初升高数学衔接知识点

1．绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍是零．即
,0,||0,0,,0.a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离． 两个数的差的绝对值的几何意义：b a -表示在数轴上，数a 和数b 之间的距离． 1．填空：
（1）若5=x ，则x =_________；若4-=x ，则x =_________.
（2）如果5=+b a ，且1-=a ，则b ＝________；若21=-c ，则c ＝________. 2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ） （A ）若a b =，则a b = （B ）若a b >，则a b >
（C ）若a b <，则a b < （D ）若a b =，则a b =± 3．化简：|x －5|－|2x －13|（x ＞5）．
2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式 22()()a b a b a b +-=-； （2）完全平方公式 222()2a b a ab b ±=±+． 我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式 2233()()a b a ab b a b +-+=+； （2）立方差公式 2233()()a b a ab b a b -++=-； （3）两数和立方公式 33223()33a b a a b ab b +=+++； （4）两数差立方公式 33223()33a b a a b ab b -=-+-． 练 习 1．填空：
（1）221111
()9423
a b b a -=+（ ）；
（2）(4m + 22)164(m m =++ )；
(3 ) 2222(2)4(a b c a b c +-=+++ )． 2．选择题：
（1）若21
2
x mx k ++是一个完全平方式，则k 等于 （ ）
（A ）2m （B ）214m （C ）213
m （D ）21
16m
（2）不论a ，b 为何实数，22248a b a b +--+的值 （ ） （A ）总是正数 （B ）总是负数
（C ）可以是零 （D ）可以是正数也可以是负数
3.分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x 2－3x ＋2； （2）x 2＋4x －12； （3）22()x a b xy aby -++； （4）1xy x y -+-． 2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）32933x x x +++； （2）222456x xy y x y +--+-． 练 习 1．选择题：
多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ） （A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2．分解因式：
（1）x 2＋6x ＋8； （2）8a 3－b 3；
（3）x 2－2x －1； （4）4(1)(2)x y y y x -++-． 3．分解因式：
（1） 31a +； （2）424139x x -+；
（3）22222b c ab ac bc ++++； （4）2235294x xy y x y +-++-．
4.根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），用配方法可以将其变形为
222
4()24b b ac
x a a
-+=． ① 因为a ≠0，所以，4a 2＞0．于是
（1）当b 2－4ac ＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
x 1，2
（2）当b 2－4ac ＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x 1＝x 2＝－
2b a
； （3）当b 2－4ac ＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边2
()2b x a
+
一定大于或等于零，因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的情况可以由b 2－4ac 来判定，我们把b 2－4ac 叫做一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），有 （1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x 1，2
＝2b a
-±
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x 1＝x 2＝－2b
a
；
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
x 1＝x 2＝1；
5.根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有两个实数根
12b x a -=
，22b x a
-=，
则有
122
2b b
x x a a
-+=
==-； 221222(4)42244b b b b ac ac c
x x a a a a a
-+---=
===． 所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）的两根分别是x 1，x 2，那么x 1＋x 2＝b a
-，x 1·x 2＝c
a ．这一关
系也被称为韦达定理．
例1 已知方程2
560x kx +-=的一个根是2，求它的另一个根及k 的值．
例2 已知关于x 的方程x 2＋2(m －2)x ＋m 2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m 的值． 例3 若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值；
（2）求2212
11
x x +的值；
（3）x 13＋x 23．
6.二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图像和性质
（1）当a ＞0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c
图象开口向上；顶点坐标为2
4(,
)24b ac b a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而减小；当x ＞2b
a
-时，y 随着x 的增大
而增大；当x ＝2b
a
-时，函数取最小值y ＝244ac b a -．
（2）当a ＜0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 图象开口向下；顶点坐标为2
4(,
)24b ac b
a a
--，对称轴为直线x ＝－2b a ；当x ＜2b a -时，y 随着x 的增大而增大；当x ＞2b
a
-时，y 随着x
的增大而减小；当x ＝2b
a
-时，函数取最大值y ＝244ac b a -．
例1 求二次函数y ＝－3x 2－6x ＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x 取何值时，y 随x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．。