 的值．参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴的位置，顶点坐标，以及二次函数的增减性，逐个进行判断即可．【详解】解：∵抛物线y ＝ax 2+bx +c 开口向上，对称轴是x ＝1，与y 轴的交点在负半轴，∴a ＞0，b ＜0，c ＜0，∴abc ＞0，因此①正确；∵对称轴是x ＝1，即：2b a-＝1，也就是：b ＝﹣2a ，因此③正确； 由抛物线y ＝ax 2+bx +c 经过点（﹣1，0），对称轴是x ＝1，可得与x 轴另一个交点坐标为（3，0），∴9a +3b +c ＝0，而b ≠0，因此②9a ﹣3b +c ＝0是不正确的；﹣1）b +c b ﹣b +c ，b ＝﹣2a ，﹣1）b +c ＝2a b +c ，把x y ＝ax 2+bx +c 得，y ＝2a b +c ，由函数的图象可得此时y ＜0，即：﹣1）b +c ＜0，因此④是正确的，故正确的结论有3个，故选：C ．【点睛】考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象和性质是正确解答的关键，将问题进行适当的转化，是解决此类问题的常用方法．2、D【分析】根据一元二次方程根的判别式等于零，求出cos α的值，进而即可得到答案．【详解】∵关于x 的一元二次方程2cos 0x α+=有两个相等的实数根，∴∆=2(41cos 0α-⨯⨯=，解得：1cos 2α=， ∴α=60．故选D ．【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式以及特殊角三角函数，掌握一元二次方程根的判别式与根的关系，是解题的关键．3、B【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．【详解】解：依题意，得：1+n+n2＝111，解得：n1＝10，n2＝﹣11（不合题意，舍去）．故选：B．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．4、C【分析】分AB是腰长时，根据网格结构，找出一个小正方形与A、B顶点相对的顶点，连接即可得到等腰三角形，AB是底边时，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，AB垂直平分线上的格点都可以作为点C，然后相加即可得解．【详解】解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有4个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选C．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定，分情况讨论解决.5、C【详解】解：根据图形的折叠可得：AE=EC，即∠EAC=∠ECA=25°，∠FEC=∠AEF，∠DFE=∠GFE，又∵∠EAC+∠ECA+∠AEC=180°，∴∠AEC=130°，∴∠FEC=65°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠DFE+∠FEC=180°，∴∠DFE=115°，∴∠GFE=115°，故选C．考点：1.平行四边形的性质2.图形的折叠的性质.6、A【解析】分析：根据数轴上某个数与原点的距离叫做这个数的绝对值的定义，在数轴上，点﹣2到原点的距离是2，所以﹣2的绝对值是2，故选A．7、A【解析】根据垂直定义证出∠A=∠DCB，然后根据余弦定义可得答案．【详解】解：∵CD是斜边AB上的高，∴∠BDC=90°，∴∠B+∠DCB=90°，∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∴∠A=∠DCB，∴cosA=AC CD AD AB CB AC==故选A．【点睛】考查了锐角函数定义，关键是掌握余弦=邻边：斜边．8、B【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：（1）二次项系数不为零；（2）在有两个实数根下必须满足△=b2-4ac≥1．【详解】由题意知，k≠1，方程有两个不相等的实数根，所以△＞1，△=b2-4ac=（2k+1）2-4k2=4k+1＞1．因此可求得k＞14-且k≠1．故选B．【点睛】本题考查根据根的情况求参数，熟记判别式与根的关系是解题的关键.9、B【分析】先利用切线的性质得∠OAP＝∠OBP＝90°，再利用四边形的内角和计算出∠AOB的度数，然后根据圆周角定理计算∠ACB的度数．【详解】解：连接OA、OB，∵PA、PB分别与⊙O相切于A、B两点，∴OA⊥PA，OB⊥PB，∴∠OAP＝∠OBP＝90°，∴∠AOB＝180°﹣∠P＝180°﹣80°＝100°，∴∠ACB＝12∠AOB＝12×100°＝50°．故选：B．【点睛】本题考查圆的切线,关键在于牢记圆切线常用辅助线:连接切点与圆心.10、A【分析】连接OP，根据条件可判断出PO⊥AB，即AP是定值，与x的大小无关，所以是平行于x轴的线段．要注意CE的长度是小于1而大于0的．【详解】连接OP，∵OC＝OP，∴∠OCP＝∠OPC．∵∠OCP＝∠DCP，CD⊥AB，∴∠OPC＝∠DCP．∴OP∥CD．∴PO⊥AB．∵OA＝OP＝1，∴AP＝y2＜x＜1)．故选A ．【点睛】解决有关动点问题的函数图象类习题时，关键是要根据条件找到所给的两个变量之间的函数关系，尤其是在几何问题中，更要注意基本性质的掌握和灵活运用．二、填空题(每小题3分,共24分)11、23- 【分析】已知等式左边通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理得到a -b 与ab 的关系，代入原式计算即可求出值． 【详解】解：∵111a b -=， ∴a b ab -=-则4a ab b a ab b --+-()()4a b ab a b ab --=-+4ab ab ab ab --=-+23ab ab-=23=-， 故对答案为：23-． 【点睛】此题考查了分式的加减法，以及分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．12、10 10【分析】如下图，先构造出直角三角形，然后根据sinA 的定义求解即可．【详解】如下图，过点C 作AB 的垂线，交AB 延长线于点D设网格中每一小格的长度为1则CD=1，AD=3∴在Rt △ACD 中，2210AD CD +=∴sinA=CD AC ==【点睛】本题考查锐角三角函数的求解，解题关键是构造出直角三角形ACD ．13、23【分析】用红色区域的圆心角度数除以圆的周角的度数可得到指针落在红色区域的概率．【详解】解：因为蓝色区域的圆心角的度数为120°， 所以指针落在红色区域内的概率是360120360-=23， 故答案为23. 【点睛】 本题考查了几何概率：求概率时，已知和未知与几何有关的就是几何概率．计算方法是利用长度比，面积比，体积比等．14、15π【分析】根据圆锥的底面半径为3，高为4可得圆锥的母线长，根据圆锥的侧面积S=rl π即可得答案.【详解】∵圆锥的底面半径为3，高为4，，∴该圆锥的侧面积为：π×3×5=15π，故答案为：15π【点睛】本题考查求圆锥的侧面积，如果圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，则圆锥的侧面积S=rl π；熟练掌握圆锥的侧面积公式是解题关键.15、223y x x =++【解析】试题解析：设平移后的抛物线解析式为y=x 2+2x-1+b ，把A （0，1）代入，得1=-1+b ，解得b=4，则该函数解析式为y=x 2+2x+1．考点：二次函数图象与几何变换.16、x ≥4且x ≠1【分析】当表达式的分母中含有自变量时，自变量取值要使分母不为零．当函数的表达式是偶次根式时，自变量的取值范围必须使被开方数不小于零．据此可得自变量x 的取值范围．【详解】解：由题可得，402050x x x -≥⎧⎪-≠⎨⎪-≠⎩，解得425x x x ≥⎧⎪≠⎨⎪≠⎩，∴x ≥4且x ≠1，故答案为：x ≥4且x ≠1．【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围，自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义．17、4【分析】设2AM a =，在Rt AMB ∆中，22sin 3AM a B AB AB ===，得3AB a =.由勾股定理3BM ==，再求AM,AB,证ABM ACM ∆∆≌，AMC ANC ∆∆≌.得ABC AMC ANC S S S ∆∆∆=+，1122BC AM AC MN ⋅=⋅，可得BC AM MN AC⋅=. 【详解】如图所示，AB AC =，M 是BC 的中点，6BC =，AM BC ∴⊥，3BM MC ==.设2AM a =，在Rt AMB ∆中，22sin 3AM a B AB AB ===， 3AB a ∴=.3BM ∴===，5a ∴=. AM ∴=，AB AC ==BM MC =，AB AC =，AM BC ⊥，可得ABM ACM ∆∆≌，同理可证AMC ANC ∆∆≌.ABC AMC ANC S S S ∆∆∆∴=+， 1122BC AM AC MN ∴⋅=⋅， BC AM MN AC⋅∴= 6563655495955⨯===.故答案为：4【点睛】考核知识点：解直角三角形.构造直角三角形，利用三角形相关知识分析问题是关键.18、1【解析】作DH ⊥x 轴于H ，如图，当y=0时，-3x+3=0，解得x=1，则A （1，0），当x=0时，y=-3x+3=3，则B （0，3），∵四边形ABCD 为正方形，∴AB=AD ，∠BAD=90°，∴∠BAO+∠DAH=90°，而∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠DAH ，在△ABO 和△DAH 中AOB DHA ABO DAH AB DA ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝ ∴△ABO ≌△DAH ，∴AH=OB=3，DH=OA=1，∴D 点坐标为（1，1），∵顶点D 恰好落在双曲线y=k x上， ∴a=1×1=1．故答案是：1.三、解答题(共66分)19、（1）75cm （1）2cm【解析】解：（1）在Rt △ACD 中，AC=45，CD=60，∴AD=22456075+=，∴车架档AD 的长为75cm ．（1）过点E 作EF ⊥AB ，垂足为点F ，距离EF=AEsin75°=（45+10）sin75°≈61.7835≈2． ∴车座点E 到车架档AB 的距离是2cm ．（1）在Rt △ACD 中利用勾股定理求AD 即可．（1）过点E 作EF ⊥AB ，在Rt △EFA 中，利用三角函数求EF=AEsin75°，即可得到答案．20、（1）见解析；（2）1＜a ≤52；（3）新图象G 公共点有2个． 【分析】（1）令抛物线的y 值等于0，证所得方程的△＞0即可；（2）将点A 坐标代入可求m 的值，即可求a 的取值范围；（3）分k ＞0和k ＜0两种情况讨论，结合图象可求解．【详解】解：（1）设y ＝0，则0＝x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ，∵△＝（1﹣2a ）2﹣4×1×（﹣2a ）＝（1+2a ）2≥0，∴x 2+（1﹣2a ）x ﹣2a ＝0有实数根，∴该抛物线与x 轴总有交点；（2）∵抛物线与x轴的一个交点为A（m，0），∴0＝m2+（1﹣2a）m﹣2a，∴m＝﹣1，m＝2a，∵2＜m≤5，∴2＜2a≤5，∴1＜a≤52；（3）∵1＜a≤52，且a为整数，∴a＝2，∴抛物线解析式为：y＝x2﹣3x﹣4，如图，当k＞0时，若y＝kx+1过点（﹣1，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝1，当0＜k＜1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＞1时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，如图，当k＜0时，若y＝kx+1过点（4，0）时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有3个，即k＝﹣14，当﹣14＜k＜0时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有4个，当k＜﹣14时，直线y＝kx+1（k为常数）与新图象G公共点有2个，【点睛】本题考查了二次函数与一次函数相结合的综合题：熟练掌握二次函数的性质；会利用根的判别式确定抛物线与x轴的交点个数；理解坐标与图形性质，会利用分类讨论的方法解题；要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用数形结合的方法是解题的关键．21、(1)证明见解析；(2)CG=6.【分析】(1)由正方形的性质与已知得出∠A＝∠BEG，证出∠ABE＝∠G，即可得出结论；(2)由AB＝AD＝4，E为AD的中点，得出AE＝DE＝2，由勾股定理得出BE2225AE AB+=由△ABE∽△EGB，得出AE BEEB GB=，求得BG＝10，即可得出结果.【详解】(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，且∠BEG＝90°，∴∠A＝∠BEG，∵∠ABE+∠EBG＝90°，∠G+∠EBG＝90°，∴∠ABE＝∠G，∴△ABE∽△EGB；(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，∴AE＝DE＝2，在Rt△ABE中，BE22222425AE AB+=+=由(1)知，△ABE∽△EGB，∴AE BE EB GB =，即：22525GB=， ∴BG ＝10，∴CG ＝BG ﹣BC ＝10﹣4＝6.【点睛】本题主要考查了四边形与相似三角形的综合运用，熟练掌握二者相关概念是解题关键22、（1）反比例函数表达式为5y x =；（2）DF AC ，证明见解析；（3）82558G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 【分析】（1）求出D 点横坐标，也就是CD .由DE 垂直平分AC ，得到AD CD =,AD CD x ==, 4BD x =-,在Rt ABD ∆，222AD BD AB =+,求出CD ,从而求出k .（2）方法一:通过边长关系可证BD BF BC AB=,B 为公共角,从而BDF BCA ∆∆,BDF BCA ∠=∠,DF AC ; 方法二:求出直线DF 与直线AC 的解析式，系数k 相等,所以DF AC方法三: 延长DF 交x 轴于点N ,证明NA CD =,四边形CAND 是平行四边形, DFAC . （3）求出45OD y x =,根据90ODG ∠=,设54DG y x b =-+,代入D 点坐标，求得54148DG y x =-+,与5y x=联立,求出G 的坐标.【详解】（1）连接AD ，∵DE 垂直平分AC ，∴AD CD =．∵()4,2B ，∴24AB BC ==，．设AD CD x ==，则4BD x =-，∵四边形OABC 矩形，∴BC OA ，90B =∠．在Rt ABD ∆中，222AD BD AB =+．即 ()22242x x =-+．解得52x =．∴点522D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，． 将点522D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，的坐标代入k y x =中，得5252k =⨯=． ∴所求反比例函数表达式为5y x =． （2）DF AC ．方法一：将4x =代入5y x =得，54y =，∴点54,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∵()4,2B ，()4,0A ，()0,2C ，5,22D ⎛⎫⎪⎝⎭， ∴2AB =，32BD =，4BC =，34BF =． ∴33248BD BC ==，33428BF AB ==． ∴BD BF BC AB=． ∵B B ∠=∠，∴BDF BCA ∆∆．∴BDF BCA ∠=∠．∴DF AC ．方法二：将4x =代入5y x =得，54y =，∴点54,4F ⎛⎫ ⎪⎝⎭． 由（1）知()4,0A ，()0,2C ，5,22D ⎛⎫⎪⎝⎭． 设直线AC 的函数表达式为2y kx =+，∵点A 在直线AC 上，∴042k =+，∴12k =-． ∴设直线AC 的函数表达式为122y x =-+． 设直线DF 的函数表达式为11y k x b =+，∵点D F ，在直线DF 上，∴111152,2{54.4k b k b =+=+ 解得111,2{13.4k b =-= ∴直线DF 的函数表达式为11324y x =-+． ∵直线122y x =-+与直线11324y x =-+的k 值为12-，∴直线DF 与直线AC 平行． ∴DF AC ．方法三：延长DF 交x 轴于点N ，设直线DF 的函数表达式为11y k x b =+，∵点D F ，在直线DF 上，∴111152,2{54.4k b k b =+=+ 解得111,2{13.4k b =-= ∴直线DF 的函数表达式为11324y x =-+． 将0y =代入11324y x =-+中，得132x =．∴点13,02N ⎛⎫ ⎪⎝⎭． ∴135422NA =-=，52CD =． ∴NA CD =．∵四边形OABC 矩形，∴CD AN ∥．∴四边形CAND 是平行四边形．∴DF AC ．（3）82558G ⎛⎫ ⎪⎝⎭，．【点睛】本题考查了反比例函数的求法,平行的性质以及两直线垂直的性质.23、（1）销售量：450kg ；月销售利润：6750元；（2）销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元【分析】（1）利用每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列出函数即可；（2）由函数值为8000，列出一元二次方程解决问题．【详解】解：（1）销售量：500(6560)10450()kg --⨯=，月销售利润：450(6550)6750⨯-=（元）；（2）因为月销售成本不超过12000元，∴月销售数量不超过1200050240()kg ÷=；设销售定价为x 元，由题意得：(50)50010(60)[]8000x x ---=，解得1290,70x x ==；当90x =时，月销售量为50010(9060)200240-⨯-=<，满足题意；当70x =时，月销售量为50010(7060)400240-⨯-=>，不合题意，应舍去．∴销售单价定为90元时，月销售利润达到8000元，且销售成本不超过12000元．【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，利用基本数量关系：每千克水产品的销售利润×月销售量=月销售利润列函数解析式，用配方法求最大值以及函数与方程的关系．24、（1）不在；（2）214493y x x =-+-；244y x x =-+-；（3）35a ≥ 【解析】（1）将点(3,1)-代入函数解析式，求出a 和b 的等式，将函数解析式改写成只含有a 的形式，再将点(2,22)a -代入验证即可；（2）令0y =，得到一个一元二次方程，由题意此方程只有一个实数根，由根的判别式即可求出a 的值，从而可得函数表达式；（3）根据函数解析式求出其对称轴，再根据函数图象的增减性判断即可.【详解】（1）二次函数图像过点(3,1)-∴代入得9341a b +-=-，933a b ∴+=13b a ∴=-，代入得2(13)4y ax a x =+--将(2,22)a -代入得42(13)422a a a +--=-，得22-=，不成立，所以点(2,22)a -不在该函数图像上； （2）由（1）知，2(13)4y ax a x =+--与x 轴只有一个交点2(13)40ax a x ∴+--=只有一个实数根2(13)160a a ∴∆=-+=，19a ∴=-或1a =- 当19a =-时，4133b a =-=，所以表达式为：214493y x x =-+- 当1a =-时，134b a =-=，所以表达式为：244y x x =-+-；（3）2(13)4y ax a x =+--∴对称轴为3131222a x a a -==- 当0a >时，函数图象如下：若要满足1223x x <≤时，1y 恒大于2y ，则1x 、2x 均在对称轴左侧 231322a ∴≤-，35a ∴≥ 当0a <时，函数图象如下：312223a ->，此时12x x <，1y 必小于2y综上，所求的a 的取值范围是：35a ≥. 【点睛】 本题考查了二次函数图象的性质（与x 的交点问题、对称轴、增减性），熟记性质是解题关键.25、（1）6；（2）证明见解析；（3）最小值为36【分析】(1)过C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，由题意可得∠B=30°，用正切函数可求CF 的长，再用正弦函数即可求解；(2) 如图（2）1：延长BC 到G 使CG=BC ，易得△CGE ≌△CAD ，可得CF ∥GE ，得∠CFA=90°，CF=12GE 再证DG=12AD ，得CF=DG ，可得四边形DGFC 是矩形即可； （3）如图（2）2：设ED 与AC 相交于G ，连接FG ,先证△EDF ≌△F D'B 得BD'=DE ，当DE 最大时BD AB'最小，然后求解即可；【详解】解：（1）如图：过C 做CF ⊥AB ，垂足为F ，∵,120AC BC ACB =∠=︒，6AB =∴∠A=∠B=30°，BF=3∵tan ∠B=33CF CF BF == ∴3又∵sin ∠CDB= sin45°=32CF DC == ∴6∴等边CDE △6；()2①如图（2）1：延长BC 到G 使CG=BC∵∠ACB=120°∴∠GCE=180°-120°=60°，∠A=∠B=30°又∵∠ACB=60°∴∠GCE=∠ ACD又∵CE=CD∴△CGE≌△CAD（SAS）∴∠G=∠ A=30°，GE=AD又∵EF=FB∴GE∥FC, GE=12 FC,∴∠BCF=∠G=30°∴∠ACF=∠ACB-∠BCF=90°∴CF∥DG∵∠ A=30°∴GD=12 AD,∴CF=DG∴四边形DGFC是平行四边形，又∵∠ACF=90°∴四边形DGFC是矩形，∴CF DF②）如图（2）2：设ED与AC相交于G，连接FG由题意得：EF=BF, ∠EFD=∠D'FB 'FD FD =∴△EDF ≌△F D'B∴BD'=DE∴BD'=CD∴当BD'取最小值时，BD AB'有最小值 当CD ⊥AB 时，BD'min =12AC, 设CDmin=a ，则AC=BC=2a ，3 BD AB '3623a=； 【点睛】本题属于几何综合题，考查了矩形的判定、全等三角形的判定、直角三角形的性质等知识点；但本题知识点比较隐蔽，正确做出辅助线，发现所考查的知识点是解答本题的关键.26、 (1)、证明过程见解析；(2)、±1． 【分析】(1)、首先得出方程的根的判别式，然后利用配方法得出非负数，从而得出答案；(2)、根据公式法得出方程的解，然后根据解为整数得出k 的值.【详解】(1)、△=（3k+1）2-4k×3=（3k-1）2 ∵（3k-1）2≥0 ∴△≥0， ∴无论k 取何值，方程总有两个实数根；(2)、kx 2+（3k+1）x+3=0（k≠0） 解得：x=(31)(31)2k k k -+±-， x 1=1k，x 2=3， 所以二次函数y=kx 2+（3k+1）x+3的图象与x 轴两个交点的横坐标分别为1k和3， 根据题意得1k 为整数， 所以整数k 为±1． 考点：二次函数的性质。
2023-2024学年山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案
山东省济南市槐荫区九年级上学期数学期末试题及答案本试题分试卷和答题卡两部分．第I 卷满分为40分；第II 卷满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷（选择题共40分）注意事项：第I 卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共10个小题．每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1.已知四条线段a ，b ，c ，d 是成比例线段，其中3cm 6cm 9cm b c d ===，，，则线段a 的长度为（ ）A. 8cmB. 2cmC. 4cmD. 1cm 【答案】B【解析】【分析】根据比例线段定义求解，注意线段顺序；【详解】解：由题意，得a cb d =∴632(cm)9c a bd =×=´=．故选：B【点睛】本题考查成比例线段的定义，掌握成比例线段的定义是解题的关键．2. 如图，点B ，C ，D 在O e 上，若30BCD Ð=°，则BOD Ð的度数是( )A. 75°B. 70°C. 65°D. 60°【答案】D【解析】【分析】本题考查了圆周角定理；根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案．【详解】解：30BCD Ð=°Q ，223060BOD BCD \Ð=Ð=´°=°．故选：D ．3.已知ABC DEF ∽△△，且3AB =，6DE =，若ABC V 的周长为20，则DEF V 的周长为（ ）A. 5B. 10C. 40D. 80【答案】C【解析】【分析】本题考查的是相似三角形的性质．根据相似三角形周长的比等于相似比解答即可．【详解】解：ABC DEF Q △∽△，∴ABC V 的周长:DEF △的周长:3:61:2AB DE ===，ABC Q V 周长为20，DEF \V 的周长为40．故选：C ．4.10月8日，杭州亚运会乒乓球比赛全部结束，国乒揽获除女双项目外的6块金牌，展现了在乒乓球领域强大的统治力．乒乓球比赛采用双循环制（每两队之间都进行两场比赛），比赛总场数为380场，若设参赛队伍有x 支，则可列方程为（ ）A. ()113802x x -= B. ()1380x x -=C. ()21380x x -= D. 2380x =【答案】B【解析】的【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，关键是设参赛队伍有x 支，根据参加乒乓球比赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛380场，可列出方程．【详解】解：设参赛队伍有x 支，由题意可得：()1380x x -=，故选B ．5.如图，矩形ABCD 为一个正在倒水的水杯的截面图，18AB =cm ，杯中水面与CD 的交点为E ，当水杯底面BC 与水平面的夹角为30°时，杯中水的最大深度为（ ）cmA. 9B. 15C.D. 【答案】D【解析】【分析】过点B 作BF AE ^于点F ，如图，则BF 的长即为杯中水的最大深度，然后根据含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求解即可.【详解】解：过点B 作BF AE ^于点F ，如图，则90AFB Ð=°，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC Ð=°，∵30CBH Ð=°，∴30ABF CBH Ð=Ð=°，∵18AB =cm ，∴192AF AB ==cm ，∴BF ==cm ，即杯中水的最大深度为cm ；故选：D.【点睛】本题考查了矩形的性质、含30度角的直角三角形的性质和勾股定理等知识，正确理解题意、掌握解答的方法是关键.6.中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴，小陶家有一个菱形中国结装饰，测得12BD cm =，16AC cm =，直线EF AB ^交两对边于点E ，F ，则EF 的长为（ ）A. 8cmB. 10cmC. 48cm 5D. 96cm 5【答案】C【解析】【分析】根据菱形的性质与勾股定理可求出菱形的边长，再根据菱形的面积为对角线乘积的一半，或底乘以高可求出高EF ．【详解】∵四边形ABCD 是菱形∴AC BD ^()11168cm 22AO CO AC ===´=()11126cm 22BO DO BD ===´=∴在Rt ABO △中，()10cm AB ===∵12ABCD S AC BD =×菱形或ABCD S AB EF =×菱形∴12AC BD AB EF ×=×，即11612102EF ´´=∴48cm 5EF =故选：C【点睛】本题考查菱形的性质，菱形的面积，熟练运用菱形的面积公式是解题的关键．7.的卡塔尔世界杯受到广泛关注，在半决赛中，梅西的一脚射门将足球沿着抛物线飞向球门，此时，足球距离地面的高度h 与足球被踢出后经过的时间t 之间的关系式为2h t bt =-+．已知足球被踢出9s 时落地，那么足球到达距离地面最大高度时的时间t 为（ ）A. 3sB. 3.5sC. 4sD. 4.5s【答案】D【解析】【分析】根据题意可得当9t =时，0h =，再代入，可得到该函数解析式为29h t t =-+，然后化为顶点式，即可求解．【详解】解：根据题意得：当9t =时，0h =，∴2099b =-+，解得：9b =，∴该函数解析式为29h t t =-+，∵()229 4.520.25h t t t =-+=--+，∴足球到达距离地面最大高度时的时间t 为4.5s ．故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，关键是正确确定函数解析式，掌握函数函数图象经过的点必能满足解析式．8.翻花绳是中国民间流传的儿童游戏，在中国不同的地域，有不同的称法，如线翻花、翻花鼓、挑绷绷、解股等等，如图1是翻花绳的一种图案，可以抽象成如右图，在矩形ABCD 中，,IJ KL EF GH ∥∥，1230Ð=Ð=°，3Ð的度数为（ ）．A. 30°B. 45°C. 50°D. 60°【答案】D【解析】【分析】由矩形的性质可得90D C Ð=Ð=°，进而可得60HGC IJD Ð=Ð=°；再根据三角形内角和定理可得60GMJ Ð=°；然后再证四边形NUMV 是平行四边形，由平行四边形的性质可得60VNU GMJ Ð=Ð=°，最后由对顶角相等即可解答．【详解】解：如图：∵矩形ABCD 中，∴90D C Ð=Ð=°∵1230Ð=Ð=°，∴60HGC IJD Ð=Ð=°,∴60GMJ Ð=°,∵,IJ KL EF GH ∥∥，∴四边形NUMV 是平行四边形，∴60VNU GMJ Ð=Ð=°,∴360VNU Ð=Ð=°．故选D ．【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关判定、性质定理是解答本题的关键．9.中国高铁的飞速发展，已成为中国现代化建设的重要标志．如图是高铁线路在转向处所设,计的圆曲线（即圆弧），高铁列车在转弯时的曲线起点为A ，曲线终点为B ，过点,A B 的两条切线相交于点C ，列车在从A 到B 行驶的过程中转角a 为60°．若圆曲线的半径1.5km OA =，则这段圆曲线»AB 的长为（ ）．A. km 4pB. km 2pC. 3km 4pD.3km 8p 【答案】B【解析】【分析】由转角a 为60°可得120ACB Ð=°，由切线的性质可得90OAC OBC Ð=Ð=°，根据四边形的内角和定理可得36060AOB ACB OAC OBC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°，然后根据弧长公式计算即可．【详解】解：如图：∵60a Ð=°，∴120ACB Ð=°，∵过点,A B 的两条切线相交于点C ，∴90OAC OBC Ð=Ð=°,∴36060AOB ACB OAC OBC Ð=°-Ð-Ð-Ð=°,∴602 1.5km 3602p p °´´´=°．故选B ．【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、弧长公式等知识点，根据题意求得60AOB Ð=°是解答本题的关键．10.新定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：()1,3A ，()2,6B --，()0,0C 等都是“三倍点”．若二次函数2y x x c =--+的图像在31x -<<的范围内，至少存在一个“三倍点”，则c 的取值范围是（ ）A. 45c -£<B. 43c -£<-C. 164c -£<D. 114c -£<【答案】A【解析】【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数与一次函数的交点问题，由题意得，三倍点所在的直线为3y x =，根据二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”转化为2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点，求0D ³，再根据3x =-和1x =时两个函数值大小即可求出答案．【详解】解：由题意得，三倍点所在的直线为3y x =，在31x -<<的范围内，二次函数2y x x c =--+的图象上至少存在一个“三倍点”，即在31x -<<的范围内，二次函数2y x x c =--+和3y x =至少有一个交点，令23x x x c =--+，整理得，240x x c +-=，则241640b ac c D=-=+³，解得4c ³-，把3x =-代入2y x x c =--+得6y c =-+，代入3y x =得9y =-，96c \->-+，解得3c <-；把1x =代入2y x x c =--+得2y c =-+，代入3y x =得3y =，32c \>-+，解得：5c <，综上，c 的取值范围为：45c -£<．故选：A ．第II 卷（非选择题共110分）注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔（不得使用铅笔和圆珠笔）写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效．二、填空题（本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．）11.已知关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是_______．【答案】4a >-##4a-<【解析】【分析】利用一元二次方程根的判别式求解即可．【详解】解：∵关于x 的一元二次方程240x x a --=有两个不相等的实数根，∴()()22Δ44410b ac a =-=--´×->，∴4a >-，故答案为：4a >-．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程()200ax bx c a ++=¹，若240b ac D =->，则方程有两个不相等的实数根，若240b ac D =-=，则方程有两个相等的实数根，若24<0b ac D =-，则方程没有实数根．12. 如图，P 是反比例函数y = 3x图象上一点，PA⊥x轴于点A ，则PAO S =V _______________．【答案】32【解析】【分析】根据反比例函数k 的几何意义即可求解．【详解】解：∵P是反比例函数y = 3x图象上一点PA⊥x轴于点A ，∴PAO S =V 32，故答案为：32.【点睛】本题考查了反比例函数k 的几何意义，掌握反比例函数k 的几何意义是解题的关键．13.如图，有一个直径为4cm 的圆形纸片，若在该纸片上沿虚线剪一个最大正六边形纸片，则这个正六边形纸片的面积是__________．【答案】2【解析】【分析】如图，连接OA OB 、，则,60OA OB AOB =Ð=°，可得AOB V 是等边三角形，作OC AB ^于C ，利用等边三角形的性质求出OC ，进而求解．【详解】如图，连接OA OB 、，则,60OA OB AOB =Ð=°，∴AOB V 是等边三角形，作OC AB ^于C ，∵AOB V 是等边三角形，∴60OAB Ð=°，∴30AOC Ð=°，∵2OA =cm ，∴1AC =cm ，∴OC ==cm ，∴这个正六边形纸片的面积是21622´´=；故答案为：2．【点睛】本题考查了正多边形和圆，本题中，求出OC 是解题的关键．14.如图，在矩形ABCD 中，点E 为BA 延长线上一点，F 为CE 的中点，以B 为圆心，BF 长为半径的圆弧过AD 与CE 的交点G ，连接BG ．若4AB =，10CE =，则AG =_________．【答案】3【解析】【分析】本题主要考查矩形的性质、直角三角形斜边中线的性质和勾股定理，根据中点和矩形的性质5BG =，利用勾股定理即可求得答案．【详解】解：∵10CE =，F 为CE 的中点，∴5CF FE ==，∵四边形ABCD 是矩形，∴90ABC Ð=°，∴5BG FB FC ===，在Rt ABG V 中，3AG ===．故答案为：3．15.只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A ，B ，C ，D 四点，利用刻度尺量得该纸条宽为7cm ，6cm AB =，8cm CD =．请你帮忙计算纸杯的直径为___________cm ．【答案】10【解析】【分析】设圆心为O ，根据垂径定理可以得到4CE =，3AF =，再根据勾股定理构建方程解题即可．【详解】解：设圆心为O ，EF 为纸条宽，连接OC ，OA ，则EF CD ^，EF AB ^，∴118422CE CD ==´=，116322AF AB ==´=，设OE x =，则7OF x =-，又∵OC OA =，∴2222CE OE AF OF +=+，即()2222437x x +=+-，解得：3x =，∴半径5OC ==，即直径为10cm ，故答案为：10．【点睛】本题考查垂径定理，勾股定理，构建直角三角形利用勾股定理计算是解题的关键．16.京剧是中国一门传统文化艺术．如图，在平面直角坐标系xOy 中，某脸谱轮廓可以近似的看成是一个半圆与抛物线的一部分组合成的封闭图形，记作图形G ．点A ，B ，C ，D 分别是图形G 与坐标轴的交点，已知点D 的坐标为()0,3-，AB 为半圆的直径，且4AB =，半圆圆心M 的坐标为()1,0．关于图形G 给出下列五个结论，其中正确的是______（填序号）．①图形G 关于直线1x =对称；②线段CD的长为3+；③图形G 围成区域内（不含边界）恰有12个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；④当42a -££时，直线y a =与图形G 有两个公共点；⑤图形G 的面积小于2π8+．【答案】①②【解析】【分析】本题以半圆为抛物线合成的封闭图形为背景、曲线的对称性、整点问题、构造直角三角形、勾股定理等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．由题意很明显可以得到图形G 的对称轴为，故①正确；构造直角三角形、利用勾股定理求得OC 的长，进而求得CD 的长，故②正确；从图中可以很直观的得到③错误；根据图形可得当4a =-、2a =，直线y a =与图形G 有一个公共点，即不能得出结论④，故④错误；如图：连接AE BE ，,可求得28ABE S S p +=+V 半圆，从而判定⑤错误．【详解】解：如图：由圆M 可知()()()1,0,3,0,1,0A B M -且点A ，B 在抛物线上，∴图形G 关于1x =对称，即①正确；如图：连接CM ，的在Rt MOC V 中，∵1OM =， 2CM =，OC \==又(03),D -Q ，3OD \=，3CD OC OD \=+=根据题意得，由图形G 围成区域内（不含边界）恰有13个整点（即横、纵坐标均为整数的点），故③错误；由图形可得：当4a =-、2a =，直线y a =与图形G 有一个公共点，故④错误；如图：连接AE BE ，, 2114448,2222ABE S S p p æö=´´===ç÷èøV 半圆，∴82ABE G S S S p +=+<V 半圆，故⑤错误．故答案为①②．三、解答题（本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）17. 计算：2tan 452sin 30cos 45cos 60°+°-°+°．【答案】2【解析】【分析】本题考查特殊锐角的三角函数值．利用特殊锐角的三角函数值计算即可．【详解】解：2tan 452sin 30cos 45cos 60°+°-°+°2111222=+´-+111122=+-+2=．18. 在ABC V 中，C Ð = 90°，A Ð = 30°且AB = 20cm ，求边AC 的长度．【答案】【解析】【分析】根据含30度角的直角三角形的性质可得10cm BC =，进而勾股定理即可求解．【详解】ABC Q V 中，90C Ð=°，30A Ð=°，20cm AB =，BC \=1210cm AB =，AC \===cm ．【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．19.如图，在ABC V 中，D 为AB 上一点，64ACD B AC AD Ð=Ð==，，．求AB 的长．【答案】AB 的长为9．【解析】【分析】根据已知条件证明ACD ABC △∽△，得到AD AC AC AB=求出即可．【详解】解：∵ACD B A A Ð=ÐÐ=Ð，，∴ACD ABC △∽△∴AD AC AC AB=∴23694AC AD AB ===．故AB 的长为9．【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据相似三角形的性质求解．20.如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标为()1,2A -，()4,3B -，()3,1C -．（1）以点B 为位似中心，在点B 的下方画出11A BC V ，使11A BC V 与ABC V 位似，且位似比为2:1；（2）求四边形11CC A A 的面积．【答案】（1）作图详见解析（2）152【解析】【分析】本题考查了位似的性质，平面直角坐标系内三角形面积的求法，（1）根据相似比的以及点,,A B C 的坐标即可求得11A BC V ；（2）根据位似的性质可得到的坐标，利用割补法即可求得四边形11CC A A 的面积．【小问1详解】解：如图所示，11A BC V 即为所求，【小问2详解】解：35231122=´---=△ABC S ，∵11A BC V 与ABC V 位似，且位似比为2:1；则1114ABC A BC S S =△△，∴1110A BC S =△．11115151022A BC ABC CC A A S S S =-=-=△△四边形．21. 祖冲之发明的水碓（duì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱OM 高4尺且垂直于水平地面，碓杆AB 长16尺，3OB OA =．当点A 最低时，60AOM Ð=°，此时点B 位于最高点；当点A 位于最高点A ¢时，108.2A OM Т=°，此时点B 位于最低点B ¢．（1）求点A 位于最低点时与地面的垂直距离；（2）求最低点B ¢与地面的垂直距离．（参考数据：sin18.20.31°»，cos18.20.95°»，tan18.20.33°»）【答案】（1）点A 距离地面2尺（2）点B ¢到地面之间的垂直距离约为0.28尺【解析】【分析】（1）分别过点O 作直线EF OM ^，作AH OM ^，H 为垂足，分别过点B 、B ¢作BC EF ^、B D EF ¢^，垂足分别为C 、D ；根据30度角所对的边是斜边的一半，可得122OH OA ==，2MH OM OH =-=，即可求得；（2）根据16AB =，3OB AO =，求得3124OB AB ==，根据三角函数的定义，可得sin18.2120.31 3.72DB OB =×°=´»¢¢，即可求得．【小问1详解】分别过点O 作直线EF OM ^，作AH OM ^，H 为垂足，分别过点B 、B ¢作BC EF ^、B D EF ¢^，垂足分别为C 、D ．∵90EOM Ð=°，60AOM Ð=°∵4OA =∴122OH OA ==，2MH OM OH =-= ∴点A 距离地面2尺；【小问2详解】∵16AB =，3OB AO=∴33161244OB AB ==´=∴sin18.2120.31 3.72DB OB =×°=´»¢¢∴4 3.720.28-=故点B ¢到地面之间的垂直距离约为0.28尺．【点睛】本题考查含30度角的直角三角形，解直角三角形的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．22.芯片目前是全球紧缺资源，市政府通过资本招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业．某芯片公司，引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题：（1）已知每季度生产量的平均增长率相等，求前三季度生产量的平均增长率；（2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度．现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？【答案】（1）20% （2）4条【解析】【分析】（1）设求前三季度生产量的平均增长率为x ，根据第一季度生产200万个，第三季度生产288万个，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m ）万个/季度，利用总产量=每条生产线的产量×生产线的数量，即可得出关于m 的一元二次方程，解之即可得出m 的值，再结合在增加产能同时又要节省投入，即可确定m 的值．【小问1详解】解：设求前三季度生产量的平均增长率为x ，依题意得：2200(1)288x +=，解得：1x =02=20%，2x =-2.2（不合题意，舍去）．答：前三季度生产量的平均增长率20%；【小问2详解】解：设应该增加m 条生产线，则每条生产线的最大产能为（600-20m ）万个/季度，依题意得：（1+m ）（600-20m ）=2600，整理得：2291000m m -+=，解得：1m =4，2m =25，∵在增加产能同时又要节省投入，∴m=4．答：应该再增加4条生产线.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出一元二次方程．23. 如图，AB 为O e 的直径，D E 、是O e 上两点，延长AB 至C ，连接CD ，BDC A Ð=Ð．（1）求证：CD 是O e 的切线；（2）若tan 34E =，8AC =，求O e 的半径．【答案】（1）证明见解析（2）O e 的半径为74【解析】【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键；（1）连接OD ，由圆周角定理得出90ADB Ð=°，证出OD CD ^，由切线的判定可得出结论；（2）证明BDC DAC ∽△△，由相似三角形的性质得出34CD BC BD AC CD DA ===，由比例线段求出CD 和BC 的长，可求出AB 的长，则可得出答案．【小问1详解】证明：连接OD ，∵AB 为O e 的直径，∴90ADB Ð=°，∴90Ð+Ð=°A ABD ，∵OB OD =，∴ABD ODB Ð=Ð，∵BDC A Ð=Ð，∴90BDC ODB Ð+Ð=°，∴90ODC Ð=°，∴OD CD ^，∵OD 是O e 的半径，∴CD 是O e 切线；【小问2详解】解：∵90ADB Ð=°，tan 34E Ð=，∴3tan 4BD BAD AD Ð==，∵BDC A Ð=Ð，C C Ð=Ð，∴BDC DAC ∽△△，∴34CD BC BD AC CD AD ===，∵8AC =，∴384CD =，∴6CD =，∴364BC =，∴92BC =，∴97822AB AC AB =-=-=．∴O e 的半径为74．24. 【背景】在一次物理实验中，小冉同学用一固定电压为12V 的蓄电池，通过调节滑动变阻器来改变电流大小，完成控制灯泡L （灯丝的阻值L 2ΩR =）亮度的实验（如图），已知的串联电路中，电流与电阻L RR 、之间关系为L U I R R =+，通过实验得出如下数据：/ΩR …1a 346…/A I …43 2.42b …（1）=a _______，b =_______；（2）【探究】根据以上实验，构建出函数()1202y x x =³+，结合表格信息，探究函数()1202y x x =³+的图象与性质．①在平面直角坐标系中画出对应函数()1202y x x =³+的图象；②随着自变量x 的不断增大，函数值y 的变化趋势是_________．（3）【拓展】结合（2）中函数图象分析，当0x ³时，123622x x ³-++的解集为________．【答案】（1）2，1.5（2）①见解析；②函数值y 逐渐减小（3）2x ³或0x =【解析】【分析】（1）根据解析式求解即可；（2）①根据表格数据，描点连线画出函数图象；②根据图象可得出结论；（3）求出第一象限的交点坐标，结合图象可得结论．【小问1详解】解：由题意，122I R =+，当3I =时，由1232a =+得2a =，当6R =时，12 1.562b ==+，故答案为：2，1.5；【小问2详解】解：①根据表格数据，描点、连线得到函数()1202y x x =³+的图象如图：②由图象可知，随着自变量x 的不断增大，函数值y 逐渐减小，故答案为：函数值y 逐渐减小；【小问3详解】解：当2x =时，32632y =-´+=，当0x =时，6y =，∴函数()1202y x x =³+与函数362y x =-+的图象交点坐标为()2,3，()0,6，在同一平面直角坐标系中画出函数362y x =-+的图象，如图，由图知，当2x ³或0x =时，123622x x ³-++，即当0x ³时，123622x x ³-++的解集为2x ³或0x =，故答案为：2x ³或0x =．【点睛】本题考查函数的图象与性质、描点法画函数图象、两个函数图象的交点问题，根据表格画出函数的图象，并利用数形结合思想探究函数性质是解答的关键．25. 如图1，已知二次函数图象与y 轴交点为(0,3)C ，其顶点为(1,2)D ．（1）求二次函数的表达式；（2）直线CD 与x 轴交于M ，现将线段CM 上下移动，若线段CM 与二次函数的图象有交点，求CM 向上和向下平移的最大距离；（3）若将（1）中二次函数图象平移，使其顶点与原点重合，然后将其图象绕O 点顺时针旋转90°，得到抛物线G ，如图2所示，直线2y x =-+与G 交于A ，B 两点，P 为G 上位于直线AB 左侧一点，求ABP D 面积最大值，及此时点P 的坐标．【答案】（1）223y x x =-+（2）CM 向下平移的最大距离为14，向上平移的最大距离为6． （3）11,42P æö-ç÷èø【解析】【分析】（1）由待定系数法即可求解；（2）①设直线CD 向下平移最大距离为m ，由△140m =-=，即可求解；②设直线CD 向上平移最大距离为n ，同理可解；（3）由1()2ABP A B S PQ y y D =-，即可求解．【小问1详解】解：Q 顶点(1,2)D ，设二次函数的解析式为2(1)2y a x =-+，把(0,3)代入得：32a =+，1a \=，2(1)2y x \=-+，即223y x x =-+；【小问2详解】解：由点C 、D 的坐标得，直线CD 解析式为3y x =-+，(3,0)\M ，①设直线CD 向下平移最大距离为m ，\平移后的直线解析式为3y x m =-+-，此时直线与抛物线有一个交点，把3y x m =-+- 代入223y x x =-+，得2233x x x m -+=-+-，20x x m -+=，△140m =-=，即：14m =．②设直线CD 向上平移最大距离为n ，此时C ，M 对应点为C ¢，M ¢，则(3,)M m ¢，当M ¢恰在二次函数上时，23233m \-×+=，6m \=，\向上平移的最大距离为6．综上，CM 向下平移的最大距离为14，向上平移的最大距离为6；【小问3详解】解：二次函数平移后顶点与原点重合时顶点为(0,0)，则函数的解析式为：2y x =，设2(,)F m m 为2y x = 上一点，F 绕O 顺时针旋转90° 后，对应点为F ¢，则FMO F M O ¢¢≌△△，则FM F M m ¢==，2FN OM OM m ¢===，2:()F m m ¢-，，若F 在y 轴左侧同理可证成立，即满足横坐标为纵坐标的平方，所以2:G x y =，把2y x =-+ 代入2x y =，22y y \=-+，解得：12y =-，21y =；则(1,1)A ，(4,2)B -，设：2()P m m ，，过点P 作PQ x ∥轴交AB 于点Q ，:2AB y x =-+Q ，(2,)Q m m \-，22PQ m m \=--，\1()2ABP A B S PQ y y D =-21(2)32m m =--×233322m m =--+，当12m =- 时，ABP S D 有最大值，278max S =，此时11,42P æö-ç÷èø．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的基本性质、待定系数法求函数表达式、面积的计算、图象的旋转等，有一定的综合性，难度较大．26.在矩形ABCD 中，3AB =，AD =E 在射线BC 上，将射线AE 绕点A 逆时针旋转90°，交CD 延长线于点G ，以线段AE AG ，为邻边作矩形AEFG ．（1）如图1，若E 在线段BC 上，连接AC ，则tan ACB Ð=______，BE DG=______；（2）如图2，若E 在线段BC 延长线上，当点F B D 、、共线时，求线段BE 的长；（3）如图3，若E 在线段BC 上，当2EA EC =时，在平面内有一动点P ，满足2PE EF =，连接PA PC ，，请直接写出12+PC PA 的最小值．【答案】（1（2）BE =（3）【解析】【分析】（1）通过证明ABE ADG ∽△△，可得BE AB DG AD ==；（2）同理可证,ABE ADG ABE EMF V V V V ∽∽，可求EM 的长，由锐角三角函数可列出方程，即可求解；（3）由勾股定理可求,,BE AE EC 的长，由锐角三角函数可求60AEB Ð=°，通过证明AEP CEP ¢V V ∽，可得12P C AP ¢=，则当P 、C 、P ¢三点共线时，12PC AP +有最小值，最小值为PP ¢的长，由相似三角形的性质和勾股定理可求解．【小问1详解】解：∵四边形ABCD 是矩形，3,AB DC BC AD \====tan AB ACB BC \Ð==∵将射线AE 绕点A 逆时针旋转90°，90,EAG BAD \Ð=Ð=°,BAE DAG \Ð=Ð又90,ADG ABC Ð=Ð=°∴ABE ADG ∽△△，BE AB DG AD \==【小问2详解】过F 作FM BE ^交BE 延长线于M ，由（1）可知：ABE ADG ∽△△，90,ABC M AHF Ð=Ð=Ð=°Q 90,AHB MHF AHB BAH \Ð+Ð=°=Ð+Ð∴,BAH MHF Ð=ÐABE EMF \V V ∽，则AB BE AE AE AB EM MF EF AG AD =====，3EM \=EM \=设3,BE x FM ==，∴在Rt BMF V 中，tan FM FBM BM Ð====解得x =，3BE x \==【小问3详解】设EC a =，2,AE EC =Q2,,AE a BE a \==-2223,AB AB BE AE =+=Q ，2223)(2),a a \+-=a \=2AE a BE EC \====tan BEA \Ð=60BEA \Ð=°120,AEC \Ð=°作120PEP ¢Ð=°，且12EP PE ¢=，连接,P C PP ¢¢，120,AEC PEP ¢\Ð=Ð=°,AEP CEP ¢\Ð=Ð又2,AE PE EC P E==¢Q ,AEP CEP ¢\V V ∽1,2P C AP ¢\=1,2P C AP ¢\=1,2PC AP PC P C ¢\+=+∴当P 、C 、P ¢三点共线时，12PC AP +有最小值，最小值为PP ¢的长，,ABE ADG QV V ∽AB AE AD AG \==又AE =Q 4,AG EF \==又28,PE EF ==Q 14,2P E PE ¢\==120,PEP ¢Ð=°Q 18060,HEP PEP ¢¢\Ð=°-Ð=°9030,HP E HEP ¢¢\Ð=°-Ð=°12,2HE HE PH \====10,PH HE PE \=+=在Rt HPP ¢V 中，PP ¢===【点睛】本题是相似形综合题，考查了正方形的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键．。
2020-2021学年山东省济南市槐荫区九年级(上)期末数学试卷及参考答案
2020-2021学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷一、选择题（每小题4分，共48分）1．（4分）已知＝，则的值为（）A．B．C．D．2．（4分）下列几何体中，其俯视图与主视图完全相同的是（）A．B．C．D．3．（4分）如图，直线a∥b∥c，分别交直线m，n于点A，B，C，D，E，F，若AB＝2，BC＝4，DE＝3，则EF的长是（）A．5B．6C．7D．84．（4分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，cos A＝，AB＝10，AC的长是（）A．3B．6C．9D．125．（4分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为⊙O上两点，若∠BCD＝40°，则∠ABD的大小为（）A．60°B．50°C．40°D．20°6．（4分）二次函数y＝2（x+2）2﹣1的图象是（）A．B．C．D．7．（4分）小强在一次训练中，掷出的实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系大致满足二次函数y＝﹣x2+x+，则小强此次成绩为（）A．8米B．10米C．12米D．14米8．（4分）将函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是（）A．y＝B．y＝C．y＝+1D．y＝﹣1 9．（4分）若点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝的图象上，则x1，x2，x3的大小关系是（）A．x1＜x2＜x3B．x2＜x3＜x1C．x1＜x3＜x2D．x3＜x1＜x2 10．（4分）如图，在菱形ABOC中，AB＝2，∠A＝60°，菱形的一个顶点C在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则反比例函数的解析式为（）A．y＝﹣B．y＝﹣C．y＝﹣D．y＝11．（4分）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，点D为射线AO上任意一点（不与点A重合），以点D 为圆心的圆始终与AB所在直线相切，在点D沿着射线AO平移的过程中，⊙D与x轴相切时，其半径为（）A．B．3C．或3D．2或3 12．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（）A．y1＝﹣y2B．y1＞y2C．y1＜y2D．y1、y2的大小无法确定二、填空题（每小题4分，共24分）13．（4分）如图，小树AB在路灯O的照射下形成的投影为BC．若树高AB＝2m，树影BC ＝3m，树与路灯的水平距离BP＝4.5m．则路灯的高度OP为m．14．（4分）如图所示，∠1是放置在正方形网格中的一个角，则sin∠1的值是．15．（4分）如图，直线AB过原点分别交反比例函数y＝于A、B，过点A作AC⊥x轴，垂足为C，则△ABC的面积为．16．（4分）如图，矩形ABCD中，AB＝2，BC＝，E为CD的中点，连接AE、BD于点P，过点P作PQ⊥BC于点Q，则PQ＝．17．（4分）已知：如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，顶点为A．点P为抛物线对称轴上一点，连接OA、OP．当OA⊥OP时，P点坐标为．18．（4分）如图，以G（0，2）为圆心，半径为4的圆与x轴交于A、B两点，与y轴交于C、D两点，点E为⊙G上任意一点，CF⊥AE于F，则线段FG的长度的最小值为．三、解答题（共9小题，共78分）19．（6分）计算：2cos45°tan30°cos30°+sin260°．20．（6分）如图，在10×10网格中，点O是格点，△ABC是格点三角形（顶点在网格线交点上），且点A1是点A以点O为位似中心的对应点．（1）△A1B1C1与△ABC的位似比是；（2）画出△ABC以点O为位似中心的位似图形△A1B1C1．21．（6分）如图，在△ABC中，AB＝6，AC＝8，D、E分别在AB、AC上，BD＝2，CE＝5．求证：△AED∽△ABC．22．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D．（1）证明：AD＝3BD；（2）求弧BD的长度；（3）求阴影部分的面积．23．（8分）如图，二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），交y轴于点C．（1）求这个二次函数的表达式；（2）求点A到直线BC的距离．24．（10分）在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E从A向B处滑动，压柄BC 可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE 的长度；（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）25．（10分）如图，一次函数y1＝ax+b与反比例函数y2＝的图象相交于A（2，8），B（8，n）两点，连接AO，BO，延长AO交反比例函数图象于点C．（1）求一次函数y1与反比例函数y2的表达式；（2）当y1＜y2，时，自变量x的取值范围为；＝S△AOB时，请求出点P的坐标．（3）点P是x轴上一点，当S△P AC26．（12分）如图，四边形ABCD是矩形．（1）如图1，E、F分别是AD、CD上的点，BF⊥CE，垂足为G，连接AG．①求证：；②若G为CE的中点，求证：sin∠AGB＝；（2）如图2，将矩形ABCD沿MN折叠，点A落在点R处，点B落在CD边的点S处，连接BS交MN于点P，Q是RS的中点．若AB＝2，BC＝3，直接写出PS+PQ的最小值为．27．（12分）如图1，抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，在x轴上有一动点E（m，0）（0＜m＜4），过点E作x轴的垂线交直线AB于点N，交抛物线于点P，过点P作PM⊥AB于点M．（1）求a的值和直线AB的函数表达式；（2）设△PMN的周长为C1，△AEN的周长为C2，若＝，求m的值；（3）如图2，在（2）条件下，将线段OE绕点O逆时针旋转得到OE′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接E′A、E′B，求E′A+E′B的最小值．2020-2021学年山东省济南市槐荫区九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题4分，共48分）1．【分析】直接利用同一未知数表示出a，b的值，进而代入化简即可．【解答】解：∵＝，∴设a＝2x，b＝5x，∴＝＝．故选：C．【点评】此题主要考查了比例的性质，用同一未知数表示出各数是解题关键．2．【分析】根据圆锥、圆柱、正方体、三棱柱的主视图、俯视图进行判断即可．【解答】解：圆锥的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，因此A不符合题意；圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，因此B不符合题意；正方体的主视图、俯视图都是正方形，因此选项C符合题意；三棱柱的主视图是矩形，俯视图是三角形，因此D不符合题意；故选：C．【点评】本题考查简单几何体的三视图，理解三视图的意义，明确各种几何体的三视图的形状是正确判断的前提．3．【分析】根据平行线分线段成比例定理得到＝，然后根据比例的性质求EF的长．【解答】解：∵直线a∥b∥c，∴＝，即＝，∴EF＝6．故选：B．【点评】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．4．【分析】直接利用锐角三角函数关系的答案．【解答】解：∵∠C＝90°，cos A＝＝，AB＝10，∴AC＝6．故选：B．【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确掌握边角关系是解题关键．5．【分析】连接AD，先根据圆周角定理得出∠A及∠ADB的度数，再由直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：连接AD，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°．∵∠BCD＝40°，∴∠A＝∠BCD＝40°，∴∠ABD＝90°﹣40°＝50°．故选：B．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．6．【分析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴，然后对图象进行讨论选择．【解答】解：∵a＝2＞0，∴抛物线开口方向向上；∵二次函数解析式为y＝2（x+2）2﹣1，∴顶点坐标为（﹣2，﹣1），对称轴x＝﹣2．故选：C．【点评】判断图象的大体位置根据：（1）根据a的正负确定开口方向；（2）根据顶点坐标或对称轴确定图象位于哪些象限．7．【分析】根据实心球落地时，高度y＝0，把实际问题可理解为当y＝0时，求x的值即可．【解答】解：在y＝﹣x2+x+中，当y＝0时，﹣x2+x+＝0，解得x1＝﹣2（舍去），x2＝10，即小强此次成绩为10米，故选：B．【点评】本题考查了二次函数的应用中函数式中变量与函数表达的实际意义，需要结合题意，取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键．8．【分析】由于把双曲线平移，k值不变，利用“左加右减，上加下减”的规律即可求解．【解答】解：将函数y＝的图象沿x轴向右平移1个单位长度，得到的图象所相应的函数表达式是y＝，故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的图象，注意：平移后解析式有这样一个规律“左加右减，上加下减”．9．【分析】将点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）分别代入反比例函数y＝，求得x1，x2，x3的值后，再来比较一下它们的大小．【解答】解：∵点A（x1，﹣5），B（x2，2），C（x3，5）都在反比例函数y＝的图象上，∴﹣5＝，即x1＝﹣2，2＝，即x2＝5；5＝，即x3＝2，∵﹣2＜2＜5，∴x1＜x3＜x2；故选：C．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征．所有反比例函数图象上的点的坐标都满足该函数的解析式．10．【分析】根据菱形的性质和平面直角坐标系的特点可以求得点C的坐标，从而可以求得k的值，进而求得反比例函数的解析式．【解答】解：∵在菱形ABOC中，∠A＝60°，菱形边长为2，∴OC＝2，∠COB＝60°，过C作CE⊥OB于E，则∠OCE＝30°，∴OE＝OC＝1，CE＝，∴点C的坐标为（﹣1，），∵顶点C在反比例函数y＝的图象上，∴＝，得k＝﹣，即y＝﹣，故选：B．【点评】本题考查待定系数法求反比例函数解析式、菱形的性质，解答本题的关键是明确题意，求出点C的坐标．11．【分析】如图1，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的上方，即⊙D是△ABC的内切圆，连接BD，由△ABC是边长为6的等边三角形，得到∠DBO＝30°，BO＝3，求得半径OD＝BO•tan30°＝；如图2当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的下方，设⊙D与直线AB相切于E，连接DE，有△ABC是边长为6的等边三角形，得到∠EAD＝30°，AO＝3，∠AED＝90°求得半径DE＝3．【解答】解：如图1，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的上方，即⊙D是△ABC的内切圆，连接BD，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠DBO＝30°，BO＝3，∴OD＝BO•tan30°＝；如图2，当⊙D与x轴相切时，且⊙D在x轴的下方，设⊙D与直线AB相切于E，连接DE，∵△ABC是边长为6的等边三角形，∴∠EAD＝30°，AO＝3，∠AED＝90°∴DE＝AD＝（3+DE），∴DE＝3，∴⊙D的半径为；或3，故选：C．【点评】本题考查了切线的性质，坐标与图形的关系，等边三角形的性质，三角函数，正确的画出图形是解题的关键．12．【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，∴a＞0．又∵ab＜0，∴b＜0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴x2＝﹣x1，x1＜0．∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，∴，．∴y1﹣y2＝2bx1＞0．∴y1＞y2．故选：B．方法二：设抛物线对称轴为x0，∵ab＜0，x0＝﹣，∴x0＞0，∵x1＜x2，x1+x2＝0，∴2x0＞x1+x2，∴x0﹣x1＞x2﹣x0，∵a﹣b2＞0，∴a＞0，抛物线开口向上，∴y1＞y2．故选：B．【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共24分）13．【分析】找出相似三角形，利用相似三角形的性质求解即可．【解答】解：∵AB∥OP，∴△CAB∽△COP，∴＝，∴＝，∴OP＝＝5（m），故答案为：5．【点评】本题考查中心投影以及相似三角形的应用．测量不能到达顶部的物体的高度，通常利用相似三角形的性质即相似三角形的对应边的比相等和“在同一时刻物高与影长的比相等”的原理解决．14．【分析】先利用勾股定理的逆定理证明△ABC直角三角形，然后利用正弦的定义求解．【解答】解：如图，∵AC＝＝，BC＝＝，AB＝＝，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC为等腰直角三角形，∴sin∠1＝＝＝．故答案为．【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．灵活应用勾股定理和锐角三角函数．也考查了勾股定理的逆定理．15．【分析】证明△BOC的面积＝△AOC的面积，而△AOC的面积＝|k|＝×6＝3，即可求解．【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积＝△AOC的面积，又∵A是反比例函数y＝图象上的点，且AC⊥x轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|＝×6＝3，则△ABC的面积为6，故答案为6．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，涉及到反比例函数的比例系数k的几何意义：反比例函数图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S＝|k|．16．【分析】根据矩形的性质得到AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，根据线段中点的定义得到DE＝CD＝AB，根据相似三角形的性质即可得到结论．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AB＝CD，AD＝BC，∠BAD＝90°，∵E为CD的中点，∴DE＝CD＝AB，∴△ABP∽△EDP，∴，∴，∴，∵PQ⊥BC，∴PQ∥CD，∴△BPQ∽△DBC，∴，∵CD＝2，∴PQ＝，故答案为：．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．17．【分析】根据抛物线对称轴列方程求出a，即可得到抛物线解析式，再根据抛物线解析式写出顶点坐标，设对称轴与x轴的交点为E，求出∠OAE＝∠EOP，然后根据锐角的正切值相等列出等式，再求解得到PE，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解答】解：∵抛物线y＝ax2+x的对称轴为直线x＝2，∴﹣＝2，∴a＝﹣，∴抛物线的表达式为：y＝﹣x2+x，∴顶点A的坐标为（2，1），设对称轴与x轴的交点为E．如图，在直角三角形AOE和直角三角形POE中，tan∠OAE＝，tan∠EOP＝，∵OA⊥OP，∴∠OAE＝∠EOP，∴＝，∵AE＝1，OE＝2，∴＝，解得PE＝4，∴P（2，﹣4），故答案为：（2，﹣4）．【点评】本题是二次函数综合题型，主要利用了二次函数的对称轴公式，二次函数图象上点的坐标特征，锐角三角函数的定义，正确的理解题意是解题的关键．18．【分析】连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，由垂径定理得OA＝OB＝AB，易证∠GCA＝∠GAC，求出sin∠OAG＝，OA＝2，得∠OAG＝30°，AB＝4，再由含30°角直角三角形的性质得AC＝2OA＝4，MG＝AG＝2，然后由∠AFC＝90°，得点F在以AC为直径的⊙M上，由直角三角形的性质得出MF＝AC＝2，当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，即可得出结果．【解答】解：连接AC，过点G作GM⊥AC于M，连接AG、MF、GF，如图所示：∵G（0，2），∴OG＝2，GO⊥AB，∴OA＝OB＝AB，∵⊙G半径为4，∴AG＝CG＝4，∴∠GCA＝∠GAC，在Rt△OAG中，sin∠OAG＝＝＝，OA＝＝2，∴∠OAG＝30°，AB＝2OA＝4，∴∠AGO＝90°﹣30°＝60°，∵∠AGO＝∠GCA+∠GAC＝60°，∴∠GCA＝∠GAC＝30°，∴OA＝AC，∴AC＝2OA＝4，MG＝AG＝×4＝2，∵∠AFC＝90°，∴点F在以AC为直径的⊙M上，∵GM⊥AC，∴AM＝CM，∴MF＝AC＝2，当点F在MG的延长线上时，FG的长度的最小，最小值为：FM﹣MG＝2﹣2，故答案为：2﹣2．【点评】本题考查了垂径定理、等腰三角形的性质、直角三角形的性质、含30°角直角三角形的性质以及锐角三角函数定义等知识；熟练掌握垂径定理和直角三角形的性质是解题的关键．三、解答题（共9小题，共78分）19．【分析】先根据特殊角的三角函数值得到原式＝2×﹣××+（）2，然后计算二次根式的混合运算．【解答】解：原式＝2×﹣××+（）2＝﹣+＝．【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决此类题目的关键．20．【分析】（1）利用位似的性质求出OA1与OA的比得到位似比；（2）延长OB到B1使OB1＝3OB，延长OC到C1使OC1＝3OC，从而得到△A1B1C1．【解答】解：（1））△A1B1C1与△ABC的位似比＝OA1：OA＝3：1＝3；故答案为3；（2）如图，△A1B1C1即为所求．【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．21．【分析】根据两边成比例夹角相等即可证明．【解答】证明：∵AB＝6，BD＝2，∴AD＝4，∵AC＝8，CE＝5，∴AE＝3，∴，，∴，∵∠EAD＝∠BAC，∴△AED∽△ABC．【点评】本题考查相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判断方法．22．【分析】（1）两次应用“直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半”即可证得结论；（2）直接利用弧长公式求解即可；﹣S△COD”求解即可．（3）利用“阴影部分的面积＝S扇形COD【解答】解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°，∴∠COD＝120°，∵BC＝4，BC为半圆O的直径，∴∠CDB＝90°，∴∠BCD＝30°，∴BC＝2BD，∵∠A＝30°，∴AB＝2BC＝4BD，∴AD＝3BD；（2）由（1）得∠B＝60°，∴OC＝OD＝OB＝2，∴弧BD的长为＝；（3）∵BC＝4，∠BCD＝30°，∴CD＝BC＝2，﹣S△COD＝﹣×2×1＝﹣．图中阴影部分的面积＝S扇形COD【点评】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积，属于中考常考题型．23．【分析】（1）根据二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），可以求得这个二次函数的表达式；（2）根据题意和（1）中的函数解析式可以得到点C的坐标，从而可以得到OB和OC 的关系，从而可以得到∠CBO的度数，从而可以求得点A到直线BC的距离．【解答】解：（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象交x轴于点A（1，0），B（3，0），∴，解得，即这个二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3；（2）作AD⊥BC于点D，∵二次函数的表达式是y＝x2﹣4x+3，∴当x＝0时，y＝3，即点C的坐标为（0，3），∵B（3，0），∴BO＝CO＝3，∴∠CBO＝45°，∴∠DBA＝45°，∵AB＝2，∴AD＝AB•sin∠DBA＝2×sin45°＝2×＝．【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求二次函数的解析式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．24．【分析】（1）作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中用三角函数算出DH和BH，再求出EH，在三角形DEH中用勾股定理即可求得DE；（2）作DH⊥AB的延长线于点H，在Rt△DBH和Rt△DEH中，用三角函数分别求出BH，DH，EB的长，从而可求得点E滑动的距离．【解答】解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，∴，＝cos37°，∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），∴DE＝＝＝3（cm）．答：连接杆DE的长度为cm．（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，∵∠ABC＝127°，∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，∴BH＝3cm，∴DH＝4cm，在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，∴（EB+3）2+16＝90，∴EB＝（）（cm），∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．【点评】本题属于解直角三角形的应用题，出题角度新颖，既贴近生活，又需要借助三角函数勾股定理等数学知识才能解决，难度中等偏大．25．【分析】（1）由待定系数法即可得到结论；（2）根据图象中的信息即可得到结论；＝S△AOD﹣S△BOD求得△AOB的面积，即可求得（3）先求得D的坐标，然后根据S△AOBS△P AC＝S△AOB＝24，根据中心对称的性质得出OA＝OC，即可得到S△APC＝2S△AOP，从而得到2×OP×8＝24，求得OP，即可求得P的坐标．【解答】解：（1）将A（2，8）代入得，解得k＝16，∴反比例函数的解析式为，把B（8，n）代入得，n＝＝2，∴B（8，2），将A（2，8），B（8，2）代入y＝ax+b得，解得，∴一次函数为y＝﹣x+10；（2）由图象可知，当y1＜y2时，自变量x的取值范围为：x＞8或0＜x＜2，故答案为x＞8或0＜x＜2；（3）由题意可知OA＝OC，＝2S△AOP，∴S△APC把y＝0代入y1＝﹣x+10得，0＝﹣x+10，解得x＝10，∴D（10，0），∴，∵，＝24，∴2S△AOP∴，即，∴OP＝3，∴P（3，0）或P（﹣3，0）．【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，三角形的面积的计算，待定系数法求函数的解析式，数形结合是解题的关键．26．【分析】（1）①证明△FBC∽△ECD可得结论．②想办法证明∠AEB＝∠AGB，可得sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．因为四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，所以PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，推出BP＝PS，由∠BCS＝90°，推出PC＝PS＝PB，推出PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小．【解答】（1）①证明：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴∠CDE＝∥BCF＝90°，∵BF⊥CE，∴∠BGC＝90°，∴∠BCG+∠FBC＝∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠FBC＝∠ECD，∴△FBC∽△ECD，∴＝．②证明：如图1中，连接BE，GD．∵BF⊥CE，EG＝CG，∴BF垂直平分线段EC，∴BE＝CB，∠EBG＝∠CBG，∵DG＝CG，∴∠CDG＝∠GCD，∵∠ADG+∠CDG＝90°，∠BCG+∠ECD＝90°，∴∠ADG＝∠BCG，∵AD＝BC，∴△ADG≌△BCG（SAS），∴∠DAG＝∠CBG，∴∠DAG＝∠EBG，∴∠AEB＝∠AGB，∴sin∠AGB＝sin∠AEB＝＝＝＝．（2）如图2中，取AB的中点T，连接PT，CP．∵四边形MNSR与四边形MNBA关于MN对称，T是AB中点，Q是SR中点，∴PT＝PQ，MN垂直平分线段BS，∴BP＝PS，∵∠BCS＝90°，∴PC＝PS＝PB，∴PQ+PS＝PT+PC，当T，P，C共线时，PQ+PS的值最小，最小值＝＝＝，∴PQ+PS的最小值为．故答案为．【点评】本题属于相似形综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，轴对称，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．27．【分析】（1）令y＝0，求出抛物线与x轴交点，列出方程即可求出a，根据待定系数法可以确定直线AB解析式．（2）由△PNM∽△ANE，推出＝，列出方程即可解决问题．（3）在y轴上取一点M使得OM′＝，构造相似三角形，可以证明AM′就是E′A+E′B的最小值．【解答】解：（1）令y＝0，则ax2+（a+3）x+3＝0，∴（x+1）（ax+3）＝0，∴x＝﹣1或﹣，∵抛物线y＝ax2+（a+3）x+3（a≠0）与x轴交于点A（4，0），∴﹣＝4，∴a＝﹣．∵A（4，0），B（0，3），设直线AB解析式为y＝kx+b，则，解得，∴直线AB解析式为y＝﹣x+3．（2）如图1中，∵PM⊥AB，PE⊥OA，∴∠PMN＝∠AEN，∵∠PNM＝∠ANE，∴△PNM∽△ANE，∴＝，∵NE∥OB，∴＝，∴AN＝（4﹣m），∵抛物线解析式为y＝﹣x2+x+3，∴PN＝﹣m2+m+3﹣（﹣m+3）＝﹣m2+3m，∴＝，解得m＝2或4，经检验x＝4是分式方程的增根，∴m＝2．（3）如图2中，在y轴上取一点M′使得OM′＝，连接AM′，在AM′上取一点E′使得OE′＝OE．∵OE′＝2，OM′•OB＝×3＝4，∴OE′2＝OM′•OB，∴＝，∵∠BOE′＝∠M′OE′，∴△M′OE′∽△E′OB，∴＝＝，∴M′E′＝BE′，∴AE′+BE′＝AE′+E′M′＝AM′，此时AE′+BE′最小（两点间线段最短，A、M′、E′共线时），最小值＝AM′＝＝．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质、待定系数法、最小值问题等知识，解题的关键是构造相似三角形，找到线段AM′就是E′A+E′B的最小值，属于中考压轴题．。
山东省济南市槐荫区2022-2023学年九年级上学期数学期末考试
2022～2023学年度第一学期期末质量检测九年级数学试题（2023.1）本试题分试卷和答题卡两部分．第Ⅰ卷共2页，满分为40分；第Ⅱ卷共6页，满分为110分．本试题共8页，满分为150分．考试时间为120分钟．答卷前，请考生务必将自己的姓名、准考证号、座号、考试科目涂写在答题卡上，并同时将考点、姓名、准考证号、座号填写在试卷规定的位置．考试结束后，将试卷、答题卡一并交回．本考试不允许使用计算器．第I 卷（选择题 共40分）注意事项：第Ⅰ卷为选择题，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效．一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．已知2x ＝3y （xy ≠0），则下列比例式成立的是A ．2x ＝y 3B ．3x ＝2yC ．y x ＝32D ．xy＝232．反比例函数y ＝x12经过下面哪一个点A ．（4，－3）B ．（－2，－6）C ．（2，－6）D ．（1，－12） 3．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝3，BC ＝4，则tan A 的值是A ．35B ．34C ．53D ．434．二次函数y ＝－3（x ＋1）2－7的顶点坐标是 A ．（1，－7） B ．（1，7） C ．（－1，－7） D ．（－1，7）5．反比例函数y ＝xk的图象经过点（－2，1），则下列说法错误的是A ．k ＝－2B ．函数图象分布在第二、四象限C ．当x ＞0时，y 随x 的增大而增大D ．当x ＜0时，y 随x 的增大而减小3题图 B C A6．如图，若AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ABD ＝50°，则∠BCD 的度数为 A ．40° B ．50° C ．35° D ．55°7．若两个相似三角形的面积比是1∶9，则它们对应边的中线之比为 A ．1∶9 B ．3∶1 C ．1∶3 D ．1∶81 8．如图，若△DAC ∽△ABC ，则需满足条件A ．CD 2＝AD •DB B ．AC 2＝BC •CD C ．CD AC ＝BC AB D ．DA CD ＝AC BC9．下列关于抛物线y ＝x 2＋2x －3的说法正确的是 ①开口方向向上；②对称轴是直线x ＝－2；③当x ＜－1时，y 随x 的增大而减小； ④当x ＜－1或x ＞3时，y ＞0． A ．① ③ B ．① ④ C ．① ③ ④ D ．① ② ③ ④10．如图，△ACB 中，CA ＝CB ＝4，∠ACB ＝90°，点P 为CA 上的动点，连BP ，过点A 作AM ⊥BP 于M ．当点P 从点C 运动到点A 时，线段BM 的中点N 运动的路径长为A ．2π BCDπ6题图 B C A DO 8题图 B C A D 10题图BC A PNM14题图y A B x O 16题图y A B x O C D E 12题图 B C A D O 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：所有答案必须用0.5毫米的黑色签字笔(不得使用铅笔和圆珠笔)写在答题卡各题目指定区域内（超出方框无效），不能写在试卷上，不能使用涂改液、修正带等．不按以上要求作答，答案无效．二、填空题(本大题共6个小题．每小题4分，共24分．把答案填在答题卡的横线上．)11．已知锐角α满足cos α＝21，则∠α等于 度．12．如图，⊙O 的内接四边形ABCD 中，∠D ＝50°，则∠B 的度数为 度． 13．将抛物线y ＝x 2向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ．14．如图是反比例函数y ＝x 3和y ＝xk（k ＞3）在第一象限的图象，直线AB ∥x 轴，并分别交两条双曲线于A 、B 两点，若S △AOB ＝4，则k ＝ ．15．如图，AB 是⊙O 的切线，B 为切点，OA 与⊙O 交于点C ，以点A 为圆心，以OC 的长为半径作EF ，分别交AB 、AC 于点E 、F ．若OC ＝2，AB ＝4，则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留π）16．如图，已知抛物线y ＝21x 2－3x 与直线y ＝2x 交于O 、A 两点．点B 是个抛物线上O 、A之间的一个动点，过点B 分别作两条坐标轴的平行线，与直线OA 交于点C 、E ，以BC 、BE 为边构造矩形BCDE ，设点D 的坐标为（m ，n ），则m 关于n 的函数关系式是 ．15题图 B C A EO F19题图 B C A D 20题图B C A D E F 三、解答题(本大题共10个小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．) 17．(本小题满分6分)计算：tan45°－sin30°cos60°－cos 245°．18．(本小题满分6分)已知一个二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点（2，2）和（1，5）． (1)求这个二次函数的解析式；(2)求这个二次函数图象的顶点坐标．19．(本小题满分6分)如图，在△ABC 中，BC ＝8，AC ＝4，D 是BC 边上一点，CD ＝2． 求证：AB ＝2AD ．20．(本小题满分8分)如图所示的拱桥，用AB 表示桥拱．(1)若AB 所在圆的圆心为点O ，EF 是弦CD 的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O ．（不写作法，但要保留作图痕迹）(2)若拱桥的跨度（弦AB 的长）为16m ，拱高（AB 的中点到弦AB 的距离）为4m ，求拱桥的半径．21题图 B O A N M 23题图BO A CD E 无人机低空遥感技术已广泛应用于农作物监测．如图，某农业特色品牌示范基地用无人机对一块试验田进行监测作业时，在距地面高度为135m 的A 处测得试验田右侧边界N 处俯角为43°，无人机垂直下降40m 至B 处，又测得试验田左侧边界M 处俯角为35°，求MN 的长．（参考数据：tan43°≈0.9，sin43°≈0.7，cos35°≈0.8，tan35°≈0.7，结果保留整数）22．(本小题满分8分)某商店经销一种健身球，已知这种健身球的成本价为每个20元，市场调查发现，该种健身球每天的销售量y （个）与销售单价x （元）有如下关系：y ＝－2x ＋80（20≤x ≤40），设这种健身球每天的销售利润为w 元(1)如果销售单价定为25元，那么健身球每天的销售量是 个； (2)求w 与x 之间的函数关系式；(3)该种健身球销售单价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？23．(本小题满分10分)如图，AB 为⊙O 的直径，DE 切⊙O 于点E ，BD ⊥DE 于点D ，交⊙O 于点C ，连接BE ． (1)求证：BE 平分∠ABC ；(2)若AB ＝10，BC ＝6，求CD 的长．24题图 y BxO C A 已知A （－4，2）、B （n ，－4）两点是一次函数y ＝kx ＋b 和反比例函数y ＝mx的图象的两个交点，点P 的坐标为（n ，0）．(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB 的面积；(3)观察图象，直接写出不等式kx ＋b －xm＞0的解集；(4)若△ABP 是以AB 为直角边的直角三角形时，请直接写出n 的值．25题图1B ACDEBACDE25题图3BACD EG F 25题图2【问题呈现】如图1，△ABC 和△ADE 都是等边三角形，连接BD ，CE ．易知CEBD＝ ． 【类比探究】 如图2，△ABC 和△ADE 都是等腰直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°．连接BD ，CE ．则CEBD＝ ． 【拓展提升】如图3，△ABC 和△ADE 都是直角三角形，∠ABC ＝∠ADE ＝90°，且BC AB ＝DE AD ＝43．连接BD ，CE ．(1)求CEBD 的值；(2)延长CE 交BD 于点F ，交AB 于点G ．求sin ∠BFC 的值．26题图y B xOCANM26题备用图yBxOCANM若抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过点A （－2，0），B （0，－4），其对称轴为直线x ＝1，与x 轴的另一交点为点C ．(1)求二次函数的表达式；(2)若点M 在直线AB 上，且在第四象限，过点M 作MN ⊥x 轴于点N ． ①若点N 在线段OC 上，且MN ＝3NC ，求点M 的坐标；②以MN 为对角线作正方形MPNQ （点P 在MN 右侧），当点P 在抛物线上时，求点M 的坐标．。
山东省济南市槐荫区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题
山东省济南市槐荫区2023-2024学年九年级上学期期末数学
试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
4896
ππ3π3π
二、填空题
x
三、解答题
17．计算：2tan 452sin30cos 45cos60︒+︒-︒+︒．
18．在ABC V 中，C ∠=90︒，A ∠=30︒且AB =20cm ，求边AC 的长度．
19．如图，在ABC V 中，D 为AB 上一点，64ACD B AC AD ∠=∠==，，．求AB 的长．
20．如图，在平面直角坐标系中，ABC V 的顶点坐标为()1,2A -，()4,3B -，()3,1C -．
(1)以点B 为位似中心，在点B 的下方画出11A BC V ，使11A BC V 与ABC V 位似，且位似比为2:1；
(2)求四边形11CC A A 的面积．
21．祖冲之发明的水碓（du ì）是一种舂米机具（如图1），在我国古代科学家宋应星的著作《天工开物》中有详细记载，其原理是以水流推动轮轴旋转进而拨动碓杆上下舂米．图2是碓杆与支柱的示意图，支柱OM 高4尺且垂直于水平地面，碓杆AB 长16尺，3OB OA =．当点A 最低时，60AOM ∠=︒，此时点B 位于最高点；当点A 位于最高点A '时，108.2A OM ∠'=︒，此时点B 位于最低点B '．
(1)求点A 位于最低点时与地面的垂直距离；
(2)求最低点B '与地面的垂直距离．（参考数据：sin18.20.31︒≈，cos18.20.95︒≈，
a_______，b=_______；
(1)=
y
BE。