第二章非参数统计分析

为
0 x 1

2
1 x 2
10
5
Fn
(
x)

10

6
10
2 x4 4 x5

9
5 x 10
10
1 x 10
12:09
21
总体分布类型的检验
(K-S检验)
【例3】对某汽车配件提供商提供的10个样 本进行检测，得到其长度数据如下(单位：cm)
77.7,76.8,76.6,76.2,74.5,74.3,73.9,71.7,71.2,
67.7,66.7,66.2,65.4,65.3,65.3,65.3,64.6,63.5,
62.7,60.8,58.2,55.5,55.3,55,54.9,52.7,51.8,
49.9,48.2,47.6,46,45.8,45.2,41.9,38.8,37.7,37.
1.83
D
8
5
3
9
1.80
合计
500
500
__
__
5.98
根据显著性水平 ，有 2 (3) 7.82，由于
Q 5.98 2 (3) 7.82
表明5%的显著水平下，不能拒绝原假设，即观测的比率与期望的比
率一12致:09 。
7
如果分布是连续的其检验步骤为：
（1）提出统计假设 H0：Fx F0x
13
【练习1】 盒中有5种球，重复抽取200次（每 次抽1个球）各种球出现的次数见下表。问盒中5 种球的个数是否相等？显著水平α=0.05。
种别
1 2 3Leabharlann 4 5 ∑12:09fi
35 40 43 38 44
200
14
第二节 二项分布检验
二项分布检验(binomial test)是通过考察二分类 变量的每个类别中观察值的频数与特定二项分布下 的期望频数之间是否存在显著差异，来判断抽取样 本所依赖的总体是否服从特定概率为p的二项分布。
12:09
11
卡方检验的窗口。
12:09
12
X
1 2 3 4 T o ta l
Observed N 380 69 43 8 500
Expected N 400.0 60.0 35.0 5.0
Re si du a l -20.0 9.0 8.0 3.0
Test Statistics
Chi-Squarea df
5,36.5, 36.4,32.7,32.7,32.2,29.1,27.8,27.8
12:09
29
Histogram of x
10
8
6
Frequency
4
2
0
20
40
60
80
100
120
12:09
x
30
通常在正态总体分布的假设下，关于总体均值的假设 检验和区间估计是用与t检验有关的方法进行的。然而， 在本例中，总体分布是未知的。为此，首先看该数据的直 方图从图中很难说这是什么分布。假定用总体中位数来表 示中间位置，这意味着样本点，取大于me的概率应该与 取小于me的概率相等。所研究的问题，可以看作是只有 两种可能“成功”或“失败”。
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5
【例1】某金融系统贷款的偿还类型有四种，各种的 预期还率为80%、12%、7%和1%。在一段时间的观察记 录中，A型按时偿还的有380笔、B型偿还有69笔、C型有 43笔、D笔有8笔。问在5%显著性水平上，这些结果与预 期的是否一致。α＝0.05。
解：这个问题属于要检验每一类型的出现概率与理论 期望概率是否相等，即检验
12.2 10.8 12.0 11.8 11.9 12.4 11.3 12.2 12.0 12.3
检验该供货商生产的配件长度是否服从正态 分布？(=0.05)
12:09
22
总体分布类型的检验
(SPSS K-S检验)
第1步：选择【Analyze】【Nonparametric Test】【1-Sample K-S】进入主对话
框； 第2步：将待检验的变量选入【Test Variable
List】(本例为“配件长度”)； 第3步：点击【Exact】，并在对话框中选择
【Exact】，点击【OK】。
12:09
23
正态分布 均匀分布 波松分布指数分布
12:09
24
SPSS的输出结果
精确双尾概率为0.602>0.05，不拒绝原假 设。没有证据表明该供货商提供的汽车配件长度 不服从正态分布
二项分布检验的原假设是：抽取样本所依赖的 总体与特定的二项分布无显著差异。
如果检验的p值小于0.05，则拒绝原假设。
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15
【例2】 根据以往的生产数据，某种产品 的合格率为90%。现从中随机抽取25个进行检 测，合格品为20个。检验该批产品的合格率是 否为90%？(产品合格率X~B(n,0.9))
H0 : p1 80%, p2 12%, p3 7%, p4 1% H1 : pi pi0
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6
类型
fi
npi (ei )
fi npi
( fi npi )2
( fi npi )2 npi
A
380
400
-20
400
1.00
B
69
60
9
81
1.35
C
43
35
8
64
H0 : 0 : H1 : 0
12:09
32
关于非参数检验统计量需要说明的问题
在非参数检验中，可以得到两个相互等价的统计量， 比如在符号检验中，得负号与得正好的个数，就是一对 等价的统计量，因为S++S-=N。那么我们在检验时应该 用那个呢？
12:09
31
符号检验的思路，记
成功：X-0大于零，即大于中位数M，记为“+”； 失败：X-0小于零，即小于中位数M，记为“-”。 令 S+=得正符号的数目
S－=得负符号得数目 可以知道S+或S— 均服从二项分布B（65，0.5）。则可以 用来作检验的统计量。其假设为：
H0 : 0 : H1 : 0 H0 : 0 : H1 : 0
由统计假设出发，将总体取值范围分为m个互不相
容的小区间：t0，t1 t1，t2
tm1，tm
区间个数以7~14为宜。然后，统计出每个区间 内样本点的数目fi，再用pi表示变量在第i个区间的概 率，
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8
（2）选择适当统计量
m
2
fi npi 2
i 1
12:09
3
第一节 Chi-Square test 卡方检验
卡方检验通常称为拟合优度检验。主要是通 过样本观测值检验总体是否服从某个分布。如果 数据是连续的，需要将连续的分布进行分段，计 算每段的期望概率与观测到的频率之间是否差异 很大。在SPSS中的Chi-Square test ，主要是对 离散的总体进行拟合优度检验。
批产品的合格率为0.9，那么25个产品中合格品
数量小于等于20个的概率为0.098。P>0.05,不拒
绝原假设，没有证据表明该批产品的合格率不是
0.9
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18
【练习2】
某地某一时期内出生40名婴儿，其中女 性12名（定Sex=0），男性28名（定 Sex=1）。问这个地方出生婴儿的性比例与 通常的男女性比例（总体概率约为0.5）是 否不同？
算经验概率 pi，据以计算的值
2

m

fi
npi 2
i1 npi
（5）作结论，若 2 2 m 1 r ，则拒绝原假设，即认 为总体的分布函数不为 F0x；反之，则接受原假设，即认
为总体的分布函数为 F0 x 。
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10
卡方检验的窗口，SPSS的卡方检验主 要用来检验离散随机变量的分布。
SPSS的数据格式
合格品
频数
1
20
0
5
表中的“1”表示合格品；“0”表示不合格品
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16
(SPSS binomial test)
第 1 步 ： 指 定 “ 频 数 ” 变 量 ： 点 击 【Data】【 Weight-Cases】，将“频数”选入
【Frequency Variable】 【OK】 第2步：选择【Analyze】【Nonparametric
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28
有人说64应该是这种大城市花费指数的中位数，有 人说64顶多是低位数（下四分位数），进行检验。数 据如下：
122.4,109.4,105,104.6,104.1,100.6,100,99.3,9
9.1,98.2,97.5,95.2,92.8,91.8,90.8,90.3,89.5,
89.4,86.4,86.2,85.7,82.6,81,80.9,79.1,77.9,
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第三节 总体分布类型的KS检验
单样本的K-S检验(Kolmogorov-Smirnov检验)是用来 检验抽取样本所依赖的总体是否服从某一理论分布。
其方法是将某一变量的累积分布函数与特定的分布 进行比较。设总体的累积分布函数为F(x)，已知的理论 分布函数为F0(x) ，则检验的原假设和备择假设为
果12:B09太大或太小，应该拒绝原假设。
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一、精确中位数的符号检验
精确的符号检验是指检验的p值是由精确的概率给出 的。 我们利用正号和负号的数目，来检验某假设，这是 一种最简单的非参数方法。
【例4】联合国人员在世界上71个大城市的生活花费 指数(上海是44位，数据为63.5)按自小至大的次序排列如 下。