高中数学常用结论集锦
高中数学常用二级结论大全
高中数学常用二级结论大全一、基础常用结论1. 立方差公式：a³-b³=(a-b)(a²-ab+b²);立方和公式：a³+b³=(a+b)(a²-ab+b²).2. 任意的简单n 面体内切球半径为是简单n面体的体积，S 表是简单n 面体的表面积).3. 在Rt △ABC 中，C 为直角，内角A,B,C 所对的边分别是a,b,c, 则△ABC 的内切圆半径为4. 斜二测画法直观图面积为原图形面积的倍.5. 平行四边形对角线平方之和等于四条边平方之和.6. 函数ʃ(x)具有对称轴x= a,x=b(a≠b),则ʃ(x)为周期函数且一个正周期为2 |a-b|.7. 导数题常用放缩e'≥x+1,e^>ex(x>1).8. 点(x,y) 关于直线Ax+By+C=0 的对称点坐标9. 已知三角形三边x,y,z, 求面积可用下述方法(一些情况下比海伦公式更实用，如√27, √28, √29):,二、圆锥曲线相关结论10. 若圆的直径端点A(x₁,yi),B(x₂,y₂), 则圆的方程为 ( x - x ) ( x - x₂) + (y-y)(y-y₂)=0.11. 椭区的面积S 为S =πab.12. 过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点.13. 圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 . 推论：①过圆( x -a)²+(y-b)²=r²上任意一点P(xo,y。
) 的切线方程为 ( x o-a)(x-a)+(y 。
-b)(y-b)=r²;②过椭圆) 上任意一点P(xo,y。
) 的切线方程为③过双曲) 上任意一点P(x₀,y 。
) 的切线方程为 1.14. 任意满足ax"+by"=r 的二元方程，过曲线上一点 (x₂,y₁) 的切线方程为ax₁x"¹+by₂y"-1=r.15. 切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程.①过圆 x ² +y²+Dx+Ey+F=0 外一点P(x₀,o) 的切点弦方程②过椭圆O) 外一点P(xo,y。
高中数学常见结论
高中数学常见结论三角形中的结论 1、三角形中，任意两角的余弦之和大于零，即coscos 0,cos cos 0,cos cos 0A B A C B C +>+>+>2、三角形中，tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=⨯⨯3、三角形中，sin sin A B A B >⇔>,其他同理4、锐角三角形中，任意一个角的正弦值大于另一个角的余弦值，即sincos ,sin cos A B A C >>,其他同理5、钝角三角形中（角C 为钝角），一个锐角的正弦值小于另一个锐角的余弦值。
即sin cos ,sin cos A B B A <>6、直角三角形中的结论都有逆定理7、三角形内切圆的半径：2S r a b c ∆=++，特别地，直角三角形中：2a b cr +-=8、三角形中的射影定理：在△ABC 中，A c C a b cos cos ⋅+⋅=，…函数中的结论1、函数()y f x =在定义域D 上单调递增⇔对任意的12,,x x D ∈若12x x >，都有12()()f x f x >⇔对任意的12,,x x D ∈1212()(()())0x x f x f x -->⇔对任意的12,,x x D ∈1212()()0f x f x x x ->- ⇔对任意的,x D ∈/()0f x ≥恒成立⇔对任意的,x D ∈总存在t>0，使()()f x t f x +>2、函数()y f x =在定义域D 上单调递减，对应以上结论是什么？3、函数单调递增、递减的运算性质：（加、减、乘、除、开方） （1）增+增=增，减+减=减，增-减=增，减-增=减，（2）()k f x ⨯与()f x 的单调性的关系是 （3）1()f x 与()f x 的单调性的关系是 （4()f x 的单调性的关系是4、对称轴、对称中心、周期之间的结论是：（1）若函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(a-x)↔x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x)=f(2a-x) ↔ x=a 是y=f(x)的一条对称轴.函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(b-x) ↔ x=2a b+是y=f(x)的一条对称轴.（2）函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心. 函数y=f(x)满足:f(x)=-f(2a-x) ↔A （a,0）是y=f(x)的一个对称中心.函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(b-x) ↔A(2a b+,0)是y=f(x)的一个对称中心 （3）函数y=f(x)满足:f(x+T)=f(x) ↔T 是y=f(x)的一个周期函数y=f(x)满足:f(x+a)=f(x+b) ↔T=a-b 是y=f(x)的一个周期(a ＞b ) 函数y=f(x)满足:f(x+a)=-f(x) ,则T=2a 是y=f(x)的一个周期（4）若x=a,x=b 是函数y=f(x)的两条对称轴，则T=2(a-b) (a ＞b ) ，反之也成立若A(a,0),B(b,0)是函数y=f(x)的两个对称中心，则T=2(a-b) (a ＞b )， 反之也成立 若x=a,B(b,0)分别是函数y=f(x)的对称轴和对称中心，则T=4(a-b) (a ＞b )5、若两个函数()y f x a =+，()y f b x =-有对称轴，则对称轴是2b a x -=6、函数奇偶性：函数y=f(x)是定义域D 上的偶函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x --=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=恒成立7、函数y=f(x)是定义域D 上的奇函数⇔对任意的,x D ∈()()0f x f x -+=恒成立⇔对任意的,x D ∈()1()f x f x -=-恒成立8、函数奇偶性的运算性质：加减乘除：偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶⨯偶=偶，偶÷偶=偶奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇⨯奇=奇，奇÷奇=奇 偶⨯偶=偶，偶⨯奇=奇，奇⨯奇=偶 除法运算结论依然 9、奇偶性与单调性的关系：奇函数在关于原点对称的两区间上的单调性相同 偶函数在关于原点对称的两区间上的单调性相反 10、奇函数定义域中若有0，则(0)0f =11、奇函数定义域中若有最大值M 和最小值N ，则M+N=0 12、奇偶性与导数的关系：奇函数的导函数是偶函数 偶函数的导函数是奇函数 13、若函数y=f(x)是偶函数，则()()f x f x =14、若函数y=f(x)是D 上的上凸函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x x f ++<15、若函数y=f(x)是D 上的上凹函数⇔对12,,x x D ∈有1212()()()22f x f x x xf ++>16、二次函数2y ax bx c =++是偶函数⇔b=0三次函数32y ax bx cx d=+++是奇函数⇔b=d=017、二次函数在限定区间上的最值问题：讨论对称轴与区间的位置关系----大大小小（1）当a>0时，求最小值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最大值讨论对称轴与区间中点的位置关系（2）当a<0时，求最大值讨论对称轴在区间的左、内、右，求最小值讨论对称轴与区间中点的位置关系18、二次函数2y ax bx c =++的对称轴是2b x a=-，三次函数32y ax bx cx d =+++的对称中心是,()33b b f aa ⎛⎫--⎪⎝⎭19、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，且在定义域的任何子区间上导函数不恒为0，则/()0f x ≥⇔y=f(x)在D 上单调递增/()0f x ≤⇔y=f(x)在D 上单调递减20、若函数y=f(x)在定义域D 上连续可导，/0()0f x =不能保证0()f x 为极值，反之成立。
高三数学结论知识点
高三数学结论知识点高三数学知识点总结1. 直线与平面的交点个数：- 平面和平面相交，交线是直线；- 直线和直线相交，交点是一个点；- 直线和平面相交，交点可以是一个点，也可以是整个直线。
2. 合同的性质：- 自反性：任意数与自身相等，即a=a；- 对称性：如果a=b，则b=a；- 传递性：如果a=b，b=c，则a=c。
3. 三角形的内角和为180度：- 三角形的内角和等于180度；- 直角三角形的两个直角边的平方和等于斜边的平方；- 等腰直角三角形的两个锐角均为45度。
4. 余弦定理和正弦定理：- 余弦定理：c² = a² + b² - 2ab*cos(∠C)；- 正弦定理：a/sin(∠A) = b/sin(∠B) = c/sin(∠C)。
5. 三角函数的基本关系：- tan(θ) = sin(θ) / cos(θ)；- cot(θ) = cos(θ) / sin(θ)；- sec(θ) = 1 / cos(θ)；- csc(θ) = 1 / sin(θ)。
6. 三角函数的周期性：- sin(x) 和 cos(x) 的周期均为2π；- tan(x), cot(x), sec(x), csc(x) 的周期均为π。
7. 二次函数的顶点和轴对称性：- 二次函数 y = ax² + bx + c 的顶点坐标为 (-b/2a, c-b²/4a)； - 二次函数关于顶点的对称轴为 x = -b/2a。
8. 二次函数的根与系数之间的关系：- 若二次函数 ax² + bx + c = 0 的解为 x₁和 x₂，则有 x₁ +x₂ = -b/a 且 x₁ * x₂ = c/a。
9. 等差数列的前n项和公式：- 等差数列的前n项和公式为 Sn = (n/2)(a₁ + an)，其中 Sn 表示前n项和，a₁表示首项，an 表示第n项。
10. 等比数列的前n项和公式：- 等比数列的前n项和公式为 Sn = a₁(1 - qⁿ)/(1 - q)，其中 Sn 表示前n项和，a₁表示首项，q 表示公比。
高中数学重要结论集锦
高中数学重要结论集锦1.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--2.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称. ②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称 ③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =- ④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- 3. 分数指数幂m na=0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）4. 对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m na a nb b m=.对数恒等式log a NaN =（0,1a a >≠）5. 若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，kk S S 23-成等差数列。
如下图所示：k kk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+- 5. 若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ，则'1212--=n n n n S S b a 。
艾优数学 高中数学常考72结论
艾优数学高中数学常考72结论以下是一些高中数学常考72结论,供参考:1. 四个正弦的和为2倍根号2。
2. 两个正弦的和等于它们的余弦的和。
3. 正弦的平方等于它的余弦的平方和。
4. 正弦的平方等于正弦加2倍根号2,即 sin2θ = 1 + 2sin2θ/2。
5. 正弦的平方等于正弦乘以cosθ。
6. 两个三角函数的乘积等于它们的积的乘积。
7. 两个三角函数的和等于它们的差。
8. 正弦定理:sin2θ + cos2θ = 1,其中θ是任意角度。
9. 余弦定理:cos2θ = 1 - sin2θ。
10. 对任意实数 a、b,有 (a+b)2 = a2 + 2ab + b2。
11. 三角函数的模长公式:θ的模长 = 正弦值减两倍的余弦值。
12. 三角函数的周期公式:θ的周期等于两个正弦值的和除以商的最小正周期。
13. 三角函数的最大值和最小值:正弦值最大时为θ = 2nπ(其中 n 是任何整数),余弦值最小时为θ =π/2。
14. 三角函数的最大值和最小值可以通过对数函数的变换得到。
15. 两个函数的和差公式:a + b = (a-b) + (a+b)/2,2a - b = 2(a-b),(2a+b)/2 = 2(a+b)/2。
16. 三角函数的括号公式:(a + b)2 = a2 + 2ab + b2,(2a + b)2= 4a2 + 4ab + 2ab + 2b2。
17. 对数函数的变换公式:loga(x) = xlna,其中 x 是底数,lna 是指数。
18. 三角函数的图像特点:正弦函数图像是一条上凸的直线,余弦函数图像是一条下凸的直线。
19. 正切函数图像特点:正切函数值总是介于 0 和 1 之间,且正切函数的值等于函数值于θ轴的夹角范围内取到的最小值和最大值。
20. 用三角函数求解函数的最值问题,可以通过求导的方法解决。
21. 利用三角函数的图像和性质,可以画出很多几何图形的特征,比如对称轴、周期、极角等。
高中数学所有常用公式结论
高中数学所有常用公式结论高中数学中常用的公式和结论是指在课程中经常出现的公式和结论。
这些公式和结论在高中数学的学习和应用中起着重要的作用。
下面是一些高中数学中常用的公式和结论的例子：1.二项式定理：$(a+b)^n=C^n_0a^nb^0+C^n_1a^{n-1}b^1+C^n_2a^{n-2}b^2+...+C^n_na^0b^n$2.三角函数的和差公式：$\sin(A \pm B) = \sin A \cos B \pm \cos A \sin B$$\cos(A \pm B) = \cos A \cos B \mp \sin A \sin B$$\tan(A \pm B) = \frac{\tan A \pm \tan B}{1 \mp \tan A \tan B}$3.三角函数的倍角公式：$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$$\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A = 2 \cos^2 A - 1 = 1 - 2\sin^2 A$$\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}$4.三角函数的半角公式：$\sin \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}$$\cos \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$$\tan \frac{A}{2} = \pm \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}}$5.三角函数的和化积公式：$\sin A + \sin B = 2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$\sin A - \sin B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$$\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$$\cos A - \cos B = -2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$6. 余弦定理：在任意三角形ABC中，三边的长度分别为$a, b, c$，$\angle A, \angle B, \angle C$为对应的内角，则有$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$7. 正弦定理：在任意三角形ABC中，三边的长度分别为$a, b, c$，$\angle A, \angle B, \angle C$为对应的内角，则有$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$8.直角三角形中的勾股定理：在直角三角形ABC中，AB是斜边，AC和BC是两条直角边，则有$AB^2=AC^2+BC^2$9.关于数列和数列的常用公式：*等差数列的通项公式：$a_n=a_1+(n-1)d$*等差数列的前n项和公式：$S_n = \frac{n}{2}(a_1 + a_n)$*等比数列的通项公式：$a_n = a_1 \cdot q^{n-1}$*等比数列的前n项和公式（当$q \neq 1$）：$S_n =\frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$以上只是一些高中数学中常用的公式和结论的例子，还有很多其他的公式和结论没有一一列举。
高中数学常用结论及公式大全
高中数学常用结论及公式大全高中数学作为数学学科中的一个重要组成部分，涵盖的范围非常广泛，包括数学思维、数学方法、数学工具等多个方面。
在高中数学学习中，结论和公式都是必不可少的内容，可以说是数学知识的核心。
本文将为大家介绍一些高中数学中常用的结论及公式，希望对读者的数学学习有所帮助。
一、几何中的结论及公式1.1 三角形中位线定理：三角形中位线的交点是三角形重心，重心到顶点的距离是中位线长度的二分之一。
1.2 直角三角形斜边上的高：一个直角三角形中，斜边上的高等于两直角边的乘积除以斜边长。
1.3 圆周角定理：圆周角等于其所对的弧的一半。
1.4 相似三角形定理：两个三角形相似的条件为它们的对应角度相等，或者说，两三角形相似的充要条件是它们的对应角度相等。
1.5 三角形内角和定理：任意一个三角形的三个内角和等于180度。
1.6 圆的面积公式：一个半径为r的圆的面积等于πr的平方。
1.7 圆的周长公式：一个半径为r的圆的周长等于2πr。
二、代数中的结论及公式2.1 一次函数的斜率公式：一次函数y=kx+b中，k为斜率，等于任意两点的纵坐标之差与横坐标之差的比。
2.2 二次函数解析式：二次函数y=ax的平方+bx+c的解析式为：y=a(x-h)的平方+k，其中h=-b/2a，k=c-b的平方/4a。
2.3 勾股定理：勾股定理指的是直角三角形中，斜边上的平方等于另外两条直角边上的平方和。
即c的平方=a的平方+b的平方。
2.4 平方差公式：(a+b)(a-b)=a的平方-b的平方。
这个公式在化简代数式的时候非常有用。
2.5 解一元二次方程：若一元二次方程ax的平方+bx+c=0的判别式D=b 的平方-4ac>0，则方程的两个实根为：x1=(-b+√D)/2a，x2=(-b-√D)/2a。
2.6 二次函数的根与系数之间的关系：对于一个二次函数y=ax的平方+bx+c，其根的公式为x1,x2=(-b±√(b的平方-4ac))/2a，其中根的个数依靠判别式D=b的平方-4ac的正负来决定。
高中数学二级结论(经典实用)
高中数学二级结论（经典实用）1、余弦定理：在任何三角形中，$a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$，$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$。
2、正弦定理：在任何三角形中，$\frac{a}{\sinA}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$，其中$R$为该三角形的外接圆半径。
3、勾股定理：对于任意直角三角形，斜边的平方等于两条直角边平方和。
4、解二元一次方程组：当方程组$ax+by=c$，$dx+ey=f$的系数矩阵的行列式不为零时，解得$x=\frac{ce-bf}{ae-bd}$，$y=\frac{af-cd}{ae-bd}$。
5、解二次方程：对于方程$ax^2+bx+c=0$，当$\Delta=b^2-4ac>0$时，有两个不同实根$x_1=\frac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}$；当$\Delta=0$时，有一个实根$x=-\frac{b}{2a}$；当$\Delta<0$时，有两个虚根$x_1=\frac{-b+\sqrt{-\Delta}}{2a}i$，$x_2=\frac{-b-\sqrt{-\Delta}}{2a}i$。
6、二次函数的解析式：对于二次函数$y=ax^2+bx+c$，它的顶点坐标为$\left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)$，其中$\Delta=b^2-4ac$；当$a>0$时，开口向上，当$a<0$时，开口向下。
7、解一元高次方程：对于方程$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0$，如果存在有理根$p/q$，则必有$p\mid a_0$，$q\mid a_n$，且$p,q$互质。
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1.德摩根公式 ();()U U U U U U C A B C A C B C A B C A C B ==.2U U A B A A B B A B C B C A =⇔=⇔⊆⇔⊆U A C B ⇔=ΦU C A B R ⇔=3. 若Ａ={123,,n a a a a },则Ａ的子集有2n 个,真子集有(2n －1)个,非空真子集有(2n －2)个4.二次函数的解析式的三种形式 ①一般式2()(0)f x ax bx c a =++≠;② 顶点式 2()()(0)f x a x h k a =-+≠;③零点式12()()()(0)f x a x x x x a =--≠. 三次函数的解析式的三种形式①一般式32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠ ②零点式123()()()()(0)f x a x x x x x x a =---≠5.设[]2121,,x x b a x x ≠∈⋅那么[]1212()()()0x x f x f x -->⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x ->⇔-在上是增函数；[]1212()()()0x x f x f x --<⇔[]1212()()0(),f x f x f x a b x x -<⇔-在上是减函数.设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果0)(>'x f ，则)(x f 为增函数；如果0)(<'x f ，则)(x f 为减函数.6.函数()y f x =的图象的对称性:①函数()y f x =的图象关于直线x a =对称()()f a x f a x ⇔+=-(2)()f a x f x ⇔-=②函数()y f x =的图象关于直2a bx +=对称()()f a x f b x ⇔+=-()()f a b x f x ⇔+-=. ③函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称()(2)f x f a x ⇔=--函数()y f x =的图象关于点(,)a b 对称()2(2)f x b f a x ⇔=--7.两个函数图象的对称性:①函数()y f x =与函数()y f x =-的图象关于直线0x =(即y 轴)对称.②函数()y f mx a =-与函数()y f b mx =-的图象关于直线2a bx m+=对称. 特殊地: ()y f x a =-与函数()y f a x =-的图象关于直线x a =对称③函数()y f x =的图象关于直线x a =对称的解析式为(2)y f a x =-④函数()y f x =的图象关于点(,0)a 对称的解析式为(2)y f a x =-- ⑤函数)(x f y =和)(1x f y -=的图象关于直线y=x 对称. 8.分数指数幂 m na =0,,a m n N *>∈，且1n >）.1m nm naa-=（0,,a m n N *>∈，且1n >）.9. log (0,1,0)b a N b a N a a N =⇔=>≠>.log log log a a a M N MN +=(0.1,0,0)a a M N >≠>>log log log a a aMM N N-=(0.1,0,0)a a M N >≠>> 10.对数的换底公式 log log log m a m N N a =.推论 log log m n a a nb b m =.对数恒等式log aNa N =（0,1a a >≠）11.11,1,2n n n s n a s s n -=⎧=⎨-≥⎩( 数列{}n a 的前n 项的和为12n n s a a a =+++).12.等差数列{}n a 的通项公式*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈；13.等差数列{}n a 的变通项公式d m n a a m n )(-+=对于等差数列{}n a ，若q p m n +=+，(m,n,p,q 为正整数)则q p m n a a a a +=+。
14.若数列{}n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k k S S -2，k k S S 23-成等差数列。
如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 其前n 项和公式 1()2n n n a a s +=1(1)2n n na d -=+211()22d n a d n =+-. 15.数列{}n a 是等差数列⇔n a kn b =+,数列{}n a 是等差数列⇔n S =2An Bn +16．设数列{}n a 是等差数列，奇S 是奇数项的和，偶S 是偶数项项的和，n S 是前n 项的和，则有如下性质：○1前n 项的和偶奇S S S n += ○2当n 为偶数时，d 2nS =-奇偶S ，其中d 为公差；○3当n 为奇数时，则中偶奇a S =-S ，中奇a 21n S +=，中偶a 21n S -=，11S S -+=n n 偶奇，n =-+=-偶奇偶奇偶奇S S S S S S S n （其中中a 是等差数列的中间一项）。
17．若等差数列{}n a 的前12-n 项的和为12-n S ，等差数列{}n b 的前12-n 项的和为'12-n S ， 则'1212--=n n n n S S b a 。
18.等比数列{}n a 的通项公式1*11()n nn a a a q q n N q-==⋅∈； 等比数列{}n a 的变通项公式m n m n q a a -=其前n 项的和公式11(1),11,1n n a q q s q na q ⎧-≠⎪=-⎨⎪=⎩或11,11,1n n a a qq q s na q -⎧≠⎪-=⎨⎪=⎩. 19. 对于等比数列{}n a ，若v u m n +=+(n,m,u,v 为正整数)，则v u m n a a a a ⋅=⋅ 也就是： =⋅=⋅=⋅--23121n n na a a a a a 。
如图所示：nn a a n a a n n a a a a a a ⋅⋅---112,,,,,,1232120. 数列{}n a 是等比数列，n S 是其前n 项的和，*N k ∈，那么k S ，k kS S -2，kk S S 23-成等比数列。
如下图所示：kkk kk S S S k k S S k k k a a a a a a a a 3232k31221S 321-+-+++++++++++ 21. 同角三角函数的基本关系式 22sin cos 1θθ+=，tan θ=θθcos sin ，tan 1cot θθ⋅= . 2211tan cos αα+=22. 正弦、余弦的诱导公式212(1)sin ,sin()2(1)s ,nn n n co n απαα-⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数212(1)s ,s()2(1)sin ,nn co n n co n απαα+⎧-⎪+=⎨⎪-⎩为偶数为奇数即:奇变偶不变,符号看象限,如cos()cos ,sin()sin 22sin()sin ,cos()cos ππααααπααπαα+=-+=-=-=-23. 和角与差角公式sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±;cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=.22sin()sin()sin sin αβαβαβ+-=-(平方正弦公式); 22cos()cos()cos sin αβαβαβ+-=-.sin cos a b αα+)αϕ+(辅助角ϕ所在象限由点(,)a b 的象限决定,tan baϕ=). 24. 二倍角公式 sin 2sin cos ααα=.2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.（升幂公式）221cos 21cos 2cos ,sin 22αααα+-==（降幂公式）22tan tan 21tan ααα=-. 25.万能公式:22tan sin 21tan ααα=+, 221tan cos 21tan ααα-=+ 26.半角公式:sin 1cos tan 21cos sin ααααα-==+ 27. 三函数的周期公式函数sin()y A x ωϕ=+，x ∈R 及函数cos()y A x ωϕ=+，x ∈R(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期2T πω=；若ω未说明大于0,则2||T πω=函数tan()y x ωϕ=+，,2x k k Z ππ≠+∈(A,ω,ϕ为常数，且A ≠0，ω＞0)的周期T πω=.28. sin y x =的单调递增区间为2,222k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦单调递减区间为32,222k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦，对称轴为()2x k k Z ππ=+∈,对称中心为(),0k π()k Z ∈ 29. cos y x =的单调递增区间为[]2,2k k k Z πππ-∈单调递减区间为[]2,2k k k Z πππ+∈， 对称轴为()x k k Z π=∈,对称中心为,02k ππ⎛⎫+⎪⎝⎭()k Z ∈ 30. tan y x =的单调递增区间为,22k k k Z ππππ⎛⎫-+∈ ⎪⎝⎭，对称中心为(,0)()2k k Z π∈31. 正弦定理?2sin sin sin a b cR A B C=== 32. 余弦定理2222cos a b c bc A =+-;2222cos b c a ca B =+-; 2222cos c a b ab C =+-.33.面积定理（1）111222a b c S ah bh ch ===（a b c h h h 、、分别表示a 、b 、c 边上的高）. （2）111sin sin sin 222S ab C bc A ca B ===.(3)OABS ∆=1tan 2OA OB θ(θ为,OA OB 的夹角)34.三角形内角和定理 在△ABC 中，有()222C A BA B C C A B πππ+++=⇔=-+⇔=-222()C A B π⇔=-+.35.平面两点间的距离公式,A B d =||AB AB AB =⋅=11(,)x y ，B 22(,)x y ).36.向量的平行与垂直 设a =11(,)x y ,b =22(,)x y ，且b ≠0，则 a ∥b ⇔b =λa 12210x y x y ⇔-=. a ⊥b(a ≠0)⇔a ·b=012120x x y y ⇔+=.37.线段的定比分公式 ?设111(,)P x y ，222(,)P x y ，(,)P x y 是线段12P P 的分点,λ是实数，且12PP PP λ=，则121211x x x y y y λλλλ+⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩⇔121OP OP OP λλ+=+⇔12(1)OP tOP t OP =+-（11t λ=+）. 38.若OA xOB yOB =+则A,B,C 共线的充要条件是x+y=139. 三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为11A(x ,y )、22B(x ,y )、33C(x ,y ),则△ABC 的重心的坐标是123123(,)33x x x y y y G ++++.40.点的平移公式 ''''x x h x x h y y k y y k⎧⎧=+=-⎪⎪⇔⎨⎨=+=-⎪⎪⎩⎩''OP OP PP ⇔=+ (图形F 上的任意一点P(x ，y)在平移后图形'F 上的对应点为'''(,)P x y ，且'PP 的坐标为(,)h k ). 41.常用不等式：（1）,a b R ∈⇒222a b ab +≥(当且仅当a ＝b 时取“=”号)．（2）,a b R +∈⇒2a b+≥当且仅当a ＝b 时取“=”号)． （3）3333(0,0,0).a b c abc a b c ++≥>>>（4）b a b a b a +≤+≤-注意等号成立的条件(5)10,0)112a b a b a b+≤≤≤>>+ 42.极值定理 已知y x ,都是正数，则有（1）如果积xy 是定值p ，那么当y x =时和y x +有最小值p 2；（2）如果和y x +是定值s ，那么当y x =时积xy 有最大值241s .43.一元二次不等式20(0)ax bx c ++><或2(0,40)a b ac ≠∆=->，如果a 与2ax bx c ++同号，则其解集在两根之外；如果a 与2ax bx c ++异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.121212()()0()x x x x x x x x x <<⇔--<<；121212,()()0()x x x x x x x x x x <>⇔--><或.44.含有绝对值的不等式 当a> 0时，有22x a x a a x a <⇔<⇔-<<.22x a x a x a >⇔>⇔>或x a <-.45.无理不等式（1()0()0()()f x g x f x g x ≥⎧⎪>⇔≥⎨⎪>⎩（22()0()0()()0()0()[()]f x f x g x g x g x f x g x ≥⎧≥⎧⎪>⇔≥⎨⎨<⎩⎪>⎩或. （32()0()()0()[()]f x g x g x f x g x ≥⎧⎪<⇔>⎨⎪<⎩. 46.指数不等式与对数不等式 (1)当1a >时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔>; ()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪>⎩.(2)当01a <<时,()()()()f x g x a a f x g x >⇔<;()0log ()log ()()0()()a a f x f x g x g x f x g x >⎧⎪>⇔>⎨⎪<⎩47.斜率公式 2121y y k x x -=-（111(,)P x y 、222(,)P x y ）直线的方向向量v=(a,b),则直线的斜率为k =(0)b a a≠ 48.直线方程的五种形式:（1）点斜式 11()y y k x x -=- (直线l 过点111(,)P x y ，且斜率为k )． （2）斜截式 y kx b =+(b 为直线l 在y 轴上的截距). （3）两点式112121y y x x y y x x --=--(12y y ≠)(111(,)P x y 、222(,)P x y (12x x ≠)).（4）截距式1(,x ya b x y ab+=≠≠分别为轴轴上的截距,且a 0,b 0) （5）一般式 0Ax By C ++=(其中A 、B 不同时为0).49.两条直线的平行和垂直 （1）若111:l y k x b =+，222:l y k x b =+ ①121212,l l k k b b ⇔=≠;②12121l l k k ⊥⇔=-. (2)若1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,①121221122100l l A B A B AC A C ⇔-=-≠且；②1212120l l A A B B ⊥⇔+=； 50.夹角公式 2121tan ||1k k k k α-=+.(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)12211212tan A B A B A A B B α-=+(1111:0l A x B y C ++=,2222:0l A x B y C ++=,12120A A B B +≠).直线12l l ⊥时，直线l 1与l 2的夹角是2π. 直线l 1到l 2的角是2121tan 1k k k k α-=+(111:l y k x b =+，222:l y k x b =+,121k k ≠-)51.点到直线的距离d =(点00(,)P x y ,直线l ：0Ax By C ++=).52．两条平行线的间距离d =直线l 1：122120,0,)Ax By C l Ax By C C C ++=++=≠).53. 圆的四种方程（1）圆的标准方程 222()()x a y b r -+-=.（2）圆的一般方程 220x y Dx Ey F ++++=(224D E F +-＞0).（3）圆的参数方程 cos sin x a r y b r θθ=+⎧⎨=+⎩.（4）圆的直径式方程 1212()()()()0x x x x y y y y --+--=(圆的直径的端点是11(,)A x y 、22(,)B x y ). 54.圆中有关重要结论:(1)若P(0x ,0y )是圆222x y r +=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200xx yy r +=(2)若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=上的点,则过点P(0x ,0y )的切线方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=(3) 若P(0x ,0y )是圆222x y r +=外一点,由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200xx yy r +=(4) 若P(0x ,0y )是圆222()()x a y b r -+-=外一点, 由P(0x ,0y )向圆引两条切线, 切点分别为A,B 则直线AB 的方程为200()()()()x a x a y b y b r --+--=55.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的参数方程是cos sin x a y b θθ=⎧⎨=⎩.56.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>焦半径公式 )(21c a x e PF +=，)(22x ca e PF -=.56.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的准线方程为2a x c =±,椭圆22221(0)x y a b b a +=>>的准线方程为2a y c=±57.椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为22b a是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2tan2b θ59.双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的准线方程为2a x c =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的准线方程为2a y c=±60. 双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的渐近线方程为by x a =±双曲线22221(0,0)x y a b b a -=>>的的渐近线方程为ay x b =±是双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>上一点,F 1,F 2 是它的两个焦点,∠F 1P F 2=θ则△P F 1 F 2的面积=2cot 2b θ62.抛物线px y 22=上的动点可设为P ),2(2y py或或)2,2(2pt pt P P (,)x y ，其中 22y px =.63. P(0x ,0y )是抛物线px y 22=上的一点,F 是它的焦点,则|PF|=0x +2p64. 抛物线px y 22=的焦点弦长22sin pl θ=,其中θ是焦点弦与x 轴的夹角65.直线与圆锥曲线相交的弦长公式AB =212||1AB x x k a=-=+（弦端点A ),(),,(2211y x B y x ，由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去y 得到02=++c bx ax ，0∆>,k 为直线的斜率）.若（弦端点A ),(),,(2211y x B y x 由方程⎩⎨⎧=+=0)y ,x (F bkx y 消去x 得到20ay by c ++=，0∆>,k 为直线的斜率）.则1221||1AB y y ak=-=+66.圆锥曲线(,)0F x y =关于点00(,)P x y 成中心对称的曲线是00(2-,2)0F x x y y -=.67.共线向量定理 对空间任意两个向量a 、b (b ≠0 )，a ∥b ⇔存在实数λ使a =λb ． 68.对空间任一点O 和不共线的三点A 、B 、C ，满足OP xOA yOB zOC =++， 则四点P 、A 、B 、C 是共面⇔1x y z ++=． 69. 空间两个向量的夹角公式 cos 〈a ，b 〉=（a ＝123(,,)a a a ，b ＝123(,,)b b b ）.70.直线AB 与平面所成角sin||||AB marc AB m β⋅=(m 为平面α的法向量).71.二面角l αβ--的平面角cos||||m n arc m n θ⋅=或cos ||||m narc m n π⋅-（m ，n 为平面α，β的法向量）.72.设AC 是α内的任一条直线，且BC ⊥AC ，垂足为C ，又设AO 与AB 所成的角为1θ，AB 与AC 所成的角为2θ，AO 与AC 所成的角为θ．则12cos cos cos θθθ=.73.若夹在平面角为ϕ的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是1θ,2θ,与二面角的棱所成的角是θ，则有22221212sin sin sin sin 2sin sin cos ϕθθθθθϕ=+- ;1212||180()θθϕθθ-≤≤-+(当且仅当90θ=时等号成立).74.空间两点间的距离公式 若A 111(,,)x y z ，B 222(,,)x y z ，则 ,A B d =||AB AB AB =⋅= 75.点Q 到直线l距离h =(点P 在直线l 上，直线l 的方向向量a =PA ，向量b =PQ ).76.异面直线间的距离 ||||CD n d n ⋅=(12,l l 是两异面直线，其公垂向量为n ，C D 、分别是12,l l 上任一点，d 为12,l l 间的距离). 77.点B 到平面α的距离 ||||AB n d n ⋅=（n 为平面α的法向量，AB 是经过面α的一条斜线，A α∈）. 78. 2222123l l l l =++222123cos cos cos 1θθθ⇔++=（长度为l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为123l l l 、、，夹角分别为123θθθ、、）（立几中长方体对角线长的公式是其特例）.79. 面积射影定理 'cos S S θ=(平面多边形及其射影的面积分别是S 、'S ，它们所在平面所成锐二面角的为θ). 80.球的半径是R ，则其体积是343V R π=,其表面积是24S R π=． 81.1,,3V Sh V Sh ==锥柱82.分类计数原理（加法原理）12n N m m m =+++.83.分步计数原理（乘法原理）12n N m m m =⨯⨯⨯.84.排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！)(m n n -.(n ，m ∈N *，且m n ≤)．85.排列恒等式 （1）1(1)m m n n A n m A -=-+;（2）1m mn n n A A n m-=-;（3）11m m n n A nA --=; （4）11n n n n n n nA A A ++=-;（5）11m m m n n n A A mA -+=+. 86.组合数公式 mnC =m n m mA A =m m n n n ⨯⨯⨯+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -⋅(n ，m ∈N *，且m n ≤).87.组合数的两个性质(1) m n C =m n n C - ;(2) m n C +1-m n C =m n C 1+ 88.组合恒等式（1）11m m n n n m C C m --+=;（2）1m mn n n C C n m-=-; （3）11m m n n n C C m--=; （4） 11k k n n kC nC --= （5）∑=nr r n C 0=n 2;（5）1121++++=++++r n r n r r r r r r C C C C C .89.排列数与组合数的关系是：m mn n A m C =⋅！ .90.二项式定理 n n n r r n r n n n n n n nn b C b a C b a C b a C a C b a ++++++=+--- 222110)( ; 二项展开式的通项公式：r r n r n r b a C T -+=1)210(n r ，，， =. 91.等可能性事件的概率()mP A n=. 92.互斥事件A ，B 分别发生的概率的和P(A ＋B)=P(A)＋P(B)． 93.n 个互斥事件分别发生的概率的和P(A 1＋A 2＋…＋A n )=P(A 1)＋P(A 2)＋…＋P(A n )．94.独立事件A ，B 同时发生的概率P(A ·B)= P(A)·P(B).个独立事件同时发生的概率 P(A 1· A 2·…· A n )=P(A 1)· P(A 2)·…· P(A n )． 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率()(1).k k n k n n P k C P P -=-97.函数)(x f y =在点0x 处的导数是曲线)(x f y =在))(,(00x f x P 处的切线的斜率)(0x f '，相应的切线方程是))((000x x x f y y -'=-. 98.导数与函数的单调性的关系 ㈠0)(>'x f 与)(x f 为增函数的关系。