4.5建立一次函数模型解决实际问题
4.5 第1课时 利用一次函数解决实际问题 湘教版数学八年级下册课时习题(含答案)
4.5 一次函数的应用第1课时利用一次比例函数解决实际问题要点感知1函数图象由两个一次函数拼接在一起，我们要按照图象实行分段处理，每段看它适合哪种函数模型.预习练习1-1如图所示中的折线ABC为甲地向乙地打长途电话需付的电话费y(元)与通话时间t(分钟)之间的函数关系，则通话8分钟应付电话费__________元.要点感知2 同一坐标系中若有多条直线，我们要对每条直线进行处理，重在找出这些函数的交点坐标和每个图形的起始坐标(交点的求法一般将两个函数的表达式联立在一起，组成方程组，方程组的解便是交点坐标).预习练习2-1在同一平面直角坐标系中，若一次函数y=-x+3与y=3x-5的图象交于点M，则点M的坐标为( )A.(-1，4)B.(-1，2)C.(2，-1)D.(2，1)2-2 如图，l1反映了某公司的销售收入与销量的关系，l2反映了该公司产品的销售成本与销量的关系，当该公司赢利(收入＞成本)时，销售量必须__________.知识点1 利用一次函数解决分段计费问题1.如图是某复印店复印收费y(元)与复印面数(8开纸)x(面)的函数图象，那么从图象中可看出，复印超过100面的部分，每面收费( )A.0.4元B.0.45元C.约0.47元D.0.5元2.某城市按以下规定收取每月煤气费，用煤气不超过60立方米，按每立方米0.8元收费；如果超过60立方米，超过部分按每立方米1.2元收费.已知甲用户某月份用煤气80立方米，那么这个月甲用户应交煤气费__________元.3.为了鼓励居民节约用水，某市采用“阶梯水价”的方法按月计算每户家庭的水费：每月用水量不超过20吨时，按每吨2元计费；每月用水量超过20吨时，其中的20吨仍按每吨2元计费，超过部分按每吨2.8元计费.设每户家庭月用水量为x吨时，应交水费y元.(1)分别求出0≤x≤20和x＞20时，y与x之间的函数表达式；(2)小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，问小颖家五月份比四月份节约用水多少吨？知识点2 利用一次函数解决相交直线问题4. “五一节”期间，王老师一家自驾游去了离家170千米的某地，下面是他们离家的距离y(千米)与汽车行驶时间x(小时)之间的函数图象.当他们离目的地还有20千米时，汽车一共行驶的时间是( )A.2小时B.2.2小时C.2.25小时D.2.4小时第4题图第5题图5.某市政府决定实施供暖改造工程，现甲、乙两工程队分别同时开挖两条600米长的管道，所挖管道长度y(米)与挖掘时间x(天)之间的关系如图，则下列说法中错误的是( )A.甲队每天挖100米B.乙队开挖两天后，每天挖50米C.甲队比乙队提前2天完成任务D.当x=3时，甲、乙两队所挖管道长度相同6.某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价)，以后每公里收费1.6元，不足1公里按1公里收费，小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元，则此出租车行驶的路程可能为( )A.5.5公里B.6.9公里C.7.5公里D.8.1公里7.甲乙两地相距50千米.星期天上午8：00小聪同学在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地.2小时后，小明的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程y(千米)与小聪行驶的时间x(小时)之间的函数关系如图所示，小明父亲出发________小时时，行进中的两车相距8千米.8.小李和小陆沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离s和行驶时间t之间的函数关系的图象如图.已知小李离出发地的距离s和行驶时间t之间的函数关系为s=2t+10.则：(1)小陆离出发地的距离s和行驶时间t之间的函数关系为：_________________；(2)他们相遇的时间t=__________.9.学生甲、乙两人跑步的路程s与所用时间t的函数关系图象表示如图(甲为实线，乙为虚线).根据图象判断：如果两人进行一百米赛跑，当甲跑到终点时，乙落后甲多少米？10.电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元.一个月的本地网内打出电话时间t(分钟)与打出电话费s(元)的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差__________元.11.为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线反映了每户每月用电电费y(元)与用电量x(度)间的函数关系式.(1)根据图象，阶梯电价方案分为三个档次，填写下表：档次第一档第二档第三档每月用电量x(度)0＜x≤140(2)小明家某月用电120度，需交电费__________元；(3)求第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式；(4)在每月用电量超过230度时，每多用1度电要比第二档多付电费M元，小刚家某月用电290度，交电费153元，求M的值.参考答案预习练习1-17.4预习练习2-1 D2-2大于41.A2.723.(1)当0≤x≤20时，y与x之间的函数表达式为：y=2x(0≤x≤20)；当x＞20时，y与x之间的函数表达式为：y=2.8(x-20)＋40=2.8x-16(x＞20)；(2)∵小颖家四月份、五月份分别交水费45.6元、38元，∴小颖家四月份用水超过20吨，五月份用水没有超过20吨.∴45.6=2.8(x1-20)＋40，38=2x2.∴x1=22,x2=19.∵22-19=3，∴小颖家五月份比四月份节约用水3吨.4.C5.D6.B7.或8.（1）s=10t（2）9.根据图形可得：甲的速度是=8(米/秒)，乙的速度是：=7(米/秒)，∴根据题意得：100-×7=12.5(米).当甲跑到终点时，乙落后甲12.5米.答：当甲跑到终点时，乙落后甲12.5米.10.1011.（1）140＜x≤230x＞230（2）54(3)设第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=ax+c，将(140，63)，(230，108)代入，得解得则第二档每月电费y(元)与用电量x(度)之间的函数关系式为：y=x-7(140＜x≤230).(4)根据图象可得出：用电230度，需要付费108元，用电140度，需要付费63元，故108-63=45(元)，230-140=90(度)，45÷90=0.5(元)，则第二档电费为0.5元/度；∵小刚家某月用电290度，交电费153元，290-230=60(度)，153-108=45(元)，45÷60=0.75(元)，M=0.75-0.5=0.25.答：M的值为0.25.。
湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》教学设计
湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级下册《4.5分段函数》是学生在掌握了函数概念、一次函数、二次函数的基础上，进一步学习分段函数的基本概念、表示方法和性质。
分段函数是实际问题中较为常见的一种函数形式，对于培养学生解决实际问题的能力具有重要意义。
本节课的教学内容主要包括分段函数的概念、分段函数的表示方法、分段函数的性质及分段函数的应用。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了一次函数、二次函数的基本知识，具备了一定的函数观念。
但是，对于分段函数这一概念，学生可能较为陌生，需要通过实例来引导学生理解和掌握。
此外，学生对于函数的表示方法和解题策略已有了一定的基础，但如何在实际问题中灵活运用分段函数的知识，还需在本节课中进一步拓展和提高。
三. 教学目标1.理解分段函数的概念，掌握分段函数的表示方法。
2.了解分段函数的性质，能够运用分段函数解决实际问题。
3.培养学生的数学思维能力，提高学生解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.分段函数的概念和表示方法。
2.分段函数的性质及其应用。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例，引导学生理解分段函数的概念和应用。
2.讲练结合法：在讲解分段函数的基本概念和性质时，结合典型例题进行讲解，提高学生的解题能力。
3.小组合作学习法：引导学生分组讨论，培养学生的团队协作能力。
六. 教学准备1.教学课件：制作生动有趣的教学课件，帮助学生直观地理解分段函数的概念和性质。
2.典型例题：挑选具有代表性的例题，用于讲解和练习。
3.学习资料：为学生提供相关的学习资料，以便于课后巩固和拓展。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用生活实例，如出租车计费问题，引出分段函数的概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）介绍分段函数的概念，讲解分段函数的表示方法，如分段函数的解析式和图象。
3.操练（10分钟）针对分段函数的性质，如单调性、奇偶性等，挑选典型例题进行讲解和练习。
4.5.3函数模型的应用课件(人教版)
16
已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要 将题中的数据代入函数模型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已 知函数解析式求函数值或自变量的值.
17
1．某种商品在近 30 天内每件的销售价格 P(元)和时间 t(天)的函数关 系为：
P＝t－＋t2＋0100<0t<2255≤，t≤30. (t∈N*) 设该商品的日销售量 Q(件)与时间 t(天)的函数关系为 Q＝40－ t(0<t≤30，t∈N*)，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金 额最大是第几天？
31
2．某地区不同身高的未成年男性的体重平均值如表：
身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170
/cm
体重 6.13 7.90 9.90 12.15 15.02 17.50 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.05
/kg
第四章 指数函数与对数函数
4.5 函数的应用(二)
第3课时 函数模型的应用
2
学习目标
核心素养
1.会利用已知函数模型解决实际问
题．(重点) 通过本节内容的学习，使学生认识函
2．能建立函数模型解决实际问 数模型的作用，提高学生数学建模、
题．(重点、难点) 数据分析的素养.
3．了解拟合函数模型并解决实际问
车有营运利润的时间不超过
解 y≥0，得 6－ 11≤x≤6＋
________年．
11，所以有营运利润的时间为 2 11.
又 6<2 11<7，所以有营运利润的时
间不超过 7 年．]
12
合作探究 提素养
13
建立函数模型,解决实际问题
建立函数模型，解决实际问题建立函数模型解决实际决策型问题是实践性，创新性很强的命题亮点，其解题步骤一般如下：由实际问题⋅⋅−−−−−→分析抽象转化数学模型（如函数等）−−−→−推理演算解答数学问题−−→−校验回归实际问题。
一、建立一次函数模型例1．鞋子的“鞋码”y 与鞋长x （cm ）存在一次函数的关系，下表是几组“鞋码”与鞋长的对应数值： 鞋长（cm ） 16 19 24 27 鞋码22 28 38 44 （1）请根据表格中的数值，求出y 与x 之间的函数关系式；（2）如果你需要的鞋长为26cm ，那么应该买多大码的鞋？【命题意图】本题旨在考查根据表格提供的数据，利用待定系数法建立一次函数（模型）关系，然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】可先设一次函数解析式为：y ＝k x ＋b ，根据表中所提供的数据，取两组值分别代入解析式中的x 与y 得到方程组，解方程组即可求出函数解析式解：（1）设y ＝k x ＋b ，则由题意，得⎩⎨⎧+=+=b k b k 19281622，解得：⎩⎨⎧-==102b k ， ∴ y ＝2x －10；（2）当x ＝26时，y ＝2×26－10＝42答：应该买42码的鞋。
二、建立反比例函数模型例2．某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时，气球内气体的气压P （千帕）是气球体积V （米3）的反比例函数，其图象如图所示（千帕是一种压强单位）．（1）写出这个函数的解析式；（2）当气球的体积是0.8立方米时，气球内的气压是多少千帕？（3）当气球内的气压大于144千帕时，气球将爆炸，为了安全起见，气球的体积应不少于多少立方米？【命题意图】本题旨在考查根据图象（点的坐标），利用待定系数法确定反比例函数关系（模型），然后用所求的函数关系（模型）解决问题。
【思路点拔】由图象中A 点的坐标求得反比例函数解析式；对于（3），可利用反比例函数的性质，先求出气压是144千帕时对应的体积，再分析出气球的体积应不小于多少．解：（1）设此反比例函数为)0(≠=k V k p ． 由图象知反比例函数的图象经过点A （1.5，64），∴5.164k =，∴k=96． 故此函数的解析式为Vp 96=； （2）当V=0．8时，1208.09696===V p （千帕）；（3）当p=144时，V96144=， ∴3214496==V （3米）． 由图象可知，该反比例函数p 随V 的增大而减小，故为安全起见，气球的体积应不小于332m ． 【解题心得】在解题时，要充分利用图象、表格中信息和文字信息，把实际问题转化为数学问题，进一步体会数与形的统一．。
中考数学复习方案 第11课时 一次函数的应用
解得x=135,175-135=40,符合题意;
当75<x≤125,175-x≤75时,2.75x-18.75+2.5(175-x)=455,
解得x=145,不符合题意,舍去;
当75<x≤125,75<175-x≤125时,2.75x-18.75+2.75(175-x)-18.75=455,此方程无解.
④交点:表示两个函数的自变量与函数值分别对应相等,这个交点是函数值大
小关系的“分界点”.
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
对点演练
题组一
必会题
1.一根蜡烛长20 cm,点燃后每小时燃烧5 cm,燃烧时剩下的高度h(单位:cm)与燃
烧时间t(单位:h)(0≤t≤4)之间的关系是
h=-5t+20
.
基
础
知
识
巩
固
∴乙用户2,3月份的用气量分别是135 m3,40 m3.
每月用气量
单价(元/m3)
不超出75 m3的部分
2.5
超出75 m3不超出125 m3的部分
a
超出125 m3的部分
a+0.25
基
础
知
识
巩
固
高
频
考
向
探
究
| 考向精练 |
1.某加油站五月份营销一种油品的销售利润y(万元)与销售量x(万升)之间函数关
2. [八上P157问题2改编]某公司准备与汽车租赁公司签订租车合同.以每月用车里
第四章 4.5.3 函数模型的应用
(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1).
解 由题意得500×0.9t＝250，即0.9t＝0.5，两边取以10为底的对数， 得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5， ∴t＝llgg 00..95≈6.6. 即这种放射性元素的半衰期为6.6年.
t
1 2
h，其中Ta表示环境温度，h称为半衰期，现有一杯用88
℃热水冲的
速溶咖啡，放在24 ℃的房间中，如果咖啡降温到40 ℃需要20 min，那
么降温到32 ℃时，需要多长时间？
20
解
由题意知40－24＝(88－24)×
1 2
h
，
20
即14＝
1 2
h
，
解得h＝10，
t
故原式可化简为T－24＝(88－24)×
解 画出散点图，如图所示.
(2)建立一个能基本反映(误差小于0.1)这一时期该企业年产量变化的函数 模型，并求出函数解析式；
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.实际问题中两个变量之间一定有确定的函数关系.( × ) 2.函数模型中，要求定义域只需使函数式有意义.( × )
3.用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在
意义了.( × )
4.在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.
知识点二 应用函数模型解决问题的基本过程
1.审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型. 2.建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 利用数学知识建立相应的数学模型. 3.求模——求解数学模型，得出数学模型. 4.还原——将数学结论还原为实际问题.
构建函数模型解决实际问题
高中数学：构建函数模型解决实际问题角度1 构造一次函数、二次函数模型某创业团队拟生产A ，B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比(如图①)，B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图②)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A ，B 两种产品的利润f (x )，g (x )表示为关于投资额x 的函数．(2)该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A ，B 两种产品的生产，问：当B 产品的投资额为多少万元时，生产A ，B 两种产品能获得最大利润？最大利润为多少？解：(1)由A 产品的利润与投资额成正比，可设f (x )＝kx ，将点(1,0.25)代入，得f (x )＝14x (x ≥0)．由B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比，可设g (x )＝t x ，将点(4,2.5)代入，得g (x )＝54x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为(10－x )万元， 创业团队获得的利润为y 万元，则y ＝g (x )＋f (10－x )＝54x ＋14(10－x )(0≤x ≤10)．令x ＝t ，则y ＝－14t 2＋54t ＋52(0≤t ≤10)， 即y ＝－14⎝ ⎛⎭⎪⎫t －522＋6516(0≤t ≤10)， 当t ＝52，即x ＝6.25时，y 取得最大值4.062 5.答：当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得最大利润，获得的最大利润为4.062 5万元．角度2 构造指数函数、对数函数模型候鸟每年都要随季节的变化进行大规模的迁徙，研究某种鸟类的专家发现，该种鸟类的飞行速度v (单位：m/s)与其耗氧量Q 之间的关系为：v ＝a ＋b log 3Q 10(其中a ，b 是实数)．据统计，该种鸟类在静止的时候其耗氧量为30个单位，而其耗氧量为90个单位时，其飞行速度为1 m/s.(1)求出a ，b 的值；(2)若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要多少个单位？解：(1)由题意可知，当这种鸟类静止时，它的速度为0 m/s ，此时耗氧量为30个单位，故有a ＋b log 33010＝0，即a ＋b ＝0.当耗氧量为90个单位时，速度为1 m/s ，故a ＋b log 39010＝1，整理得a ＋2b ＝1.解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ a ＋b ＝0，a ＋2b ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1. (2)由(1)知，v ＝a ＋b log 3Q 10＝－1＋log 3Q 10.所以要使飞行速度不低于2 m/s ，则有v ≥2，所以－1＋log 3Q 10≥2，即log 3Q 10≥3，解得Q 10≥27，即Q ≥270.所以若这种鸟类为赶路程，飞行的速度不能低于2 m/s ，则其耗氧量至少要270个单位．解：(1)设DQ ＝x m(x ＞0)，则AQ ＝(x ＋20)m.∵QD DC ＝AQ AP ，∴x 30＝x ＋20AP ，∴AP ＝30(x ＋20)x. ∴S ＝12AP ·AQ ＝15(x ＋20)2x ＝15⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋400x ＋40≥1 200， 当且仅当x ＝20时取等号，∴DQ 的长度为20 m 时，S 最小，S 的最小值为1 200 m 2.(2)∵S ≥1 600，∴由(1)整理得3x 2－200x ＋1 200≥0.解得0＜x ≤203或x ≥60，即要使S 不小于1 600 m 2，则DQ 的长度范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤0，203∪[60，＋∞)． 角度4 构造分段函数模型(2019·湖北孝感八校联考)共享单车是城市慢行系统的一种创新模式，对于解决民众出行“最后一公里”的问题特别见效，由于停取方便、租用价格低廉，各色共享单车受到人们的热捧．某自行车厂为共享单车公司生产新样式的单车，已知生产新样式单车的固定成本为20 000元，每生产一辆新样式单车需要增加投入100元．根据初步测算，自行车厂的总收益(单位：元)满足分段函数h (x )＝⎩⎨⎧ 400x －12x 2，0＜x ≤400，80 000，x ＞400，其中x 是新样式单车的月产量(单位：辆)，利润＝总收益－总成本． (1)试将自行车厂的利润y (单位：元)表示为关于月产量x 的函数．(2)当月产量为多少辆时自行车厂的利润最大？最大利润是多少？解：(1)依题设知，总成本为(20 000＋100x )元，则y ＝⎩⎨⎧ －12x 2＋300x －20 000，0＜x ≤400，60 000－100x ，x ＞400.(2)当0＜x ≤400时，y ＝－12(x －300)2＋25 000，故当x ＝300时，y max ＝25 000；当x ＞400时，y ＝60 000－100x 是减函数，故y ＜60 000－100×400＝20 000.所以当月产量为300辆时，自行车厂的利润最大，最大利润为25 000元．1.一、二次函数模型问题的2个注意点(1)二次函数的最值一般利用配方法与函数的单调性解决，但一定要密切注意函数的定义域，否则极易出错．(2)确定一次函数模型时，一般是借助两个点来确定，常用待定系数法．2．指数函数、对数函数两类函数模型的应用技巧(1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型．(2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数．3．“y＝x＋ax(a＞0)”型函数模型的求解策略(1)“y＝x＋ax”型函数模型在实际问题中会经常出现．解决此类问题，关键是利用已知条件，建立函数模型，然后化简整理函数解析式，必要时通过配凑得到“y＝x＋ax”型函数模型．(2)求函数解析式要确定函数的定义域．对于y＝x＋ax(a＞0，x＞0)类型的函数最值问题，要特别注意定义域和基本不等式中等号成立的条件，如果在定义域内满足等号成立，可考虑用基本不等式求最值，否则要考虑函数的单调性，此时可借用导数来研究函数的单调性．4．分段函数模型的求解策略(1)实际问题中有些变量间的关系不能用同一个关系式给出，而是由几个不同的关系式构成，如出租车票价与路程之间的关系，应构建分段函数模型求解．(2)构造分段函数时，要力求准确、简捷，做到分段合理、不重不漏．(3)分段函数的最值是各段最大值(或最小值)中的最大者(或最小者)．(1)某位股民购进某支股票，在接下来的交易时间内，他的这支股票先经历了n次涨停(每次上涨10%)，又经历了n次跌停(每次下跌10%)，则该股民这支股票的盈亏情况(不考虑其他费用)为(B) A．略有盈利B．略有亏损C．没有盈利也没有亏损D．无法判断盈亏情况解析：设该股民购进这支股票的价格为a元，则经历n次涨停后的价格为a(1＋10%)n＝a×1.1n元，经历n次跌停后的价格为a×1.1n×(1－10%)n＝a×1.1n×0.9n＝a×(1.1×0.9)n＝0.99n·a＜a，故该股民这支股票略有亏损．(2)(2019·福建三明第一中学月考)某公司为了变废为宝，节约资源，新上了一个从生活垃圾中提炼生物柴油的项目．经测算，该项目月处理成本y (元)与月处理量x (吨)之间的函数关系可以近似地表示为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 3－80x 2＋5 040x ，x ∈[120，144)，12x 2－200x ＋80 000，x ∈[144，500)，且每处理一吨生活垃圾，可得到能利用的生物柴油价值为200元，若该项目不获利，政府将给予补贴．①当x ∈[200,300]时，判断该项目能否获利．如果获利，求出最大利润；如果不获利，则政府每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？②该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？解：①当x ∈[200,300]时，该项目获利为S ，则S ＝200x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－200x ＋80 000＝－12(x －400)2， ∴当x ∈[200,300]时，S ＜0，因此，该项目不会获利．当x ＝300时，S 取得最大值－5 000，∴政府每月至少需要补贴5 000元才能使该项目不亏损．②由题意可知，生活垃圾每吨的平均处理成本为：y x ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 13x 2－80x ＋5 040，x ∈[120，144)，12x －200＋80 000x ，x ∈[144，500).当x ∈[120,144)时，y x ＝13x 2－80x ＋5 040＝13(x －120)2＋240，∴当x ＝120时，y x 取得最小值240.当x ∈[144,500)时，y x ＝12x －200＋80 000x ≥2x 2·80 000x －200＝400－200＝200，当且仅当x 2＝80 000x ，即x ＝400时，y x 取得最小值200.∵240＞200，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．。
《4.5一次函数的应用》作业设计方案-初中数学湘教版12八年级下册
《一次函数的应用》作业设计方案（第一课时）一、作业目标本作业旨在巩固学生对一次函数概念的理解，加深对一次函数图像及其应用的认识，并通过实践操作和思考练习，培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、作业内容本次作业围绕一次函数的基本知识展开，主要内容包含以下几点：1. 掌握一次函数的基本形式，如y=kx+b，并理解k和b的物理意义。
2. 理解一次函数的图像特征，包括斜率和截距的几何意义。
3. 掌握一次函数在现实生活中的应用，如速度与时间的关系、距离与速度的关系等。
4. 完成一次函数图像的绘制，并标注关键点。
5. 通过实际问题，运用一次函数知识进行建模和求解。
三、作业要求1. 学生需自行复习课本中关于一次函数的知识点，并做好笔记。
2. 绘制一次函数y=kx+b的图像，并标注出关键点（如与x 轴、y轴的交点）。
3. 选取至少两个实际问题（如路程问题、速度问题等），运用一次函数知识进行建模和求解，并写出详细的解题过程。
4. 作业需独立完成，不得抄袭他人答案。
如有需要，可与同学讨论，但需注明讨论对象及时间。
5. 作业需按时提交，并保持字迹清晰、格式规范。
四、作业评价1. 评价标准：根据学生作业的正确性、完整性、条理性及创新性进行评价。
2. 评价方式：教师批阅与同学互评相结合。
教师批阅时需对每位学生的作业给出明确的评语及得分；同学互评时需客观公正地评价对方作业的优缺点。
3. 评价反馈：将评价结果及时反馈给学生，鼓励学生之间的交流学习，提高学生的自主学习能力。
五、作业反馈1. 教师根据学生作业情况，总结一次函数知识点的掌握情况，针对薄弱环节进行讲解和辅导。
2. 对优秀作业进行展示和表扬，激励学生相互学习、共同进步。
3. 对学生在作业中提出的问题和建议进行整理和反馈，为今后的教学提供参考。
4. 根据作业情况调整教学计划，确保学生能够更好地掌握一次函数的知识和应用。
通过本次作业的设计与实施，期望能让学生通过实践操作，真正理解一次函数的概念和其在实际生活中的应用，提高他们的数学思维能力和问题解决能力。
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有可能相等.当两值相等时 y x ，解得 y 40.
即当华氏温度为-40˚F时，摄氏温度为-40˚C ，温度值相等.
1、取若干个形如图中的小梯形，按下图的方式排列， 随着小梯形个数的增加，所拼得的四 边形的周长也不断增加。
（1）完成下面的表格
梯形个数n 1 2 3 4 5 6 …
所拼得四 边形的周 5
所以甲种树苗至多购买320株.
例1 山青林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树 苗每株24元，一种树苗每株30元.根据相关资料，甲、乙两 种树苗的成活率分别是85%，90%.
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗 的费用最低？并求最低费用. （3）设购买甲种树苗t株，购买树苗的费用为w元，由题 意得 w=24t+30×（800-t）==-6t+24000，
（1）观察上表，如果表中的摄氏温度与华氏温度都看作变量， 那么它们之间的函数关系是一次函数吗？你是如何探索的到的？
由于在上表中摄氏温度所取的值中包含0˚C，为了方便，可把摄氏温度 作为自变量x，用横轴表示，华氏温度y看作x的函数，用纵轴表示，建 立直角坐标系，把表中每一对（x，y）的值作为点的坐标，在直角坐 标系中描出表中相应的点，观察这些点是否同在一条直线上.
20 30
10 (10)
30 10
定（0，32） 这对值，同样有
50 32 10 0
1.8，68 32 20 0
14 32 1.8，10 0
1.8.
设摄氏温度为x，相应的华氏温度为y，则有
y 32 x0
1.8，整理得
y=1.8x+32，因此y是x的一次函数.
所以w是t的一次函数，且由于k=-6<0，因此w随t增大而 减小.由（2）知t≤320，因此，当t最大即t=320时，w最小.这 是800-320=480，w=-6×320+24000=22080.
所以购买甲种树苗320株、乙种树苗480株，费用最低， 最低费用为22080元.
在例1 的解决过程中，是从现实生活中抽象出数学问题，用数学 符号建立函数表达式，表示数学问题中变量之间的数量关系和变化 规律.因此函数也是一种重要的数学模型.
因为一次函数的图像是一条直线，它具有增减的单调 性。所以，在某一个x的取值范围内，这段函数是有最 大（小）值的！只需把这个取值范围的两端x的值代入 函数解析式y=kx+b即可。
热热身
为了迎接新学年的到来，时代中学计划开学前购买篮 球和排球共20个，已知篮球每个80元，排球每个60元， 设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用为y元.
一次函数的应用
学习目标
1.通过观察与思考中的实例，让学生体会一次函数是刻画现实 世界数量关系的模型。 2.通过例1的学习，提高学生分析问题和解决问题的能力，增强 应用意识。 3.能用一次函数解决简单的实际问题。
1.一次函数图象的画法.
通常过
（-
b k
，0）
，（0，b） 两点画一
条 直线 ，就是函数y=kx+b（k≠0）的图象.
2.待定系数法. 先设出表达式中的 未知数 ，再根据所给条件，利
用 方程或方程组 确定这些未知数.这种方法叫待 定法.
3.一次函数的图象与性质.
图象：一次函数y=kx+b（k≠0）的图象是一 条 直线 ，通常叫做直线y=kx+b.
性质：对于一次函数y=kx+b，当 k>0 时，y 随x的 增大 而 增大 ；当 k<0 时，y随x的增大 而 减小 .
（2）你能利用（1）中的图象，写出y与 x的函数表达式吗？ （3）除了小亮所说的方法外，你能通过 分析上表中两个变量间的数量关系，判断 它们之间是一次函数关系吗？
通过观察上表，可以发现两个变量对应数值之差的比是一个常
数，如 68 86 1.8， 50 14 1.8， 86 50 1.8，⋯特别地，如果固
苗每株24元，一种树苗每株30元.根据相关资料，甲、乙两
种树苗的成活率分别是85%，90%.
（2）如果为了保证这批树苗的总成活率不低于88%，甲 种树苗至多购买多少注？
（2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（800-z） 株，由题意得
0.85z+0.9×（800-z）≥0.88×800， 解得 z≤320.
（4）你能求出华氏温度为0度（即0˚F ）时，摄氏温
度是多少度？
当y=0时，0=1.8x+32，解得x=
温度为0
˚F
时，摄氏温度是
160 9
160
，所以华氏
9
˚C.
（5）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相等的可
能吗？你会用哪几种方法解决这个问题？与同学交流.
y 1.8x 32
x 40
下面有两种移动电话计费方式：
全球 神州
通
行
月租 费
本地
通话 费
50
元/月 0．40 元/分
0
0．60 元/分
你知道如何选择计费方式更省钱吗？
我们知道，世界各国温度的计量单位尚不统一，常用的有摄氏温 度（˚C）和华氏温度（ ˚F）两种.它们之间的换算关系如下表所示：
摄氏温度/˚C ⋯ -10 0 10 20 30 ⋯ 华氏温度/˚F ⋯ 14 32 50 68 86 ⋯
长L
8 11 14
17 20 …
（2）你能探索L与n之间的函数解析式吗？这个函 数是一次函数吗？试写出L与n的函数解析式。
（3）求n=20时L的值。
例1
山青林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树
苗每株24元，一种树苗每株30元.根据相关资料，甲、乙两
种树苗的成活率分别是85%，90%.
（1）如果购买这两种树苗共用去21000元，甲、乙两种 树苗各买了多少株？
（2）如果为了保证这批树苗的总成活率不低于88%， 甲种树苗至多购买多少注？
（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买树苗 的费用最低？并求最低费用.
例1 山青林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲 种树苗每株24元，一种树苗每株30元.根据相关资料， 甲、乙两种树苗的成活率分别是85%，90%.
（1）如果购买这两种树苗共用去21000元，甲、乙两种
树苗各买了多少株？
（1）设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株，根据
题意，得
x y 800
24x 30 y 21000
解得 x 500
y 300
经检验，方程组的解符合题意.所以购买甲 种树苗500株，乙种树苗300株.
例1
山青林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树