2010年广东专插本高数考试试题及答案
2010年高考数学(文)试题及答案(广东卷)
绝密★启用前2010年普通高等学校招生全国统一考试数学(文科)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合A=｛0，1，2，3｝，B=｛1，2，4｝，则集合A B=A ．｛0，1，2，3，4｝B ．｛1，2，3，4｝C ．｛1，2｝D ．｛0｝ 2．函数()lg(1)f x x =-的定义域是A ．(2，+∞)B ．(1,+∞)C ．[1，+∞)D ．[2，+∞)3．若函数()33x x f x -=+与()33x xg x -=-的定义域均为R ，则A ．()f x 与()g x 均为偶函数B ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数C ．()f x 与()g x 均为奇函数D ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 4．已知数列{n a }为等比数列，n S 是它的前n 项和，若2·a a a ３１＝2，且4a 与72a 的等差中项为54，则S5=A ．35B ．33C ．31D ．295．若向量a =（1,1），b =（2,5），c =(3,x)满足条件 (8a －b )·c=30，则x =A ．6B ．5C ．4D ．36．若圆心在x 轴上、O 位于y 轴左侧，且与直线20x y +=相切，则圆O 的方程是A．22(5x y += B．22(5x y += C ．22(5)5x y -+= D ．22(5)5x y ++= 7．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该椭圆的离心率是A ． 45B ．35C ．25D ．158．“x >0”成立的A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．非充分非必要条件D ．充要条件9．如图1，ABC∆为正三角形，'''////AA BB CC ，''''32CC BB CC AB ⊥===平面ABC 且3AA ，则多面体'''ABC A B C -的正视图(也称主视图)是10．在集合{a ，b ，c ，d}上定义两种运算⊕和⊗如下：那么d ⊗ ()a c ⊕=A ．aB ．bC ．cD ．d二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题(11～13题)11．某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为1x ，…，4x (单位：吨)．根据图2所示的程序框图，若1x ，2x ，3x ，4x ，分别为1，1.5，1.5，2，则输出的结果s 为 _________.12．某市居民2005～2009年家庭年平均收入x （单位：万元）与年平均支出Y （单位：万元）根据统计资料，居民家庭年平均收入的中位数是_________，家庭年平均收入与年平均支出有_________线性相关关系.13．已知a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边，若a=1，A+C=2B ，则sinA= _________.（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD 中，DC ∥AB ，CB ⊥AB ，AB=AD=a ，CD=2a ，点E ，F 分别为线段AB ，AD 的中点，则EF= .15．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（02θπ≤＜）中，曲线()cos sin 1ρθθ+=与()sin cos 1ρθθ-=的交点的极坐标为_________.三、解答题：本大题共6小题，满分80分。
2010年广东省高考试题(数学理)解析版
1、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。在每小题给出 的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.若集合A={-2＜＜1}，B={0＜＜2}则集合A ∩ B=（ ） A. {-1＜＜1} B. {-2＜＜1} C. {-2＜＜2} D. {0＜＜1} 1. D. ． 2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=（ ） A．4+2 i B. 2+ i C. 2+2 i D.3 2. A． 3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则 A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x） 为奇函数 C．f（x）与g（x）均为奇函数 D. f（x）为奇函数，g（x） 为偶函数 3．D．． 4. 已知为等比数列，Sn是它的前n项和。若， 且与2的等差中项为，则= A．35 B.33 C.31 D.29 4．C．设{}的公比为，则由等比数列的性质知，，即。由与2的等差中 项为知，，即． ∴，即．，即． 5. “”是“一元二次方程”有实数解的 A．充分非必要条件 B.充分必要条件 C．必要非充分条件 D.非充分必要条件 5．A．由知，． 6.如图1，△ ABC为三角形，// // , ⊥平面ABC 且3== =AB,则多面体
13.某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某 年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为 x1…xn(单位：吨)，根据图2所示的程序框图，若n=2,且x1，x2 分别为 1,2，则输出地结果s为 13．填．． .
14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条
△ABC -的正视图（也称主视图）是
2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学试题 (理科)(全解析)(word版)
绝密★启用前 试卷类型：A2010年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。
将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时．请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。
漏涂、错涂、多涂的．答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}|21A x x =-<<，{}|02B x x =<<，则集合A ∩B=（ ）A ．{}|11x x -<<B ．{}|21x x -<<C ．{}|22x x -<<D ．{}|01x x << 1．D ．【解析】A ∩B =2．若复数11z i =+，23z i =-，则12z z ⋅=（ ）A ．42i +B ．2i +C ．22i +D ．3i + 2．A ．【解析】12(1)(3)1311(31)42z z i i i i ⋅=+⋅-=⨯+⨯+-=+3．若函数()33xxf x -=+与()33xxg x -=-的定义域均为R ，则 ( ) A ．()()f x g x 与均为偶函数 B ．()f x 为偶函数，()g x 为奇函数 C ．()()f x g x 与均为奇函数 D ．()f x 为奇函数，()g x 为偶函数 3．B ．【解析】()33(),()33()xx x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．4．已知数列{}n a 为等比数列，n S 是是它的前n 项和,若2312a a a ⋅=，且4a 与27a 的等差中项为54，则5S = ( )A ．35B ．33C ．3lD ．294．C ．【解析】设{n a }的公比为q ，则由等比数列的性质知，231412a a a a a ⋅=⋅=，即42a =。
da2010年高考数学广东(文)
π 3 ． 6 2
π ， 2
2π 4． π 2
π ． 5
∴ f ( x) 3sin 4 x
（3）由 f ∴ cos
π π 9 π 3sin 3cos ， 3 6 5 4 12
3 ． 5
x ≥ 0，y ≥ 0， x ≥ 0，y ≥ 0， 12 x 8 y ≥ 64， 3 x 2 y ≥ 16， 即 6 x 6 y ≥ 42， x y ≥ 7， 6 x 10 y ≥ 54. 3 x 5 y ≥ 27.
0) ， B(4， 3) ， C (2， 5) ， D(0， 8) 处的值分别是 z 在可行域的四个顶点 A(9，
设 A 表示随机事件“5 名观众中任取 2 名，恰有 1 名观众年龄为 20 至 40 岁” ，则 A 中的基 本事件有 6 种：
Y1 A1，Y1 A2，Y1 A3，Y2 A1，Y2 A2，Y2 A3 ，
故所求概率为 P ( A)
6 3 ． 10 5
F
18． （本小题满分 14 分） （1）证明： ∵点 E 为 AC 的中点，且 AB BC，AC 为直径， ∴ EB ⊥ AC ． ∵ EC ⊥ 平面 BED ，且 BE 平面 BED ， ∴ FC ⊥ EB ． ∵ FC∩ AC C ， A ∴ EB ⊥ 平面 BDF ． ∵ FD 平面 BDF ， ∴ EB ⊥ FD ． （2）解：∵ FC ⊥ 平面 BED ，且 BD 平面 BED ， ∴ FC ⊥ BD ． 又∵ BC DC ， ∴ FD FB 5a ． ∴ VE FBD
2
∴ sin 1 cos
4 ． 5
17． （本小题满分 12 分） 解： （1）因为在 20 至 40 岁的 58 名观众中有 18 名观众收看新闻节目，而大于 40 岁的 42
广东省2010~2020年专插本考试《高等数学》真题及答案
广东省2010年普通高校本科插班生招生考试《高等数学》试题一、单项选择题（本大题共5小题,每小题3分，共15分）1．设函数()y f x =的定义域为(,)-∞+∞，则函数1[()()]2y f x f x =--在其定义域上是（）A ．偶函数B ．奇函数C ．周期函数D ．有界函数2．0x =是函数1,0()0,0x e x f x x ⎧⎪<=⎨≥⎪⎩的（）A ．连续点B ．第一类可去间断点C ．第一类跳跃间断点D ．第二类间断点3．当0x →时，下列无穷小量中，与x 等价的是（）A ．1cos x-B ．211x +-C ．2ln(1)x x ++D ．21x e -4．若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，则下列结论中正确的是（）A ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ=B ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()0f ξ'=C ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()()f b f a f b a ξ-'=-D ．在区间(,)a b 内至少存在一点ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰5．设22(,)f x y xy x y xy +=+-，则(,)f x y y∂∂=（）A ．2y x-B ．-1C ．2x y-D ．-3二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．设a ，b 为常数，若2lim()21x ax bx x →∞+=+，则a b +=.7．圆²²x y x y =+＋在0,0()点处的切线方程是.8．由曲线1y x=是和直线1x =，2x =及0y =围成的平面图形绕x 轴旋转一周所构成的几何体的体积V =.9．微分方程5140y y y '--'='的通解是y =.10．设平面区域22{(,)|1}D x y x y =+≤D={x ，y ）x ²+y'≤1}，则二重积分222()Dx y d σ+=⎰⎰.三、计算题（本大题共8小题，每小题6分，共48分）11．计算22ln sin lim(2)x xx ππ→-.12．设函数22sin sin 2,0()0,0x x x f x xx ⎧+≠⎪=⎨⎪=⎩，用导数定义计算(0)f '.13．已知点1,1()是曲线12xy ae bx =+的拐点，求常数a ，b 的值.14．计算不定积分cos 1cos xdx x -⎰.15．计算不定积分ln 51x e dx -⎰.16．求微分方程sin dy yx dx x+=的通解.17．已知隐函数(,)z f x y =由方程231x xy z -+=所确定，求z x ∂∂和z y∂∂.18．计算二重积分2Dxydxdy ⎰⎰，其中D 是由抛物线²1y x =+和直线2y x =及0x =围成的区域.四、综合题（本大题共2小题，第19小题10分，第20小题12分，共22分）19.求函数0Φ()(1)xx t t dt =-⎰的单调增减区间和极值。
2010年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解广东理科
2010年高考广东理科数学试题及答案一、选择题（共8小题；共40分）1. 若集合A=x−2<x<1，B=x0<x<2，则集合A∩B= A. x−1<x<1B. x−2<x<1C. x−2<x<2D. x0<x<12. 若复数z1=1+i，z2=3−i，则z1⋅z2= A. 4+2iB. 2+iC. 2+2iD. 33. 若函数f x=3x+3−x与g x=3x−3−x的定义域均为R，则 A. f x与g x均为偶函数B. f x为偶函数，g x为奇函数C. f x与g x均为奇函数D. f x为奇函数，g x为偶函数4. 已知数列a n为等比数列，S n是它的前n项和，若a2⋅a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为5，则4 S5= A. 35B. 33C. 31D. 29"是"一元二次方程x2+x+m=0有实数解"的 5. " m<14A. 充分非必要条件B. 充分必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件BBʹ=CCʹ=AB，则多6. 如图，△ABC为正三角形，AAʹ∥BBʹ∥CCʹ，CCʹ⊥平面ABC，且3AAʹ=32面体ABC−AʹBʹCʹ的正视图（也称主视图）是 A. B.C. D.7. 已知随机变量X服从正态分布N3,1，且P2≤X≤4=0.6826，则P X>4= A. 0.1588B. 0.1587C. 0.1586D. 0.15858. 为了迎接2010年广州亚运会，某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定，每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯所闪亮的颜色各不相同．记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁，在每个闪烁中，每秒钟有且仅有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是 A. 1205秒B. 1200秒C. 1195秒D. 1190秒二、填空题（共7小题；共35分）9. 函数f x=lg x−2的定义域是．10. 若向量a=1,1,x，b=1,2,1，c=1,1,1，满足条件c−a⋅2b=−2，则x=．11. 已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，若a=1，b=3，A+C=2B，则sin A=．12. 若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切，则圆O的方程是．13. 某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中n位居民的月均用水量分别为x1，⋯，x n（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若n=2，且x1，x2分别为1，2，则输出的结果S为．，∠OAP=30∘，则14. 如图，AB,CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=2a3CP=．15. 在极坐标系ρ,θ0≤θ<2π中，曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=−1的交点的极坐标为．三、解答题（共6小题；共78分）16. 已知函数f x=A sin3x+φA>0,x∈−∞,+∞,0<φ<π在x=π12时取得最大值4．（1）求f x的最小正周期；（2）求f x的解析式；（3）若f23α+π12=125，求sinα．17. 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的重量（单位：克），重量的分组区间为490,495,495,500,⋯,510,515，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示．（1）根据频率分布直方图，求重量超过505克的产品数量．（2）在上述抽取的40件产品中任取2件，设Y为重量超过505克的产品数量，求Y的分布列．（3）从流水线上任取5件产品，求恰有2件产品合格的重量超过505克的概率．18. 如图，AEC是半径为a的半圆，AC为直径，点E为AC的中点，点B和点C为线段AD的三等分点，平面AEC外一点F满足FB=FD=5a，EF=6a．（1）证明：EB⊥FD；（2）已知点Q，R分别为线段FE，FB上的点，使得FQ=23FE，FR=23FB，求平面BED与平面RQD所成二面角的正弦值．19. 某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐．已知一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和6个单位的维生素C；一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物，6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C．另外，该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物，42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C．如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元，那么要满足上述的营养要求，并且花费最少，应当为该儿童分别预订多少个单位的午餐和晚餐?−y2=1的左、右顶点分别为A1，A2，点P x1,y1，Q x1,−y1是双曲线上不同的20. 已知双曲线x22两个动点．（1）求直线A1P与A2Q交点的轨迹E的方程；（2）若过点H0, >1的两条直线l1和l2与轨迹E都只有一个交点，且l1⊥l2，求 的值．21. 设A x1,y1，B x2,y2是平面直角坐标系xOy上的两点，现定义由点A到点B的一种折线距离ρA,B为ρA,B=x2−x1+y2−y1．对于平面xOy上给定的不同的两点A x1,y1，B x2,y2，（1）若点C x,y是平面xOy上的点，试证明ρA,C+ρC,B≥ρA,B；（2）在平面xOy上是否存在点C x,y，同时满足①ρA,C+ρC,B=ρA,B；②ρA,C=ρC,B．若存在，请求出所有符合条件的点；若不存在，请予以证明．答案第一部分1. D2. A3. B 【解析】验证f−x=3−x+3−−x=f x，g−x=3−x−3−−x=−g x．4. C 【解析】a2⋅a3=a1q⋅a1q2=2a1，a1q3=2，即a4=2．又a4与2a7的等差中项为54，即a4+2a7=52，得a7=14．所以q=12，a1=16．所以S5=161−1251−12=31．5. A【解析】方程x2+x+m=0有实数解的充要条件为Δ=1−4m≥0,解得m≤1 4 .6. D7. B 【解析】由题设条件知μ=3，则P X>4=1−P2≤X≤4=1−0.6826=0.1587.8. C 【解析】由题意知共有5！=120个不同的闪烁，每次闪烁时间5秒，共5×120=600秒，每两次闪烁之间的间隔为5秒，共5×120−1=595秒．总共就有600+595=1195秒．第二部分9. 2,+∞10. 2【解析】由已知c=1,1,1，a=1,1,x，得c−a=0,0,1−x，所以c−a⋅2b=0,0,1−x⋅2,4,2=21−x=−2，即x=2．11. 12【解析】因为A+C=2B，所以B=60∘，又由正弦定理得：asin A =bsin B，所以sin A=a sin Bb=323=12．12. x+22+y2=213. 14【解析】当i=1时，S1=1，S2=1；当i=2时，S1=1+2=3；S2=1+22=5，此时S=12×5−12×9=14．i的值变成3，从循环体中跳出，输出S的值为14．14. 98a【解析】在△OPA中，P为AB的中点，∠OAP=30∘，所以AP=32a，又由相交弦定理得PC⋅PD=PA2，得PC⋅23a=32a2，即PC=98a．15. 2,34π【解析】两条曲线ρ=2sinθ与ρcosθ=−1的普通方程分别为x2+y2=2y与x=−1，交点坐标为−1,1，对应的极坐标为2,34π ．第三部分16. （1）因为f x=A sin3x+φ，所以T=2π3．（2）因为最大值为4，所以A=4．由题意得4sin3×π12+φ =4,则有sin3×π+φ =1,即π+φ=π+2kπ,k∈Z解得φ=π+2kπ,k∈Z因为0<φ<π故φ=π4．所以f x的解析式为f x=4sin3x+π.（3）由题意得4sin32α+π+π=12,即sin2α+π=3,从而cos2α=1−2sin2α=3 ,解得sinα=±5 5 .17. （1）重量超过505克的产品数量是40×0.05×5+0.01×5=12 件.（2）依题意Y 的所有可能取值为0,1,2．P Y =0 =C 282402=63,P Y =1 =C 121C 281C 402=2865,P Y =2 =C 122C 402=11130,所以Y 的分布列为Y 012P632811（3）该流水线上产品重量超过505克的概率为0.3．令ξ为任取的5件产品中重量超过505克的产品数量，则ξ～B 5,0.3 ， 故所求的概率为P ξ=2 =C 52 0.3 2 1−0.3 3=0.3087.18. （1）∵E 为AC 的中点，AB =BC ，AC 为直径， ∴EB ⊥AD ．∵EF 2=6a 2= 5a 2+a 2=BF 2+BE 2， ∴EB ⊥FB ． 又∵BF ∩BD =B ， ∴EB ⊥平面BDF ． ∵FD ⊂平面BDF ， ∴EB ⊥FD ．（2）方法一：如图，过D 作HD ∥QR ．由FQ =23FE ，FR =23FB ，知QR ∥EB ，∴HD ∥EB ．又∵D ∈平面 BED ∩平面 RQD ， ∴HD 为平面BED 与平面RQD 的交线． ∵DR ,DB ⊂平面 BDF ，BE ⊥平面 BDF ， ∴HD ⊥平面 BDF ，从而HD ⊥BD ，HD ⊥RD ，则∠RDB是平面BED与平面RQD所成二面角的平面角．由FB=FD，BC=CD，得FC⊥BD，则cos∠FBC=BCBF=a5a=55,从而sin∠FBC=25,由余弦定理得RD=BD2+BR2−2BD⋅BR cos∠RBD=2a2+5a3−2⋅2a⋅5a3⋅15=29 3a.由正弦定理得sin∠RDB=RBRD⋅sin∠FBC=5a3293⋅5=229.故平面BED与平面RQD所成二面角正弦值为22929．方法二：如图，以B为原点，BE为x轴正方向，BD为y轴正方向，过B作平面BEC的垂线，建立空间直角坐标系，由此得B0,0,0，C0,a,0，D0,2a,0，E a,0,0，由FD=FB，BC=CD，得FC⊥BD，则FC=2a．由FQ=23FE，FR=23FB，得R0,13a,23a ,从而RQ=23BE=23a,0,0,RD=0,5 3 a,−23a .设平面RQD的法向量为n1=x,y,z，则n1⋅RD=0,n1⋅RQ=0,即ax=0,5ay−2az=0,所以n1=0,2,5.而平面BED的法向量为n2=0,0,1，所以cos n1,n2=529,从而sin n1,n2=229.故平面BED与平面RQD所成二面角正弦值为22929．19. 设为该儿童分别预订x、y个单位的午餐和晚餐，共花费z元，则z=2.5x+4y，且满足以下条件12x+8y≥64,6x+6y≥42,6x+10y≥54,x,y≥0,化简得3x+2y≥16,x+y≥7,3x+5y≥27,x,y≥0,作出可行域如图，则z在可行域的四个顶点A9,0，B4,3，C2,5，D0,8处的值分别为z A=2.5×9+4×0=22.5,z B=2.5×4+4×3=22,z C=2.5×2+4×5=25,z D=2.5×0+4×8=32.比较之，z B最小，因此应当为该儿童预定4个单位的午餐和3个单位的晚餐，就可以满足要求．20. （1）由A1，A2为双曲线的左右顶点知A1 −2,0，A22,0，故有直线A1P的方程为y=1x1+2+2, ⋯⋯①直线A2Q的方程为y=1x1−2−2, ⋯⋯②两式相乘得y 2=−y 1212x 2−2 , 因为点P x 1,y 1 在双曲线上，所以x 122−y 12=1，即y 12x 12−2=12，故y 2=−12 x 2−2 ，整理得x 22+y 2=1, 因为点P ，Q 是双曲线上的不同两点，所以它们与点A 1，A 2均不重合， 故点A 1，A 2均不在轨迹上．过点 0,1 及A 2的直线l 的方程为x + 2y − 2=0， 解方程组x + 2y − 2=0,x 22−y 2=1,得x = y =0，所以直线l 与双曲线只有一个交点A 2． 故轨迹不经过 0,1 ，同理轨迹也不经过点 0,−1 ． 综上分析，轨迹E 的方程为x 22+y 2=1,x ≠0 且 x ≠± 2.（2）设l 1:y =kx + k >0 ，则由l 1⊥l 2知，l 2:y =−1k x + ． 将l 1:y =kx + 代入x 22+y 2=1，得x 22+ kx + 2=1，即 1+2k 2 x 2+4k x +2 2−2=0，若l 1与椭圆相切，则Δ=16k 2 2−4 1+2k 2 2 2−2 =0,即1+2k 2= 2. 同理，若l 2与椭圆相切，则1+2⋅1k = 2，由l 1与l 2与轨迹E 都只有一个交点包含以下四种情况： ①直线l 1与l 2都与椭圆相切，即1+2k 2= 2，且1+2⋅1k 2= 2，消去 2得1k 2=k 2，即k 2=1，从而2=1+2k 2=3，即 = 3；②直线l 1过点A 1 − 2,0 ，而l 2与椭圆相切，此时k ⋅ − 2 + =0，1+2⋅1k 2= 2，解得 = 1+ 172； ③直线l 2过点A 2 2,0 ，而l 1与椭圆相切，此时−1k ⋅ 2+ =0，1+2k 2= 2，解得 =1+ 172； ④直线l 1过点A 1 − 2,0 ，而直线l 2过点A 2 2,0 ，此时k ⋅ − 2 + =0，−1k⋅ 2 + =0，所以 = 2，综上所述， 的值为 3， ， 1+ 172． 21. （1）由绝对值不等式知普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解完美版ρA,C+ρC,B=x−x1+x2−x+y−y1+y2−y≥ x−x1+x2−x+y−y1+y2−y=x2−x1+y2−y1=ρA,B,当且仅当x−x1⋅x2−x≥0且y−y1⋅y2−y≥0时等号成立．（2）由ρA,C+ρC,B=ρA,B，得x−x1⋅x2−x≥0,且y−y1⋅y2−y≥0, ⋯⋯①由ρA,C=ρC,B，得x−x1+y−y1=x2−x+y2−y, ⋯⋯②因为A x1,y1,B x2,y2是不同的两点，则：1）若x1=x2且y1≠y2，不妨设y1<y2，由①得x=x1=x2且y1≤y≤y2，由②得y=y1+y22，此时，点C是线段AB的中点，即只有点C x1+x22,y1+y22满足条件；2）若x1≠x2且y1=y2，同理可得：只有AB的中点C x1+x22,y1+y22满足条件；3）若x1≠x2且y1≠y2，不妨设x1<x2． a．若y1<y2时，由①得x1≤x≤x2且y1≤y≤y2，由②得x+y=x1+x22+y1+y22，此时，所求点C的全体为M=x,y x+y=12x1+x2+y1+y2,x1≤x≤x2且y1≤y≤y2．b．若y1>y2时，类似地由条件①可得x1≤x≤x2且y2≤y≤y1，从而由条件②得x−y= 12x1+x2−y1−y2．此时，所求点C的全体为N=x,y x−y=12x1+x2−y1−y2,x1≤x≤x2且y2≤y≤y1．。
2010年广东高考理科数学试题及答案Word版
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
绝密★启用前
2010年普通高等学校招生全国统一考试（广东A卷）
数学（理科）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合A={
A. {x-2＜x＜1}，B={x0＜x＜2}则集合A ∩ B= x-1＜x＜1}
B. {x-2＜x＜1}
C. {-2＜x＜2}
D. {0＜x＜1}
2.若复数z1=1+i，z2=3-i，则z1·z2=
A．4 B. 2+ i C. 2+2 i D.3
3．若函数f（x）=3x+3-x与g（x）=3x-3-x的定义域均为R，则
A．f（x）与g（x）均为偶函数 B. f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
A．f（x）与g（x）均为奇函数 B. f（x）为奇函数，g（x）为偶函数 xx
5
{a}a?a?2a1，且a4与2a7的等差中项为4，4. 4.已知n为等比数列，Sn是它的前n项和。
若23
S则5=
A．35 B.33 C.31 D.29
m?
5. “
A．充分非必要条件 B.充分必要条件
C．必要非充分条件 D.非充分必要条件 14”是“一元二次方程x2?x?m?0”有实数解“的
3
6.如图1，△ ABC为三角形，AA?//BB? //CC? , CC? ⊥平面ABC 且3AA?=2BB?=CC? =AB,则多面体△ABC -A?B?C?的正视图（也称主视图）是 ABCD
7已知随机变量X服从正态分布N(3.1)，且p(2 ≤X ≤4)=0.6826，则p（X>4）= 第1页共12页。
2010年广东省高考数学试卷(理科)答案与解析
2010年广东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共8小题,每小题5分，满分40分)1．(5分)(2010•广东）若集合A=｛x|﹣2＜x＜1},B=｛x｜0＜x＜2},则集合A∩B=（) A．｛x｜﹣1＜x＜1} B．{x|﹣2＜x＜1｝C．{x|﹣2＜x＜2｝D．｛x｜0＜x＜1} 【考点】并集及其运算．【专题】集合．【分析】由于两个集合已知，故由交集的定义直接求出两个集合的交集即可．【解答】解：A∩B={x|﹣2＜x＜1}∩｛x|0＜x＜2}={x|0＜x＜1}．故选D．【点评】常用数轴图、函数图、解析几何中的图或文恩图来解决集合的交、并、补运算．2．（5分)（2010•广东）若复数z1=1+i，z2=3﹣i，则z1•z2=(）A．4+2i B．2+i C．2+2i D．3【考点】复数代数形式的乘除运算．【专题】数系的扩充和复数．【分析】把复数z1=1+i，z2=3﹣i代入z1•z2，按多项式乘法运算法则展开，化简为a+bi（a,b∈R）的形式．【解答】解：z1•z2=（1+i）•（3﹣i）=1×3+1×1+（3﹣1）i=4+2i；故选A．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查计算能力，是基础题．3．（5分）（2010•广东)若函数f（x）=3x+3﹣x与g（x)=3x﹣3﹣x的定义域均为R，则(）A．f（x）与g（x）均为偶函数 B．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数C．f（x）与g（x）均为奇函数 D．f（x）为偶函数,g(x）为奇函数【考点】函数奇偶性的判断．【专题】函数的性质及应用．【分析】首先应了解奇函数偶函数的性质，即偶函数满足公式f(﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g(x）．然后在判断定义域对称性后,把函数f（x)=3x+3﹣x与g（x)=3x﹣3﹣x 代入验证．即可得到答案．【解答】解：由偶函数满足公式f（﹣x）=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x)．对函数f（x）=3x+3﹣x有f(﹣x）=3﹣x+3x满足公式f（﹣x）=f（x)所以为偶函数．对函数g（x）=3x﹣3﹣x有g（﹣x）=3﹣x﹣3x=﹣g（x）．满足公式g(﹣x）=﹣g（x）所以为奇函数．所以答案应选择D．【点评】此题主要考查函数奇偶性的判断，对于偶函数满足公式f（﹣x)=f（x），奇函数满足公式g（﹣x）=﹣g（x）做到理解并记忆，以便更容易的判断奇偶性．4．(5分）（2010•广东)已知数列{a n}为等比数列,S n是它的前n项和，若a2•a3=2a1,且a4与2a7的等差中项为，则S5=（）A．35 B．33 C．31 D．29【考点】等比数列的性质;等比数列的前n项和．【专题】等差数列与等比数列．【分析】用a1和q表示出a2和a3代入a2•a3=2a1求得a4，再根据a4+2a7=a4+2a4q3，求得q，进而求得a1，代入S5即可．【解答】解：a2•a3=a1q•a1q2=2a1∴a4=2a4+2a7=a4+2a4q3=2×∴q=,a1==16故S5==31故选C．【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．5．(5分）（2010•广东）“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的(）A．充分非必要条件B．充分必要条件C．必要非充分条件D．非充分非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【专题】简易逻辑．【分析】利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性．关键看二者的相互推出性．【解答】解：由x2+x+m=0知,⇔．（或由△≥0得1﹣4m≥0,∴．），反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解"必有，未必有，因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．故选A．【点评】本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．6．（5分）（2010•广东）如图，△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′,CC′⊥平面ABC 且3AA′=BB′=CC′=AB,则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图（也称主视图)是（）A． B． C． D．【考点】简单空间图形的三视图．【专题】立体几何．【分析】根据几何体的三视图的作法，结合图形的形状,直接判定选项即可．【解答】解:△ABC为三角形，AA′∥BB′∥CC′，CC′⊥平面ABC，且3AA′=BB′=CC′=AB，则多面体△ABC﹣A′B′C′的正视图中，CC′必为虚线,排除B，C,3AA′=BB′说明右侧高于左侧，排除A．故选D【点评】本题考查简单几何体的三视图,考查空间想象能力，是基础题．7．（5分）（2010•广东）sin7°cos37°﹣sin83°cos53°的值为（）A．﹣B．C．D．﹣【考点】两角和与差的余弦函数．【专题】三角函数的求值．【分析】由题意知本题是一个三角恒等变换，解题时注意观察式子的结构特点,根据同角的三角函数的关系,把7°的正弦变为83°的余弦，把53°的余弦变为37°的正弦，根据两角和的余弦公式逆用，得到特殊角的三角函数，得到结果．【解答】解:sin7°cos37°﹣sin83°cos53°=cos83°cos37°﹣sin83°sin37°=cos（83°+37°）=cos120°=﹣，故选:A．【点评】本题考查两角和与差的公式，是一个基础题，解题时有一个整理变化的过程，把式子化归我可以直接利用公式的形式是解题的关键，熟悉公式的结构是解题的依据．8．(5分）（2010•广东）为了迎接2010年广州亚运会,某大楼安装5个彩灯，它们闪亮的顺序不固定．每个彩灯闪亮只能是红、橙、黄、绿、蓝中的一种颜色，且这5个彩灯闪亮的颜色各不相同，记这5个彩灯有序地闪亮一次为一个闪烁．在每个闪烁中，每秒钟有且只有一个彩灯闪亮，而相邻两个闪烁的时间间隔均为5秒．如果要实现所有不同的闪烁，那么需要的时间至少是(）A．1205秒B．1200秒C．1195秒D．1190秒【考点】分步乘法计数原理；排列及排列数公式．【专题】排列组合．【分析】彩灯闪烁实际上有5个元素的一个全排列，每个闪烁时间为5秒共5×120秒，每两个闪烁之间的间隔为5秒，共5×(120﹣1）,解出共用的事件．【解答】解:由题意知共有5！=120个不同的闪烁,每个闪烁时间为5秒，共5×120=600秒；每两个闪烁之间的间隔为5秒,共5×（120﹣1）=595秒．那么需要的时间至少是600+595=1195秒．故选C【点评】本题考查的是排列问题，把排列问题包含在实际问题中，解题的关键是看清题目的实质，把实际问题转化为数学问题，解出结果以后再还原为实际问题．二、填空题(共7小题，满分30分）9．（5分）(2011•上海）函数f（x)=lg(x﹣2）的定义域是（2，+∞）．【考点】对数函数的定义域．【专题】函数的性质及应用．【分析】对数的真数大于0，可得答案．【解答】解：由x﹣2＞0,得x＞2，所以函数的定义域为(2，+∞)．故答案为：（2，+∞）．【点评】本题考查对数函数的定义域,是基础题．10．（5分)（2010•广东）若向量，,，满足条件，则x=2．【考点】空间向量运算的坐标表示．【专题】空间向量及应用．【分析】先求出，再利用空间向量的数量积公式，建立方程，求出x【解答】解：，，解得x=2，故答案为2．【点评】本题考查了空间向量的基本运算,以及空间向量的数量积，属于基本运算．11．(5分）（2010•广东)已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B,C所对的边，若a=1，b=，A+C=2B,则sinC=1．【考点】正弦定理．【专题】解三角形．【分析】先根据A+C=2B及A+B+C=180°求出B的值，再由正弦定理求得sinA的值,再由边的关系可确定A的值，从而可得到C的值确定最后答案．【解答】解：由A+C=2B及A+B+C=180°知，B=60°,由正弦定理知，，即；由a＜b知,A＜B=60°，则A=30°,C=180°﹣A﹣B=90°，于是sinC=sin90°=1．故答案为：1．【点评】本题主要考查正弦定理的应用和正弦函数值的求法．高考对三角函数的考查以基础题为主，要强化记忆三角函数所涉及到的公式和性质，做到熟练应用．12．（5分）(2010•广东）若圆心在x轴上、半径为的圆O位于y轴左侧，且与直线x+y=0相切,则圆O的方程是（x+2）2+y2=2．【考点】关于点、直线对称的圆的方程．【专题】直线与圆．【分析】设出圆心,利用圆心到直线的距离等于半径,可解出圆心坐标,求出圆的方程．【解答】解：设圆心为（a，0）（a＜0），则,解得a=﹣2．圆的方程是（x+2）2+y2=2．故答案为：（x+2）2+y2=2．【点评】圆心到直线的距离等于半径，说明直线与圆相切;注意题目中圆O位于y轴左侧，容易疏忽出错．13．（5分）（2010•广东)某城市缺水问题比较突出，为了制定节水管理办法，对全市居民某年的月均用水量进行了抽样调查，其中4位居民的月均用水量分别为x1，…,x4（单位：吨）．根据如图所示的程序框图，若分别为1，1.5，1。