2012年全国高中数学联赛试题
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(B卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（B 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012B1、对于集合{}b x a x ≤≤，我们把a b -称为它的长度。
设集合{}1981+≤≤=a x a x A ，{}b x b x B ≤≤-=1014，且B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，则集合B A 的长度的最小值是◆答案：983★解析：因为B A ,都是集合{}20120≤≤=x x U 的子集，所以310≤≤a ，20121014≤≤b ，{}19811014|+≤≤-=a x b x B A ，或{}b x a x B A ≤≤=| ，故当2012,0==b a 或者1014,31==b a 时，集合B A 的长度最小，最小为9833110149981981=-=-2012B 2、已知0,0>>y x ，且满足⎪⎩⎪⎨⎧=-=+=+120)sin()sin(1)sin(2)(cos 222y x y x y x ππππ，则有序实数对=),(y x ◆答案：()2,4★解析：由1)sin(2)(cos 2=+y x ππ及0)sin()sin(=+y x ππ得()()[]0sin 2sin =+x x ππ，得()0sin =x π，代入0)sin()sin(=+y x ππ得()0sin =y π可得y x ,都是整数。
由()()1222=-+=-y x y x y x ，y x y x +<-，得⎩⎨⎧=+=-62y x y x ，解得⎩⎨⎧==24y x ，故有序实数对),(y x 即为()2,4。
2012B3、如图，设椭圆12222=+b y a x （0>>b a ）的左右焦点分别为21,F F ，过点2F 的直线交椭圆于),(11y x A ，),(22y x B 两点。
若B AF 1∆内切圆的面积为π，且421=-y y ，则椭圆的离心率为◆答案：1★解析：由性质可知B AF 1∆的周长为a 4，内切圆半径为1，则2122114211y y c a S B AF -⨯⨯=⨯⨯=∆，可得c a 2=，即21==a c e 2012B 4、若关于x 的不等式组⎩⎨⎧≤-->--+012033223ax x x x x ，（0>a ）的整数解有且只有一个，则a 的取值范围为◆答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡34,43★解析：由03323>--+x x x 解得13-<<-x 或1>x ，所以不等式组的唯一整数解只可能为2-或2。
2012年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
2012年全国高中数学联合竞赛（A 卷）一试一、填空题：本大题共8个小题，每小题8分，共64分。
2012A1、设P 是函数xx y 2+=（0>x ）的图像上任意一点，过点P 分别向直线x y =和y 轴作垂线，垂足分别为B A ,，则PB PA ⋅的值是◆答案：1-★解析：设0002(,),p x x x +则直线PA 的方程为0002((),y x x x x -+=--即0022.y x x x =-++由00000011(,).22y xA x x y x x x x x=⎧⎪⇒++⎨=-++⎪⎩又002(0,),B x x +所以00011(,(,0).PA PB x x x =-=-故001() 1.PA PB x x ⋅=⋅-=- 2012A 2、设ABC ∆的内角C B A ,,的对边分别为c b a ,,，且满足c A b B a 53cos cos =-，则BAtan tan 的取值为◆答案：4★解析：由题设及余弦定理得222223225c a b b c a a b c ca bc +-+-⋅-⋅=,即22235a b c -=，故222222222222228tan sin cos 2542tan sin cos 5a cb a cA AB c a b ac b c a B B A b c a c b bc+-⋅+-=====+-+-⋅2012A 3、设]1,0[,,∈z y x ，则||||||x z z y y x M -+-+-=的最大值为◆答案：12+★解析：不妨设01,x y z ≤≤≤≤则M =所以 1.M ≤=当且仅当1,0,1,2y x z y x z y -=-===时上式等号同时成立.故max 1.M =2012A 4、在平面直角坐标系xOy 中，抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，B A ,是抛物线上的两个动点，且满足3π=∠AFB ，设线段AB 的中点M 在准线l 上的投影为N ，则||||AB MN 的最大值为◆答案：1★解析：由抛物线的定义及梯形的中位线定理得.AF BFMN +=在AFB ∆中,由余弦定理得2222cos3AB AF BF AF BF π=+-⋅2()3AF BF AF BF =+-⋅22()3()AF BFAF BF +≥+-22().AF BFMN +==当且仅当AF BF =时等号成立.故MN AB的最大值为1.2012A 5、设同底的两个正三棱锥ABC P -和ABC Q -内接于同一个球.若正三棱锥ABC P -的侧面与底面所成角为045，则正三棱锥ABC Q -的侧面与底面所成角的正切值为◆答案：4★解析：如图.连结PQ ,则PQ ⊥平面ABC ,垂足H 为正ABC ∆的中心,且PQ 过球心O ,连结CH 并延长交AB 于点M ,则M 为AB 的中点,且CM AB ⊥,易知,PMH QMH ∠∠分别为正三棱锥,P ABC Q ABC --的侧面与底面所成二角的平面角,则45PMH ∠=,从而12PH MH AH ==,因为90,,PAQ AH PQ ∠=⊥所以2,AP PH QH =⋅即21.2AH AH QH =⋅所以24.QH AH MH ==,故tan 4QHQMH MH∠==2012A 6、设函数)(x f 是定义在R 上的奇函数，且当0≥x 时，2)(x x f =.若对任意的]2,[+∈a a x ，不等式)(2)(x f a x f ≥+恒成立，则实数a 的取值范围是◆答案：).+∞★解析：由题设知22(0)()(0)x x f x x x ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩,则2()).f x f =因此,原不等式等价于()).f x a f +≥因为()f x 在R 上是增函数,所以,x a +≥即1).a x ≥又[,2],x a a ∈+所以当2x a =+时,1)x -取得最大值1)(2).a -+因此,1)(2),a a ≥+解得a ≥故a 的取值范围是).+∞2012A 7、满足31sin 41<<n π的所有正整数n 的和为◆答案：33★解析：由正弦函数的凸性,有当(0,6x π∈时,3sin ,x x x π<<由此得131sin ,sin ,1313412124πππππ<<>⨯=131sin ,sin .10103993πππππ<<>⨯=所以11sinsin sin sin sin .134********πππππ<<<<<<故满足11sin 43n π<<的正整数n 的所有值分别为10,11,12,它们的和为33.2012A 8、某情报站有D C B A ,,,四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案
全国高中数学联赛江苏赛区2012年初赛试题答案班级__________ 姓名__________一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分） 1．当[3,3]x ∈-时，函数3()|3|f x x x =-的最大值为________ 解：设3()3, [3,3]g x x x x =-∈-，2()333(1)(1)g x x x x '=-=-+；∵(1)2g -=，(1)2g =-，(3)18g =，(3)18g -=-，∴根据()g x 的单调性结合绝对值的性质知：3()3f x x x =-的最大值为18． （点评：用好特殊点，脱掉绝对值号．）2．在ABC ∆中，已知12AC BC ⋅= ，4AC BA ⋅=-，则AC =________ 解：16AC BC AC BA ⋅-⋅= ，16AC AC ⋅= ，所以4AC =．（点评：向量求模，必求其平方．）3．从集合{3,4,5,6,7,8}中随机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为________ 解：考虑取出三数从小到大成数列：当1d =时，有3，4，5；4，5，6；5，6，7；6，7，8四组； 当2d =时，有3，5，7；4，6，8两组；所以，一共有6种情形；从6个元素中随机选取3个不同的元素共有：3620C =种情形；故概率为：632010P ==． （点评：有序分类，逐一列出，不会失解．）4．已知a 是实数，方程2(4)40x i x ai ++++=的一个实根是b （i 是虚部单位），则||a bi +的值为________解：由2(4)40b i b ai ++++=，即2(44)()0b b b a i ++++=；得2244020a b b b a b =⎧++=⎧⇒⎨⎨=-+=⎩⎩a bi ⇒+=． （点评：复数相等原理、向量线性表出、多项式恒等属同类型问题，注意对应项的系数相等．）5．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线:C 221124x y -=的右焦点为F ，一条过原点O 且倾斜角为锐角的直线l 与双曲线C 交于A B 、两点；若FAB ∆的面积为________ 解：由题可设斜率为 (0)k k >，11(,)A x y ，22(,)B x y ，由对称知：1y 与2y 是互为相反数；DCBA将y kx =代入:C 223120x y --=； 得：22(13)12k x -=，221213x k =-，22221213k k x k =-；由1211442S y y y =⨯⨯-==2112y =；∴22121213k k =-，2213k k =-；∴214k =，而0k >，∴12k =． （点评：圆锥曲线问题总是有点运算的，要有耐心，还要注意用好几何性质．） 6．已知a 是正实数，lg a k a =的取值范围是________解：两边取对数得：2lg (lg )0k a =≥，∴1k ≥，即k 的取值范围是[1, )+∞． （点评：两边取对数，是个冷方法．）7．在四面体ABCD 中，5AB AC AD D B ====，3BC =，4CD =；该四面体的体积为________解：由平面几何知识知底面三角形为直角三角形，且A 点在底面上的射影为三角形的外心；∴由直角三角形知它是为BD中点，故113432V =⋅⋅⋅=． （点评：注意用好平面几何的性质．）8．已知等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足：113a b +=，227a b +=，3315a b +=，4435a b +=，则n n a b +=________解：设公差为d ，公比为q ，则11112113113 (1)7 (2)215 (3)335 (4)a b a d b q a d b q a d b q +=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩； （4）减（3）得：321120d b q b q +-=； （3）减（2）得：2118d b q b q +-=； 上述两式相减：32111212 (5)b q b q b q -+=；（1）+（4）得：31112338a d b q b +++=，（2）+（3）得：21112322a d b q b q +++=； 两式相减得，32111116b q b b q b q +--=（6）； 从而(5)(6)，可得：314q q =+；∴3q =， 112, 2,1a d b ===； ∴12, 3n n n a n b -==，123n n n a b n -+=+．（点评：递推数列相加、相减是常规方法，相除则要细心观察．）9．将27，37，47，48，55，71，75这7个数排成一列，使任意连续4个数的和为3的倍数，则这样的排列有________种． 解：将7个数分成3类：（1）3k 的数为：27，48，75，有3个； （2）31k -的数为47，71，有2个； （3）31k +的数为37，55，有2个；要使排列的一列数中任意的四个数之和为3的倍数，则7个位置上第1位和第5位应排同一类数， 第2和第6位排同一类数，第3和第7位排同一类数，且第4位必排第（1）类共有3种排法，三类数排到三类位置共有33A 种，每一类位置各有22A 种排法，故共有233233144A A =（）种排法． （点评：用特例进行分析，找到数与数之间的规律．）10．三角形的周长为31，三边, , a b c 均为整数，且a b c ≤≤，则满足条件的三元数组(,,)a b c 的个数为________解：∵31, a b c a b c Z +++=∈、、，∴11c ≥；又∵a b c +>，∴15c ≤；∴c 的所有可能取值为：11，12，13，14，15；当11c =时，(, )a b 的取值为（9，11）（10，10），有2组； 当12c =时，(, )a b 的取值为（7，12）（8，11）（9，10），有3组；当13c =时，(, )a b 的取值为（5，13）（6，12）（7，11）（8，10）（9，9），有5组； 当14c =时，(, )a b 的取值为(3，14）（4，13）（5，12）（6，11）（7，10）（8，9），有6组； 当15c =时，(, )a b 的取值为（1，15）（2，14）（3，13）┅（8，8）有8组 故满足要求的三元(, , )a b c 的个数为24． （点评：处理不定方程的常规方法是缩小范围．）二、解答题（本大题共4小题，每小题20分） 11．在ABC ∆中，角, , A B C 对应的边分别为, , a b c ，证明：（1）cos cos b C c B a +=；（2）22sin cos cos 2C A Ba bc +=+．证法一：（余弦定理法）（1）22222222cos cos 222a b c a c b a b C c B b c a ab ac a+-+-+=+==；（2）222222cos cos 22a c b b c a A B ac bc a b a b+-+-++=++ 22322322222()2ab ac a a b bc b ab a b c abc a b abc+-++---+==+而222222212sin1cos 2222a c b CC ab a b c ac c c c abc+-----+===，∴等式成立． 证法二：（正弦定理法）（1）在ABC ∆中，由正弦定理得：2sin , 2sin b R B c R C ==，∴cos cos 2sin cos 2sin cos 2sin()2sin b C c B R B C R C B R B C R A a +=+=+== （2）由（1）可知：cos cos b C c B a +=，同理有：cos cos a C c A b +=；∴cos cos cos cos b C c B a C c A a b +++=+； 即2(cos cos )()(1cos )()2sin 2C c B A a b C a b +=+-=+⋅； ∴22sin cos cos 2CA Ba bc +=+．（点评：三角恒等式的证明，通常是“由繁向简”，十分复杂的“作差得0”．） 12．已知, a b 为实数，2a >，函数()|ln | (0)af x x b x x=-+>；若(1)1f e =+，(2)ln 212e f =-+；（1）求实数, a b ；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）若实数, c d 满足c d >，1cd =，求证：()()f c f d <． 解：（1）由题意可得：(1)1(2)ln 2ln 2122f a b e a ef b ⎧=+=+⎪⎨=-+=-+⎪⎩； ∵1a >，∴ln 2ln 222a a-=-，∴122a e b +=+，∴, 1a e b ==．（2）()ln 1af x x x=-+； 设()ln a g x x x =-(0)x >；21()0eg x x x'=+>，()g x 在(0,)+∞上递增； ∵()0g e =，∴0x e <<时，()0g x <；∴()ln 1ef x x x=-+，()f x 在(0, )e 上递减；当x e >，()0g x >，()ln 1ef x x x=-+在(,)e +∞上递增，即()f x 的减区间为(0, )e ，增区间为(,)e +∞．（3）1, 1d c c =>，()ln 1e f c c c=-+；11()()ln 1f d f ce c c ==-+ln 1ln 1ln 1c c c ce c c e e=++>++>++ln 1()cc f c e>-+=； ∴命题成立．（点评：注意同一道题中各小题关系，前面的可用作后面的结论．）13．如图，半径为1的圆O 上有一定点M 为圆O 上的动点.在射线OM 上有一动点B ，1AB =，1OB >，线段AB 交圆O 于另一点C ，D 为线段的OB 中点，求线段CD 长的取值范围．M BDOA证明：如图，设AO B θ∠=，∵OA OB =，∴O BA θ∠=，∴2BAO πθ∠=-，∵OA OC =，∴2OCA πθ∠=-，∴3BOC πθ∠=-， ∵D 为OB 的中点，∴cos cos OD OA θθ==；∴2222cos CD OC OD OCOD COD =+-∠21cos 2cos cos(3)θθπθ=+--21cos 2cos cos3θθθ=++231cos 2cos (4cos 3cos )θθθθ=++-4222578cos 5cos 18(cos )1632θθθ=-+=-+又3BOC AOB πθθ∠=-<∠=，2OCA OBA πθθ∠=->∠=； 得3πθθ-<，2πθθ-<；∴43ππθ<<，∴211cos (, )42θ∈，∴271[,)322CD ∈；∴CD ∈． （点评：用解三角形的知识处理平面几何题，是高中平面几何一大特色．）14．设是, , , a b c d 正整数，, a b 是方程2()0x d c x cd --+=的两个根；证明：存在边长是整数且面积为ab 的直角三角形． 证明：由题设可知，a b d cab cd+=-⎧⎨=⎩，由于,,,a b c d 是正整数，考虑, , a b a c b c +++三个数： 易知：()()2()a b a c a b c b c +++=++>+，()()2()a b b c b a c a c +++=++>+， ()()2()a c b c c a b a b +++=++>+，即, , a b a c b c +++中任两个数之和大于第三个数，且为正整数， 2222222222222()()22()22()22()c a b c a b c c a b a b c c d c a b cd a b ab a b +++=++++=+++-=++=++=+又111()()(())()222S a c b c ab c a b c ab cd ab =++=+++=+=；故存在边长为,a c b c a b +++，（均为正整数）的直角三角形（a b +为斜边）符合题设要求． （点评：探索性问题求解时要大胆地猜测，这也是创造性思维的特点．）。
2012年全国高中数学联赛试题及解答
PA ⋅ PB = 1 x - (x + 2) 0 0 x 02 2 PA ⋅ PB = PA PB cos 3π42 2 2 x x A D 0 0 x ⎝ 0 ⎭ 0一、填空题（每小题 8 分，共 64 分）2012 年全国高中数学联合竞赛第一试 1. 设 P 是函数 y = x + 2(x > 0) 图像上的任意一点，过 P 分别向直线 y = x 和 y 轴作垂线，垂足分别为xA 、B ．则 PA ⋅ PB = ． 答案：-1．解法 1 设 P ⎛ x , x + 2 ⎫，则l: y - ⎛ x + 2 ⎫ = -(x - x ) ，即 y = -x + 2x + 2 ．⎝ 0 ⎭ PA 0 x ⎪ 0 0 x 上式与 y = x 联立解得点 A ⎛ x + 1 , x+ 1 ⎫ ．又点 B ⎛ 0, x + 2 ⎫ ，则 PA = ⎛ 1 , - 1 ⎫ ，PB = (-x ,0) ，0 x 0 x ⎪ 0 x x x ⎪⎝ 0 0 ⎭ 故 (-x ) = -1 ． ⎝ 0 ⎭ ⎝ 0 0 ⎭0 0⎛ 2 ⎫解法 2 如图 3，设 P x 0 , x 0 + ⎝⎪(x 0 > 0) ．则点P 到直线 x - y = 0 和 y x 0 ⎭ PA = = ， PB = x ． 0因为 O 、A 、P 、B 四点共圆，所以， ∠APB = π - ∠AOB = 3π ．4图 3 故= -1． 2. 设△ABC 的内角∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为 a 、b 、c ，且满足a cos B - b cos A = 3 c .则 tan A= ．5tan B答案：4．c 2 + a 2 - b 2b 2 +c 2 - a 2 3 2 23 2 解法 1由题设及余弦定理得a ⋅- b ⋅ = c ⇒ a - b = c ．tan A = sin A ⋅ cos B = a ⋅ 2cac 2 + a 2 - b 22ca 2bc 5 5=c + a - b = 故 tan B sin B ⋅ cos A b 2 + c 2 - a 2 b ⋅2bcc 2 + b 2 - a 24 C 解法 2 如图 4，过点 C 作CD ⊥ AB ，垂足为 D .则a cos B = DB ， b cos A = AD ．由题设得 DB - AD = 3c ．B5CD 图 4 又 DB + DA = c ，联立解得 AD = 1 c ， DB = 4c .故tan A = AD = DB = 4 ． 5 解法 3 由射影定理得a cos B + b cos A = c5 tan B CD ADDB 又 a cos B - b cos A = 3 c ，与上式联立解得a cos B = 4 c ， b cos A = 1c5 5 5故 tan A = sin A ⋅ cos B = a cos B = 4 tan B sin B ⋅ cos A b c os AMNABAF BF⎛ 2π ⎫ AB π AF + BF AB AF + BFMN AB AF + BF AF + BF MN AB⎫ 2 3. 设 x 、y 、z ∈[0,1] .则 M =的最大值是 ．答案： +1．解：不妨设0 ≤ x ≤ y ≤ z ≤ 1.则 M =⇒ M ≤ ( 2 + 2+1．当且仅当 x = 0 ， y = ， z = 1 时，上式等号同时成立．24. 抛物线 y 2 = 2 px ( p > 0) 的焦点为 F ，准线为 l ，A 、B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π. 3设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N .则的最大值是 ．答案：1．解法 1 设∠ABF = θ ⎛0 < θ < 2π ⎫ .则由正弦定理得 = = ． 3 ⎪ sin θ ⎝ ⎭ sin ⎝ 3- θ ⎪ ⎭ sin3 sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫3 ⎪ ⎛ π ⎫ 故 = ，即= ⎝ ⎭ = 2 c os θ - ⎪． sin θ + sin ⎛ 2π - θ ⎫ sin π sin π ⎝ 3 ⎭ 3⎪ 3 3 ⎝ ⎭如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN =①2 则 = cos ⎛θ - π ⎫ ．故当θ = π 时，取得最大值 13 ⎪ 3 ⎝ ⎭解法 2 同解法 1 得式①在△AFB 中，由余弦定理得AB 2= AF 2+ BF 2- 2 AF BF cos π3= ( AF + BF )2- 3 AF BF⎛ ⎫2≥ ( AF + BF )2 - 3 ⎪⎝ 2 ⎭⎛ 2= 2 ⎪= MN . ⎝ ⎭当且仅当 AF = BF 时，上式等号成立．故 的最大值为 1．2 MN AB⎣⎨ 5. 设同底的两个正三棱锥 P - ABC 和Q - ABC 内接于同一个球.若正三棱锥 P - ABC 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成角的正切值是 ．答案：4．解：如图 6，联结 PQ .则 PQ ⊥平面 ABC ，垂足 H 为正△ABC 的中心，且 PQ 过球心 O ．联结 CH 并延长与 AB 交于点 M .则 M 为边 AB 的中点，且CM ⊥ AB .易知，∠PMH 、∠QMH 分别为正三棱锥 P - ABC 、正三棱锥Q - ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则∠PMH = 45°⇒ PH = MH = 1AH .2由∠PAQ = 90°， AH ⊥ PQ ⇒ AH 2 = PH ⋅ QH1 ⇒ AH 2= AH ⋅ QH2⇒ QH = 2 AH = 4MH .故 tan ∠QMH = QH= 4MH图 66. 设 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x ≥ 0 时， f (x ) = x 2 ．若对任意的 x ∈[a , a + 2]，不等式 f (x + a ) ≥ 2 f (x )恒成立，则实数 a 的取值范围是．⎧⎪x 2 , x ≥ 0;解：由题设知 f (x ) = 2⇒ 2 f (x ) = f ( 2x )⎪⎩-x , x < 0 故原不等式等价于 f (x + a ) ≥ f ( 2x )．由 f (x ) 在 R 上是增函数知x + a ≥ 2x ⇒ a ≥ ( 2 -1)x ⇒ a ≥ ( 2 -1)(a + 2) ⇒ a ≥ 2. 即 a 的取值范围为 ⎡ 2, +∞)7. 满足 1 < sin π < 1的所有正整数 n 的和是．4 n 3解：由正弦函数的凸性，知当 x ∈(0, π )6 时， 3x < sin x < x ． π 故sin π < π < 1 ， sin π > 3 ⨯ π = 1 ， sin π < π < 1 ， sin π3 π 1 ．> ⨯ = 13 13 4 12 π 12 4 10 10 39 π 9 3因此，满足 1 < sin π < 1的正整数 n 的所有值分别为 10、11、12，其和为 33．4 n 3⎨8. 某情报站有 A 、B 、C 、D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种.设第一周使用 A 种密码.那么，第七周也使用 A 种密码的概率是 （用最简分数表示）． 解：用 P k 表示第 k 周用 A 种密码本的概率.则第 k 周未用 A 种密码的概率为1 - P k ．故P = 1(1 - P )(k ∈ N ) k +1 3 k +⇒ P - 1 = - 1 (P - 1)k +14 3 k 4 ⇒ P - 1 = 3 (- 1)k -1k⇒ P k⇒ P 7 4 4 3 = 3 (- 1)k -1 + 14 3 4= 61 . 243二、解答题（共 56 分）9. （16 分）已知函数 f (x ) = a s in x - 1 cos 2x + a - 3 + 1，其中，a ∈ ，且a ≠ 0 ． 2 a 2（1）若对任意 x ∈ ，都有 F (x ) < 0 ，求 a 的取值范围．（2）若a ≥ 2 ，且存在 x ∈ ，使 f (x ) ≤ 0 ，求 a 的取值范围．解：（1） f (x ) = sin 2 x + a sin x + a - 3 . 令t = sin x (-1 ≤ t ≤ 1) .则 g (t ) = t 2 + at + a - 3a a⎧g (-1) = 1 - 3 ≤ 0, 由题设知⎪ a 3 ⎪g (1) = 1 + 2a - ≤ 0． ⎩⎪ a解得 a 的取值范围为(0,1]．（2）因为a ≥ 2 ，所以， - a≤ -1 ．2故 g (t ) min= g (-1) = 1 - 3 ． a从而， f (x ) min= 1 - 3 ． a 由题设知1 - 3≤ 0 ．a解得0 < a ≤ 3 ．故 a 的取值范围是[2,3]．⎩10. （20 分）已知数列{a n } 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数 n 都有(a + a + …+ a )2 = a 3 + a 3 + …+ a 3．12n12n（1）当n = 3时，求所有满足条件的三项组成的数列 a 1 ， a 2 ， a 3 ．（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n } ，使得a 2013 = -2012 ？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．解：（1）当n = 1时， a 2 = a 3 ．由a ≠ 0 ，得a = 1．1111当 n = 2 时， (1+ a )2= 1+ a 3．由a ≠ 0 ，得a = 2 或-1 ．2222当 n = 3时， (1+ a + a )2= 1+ a 3 + a 3．若a = 2 ，得a = 3 或-2 ；若a = -1，得a = 1 ．23232323综上，满足条件的三项数列有三个：1，2，3 或 1，2， -2 或 1， -1 ，1． （2）令 S = a + a + …+ a .则 S 2 = a 3 + a 3 + …+ a 3 (n ∈ N ) ． n1 2 n n 1 2 n +故(S + a)2= a 3 + a 3 + …+ a3.两式相减并结合a≠ 0 ，得2S = a 2- a ．nn +112n +1n +1nn +1n +1当 n = 1时，由（1）知a 1 = 1； 当 n ≥ 2 时， 2a = 2(S - S ) = (a 2 - a)- (a2 - a )，nnn -1即(a n +1 + a n )(a n +1 - a n -1) =0 ．所以， a n +1 = -a n 或a n + 1 ．又 a 1 = 1， a 2013 = -2012 ，则n +1n +1nn⎧⎪n ,1 ≤ n ≤ 2012; a n = ⎨⎪(-1)n2012, n ≥ 2013. 11. （20 分）如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的边长为 4，且 OB = OD = 6 .（1）证明： OA OC 为定值；（2）当点 A 在半圆 M : (x - 2)2 + y 2 = 4(2 ≤ x ≤ 4) 上运动时，求点 C 的轨迹.解：（1）由 AB = AD = CB = CD ， OB = OD ，知 O 、A 、C 图 7，联结 BD.则 BD 垂直平分线段 AC ．设垂足为 K ， OA OC= ( OK - AK )(OK + AK )故 = OK 2- AK 2= (OB 2- BK2)- ( A B 2- BK 2)= OB 2 - AB 2= 20(定值).（2）设C (x , y ) ， A (2 + 2cos α, 2sin α ) ，其中， α = ∠xMA ⎛ - π ≤ α ≤ π ⎫．2 2 ⎪ ⎝ ⎭则∠xOC = α． 2又 OA 2 = (2 + 2cos α )2 + (2sin α )2 = 8(1 + cos α ) = 16cos 2 α ， 2所以， OA = 4 cos α．2由（1）的结论得 OC cos α= 5 ．2则 x = OC cos α= 5 ．2故 y = OC sin α = 5 t an α∈[-5,5] ．2 2因此，点 C 的轨迹是一条线段，其两个端点的坐标分别为(5,5) ， (5, -5) ．⎨ ++ 加试一、（40 分）如图 2，在锐角△ABC 中，AB > AC ，M 、N 是边 BC 上不同的两点，使得∠BAM = ∠CAN .设△ABC 和△AMN 的外心分别为O 1 、O 2 .证明： O 1 、O 2 、A 三点共线.图2证明：如图 8，联结 AO 1 、 AO 2 ，过点 A 作 AO 1 的垂线 AP 与 BC 的延长线交于点 P .则 AP 是 O 1 的切线.故∠B = ∠PAC .因为∠BAM = ∠CAN ，所以， ∠AMP = ∠B + ∠BAM = ∠PAC + ∠CAN = ∠PAN ． 从而，AP 是△AMN 外接圆 O 2 的切线.故 AP ⊥ AO 2 ． 因此， O 1 、O 2 、A 三点共线．二、（40 分）试证明：集合 A = {2, 22 ,…, 2n ,…}满足图 8（1）对每个a ∈ A 及b ∈ N + ，若b < 2a -1，则b (b +1) 一定不是 2a 的倍数；（2）对每个a ∈ A （ A 表示 A 在N + 中的补集），且a ≠ 1，必存在b ∈ N + ，b < 2a -1，使b (b +1) 是 2a 的倍数．解：（1）对任意a ∈ A ，设a = 2k (k ∈ N ) .则2a = 2k +1． 若 b 是任意一个小于2a -1的正整数，则b +1 ≤ 2a -1 ．由于 b 与b +1中，一个为奇数，它不含质因子 2，另一个为偶数，它含质因子 2 的幂的次数最多为 k 、因此， b (b +1) 一定不是 2a 的倍数．（2）若a ∈ A ，且a ≠ 1，设a = 2k m ，其中， k ∈ N ，m 为大于 1 的奇数． 则 2a = 2k +1 m ． 下面给出三种证明方法．方法 1 令b = mx ， b +1 = 2k +1 y ．消去 b 得2k +1 y - mx = 1.由(2k +1 , m )= 1，知方程必有整数解⎧⎪x = x + 2k +1t ,⎨ 0⎪⎩ y = y 0 + mt , 其中， t ∈ Z ， (x 0 , y 0 ) 为方程的特解． 记最小的正整数解为(x ', y ') .则 x ' < 2k +1 ．故b = mx ' < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a 的倍数．方法 2 注意到， (2k +1 , m )= 1，由中国剩余定理，知同余方程组⎧⎪x ≡ 0(mod 2k +1 ), ⎪⎩x ≡ m -1(mod m )在区间(0, 2k +1 m ) 上有解 x = b ，即存在b < 2a -1，使得b (b +1) 是 2a的倍数． 方法 3 由(2, m ) = 1 ，总存在r (r ∈ N + , r ≤ m -1) ，使得2r ≡ 1(mod m )取t ∈ N ，使得tr > k +1 .则2tr≡ 1(mod m ) ． 存在b = (2tr -1)- q (2k +1 m )> 0(q ∈ N ) ， 使得0 < b < 2a -1.此时， m b ，2k +1 (b +1) .从而， b (b +1) 是 2a 的倍数．0 k⎛d ⎫3三、（50 分）设P，P1，…，Pn是平面上n +1 个点，其两两间的距离的最小值为d(d > 0) ．证明：P P P P …P P>d n0 1 0 2 0 n(3)证法1 不妨设PP1≤PP2≤…≤PPn．先证明：对任意正整数 k 都有 P P >.0 k3显然， P P ≥d ≥ 对k = 1, 2 ，…，8 均成立，只有当k = 8 时，上式右边取等号.0 k3所以，只需证明：当k ≥ 9 时，有 P P >即可．0 k3以点P (i = 0,1,…k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切；以点 P 为圆心、 PP +di 2 0 0 k2为半径画圆，此圆覆盖上述k +1 个圆．则π⎛P Pd ⎫2+⎪2>(k +1)π ⎪ ⇒P0P k>d (1)．由k ≥ 9 ，易知>．⎝ 2 ⎭⎝2 ⎭ 2 2 3所以， P P >对k = 9 ，10，…，n 也成立．0 k3综上，对任意的正整数 k 都有 P P >．0 k3⎛d ⎫n故PP1PP2…PPn> ⎪⎝⎭．证法 2 所设同证法1．以P (i = 0,1,…, k) 为圆心、d为半径画k +1 个圆，其两两相离或外切．i设Q 是2Pi上任意一点．PQ ≤PPi+PiQ由=P P +1d0 i2≤P P +1P P =3P P ,0 k 2 0 k 2 0 k知以P 为圆心、3PP 为半径的圆覆盖上述k +1 个圆．0 2 0 k⎛3 ⎫2 ⎛d ⎫2则π2PPk⎪ > (k + 1)π 2 ⎪ ，即 P0P k>k = 1, 2,…, n)．⎝⎭⎝⎭四、（50 分）设S =1+1+…+1n 是正整数）.证明：对满足0≤a<b≤1的任意实数a、b，数列{S-[S]}（n 2 n n n 中有无穷多项属于(a,b)，（[x]表示不超过实数x 的最大整数）．证法1（1）对任意n ∈N+，S =1 +1+1+…+12n 2 3 2n=1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+1)有 2 21 +1222n-1 +12n>1 +1+ (1+1) +…+ (1+…+12 22 222n 2n= 1 +1+1+…+1>1n.2 2 2 212iN0 令 N =⎡ 1 ⎤+ 1 ， m = [S]+1.则1< N ，1< b - a ，S< m ≤ m + a ． 0⎢⎣b - a ⎥⎦N 0b - a 0N 0又令 N 1 = 22(m +1) .则 S N = S2( m +1)> m +1 ≥ m + b ．从而，存在n ∈ N + ， N 0 < n < N 1 ，使得m + a < S n < m + b ⇒ S n - [S n ]∈(a ,b ) ．否则，存在 N 0 < k ，使得 S k -1 ≤ m + a ， S k ≥ m + b ．于是 S - S ≥ b - a ，与 S - S = 1 < 1 < b - a 矛盾．k k -1 k k -1k N 0故一定存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,b ) ． （2）假设只有有限个正整数 n 1 ， n 2 ，…， n k ，使得 S n - ⎡S n ⎤ ∈(a ,b )(1 ≤ j ≤ k ) ．j ⎣ j ⎦令c = min {S n j - ⎡S n j⎤}则a < c < b ．1≤ j ≤k⎣ ⎦ 故不存在n ∈ N + ，使得 S n - [S n ]∈(a ,c ) 与（1）的结论矛盾．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ． 综上，原命题成立．证法 2 由证法 1，知当 n 充分大时， S n 可以大于任何一个正数．令 N = ⎡ 1 ⎤+ 1 .则 N > 1 ．⎢⎣b - a ⎥⎦b - a当 k > N 时， S - S= 1 < 1 < b - a ．0 k k -1k N 0同证法 1 可证，对于任何大于 S 0m + a < S n < m + b ．的正整数 m ，总存在n > N 0 ，使得 S n - m ∈(a ,b ) ，即令m i = ⎡S N ⎤ + i (i = 1, 2,…).则m i > S N .⎣ 0 ⎦ 0故一定存在n i > N 0 ，使得m i + a < S n < m i + b ．从而， a < S n - m i = S n - ⎡S n ⎤ < b ．i i ⎣ i ⎦这样的 i 有无穷多个．所以，数列{S n - [S n ]}中有无穷多项属于(a ,b ) ．N。
2012年全国高中数学联赛试题[1]
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2012年全国高中数学联赛试题考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
把答案填在试卷相应题号的横上。
1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。
2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是_________________。
3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。
4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。
5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。
若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。
6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。
若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。
7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。
8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。
2012年全国高中数学联赛试题及解答
AB sin
3
，即
AF BF AB
sin
sin
2 3
sin
3
2 cos
3
．
如图 5，由抛物线的定义及梯形的中位线定理得： MN AF BF ① 2
则
MN AB
cos
3
．故当
3
时，
MN AB
2 QH 2AH 4MH. 故 tan QMH QH 4
MH
P
C
A
H
M OB
Q 图6
6. 设 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，且当 x 0 时， f x x2 ．若对任意的 x a, a 2 ，不等式 f x a 2 f x 恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
3
设线段 AB 的中点 M 在 l 上的投影为 N.则 MN 的最大值是________． AB
答案：1．
解法 1
设
ABF
0
2 3
.则由正弦定理得
AF sin
sin
BF 2 3
AB sin
3
．
故
sin
AF
sin
BF 2 3
联结 CH 并延长与 AB 交于点 M.则 M 为边 AB 的中点，且 CM AB .易知，PMH 、QMH 分别 为正三棱锥 P ABC 、正三棱锥 Q ABC 的侧面与底面所成二面角的平面角．则
2012年全国高中数学联赛试题详细解析
2012年全国高中数学联赛一试参考答案及详细评分标准一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．1.设P 是函数2y x x=+（0x >）的图像上任意一点，过点P 分别向 直线y x =和y 轴作垂线，垂足分别为,A B ，则PA PB ⋅u u u r u u u r的值是 ．2.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足3cos cos 5a Bb Ac -=， 则tan tan AB的值是 .3.设,,[0,1]x y z ∈，则M =是 .4.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，准线为ｌ，,A B 是抛物线上的 两个动点，且满足3AFB π∠=．设线段ＡＢ的中点M 在ｌ上的投影为N ， 则||||MN AB 的最大值是 . 5．设同底的两个正三棱锥P ABC -和Q ABC -内接于同一个球．若正三棱锥P ABC -的侧面与底面所成的角为45o，则正三棱锥Q ABC -的侧面与底面所成角的正切值是 ．6.设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x ≥时，()f x x 2=．若对任意的[,2]x a a ∈+，不等式()2()f x a f x +≥恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 7.满足11sin 43n π<<的所有正整数n 的和是 ． 8.某情报站有,,,A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第１周使用Ａ种密码，那么第７周也使用Ａ种密码的概率是 ．（用最简分数表示）二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤． 9.（本小题满分16分）已知函数131()sin cos 2,,022f x a x x a a R a a =-+-+∈≠ （1）若对任意x R ∈，都有()0f x ≤，求a 的取值范围； （2）若2a ≥，且存在x R ∈，使得()0f x ≤，求a 的取值范围．10.（本小题满分20分）已知数列{}n a 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有23331212()n n a a a a a a +++=+++L L（1）当3n =时，求所有满足条件的三项组成的数列123,,a a a ;（2）是否存在满足条件的无穷数列{}n a ，使得20132012?a =-若存在， 求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由． 11.（本小题满分20分）如图，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为4，且6OB OD ==．（1）求证：||||OA OC ⋅为定值；（2）当点A 在半圆22(2)4x y -+=（24x ≤≤）上运动时， 求点C 的轨迹．2012年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40分）如图，在锐角ABC ∆中，,,AB AC M N >是BC 边上不同的两点，使得.BAM CAN ∠=∠设ABC ∆和AMN ∆的外心分别为12,O O ，求证：12,,O O A三点共线。
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案
2012年全国高中数学联赛一试及加试试题参考答案2012年全国高中数学联赛一试及加试试题一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分．把答案填在题中的横线上．21.设P 是函数y x （x 0 ）的图像上任意一点，过点P 分别向x直线y x 和y 轴作垂线，垂足分别为 A B ，则PA PB 的值是_____________. 32.设ABC 的内角A B C 的对边分别为a b c ，且满足a cos B b cos A c ，5 tan A则的值是_____________. tan B3.设x y z 01 ，则M x y y z z x 的最大值是_____________.4.抛物线y 2 px p 0 的焦点为F ，准线为l ， A B 是抛物线上的2两个动点，且满足AFB ．设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，3 MN 则的最大值是_____________. AB 5．设同底的两个正三棱锥P ABC 和Q ABC 内接于同一个球．若正三棱锥P ABC 的侧面与底面所成的角为45 ，则正三棱锥Q ABC 的侧面与底面所成角的正切值是_____________.6.设f x 是定义在R 上的奇函数，且当x 0 时，f x x ．若对任意的x a a 2 ，不等式f x a 2 f x 恒成立，则实数a 的取值范围是_____________. 1 17．满足sin 的所有正整数n 的和是_____________. 4 n 38．某情报站有A B C D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种．设第1周使用Ａ种密码，那么第7周也使用 A 种密码的概率是_____________.（用最简分数表示）二、解答题：本大题共３小题，共５６分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．1 3 19．（本小题满分16分）已知函数 f x a sin x cos 2 x a a R a 0 2 a 2（1）若对任意x R ，都有f x 0 ，求 a 的取值范围；（2）若 a 2 ，且存在x R ，使得f x 0 ，求a 的取值范围．10．（本小题满分２０分）已知数列an 的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有a1 a2 an 2 a13 a2 an 3 3（1）当n 3 时，求所有满足条件的三项组成的数列a1 a2 a3 （2）是否存在满足条件的无穷数列an ，使得a2013 2012 若存在，求出这样的无穷数列的一个通项公式；若不存在，说明理由．11．（本小题满分20分）如图5，在平面直角坐标系XOY 中，菱形ABCD 的边长为 4 ，OB OD 6 ．且（1）求证：OA OC 为定值；（2）当点A在半圆x 2 y 4 （2 x 4 ）上运动时，求2 2点C 的轨迹．2012 年全国高中数学联赛加试试题一、（本题满分40 分）如图，在锐角ABC 中，AB AC M N 是BC 边上不同的两点，使得BAM CAN . 设ABC 和AMN 的外心分别为O1 O2 ，求证：O1 O2 A 三点共线。
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2012年全国高中数学联赛试题
考试时间：2012年10月14日上午8:00-9:20
一． 填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分。
把答案填在试卷相应题号的横上。
1. 设P 是函数y =x +2x (x >0)的图像上任意一点，过点P 分别向直线y =x 和y 轴作垂线，垂
足分别为A ,B ，则PA �����⃗⋅PB �����⃗的值是______________。
2. 设△ABA 的内角A ,B ,A 的对边分别为a ,b ,c ，且满足a cos B −b cos A =35c ，则tan A tan B 的值是
_________________。
3. 设x ,y ,z ∈[0,1]，则M =�|x −y |+�|y −z |+�|z −x |的最大值是____________。
4. 抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ，准线为l ，A ,B 是抛物线上的两个动点，且满足
∠AFB =π3，设线段AB 的中点M 在l 上的投影为N ，则|MM ||AB |的最大值是___________。
5. 设同底的两个正三棱锥P −ABA 和Q −ABA 内接于同一个球。
若正三棱锥P −ABA 的侧面与底面所成的角为45°，则正三棱锥Q −ABA 的侧面与底面所成角的正切值是_____________。
6. 设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )=x 2。
若对任意的x ∈[a ,a +2]，不等式f (x +a )≥2f (x )恒成立，则实数a 的取值范围是_______________。
7. 满足14<sin πn <13的所有正整数n 的和是________________。
8. 某情报站有A ,B ,A ,D 四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周未使用的三种密码中等可能地随机选用一种。
设第1周使用A 种密码，那么第7周也使用A 种密码的概率是______________。
（用最简分数表示）。
二． 解答题：本大题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤。
9. （本小题满分16分）
已知函数f (x )=a sin x −12cos 2x +a −3a +12，a ∈R 且a ≠0。
（1）若对任意x ∈R ，都有f (x )≤0，求a 的取值范围；
（2）若a ≥2，且存在x ∈R ，使得f (x )≤0，求a 的取值范围。
10. （本小题满分20分）
已知数列{a n }的各项均为非零实数，且对于任意的正整数n ，都有 (a 1+a 2+⋯+a n )2=a 13+a 23+⋯+a n 3
（1）当n =3时，求所有满足条件的三项组成的数列a 1,a 2,a 3；
（2）是否存在满足条件的无穷数列{a n }，使得a 2013=−2012
列的一个通项公式；若不存在，说明理由。
11. （本小题满分20分）
如图，在平面直角坐标系XXX 中，菱形ABAD 的边长为4，且
|XB |=|XD |=6。
（1）求证：|XA |⋅|XA |为定值； （2）当点A 在半圆M :(x −2)2+y 2=4(2≤x ≤4)上运动时，求点A 的轨迹。
2012年全国高中数学联赛加试试题
考试时间：2012年10月14日上午9:40-12:10
一、（本题满分40分）
如图，在锐角△ABA 中，AB >AA ,M ,N 是BA 边上两个不同的点，使得∠BAM =∠AAN 。
设△ABA 和△AMN 的
外心分别为X 1,X 2，求证：X 1,X 2,A 三点共线。
二、（本题满分40分）
试证明：集合A ={2,22,⋯,2n ,⋯}满足 （1）对每个a ∈A ，及b ∈N ∗，若b <2a −1，则b (b +1)一定不是2a 的倍数； （2）对每个a ∈（其中表示A 在N ∗中的补集），且a ≠1，必存在b ∈N ∗,b <2a −1，使b (b +1)是2a 的倍数。
三、（本题满分50分）
设P 0,P 1,P 2,⋯,P n 是平面上n +1个点，它们两两间的距离的最小值为d (d >0)，求证：
|P 0P 1|⋅|P 0P 2|⋅⋯⋅|P 0P n |>(d 3)n �()四、（本题满分50分）
设S n =1+12+⋯+1n ，n 是正整数。
证明：对满足0≤a <b ≤1的任意实数a ,b ，数列
{S n −[S n ]}中有无穷多项属于(a ,b )。
这里，[x ]表示不超过实数x 的最大整数。
B。