山东大学量子力学考研辅导

北京科技大学量子力学考研真题

北京科技大学2003——2004学年度第一学期 量子力学与原子物理试题答案 可能会有用的公式： 薛定谔方程：?H i t ψψ? =? 一维定态薛定谔方程：()()()2 2 2 2d V x x E x m dx ψψ??-+= ??? 动量算符：?p i x ?=? 高斯积分： 2 x e dx α∞ --∞ = ? 一。[30分]一维无限深方势阱： 质量为m 的粒子在一维无限深方势阱中运动，势阱可表示为： ()()0;0,;0,x a V x x x a ∈??=?∞<>?? 1。[10分]求解能量本征值n E 和归一化的本征函数()n x ψ； 2。[5分]若已知0t =时，该粒子状态为：())12,0()()x x x ψψψ=+，求t 时刻该粒子的波函数； 3。[5分]求t 时刻测量到粒子的能量分别为1E 和2E 的几率是多少？ 4。[10分]求t 时刻粒子的平均能量E 和平均位置x 。 解：1）[10分] 222 22n n n x a n E ma πψπ???=? ??????=??

2）[5分] ()(),n iE t n n x t x e ψψ- = t 时刻的波函数：( )1212,()()iE t iE t x t x e x e ψψψ--? ?=+?? 3）[5分] t 时刻测量到粒子的能量为1E 的几率是：()() 2 11 ,,2 x t x t ψψ= t 时刻测量到粒子的能量为2E 的几率是：()() 2 21,,2 x t x t ψψ= 4）[10分] 平均能量：()()()()22122 5?,,,,24E E E x t E x t x t i x t t ma πψψψψ+? ====? 平均位置：()()()122 16,,cos 29E E t a a x x t x x t ψψπ-??= =- ??? 二。[30分]一维线性谐振子： 质量为m 的粒子在一维线性谐振子势：22 ()2 m x V x ω=中运动。按占有数表象，哈密顿可 写为：( ) ? 12 H a a ω= + 。这里?a 是湮灭算符，? ? a 是产生算符： ?i a x p m i a x p m ωω??=+?? ? ?? ? ?=-???? 已知一维线性谐振子基态波函数为： 1。[10分]利用产生算符性质：()()? 01?a x x ψψ=，求线性谐振子第一激发态在坐标表象下的波函数：()1x ψ；（()1 2 42 0m x m x e ωωψπ-??= ??? ） 2。[10分]假设粒子处在基态()0x ψ，突然改变一维线性谐振子的“振动频率”为2ωω'=，粒子新的基态能是多少？新的基态波函数是什么？ 3。[10分]假设这时粒子波函数仍然保持不变（()124 2 m x m x e ωωψπ- ?? = ??? ），此时测量粒子能量， 发现粒子能量取新的基态能的几率是多少？ 解：1）[10分]

哈工大考研量子力学试题

2.2.3 2008年真题 【题目】1. 轨道角动量的三个分量x L ，y L 和z L 是否有共同本征态？若果有， 写出一个来；如果没有，请说明为什么 【解题】 没有，^^^ ,x y z L L i L ?? =???? 不对易，故无共同本征态 【分析】 本题考察两个算符具有共同本征态的条件——两个算符对易。属于 基础概念的考核。对易这一概念是量子力学考试中肯定会出现的概念，通常穿插在答题中间，对常用的对易关系一定要做到熟练运用，记忆的程度。 【题目】2. 已知哈密顿量2 21()2H V r μ =- ?+的本征值为n E ，相应的本征函数 为()n r ?，求2 22()2H V r C μ =- ?++的本征值和本征函数（C 为常数）。 【解题】 ^ 1^^^ 211()() ()()()()()()()()() n n n n n n n n n n n n H r E r H r H C r H r C r E r C r E C r ?????????==+=+=+=+ 由上式知，^ 2H 的本征函数为()n r ?，本征值为n E C + 【分析】首先写出哈密顿量的本征方程，通过两个不同哈密顿量的关系可以得出 相关结果

【题目】3. 计算对易关系2[,]?;[,]?z x y z p L L iL L =+= 【解题】 （1） 22^^^^^^^^^^^^ ^^ ^^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ,,,,()()()0 z z z z y x y x y x x y y x x y p L L p L p p p L p i p i i p j p p i p i i p j i p p p p p p p p ????????=-=--???????? ???????????? =----=--+-= （2） ^^^^^^^^^ ,,,x y z x z y z y x L i L L L L i L L i L i L ?????? +=+=+???????????? 【分析】本题需要掌握常见量子算符的对易关系，比如坐标与动量、动量与 动量、角动量与动量，并且有关对易几条性质得知道，比如 ?? ? ???+??????=??????∧∧∧∧∧∧∧∧∧C A B C B A C ,,B A ，，能将复杂的算符用一些简单并且我们所熟知的算符表示出来，并化简得出结果 【题目】4. 利用不确定关系估算线性谐振子的基态能量。 【解题】 2222 (),()x x x p p p =-=- 对线性谐振子 0x p == 2222,x x p p ∴==

中国科学技术大学量子力学考研内部讲义一(01-06)

量子力学理论处理问题的思路 ① 根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出Schr?dinger 方程； ② 解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及E n ，求得ψn ； ③ 描绘ψn ， ψn *ψn 等图形，讨论其分布特点； ④ 用力学量算符作用于ψn ，求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质； ⑤ 联系实际问题，应用所得结果。 有人认为量子力学的知识很零碎，知识点之间好像很孤立，彼此之间联系不是很紧凑，其实不是这样的，我们可以将量子力学分成好几个小模块来学习的，但是每个模块之间都有一定的联系，都相互支持的，比如算符和表象，表面看二者之间好像不相关，实际上在不同的表象中算符的表示是不一样的：在坐标表象中动 量算符?p 和坐标算符?x 之间的关系是?x p i x ?=-?，在动量表象中它们之间的关系为??x x i p ?=?，所以我们在解答一个题目的时候一定要明确所要解决的问题是在哪个表象下，当然一般情况下都是在坐标表象下的。 这里还有一点建议就是经典力学跟量子力学是相对应的，前者是描述宏观领域中物体的运动规律的理论而后者是反映微观粒子的运动规律的理论，所以量子学中的物理量都可以与经典力学中的物理量相对应：薛定谔方程与运动方程；算符与力学量；表象与参考系，所以我们在解答量子力学问题的时候不要单纯的把它当作一个题目来解决，而是分析一个“有趣”的物理现象！ 针对中科大历年的硕士研究生入学考试，我们可以将量子力学分为六个模块来系统学习：一、薛定谔方程与波函数；二、力学量算符；三、表象；四、定态问题（一维和三维）；五、微扰近似方法；六、自旋，其实前三部分是后三部分的基础，后三部分为具体的研究问题提供方法。所以在以后的学习中我们就从这几部分来学习量子力学，帮助大家将所有的知识系统起来。 第一部分 薛定谔方程与波函数 在经典力学中我们要明确一个物体的运动情况，就需要通过解运动方程得到物体的位移与时间的关系、速度与时间的关系等等，同样的道理，在量子力学中我们要解薛定谔方程，得到粒子的波函数，也就明确了粒子的运动情况，然后再通过对波函数的分析就能得到一系列与之有关的力学量和整个体系的性质。所以说薛定谔方程和波函数是学好量子力学的基础！ 一．波函数（基本假设I ） 在坐标表象中，无自旋的粒子或虽有自旋但不考虑自旋运动的粒子的态，用波函数(,)r t ψ表示，2(,)r t d ψτ表示t 时刻粒子处于空间r 处d τ体积元内的几率，即2(,)r t ψ代表粒子的几率密度。 1. 根据波函数的物理意义，波函数(,)r t ψ应具有的性质为： ⑴有限性－在全空间找到粒子的几率2 (,)r t d ψτ?取有限值，即(,)r t ψ是平方可积的； 粒子在全空间出现的几率和等于1，假如2 (,)1r t d ?τ∞≠?，我们找到一个比例系数

2021量子力学考研与量子力学考点复习笔记

2021量子力学考研与量子力学考点复习笔 记 一、考研真题与解题的思路 43试求屏蔽库仑场的微分散射截面。[浙江大学2014研] 【解题的思路】 对于屏蔽库仑场，可以直接使用玻恩近似计算微分散射截面。 【解答】 由玻恩近似可得微分散射截面为 【知识储备】 玻恩近似法 ①适用条件 （高能散射） ②微分散射截面

其中U （r ）为粒子和散射中心相互作用的势能，K →＝k →′－k →，k →′，k → 分别为粒子散射前后的波矢，并且，θ是散射角。 【拓展发散】 对于本题所给信息，也可以用分波法计算，并将计算结果与玻恩近似的结果比较。 44设算符A 和B 不对易， ，但A 和B 都与C 对易，即 ， ，试证明： （1），n 为正整数； （2） [厦门大学2012研] 【解题的思路】 根据所给条件，利用对易恒等式关系，推导出递推关系，即可得证。 【解答】 （1）因为 所以

（2） 【知识储备】 ①e指数函数的展开式 ②对易式中满足的基本恒等式 [A，B＋C]＝[A，B]＋[A，C] [A，BC]＝B[A，C]＋[A，B]C [AB，C]＝A[B，C]＋[A，C]B [A，[B，C]]＋[B，[C，A]]＋[C，[A，B]]＝0 45粒子被束缚在半径为r的圆周上运动。 （1）设立路障进一步限制粒子在的一段圆弧上运动，即

求解粒子的能量本征值和本征函数。 （2）设粒子处于情形（1）的基态，求突然撤去路障后，粒子仍然处于最低能量态的几率是多少？ [南京大学2002研] 【解题的思路】 分析题意，这是不随时间改变的势场，所以可以直接使用定态薛定谔方程和波函数性质求解能量本征值和本征波函数。 【解答】 （1）当时，；当时，粒子的转动惯量为， 对应的哈密顿量为。 由定态薛定谔方程可得 即 令 求解得 由波函数的连续性可得，即，所以

各高校量子力学考研试题汇总

习题1 一、填空题 1．玻尔的量子化条件为。 2．德布罗意关系为。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为。4．波函数的统计解释：_____________________________________ __________________________________________________________ 5．为归一化波函数，粒子在方向、立体角内出现的几率 为，在半径为，厚度为的球壳内粒子出现的几 率为。 6．波函数的标准条件 为。 7．，为单位矩阵，则算符的本征值为__________。 8．自由粒子体系，__________守恒；中心力场中运动的粒子 ___________守恒。 9．力学量算符应满足的两个性质 是。 10．厄密算符的本征函数具 有。 11．设为归一化的动量表象下的波函数，则的物理意义为 _______________________________________________。 12.______;_______;_________。 28．如两力学量算符有共同本征函数完全系，则___。 13．坐标和动量的测不准关系是____________________________。 14．在定态条件下，守恒的力学量是_______________________。 15．隧道效应是指__________________________________________。 16．量子力学中，原子的轨道半径实际是指____________________。 17．为氢原子的波函数，的取值范围分别 为 。 18．对氢原子，不考虑电子的自旋，能级的简并度为，考虑自旋但不考虑自旋与轨道角动量的耦合时，能级的简并度为，如再考虑自旋与轨道角动量的耦合，能级的简并度为。 19．设体系的状态波函数为，如在该状态下测量力学量有确定的值，则力学量算符与态矢量的关系为__________。

【完整版】考研量子力学复习策略与题型总结毕业论文

本科学生毕业论文（设计） 题目考研量子力学复习策略与题型总结姓名覃元 学号084090139 院、系物理与电子信息学院 专业物理学 指导教师（职称/学历）杜雷鸣 讲师/ 博士 云南师范大学教务处制

考研量子力学复习策略与题型总结 摘要:本文主要探讨学习量子力学的学生在考研中如何做到复习有结果，并且围绕题型总结阐述一些重要的复习策略。给有志于考研考量子力学的同学们提供一些经验总结和策略参考。题型总结方面将集中在考研常考题目中的一维运动问题和微扰论两大方面展开。从这两个方面分别例举历年真题的详细解法，分析所涉及知识点，并给出复习策略，做到举一反三。根据例子阐述进一步提出考研量子力学的复习策略，即“三位一体”的复习策略。 关键词：物理；量子力学；考研；题目总结；复习策略 量子力学是物理学科的基础课，是物理类和光电工程类专业学生的必修课，量子力学和相对论被认为是近代物理的基础。量子力学是一门新的物理理论，它通过对物质波粒二像性的理解，引进波函数的描述方法，建立起一个严整的逻辑体系，给复杂的量子微观体系现象以一个自恰的理解和说明,得到了许多崭新的结论。量子力学预言的现象正不断被证实并取得广泛的应用，量子理论本身也还在不断深化和发展。量子力学是其他许多物理理论的必备基础，是现代物理工作者和技术人员的一门基本修养。 同时，考研中量子力学量子也很重要。历年来，如凝聚态物理专业、材料方面专业等把量子力学作为重要考核科目，如中科院凝聚态物理专业、华南理工大学凝聚态物理专业、北京大大学凝聚态物理专业、大连理工大学的材料物理等985院校，此外还有211学校，如云南大学。在考研经历之后，深刻认识到量子力学是一门较为难学、难理解的课程。大学里学修读物理相关专业的同学都会有深刻的体会，而该课程考研的要求相比而言就要更高一些。 当然，我们也大不必害怕量子力学，其实量子力学是非常有魅力的学科。理论物理较为抽象的科目个人觉得第一是电动力学，第二是量子力学，第三是热力学统计物理，第四是理论力学。然而，量子力学比较锻炼个人思维能力，同时量子力学也是现代科学得以迅猛发展的重要前提。从上述可知，考研中，量子力学深受各大高校的青睐。 然而，如何复习好量子力学呢？古语云：“工欲善其事，必先利其器。”考研复习到专业课的时候往往时间很仓促，我们不仅要复习公共课，还要腾出时间搞专业。在此时复习专业课还像复习英语、政治那样用题海战术是不行的。题海战术有一定好处，但是盲目性太大，有些内容考研直接不涉及，看了也是浪费时间。因此，若在此时给考研人一点好的复习建议与方法指导，可以说是雪中送炭。好的复习方法能给我们带来可观的效果，以及一些重点考点的提点对大家是非常有帮助的。 文章围绕一维运动总结出3个例子来拓展与分析提炼出如何复习一维运动

北理849量子力学考研真题 2016

第 1 页, 共 1 页 2016 年攻读硕士学位研究生入学考试试题 科目代码：××× 科目名称：量子力学 一、简答题（每题 5 分，共 20 分） 1．简述 Einstein 的量子论，并阐述光电效应。 2．量子力学中，波函数的物理意义是什么？波函数是如何体现物质的波动性和粒子性的？ 3．××× 4．阐述 de Broglie 的物质波理论，并与经典力学相比，说说对人们生活的影响。 二、（30 分）质量为 μ 的粒子在 22L x L ?≤≤ 的范围内运动，满足边界条件 (2)(2)L L ψψ?=。 （1）求波函数的能量本征值，并求本征函数和简并度； （2）加入微扰 cos(4)H x L π′=E 后，求基态能量到微扰论二级修正，求基态波函数到一级修正； （3）求第一激发态的能量到一级修正。 三、（20 分）已知在动量表象中，??[,]i x p = ，?i ()x p =?? ，f 是 ?p 的函数。求（1）[,]p xfx ；（2）2[,]x fx 。 四、（30 分）系统的 Hamilton 量为 2???(2)x H I L ω=+L ，21(0)Y (,)t Y θ?==。 （1）求在 Heisenberg Picture 下，?L 各分量所满足的方程； （2）0t > 时，求 ?L 的三个分量的平均值； （3）0t > 时，求系统能量的平均值。 五、（20 分）已知 ???????+(,,)x x y y z z x y z J J J J J J =+=J e e e ，???i x y J J J ±=±。 （1）证明：???[,]x J J J ??=? 及 22?????z J J J J +?? =++?J ； （2）证明：?,,1J j m c j m ?=?，并求常数 c 的值。 六、（30 分）对于自旋为 12 的系统， （1）写出其 Pauli 矩阵，并设 ???(i )2x y σσσ±= ±，求 ??[,]σσ+?。 （2）在 z σ 表象中，求 ?y σ 的本征值和本征矢量，记 10,01 = αβ 将本征矢量用 α 和 β 表示。 （3）求 z σ 表象到 y σ 表象的变换矩阵，并验证之。

量子力学考研真题与量子力学考点总结

量子力学考研真题与量子力学考点总结 8粒子在势场V中运动并处于束缚定态中，试证明粒子所受势场作用力的平均值为零。[中国科学院2006研] 【解题的思路】 直接利用势场中作用力的表达式，求解其平均值，然后利用与哈密顿量的对易关系就可得出结果。 【分析】 在势场V中，粒子所受作用力为 因此作用力F的平均值为 得证。 【知识储备】 ①束缚态：在无穷远处，粒子的波函数为零的状态。 ②

即 ③在某一表象下，算符F ∧ 在ψ态中的平均值为 29两个无相互作用的粒子置于一维无限深方势阱（0＜x ＜a ）中，对于以下两种情况，写出两粒子体系可具有的两个最低能量值，相应的简并度，以及上述能级对应的所有二粒子波函数： （1）两个自旋为1/2的可区分粒子； （2）两个自旋为1/2的全同粒子。 [中国科学院2007研] 【解题的思路】 对于可解模型一维无限深势阱，可以通过定态薛定谔方程来求解相应的本征波函数和本征值，由可区分粒子和全同粒子的性质，可以构造相应的两粒子波函数。 【分析】 （1）对于一维无限深势阱中的单粒子，由定态薛定谔方程可得 波函数为 本征能量为 对于两个可区分粒子 基态

能量 波函数 因此，能级简并度为4。第一激发态 或者 能量 波函数

因此，能级简并度为8。 （2）对于两个全同粒子，自旋1/2为费米子，则总波函数满足交换反对称关系。基态 能量 波函数 能级非简并。 第一激发态 或者 能量 波函数

能级简并度为4。 【知识储备】 ①一维无限深方势阱 若势能满足 在阱内（|x|＜a），体系所满足的定态薛定谔方程是 在阱外（|x|＞a），定态薛定谔方程是 体系的能量本征值 本征函数 ②全同粒子 a．全同粒子定义 在量子力学中，把内禀属性（静质量、电荷、自旋等）相同的微观粒子称为全同粒子。 b．全同性原理

考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研复习笔记

考研《量子力学教程》周世勋版2021量子力学考研 复习笔记 第1章绪论 1.1 复习笔记 在十九世纪末、二十世纪初，经典物理取得了巨大的成功，牛顿定律、麦克斯韦方程、热力学和统计力学相继建立并成功应用于物理学研究和工程，但在物理大厦落成的同时，物理学家中的有识之士也意识到了天空中漂浮的乌云。黑体辐射、光电效应和固体的比热等一系类问题是经典物理无法解释的。之后的旧量子论包括玻尔理论、爱因斯坦的光量子和德布罗意波粒二象性假说给物理学的发展带来了希望，它们也为量子力学的发展奠定了基础。 现代物理学中的两大支柱（量子力学、相对论）逐步验证并解释物理实验中的现象的同时，量子力学自身也在不断完善，并发展出了电磁场量子化理论、解释光子原子相互作用的量子电动力学、应用于原子中核子相互作用的量子色动力学理论，以及当下试图对引力场解释的超弦理论。所以，不论是为了备考还是为了将来的物理学科研，学习好量子力学是十分重要的。量子力学是现代物理学的基石，也是物理科研必备的工具。 【本章重难点】 1．了解经典物理的成功和所面临的危机，以及量子力学的发展历史； 2．掌握德布罗意波粒二象性关系； 3．熟练运用玻尔-索末菲量子化条件。 一、波粒二象性（见表1-1-1） 表1-1-1 波粒二象性相关概念

图1-1-1 康普顿散射 二、原子结构的玻尔理论 1经典理论在解释原子结构上的困难 （1）经典理论不能建立一个稳定的原子模型（运动的带电粒子发射电磁场）；（2）经典理论得出的频率是连续分布的，而实验中的原子光谱是分立的。 2玻尔假设 表1-1-2 玻尔假设

3索末菲量子化条件的推广 式中，q 是电子的一个广义坐标；p 是对应的广义动量，回路积分是沿运动轨道积一圈；n 是0和正整数，称为量子数。该推广后的量子化条件可应用于多自由度的情况。 4玻尔理论缺陷 （1）当理论应用到结构稍复杂于氢原子的其他原子比如氦原子时，结果与实验不符； （2）只能求出谱线的频率，而不能求出谱线的强度。 三、德布罗意波粒二象性假说 1德布罗意公式 德布罗意受光的波粒二象性启发，提出微粒具有波粒二象性的假设，即微粒的粒子 性（E ，p →）与波动性（υ，λ或ω，k ）的关系满足：

考研量子力学量子力学大纲

《量子力学》课程教学大纲 课程英文名称：Quantum Mechanics 课程简介：本课程为专业基础课。通过该课程的学习，学生可以掌握量子力学的基本理论与基本方法，能提高本科生分析和解决实际物理问题的能力，为本科生后续的专业课程学习和今后的实际工作奠定一定的理论基础，并掌握初步的解决问题方法。 让学生掌握描述量子力学的一些基本量子思想和量子理论方法。这些内容将为今后本科生在固体物理学、磁性物理学、凝聚态物理等理论方面的进一步学习奠定一定的理论基础，并可以使本科生初步掌握分析问题和解决问题的方法。 一、课程教学内容及教学基本要求 第一章绪论 本章重点： 1)介绍量子力学的产生背景时要说明提出问题和解决问题的条件：社会的需求、科学技术的水平、人们的前期努力和成就等等，用历史唯物主义的观点看待问题。介绍杰出的人物的工作和贡献时同样应注意突出重点，兼顾全面的原则，从科学史的角度考察，借以获得更多的教益。 2)要着重注意介绍德布罗意假设、波粒二象性的概念，借以初步认识微观客体运动的特殊性和唯物主义思想的指导作用；介绍相应的实验验证和实践应用，认识理论和实践的关系。 3)使学员能从较宽广的角度认识量子力学的地位和作用，增强学习自觉性。同时初步了解学科的特点，对下一步的学习有相应的准备。 难点：康普顿散射的推导及理解，微观粒子的波粒二象性。 第一节经典物理学的困难（之一：黑体辐射问题和Plank量子论） 本节要求：理解：黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难和Plank量子论。掌握：Plank 量子论（重点：考核概率50%）。 1 黑体辐射问题中经典理论所遇到的困难（维恩公式、瑞利-金斯公式）。 2 Plank的电磁辐射能量量子化的思想，并推导Plank的黑体辐射公式，理解并掌握Plank 的能量量子化的假设。 第二节经典物理学的困难（之二：光电效应与爱因斯坦的光量子论；之三：A.Einstein光量子论在Compton效应的解释） 本节要求：掌握：光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等）；爱因斯坦的光量子论解释光电效应；Compton效应概念；A.Einstein光量子论在Compton效应的解释（重点：考核概率100%）；理解：在微观单个碰撞事件中能量动量守恒定律仍然成立）。 1光电效应概念（脱出功A的概念、光电流等），光电效应实验中所得到的3个结论认识。2爱因斯坦的利用Plank的能量量子论思想引入到电磁波上引入了光量子论思想，利用此思想如何解释了光电效应现象。（重点）

考研量子力学量子力学

一、课程总体说明 1、课程性质 量子力学是近代物理两大支柱之一，是近代物理的重要基础。因而本课是物理专业最重要的一门专业基础必修课。 2、学习目的 （1）系统地了解微观世界的基本规律； （2）理解掌握量子力学基本概念和基本原理，并能应用基本概念和规律解释微观现象； （3）了解量子力学史上的重要物理思想，培养辩证唯物主义的世界观和科学方法。 3、主要内容 量子力学主要内容包括：量子力学发展简况，波函数，薛定谔方程，力学量和算符，态和力学量的表象，微扰论，自旋和全同粒子。 4、主要考核目标 （1）掌握波粒二象性是一切物质客体所具有的普遍属性。 （2）正确理解和熟练掌握描写微观粒子运动状态的波函数的意义及量子力学的基本方程—薛定谔方程的求解。 （3）熟练掌握力学量用算符表示后量子力学规律所取的形式及力学量与算符的关系。 （4）了解表象的物理意义和一些简单的表象变换。 （5）掌握用久期方程求解算符的本征值和本征函数的方法。 （6）正确理解定态微扰论的方法和使用条件,熟练掌握非简并情况下体系能级的二级近似值与一级近似波函数的计算方法,了解与时间有关的微扰理论。 （7）认识微观粒子的自旋角动量的性质,熟记自旋角动量算符与自旋波函数的表达方式。 （8）理解全同粒子的不可区分性、全同性原理以及波函数的对称性与统计法之间的关系。

二、章节说明:本课程重点阐述非相对论量子力学之波动力学的完整自洽的知识 体系。考虑到专业特点和学时要求，在保留量子力学完整知识结构的基础上，我 们删减了一些章节的内容。主要内容如下： 第一章 绪论 掌握§1-§4，重点和难点是§4。 1、 了解经典物理学的困难，黑体辐射、光电效应和原子的线状光谱及其规律。 2、 了解光的波粒二象性，理解Planck 能量子假设、Einstein 的光量子理论和Bohr 的原子量子论。 3、 掌握Compton 效应的内容和物理含义。 4、 理解德布罗意的物质波思想，熟练掌握德布罗意波的表示和波长的计算方法。 第二章 波函数和薛定谔方程 掌握§1-§8，重点是§5-§7，难点是§1和§4，主要内容如下： 1、 理解波函数),(t r 的统计解释； 2、 了解态迭加原理及其物理意义； 3、 理解薛氏方程的建立； 4、 理解几率流密度和粒子数守恒定率；熟练掌握几率连续性方程的数学表示和物 理含义； 5、 掌握定态薛氏方程；理解定态的定义和定态的特点； 6、 熟练掌握一维束缚态：无限深势阱和线性谐振子的求解过程和重要结论。 第三章 力学量和算符 掌握§1-§8，重点是§4-§7，难点是§7，主要内容如下： 1、掌握动量算符和角动量算符本征方程的求解； 2、理解电子在库仑场中的运动；了解氢原子（类氢原子）求解过程，熟练掌握其 结论； 3、 掌握力学量与算符的关系； 4、 熟练掌握计算力学量算符的对易关系； 5、 掌握厄密算符的本征值和本征函数的性质；掌握共同本征函数的性质； 6、 测不准关系，力学量完全集。

研究生面试量子力学的复杂性及简单性

我从未在荒郊野外真正地见过美洲豹。无论是穿越热带美洲的森林，还是乘船在中、南美洲的河流上旅游，我都从来没有体验过面对凶悍的花斑豹时那种心跳遽停的感觉。好几个朋友都曾告诉我，同美洲豹相遇会改变一个人的世界观。 1985年在亚马逊河的支流那坡河附近、厄瓜多尔东部的低地雨林，是我离美洲豹最近的一次。那个地方定居着许多印第安人，他们在森林里开垦出了一片片的土地，用来种植农作物。他们说库丘亚（Quechua）语，这曾经是印加帝国的官方语言。他们还用自己的名字给亚马逊河边一些风景地命名。 从飞机上俯瞰这块从北向南，从东向西均绵延数千英里的土地，你会看到河流像一条条蜿蜒曲折的缎带镶嵌在森林之中。像密西西比河一样，这些河流常常呈U形弯曲，这些U形弯曲所环绕的区域往往被河水浸没而形成湖，每个湖通过一条闪闪发光的溪流与主河流相通。当地操西班牙语的人们称这种湖为“科恰”（cocha），科恰是库丘亚语中的一个词，它既可以指湖，又可以指海。空中观察者在河流的不同部分都可以看到这些科恰，先是普通的河弯，然后是U形弯曲，接着是新形成的科恰，继之而来的是“生态过程”（ecological succession）。这时湖水慢慢地干涸，通过各种植物的作用而重新回复为森林。最终，从空中看来它就成了深绿色的森林背景中的一个浅绿色点。一个世纪或更长的时间之后，那个点将与雨林的其余部分融为一体而无法分辨。 一次，当我在潘那科恰（Pa na Cocha）附近的一条小道上散

步时，我终于得以有机会近观美洲豹。潘那科恰的意思是“锯齿鲑湖”。我和几个伙伴在湖里抓到过三种不同的锯齿鲑，并将它们煮着吃了，味道非常好。那些鱼并不像人们想像的那么凶险。的确，它们有时候会袭击人，在湖水中洗澡的人一旦被咬，应立即离开水域上岸，否则伤口流出的血会引来更多的锯齿鲑。然而，在人与锯齿鲑的斗争中，更多的是锯齿鲑被人吃掉而非人被锯齿鲑吃掉。 在湖边步行一个小时左右，我们惊散了一群西貒（一种野猪，译注）。之后不久，我们又感觉到前面不远处有一头大的哺乳动物。我们嗅到了一股刺鼻的臭味，这气味与野猪气味明显不同。我们还听到大动物穿越矮树丛时踩断灌木的噼啪声。我看见了美洲豹的尾巴尖，可倏忽之间它就消失了。具有牧师和统治者权力之象征的动物之王，就这样与我们失之交臂了。 不过，使我的心灵产生震动的并非美洲豹，而是另外一种小一些的丛林猫科动物。它使我意识到，我那众多的、表面看来毫不相干的兴趣其实是统一的。在经历厄瓜多尔那次事件之后的4年里，我逐渐熟悉了远离过去的印加族人统治区的另一个热带美洲森林地带的动植物。那里，另外一种不同的前哥伦布时期的文化——玛雅文化——曾经繁荣过。我来到了离危地马拉与墨西哥边界不远的伯利兹的西北部一个叫做恰契池（ChanChich）的地方。恰契池在当地的玛雅语中是“小鸟”的意思。 今天仍有许多操玛雅语的人住在这里，而且在中美洲的这一区域，古典玛雅文明的遗迹随处可寻，尤其是在一些古城的遗址上，无不反

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析

量子力学考研2021量子力学导论考研真题解析一、考研真题解析 0粒子在势场（，）中运动，试用不确定关系估计基态能量。[中国科学院2006研] 【解题思路】 利用不确定关系求解哈密顿量的最小值问题。 【解析】 根据不确定原理有 即 因为 所以只需要求解出的最小值就可以估计基态的能量。 令 由 得出

所以基态能量为 【知识储备】 若[F，G]＝0，则算符F和G有共同的本征函数系；其逆定理也成立。 对易算符的性质：在F和G的共同本征函数系中测量F和G，都有确定值。 若[F，G]≠0，则有不确定关系 或 经常使用的关系式 21设粒子所处的外场均匀但与时间有关，即，与坐标r无关，试将体系的含时薛定谔方程分离变量，求方程解的一般形式，并取，以一维情况为例说明V（t）的影响是什么。[中国科学院2006研] 【解题思路】 理解记忆含时薛定谔方程和定态薛定谔方程，以及分离变量法在求解薛定谔方程时的应用。 【解析】 根据含时薛定谔方程

令 带入可得 即 上式左边是关于时间t的函数，右边是关于坐标r的函数，因此令它们等于常数s，得 和 所以 对于 令

所以 因此 当 时， 相对于一维自由平面波函数， 使得波函数是自由平面波随时间做 改变的形式。 【知识储备】 薛定谔方程： 波函数随时间的变化规律由含时薛定谔方程给出 当U （r → ，t ）与t 无关时，可以利用分离变量法，将时间部分的函数和空间部分的函数分开考虑，y （r → ）满足定态薛定谔方程 此方程即是能量算符的本征方程。其中，整个定态波函数的形式为

一般情况下，若所求解能量的本征值是不连续的，则最后的波函数写成各个能量定态波函数的求和形式；如果能量是连续值，则相应的写成积分形式。 【拓展发散】 当粒子所处的外场与时间和位置坐标都有关，即，可以利用题解相同的方式去探索波函数的具体形式，并且和定态以及只与时间有关的两种情形相比较，得出在这些不同情况下相应的势场函数的具体形式变化对波函数的影响。22设U为幺正算符，若存在两个厄米算符A和B，使U＝A＋iB，试证：（1）A2＋B2＝1，且； （2）进一步再证明U可以表示成，H为厄米算符。 [中国科学院2006研] 【解题思路】 理解厄米算符和幺正算符的定义和物理含义，并注意辨析它们之间的区别，不要混淆。 【解析】 （1）因为U为幺正算符，所以和，由可得 由可得 因此 （2）因为，所以算符A和算符B有共同的本征函数，即，。

[全]《量子力学》考研真题详解[下载全]

《量子力学》考研真题详解 1、1924年，德布罗意提出物质波概念，认为任何实物粒子，如电子，质子，也具有波性，对于具有一定动量p的自由粒子，满足德布罗意关系：______；假设电子由静止被150伏电压加速，加速后电子的物质波波长为：______。[北京大学2005研] 【答案】 ， ；8.9×10－41m 2对宏观物体而言，其对应的物质波长极短，所以宏观物体波动性很难被我们观察到，但最近发现介观系统（纳米尺度下的大分子）在低温下会显示出波动性。计算1K时，C60团簇（由60个C原子构成足球状分子）热运动对应的物质波波长为：______。[北京大学2005研] 【答案】2.9×10－10m 二、判断题

1量子力学中可观察力学量相应的算符为厄米算符。[北京大学2006研] 【答案】对查看答案 【解析】在量子力学中，表示力学量的算符都是纳米算符。 2设体系处于定态，则不含时力学量 的测量值的概率分布不随时间改变。[北京大学2006研] 【答案】错查看答案 【解析】力学量F∧的平均值随时间的变化满足： 若 （即力学量F∧的平均值不随时间变化），则称F∧为守恒量。力学量F∧为守恒量的条件为：?F/?t＝0且[F，H]＝0。 不含时力学量F∧的测量值随时间改变可以表示为：

因此，力学量F∧的平均值是否变化不能确定，对于定态而言，任何一个波函数都可以用力学量F∧的本征函数表示，在各个本征函数中，力学量F∧所取值的大小是确定的。因此可以推断，力学量F∧的测量值的概率分布也不能确定。 3一维粒子的本征态是不简并的。[北京大学2006研] 【答案】错查看答案 【解析】对于一维粒子的本征态是否简并不能确定，可以举例说明。比如，一维无限深方势阱，若势能满足： 在阱内（ ），体系所满足的定态薛定谔方程为： 在阱外（ ），定态薛定谔方程为：

量子力学--考研必背公式

量子力学常用积分公式 (1) dx e x a n e x a dx e x ax n ax n ax n ??--=11 )0(>n (2) )cos sin (sin 22bx b bx a b a e bxdx e ax ax -+=? (3) =?axdx e ax cos )sin cos (22bx b bx a b a e ax ++ (4) ax x a ax a axdx x cos 1sin 1sin 2-= ? (5) =?axdx x sin 2ax a x a ax a x cos )2(sin 2222-+ (6) ax a x ax a axdx x sin cos 1cos 2+= ? (7) ax a a x ax a x axdx x sin )2(cos 2cos 3222-+=?) )ln(2222c ax x a a c c ax x ++++ (0>a ) (8)?=+dx c ax 2 )arcsin(222x c a a c c ax x --++ (a<0) ? 20sin πxdx n 2!!!)!1(πn n - (=n 正偶数) (9) = ?2 0cos π xdx n ! !!)!1(n n - (=n 正奇数) 2π (0>a ) (10)?∞ =0sin dx x ax 2π- (0=a n 正整数)

(12) a dx e ax π2102=?∞ - (13) 121022!)!12(2 ++∞ --=?n n ax n a n dx e x π (14) 10122! 2+∞-+=?n ax n a n dx e x (15) 2sin 022a dx x ax π?∞= (16) ?∞-+=0222)(2sin b a ab bxdx xe ax (0>a ) ?∞-+-=022222)(c o s b a b a b x d x xe ax (0>a )

2021量子力学考研配套考研真题解析

2021量子力学考研配套考研真题解析 一、真题精解精析 1当前冷原子物理研究非常活跃，在实验中，粒子常常是被束缚在谐振子势中，因此其哈密顿量为。假设粒子间有相互作用，其中分别代表粒子1和粒子2的自旋，参数J＞0。 （1）如果把两个自旋1/2的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数； （2）如果把两个自旋1的全同粒子放在上述势阱中，试写出基态能量和基态波函数。（注意：参数在不同范围内，情况会不同） [浙江大学2014研] 【解题思路】 ①研究体系处在线性谐振子势场中，有关单个体系在谐振子势中的问题，一般可以通过求解薛定谔方程得出相应的本征波函数和本征能量，确定体系的波函数，研究对象的量子状态、对其进行测量可得到的测量值的大小和几率等问题，都可以一一解决。 ②研究体系内包含两个粒子，它们之间存在自旋-自旋相互作用，利用角动量的合成来解决这部分相互作用引出的相关问题。 ③在两个问题中，涉及到不同自旋的粒子，即玻色子和费米子，可以通过它们满足的统计性质来决定在势场中的分布情况，从而解决要求的基态能量和波函数。 【解析】 （1）对于处在线性谐振子势中粒子的哈密顿量

由薛定谔方程 得本征能量为 本征波函数为 两粒子间有相互作用 设 因此 即 所以 因为 所以两粒子是费米子，满足费米狄拉克统计，体系的总波函数要求交换反对称，并且S＝0或者S＝1。

因为，所以体系基态选择，因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换反对称，所以自旋部分的波函数满足交换反对称，即 所以体系的基态波函数为 基态能量为 （2）当S1＝S2＝1时，体系中两个粒子为玻色子，满足玻色爱因斯坦统计，体系波函数要求交换对称。因为，所以体系基态选择n1＝n2＝1。因此体系坐标部分的波函数为 满足交换对称性。 为了保证总波函数的交换对称性，所以自旋部分的波函数满足交换对称，即

[全]北京师范大学《量子力学》考研重点整理

北京师范大学《量子力学》考研重点整理 复习笔记 本章介绍了量子力学中最基本的波函数概念和表达形式，并且介绍了波函数的统计诠释和量子态的叠加原理，相应的引入描述量子态动力学过程的薛定谔方程，相比较于经典物理中的牛顿定律，在量子力学中，非相对论情况下的薛定谔方程同样占据了重要地位，对于有限几种可解模型，包括势阱、势垒和线性谐振子，以及氢原子情形，薛定谔方程可以求解出波函数和能级的具体形式，其结果可以完美解释物理实验中相关现象和数据，而对于不可精确求出解析解的模型，针对具体不同的模型，在物理背景的考虑下可以进行相应的近似处理，由薛定谔方程得出的近似解也可以比较满意地对实验现象和结果做出解释，后面的章节围绕理论部分会对近似求解详细阐述，在高等量子力学中，将会介绍相对论情形下的狄拉克方程。 一、波函数的统计诠释 1实物粒子的波动性 de Broglie（1923）提出了实物粒子（静质量m≠0的粒子，如电子）也具有波粒二象性（wave-particle duality）的假设，即与动量为p和能量为E的粒子相应的波的波长λ和频率ν为 λ＝h/p，ν＝E/h

并称之为物质波（matter wave）。 2概率波，多粒子体系的波函数 Born提出的波函数的概率诠释：|ψ（r→）|2ΔxΔyΔz表征在r点处的体积元Δx ΔyΔz中找到粒子的概率，根据波函数的统计诠释，要求波函数ψ（r）满足下列条件 这称为波函数的归一化（normalization）条件。 归一化条件就可以简单表示为 （ψ，ψ）＝1 3动量分布概率（三维情况下） 动量分布概率密度即|φ（p）|2。 4不确定性原理与不确定度关系 位置（坐标）和动量的不确定性关系

量子力学考研复习指导讲解

量子力学考研复习指导 复习方法 (1 在老师的讲解的基础上通读教材,对基本概念、公式,基本原理,基本规律及假设在理解的基础上强化记忆,对综合应用知识必须要有清晰的物理思想,同时要注意不时的反复复习,克服回生现象。 (2 注意量子力学课程的体系,采用“划分板快”的方法,这样可以有条理,有步骤的分析问题和解决问题,对重点板快(如,波函数问题板块,薛定谔方程板块,力学量算符板块,表象理论板块,近似方法板块,自旋和全同粒子板块要进行重点的掌握和训练。 (3 在老师和参考资料的帮助下,力争把课后题弄熟,弄懂。并在此基础上找大量的习题加强训练,加强对做题方法的总结,做到触类旁通。 (4 平时尽可能的多收集一些历年的研究生试题,认真分析,研究,丰富自己的解题思路,特别是研究和分析所报考的院校的历年试题,弄清出题人的思路和侧重点,做到心中有数。 对量子力学考研同学的建议 (1 很多考题来自课后题,因此不可忽视课后题。如:(河南大学 1995 六P 100 3.2;(南京师范大学六P 241 7.4;(兰州大学 2000 2P 100 3.2;(山西师范大 学 2001 二P 102 3.9;(清华大学四P 101 3.4。 (2 经我们研究发现,量子力学研究生试题中直接或间接来自教材的内容很多,因此要引起考生的重视。如:(河南师范大学 1995一(2,二分别对量子力学算符的性质和一维无限深势阱的波函数和本征值的考查;(北京师范大学2000 一对透射系数和反射系数的考查;(西北大学2002一对波函数的标准条件,定态的概念和量子力学算符的性质的考查;(西安电子科技大学2002一和四川大学2000四对波函数的统计解释的考查;(山西师范大学2000二,2001一对守恒定律和态矢量在不同表象下的矩阵形式的考查。这些题目均来自课本,因此要引起广大考生的足够重视。

《量子力学》考研(思考题+填空题)汇总

第一章思考题 1．下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于不能忽略的体系，而经典力学适用于=可以忽略的体系。 =答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已经过渡到经典力学，二者相吻合了。 = 2．什么是黑体？ （1）黑颜色的物体。 （2）完全吸收任何波长的外来辐射而无反射的物体。 （3）完全吸收任何波长的外来辐射而无任何辐射的物体。 （4）吸收比为1的物体。 （5）在任何温度下，对入射的任何波长的辐射全部吸收的物体。 答：（4），（5）正确。吸收比α（λ，T）=1蕴含了任何温度下，对入射的任何波长的辐射α（λ，T）均为1。 （2）是常见的黑体定义，显然，应加上“在任何温度下”才完整。 3．康普顿效应中入射光子的能量只有部分被电子吸收，这是否意味着光子在相互作用过程中是可分的？ 答：光电效应中，一个电子同时吸收两个光电子的概率非常小，一个电子只吸收一个光子。另外，实测中光电发射没有可分辨出的时间延迟，这说明，电子没有能量的积累过程，即电子吸收一个光子后再吸收一个光子的概率也是非常小的。因而，截止频率的限制是必需的。 4．德布罗意关系式是仅适用与基本粒子如电子、中子之类还是同样适用于具有内部结构的复合体系？ 答：德布罗意关系式是适用于一切物质的普遍关系，是波粒二象性的反映而与物质具体结构无关。因此，不仅适用于基本粒子也适用于具有内部结构的复杂体系。 5．粒子的德布罗意波长是否可以比其本身线度长或短？二者之间是否有必然联系？ 答：由基本假设 λ=p h ，波长仅取决于粒子的动量而与粒子本身线度无必然联系。 6．在电子衍射实验中，单个电子的落点是无规律的，而大量电子的散落则形成了衍射图样，这是否意味着单个粒子呈现粒子性，大量粒子集合呈现波动性？