北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§2《实际问题中的函数模型》PPT课件
5.2实际问题中的函数模型课件高一上学期数学北师大版
的从事第三产业的人员平均每人每年可创造产值1.2a万元.
(1)若要保证第二产业的产值不减少,求x的取值范围;
(2)在(1)的条件下,问应分流出多少万人,才能使该市第二、第三产业的总
产值每年增加最多?
解 (1)由题意得
0 < < 100,∈N+ ,
(1)某种商品进价为每件360元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若
按九折出售,则每件还能获利.( × )
(2)某种产品每件80元,每天可售出30件,如果每件定价120元,则每天可售出
20件,如果售出件数是定价的一次函数,则这个函数解析式为
y=-4x+200.( × )
(3)在函数建模中,散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ )
速度越来越快(底数b>1,a>0),常形象地称为指数爆炸.(5)对数型函数模
型:y=mlogax+n(a>0,a≠1,m≠0),其增长特点是随着自变量的增大,函数值增
大的速度越来越慢(底数a>1,m>0).(6)幂函数模型:y=a·xn+b(a≠0),其增长特
点是y随x的增大而增大(n>0,a>0,x>0).
0 < < 100,∈N+,
2 -50 ≤ 0,
∴0<x≤50,x∈N+.
因此当 0<x≤50,x∈N+时,能保证第二产业的产值不减少.
(2)设该市第二、三产业的总产值每年增加f(x)(0<x≤50,x∈N+)万元,则
2
f(x)=(100-x)(1+2x%)a+1.2ax-100a=-50(x -110x)=-50[(x-55)2-3
5.2实际问题中的函数模型 课件——高一上学期数学北师大版必修第一册
【方法指导】(1)结合分段函数P(x)，用销售价格乘以产量，再减去成本，求得利润f(x)的解析式；
(2)根据二次函数的性质，求得利润f(x)的最大值以及此时的月产量.
学以致用
【解析】(1)由题意，当0≤x≤450时，
f(x)= − x-15000-20x=300x-x2-15000；
故污染物减少50%所需的时间为35个小时.
，
探究：建立指数、对数函数模型解决实际问题
【探究小结】已知函数模型解决实际问题，往往给出的函数解析式含有参数，需要将题中的数据代数函数模
型，求得函数模型中的参数，再将问题转化为已知函数解析式求函数值或自变量的值.
【针对训练】一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险.现给某病
【解析】(1)此人开汽车以60千米/小时的速度从A地到达B地，需要的时间为
以50千米/小时的速度从B地返回A地，需要的时间为
则当0≤x<2.5时，y=60x；当2.5≤x≤3.5时，y=150；
当3.5<x≤6.5时，y=150-50(x-3.5)=-50x+325.
(2)当0≤x<2.5时，60x=100，解得x= ；
【问题3】刻画应用问题的关键是什么?
【答案】将实际问题抽象为数学问题.
抽象概括
1.实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当实际问题中存在几个变量，并且它们之间具有
依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画.
2.常用的函数模型
(1)一次函数模型，直线上升或下降，单位长度内增长或减少量固定不变.
【针对训练】经市场调查，某商品在过去的100天内的销售量(单位：百件)和价格(单位：元)均
北师大版高中数学必修第一册第五章《函数应用》§1《方程解的存在性及方程的近似解》PPT课件
的横坐标之间的转化在研究函数中的 2.了解零点存在定理、会判断函数零点
应用，提高学生数学抽象，直观想象 的个数.
的素养.
新知探究
路上有一条河，小明从A点走到了B点.观察下列两组画面，并推断哪一组能说明小 明的行程一定曾渡过河？
将这个实际问题抽象成数学模型. 问题 1.若将河看成x轴，A，B是人的起点和终点，则A，B应该满足什么条件就 能说明小明的行程一定曾渡过河？
(2)∵f(x)＝x2＋3(m＋1)x＋n的零点是1和2， ∴f(1)＝12＋3(m＋1)＋n＝0， 即3m＋n＋4＝0，① f(2)＝4＋3×2×(m＋1)＋n＝0， 即6m＋n＋10＝0，② 由①②可解得m＝－2，n＝2.
代入函数y＝logn(mx＋1). 故函数y＝logn(mx＋1)的解析式为y＝log2(－2x＋1). 令y＝log2(－2x＋1)＝0，即－2x＋1＝1，可得x＝0. ∴函数y＝logn(mx＋1)的零点是0.
2.函数y＝f(x)在区间[a，b]内有零点应该满足什么条件？ 3.结合下图，进一步分析一下你对上述结论的认识.
提示 1.图中A处的函数值与B处的函数值符号相反. 2.在f(x)的图象不间断的情况下，应满足f(a)·f(b)<0. 3.因为f(a)·f(b)<0，f(b)·f(c)<0，f(c)·f(d)<0，所以在[a，b]，[b，c][c，d]上存在零 点.f(d)·f(e)>0，但f(x)在[d，e]上存在零点.
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.函数的零点是一个点的坐标.( ×) 2.函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点(图象连续不断)，则f(a)·f(b)<0.( × ) 3.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)在b2－4ac<0时没有零点.( √ )
2016-2017学年高中数学必修一(北师大版)实际问题的函数建模ppt课件(46张)
做一做1 某地为了改善生态环境,政府决心绿化荒山,计划第一 年先植树0.5万亩,以后每年比上年增加1万亩,结果植树总亩数是时 间(年数)的一次函数,这个函数的图像是下图中的( )
解析:由题意知该一次函数的图像必过(1,0.5)和(2,1.5)两点,故排 除B,C,D. 答案:A
二、用函数模型解决实际问题 函数模型是应用最广泛的数学模型之一.许多实际问题一旦认定 是函数关系,就可以通过研究函数的性质把握问题,使问题得到解 决. 通过一些数据寻求事物规律,往往是通过绘出这些数据在直角坐 标系中的点,观察这些点的整体特征,看它们接近我们熟悉的哪一 种函数图像,选定函数形式后,将一些数据代入这个函数的一般表 达式,求出具体的函数表达式,再做必要的检验,基本符合实际,就可 以确定这个函数基本反映了事物规律,这种方法称为数据拟合.在 自然科学和社会科学中,很多规律、定律都是先通过实验,得到数 据,再通过数据拟合得到的.
探究一
探究二
探究三
探究四
易错辨析
0 < ������ < 100,������∈ N+, (100-������)(1 + 2������%)������ ≥ 100������, 0 < ������ < 100,������∈ N+, 故 2 ∴0<x≤50,x∈N+ . ������ -50������ ≤ 0, 因此当 0<x≤50,x∈N+时 ,能保证第二产业的产值不减少. (2)设该市第二、三产业的总产值每年增加 f(x)(0<x≤50, x∈N+)万元 ,则 f(x)=(100-x)(1+2x%)a-100a+1.2ax ������ ������ =- (x2-110x)=- [(x-55)2-3 025]. 解 :(1)由题意得
高中数学北师大版必修一《4.2实际问题的函数建模》课件
• y第五1级.01 e0.115x (105 Pa)
把 x=6.712代入上述函数式，得 y 1.01 e0.1156.712 ≈0.4668 (105Pa)
答：7 (km)高空的大气压强为0.4516 (105Pa).
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(2)由1.01·e-0.115x=0.5066
• 单击此为处r编，设辑本母利版和文为本y，样存式期为x，写出本利和y随存期x变化
• 第二的级函数式。如果存入本金1000元，每期利率2.25%，试计 • 第算三5级期后的本利和是多少？
• 第四级
思路•分第析五级
（1）复利是计算利率的一个方法，即把前一期的利息和本
金加在一起做本金，再计算下一期的利息，设本金为P，每
总• 第金四额级最大？
• 第五级
(2)如果适当的涨价，能使销售总金额增加，求k的取值范围.
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解：(1)设商品现在定价为a元，卖出的数量为b个。由题设：
• 单击此当处价编格辑上母涨版x%文时本，销样售式总额为
• 第二级y a(1 x%) b(1 kx%)
•
• 第如三表级所示：
• 第四级
销售• 单第价五级/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获 得最大利润？
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单击此分析处：编由表辑中信母息可版知①标销售题单样价每式增加1元，
有计算器计算得 y=63.98， 由于 78 1.22 1.2
63.98
新教材高中数学第五章函数应用 实际问题的函数刻画用函数模型解决实际问题素养作业北师大版必修第一册
第五章 §2 2.1A 组·素养自测一、选择题1．某商场售出两台取暖器,第一台提价20%以后按960卖出,第二台降价20%以后按960卖出,这两台取暖器卖出后,该商场( C )A ．不赚不亏B ．赚了80元C ．亏了80元D ．赚了160元[解析] 设第1台原价x 1,第2台原价x 2,则x 1·(1＋20%)＝960得x 1＝800,x 2·(1－20%)＝960,得x 2＝1200,960×2－(800＋1200)＝－80. ∴选C ．2．用长度为24m 的材料围成一矩形场地,如果在中间加两道隔墙,要使矩形面积最大,则隔墙的长度应为( A )A ．3mB ．4mC ．6mD ．12m[解析] 设矩形的长为x ,则宽为14(24－2x ),则矩形的面积为S ＝14(24－2x )x ＝－12(x2－12x )＝－12(x －6)2＋18,所以当x ＝6时,矩形的面积最大,此时隔墙的长度应为3m.3．某生产厂家的生产总成本y (万元)与产量x (件)之间的关系式为y ＝x 2－80x ,若每件产品的售价为25万元,则该厂获得最大利润时,生产的产品件数为( D )A ．52B ．52.5C ．53D ．52或53[解析] 因为利润＝收入－成本,当产量为x 件时(x ∈N ),利润f (x )＝25x －(x 2－80x ),所以f (x )＝105x －x 2＝－⎝⎛⎭⎪⎫x －10522＋10524,所以x ＝52或x ＝53时,f (x )有最大值．4．某公司招聘员工,面试人数按拟录用人数分段计算,计算公式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧4x （1≤x <10，x ∈N ＋），2x ＋10（10≤x <100，x ∈N ＋），1.5x （x ≥100，x ∈N ＋），其中x 代表拟录用人数,y 代表面试人数．若面试人数为60,则该公司拟录用人数为( C )A ．15B ．40C ．25D ．130[解析] 令y ＝60,若4x ＝60,则x ＝15>10,不合题意；若2x ＋10＝60,则x ＝25,满足题意；若1.5x ＝60,则x ＝40<100,不合题意．故拟录用25人．5．如图1,动点P 从直角梯形ABCD 的直角顶点B 出发,沿B →C →D →A 的顺序运动,得到以点P 运动的路程x 为自变量,△ABP 的面积y 为因变量的函数的图象,如图2,则梯形ABCD 的面积是( B )A ．96B ．104C ．108D ．112[解析] 从图2可看出,BC ＝8,CD ＝10,DA ＝10,在图1中,过点D 作AB 的垂线,垂足为E ,可推得AE ＝6,AB ＝16,所以梯形的面积为12(DC ＋AB )·BC ＝12(10＋16)×8＝104,故选B ．6．(福建高考题)要制作一个容积为4m 3,高为1m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总造价是( C )A ．80元B ．120元C ．160元D ．240元[解析] 设该容器的总造价为y 元,长方体的底面矩形的长为x m,因为无盖长方体的容积为4m 3,高为1m,所以长方体的底面矩形的宽为4xm,依题意,得y ＝20×4＋10⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2×4x ＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥160,当且仅当x ＝4x,即x ＝2时,等号成立,y 取得最小值,即y min ＝160.所以该容器的最低总造价为160元．故选C ．二、填空题7．某商人购货,进价已按原价a 扣去25%,他希望对货物订一新价,以便按新价让利20%销售后仍可获得售价25%的纯利,则此商人经营这种货物的件数x 与按新价让利总额y 之间的函数关系是__y ＝a4x (x ∈N ＋)__．[解析] 依题意,设新价为b ,则有b (1－20%)－a (1－25%)＝b (1－20%)·25%.化简,得b ＝54a . ∴y ＝b ·20%·x ＝54a ·20%·x ,即y ＝a4x (x ∈N ＋)．8．某工厂生产某种产品的固定成本为200万元,并且生产量每增加一单位产品,成本就增加1万元,又知总收入R 是单位产量Q 的函数：R (Q )＝4Q －1200Q 2,那么总利润L (Q )的最大值是__250__万元,这时产品的产量为__300__．(总利润＝总收入－成本)[解析] L (Q )＝4Q －1200Q 2－(200＋Q )＝－1200(Q －300)2＋250,则当Q ＝300时,总利润L (Q )取最大值250万元．9．某人计划购买一辆A 型轿车,售价为14.4万元,购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元,同时汽车年折旧率约为10%,试问,大约使用__4__年后,用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元．[解析] 设使用x 年后花费在该车上的费用达到14.4万元,依题意可得14.4(1－0.9x)＋2.4x ＝14.4化简得x －6×0.9x＝0,令f (x )＝x －6×0.9x易得f (x )为递增函数,又f (3)＝－1.374<0,f (4)＝0.0634>0,∴f (x )在(3,4)上有一个零点,故大约使用4年后,用在该车上费用达到14.4万元．三、解答题10．(10分)有l 米长的钢材,要做成如图所示的窗框：上半部分为半圆,下半部分为四个全等的小矩形组成的矩形,则小矩形的长与宽之比为多少时,窗户所透过的光线最多？并求出窗户面积的最大值．[解析] 设小矩形的长为x ,宽为y ,窗户的面积为S , 则由题图可得9x ＋πx ＋6y ＝l ,所以6y ＝l －(9＋π)·x , 所以S ＝π2x 2＋4xy ＝π2x 2＋23x ·[l －(9＋π)·x ]＝－36＋π6x 2＋23lx ＝－36＋π6·⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2l 36＋π2＋2l23（36＋π）. 要使窗户所透过的光线最多,只需窗户的面积S 最大． 由6y ＞0,得0＜x ＜l9＋π.因为0＜2l 36＋π＜l9＋π,所以当x ＝2l 36＋π,y ＝l －（9＋π）x 6＝l （18－π）6（36＋π）,即x y ＝1218－π时,窗户的面积S 有最大值,且S max ＝2l23（36＋π）.11．(10分)国庆期间,某旅行社组团去风景区旅游,若旅行团人数在30人或30人以下,每人需交费用为900元；若旅行团人数多于30人,则给予优惠：每多1人,人均费用减少10元,直到达到规定人数75人为止．旅行社需支付各种费用共计15000元．(1)写出每人需交费用y 关于人数x 的函数； (2)旅行团人数为多少时,旅行社可获得最大利润？解：(1)当0＜x ≤30时,y ＝900；当30＜x ≤75,y ＝900－10(x －30)＝1200－10x .即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧900，0＜x ≤30，1200－10x ，30＜x ≤75.(2)设旅行社所获利润为S 元, 则当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000；当30＜x ≤75时,S ＝x (1200－10x )－15000＝－10x 2＋1200x －15000.即S ＝⎩⎪⎨⎪⎧900x －15000，0＜x ≤30，－10x 2＋1200x －15000，30＜x ≤75. 因为当0＜x ≤30时,S ＝900x －15000为增函数, 所以x ＝30时,S max ＝12000；当30＜x ≤75时,S ＝－10x 2＋1200x －15000＝－10(x －60)2＋21000, 即x ＝60时,S max ＝21000＞12000.所以当旅行团人数为60时,旅行社可获得最大利润．B 组·素养提升一、选择题1．如图所示,从某幢建筑物10m 高的窗口A 处用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直)．如果抛物线的最高点M 离墙1m,离地面403m,则水流落地点B离墙的距离OB 是( B )A ．2mB ．3mC ．4mD ．5m[解析] 以OB 所在直线为x 轴,OA 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系,设抛物线方程是y ＝a (x －1)2＋403,由条件(0,10)在抛物线上,可得10＝a ＋403,a ＝－103,所以y ＝－103(x －1)2＋403,设B (x ,0)(x ＞1),代入方程得：(x －1)2＝4,所以x ＝3.2．某建材商场国庆期间搞促销活动,规定：顾客购物总金额不超过800元,不享受任何折扣；若顾客购物总金额超过800元,则超过800元部分享受一定的折扣优惠,并按下表折扣分别累计计算：若某顾客在此商场获得的折扣金额为50元,则此人购物实际所付金额为( A ) A ．1500元 B ．1550元 C ．1750元D ．1800元[解析] 设该顾客在此商场的购物总金额为x 元,可以获得的折扣金额为y 元． 由题可知,y ＝⎩⎪⎨⎪⎧0，0＜x ≤800，0.05（x －800），800＜x ≤1300，0.1（x －1300）＋25，x ＞1300.∵y ＝50＞25,∴x ＞1300,∴0.1(x －1300)＋25＝50,解得x ＝1550.1550－50＝1500(元)．故此人购物实际所付金额为1500元．3．(多选)在某种金属材料的耐高温试验中,温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．给出下列说法,其中正确的是( BD )A ．前5min 温度增加的速度越来越快B ．前5min 温度增加的速度越来越慢C ．5min 以后温度保持匀速增加D ．5min 以后温度保持不变E ．温度随时间的变化情况无法判断[解析] 温度y 关于时间t 的图象是先凸后平,即5min 前每当t 增加一个单位增量Δt ,则y 相应的增量Δy 越来越小,而5min 后y 关于t 的增量保持为0,则BD 正确．4．某单位准备印制一批证书,现有两个印刷厂可供选择,甲厂费用为制版费和印刷费两部分,先收取固定的制版费,再按印刷数量收取印刷费,乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲厂的总费用y 1(千元)、乙厂的总费用y 2(千元)与印制证书数量x (千个)的函数关系图分别如图中甲、乙所示,则( ABC )A ．甲厂的制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元B ．甲厂的费用y 1与证书数量x 之间的函数关系式为y 1＝0.5x ＋1C ．当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为1.5元D ．若该单位需印制证书数量为8千个,则该单位选择甲厂更节省费用[解析] 由题图知甲厂制版费为1千元,印刷费平均每个为0.5元,甲厂的费用y 1与证书数量x 满足的函数关系为y 1＝0.5x ＋1,故A 、B 正确；当印制证书数量不超过2千个时,乙厂的印刷费平均每个为3÷2＝1.5元,故C 正确；当x ＝8时,y 1＝0.5×8＋1＝5,y 2＝14×8＋52＝92,因为y 1＞y 2,所以当印制8千个证书时,选择乙厂更节省费用,故D 不正确． 二、填空题5．某零售商购买某种商品的进价P (单位：元/千克)与数量x (单位：千克)之间的函数关系的图象如图所示．现此零售商仅有现金2700元,他最多可购买这种商品__90__千克．[解析] 由题意得,购买这种商品所需费用y (单位：元)与数量x (单位：千克)之间的函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧37x ，0＜x ≤10，32x ，10＜x ≤50，30x ，50＜x ≤100，27x ，100＜x ≤150，25x ，x ＞150，从而易得30×50＜2700＜30×100,即该零售商购买这种商品的数量应在50千克与100千克之间,故最多可购买这种商品270030＝90(千克)．6．甲工厂八年来某种产品的年产量y 与年份代号x 的函数关系如图所示．现有下列四种说法：①前三年该产品的年产量增长速度越来越快； ②前三年该产品的年产量增长速度越来越慢； ③第三年后该产品停止生产； ④第三年后该产品的年产量保持不变． 其中说法正确的是__②④__．[解析] 设年产量y 与年份代号x 的关系为f (x ),由图,可知前三年该产品的年产量的增长速度越来越慢,故①错误,②正确；由图,可知从第四年开始该产品的年产量不发生变化,且f (4)≠0,故③错误,④正确．7．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000,而手套出厂价格为每副10元,则该厂为了不亏本,日产手套至少为__800__副．[解析]由5x＋4000≤10x,解得x≥800,即日产手套至少为800副时才不亏本．三、解答题8．某种商品进价为每个80元,零售价为每个100元,为了促销,采用买一个这种商品赠送一个小礼品的办法．实践表明：礼品的价格为1元时,销售量增加10%,且在一定范围内,礼品价格为(n＋1)元时比礼品价格为n(n∈N＋ )元时的销售量增加10%.设未赠送礼品时的销售量为m件．(1)写出礼品价格为n元时,利润y n(单位：元)与n(单位：元)的函数关系式；(2)请你设计礼品的价格,以使商店获得最大利润．[解析](1)当礼品价格为n元时,销售量为m(1＋10%)n件,故利润y n＝(100－80－n)·m(1＋10%)n＝m(20－n)·1.1n(0<n<20,n∈N＋)．(2)令y n＋1－y n≥0,即m(19－n) ·1.1n＋1－m(20－n)·1.1n≥0,解得n≤9.所以y1<y2<y3<…<y9＝y10.令y n＋1－y n＋2≥0,即m(19－n)·1.1n＋1－m(18－n)·1.1n＋2≥0,解得n≥8.所以y9＝y10>y11>y12>y13>…>y19.所以礼品价格为9元或10元时,商店获得最大利润．9．某创业团队拟生产A,B两种产品,根据市场预测,A产品的利润与投资额成正比(如图1),B产品的利润与投资额的算术平方根成正比(如图2)．(注：利润与投资额的单位均为万元)(1)分别将A,B两种产品的利润f(x),g(x)表示为投资额x的函数；(2)该团队已筹到10万元资金,并打算全部投入A,B两种产品的生产,问：当B产品的投资额为多少万元时,生产A,B两种产品能获得最大利润,最大利润为多少？解析：(1)由题意可设f(x)＝k1x,g(x)＝k2x,则f(1)＝k1＝0.25,g(4)＝2k2＝2.5,k2＝1.25.所以f(x)＝0.25x(x≥0),g (x )＝1.25x (x ≥0)．(2)设B 产品的投资额为x 万元,则A 产品的投资额为(10－x )万元．y ＝f (10－x )＋g (x )＝0.25(10－x )＋1.25x (0≤x ≤10),令t ＝x ,则y ＝－0.25t 2＋1.25t ＋2.5,所以当t ＝2.5,即x ＝6.25时,收益最大,y max ＝6516万元．答：投资B 产品6.25万元,A 产品3.75万元时,能获得最大利润,最大利润为6516万元．。
04-第二节 实际问题中的函数模型高中数学必修一北师大版
（1）某单级火箭自身的质量为50 t,发动机的喷射速度为3 km/s,当它装载
100 t燃料时,求该单级火箭的最大速度（精确到0.1 km/s）.
【解析】 由题知1 = 3, = 50, = 100,
所以 =
+
1 ln
=3×
100+50
ln
50
= 3ln 3 ≈ 3.3,
若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，则此人购物实际所付金额为
( A )
A.940元
B.1 000元
C.1 140元
D.1 200元
【解析】 设此人购物的总金额为元，获得的折扣金为元，则
0,0 < ≤ 500,
= ቐ0.1 − 500 , 500 < ≤ 900,当 = 900时，
地制宜打造“生态水果特色小镇”.经调研发现，某珍稀水果树的单株产量
（单位：kg）与施用肥料（单位：kg）满足如下关系：
5 2 + 3 , 0 ≤ ≤ 2,
= ቐ 50
1+
, 2 < ≤ 5,
肥料成本投入为10元，其他成本投入
（如培育管理、施肥等人工费）为20元.已知这种水果的市场售价为15
,解得
0.65−0.4
= 0.2,所
0.6
（2）若电的成本价为0.3元/度，则电的价格调至____元/度时，电力部门
本年度的收益将比上一年增加20%.（收益=用电量× （实际电的价格-成
本价））
【解析】 根据题意,得 1 +
1
5−2
− 0.3 = 1 × 0.8 − 0.3 × ሺ1 + 20%ሻ,
北师大版高中数学课件必修第1册第五章 函数应用
4
2
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 刷易错
18．若函数
y＝ax2－x－1
只有一个零点，则实数
1 a＝0_或___－__．
4
解析
当 a＝0 时，y＝－x－1＝0⇒x＝－1，符合题意；当 a≠0 时，函数 y＝ax2－x－1 为二次函数，
因为函数
y＝ax2－x－1
1 只有一个零点，所以Δ＝1＋4a＝0⇒a＝－ ，符合题意．故实数
易错点1 不能正确理解函数零点的概念而致错
14．[江苏淮安高中校协作体 2021 高一期中]函数 f(x)＝x2－2x－8 的零点是( B )
A．2 和－4
B．－2 和 4
C．(2，0)和(－4，0)
D．(－2，0)和(4，0)
解析
解方程 f(x)＝x2－2x－8＝0，得 x＝－2 或 x＝4.因此，函数 f(x)＝x2－2x－8 的零点是－2 和 4.故选 B.
A．至少有一实根
B．至多有一实根
C．没有实根
D．必有唯一实根
解析
由函数零点存在定理知，函数 f(x)的图象在[a，b]内与 x 轴只有一个交点，即方程 f(x)＝0 在[a，b]内只有一 个实根．
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 刷易错
易错点3 忽略含参函数的分类讨论而致错
17．[湖南长沙长郡中学 2022 高一期末]已知函数 f(x)＝ax2－x＋a，“函数 f(x)在(0，2)上有两个不相等的零
x
x
由 f(x)＝x2＋x＝0 解得 x＝－1 或 x＝0，即函数 f(x)＝x2＋x 有零点．故选 C.
1.1 利用函数性质判定方程解的存在性 刷基础
4．函数 f(x)＝ 2x－3的零点是__lo__g_2_3__．
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解 由数值对应表作散点图如图.
由图采用指数型函数作模型，设f(x)＝a·bx＋c. 代入(1，0.7)，(2，1.0)，(3，1.6)得：aabb＋ 2＋cc＝＝01.7.0，，①②
ab3＋c＝1.6，③
(③－②)÷(②－①)得b＝2，代入①②， 得24aa＋ ＋cc＝ ＝01..70，解得ac＝＝2523，0， ∴f(x)＝230·2x＋25.
九折出售，则每件还能获利.( × ) 2.某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20
件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为y＝－4x＋200.( × )
3.在函数建模中，散点图可以帮助我们选择恰当的函数模型.( √ ) 提示 1.100×(1＋10%)×0.9－100＝－1. 2.y＝－14x＋50.
∵f(5)＝256＝5.2，f(6)＝10， ∴符合对应表值，∴f(4)＝2.8，f(7)＝19.6， 所以谷神星大约在离太阳2.8天文单位处.在土星外面是天王星，它与太题的一般步骤为： (1)作图：根据已知数据作出散点图； (2)选择函数模型：根据散点图，结合基本初等函数的图象形状，找出比较接近的 函数模型； (3)求出函数模型：选出几组数据代入，求出函数解析式； (4)利用所求得的函数模型解决问题.
题型一 实际问题的函数刻画 【例1】 18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太
阳的平均距离(天文单位)如下表：
行星 1(金星) 2(地球) 3(火星) 4( ) 5(木星) 6(土星) 7( )
距离 0.7
1.0
1.6
5.2
10.0
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现 了谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的 位置，在土星外面是什么星？它与太阳的距离大约是多少？
A.4年
B.5年 C.6年
D.7年
解析 由图象得 y＝－(x－6)2＋11，令 y＞0 得 6－ 11＜x＜6＋ 11，∴客车有营
运利润的时间为 2 11，又 6＜2 11＜7，故选 D.
答案 D
3.某种动物繁殖数量y(只)与时间x(年)的关系为y＝alog2(x＋1)，若这种动物第一 年繁殖数量为100只，则到15年繁殖数量为________只. 解析 f(1)＝100，∴a＝100， ∴f(15)＝100log216＝400. 答案 400
【训练1】 某个体经营者把开始六个月试销A，B两种商品的逐月投资与所获纯利润 列成下表：
投资A种商品 金额(万元) 获纯利润(万元) 投资B种商品 金额(万元) 获纯利润(万元)
1
2
3
4
5
6
0.65 1.39 1.85 2 1.84 1.40
1
2
3
4
5
6
0.25 0.49 0.76 1 1.26 1.51
问题 指数函数、对数函数底数大于1时增长快慢有什么规律？ 提示 都是增函数，而y＝ax(a>1)时增长速度越来越快；y＝logax(a>1)在(0，＋∞) 上增长速度非常缓慢.
1.在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，当面对的实际问题中存在几个变 量，并且它们之间具有依赖关系时，我们往往用函数对其进行刻画，函数刻画 的方法可以使用图象，但常见的还是使用解析式.
长速度的差异，理解“对数增长”、“直线
上升”、“指数爆炸”等术语的现实含义.
新知探究
澳大利亚兔子数“爆炸”：1859年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂 盛的牧草，而且没有兔子的天敌，兔子的数量在不到100年内达到75亿只，喂养牛 羊的牧草几乎被兔子们吃光，直至二十世纪五十年代，科学家采用载液瘤病毒杀死 了百分之九十的野兔，澳大利亚人才算松了一口气.兔子为什么会如此快地从几只 增长到75亿只呢？原来在理想的环境中，种群数量呈指数增长；在有限制的环境中， 种群数量的增长为对数增长.
[微训练]
1.某人从2015年1月1日到银行存入a元，若年利率为x，按复利计算，则2020年1
月1日到期时可取款________元( )
A.a(1＋x)5
B.a(1＋x)6
C.a＋(1＋x)5
D.a(1＋x5)
答案 A
2.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运 的利润y与营运年数x(x∈N)为二次函数关系，则客车有营运利润的时间不超过 ()
2.常见的函数模型 函数模型
函数解析式
一次函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b 为常数，k≠0)
反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k 为常数且 k≠0)
二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0)
指数型函数模型
f(x)＝b·ax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c 为常数，b≠0，a>0 且 a≠1)
幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b 为常数，a≠0)
分段函数
f(x)＝acxx＋＋db，，xx≥<mm
拓展深化 [微判断] 判断下列说法的正误. 1.某种商品进价为每件100元，按进价增加10%出售，后因库存积压降价，若按
该经营者准备下月投入12万元经营这两种商品，但不知投资A、B两种商品各多少 才最合算.请你帮助制订一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大利润，并按 你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润(结果保留两个有效数字).
解 由图表可知A种商品符合二次函数模型，B种商品符合一次函数模型. 设二次函数的解析式为y＝－a(x－4)2＋2(a>0)； 一次函数的解析式为y＝bx. 把x＝1，y＝0.65代入y＝－a(x－4)2＋2(a>0)， 得0.65＝－a(1－4)2＋2，解得a＝0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A种商品的金额的函数关系可近似地用y＝－ 0.15(x－4)2＋2表示.经检验，前六个月符合所求函数关系式.
§2 实际问题中的函数模型 2.1 实际问题的函数刻画
课标要求
素养要求
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和
规律的重要工具. 通过本节内容的学习，使学生
2.在实际情境中，会选择合适的函数类型刻画 体会常见函数的变化异同，提
现实问题的变化规律. 升学生数学抽象、数学建模、
3.比较对数函数、一元一次函数、指数函数增 数据分析等素养.