辽宁省2020年高考理科数学质量检测试题及答案

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2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)

2020年辽宁省辽阳市高考数学一模试卷(理科)一、单项选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 若集合A ={2,3，4}，B ={x|1+x >3}，则A ∩B =( )A. {4}B. {2}C. {3,4}D. {2,3}2. 已知复数z 满足(3−4i )z =25，则z =( )A. −3+4iB. −3−4iC. 3+4iD. 3−4i3. 某位教师2017年的家庭总收入为80000元，各种用途占比统计如下面的折线图．2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4750元，则该教师2018年的家庭总收入为(单位：元)A. 100000B. 95000C. 90000D. 850004. 甲、乙、丙、丁、戊和己6名在一次数学考试中，成绩各不相同。

甲、乙、丙、丁去问成绩，老师说“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”.则这6位同学的得分排名情况有( )A. 360种B. 288种C. 240种D. 192种5. 已知向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =( ) A. 9B. 8C. 7D. 106. 双曲线x 216−y 29=1的离心率为______A. 54B. 53C. 45D. 357.采用随机数表法从编号为01，02，03，……，30的30个个体中选取7个个体，指定从下面随机数表的第一行第5列开始，由左向右选取两个数字作为应取个体的号码，则选取的第6个个体号码是()0347438636164780456911141695366146986371623326367797742467624281145720425332373227073607522452798973A. 14B. 16C. 20D. 268.若log2x+log2y=2，则x+2y的最小值为()A. 2B. 2√2C. 4D. 4√29.若tanα=2，则sin2α=()A. −25B. −45C. 25D. 4510.已知四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，且底面ABCD是正方形，AB=2，CC1=1，则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为()A. 12B. √1010C. √105D. 1511.将函数的图像向右平移12个单位长度后得到g(x)的图像，则()A. g(x)=sin(πx−12) B. g(x)=cosπxC. g(x)=sin(πx+12) D. g(x)=−cosπx12.函数f(x)的导函数为f′(x)，对任意的x∈R，都有2f′(x)>f(x)成立，则()A. 3f(2ln2)>2f(2ln3)B. 3f(2ln2)<2f(2ln3)C. 3f(2ln2)=2f(2ln3)D. 3f(2ln2)与2f(2ln3)的大小不确定二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.△ABC的内角A，B，C对边分别为a，b，c，且满足sinA：sinB：sinC=2：3：4，则a+bb+c=_____ ．14.三棱锥P−ABC的四个顶点都在球O上，PA，PB，PC两两垂直，PA=PB=PC=2√3，球O的体积为______.15.函数y=√4−2−x的值域是________________．16.已知F1，F2是椭圆C：x24+y23=1的左右焦点，P是直线l：y=x+m(m∈R)上一点，若|PF1|+|PF2|的最小值是4，则实数m=__________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.如图所示，在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，BM⊥PD于点M．(1)求证：AM⊥PD；(2)求直线CD与平面ACM所成角的余弦值．18.某服装厂拟申报“质量管理示范企业”称号，先进行自查，自查方法如下：先随机抽取50件进行检验，假设每件服装不合格的概率为p(0<p<1)，且各件是否合格相互独立．(1)记50件服装中恰有一件不合格的概率为f(p)，求f(p)的最大值点p0．(2)以(1)中确定的p0作为p的值，已知质检部门规定：先从一批服装中随机抽取3件进行检验，若3件都合格，则可授予“质量管理示范企业”称号；若有2件合格，则再从剩下的服装中任意抽取一件进行检验，若检验合格，则也可以授予“质量管理示范企业”称号．(i)求该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率；(ii)若每件服装的检验费为1000元，并且所抽取的服装都要检验，记这批服装的检验费为ξ(单位：元)，求ξ的分布列与数学期望．(附：0.983≈0.9412，概率结果精确到0.001.)19.数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，S n为其前n项和，a1,a2,a5成等比数列，(Ⅰ)证明成等比数列；(Ⅱ)设a1=1,b n=a2n,求数列{b n}的前n项和T n．(x−1)2−x+lnx(a>0)20.设函数f(x)=a2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1<a<e，试判断f(x)的零点个数．21.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F(2,0)．(1)求p；(2)斜率为1的直线过点F，且与抛物线交于A，B两点，求线段AB的长．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=2+√3cosθ(θ为参数)，以坐标原点O为y=√3sinθ极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点P(ρ,θ)(ρ>0,0≤θ≤2π)是曲线C在极坐标中的任意一点．.(Ⅰ)证明：4cosθ=ρ+1ρ(Ⅱ)求θ的取值范围．23.已知函数f(x)=|x−4|+|1−x|，x∈R.(1)解不等式：f(x)≤5；(2)记f(x)的最小值为M，若实数ab满足a2+b2=M，试证明：1a2+2+1b2+1≥23．【答案与解析】1.答案：C解析：解：B ={x|x >2}； ∴A ∩B ={3,4}．故选：C ．可求出集合B ，然后进行交集的运算即可．考查列举法、描述法的定义，以及交集的运算．2.答案：C解析：本题考查复数的运算，属于基础题．由复数的运算法则求解即可．解：因为(3−4i )z =25，所以z =253−4i =25(3+4i)(3−4i)(3+4i)=3+4i ．故选C ．3.答案：D解析：本题主要考查折线图、条形图，属于基础题．根据折线图求出2017年就医花费，根据条形图求出2018年收入．解：根据折线图可知，2017年就医花费80000×10％=8000元，则2018年就医花费8000+4750=12750元，根据条形图可知，2018年收入1275015％=85000元．故选D ．4.答案：D解析：本题主要考查排列组合的相关知识，难度不大，由题意知乙所受限制最多，所以可以先限定乙的排列情况，其次是甲，最后根据全排列中“丙得分比丁高”的限制条件综合得到结果．解：由题意知乙既不是最高分也不是最低分，所受限制最多，所以先排乙，且有4种情况；再排甲，也有4种情况；剩下丙、丁、戊和己4名，全排列有A 44种情况，其中“丙得分比丁高”和“丙得分比丁低”的情况各占一半，所以“丙得分比丁高”的情况有12A 44种，所以“甲和乙都不是最高分，乙肯定不是最低分，丙得分比丁高”的得分排名情况有4×4×12A 44=192种，故选D ．5.答案：A解析：本题考查向量的数量积和向量垂直，向量加法的运用，属于简单题．化得OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即可求解．解：向量OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，则OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，OA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ) =OA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2+OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =32+0=9．故选：A ．6.答案：A解析：解：双曲线x216−y29=1的a=4，b=3，c=5，可得离心率为：ca=54．故选A．利用双曲线方程求出离心率，渐近线方程，然后求解即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．7.答案：C解析：本题主要考查简单随机抽样的应用，正确理解随机数法是解决本题的关键，属于容易题．根据随机数表，依次进行选择即可得到结论．解：从下面随机数表的第一行第5列开始选取两个数字中小于或等于30的编号依次为16，11，14，26，24，20，则第6个个体的编号为20．故选C．8.答案：D解析：本题考查了对数的运算和基本不等式，属基础题．根据log2x+log2y=2，求出xy的值，然后直接利用基本不等式求解x+2y．解：∵log2x+log2y=2，∴log2xy=2，∴xy=4，x>0，y>0，∴x+2y≥2√2xy=4√2，当且仅当x=2y=2√2，即x=2√2，y=√2时取等号．∴x+2y的最小值为4√2．故选D．9.答案：D解析：解：∵tanα=2，则sin2α=2sinαcosαsinα+cosα=2tanαtanα+1=44+1=45，故选：D．利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，求得sin2α的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系，二倍角公式的应用，属于基础题．10.答案：D解析：解：如图，连接AD 1，B 1D 1，则∠B 1AD 1为异面直线AB 1与BC 1所成角，由已知可得：AB 1=AD 1=√5，B 1D 1=2√2． ∴cos∠B 1AD 1=2×5×5=15． ∴异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为15．故选：D ．由已知画出图形，找出异面直线AB 1与BC 1所成角，再由余弦定理求解．本题考查异面直线所成角的求法，是基础的计算题．11.答案：D解析：本题主要考查y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，考查了诱导公式的应用，属于基础题．由条件利用y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律，再结合诱导公式进行化简解析式，得出结论．解：将函数f(x)=sinπx 的图象向右平移12个单位长度后，得到g(x)=sin[π(x −12)]=sin(πx −π2)=−cosπx 的图象，故选：D ．12.答案：B解析：构造函数g(x)=f(x)e 12x ，则g′(x)=f′(x)e 12x −12f(x)e 12x(e 12x )2=2f′(x)−f(x)2e 12x >0，函数g(x)在R 上单调递增，所以g(2ln2)<g(2ln3)，即f(2ln2)e ln2<f(2ln3)e ln3，即f(2ln2)2<f(2ln3)3，即3f(2ln2)<2f(2ln3)．13.答案：57解析：利用正弦定理即可得出．本题考查了正弦定理的应用，属于基础题．解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：4，由正弦定理可得：a：b：c=2：3：4，∴a+bb+c =2+33+4=57，故答案为57．14.答案：36π解析：本题考查三棱锥外接球问题，及球的体积，属于基础题．其中根据已知条件，得到棱锥的外接球直径等于以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线，是解答本题的关键．解：∵PA，PB，PC两两垂直，又∵三棱锥P−ABC的四个顶点均在球面上，∴以PA，PB，PC为棱的长方体的对角线即为球的一条直径，∴(2R)2=PA2+PB2+PC2=36，∴R= 3，所以V=43πR3=43π×33=36π．故答案为36π．15.答案：[0,2)解析：本题考查函数值域，属于基础题．解：根据指数函数性质可知2−x∈(0,+∞)，所以−2−x∈(−∞,0)所以4−2−x∈(−∞,4)因为y=√4−2−x≥0，所以值域为[0,2)．故答案为[0,2)．16.答案：±√7 解析：本题考查椭圆的概念与性质及直线与椭圆位置关系，属于中档题．设P 点坐标，由椭圆方程得出F 1、F 2的坐标，由椭圆的性质可知当直线l 与椭圆C 相切时符合题意，联立方程组求出m 的值即可..解：∵|PF 1|+|PF 2|=√(x 0+1)2+y 02+√(x 0−1)2+y 02≥4，∴当P 点为直线y =x +m 与椭圆x 24+y 23=1的切点时|PF 1|+|PF 2|最小，将y =x +m 代入x 24+y 23=1得7x 2+8mx +4m 2−12=0，∴△=64m 2−28(4m 2−12)=0，解得m =±√7．故答案为±√7．17.答案：(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ，∴PA ⊥AB ．∵AB ⊥AD ，AD ∩PA =A ，∴AB ⊥平面PAD ．∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD ，又∵BM ⊥PD ，AB ∩BM =B ，∴PD ⊥平面ABM ．∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD ．(2)解：如图所示，以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，则A(0,0，0)，P(0,0，4)，B(2,0，0)，C(2,4，0)，D(0,4，0)．∵AM ⊥PD ，PA =AD ，∴M 为PD 的中点，∴M 的坐标为(0,2，2)．∴AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,4，0)，AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,2，2)，CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,0，0)．设平面ACM 的一个法向量为n⃗ =(x,y ，z)，由n ⃗ ⊥AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，n ⃗ ⊥AM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，得y +z =0，且x +2y =0，令z =1，得x =2，y =−1.∴n⃗ =(2,−1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α=|n ⃗⃗ ⋅CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |⋅|CD⃗⃗⃗⃗⃗ |=2√6=√63． ∴cos α=√33，即直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值为√33．解析：本题考查线线垂直的证明，考查线面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理能力与计算能力，是中档题．(1)推导出PA ⊥AB ，AB ⊥平面PAD ，AB ⊥PD ，由此能证明AM ⊥PD ．(2)以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系Axyz ，由此能求出直线CD 与平面ACM 所成角的余弦值．18.答案：解：(1)由题意得，f(p)=C 501p(1−p)49，所以. 因为0<p <1，所以令f ＇(p)=0，得p =150=0.02因为当0<p <0.02时，f ＇(p)>0，当0.02<p <1时，f ＇(p)<0，所以f(p)的最大值点p 0=0.02.(2)(i)由(1)可知产品合格的概率为1−0.02=0.98，所以该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C 31×0.982×0.02×0.98≈0.998 ，(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3 000，4 000，则P(ξ=3000)=0.983+C 31×0.98×0.022+0.023≈0.942，P(ξ=4000)=C 32×0.982×0.02≈0.058所以ξ的分布列为ξ 3000 4000P 0.942 0.058所以E(ξ)=3 000×0.942+4 000×0.058=3 058(元).解析：本题考查概率的求法及应用，考查离散型随机变量的数学期望的求法，考查是否该对这箱余下的所有产品作检验的判断与求法，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(1)求出f(p)=C501p(1−p)49，所以，利用导数性质能求出f(p)的最大值点p0．(2)(i)由p=0.02，由题意，该服装厂申报“质量管理示范企业”称号成功的概率为0.983+C31×0.982×0.02×0.98计算可得．(ii)由题可知ξ的所有可能取值为3000，4000，分别计算概率，列出分布列，得到期望．19.答案：(Ⅰ)证明：因为数列{a n}是公差为d(d≠0)的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，所以a22=a1a5，即为(a1+d)2=a1(a1+4d)，化简可得d=2a1，所以S1S9=a1(9a1+36d)=81a12，S3=3a1+3d=9a1，所以S1S9=S32，所以S1，S3，S9成等比数列；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，(Ⅱ)解：a1=1，则b n=a 2n所以数列{b n}的前n项和T n=(4+8+⋯+2n+1)−n−n=2n+2−4−n．=4(1−2n)1−2解析：本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，等比数列中项的性质，考查数列的求和方法：分组求和，注意运用等比数列的求和公式，考查运算能力，属于中档题．(Ⅰ)运用等差数列的通项公式和等比数列中项的性质，解方程可得d=2a1，再由等差数列的求和公式，结合等比数列中项性质，即可得证；=a1+(2n−1)d=1+2(2n−1)=2n+1−1，再由分组求和，结合等比数列的(Ⅱ)求出b n=a 2n求和公式，计算即可得到所求和．(x−1)2−x+lnx(a>0)，定义域(0,+∞)，20.答案：解：(1)∵f(x)=a2∴f′(x)=a(x−1)−1+1x =a(x−1a)(x−1)x，①当0<a<1时，令f′(x)>0可得，x>1a或x<1，令f′(x)<0可得，1<x<1a，∴函数f(x)单调递增区间(1a ,+∞)，(0,1)，单调递减区间(1,1a)；②a=1时，f°(x)>0恒成立，故函数在(0,+∞)上单调递增；③当a>1时，令f′(x)>0可得，x<1a或x>1，令f′(x)<0可得，1a<x<1，∴函数f(x)单调递增区间(1,+∞)，(−∞,1a )，单调递减区间(1a,1)；(2)若1<a<e，由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，∵f(1)=−1<0，f(1a )=a2−12a−lna−1，令g(a)=a2−12a−lna−1，1<a<e，则g′(a)=12+12a2−1a=(a−1)22a2>0恒成立，∴g(a)在(1,e)上单调递增，∴g(1)<g(a)<g(e)<0，即f(1a )=a2−12a−lna−1<0，∵x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，∴函数的图象与x轴只有一个交点即f(x)的零点个数为1．解析：(1)先对函数进行求导，然后对a进行分类讨论即可求解函数的单调区间；(2)由(1)知函数f(x)在(1,+∞)，(0,1a )单调递增，在(1a,1)单调递减，然后判断出f(1)=−1<0，f(1a)=a 2−12a−lna−1<0及x→0，f(x)→−∞，x→+∞时，f(x)→+∞，即可判断．本题主要考查了利用导数求解函数的单调性及利用函数的单调性判断函数的零点个数，还考查了考生的逻辑思维能力，具有一定的综合性．21.答案：解：(1)由焦点的坐标可得p2=2，所以p=4；(2)由(1)可得抛物线的方程为y 2=8x ，设直线AB 的方程为：y =x −2，A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，联立直线AB 与抛物线的方程可得：{y =x −2y 2=8x，整理可得：x 2−12x +4=0，所以x 1+x 2=12，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，所以弦长|AB|=x 1+x 2+p =12+4=16．解析：本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，属于基础题．(1)由焦点的坐标直接可得p 值；(2)由题意设直线AB 的方程，与抛物线联立求出两根之和，再由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，可得弦长|AB|的值．22.答案：(Ⅰ)证明：曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，消去参数得到x 2+y 2−4x +1=0，根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，所以4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ≥2，当且仅当ρ=1时等号成立，所以cosθ≥12，又θ∈[0,2π]，所以θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)．解析：本题考查曲线的参数方程以及极坐标方程和普通方程的互化；(Ⅰ)将曲线C 的参数方程为{x =2+√3cosθy =√3sinθ(θ为参数)，化为普通方程，然后根据ρ2=x 2+y 2，x =ρcosθ得到C 的极坐标方程为ρ2−4ρcosθ+1=0，解出4cosθ=ρ+1ρ；(Ⅱ)由(Ⅰ)得4cosθ=ρ+1ρ利用基本不等式得到cosθ≥12，结合θ∈[0,2π]，得到θ∈[0,π3]∪[5π3,2π)． 23.答案：解：(1)f(x)=|x −4|+|1−x|={2x −5,x >43,1≤x ≤4−2x +5,x <1．∵f(x)≤5，∴{2x −5≤5x >4或1≤x ≤4或{−2x +5≤5x <1， ∴4<x ≤5或1≤x ≤4或0≤x <1，∴0≤x ≤5，∴不等式的解集为{x|0≤x ≤5}．(2)由(1)知，f(x)min =M =3，∴a 2+b 2=M =3，∴1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16=(2+b 2+1a 2+2+a 2+2b 2+1)×16≥(2+2√b 2+1a 2+2⋅a 2+2b 2+1)×16=23，当且仅当a 2=1，b 2=2时等号成立， ∴1a 2+2+1b 2+1≥23．解析：(1)先将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)≤5，分别解不等式即可；(2)由(1)可得f(x)min =M =3，从而得到a 2+b 2=3，再由1a 2+2−1b 2+1=(1a 2+2+1b 2+1)[(a 2+2)+(b 2+1)]×16利用基本不等式求出1a 2+2+1b 2+1的最小值．本题考查了绝对值不等式的解法和利用基本不等式求最值，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。

辽宁省大连市2020届高三数学上学期教学质量检测试题理(PDF)

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rx-y+2 注。 14.若实数 x,y 满足不等式组才 2x十y-2�0 ，存在可行解（x,y）满足 mx-y-6m = O，则实数 m 的最小值
L4x-y-4《0
为
15. 在水平桌面上，有两两相切且半径均为 2 的四个黑球，有一个自球与这四个黑球均相切，则该自球球面上的
点到桌面距离的最大值为
C.11
D.12
①当 k=l 时， f(x）注 0 恒成立；②当护 2 时，只川的零点为 Xo 且一 I＜岛＜寸：③当是＝＋时， x = l 是
J(x）的极值点；④若 f(x）有三个零点，则实数h的取值范围为（0，去）
A. ①②④
B.①③
C.②③④
D.②④
第E卷
二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分． 13.已知函数列。＝ax3 -ax（α＞O）的图象在 x= O 和工＝ 1处的切线互相垂直，则“ ＝
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2020年高考辽宁卷(理)含答案

2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）含答案数学（理）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）22（C ）2 （D ）2 2．已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=，则A ．()01，B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，3．已知点()()1,3,4,1,A B AB -则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭， 4．下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p 5．某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)20,40,40,60，[)[)60,80,820,100.若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）606．在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=且a b >，则B ∠=A ．6π B ．3πC ．23π D ．56π7．使得()13nx n N n x x +⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为 A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 8．执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的A ．511B ．1011C ．3655D ．72559．已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b aa=+C ．()3310b a b aa ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--=10．已知三棱柱111ABC A B C -的6个顶点都在球O 的球面上，若34AB AC ==，，AB AC ⊥，112AA =，则球O 的半径为A ．3172B ．210 C ．132D ．310 11．已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）1612．设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.13.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .14．已知等比数列{}n a 是递增数列，n S 是{}n a 的前n 项和，若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根，则6S = .15．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为,F C 与过原点的直线相交于,A B两点，连接,AF BF ，若410,6,cos ABF 5AB AF ==∠=，则C 的离心率e = .16．为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（本小题满分12分）设向量()()3sin ,sin ,cos ,sinx ,0,.2a x x b x x π⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦（I ）若.a b x =求的值；（II ）设函数()(),.f x a b f x =求的最大值18．（本小题满分12分）如图，AB是圆的直径，PA 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,解析版)

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题（辽宁卷，解析版）【名师简评】本套试卷全面考查了《考试大纲》所规定的考试内容，如第4、15、18题分别考查了程序框图、三视图、统计案例等新增内容的应用；第22、23、24题分别考查了选修系列4中的几何证明选讲、坐标系与参数方程、不等式证明等知识。

试卷充分重视主干知识的地位，考的宗旨对推动数学教学改革起到了良好的导向作用。

第I 卷一、选择墨：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，（1）已知A ，B 均为集合U={1,3,5,7,9}的子集，且A ∩B={3},(u ðB ∩A={9},则A=（A ）{1,3} (B){3,7,9} (C){3,5,9} (D){3,9}(2)设a,b 为实数，若复数11+2ii a bi=++，则（A ）31,22a b == (B) 3,1a b == (C) 13,22a b == (D) 1,3a b ==（3）两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（A ）12 (B)512(C)14 (D)16(4)如果执行右面的程序框图，输入正整数n ，m ，满足n ≥m ，那么输出的P 等于（A ）1m n C -(B) 1m nA -(C) mn C (D) mn A（5）设ω>0,函数y=sin(ωx+3π)+2的图像向右平移34π个单位后与原图像重合，则ω的最小值是（A ）23 (B)43 (C)32(D)3（6）设{a n }是有正数组成的等比数列，n S 为其前n 项和。

已知a 2a 4=1, 37S =,则5S =（A ）152 (B)314 (C)334(D)172(7)设抛物线y 2=8x 的焦点为F ，准线为l,P 为抛物线上一点,PA ⊥l,A 为垂足．如果直线AF 的斜率为-3,那么|PF|= (A)43 (B)8 (C)83 (D) 16(8)平面上O,A,B 三点不共线，设,OA=a OB b =，则△OAB 的面积等于 (A)222|||()|a b a b -g (B) 222|||()|a b a b +g (C)2221|||()2|a b a b -g (D) 2221|||()2|a b a b +g(9)设双曲线的—个焦点为F ；虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为 (A) 2 (B)3 (C)312+ (D) 512+(1O)已知点P 在曲线y=41x e +上，a 为曲线在点P 处的切线的倾斜角，则a 的取值范围是 (A)[0,4π) (B)[,)42ππ 3(,]24ππ (D) 3[,)4ππ(11)已知a>0，则x 0满足关于x 的方程ax=6的充要条件是 (A)220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≥- (B) 220011,22x R ax bx ax bx ∃∈-≤- (C) 220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≥- (D) 220011,22x R ax bx ax bx ∀∈-≤-(12) (12)有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a 的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a 的取值范围是(A)（0,62+） (B)（1,22）(C) (62-,62+） (D) （0,22）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

2020年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(辽宁卷,含答案)(1)

绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（供理科考生使用）第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的11Z i =-模为（A ）12（B ）22 （C ）2 （D ）2（2）已知集合{}{}4|0log 1,|2A x x B x x A B =<<=≤=I ，则 A ．()01， B ．(]02，C ．()1,2D ．(]12，（3）已知点()()1,3,4,1,A B AB -u u u r则与向量同方向的单位向量为（A ）3455⎛⎫ ⎪⎝⎭，-（B ）4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，- （C ）3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，（D ）4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，（4）下面是关于公差0d >的等差数列()n a 的四个命题：{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为（A ）12,p p （B ）34,p p （C ）23,p p （D ）14,p p （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组一次为[)[)[)[)20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是（A ）45 （B ）50 （C ）55 （D ）60（6）在ABC ∆，内角,,A B C 所对的边长分别为,,.a b c 1sin cos sin cos ,2a B C c B Ab +=,a b B >∠=且则A ．6π B ．3πC ．23πD ．56π（7）使得()3nx n N n x x +⎛+∈ ⎪⎝⎭的展开式中含有常数项的最小的为A ．4B ．5C ．6D ．7 （8）执行如图所示的程序框图，若输入10,n S ==则输出的 A ．511 B ．1011 C ．3655 D ．7255（9）已知点()()()30,0,0,,,.ABC ,O A b B a a ∆若为直角三角形则必有A ．3b a = B ．31b a a=+ C ．()3310b ab a a ⎛⎫---= ⎪⎝⎭ D ．3310b a b a a-+--= （10）已知三棱柱1116.34ABC A B C O AB AC -==的个顶点都在球的球面上若，，,AB AC ⊥112AA O =，则球的半径为A ．317 B ．210 C ．132D ．310 （11）已知函数()()()()222222,228.f x x a x a g x x a x a =-++=-+--+设()()(){}()()(){}{}()12max ,,min ,,max ,H x f x g x H x f x g x p q ==表示,p q 中的较大值，{}min ,p q 表示,p q 中的较小值，记()1H x 得最小值为,A ()2H x 得最小值为B ,则A B -=（A ）2216a a -- （B ）2216a a +- （C ）16- （D ）16（11）设函数()()()()()222,2,0,8x e e f x x f x xf x f x f x x '+==>满足则时，（A ）有极大值，无极小值（B ）有极小值，无极大值（C ）既有极大值又有极小值（D ）既无极大值也无极小值第II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷和答案(理科)

2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）设集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A．{﹣2，﹣1，0，1，2}B．{﹣1，0，1，2}C．{﹣1，0，1，2，3}D．{﹣2，﹣1，0，1，2，3} 2．（5分）若复数z满足（1+i）z＝2，则z的虚部为（）A．﹣1B．﹣i C．i D．13．（5分）下列函数中是偶函数，且在（0，+∞）是增函数的是（）A．y＝ln|x|B．y＝cosx C．y＝﹣x2D．y＝x3 4．（5分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，若a4+a5＝12，则S8的值为（）A．14B．28C．36D．485．（5分）PM2.5是衡量空气质量的重要指标，我国采用世卫组织的最宽值限定值，即PM2.5日均值在35μg/m3以下空气质量为一级，在35～75μg/m3空气质量为二级，超过75μg/m3为超标．如图是某地12月1日至10日的PM2.5（单位：μg/m3）的日均值，则下列说法正确的是（）A．10天中PM2.5日均值最低的是1月3日B．从1日到6日PM2.5日均值逐渐升高C．这10天中恰有5天空气质量不超标D．这10天中PM2.5 日均值的中位数是436．（5分）已知抛物线y2＝4x上点B（在第一象限）到焦点F距离为5，则点B坐标为（）A．（1，1）B．（2，3）C．（4，4）D．7．（5分）设，是非零向量，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．即不充分也不必要条件8．（5分）如图是函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的部分图象，则ω，φ的值分别为（）A．1，B．C．D．9．（5分）设数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2S n+1，n∈N*，则S5值为（）A．363B．121C．80D．4010．（5分）已知a＞0，b＞0，，则a+b的最小值为（）A．B．C．2D．411．（5分）已知a，b是两条直线，α，β，γ是三个平面，则下列命题正确的是（）A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥βB．若α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥αD．若α∥β，a∥α，则a∥β12．（5分）《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经后天八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取两卦，记事件A＝“两卦的六根线中恰有两根阳线”，B＝“有一卦恰有一根阳线”，则P（A|B）＝（）A．B．C．D．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．（5分）已知x，y满足约束条件则z＝x+y的最大值为．14．（5分）双曲线的一条渐近线的方程为y＝x，则该双曲线的离心率e＝．15．（5分）定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．则f（6）的值是．16．（5分）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点O为线段BD 的中点．设点P在线段CC1上，二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为，sinα的最小值是．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）设函数f（x）＝2sinxcosx﹣2cos2（x+）．（Ⅰ）求f（x）的单调递增区间；（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）＝0，a＝1，c＝1，求b．18．（12分）某中学调查防疫期间学生居家每天锻炼时间情况，从高一、高二年级学生中分别随机抽取100人，由调查结果得到如图的频率分布直方图：（Ⅰ）写出频率分布直方图（高一）中a的值；记高一、高二学生100人锻炼时间的样本的方差分别为s12，s22，试比较s12，s22的大小（只要求写出结论）；（Ⅱ）估计在高一、高二学生中各随机抽取1人，恰有一人的锻炼时间大于20分钟的概率；（Ⅲ）由频率分布直方图可以认为，高二学生锻炼时间Z服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为样本平均数近似为样本方差，且每名学生锻炼时间相互独立，设X表示从高二学生中随机抽取10人，其锻炼时间位于（14.55，38.45）的人数，求X的数学期望．注：①同一组数据用该区间的中点值作代表，计算得s2＝≈11.95；②若Z～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜z＜μ+σ）＝0.6826，P（μ﹣2σ＜z＜μ+2σ）＝0.9544．19．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，A在侧面BB1C1C上的投影恰为B1C的中点O，E为AB的中点．（Ⅰ）证明：OE∥平面ACC1A1；（Ⅱ）若，在线段C1A1上是否存在点F （F不与（C1，A1重合）使得直线EF与平面ACC1A1成角的正弦值为．若存在，求出的值；若不存在，说明理由．20．（12分）已知过点的曲线C的方程为．（Ⅰ）求曲线C的标准方程：（Ⅱ）已知点F（1，0），A为直线x＝4上任意一点，过F作AF 的垂线交曲线C于点B，D．（i）证明：OA平分线段BD（其中O为坐标原点）；（ii）求最大值．21．（12分）已知函数f（x）＝2sinx﹣x2+2πx﹣a．（Ⅰ）当a＝0时，求f（x）零点处的切线方程；（Ⅱ）若f（x）有两个零点x1，x2（x1＜x2），求证：a．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．记M的轨迹为曲线C．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．（Ⅰ）求C和l的直角坐标方程；（Ⅱ）求C上的点到1距离的最小值．[选修4--5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝m﹣|x﹣2|，m∈R，g（x）＝|x+3|．（Ⅰ）当x∈R时，有f（x）≤g（x），求实数m的取值范围．（Ⅱ）若不等式f（x）≥0的解集为[1，3]，正数a，b满足ab﹣2a﹣b＝3m﹣1，求a+b的最小值．2020年辽宁省大连市高考数学一模试卷（理科）答案与解析一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【分析】利用交集定义直接求解．【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{﹣1，0，1，2，3}，集合A∩B＝{﹣1，0，1，2}．故选：B．2．【分析】利用共轭复数的定义、复数的运算法则即可得出．【解答】解：∵复数z满足（1+i）z＝2，∴（1﹣i）（1+i）z＝2（1﹣i），∴2z＝2（1﹣i），∴z＝1﹣i，则z的虚部为﹣1．故选：A．3．【分析】根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性与单调性，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A，y＝ln|x|，其定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，有f（﹣x）＝ln|x|＝f（x），是偶函数，且在（0，+∞）上，f（x）＝lnx，为增函数，符合题意，对于B，y＝cosx，是余弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；对于C，y＝﹣x2，为二次函数，在（0，+∞）上是单调减函数，不符合题意；对于D，y＝x3，为奇函数，不符合题意；故选：A．4．【分析】由等差数列的性质得S8＝＝，由此能求出结果．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5＝12，∴S8＝＝＝4×12＝48．故选：D．5．【分析】由折线图逐一分析数据，找出特例可判断，找出结果．【解答】解：由折线图可知A错，因为10天中PM2.5日均值最低的是12月1日；B错，因为2日到3日是下降的；C错，因为10天中有8天空气质量不超标；由数据分析可得日均值的中位数是43，故选：D．6．【分析】由抛物线的方程可得准线方程，再由抛物线的性质可得到焦点的距离等于到准线的距离，可得B的横坐标，代入抛物线的方程可得纵坐标．【解答】解：设B（x，y），由抛物线的方程可得准线方程为：x ＝﹣1，由抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离x+1＝5，所以x＝4，代入抛物线的方程可得y＝±4，由B在第一象限，所以y＝4，即B的坐标（4，4），故选：C．7．【分析】根据向量数量积的应用，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若“|+2|＝|﹣2|，则平方得||2+4||2+4•＝||2+4||2﹣4•，即4•＝﹣4•，得•＝0，即⊥，则“⊥”是“|+2|＝|﹣2|的充要条件，故选：C．8．【分析】结合函数的图象，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值．【解答】解：∵由函数图象可知T＝2×（﹣）＝π，∴ω＝2，∵x＝时，函数取得最大值2，∴可得：2sin（2×+φ）＝2，可得：2×+φ＝2kπ+，即φ＝2kπ+，k∈Z，∵|φ|＜，∴φ＝．故选：D．9．【分析】通过数列的递推关系式求出数列的前5项，然后求解数列的和即可．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n．若a1＝1，a n+1＝2s n+1，n∈N*，可得a2＝3，a3＝9，a4＝27，a5＝81，则S5＝1+3+9+27+81＝121．故选：B．10．【分析】根据，可以得到a+b＝（a+b）×（），展开后再运用基本不等式可求得最小值．【解答】解：∵，∴a+b＝（a+b）×（）＝1+1+≥2+2＝4，当且仅当时等号成立，∴a+b的最小值为4．故选：D．11．【分析】A．由于α∥β，或相交，即可判断出正误；B．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误；C．正确，利用线面面面垂直的判定与性质定理即可判断出正误；D．由已知可得a∥β或a⊂β，即可判断出正误．【解答】解：A．若a∥α，b∥β，a∥b，则α∥β，不正确，可能相交；B．若α⊥β，a⊥α，则a∥β或a⊂β，因此不正确；C．若α⊥β，α⊥γ，β∩γ＝a，则a⊥α，正确；证明：设α∩β＝b，α∩γ＝c，取P∈α，过点P分别作m⊥b，n⊥c，则m⊥β，n⊥γ，∴m⊥a，n⊥a，又m∩n＝P，∴a⊥α．D．若α∥β，a∥α，则a∥β或a⊂β．故选：C．12．【分析】先分析卦数的分类，再分别求解各自对应的种数，相比即可求解结论．【解答】解：观察八卦图可知，含3根阴线的共有1卦，含3根阳线的共有1卦，还有2根阴线1根阳线的共有3卦，含有1根阴线2根阳线的共有3卦，∴从八卦中任取两卦，有一卦恰有一根阳线的取法有：+＝18；再此条件下：两卦的六根线恰有两根阳线的取法有：＝3种；故P（A|B）＝＝；故选：B．二.填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答卷纸的相应位置上）13．【分析】由约束条件作出可行域，结合图形得到使目标函数z＝x+y的最优解，代入坐标求得z＝x+y的最小值．【解答】解：由x，y满足约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2）．由图可知，使目标函数z＝x+y取得最大值最大值的最优解为点A 的坐标，∴z＝x+y的最大值为：4．故答案为：4．14．【分析】利用双曲线的渐近线方程，得到ab关系式，然后求解离心率．【解答】解：双曲线的一条渐近线的方程为y ＝x，可得a＝b，则c＝，∴e＝．故答案为：．15．【分析】直接根据定义把f（6）转化到用f（）来表示即可求解．【解答】解：∵定义在（1，+∞）上的函数f（x）满足下列两个条件：（1）对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x．∴f（6）＝2f（3）＝4f（）＝4×（2﹣）＝2．故答案为：2．16．【分析】判断平面A1BD与平面ACC1A1垂直，即可得到二面角的平面角，然后判断P的位置，求解最小值即可．【解答】解：连接AC交BD与O，连接A1C1，由题意可知：BD ⊥AC，BD⊥AA1，所以BD⊥平面ACC1A1，所以BD⊥OPS，所以点P在线段CC1上二面角A1﹣BD﹣P的平面角为α，用图中字母表示角α为：∠A1OP，设正方体的列出为2，则A1O＝，OC＝，A1C＝2，由题意可知P在C处时，cos∠A1OP＝＝﹣，此时sin∠A1OP＝，是最小值．故答案为：∠A1OP；．三.解答题：（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【分析】（Ⅰ）由题意利用三角函数恒等变换的应用可求函数解析式为f（x）＝2sin2x﹣1，利用正弦函数的单调性即可求解其单调递增区间．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，结合B为锐角，可得B＝，进而根据余弦定理即可求解b的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意可得：＝sin2x ﹣[1+cos（2x+）]＝2sin2x﹣1，由2kπ﹣≤2x≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z，可得f（x）的单调递增区间是[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．（Ⅱ）由f（）＝2sinB﹣1＝0，可得sinB＝，由题意可得B为锐角，可得B＝，又a＝1，c＝1，又余弦定理可得b＝＝＝1．18．【分析】（Ⅰ）写出频率分布直方图中的a，写出s12，s22的大小即可．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．求出P（A），P（B），通过P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）求解即可．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），推出X∽B（10，0.6825），求解期望即可．【解答】解：（Ⅰ）由题意可知a＝0.015．s12＞s22．（Ⅱ）设事件A：在高一学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件B：在高二学生中随机抽取1人，其锻炼时间指标不大于20分钟，事件C：在高一、高二学生中随机抽取1人，恰有一个学生锻炼时间指标大于20分钟，且另一个不大于20分钟．则：P（A）＝0.2+0.1＝0.30，P（B）＝0.1+0.2＝0.30，P（C）＝P（）P（B）+P（A）P（）＝0.42．（Ⅲ）＝26.5，由条件可得：Z∽N（26.5，142.75），从而P（26.5﹣11.9＜Z＜26.5+11.95）＝0.6826，∴从高二中随机抽取10人，其锻炼时间值位于（14.55，38.45）的概率是0.6826．根据题意得：X∽B（10，0.6825），∴EX＝10×0.6826＝6.826．19．【分析】（I）连接BC1，AC1，利用三角形中位线定理可得：OE ∥AC1，利用线面平行的判定定理即可证明结论．（II）由AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，可以建立空间直角坐标系．设BC＝2，由∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1，可得cos∠ACO＝，AO＝1．设＝λ（0＜λ＜1），可得F（﹣，λ，λ），＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），可得•＝•＝0．利用＝，解得λ．即可得出．【解答】（I）证明：连接BC1，AC1，∵O为B1C的中点，E为AB的中点，∴OE∥AC1，∵OE⊄平面ACC1A1，AC1⊂平面ACC1A1．∴OE⊄平面ACC1A1．（II）解：∵AO⊥侧面BB1C1C，侧面BB1C1C为菱形，∴AO⊥OB，AO⊥OB1，OB⊥OB1．∴以点O为坐标原点，OB，OB1，OA为x，y，z轴，可以建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz．设BC＝2，∵∠CBB1＝60°，cos∠ACC1＝cos∠ACO•cos∠OCC1∴cos∠ACO＝，∴AO＝1．∴B（，0，0），C（0，﹣1，0），C1（﹣，0，0），A（0，0，1），A1（﹣，1，1），∴E（，0，），设＝λ（0＜λ＜1），∴F（﹣，λ，λ），∴＝（﹣，λ，λ﹣）．设平面ACC1A1的法向量为＝（x，y，z），∵＝（0，1，1），＝（﹣，1，0）．∴•＝•＝0．∴y+z＝0，﹣x+y＝0．取＝（1，，﹣）．∴＝＝，解得λ＝．∴＝．20．【分析】（Ⅰ）将P的坐标代入可得a的值，由题意的定义可得曲线C的轨迹为椭圆，且可知焦点坐标即长半轴长，进而求出曲线C的标准方程；（Ⅱ）（i）设B，D的坐标，由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，设直线BD的方程，由题意可得直线AF 的方程，将直线BD的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，进而求出BD的中点M坐标，求出直线OM的斜率，及直线OA的斜率，可得两个斜率相等可证得OA平分线段BD；（ii）求出|AF|，|BD|，进而求出的表达式，换元由均值不等式可得其最大值．【解答】解（Ⅰ）将P的坐标代入方程可得：a＝2，所以由椭圆的定义可知，曲线C的轨迹为以（﹣1，0），（1，0）为焦点，以长半轴为2的椭圆，所以曲线C的标准方程为：+＝1；（Ⅱ）（i）设B（x1，y1），D（x2，y2），BD的中点坐标M（x0，y0），由题意可得直线BD的斜率存在且不为0，所以设直线BD的方程为：x＝my+1，则直线AF的方程为：y＝﹣m（x﹣1），A在直线x＝4上，所以y A＝﹣3m，即A（4，﹣3m），将直线BD与椭圆联立，整理可得（4+3m2）y2+6my﹣9＝0，所以y1+y2＝﹣，y1y2＝﹣，所以x1+x2＝m（y1+y2）+2＝，所以中点M（，），因为k OA＝＝k OM，所以OA平分线段BD；（ii）|AF|＝3，|BD|＝＝，所以＝，令t＝≥1，所以＝＝≤1，当且仅当t＝1时取等号，所以最大值为1．21．【分析】（Ⅰ）将a＝0带入，求导得f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，进而可知存在x0，使得f′（x0）＝0，且f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，在x∈（x0，+∞）上单调递减，进一步可得x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，再求得f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，由此求得所求切线方程；（Ⅱ）先构造函数F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，可得；设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，可知（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y ＝a的交点横坐标为x4，可得，由此即可得证．【解答】解：（Ⅰ）当a＝0时，f（x）＝2sinx﹣x2+2πx，定义域为R，则f′（x）＝2cosx﹣2x+2π，f''（x）＝﹣2sinx﹣2＜0，∴y＝f′（x）在R上为减函数，∵f′（0）＝2+2π＞0，f′（π）＝﹣2π＜0，∴由零点存在性定理可知，f′（x）在x∈（0，π）上必存在x0，使得f′（x0）＝0，且当x∈（﹣∞，x0）时，f′（x）＞0，即f（x）在x∈（﹣∞，x0）上单调递增，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＜0，即f（x）在x∈（x0，+∞）上单调递减，∴f（x）max＝f（x0），故f（x）至多有两个零点，又∵f（0）＝0，f（2π）＝0，故x＝0，x＝2π是f（x）的两个零点，∴由f′（0）＝2+2π，f′（2π）＝2﹣2π，易得两切线方程为y ＝（2+2π）x或y＝（2﹣2π）x﹣4π+4π2；（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）易知，x1＜x0＜x2，设F（x）＝（2+2π）x﹣2sinx+x2﹣2πx，F′（x）＝2﹣2cosx+2x，F''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝F′（x）在R上为增函数，∵F′（0）＝0，∴当x∈（﹣∞，0）时，F′（x）＜0，即F（x）在（﹣∞，0）上为减函数，当x∈（0，+∞）时，F′（x）＞0，即F（x）在（0，+∞）上为增函数，∴F（x）≥F（0）＝0，即（2+2π）x≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2+2π）x与y＝a的交点横坐标为x3，则，∵y＝（2+2π）x为增函数，∴；同理设G（x）＝（2﹣2π）（x﹣2π）﹣2sinx+x2﹣2πx，则G′（x）＝2﹣4π﹣2cosx+2x，G''（x）＝2sinx+2≥0，∴y＝G′（x）在R上为增函数，又G′（2π）＝0，∴当x∈（﹣∞，2π）时，G′（x）＜0，即G（x）在（﹣∞，2π）上单调递减，当x∈（2π，+∞）时，G′（x）＞0，即G（x）在（2π，+∞）上单调递增，∴G（x）≥g（2π）＝0，即（2﹣2π）（x﹣2π）≥2sinx﹣x2+2πx，设y＝（2﹣2π）（x﹣2π）与y＝a的交点横坐标为x4，则，又y＝（2﹣2π）（x﹣2π）为减函数，则，故，∴a，得证．四、请考生在22，23二题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.作答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．【分析】（Ⅰ）直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用点到直线的距离公式和三角函数关系式的恒等变换及余弦型函数性质的应用求出结果．【解答】解：（Ⅰ）已知点A（﹣1，0），B（1，0），动点M（x，y）满足直线AM与BM的斜率之积为﹣4．整理得，化简得：（x＝±1）．直线1的极坐标方程为2ρcosθ+ρsinθ+11＝0．转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）把方程（x＝±1）转换为（θ为参数，且﹣π＜θ＜π）．所以点C（cosθ，2sinθ）到直线的距离d＝，当，所以．[选修4--5：不等式选讲]23．【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b等式，转化为只含有a的式子后利用基本不等式可以求解．【解答】解：（1）由题意得：∵f（x）≤g（x）在x∈R上恒成立，∴m≤|x+3|+|x﹣2|恒成立，即m≤（|x+3|+|x﹣2|）min又∵|x+3|+|x﹣2|≥|（x+3）﹣（x﹣2）|＝5∴m≤5，即m∈（﹣∞，5]（2）令f（x）≥0，∴m≥||若m≤0，则解集为∅，不合题意；若m＞0，则有﹣m≤x﹣2≤m，即x∈[2﹣m，2+m]又∵解集为x∈[1，3]，∴m＝1∴ab﹣2a﹣b＝2∴b＝∵，解得a＞1∴a+b＝a++3∴a+b≥2+3＝7当且仅当a﹣1＝，即a＝3时，等号成立，此时b ＝4∴a＝3，b＝4时a+b的最小值为7。

2020届辽宁省锦州市高三质量检测数学(理)试题Word版含解析

2020届辽宁省锦州市高三质量检测数学（理）试题一、选择题 1．设集合，则（）A. B.C.D.【答案】D【解析】试题分析：由,得:, 解得:,因为集合，故选D.【考点】1、集合的表示；2、集合的并集及补集.2．已知复数2ia i +-（其中a R ∈， i 是虚数单位）是纯虚数，则a 的值为（）A. 2B. 12C. 12- D. 2-【答案】B【解析】()()()222212211i a i a a i i a i a a ++-+++==-++, 是纯虚数,所以210a -=，解得12a =，经检验满足，故选B.3．已知数列{}n a ，若点(),n n a （*n N ∈）在经过点()10,6的定直线上，则数列{}n a 的前19项和19S 的值为（）A. 190B. 114C. 60D. 120【答案】B【解析】∵点(),n n a (n ∈N ∗)在经过点(10,6)的定直线上， ∴a n −6=k (n −10),可得a 10=6,且数列{}n a 为等差数列。

则数列{}n a 的前19项和()191019a1a19191142S a +===.故答案为：114.4．直线m ： 40kx y ++=（k R ∈）是圆C ： 224460x y x y ++-+=的一条对称轴，过点()0,A k 作斜率为1的直线n ，则直线n 被圆C 所截得的弦长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】圆C ： 224460x y x y ++-+=整理得： ()()22222x y ++-=.直线m ： 40kx y ++=（k R ∈）是圆C 的一条对称轴,所以直线经过圆心()2,2-.2240k -++=，解得3k =.过点()0,3A 作斜率为1的直线3n y x =+：.圆心到直线的距离为d ==.圆的半径为r =所以直线n 被圆C 所截得的弦长为==故选C. 点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（１）直线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（２）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（３）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小．5．某几何体的三视图如图所示，图中的四边形都是边长为2的正方形，主视图和左视图中的两条虚线都互相垂直且相等，则该几何体的体积是（）A.203 B. 163 C. 86π- D. 83π- 【答案】A【解析】该几何体为一个正方体去掉一个倒四棱锥，其中正方体棱长为2，倒四棱锥顶点为正方体中心，底面为正方体上底面，因此体积是3212021233-⨯⨯=，选A.6．函数()1cos f x x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（x ππ-≤≤且0x ≠）的图象可能为（）【答案】D【解析】试题分析：由题意可知， ()f x 为奇函数，所以排除A 、B ，当01x <<时，()1cos 0f x x x x ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，排除C,故选D.【考点】1.函数的奇偶性；2.函数与函数的图象.【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性以及函数的图象；属中档题；解答本题时要根据给定函数的解析式先判断函数的奇偶性，由奇偶性排除一部分选项，再根据给出的图象选项情况确定函数的基本性质，利用排除法确定正确的图象.7．某班班会准备从含甲、乙的6名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，那么不同的发言顺序有（）A. 336种B. 320种C. 192种D. 144种【答案】A【解析】根据题意，分2种情况讨论，若只有甲乙其中一人参加,有134C192244CA =种情况；若甲乙两人都参加,有2124C 144244CA =种情况，则不同的发言顺序种数192+144=336种，故选：A.8．设方程2ln 1x x =有两个不相等的实根1x 和2x ，则（） A. 120x x < B. 1201x x << C. 121x x > D. 121x x = 【答案】B【解析】方程2ln 1x x =有两个不等的实根1x 和2x ，即为y =|ln x |和y =2x 的图象有两个交点，如图可得设0<1x <1, 2x >1，由()12121212121122ln 222x x x x x x x x lnx lnx +-=+=-+=由0<1x <1, 2x >1,可得1222x x -<0, 122x x +>0，即为()12ln x x <0,即有1201x x <<.故选：D.9．执行如图所示的程序框图，则输出i 的值为（）A. 1006B. 1007C. 1008D. 1009 【答案】D【解析】执行如图所示的程序框图:1,0,1,1,1,12017n r s r s i ===+==<; 2,1,0,1,,22017n r s r s ==-=+≠<; 3,0,1,1,32017n r s r s ===-+≠<;4,1,0,1,2,42017n r s r s i ===+==<;……2016,1,0,1,42017n r s r s ===+=<;上述循环为一个周期，且i 表示1r s +=出现的次数，一个周期出现2次. 当2017n =时结束循环， 201750441=⨯+ 所有504211009i =⨯+=.故选D.点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.10．已知三棱锥A BCO -， OA ， OB ， OC 两两垂直且长度均为6，长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动，另一个端点N 在底面BCO 内运动（含边界），则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的O 点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（）A. 52πB. 54πC. 32π+D. 3π+【答案】B【解析】因为长为2的线段MN 的一个端点M 在棱OA 上运动,另一个端点N 在△BCO 内运动(含边界)，可知MN 的中点P 的轨迹为以O 为球心，以1为半径的球体，则MN 的中点P 的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的18.表面积为18个球面和3个14圆面的和： 221154131844πππ⨯⨯+⨯⨯⨯=，故选B.点睛：求组合体的表面积时要注意“面面俱到”，即必须将所有“露在外面”的面的面积加起来，还需注意重叠部分不再计入表面积.牢记球的表面积公式： 2S 4πR =,其中R 为球半径.11．已知1F ， 2F 是双曲线22221x y a b-=（0a >， 0b >）的左、右焦点，点1F 关于渐近线的对称点恰好落在以2F 为圆心， 2OF 为半径的圆上，则该双曲线的离心率为（）A.B. C. 2 D. 1【答案】C【解析】由题意,F 1(−c ,0),F 2(c ,0)，设一条渐近线方程为y =−ba x ,则F 1b =.设F 1关于渐近线的对称点为M ,F 1M 与渐近线交于A ,∴|MF 1|=2b ,A 为F 1M 的中点，又0是F 1F 2的中点,∴OA ∥F 2M ,∴∠F 1MF 2为直角， ∴△MF 1F 2为直角三角形， ∴由勾股定理得4c 2=c 2+4b 2 ∴3c 2=4(c 2−a 2),∴c 2=4a 2， ∴c =2a ，∴e =2. 故选：C. 点睛：平面解析几何小题常用的处理方法为数形结合，根据题中的条件在图中找到相应的几何关系，一般有：中位线定理，相似比，直角三角形的勾股定理，切线长定理，平行四边形等，根据几何关系建立代数式即可求解.12．已知函数()2x x f x e=， 0x ≠， e 为自然对数的底数，关于xλ=有四个相异实根，则实数λ的取值范围是（）A. 20,e ⎛⎫⎪⎝⎭B. ()+∞ C. 2,e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭ D. 224,2e e ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】由()2x x f x e =得： ()()22222x x xx xe x e x x f x e e --=='，令220x x -=得： 120,2x x ==，易知0x <时()0f x '<， 02x <<时()0f x '>， 2x >时()0f x '<，所以()f x 在(),0-∞递减，在()0,2递增，在()2,+∞递减，大致图象如图所示，当2x =时()242f e =，令t =2t tλ+=必须有一根小于2e ，一根大于2e ，当2t e =时， 2e e λ=+，而由2y t t =+的图象知，只须2e e λ>+时，方程2t t λ+=必有一根小于2e ，一根大于2e，故选C ．点睛：本题综合考查函数与方程，函数的零点、极值、单调性，属于难题．解决此类问题的关键是方程2t tλ+=有什么样的根，原方程才有四个根，通过对()f x 的单调性性研究，做出大致图象，结合图象可知方程2t t λ+=必有一根小于2e ，一根大于2e，然后结合对号函数图像分析，当2e e λ>+时，能使程2t t λ+=有一根小于2e ，一根大于2e．二、填空题13．在边长为1的正方形ABCD 中， 2AE EB =， BC 的中点为F ， 2EF FG =，则EG BD ⋅=__________．【答案】14-【解析】如下图，建立坐标系， 1,03E ⎛⎫⎪⎝⎭, 43,34G ⎛⎫ ⎪⎝⎭ , ()1,0B , ()0,1D ,则31,4EG ⎛⎫= ⎪⎝⎭ ,()1,1BD =- ,则()3111144EG BD ⋅=⨯-+⨯=- .【点睛】本题重点考察了向量数量积的运算，1.一般求向量数量积可用定义法求解，cos ,a b a b a b ⋅=，一般容易错在夹角上面，所以应根据具体的图形确定夹角；2.还可利用坐标法表示数量积1212a b x x y y ⋅=+，需建立坐标系解决问题，比如本题；3.还可将已知向量用未知向量表示，转化为那些知道模和夹角的向量.14．设2cos a xdx π=⎰，则62a x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开式中常数项为__________（用数字作答）．【答案】160-【解析】20cos |120a xdx sinx ππ===⎰.66122a x x x x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的展开式的通项公式为()()66621C 2C 1266rr r r r r r x x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭. 令3r =，得常数项： ()333C121606-=-. 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r ＋1项，再由特定项的特点求出r 值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r ＋1项，由特定项得出r 值，最后求出其参数.15．设实数x ， y 满足约束条件20,{26,1,2y x x y y -≤+≤≥则12x y+的最小值为__________．【答案】2【解析】实数x 、y 满足约束条件20,26,1,2y x x y y ⎧⎪-≤⎪+≤⎨⎪⎪≥⎩的可行域如图：可得A (32,3),B (14,12),C (114,12)，目标函数在线段AB 处取得最小值。

辽宁省沈阳市2020届高三年级教学质量监测(三)数学(理科)试题含答案

参考公式：线性回归方程 y = b x + a 中，其中 b = i=1 n
，a = y− b x ．相
−
(xi − x)2
i =1
关系数 r =
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
n
−
−
(xi − x)( yi − y)
i =1
．
n
−n
−
(xi − x)2 ( yi − y)2
i =1
i =1
12．已知函数 f (x) = x3 − 4x ，过点 A(−2, 0) 的直线l 与 f (x) 的图象有三个不同的交点，
A． 4
B． 2
C． 5 +1
D． 5 −1
6．已知某不规则几何体三视图如图，其中俯视图中的圆弧
为 1 圆周，则该几何体的侧面积为 4
A． 4 + 3 4
B． 7 + 22
C． 7 + 5 24
D． 7 + 5 28
7．设函数 f (x) = cos2 x + bsin x ，则“ b = 0 ”是“ f (x) 的最小正周期为 ”的
A． 2
B． −2
C． 4
D． 4
4．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用
算法流程图表示如下，若输入 a = 15 ， b = 12 ， i = 0 ，则输出的结果为 A． a = 4 ， i = 4
开始输入a, b, i
B． a = 4 ， i = 5 C． a = 3 ， i = 4 D． a = 3 ， i = 5
C． 4 9
D． 5 9
9．已知 O 为 ABC 的外接圆的圆心，且 3OA + 4OB = −5OC ，则 C 的值为

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梅的单位利润为
（元 / ），请你帮助老李分析，他来年应该种植哪个品种的杨梅可以使总
利润（万元）的期望更大？并说明理由 .
降雨量
亩产量
500
700
600
400
19. （本小题满分 12 分）
如图，在四棱锥 PABCD－中， AB//CD， AB＝ 1， CD＝ 3， AP＝ 2， DP＝2 ， PAD＝60°， AB⊥平面 PAD，点 M在棱 PC上．
ax e
x
，对于任意
x1
[0,
成立，求实数 a 的取值范围 .
) ， x2 [1, ) ，总有 g x1
e f x2
2
（二）选考题（共 10 分。请考生在第 22、 23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计
分。）
22． [ 选修 4— 4：坐标系与参数方程 ] （ 10 分）
在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
辽宁省 2020 年高考理科数学质量检测试题及答案
（满分 150 分，考试时间 120 分钟）一、选择题（本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的。）
1. 设集合 A x | x2 x 2 0 ， B x | log2 x 0 ，则 A B
(1) 求证：平面 PAB⊥平面 PCD；
(2)若直线 PA// 平面 MBD ，求此时直线 BP 与平面 MBD 所成角的正弦值．
20. （本小题满分 12 分）
已知 P 为抛物线 C : y2 2 px( p 0) 上一点，点 P 到直线 x y 3 0的最小距离为 2 ．
（ 1）求抛物线 C 的方程；
的概率为
（ 2）据题意，总利润为
（或元，其中
所以随机变量（万元）的分布列如下表：
27
35
.） 31.2
. 22.4
0.2 故总利润（万元）的期望
0.4
0.3
6
0.1 （万元）
因为
，所以老李应该种植乙品种杨梅可使总利润（万元）的期望更大
19. 解：（Ⅰ）因为 AB⊥平面 PAD，所以 AB⊥DP，
A. ( 1,2)
B. (0,1)
2. 设 z
1
i ， z 是 z 的共轭复数，则
zz
1i
A. -1
B. i
C. ( ,2)
C. 1
D. ( 1,1)
D. 4
3. 已知向量 m
x2 ,1 ，n
x,2 ，命题 p : x 1 ，命题 q : 2
0,使得 m n 成立，则命题 p
是命题 q 的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
（ 1）求证数列 bn 是等比数列；
（ 2）求数列 an 的前 n 项和 Sn .
18.( 本小题满分 12 分 ) 每年六、七月份，我国长江中下游地区进入持续
25 天左右的梅雨季节，如图是江南某地区 2009 ～
2018 年 10 年间梅雨季节的降雨量（单位：解答下列问题：
）的频率分布直方图，试用样本频率估计总体概率，
3
（ 1）假设每年的梅雨季节天气相互独立，求该地区未来三年里至少有两年梅雨季节的降雨量超
过 350 的概率；
（ 2）老李在该地区承包了 20 亩土地种植杨梅，他过去种植的甲品种杨梅，平均每年的总利润为
28 万元 . 而乙品种杨梅的亩产量（ / 亩）与降雨量之间的关系如下面统计表所示，又知乙品种杨
又因为
， AP=2，∠ PAD=60°，
由
，可得
，
所以∠ PDA=30°，所以∠ APD=90°，即 DP⊥AP，
因为
，所以 DP⊥平面 PAB，
因为
，所以平面 PAB⊥平面 PCD
（Ⅱ）由 AB⊥平面 PAD 以点 A 为坐标原点， AD所在的直线为 y 轴， AB 所在的直线为 z 轴，如图所示建立空间直角坐标系 .
其中
，
，
，
，
.
从而
，
，
，
设
，从而得
，
，
设平面 MBD的法向量为
，
7
若直线 PA// 平面 MBD，满足
，
即
，
得
，取
，
且
，
直线 BP与平面 MBD所成角的正弦值等于：
.
20 解：（ 1）设 P( y02 , y0 ) ，则点 P 到直线 x y 3 0 的距离 d 2p
若
0 ，则 d min 0 不合题意，所以
a ， b 分别为 5， 2，
则输出的 n
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
10. 已知抛物线 y
1 x 2 的焦点 4
F 是椭圆
y2 a2
x2 b2
1(a
b
0) 的一个焦点，且该抛物线的准线与
椭圆相交于 A 、 B 两点，若 FAB 是正三角形，则椭圆的离心率为
A. 3 1
B. 2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
C. 3 D.
16 ．
3
9
三、解答题
17. 解：（Ⅰ）当 n 1 时， a1 1 ，故 b1 6 .
当 n 2 时， an 2an 1 2n 1，
则 bn an 2n 3 2an 1 2n 1 2n 3 2 an 1 2n 1 2 an 1 2 n 1 3 ，
bn 2bn 1 ，
数列 bn 是首项为 6 ，公比为 2 的等比数列 .
②当 a 2 时，设 h x ex 1 a ， h x ex
1
2
x1
x1
x 1 2 ex 1
2
0，
x1
所以 g x 在 0, 上单调递增，且 g 0 2 a 0 ，则存在 x0 0, ，使得 g x 0
所以 g x 在 0, x0 上单调递减，在 x0,
上单调递增，又 g x0 g 0 1，
所以 g x 1不恒成立，不合题意 .
0即 0 p 6
y02 y0 3 2p
2
所以当 y0 p 时， dmin
p 3
2 2
2 ，解得 p 2
即抛物线 C 的方程为 y2 4 x ；
（ 2）因为抛物线 C 的方程为 y 2 4x ，所以（ 1， 0）是焦点
设 l1 交抛物线 C 于 A( x1, y1), B(x2, y2 ) ， l2 交抛物线 C 于 D ( x3 , y3), E ( x4 , y4 )
之和为 31． 5 尺，前九个节气日影长之和为 85． 5 尺，则芒种日影长为
A. 1 ． 5 尺
B. 2 ．5 尺
C. 3 ． 5 尺
D. 4 ． 5 尺
9. 宋元时期数学名着《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，
竹日自倍，松竹何日而长等 . 如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的
C. 充要条件 D. 非充分非必要条件
4. 某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为
A. 3
B. x 1
x2
C. 5
D. 2
5. 已知随机变量服从正态分布 N (0,1) ，如果 P( 1) 0.8413 ，则 P( 1
0)
A. 0.3413
B. 0.6826
C. 0.1587
x2 y2
（ 2）过点（ 1， 0）作两条互相垂直的直线 l1、 l2 ，与抛物线 C 分别交于 A、B、 D、E ，求四边
4
形 ADBE 的面积 S 的最小值．
21. ( 本小题满分 12 分 )
已知 f ( x)
1
1
e ln x
x.
e
x
（ 1）求函数 f ( x) 的极值；
（ 2）设 g (x) ln( x 1)
（ α 为参数）以坐标系原点为极
点，以 x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ =2sin θ ．（ 1）写出曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（ 2）设点 P 在 C1 上，点 Q在 C2 上，且∠ POQ= ，求△ POQ的面积的最大值．
23． [ 选修 4— 5：不等式选讲 ] （10 分）
（ 2）点 P 在 C1 上，点 Q在 C2 上，且∠ POQ= ，
则：
=
，
因为
, 所以
，
所以
当
时，此时
的面积由最大值，
此时最大值为
23. （ 1）解：
，
，
由绝对值得几何意义可得
和
上述不等式中的等号成立，
不等式
的解集为
；
（ 2）由绝对值得几何意义易得
的最小值为 3，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，，
10
4k 2 )
8k 2
8 k2
16 即 S
2
8k2
8 k2
16
32 ，当且仅
当 8k 2
8 k2 即k
1 时，等号成立，所以 Smin 32
8
21. (1)
fx
e1 e
x
1 x2
1
1 xe x
e x2
所以 f x 的极小值为： f 1 e
2 ，极大值为： f e
2
；
e
e
(2) 由(1) 可知当 x 1,
A. [2 k
5 ,2 k
6
]( k z) 6
C. [ k
,k
]( k z)
3
6
B. [2k D. [k