数学物理方法 第六章 拉普拉斯变换

t e −αp ⇔ ∫ H (τ − α )e −b ( t −τ ) dτ α p ( p + b)
= H (t − α ) ∫ e
α
t
−b ( t −τ )
1 −b ( t −τ ) t ] |α dτ = H (t − α )[ e b
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1 = [1 − e −b ( t −α ) ]H (t − α ) b
第六章 拉普拉斯变换
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（一）定义
前面提到，傅里叶积分与傅里叶变换存在的 条件是原函数f(x)在任一有限区间满足狄里 希利条件，并且在(-∞,∞)区间上绝对可积。 拉普拉斯变换，存在的条件比傅里叶变换宽 松。 拉氏变换常用于初始值问题，即已知某个物 理量在初始时刻t=0的值f(0),而求解在初始 时刻之后的变换情况f(t).
解： 查表得： 2 ⇔ sin ωt , 2 p +ω 再应用位移定理，得：
ω
p ⇔ cos ωt 2 2 p +ω
ω p+λ − λt ⇔ e sin ωt , ⇔ e −λt cos ωt ( p + λ )2 + ω 2 ( p + λ )2 + ω 2
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e −αp 例4：求 的原函数 p ( p + b) 解： 1 已知 ⇔ H (t ), p e −αp 应用延迟定理， ⇔ H (t − α ), 1 ⇔ e −bt ( p + b) p e −αp 看作 与1 的乘积，应用卷积定理，即得： ( p + b) p
∞ iωt
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−
f ( p )为像函数，f (t )为原函数。 ( p ) = L[ f (t )], f (t ) = L [ f ( p )] f f ( p )存在的条件是
−
−1
−
注意：
−
（1）在0 ≤ t < ∞的任一有限区间上， 除了有限个第一类间断点外，函数f (t )及其导数是处处连续的； （2）存在常数M > 0和σ ≥ 0，对任何t (0 ≤ t < ∞), 有： f (t ) |< Meσt |
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至于它在初始时刻之前的值，不关心，不妨 设f(t)=0 (t<0)。 为了获得宽松的变换条件，把f(t)加工为 g(t)=e-σt f(t). e-σt 是收敛因子，即，正实数σ 的值选的足够大，以保证g(t)在(-∞,∞)上绝 对可积。 于是，可以对g(t)做傅里叶变换，
拉普拉斯变换主要用于求解线性微分方程 （或积分方程）。 经过变换，原函数所遵从的微分（或积分） 方程变成了像函数所遵从的代数方程。 代数方程比较容易求解，但解出来的像 函数还必须回到原函数。这才是所求的 解。 由像函数求原函数的过程称为拉普拉斯变 换的反演。
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（一）有理分式反演法
− pt − pt 0 0 ∞ ∞ − pt −
f (t )] − ∫ f (t )de − pt
0
∞ 0
∞
取 Re p > 0, lim e − pt f (t ) = 0,
t →∞
∴ L[ f ′(t )] = − f (0) − ∫ f (t )de − pt
0
∞
= p ∫ f (t )de
0
−
(3)积分定理 1 ∫0ψ (τ )dτ ⇔ p L[ψ (t )] 证明：
t
考虑到f (t ) = ∫ ψ (τ )dτ , 对f (t )应用导数定理
0
t
f ′(t ) ⇔ pL[ f (t )] − f (0) = pL[ f (t )], 其中f (0) = ∫ ψ (τ )dτ = 0
n n
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（二）拉普拉斯变换的基本性质
（1）线性定理 若L[ f1 (t )] = f1 ( p ), L[ f 2 (t )] = f 2 ( p ), 则c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t ) ⇔ c1 f1 ( p ) + c2 f 2 ( p ) 证明： L[c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t )] = ∫ [c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t )]e − pt dt
f (t ) ⇔ f ( p + λ )
−
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(6)延迟定理 f (t − t0 ) ⇔ e 证明： f (t − t0 ) ⇔ ∫ f (t − t0 )e − pt dt
t0 ∞ − p0t −
f ( p)
用ξ = t − t0代替t作为积分变量， 则f (t − t0 ) ⇔ ∫ f (ξ )e
0 t − − − −
证明： L[ f1 (t ) ∗ f 2 (t )] = ∫ f1 (t ) ∗ f 2 (t )e dt = ∫ [ ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ ]e − pt dt
− pt 0 0 0 ∞ ∞ t
改换积分顺序 = ∫ [ ∫ f 2 (t − τ )e − pt dt ] f1 (τ )dτ
∞
− pt
− f (0) = p f ( p ) − f (0) (Re p > σ 0 )
−
推广到高阶导数： f ( n ) (t ) ⇔ p n f ( p ) − p n −1 f (0) − p n −2 f ′(0) − ⋯ − pf n −2 (0) − f ( n −1) (0)
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6、4 应用例题
用拉普拉斯变换求微分方程的步骤可归纳 为： （1）对方程施行拉普拉斯变换，这变换把 初始条件也考虑进去了； （2）从变换后的方程解出像函数； （3）对求出的像函数进行反演，原函数就 是原来方程的解。
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d L j + Rj = E0 sin ωt 例1：求解交流RL电路的方程 dt j ( 0) = 0 解： (1)对方程进行拉普拉斯变换， j − j (0)] + R j = E0 [ Lp E0ω E0 1 ω = ( 2) j = 2 2 Lp + Rp + ω L p + R L p2 + ω2
例5：求L[tf (t )], 其中f (t )是存在拉普拉斯变换的任意函数。 解： 对拉氏定义式两边求导，
− ∞ d f ( p) = ∫ e − pt ( −t ) f (t )dt 0 dp d − ∴ tf (t ) ⇔ ( −1) f ( p) dp
类推，有： dn − t f (t ) ⇔ ( −1) f ( p) n dp
(Re p > Re S )
例4：求L[teSt ], S为常数。 解： L[te ] = ∫
St ∞ 0
1 te ⋅ e dt = − p−S
St − pt
∫
∞
0
td [e-(p-S) t ]
∞ 1 -(p-S) t ∞ {[te ]0 − ∫ e-(p-S) t dt} =− 0 p−S 1 = (Re p > Re S ) 2 ( p − S) n! 同理L[t n eSt ] = ( p − S ) n +1 wuxia@bnu.edu.cn
− pt ∞ ∞ 0
1 1 ⋅ e dt = p
− pt
(Re p > 0)
例2：求L[t ].
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例3：求L[eSt ], S为常数。 解： L[e ] = ∫ eSt ⋅ e − pt dt
St 0 ∞
=∫ e
0
∞
-(p-S) t
1 1 -(p-S) t ∞ dt = − [e ]0 = p−S p−S
− 3 2
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−
（二）查表法
e −τp 例2：求 解： 1 1 查表得 , ⇔ πt p e −τp 1 再利用延迟定理 ⇔ p π (τ − t ) p 的原函数.
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ω p+λ 例3：求 和 的原函数。 2 2 2 2 ( p + λ) + ω ( p + λ) + ω
σ的下界成为收敛横标，用σ 0表示。σ ≥ σ 0为收敛域。
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例1：求L[1]。 解： L[1] = ∫ 解： 1 ∞ 1 − pt ∞ 1 ∞ − pt − pt L[t ] = ∫ t ⋅ e dt = − ∫ td ( e ) = − [te ]0 + ∫ e dt 0 p 0 p p 0 1 ∞ − pt 1 = ∫ e dt = 2 (Re p > 0) p 0 p n! n 同理 L[t ] = n +1 p
0 ∞ ∞
τ
令ξ = t − τ
= ∫ [ ∫ f 2 (ξ )e − pξ dξ ] f1 (τ )e − pτ dτ
0 0
∞
∞
= ∫ f1 (τ )e
0
∞
− pτ
dτ ∫ f 2 (ξ )e
0
∞
− pξ
dξ = f 1 ( p ) f 2 ( p )
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−
−
6、2 拉普拉斯变换的反演
例1：求 f ( p ) = ( p 3 + 2 p 2 − 9 p + 36) ( p 4 − 81)的原函数。 解： p + 2 p − 9 p + 36 1 1 1 1 p −1 f ( p) = = − + 2 2 ( p − 3)( p + 3)( p + 9) 2 p − 3 2 p + 3 p + 9 1 1 1 1 p 1 3 = − + 2 − 2 p − 3 2 p + 3 p + 9 3 p2 + 9 1 3t 1 − 3t 1 ∴ f (t ) = e − e + cos 3t − sin 3t 2 2 3
0
−
其中∫ f (t )e − pt dt称为拉普拉斯积分，
0 −
f ( p )称为f (t )的拉普拉斯变换函数。
−
f (t ) → f ( p )为拉普拉斯变换，e − pt 为拉氏变换的核。 G (ω )的傅里叶逆变换是， 1 ∞ − g (t ) = ∫ G (ω )e dω = f (σ + iω )e(σ +iω ) t dω −∞ 2π ∫−∞ 1 1 σ +iω − ∵ σ + iω = p,∴ dω = dp, f (t ) = f ( p )eip dp i 2πi ∫σ −iω
− − −
ωΒιβλιοθήκη Baidu
p2 + ω2
1 (3)由于 2 ⇔ sin ωt , ⇔ e −( R L ) t p + ω2 p+R L 引用卷积定理完成反演， E0 t −( R L )( t −τ ) E0 −( R L ) t ( R L )τ ( R L) sin ωt − ω cos ωt t j (t ) = sin ωτdτ = {e [e ] |0 } 2 2 2 ∫0 e L L R L +ω E0 ( R L) sin ωt − ω cos ωt E0 ωe −( R L ) t = + 2 2 2 L R L +ω L R 2 L2 + ω 2
0 t 1 ∴ L[ψ (t )] = L[ f (t )] = L[ ∫ ψ (τ )dτ ] 0 p t 1 即∫ ψ (τ )dτ ⇔ L[ψ (t )] 0 p
0
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( 4)相似性定理 1 − p f ( at ) ⇔ f ( ) a a (5)位移定理 e
− λt
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1 G (ω ) = 2π
∞
∫
∞
−∞
g (t )e
−iωt
1 dt = 2π
∫
∞
−∞
f (t )e −(σ +iω ) t dt
− ∞
令σ + iω = p, G (ω ) = f ( p ) / 2π , 则 f ( p ) = ∫ f (t )e − pt dt
t0 ∞ − p ( ξ + t0 )
dξ = e
− pt0
∫
∞
t0
f (ξ )e
− pξ
dξ = e
− pt0
−
f ( p)
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(7)卷积定理 若f1 (t ) ⇔ f1 ( p ), f 2 (t ) ⇔ f 2 ( p ), 则f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = f1 ( p ) f 2 ( p ) 其中f1 (t ) ∗ f 2 (t ) = ∫ f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ , 为f1 (t )与f 2 (t )的卷积。
0 ∞ − − − −
= ∫ c1 f1 (t )e dt + ∫ c2 f 2 (t )e dt = c1 f1 ( p ) + c2 f 2 ( p )
0 0
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∞
− pt
∞
− pt
−
−
( 2)导数定理 f ′(t ) ⇔ p f ( p ) − f (0) 证明： L[ f ′(t )] = ∫ f ′(t )e dt = ∫ e df = [e