考数学第二编中档题突破专项训练篇中档题型训练(三)一次函数和反比例函数结合试题

中档题型训练(三) 一次函数和反比例函数结合纵观近8年河北省中考试题，一次函数与反比例函数的综合是中考命题的重点内容．侧重考查用待定系数法确定反比例函数和一次函数解析式及解决相关问题．利用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式【例1】(2016安徽中考)如图，已知反比例函数y ＝k 1x与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A(1，8)，B(－4，m)．(1)求k 1，k 2，b 的值； (2)求△AOB 的面积；(3)若M(x 1，y 1)，N(x 2，y 2)是反比例函数y ＝k 1x图象上的两点，且x 1<x 2，y 1<y 2，指出点M ，N 各位于哪个象限，并简要说明理由．【解析】(1)先把点A 的坐标代入y ＝k 1x可求得k 1＝8，则可得到反比例函数的解析式，再把B(－4，m)的坐标代入反比例函数的解析式求得m ，得到点B 的坐标，然后利用待定系数法确定一次函数的解析式即可求得结果；(2)由(1)知一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象与y 轴的交点坐标为(0，6)，可求S △AOB ＝12×6×|－4|＋12×6×1＝15；(3)根据反比例函数的性质即可得到结果．【学生解答】解：(1)∵反比例函数y ＝k 1x与一次函数y ＝k 2x ＋b 的图象交于点A(1，8)，B(－4，m)，∴k 1＝8，∴B(－4，－2)．∴⎩⎪⎨⎪⎧8＝k 2＋b ，－2＝－4k 2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧k 2＝2，b ＝6；(2)由(1)知一次函数y ＝2x ＋6的图象与y 轴的交点坐标为(0，6)，∴S △AOB ＝12×6×|－4|＋12×6×1＝15；(3)M 位于第三象限，N 位于第一象限．理由：∵k 1＝8>0，∴反比例函数y ＝k 1x的图象位于第一、三象限，且在每个象限内，y 随x 的增大而减小．∵x 1<x 2，y 1<y 2，∴M ，N 在不同的象限，∴M 位于第三象限，N 位于第一象限．1．(2016唐山路北区一模)如图，已知A(－4，0.5)，B(－1，2)是一次函数y ＝ax ＋b 与反比例函数y ＝m x(m<0)图象的两个交点，AC ⊥x 轴于点C ，BD ⊥y 轴于点D.(1)根据图象直接回答：在第二象限内，当x 取何值时，一次函数的值大于反比例函数的值？ (2)求一次函数解析式及m 的值；(3)P 是线段AB 上一点，连接PC ，PD ，若△PCA 和△PDB 面积相等，求点P 的坐标．解：(1)在第二象限内，当－4<x －1<时，一次函数的值大于反比例函数的值；(2)把A(－4，0.5)，B(－1，2)的坐标代入y ＝ax ＋b ，得⎩⎪⎨⎪⎧－4a ＋b ＝0.5，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝52，∴一次函数的解析式为y ＝12x ＋52，把B(－1，2)的坐标代入y ＝mx，得m ＝－1×2＝－2；(3)如图，连接PC ，PD.设点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，12t ＋52.∵△PCA 和△PDB 的面积相等，∴12×12×(t ＋4)＝12×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫2－12t －52，解得t ＝－52，∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，54. 与面积有关的问题【例2】(2016白银中考)如图，在平面直角坐标系中，直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)，B 两点，BC ⊥x 轴，垂足为C ，△AOC 的面积是1.(1)求m 、n 的值；(2)求直线AC 的解析式．【思路分析】(1)因为A(－1，a)，所以B 点的横坐标为1，即C(1，0)．再由S △AOC ＝1，得A(－1，2)，再代入y ＝mx 与y ＝nx即可．(2)将A ，C 坐标代入即可．【学生解答】解：(1)∵直线y ＝mx 与双曲线y ＝nx相交于A(－1，a)、B 两点，∴B 点横坐标为1，即C(1，0)，∵△AOC 的面积为1，∴A(－1，2)，将A(－1，2)代入y ＝mx ，y ＝nx可得m ＝－2，n ＝－2；(2)设直线AC 的解析式为y ＝kx ＋b ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧－k ＋b ＝2，k ＋b ＝0.解得k ＝－1，b ＝1，∴直线AC 的解析式为y ＝－x ＋1.2．(2016泰安中考)一次函数y ＝kx ＋b 与反比例函数y ＝mx的图象相交于A(－1，4)，B(2，n)两点，直线AB交x 轴于点D.(1)求一次函数与反比例函数的解析式；(2)过点B 作BC⊥y 轴，垂足为C ，连接AC 交x 轴于点E ，求△AED 的面积S.解：(1)y ＝－4x，y ＝－2x ＋2；(2)∵△AED 的高为4，△ACB 的高为：4＋2＝6.∵ED∥BC，∴△AED ∽△ACB ，∴S △AED S △ACB ＝(46)2＝49，∴S △AED ＝49×12×2×6＝83. 3．(2016东营中考)如图是函数y ＝3x 与函数y ＝6x 在第一象限的图象，点P 是y ＝6x的图象上一动点，PA ⊥x 轴于点A ，交y ＝3x 的图象与点C ，PB ⊥y 轴于点B ，交y ＝3x的图象于点D.(1)求证：D 是BP 的中点； (2)求四边形ODPC 的面积．解：(1)∵点P 在函数y ＝6x 上，∴设P 点坐标为(6m ，m)，∵点D 在函数y ＝3x上，BP ∥x 轴，∴设D 点坐标为(3m ，m)，由题意可得BD ＝3m ，BP ＝6m ，故D 是BP 的中点； (2)S 四边形ODPC ＝3.与最小(大)值有关的问题【例3】一次函数y ＝mx ＋5的图象与反比例函数y ＝kx(k≠0)在第一象限的图象交于A(1，n)和B(4，1)两点，过点A 作y 轴的垂线，垂足为M.(1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△OAM 的面积S ；(3)在y 轴上求一点P ，使PA ＋PB 最小．【思路分析】(3)作点A 关于y 轴的对称点N ，连接BN 交y 轴于点P ，则点P 即为所求．【学生解答】解：(1)将B(4，1)代入y ＝k x ，得1＝k 4.∴k ＝4，∴y ＝4x ，将B(4，1)代入y ＝mx ＋5，得1＝4m＋5，∴m ＝－1，∴y ＝－x ＋5；(2)在y ＝4x 中，令x ＝1，解得y ＝4，∴A(1，4)，∴S ＝12×1×4＝2；(3)作点A关于y 轴的对称点N ，则N(－1，4)，连接BN 交y 轴于点P ，点P 即为所求．设直线BN 的关系式为y ＝kx ＋b ，由⎩⎪⎨⎪⎧4k ＋b ＝1，－k ＋b ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－35，b ＝175，y ＝－35x ＋175，∴P ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，175.4．(2016保定十七中二模拟)如图，一次函数y ＝－x ＋4的图象与反比例函数y ＝kx(k 为常数，且k≠0)的图象交于A(1，a)，B 两点．(1)求反比例函数的解析式及点B 的坐标；(2)在x 轴上找一点P ，使PA ＋PB 的值最小，求满足条件的点P 的坐标及△PAB 的面积．解：(1)y ＝3x，B(3，1)；(2)作B 点关于x 轴的对称点B′，得到B′(3，－1)，连接AB′交x 轴于点P′，连接P′B，则有：PA ＋PB＝PA ＋PB′≥AB′，当P 点和P′点重合时取等号．易得直线AB′的解析式为y ＝－2x ＋5，令y ＝0，得x ＝52.∴P ′(52，0)，即满足条件的P 的坐标为(52，0)，设y ＝－x ＋4交x 轴于点C ，则C(4，0)，∴S △PAB ＝S △APC －S △BPC ＝12×PC ×(y A －y B )，即S △PAB ＝12×(4－52)×(3－1)＝32.5．(2016宿迁中考)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(8，1)，B(0，－3)，反比例函数y ＝kx(x>0)的图象经过点A ，动直线x ＝t(0<t<8)与反比例函数的图象交于点M ，与直线AB 交于点N.(1)求k 的值；(2)求△BMN 面积的最大值； (3)若MA⊥AB，求t 的值．解：(1)将A 点坐标(8，1)代入y ＝kx得k ＝8；(2)设直线AB 的解析式为y ＝mx ＋b ，将A 点坐标(8，1)和B 点坐标(0，－3)代入得⎩⎪⎨⎪⎧1＝8m ＋b ，－3＝b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝12，b ＝－3，故直线AB 的解析式为y ＝12x －3，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，t 2－3，又M ⎝ ⎛⎭⎪⎫t ，8t ，故MN ＝8t －t 2＋3，△BMN 面积为S ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫8t －t 2＋3t ＝－14t 2＋32t ＋4＝－14(t －3)2＋254，所以当t ＝3时，△BMN 面积的最大值为254；(3)如图，过A 作AQ⊥y 轴于点Q ，延长AM 交y 轴于点P ，因为AM⊥AB .所以△ABQ∽△PAQ，故AQ BQ ＝PQ AQ ，即84＝PQ8，所以PQ ＝16，所以P(0，17)．又A(8，1)．所以直线AP 的解析式为y ＝－2x ＋17.所以－2x ＋17＝8x ，解得x 1＝12，x 2＝8(舍去)，所以t ＝12.与平移有关的问题【例4】(2016沧州九中模拟)如图，直线y ＝12x 与双曲线y ＝k x (k>0，x>0)交于点A ，将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后与y 轴交于点C ，与双曲线y ＝kx(k>0，x>0)交于点B ，若OA ＝3BC ，求k 的值．【解析】分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，可得B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4. 【学生解答】解：∵将直线y ＝12x 向上平移4个单位长度后，与y 轴交于点C ，∴平移后直线的解析式为y ＝12x ＋4，分别过点A ，B 作AD⊥x 轴，BE ⊥x 轴，CF ⊥BE 于点F ，设A ⎝⎛⎭⎪⎫3x ，32x ，∵OA ＝3BC ，BC ∥OA ，CF ∥x 轴，∴CF ＝13OD ，又∵点B 在直线y ＝12x ＋4上，∴B ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ，12x ＋4，∵点A ，B 在双曲线y ＝k x (x>0)上，∴3x ×32x ＝x×⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋4，解得x ＝1(x ＝0直接舍去)，∴k ＝3×1×32×1＝92.6．(2016成都中考)如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数y ＝kx 的图象与反比例函数直线y ＝mx的图象都经过点A(2，－2)．(1)分别求这两个函数的解析式；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后与y 轴相交于点B ，与反比例函数的图象在第四象限内的交点为C ，连接AB ，AC ，求点C 的坐标及△AB C 的面积．解：(1)将点A(2，－2)代入正比例函数y ＝kx 与反比例函数y ＝mx，则k ＝－1，m ＝－4，则正比例函数的解析式为y ＝－x ，反比例函数的解析式为y ＝－4x；(2)将直线OA 向上平移3个单位长度后的函数解析式y ＝－x ＋3，令x ＝0，则y ＝3，B 点的坐标为(0，3)，将一次函数与反比例函数联立，⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－x ＋3，y ＝－4x ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝4，y 1＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝－1，y 2＝4.∵一次函数与反比例函数图象在第四象限的交点为C ，∴C 点坐标为(4，－1)，过点A 作x 轴的垂线交BC 于点D ，∴S △ABC ＝S △ABD ＋S △ACD ＝6.。