(完整版)《高等数学一》极限与连续历年试题模拟试题课后习题(汇总)(含答案解析).doc

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高等数学函数极限与连续习题及答案

1、函数()12++=x xx f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞→n n ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =αβ，是∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim2022020=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅==-→→→x x x x x x x x x 8、 01sin lim lim 1sin lim 000=⋅=→→→xx x x x x x ．错误 ∵xx 1sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()x e f 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<x e （2）∵1sin 102<-<x（3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sin lim ∞→＝（ x ）．∵x x nx n xn n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sinlimsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()b ax x xx --+-+∞→1lim2()()()bax x x b ax x x b ax x x x +++-+++---+-=+∞→111lim 222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()xx f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→x xax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim （ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→x x x 101lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ k e ）． ∵0sin 1lim sin lim =⋅=∞→∞→x x xx x x 111sinlim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x 14、limsin(arctan )x x →∞=（不存在），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列 2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa3、当0→x 时，1-x e 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

考研数学一(函数、极限、连续)模拟试卷10(题后含答案及解析)

考研数学一（函数、极限、连续）模拟试卷10(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．以下3个命题，①若数列{un}收敛于A，则其任意子数列{uni}必定收敛于A；②若单调数列{xn}的某一子数列{xni}收敛于A，则该数列必定收敛于A；③若数列{x2n}与{x2n+1}都收敛于A，则数列{xn}必定收敛于A．正确的个数为( )A．0B．1C．2D．3正确答案：D解析：对于命题①，由数列收敛的定义可知，若数列{un}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当n＞N时，恒有｜un一A｜＜ε．可知当ni ＞N时，恒有｜uni一A｜＜ε．因此数列{uni}也收敛于A，可知命题正确．对于命题②，不妨设数列{xn}为单调增加的，即x1≤x2≤…≤xn≤…，其中某一给定子数列{xni}收敛于A，则对任意给定的ε＞0，存在自然数N，当ni＞N时，恒有｜xni—A｜＜ε．由于数列{xn}为单调增加的数列，对于任意的n>N，必定存在ni≤n≤ni+1，有一ε，由极限的定义可知，对于任意给定的ε>0，必定存在自然数N1，N2：当2n＞N1时，恒有｜x2n一A｜＜ε；当2n+1＞N2时，恒有｜x2n+1一A｜＜ε．取N=max{N1，N2}，则当n＞N时，总有｜xn一A｜＜ε．因此．可知命题正确．故答案选择D．知识模块：函数、极限、连续2．设f(x)是偶函数，φ(x)是奇函数，则下列函数(假设都有意义)中，是奇函数的是( )A．f(φ(x))B．f(f(x))C．φ(f(x))D．φ(φ(x))正确答案：D解析：令g(x)=φ(φ(x))，注意φ(x)是奇函数，有g(一x)=φ(φ(一x))=φ(一φ(x))=一φ(φ(x))=一g(x)．知识模块：函数、极限、连续3．设f(x)=sin(cosx)，φ(x)=cos(sinx)，则在区间内( )A．f(x)是增函数，φ(x)是减函数B．f(x)，φ(x)都是减函数C．f(x)是减函数，φ(x)是增函数D．f(x)，φ(x)都是增函数正确答案：B解析：注意在内，sinx是增函数，cosx是减函数．任取x1，x2∈，且x1sin(cosx2)，即f(x)是减函数；由于sinx1cos(sinx2)，即φ(x)是减函数．知识模块：函数、极限、连续4．设则当n＞1时，fn(x)= ( )A．B．C．D．正确答案：C解析：知识模块：函数、极限、连续5．设则f(一x)等于( )A．B．C．D．正确答案：D解析：知识模块：函数、极限、连续6．设f(x)=u(x)+v(x)，g(x)=u(x)一v(x)，并设都不存在，下列论断正确的是( )A．若不存在，则必存在B．若不存在，则必不存在C．若存在，则*]必不存在D．若存在，则必存在正确答案：C解析：令，当x→0时可排除A；令当x→0时可排除B；令当x→0时可排除D．知识模块：函数、极限、连续7．两个无穷小比较的结果是( )A．同阶B．高阶C．低阶D．不确定正确答案：D解析：如当x→0时，都是无穷小．但不存在，故α(x)和β(x)无法比较阶的高低．知识模块：函数、极限、连续8．函数f(x)=xsinx ( )A．在(一∞，+∞)内无界B．在(一∞，+∞)内有界C．当x→∞时为无穷大D．当x→∞时极限存在正确答案：A解析：对于任意给定的正数M，总存在着点故f(x)在(一∞，+∞)内无界．C 错，对于任意给定的正数M，无论x取多么大的正数，总有xn=｜2nπ｜＞x(只要)，使f(xn)=xnsinxn=0的充要条件是( )A．α＞1B．α≠1C．α＞0D．与α无关正确答案：B解析：令知识模块：函数、极限、连续10．设当x→x0时，f(x)不是无穷大，则下述结论正确的是( )A．设当x+x0时，g(x)是无穷小，则f(x)g(x)必是无穷小B．设当x→x0时，g(c)不是无穷小，则f(x)g(x)必不是无穷小C．设在x=x0的某邻域g(x)无界，则当x→x0时，f(x)g(x)必是无穷大D．设在x=x0的某邻域g(x)有界，则当x→x0时，f(x)g(x)必不是无穷大正确答案：D解析：设当x→0时为无界变量，不是无穷大，令g(x)=x，当x→0时为无穷小，可排除A．设x→0时，令f(x)=x2,可排除B，C．知识模块：函数、极限、连续填空题11．设f(x)是奇函数，且对一切x有f(x+2)=f(x)+f(2)，又x(1)=a，a为常数，n为整数，则f(n)=__________．正确答案：m解析：令x=一1，则f(1)=f(-1)+f(2)，因f(x)是奇函数，得到f(2)=f(1)一f(-1)=2f(1)一2a．再令x=1，则f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=3a，现用数学归纳法证明f(n)=na．当n=1，2，3时，已知或者已证．假设n≤k时，有f(k)=ka．当n=k+1时，f(k+1)=f(k 一1)+f(2)=(k一1)a+2a=(k+1)a，故对一切正整数n，有f(n)=na，令x=0，则f(2)=f(0)+f(2)，即f(0)=0=0.a，又f(x)是奇函数，故对一切负整数n有f(n)=一f(-n)=一(一m)=na．所以对一切整数n，均有f(n)=na．知识模块：函数、极限、连续12．对充分大的一切x，以下5个函数：100x，log10x100，e10x，，最大的是__________．正确答案：解析：当x充分大时，有重要关系：eαx》xβ》lnγx，其中α，β，γ＞0，故本题填．知识模块：函数、极限、连续13．正确答案：0解析：知识模块：函数、极限、连续14．极限正确答案：2解析：知识模块：函数、极限、连续15．设则α，β的值为_________．正确答案：解析：知识模块：函数、极限、连续解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

(完整版)函数、极限与连续习题及答案

第一章函数、极限与连续(A)1．区间[)+∞,a 表示不等式( )A ．+∞<<x aB ．+∞<≤x aC ．x a <D ．x a ≥ 2．若()13+=t t ϕ，则()=+13t ϕ( )A ．13+tB ．26+tC ．29+tD ．233369+++t t t 3．设函数()()x x x x f arcsin 2513ln +-++=的定义域是( )A ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,31B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛-25,1C ．⎪⎭⎫⎝⎛-1,31 D ．()1,1-4．下列函数()x f 与()x g 相等的是( )A ．()2x x f =，()4x x g =B ．()x x f =，()()2x x g =C ．()11+-=x x x f ，()11+-=x x x g D ． ()112--=x x x f ，()1+=x x g 5．下列函数中为奇函数的是( )A ．2sin xx y = B ．xxe y 2-= C ．x x x sin 222-- D ．x x x x y sin cos 2+= 6．若函数()x x f =，22<<-x ，则()1-x f 的值域为( ) A ．[)2,0 B ．[)3,0 C ．[]2,0 D ．[]3,0 7．设函数()x e x f =(0≠x )，那么()()21x f x f ⋅为( )A ．()()21x f x f +B ．()21x x f +C ．()21x x fD ．⎪⎪⎭⎫⎝⎛21x x f8．已知()x f 在区间()+∞∞-,上单调递减，则()42+x f 的单调递减区间是( ) A ．()+∞∞-, B ．()0,∞- C ．[)+∞,0 D ．不存在 9．函数()x f y =与其反函数()x fy 1-=的图形对称于直线( )A ．0=yB ．0=xC ．x y =D ．x y -=10．函数2101-=-x y 的反函数是( ) A ．2lg-=x x y B ．2log x y = C ．xy 1log 2= D ．()2lg 1++=x y 11．设函数()⎩⎨⎧=是无理数是有理数x x a x f x ,0,10<<a ，则( )A ．当+∞→x 时，()x f 是无穷大B ．当+∞→x 时，()x f 是无穷小C ．当-∞→x 时，()x f 是无穷大D ．当-∞→x 时，()x f 是无穷小 12．设()x f 在R 上有定义，函数()x f 在点0x 左、右极限都存在且相等是函数()x f 在点0x 连续的( )A ．充分条件B ．充分且必要条件C ．必要条件D ．非充分也非必要条件13．若函数()⎩⎨⎧<≥+=1,cos 1,2x x x a x x f π在R 上连续，则a 的值为( )A ．0B ．1C ．-1D ．-2 14．若函数()x f 在某点0x 极限存在，则( ) A ． ()x f 在0x 的函数值必存在且等于极限值 B ．()x f 在0x 函数值必存在，但不一定等于极限值 C ．()x f 在0x 的函数值可以不存在 D ．如果()0x f 存在的话，必等于极限值15．数列0，31，42，53，64，…是( )A ．以0为极限B ．以1为极限C ．以n n 2-为极限 D ．不存在在极限 16．=∞→xx x 1sin lim ( )A ．∞B ．不存在C ．1D ．017．=⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞→xx x 211lim ( )A ．2-eB ．∞C ．0D ．21 18．无穷小量是( )A ．比零稍大一点的一个数B ．一个很小很小的数C ．以零为极限的一个变量D ．数零19．设()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤<≤-=31,110,201,2x x x x x f x 则()x f 的定义域为，()0f = ，()1f = 。

(完整版)函数极限与连续复习题参考答案

函数、极限与连续复习题一. 填空题:1. 函数 1 x y ln的奇偶性是奇函数 . x 12. 设 1 xf ( 1)，则 f (x) x2x 11 1 x.3. 函数 y 1 x 的复合过程是 y e u ,u 1 x .e 4. 函数 y sin 1 2x 的复合过程是 y sin u,u v, v 1 2x .5. 设 f (x) 的定义域是 [0,1] , 则函数 y= f (ln x) 的定义域 [1, e]6.sin x lim0 .xx7.1 lim (1n nn1) e 8.limn22n 3 4n4n 5=02x 2x k 9. 设4limx33x，则 k=___-3_. 24x 310. 设ax bf (x)x 1，lim f ( x) 0 x，则 a __-4_，b __-4.11. 设x时，bax 与tan x sin x 为等价无量小，则 a__1 2__，b __3__. 12. 函数1y的中断点有 x=-1,x=3 连续区间是 (, 1),( 1,3),(3, ) .2x x2 3二、选择题 1、ln( 1) 1 y xx2 的定义域为（ A ）A 、（—1，+∞）B 、( 1,1 ]C 、（—1，1）D 、（1，+∞）2、当x 0时，以下变量为无量小量的是（ D ）A、1sin B 、x11cos C 、e xx2D 、ln(1 )x3、 lim f ( x)A x x（A 为常数），则 f (x) 在x 处（ D ）A 、必定有定义B 、必定无定义C 、有定义且 f (x 0 ) AD 、不必定有定义4、设 f (x)xe , 0时；当x在点 x 0连续，则 a 的值等于（ D ）2 a x x 2 , 0当 A 0 B1 C1 D 、、、—、25、函数 f ( x) = ，则 x=3 是函数 f ( x) 的（D ） x 31 2A 、连续点 B、可去中断点C 、跳跃中断点D 、无量中断点6、 f (x) 在 x 处左、右极限存在是 f (x) 在 x 0 处连续的（ B ）A 、充分条件B 、必需条件C 、充要条件D 、以上都不是三. 求以下极限 :2x 1. lim x( x1)x2x 解： lim x( x1 ) x=lim x2 2x( x 1 x)( x 1 x)2 x 1 xlimxx2x1 x= lim x1 111 2x=122.limx 0tan x sin x3x 解： lim x 0tan x sin x 3 x = sin x(1 cos x) sin x 1 1 cos x lim lim( ) 3 2 x 0 x 0 x cos x x cos x x2x= lim x 0 1 cos 2x x = lim x 02 2 x = 1 23.x lim x x1 1 x解：xx 1lim =x x 1limx11x1x1x=1ee=e 24.x sin 2x limx x sin 3x 0解：x sin 2xlimx sin 30 x x=limx 011s in 2xxsin 3xx1 2 31 3 2=5. limx2x2x5sin解：limx12xsinx52x1sinx x=lim( )1x2x 5=1 112 2x6.limx 0 x x xx解：x x x ( x x x)( x x x) 1 1 lim lim limx 0 x 0 x 0x x( x x x) x x x 2 xx 1, x 0,四. 议论函数 f (x) 在点x 0处的连续性, 并作出它的图像.2 x, x 0解：在点x=0 处f (0 0) lim( x 1) 1，x 0 f (0 0) lim(2 x) 2x 0Q f (0 0) f (0 0)函数f (x) 在点x=0 处不连续函数的图形以下1x sin , x 0,五. 设f ( ) ( , ) 内连续, 应该如何选择数 a.要使f x在(x)x2a x , x 0.解：1x 0时, f (x) x sin 是初等函数，连续x2x 0时, f (x) a x 是初等函数，连续在x=0 处， 2f (0 0) lim( a x ) a ，x 01f (0 0) lim xsin 0, f (0) ax 0x则当 f (0 0) f (0 0) f (0) 即a=0 时函数 f (x) 在x=0 处连续所以，当a=0 f ( x)在( , ) 连续六. 设1x , x 1,f (x) e 求函数f (x) 的中断点, 并说明中断点的种类.ln( x 1), 1 x 1.解：在点x=1 处f (1 0) limx 1 1 1xe e，f (1 0) limln( x 1) ln 2x 1Q f (1 0) f (1 0) x=1 是函数的第一类中断点（跳跃中断点）七. 某田户有稻谷10 吨要销售. 当购置量在 4 吨之内时，订价500元/ 吨；当购置量在4 吨至8 吨时，高出 4 吨部分订价450 元/ 吨；当购置量大于8 吨时，高出8 吨部分订价400元/ 吨. 试将销售总收入与销量的函数关系式列出来.解：设x 表示销量， f (x) 表示销售总收入，由题意知当0x 4时，f (x) 500 x当4x 8时，f (x) 2000 450( x 4) 450 x200当x8时，f (x) 2000 450 (8 4) 400( x 8) 400 x600500 x, 0 x 4于是 f (x) 450 x200, 4 x 8400 x600, 8 x 10。

高等数学函数极限连续练习题及解析

高等数学函数极限连续练习题及解析第一篇：高等数学函数极限连续练习题及解析数学任务——启动——习题1一、选择题：(1)函数y=-x+arccosx+1的定义域是()2(A)x≤1;(B)-3≤x≤1(C)(-3,1)(D)xx<1⋂x-3≤x≤1(2)函数y=xcosx+sinx是()(A)偶函数(B)奇函数(C)非奇非偶函数(D)奇偶函数(3)函数y=1+cos{}{}π2x的最小正周期是()(A)2π(B)(4)与y=π(C)4(D)1 2x2等价的函数是()(A)x;(B)(x)(C)x)(D)23x⎧x-1-1<x≤0(5)f(x)=⎨,则limf(x)=()x0<x≤1x→0⎩(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空题：(1)若f ⎪=⎛1⎫⎝t⎭5+2t2,则f(t)=_________,ft2+1=__________.t()⎧⎪1(2)φ(t)=⎨⎪sinx⎩π⎫⎛π⎫3，则φ⎛φ⎪=______。

⎪=______,π⎝6⎭⎝6⎭x>30,1]，则fx2的定义域为______，f(sinx)的定义域为x≤π(3)若f(x)的定义域为()______，f(x+a)(a>0)的定义域为___，f(x+a)+f(x-a)(a>0)的定义域为______。

1-4x2(4)lim。

=__________12x+1x→-2(5)无穷小量皆以______为极限。

三、计算题(1)证明函数y=11sin在区间(0,1]上无界，但当x→+0时，这个函数不是无穷大。

xx(2)求下列极限(1)lim2x3+3x2+5x→∞7x3+4x2-1(3)lim(tanx)tan2xx→π(5)limex-1xx→0(7)lim+xsinx-1x→0x2arctanx(2)lim1-cos2x x→0xsinx(4)lim(1+2n+3n1n n→∞(6)limtanx-sinxx→0sin32x ⎛1(8)limx ex-1⎫⎪x→∞⎝⎪⎭(3)设f(x)=⎨⎧1-xx<0，求limf(x)。

函数、极限与连续测试卷带答案

函数、极限与连续测试卷带答案第一篇：函数、极限与连续测试卷带答案上海民航学院函数、极限与连续测试卷总分100分命题人:叶茂莹一、填空题（每空2分，共20分）1、函数y=3-2x|-4的定义域是；解：|3-2x|-4≥0,3-2x≥4,或3-2x≤-4 ∴-2x≥1,或-2x≤-717∴x≤-,或x≥ 2217∴x∈(-∞,-]⋃[,+∞)222、把复合函数y=earctan(1+x)分解成简单的函数________________________；解：y=eu,u=arctanv,v=1+x23、函数y=arcsin2x的反函数是_____________________；1⎡ππ⎤解：y=sinx,x∈⎢-,⎥ 2⎣22⎦⎛1+x⎫4、lim ⎪； x→∞⎝x⎭2x2⎛1+x⎫解：lim ⎪x→∞⎝x⎭2x⎡⎛1⎫x⎤=lim⎢1+⎪⎥=e2 x→∞⎝x⎭⎦⎢⎥⎣2(2x-1)15(3x+1)30=；5、limx→∞(3x-2)45(2x-1)15(3x+1)30215⨯330⎛2⎫==⎪解：lim4545x→∞(3x-2)3⎝3⎭x2-3x+26、lim2；x→2x+4x-12(x-1)(x-2)=lim(x-1)=1x2-3x+2lim解：lim2 x→2x+6x→2x+4x-12x→2x+6x-28157、x→1=；2解：lim=x→1x→x-12x→12=x→1 =x→13x-1==34x+2的连续区间为(x+1)(x-4)解：x+2≥0,且(x+1)(x-4)≠08、函数f(x)=∴x≥-2,x≠-1,x≠4,∴x∈[-2,-1)⋃(-1,4)⋃(4,+∞)ax2+bx-19、已知a，b为常数，lim=2，则a=，b=.x→∞2x+1ax2+bx-1解：因为x的最高次为2，lim=2 x→∞2x+1所以a=0，b=2，即b=42x≠0在点x=0处连续，则a=x=0x1-⎤⎡=lim⎢(1-x)x⎥x→0⎣⎦-22⎧x⎪10、已知f(x)=⎨(1-x)⎪a⎩解：limf(x)=lim(1-x)x→0x→0=e-2因为f(x)在点x=0处连续，f(0)=a=limf(x)=e-2，所以a=e-2。

(完整版)函数、极限与连续习题及答案

(完整版)高等数学函数的极限与连续习题精选及答案

1、函数()12++=x x x f 与函数()113--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。

∴()12++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与()x g 是不同的函数。

2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。

3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()nn x 1-=是有界数列，但极限不存在4、a a n n =∞→lim ，a a n n =∞→lim ．错误如：数列()nn a 1-=，1)1(lim =-∞→nn ，但n n )1(lim -∞→不存在。

5、如果()A x f x =∞→lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。

6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim=αβ，是 ∴01lim lim =⎪⎭⎫⎝⎛-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。

9、 e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+→11lim 0．错误 ∵e x xx =⎪⎭⎫⎝⎛+∞→11lim10、点0=x 是函数xxy =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim1lim 00=+→xx x ∴点0=x 是函数xxy =的第一类间断点．11、函数()x f x1=必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．错误 ∵根据连续函数在闭区间上的性质，()x f x1=在0=x 处不连续 ∴函数()x f x1=在闭区间[]b a ,内不一定取得最大值、最小值二、填空题：1、设()x f y =的定义域是()1,0，则（１）()xef 的定义域是（ (,0)-∞ ）；（２）()x f 2sin 1-的定义域是（ ,()2x x k x k k Z πππ⎧⎫≠≠+∈⎨⎬⎩⎭）；（３）()x f lg 的定义域是（ (1,10) ）．答案：（1）∵10<<xe （2）∵1sin 102<-<x （3）∵1lg 0<<x2、函数()⎪⎩⎪⎨⎧≤<-=<<-+=403000222x x x x x x f 的定义域是（ (]4,2- ）．3、设()2sin x x f =，()12+=ϕx x ，则()[]=ϕx f （ ()221sin +x ）．4、nxn n sinlim ∞→＝（ x ）．∵x x n x n x n n x n x n n n n =⋅==∞→∞→∞→sinlim 1sin limsin lim 5、设()11cos 11211xx x f x x x x π-<-⎧⎪⎪=-≤≤⎨⎪->⎪⎩，则()10lim x f x →--=（ 2 ），()=+→x f x 01lim （ 0 ）． ∵()1010lim lim (1)2x x f x x →--→--=-=，()()01lim lim 0101=-=+→+→x x f x x6、设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=00cos 12x ax x x x f ，如果()x f 在0=x 处连续，则=a （ 21 ）．∵21cos 1lim 20=-→x x x ，如果()x f 在0=x 处连续，则()a f xx x ===-→021cos 1lim 20 7、设0x 是初等函数()x f 定义区间内的点，则()=→x f x x 0lim （ ()0x f ）．∵初等函数()x f 在定义区间内连续，∴()=→x f x x 0lim ()0x f8、函数()211-=x y 当x →（ 1 ）时为无穷大，当x →（ ∞ ）时为无穷小．∵()∞=-→2111limx x ，()011lim2=-∞→x x9、若()01lim2=--+-+∞→b ax x x x ，则=a （ 1 ），=b （ 21-）． ∵()()b ax x x b ax x x x +++-+-+-=+∞→11lim 222()()()b ax x x b x ab x a x +++--++--=+∞→11211lim 2222欲使上式成立，令012=-a ，∴1a =±，上式化简为()()()2211212112lim lim lim1x x x bab ab x b ab a →+∞→+∞→+∞--++-++--+==+∴1a =，021=+ab ，12b =-10、函数()x x f 111+=的间断点是（ 1,0-==x x ）． 11、()34222+--+=x x x x x f 的连续区间是（ ()()()+∞∞-,3,3,1,1, ）．12、若2sin 2lim =+∞→xxax x ，则=a （ 2 ）． ()200lim sin 2lim sin 2lim =+=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+∞→∞→∞→a a x x a x x ax x x x ∴2=a 13、=∞→x x x sin lim（ 0 ），=∞→xx x 1sin lim （ 1 ）， ()=-→xx x 11lim （ 1-e ），=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→kxx x 11lim （ ke ）． ∵0sin 1lim sin lim=⋅=∞→∞→x x xx x x 111sin lim1sin lim ==∞→∞→xx x x x x()[]1)1(110)(1lim 1lim --⋅-→→=-+=-e x x xx x x k kx x kxx e x x =⎥⎦⎤⎢⎣⎡+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→∞→)11(lim 11lim14、limsin(arctan )x x →∞=（不存在），lim sin(arccot )x x →+∞=（ 0 ）三、选择填空：1、如果a x n n =∞→lim ，则数列n x 是（ b ）a.单调递增数列 b ．有界数列 c ．发散数列2、函数()()1log 2++=x x x f a 是（ a ）a ．奇函数b ．偶函数c ．非奇非偶函数 ∵()()11log 1)(log 22++=+-+-=-x x x x x f aa()()x f x x a -=++-=1log 23、当0→x 时，1-xe 是x 的（ c ）a ．高阶无穷小b ．低阶无穷小c ．等价无穷小4、如果函数()x f 在0x 点的某个邻域内恒有()M x f ≤（M 是正数），则函数()x f 在该邻域内（ c ）a ．极限存在b ．连续c ．有界5、函数()x f x-=11在（ c ）条件下趋于∞+. a ．1→x b ．01+→x c ．01-→x6、设函数()x f xxsin =，则()=→x f x 0lim （ c ）a ．１b ．－１c ．不存在 ∵1sin lim sin limsin lim000000-=-=-=-→-→-→xx x x x xx x x1sin lim sin lim 0000==-→+→xx x x x x 根据极限存在定理知：()x f x 0lim →不存在。

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.第二章极限与连续[单选题 ]1、若 x0 时，函数 f (x )为 x 2的高阶无穷小量，则=（）A、0B、C、1D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】本题考察高阶无穷小.根据高阶无穷小的定义，有.[单选题 ]2、与都存在是函数在点处有极限的（）.A、必要条件B、充分条件C、充要条件D、无关条件【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】时，极限存在的充分必要条件为左、右极限都存在并且相等，所以若函数在点处有极限，则必有与都存在.但二者都存在，不一定相等，所以不一定有极限.[单选题 ]3、（） .A、B、 1C、D、 0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]4、如果则（）.A 、 0B 、 1C、 2D、 5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】根据重要极限 ,[单选题 ]5、（） .A 、 0B 、∞C、 2D、 -2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】分子分母同除以，即[单选题 ]6、（） .A 、 0B 、∞C、 2D、 -2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]7、设，则（）.A、B、 2C、D、 0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]8、当时，与等价的无穷小量是（）. A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】由于故与等价,推广，当时，[单选题 ]9、时，与等价的无穷小量是（）. A、B、.C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】由于，故与等价,推广，当时，[单选题 ]10、函数的间断点是（）.A 、 x=6 、x=-1B、x=0、 x=6C、x=0、 x=6、x=-1D、x=-1 、x=0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】由于, 所以的间断点是x=0， x=6， x=-1.[单选题 ]11、设,则是的（）.A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】，即的左右极限存在且相等，但极限值不等于函数值，故为可去型间断点.[单选题 ]12、计算（） .A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]13、计算（） .A、B、C、D、1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]14、（）.A、1B、﹣ 1C、2D、﹣ 2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]15、下列各式中正确的是（） .A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】A ，当时，极限为，错误；B，，错误；C，，错误，D正确. [单选题 ]16、函数的间断点个数为（）.A 、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】在x=0和x=1处，无定义，故间断点为 2 个. [单选题 ]17、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）A、B、C、D、arctan x【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，.[单选题 ]18、（）A、0B、1C、不存在，但不是∞D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ].19、函数，则x=0是f(x)的()A、可去间断点B、跳跃间断点C、无穷间断点D、连续点【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】故为可去间断点.[单选题 ]20、（） .A、-1B、2C、1D、0【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】为有界函数，故原式=.[单选题 ]21、（） .A、B、.C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]22、下列极限存在的是（） .A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当 x 趋近于0时，为有界函数，故极限存在. [单选题 ]23、下列变量在的变化过程中为无穷小量的是（）.A、B、C、.D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】，，，不存在,[单选题 ]24、极限=( )A、0B、2/3C、3/2D、9/2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】[单选题 ]25、函数 f(x)=的所有间断点是( )A、x=0B、x=1C、x=0， x=-1D、x=0， x=1【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】 x=1 时，分母为 0，无意义。

x=0 时，分子的指数分母为 0，无意义。

.26、极限（）．A、－∞B 、 0C、 1D、＋∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材 P48～ 50．（ 2015 年 4 月真题）[单选题 ]27、函数的所有间断点为（）．A 、x＝0，x＝1B 、x＝0，x＝2C、x＝1，x＝2D、x＝0，x＝1，x＝2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】本题考查间断点，由定义可知答案为D。

参见教材P64．（ 2015 年 4 月真题）[单选题 ]28、设函数 f （ x ）＝2x 2， g （ x ）＝sin x ，则当 x →0时（）．A 、f（x）是比g（x）高阶的无穷小量B 、f（x）是比g（x）低阶的无穷小量C、f（x）与g（x）是同阶但非等价的无穷小量D、f（x）与g（x）是等价无穷小量【从题库收藏夹删除】【正确答案】 A【您的答案】您未答题【答案解析】当 x →0时，sin x 和 x 是等价无穷小量，2x2是x的高阶无穷小量．所以选择 A ．参见教材 P59～ 61。

（ 2014 年 4 月真题）.[单选题 ]29、设函数在x＝2处连续，则（）．A 、a＝1，b＝4B 、a＝0，b＝4C、a＝1，b＝5D、a＝0，b＝5【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】在 x ＝2点连续，那么在这一点左右极限相等，且等于该点函数值．所以有 3x2－ 4＋a＝b＝x＋ 2，解得 a ＝0， b ＝4，选B．参见教材 P63～ 64。

（ 2014 年 4 月真题）[单选题 ]30、若函数在x＝0处连续，则常数k＝（）．A 、 1B 、 2C、 3D、 4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】在 x ＝0点连续，因此因此选择D．参见教材 P63～ 64。

（ 2014 年 10 月真题）[单选题 ]31、函数的间断点的个数为（）．A 、 1B 、 2.C、 3D、 4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】解得x＝± 1．因此选择 B ．参见教材 P64。

（ 2014 年 10 月真题）[单选题 ]32、设函数，则为（）。

A、不存在B、0C、1D、2【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】。

参见教材P48。

[单选题 ]33、当时，下列变量为无穷小量的是（）。

A、B、C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题.【答案解析】当时，，，，。

参见教材 P59。

[单选题 ]34、极限=（）.A、-2B、0C、2D、﹢∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材P48。

[单选题 ]35、函数的所有间断点是（）.A、0B、-1C、D、【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】根据间断点的定义可知，均是函数的间断点。

参见教材P64。

[单选题 ]36、极限=（）.A、0B、1C、2D、3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 B【您的答案】您未答题【答案解析】等于最高次项的系数之比。

故选B。

[单选题 ]37、极限的所有间断点为（）.A、x=-1B、x=2C、x=2D、x=2， x=3【从题库收藏夹删除】【正确答案】 D【您的答案】您未答题【答案解析】当 x=2，x=3 时，f(x) 没有意义，所以极限的所有间断点为2，3。

故选 D。

[单选题 ]38、极限（）.A、0B、C、D、∞【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】等于最高次项的系数之比。

故选C。

参见教材 P52。

[单选题 ]39、函数的全部间断点为（）.A、x=－1 及 x=4B、x=－1 及 x=－4C、x=1 及 x=－4D、x=1 及 x=4【从题库收藏夹删除】【正确答案】 C【您的答案】您未答题【答案解析】当x=1，x=－4时，f(x)没有意义，所以函数的全部间断点为x=1， x=－ 4。

故选 C。

参见教材P64。

[解答题 ]40、极限=_________ ．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】[解答题 ]41、极限_________.【从题库收藏夹删除】【正确答案】 1【您的答案】您未答题【答案解析】。

[解答题 ]42、讨论函数在 x =0处的连续性．【从题库收藏夹删除】【正确答案】，.，所以在 x =0处连续。

【您的答案】您未答题[解答题 ]43、设求.【从题库收藏夹删除】【正确答案】故【您的答案】您未答题[解答题 ]44、计算【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题 ]45、证明方程在区间 (0,1)内必有根 .【从题库收藏夹删除】【正确答案】设则在[0,1]上连续，当时，当时，即.根据零点定理：存在，使得即在区间 (0,1)内必有根 .【您的答案】您未答题[解答题 ]46、设，在内连续，求的值. 【从题库收藏夹删除】【正确答案】要使在内连续，则保证在和点连续，在处，所以，在处，所以.【您的答案】您未答题[解答题 ]47、计算极限【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题[解答题 ]48、计算【从题库收藏夹删除】【正确答案】此题是 0/0 型，所以用洛必达法则上下求导得到此题还可以用等价替换来做【您的答案】您未答题[解答题 ]49、求 a 的值，使得函数f(x)=在x=0处连续.【从题库收藏夹删除】【正确答案】，所以当时函数 f(x) 在 x=0 处连续 .【您的答案】您未答题[解答题 ]50、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】e6【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材 P55～ 58．（ 2015 年 4 月真题）[解答题 ]51、求常数 a 的值，使函数在x＝0处连续．【从题库收藏夹删除】【正确答案】a＝ 1【您的答案】您未答题【答案解析】当 x ≠0时，当 x ＝0时， f (x )＝ a ．由于函数在 x ＝0处连续，所以 a ＝1．参见教材 P63～ 64．（ 2015 年 4 月真题）[解答题 ]52、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】－3【您的答案】您未答题【答案解析】参见教材 P59～ 61．（ 2015 年 4 月真题）[解答题 ]53、求极限．【从题库收藏夹删除】【正确答案】【您的答案】您未答题【答案解析】.参见教材 P48～ 50。