金融时间序列分析复习资料

一、单项选择题（每题2分，共20分） P61关于严平稳与（宽）平稳的关系；
弱平稳的定义：对于随机时间序列y t ，如果其期望值、方差以及自协方差均不随时间t 的变化而变化，则称y t 为弱平稳随机变量，即y t 必须满足以下条件： 对于所有时间t ，有 （i ）
E （yt ）=μ为不变的常数；
（ii ） Var （yt ）=σ²为不变的常数；
（iii ） γj =E[y t -μ][y t-j -μ]，j=0，±1，,2，… （j 为相隔的阶数）
（μ=0，cov （y t ，y t-j ）=0，Var （yt ）=σ²时为白噪音过程，常用的平稳过程。

） 从以上定义可以看到，凡是弱平稳变量，都会有一个恒定不变的均值和方差，并且自协方差只与y t 和y t-j 之间的之后期数j 有关，而与时间t 没有任何关系。

严平稳过程的定义：如果对于任何j 1,，j 2，...,j k ,随机变量的集合（y t ，
y t+j1,，y t+j2，…，y t+jk ）只依赖于不同期之间的间隔距离（j 1，j 2，…，
j k ），而不依赖于时间t ，那么这样的集合称为严格平稳过程或简称为严平稳
过程，对应的随机变量称为严平稳随机变量。

P46 t X 的k 阶差分是；△
ｋ
X t =△
ｋ-1
X t -△
ｋ-1
X t-1，△ 表示差分
符号。

滞后算子；P54对于AR ： L p y t =y t-p ，对于MA ：L
ｐ
εt =εt-ｐ
AR （p ）模型即自回归部分的特征根—平稳性；确定好差分方程的阶数，则其特征方程为：λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0，若所有的特征根的│λ│<1则平稳 补充：逆特征方程为：1-α1ｚ1
-α2ｚ²-…-αp ｚp
=0，若所有的逆特征根│ｚ│>1，则平稳。

注意：特征根和逆特征方程的根互为倒数。

如：p57作业3： y t =1.2y t-1-0.2y t-2+εt ，为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。

MA(q )模型121.10.24t t t t X εεε--=-+，则移动平均部分的特征根----可逆性；p88 所谓可逆性，就是指将MA 过程转化成对应的AR 过程 MA 可逆的条件是其逆特征方程的根全部落在单位圆外， 即1+θ1ｚ
1
+θ2ｚ²+…+θp ｚp =0，│ｚ│>1，
此题q 为2，逆特征方程为：1-1.1ｚ+0.24ｚ²=0，
解得：Z=
若一序列满足ARIMA( p , d , q )模型(d > 0) , 则此序列平稳吗？
答：平稳，因为ARIMA( p , d , q )模型表表示经过d 次差分后的序列，其必定是平稳时间序列。

二、填空题（每题2分，共20分）。

平稳时间序列的特点：平稳时间序列的特征方程的单位根的绝对值都小于1,逆特征方程的根的绝对值都大于1。

（i ）
E （yt ）=μ为不变的常数；
（ii ） Var （yt ）=σ²为不变的常数；
（iii ） γj =E[y t -μ][y t-j -μ]，j=0，±1，,2，… （j 为相隔的阶数）
ARMA 所对应的AR 特征方程为？其MA 逆特征方程为？ 对于自回归移动平均过程ARMA （p ，q ）：y t =c+α1
y t-1 +α2 y t -2+…+αp
y t-p +εt +θ1εt+θ2εt-2+…+θq εt-q ，其对应的AR 的特征方程为：
λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0，MA 的逆特征方程为：1+θ1ｚ
1
+θ2ｚ
²+…+θp ｚp =0
已知AR （1）模型为：),0(~，x 7.02x 2t t 1-t t εσεεWN ++=，则)(t x E =
20/3 ,偏自相关系数11φ= 0.7 。

设{}x t 为一时间序列，B 为延迟算子，则=t 2y B y t -2 。

如果观察序列的时序图平稳，并且该序列的自相关图拖尾，偏相关图1阶截尾，则选用什么ARMA 模型来拟合该序列？
ARMA 模型包括：AR （）,MA （）.ARMA （）。

条件异方差模型记号: ARCH(p),
GARCH(p ，q),GARCH-in-Mean,TGARCH,EGARCH,PGARCH,CGARCH,
三、计算题（ 共4小题，每小题5分，共20分） P57 运用滞后算子得出其逆特征方程
1-α1ｚ1-α2ｚ²-…-αp ｚp
=0。

或用特征方程：：λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0
例p57（1）.y t =1.2y t-1-0.2y t-2+εt ，
为二阶差分，其特征方程为：λ2-1.2λ+0.2=0，解得λ1=1，λ2=0.2，由于λ1=1，所以不平稳。

为一阶单整。

对下列ARIMA 模型，求)(t Y E ∇和)(t Y Var ∇。

1175.03---++=t t t t e e Y Y （t e 为零均值、方差为2e σ的白噪声序列）
关于上面答案的分析：var 表示方差，因为白噪音为均值为零、相关系数 cov （y t ，y t-j ）=0也为零，又方差为2e σ，所以得到以上运算结果； 注意方差的运算及性质：
1．设C 为常数，则D(C) = 0（常数无波动）； 2．D(CX)=C 2 D(X) （常数平方提取）； 3.当X 与Y 相互独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)
4.当X 与Y 不独立时，D(X±Y)=D(X)+D(Y)+cov （X,Y ）
对于ARMA 过程 写出其自回归部分ar()及移动平均部分 ma()的特征方程，并求出其各自的特征根，进而判断所给定的过程是否稳定？是否可逆？ 对于自回归移动平均过程ARMA （p ，q ）：
y t =c+α1 y t-1 +α2 y t -2+…+αp y t-p +εt +θ1εt+θ2εt-2+…+θq εt-q ，其
⎪⎩⎪
⎨⎧=+=-+=∇=-+=∇--22
2111625)75.01()75.03()(3
)75.03()(e e t t t t t t e e Var Y Var e e E Y E σσ
对应的AR 的特征方程为：λp -α1λp-1-α2λp-2-…-αp =0，MA 的逆
特征方程为：1+θ1ｚ
1
+θ2ｚ²+…+θp ｚp =0。

因为ARMA
模型中MA 一定平稳，所以若AR 平稳则ARMA 平稳，即AR 的特征方程的根全都小于零。

假定某公司的年销售额（单位：百万美元)符合AR(2)模型：,4.0621t t t t e Y Y Y +-+=-- 其中12=e σ。

2005年、2006年和2007年的销售额分别是800万美元，1000万美元和1200万美元，预测2008年和2009年的销售额。

Y 2008=6+Y 2007-0.4Y 2006=806（万美元）；Y 2009=6+Y 2008-0.4Y 2007=332（万美元）
四、证明题（16分） P111
考虑MA （2）模型 y t
=εt -θ1εt-1-θ2εt-2
（a ） 求出y t 的均值与方差。

答：E （y t ）=E （
εt -θ1εt-1-θ2εt-2）=0，
var （y t ）=γ0=E （y t -μ）²=（1+θ12+θ22）σ2
五、 实验题（共8小题，每小题3分，共24分）
1、序列 ,6.0321t t t t e Y Y Y +-+=--（t e 为零均值、方差为2e σ=2的白噪声序列）是平稳的，在Eviews 中可以生成此过程的数据来从图像上直观观察其平稳性，请写出该数据生成过程的Eviews 代码：
smpl @first @first+1 series y=0
smpl @first+2 @last
series y=3+y(-1) -0.6*y(-2)+@sqrt(2)*nrnd smpl @first @last
2、给出ARMA 模型的建模流程。

（a ）识别 （b ）估计
（c）诊断
（d）预测
3、已知某序列的时序图如下:试问此序列平稳吗?
4.单位根检验可用来判断序列是否是平稳的，下面是某序列的单位根检验结果，试问此序列平稳吗?
5. 已知某平稳序列的样本自相关和样本偏相关函数的图像如下:
试问应判定此序列是何种序列?即对ARMA(p, q) 模型进行定阶，确定具体是何种模型？
6. 已判定某序列y 满足下列模型:
试问对模型中参数作估计时, 在执行操作Quick\Estimate Equation 后出现的Equation Estimation 窗口中应输入什么命令？
应输入：c ar（） ar（）
如果是在Commmand命令窗口直接操作，又应输入什么命令？
应输入 LS c ar（） ar（）
7、某时间系列进行ARMA(p, q) 模型建模后，检验其残差结果如下：
请根据此检验结果回答该模型残差检验是否通过？模型是否是合适的？
AIC越小越好，所以 A优于C优于B。