高一数学教案：实际问题的函数建模
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本文题目：高一数学教案：自建函数模型解决实际问题第二课时自建函数模型解决实际问题课前预习学案一、预习目标：知道5种基本初等函数及其性质二、预习内容：函数图像定义域值域性质一次函数二次函数指数函数对数函数幂函数三.提出疑惑同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格中疑惑点疑惑内容课内探究学案一、学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。
学习难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。
二、探究过程：例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。
销售单价与日销售量的关系如图所示:销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12日均销售量/桶 480[来 440 400 360 320 280 240请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润?探索以下问题：(1)随着销售价格的提升，销售量怎样变化?成一个什么样的函数关系?(2)最大利润怎么表示?润大利润=收入-支出本题的解答过程：解：本题总结例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表(身高：cm;体重：kg)身高 60 70 80 90 100 110体重 6.13 7.90 9.99 12.15 15.02 17.50身高 120 130 140 150 160 170体重 20.92 26.86 31.11 38.85 47.25 55.051) 根据表中提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。
高中数学北师大版必修1-2_实际问题的函数建模_教学设计_教案教案
教学准备1. 教学目标1．了解数学建模的过程，进一步感受函数与现实世界的联系，强化用数学方法解决实际问题的意识．2．尝试用函数刻画实际问题，通过研究函数的性质解决实际问题．2. 教学重点/难点重点：理解问题背景，建立合理的相关函数解析式，应用函数与方程、不等式的相关知识来解决实际问题．难点：理解题意，把实际问题抽象、概括得到合理的数学模型．3. 教学用具4. 标签教学过程导入新课思路1.(事例导入)一张纸的厚度大约为0.01 cm，一块砖的厚度大约为10 cm，请同学们计算将一张纸对折n次的厚度和n块砖的厚度，列出函数关系式，并计算n＝20时它们的厚度．你的直觉与结果一致吗？解：纸对折n次的厚度：f(n)＝0.01·2n(cm)，n块砖的厚度：g(n)＝10n(cm)，f(20)≈105 m，g(20)＝2 m.也许同学们感到意外，通过对本节的学习大家对这些问题会有更深的了解．思路2.(直接导入)请同学们回忆指数函数、对数函数以及幂函数的图像性质，本节我们通过实例比较它们的应用．推进新课①如果张红购买了每千克1元的蔬菜x千克，需要支付y元，把y表示为x的函数.②正方形的边长为x，面积为y，把y表示为x的函数.③某保护区有1单位面积的湿地，由于保护区努力，湿地每年以5%的增长率增长，经过x年后湿地的面积为y，把y表示为x的函数.④分别用表格、图像表示上述函数.⑤指出它们属于哪种函数模型.⑥讨论它们的单调性.⑦继续扩大x的取值范围，比较它们的增长差异.⑧另外还有哪种函数模型？活动：先让学生动手做题后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路．①总价等于单价与数量的积．②面积等于边长的平方．③由特殊到一般，先求出经过1年、2年、…….④列表画出函数图像．⑤引导学生回忆学过的函数模型．⑥结合函数表格与图像讨论它们的单调性．⑦让学生自己比较并体会．⑧另外还有与对数函数有关的函数模型．讨论结果：①y＝x.⑧另外还有与对数函数有关的函数模型，形如y＝logax＋b，我们把它叫作对数型函数．函数模型是应用最广泛的数学模型之一．许多实际问题一旦认定是函数关系可以通过研究函数的性质把握问题，使问题得到解决．思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未应用实例思路1例1 某公司一年需要一种计算机元件8000个，每天需同样多的元件用于组装整机．该元件每年分n次进货，每次购买元件的数量均为x，购一次货需手续费500元．已购进而未使用的元件要付库存费，可以认为平均库存量为x件，每个元件的库存费是一年2元．请核算一下，每年进货几次花费最小？解：无论分几次进货，公司进货的总数是8 000个元件，元件费用是固定不变的，影响总费用变化的量只是库存费和购货手续费，若想减少库存费，就要增加进货次数，而进货次数的增加又使手续费的总量增加了，这就需要将二者对总费用的影响用数学关系表示清楚，进而求最小的花费．设购进8 000个元件的总费用为F，一年总库存费为E，手续费为H，其他费用为C(C为常数)，则例2 电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢；或用胶过少，产生脱胶，影响了产品质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据(见下表)．现在需要提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系．解：我们取磁钢面积x为横坐标、用胶量y为纵坐标，建立直角坐标系．根据上表数据在直角坐标系中描点，得出图8.从图中我们清楚地看到这些点基本上分布在一条直线附近．画出这条直线，使图上的点比较均匀地分布在直线两侧．用函数y＝ax＋b表示用胶量与磁钢面积的关系．取点(56.6,0.812)，(189.0,2.86)，将它们的坐标代入y＝ax＋b，点评：通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图像，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律．这种方法称为数据拟合．在自然科学和社会科学中，很多规律、定律都是先通过实验，得到数据，再通过数据拟合得到的．例3 某公司为了实现1000万元利润的目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：在销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金y(单位：万元)随着利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%.现有三个奖励模型：y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.002x，其中哪个模型能符合公司的要求？活动：学生先思考或讨论，再回答．教师根据实际，可以提示引导：某个奖励模型符合公司要求，就是依据这个模型进行奖励时，奖金总数不超过5万元，同时奖金不超过利润的25%，由于公司总的利润目标为1 000万元，所以人员销售利润一般不会超过公司总的利润．于是只需在区间[10,1000]上，检验三个模型是否符合公司要求即可．不妨先作出函数图像，通过观察函数的图像，得到初步结论，再通过具体计算，确认结果．解：借助计算器或计算机作出函数y＝0.25x，y＝log7x＋1，y＝1.0022的图像(图9)．观察函数的图像，在区间[10,1 000]上，模型y＝0.25x，y＝1.002x的图像都有一部分在直线y＝5的上方，只有模型y＝log7x＋1的图像始终在y＝5的下方，这说明只有按模型y＝log7x＋1进行奖励时才符合公司的要求．下面通过计算确认上述判断．首先计算哪个模型的奖金总数不超过5万．对于模型y＝0.25x，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝20时，y＝5，因此，当x＞20时，y＞5，所以该模型不符合要求；对于模型y＝1.002x，由函数图像，并利用计算器，可知在区间(805,806)内有一个点x0满足1.002x0＝5，由于它在区间[10,1 000]上递增，因此当x＞x0时，y＞5，所以该模型也不符合要求；对于模型y＝log7x＋1，它在区间[10,1 000]上递增，而且当x＝1 000时，y ＝log71 000＋1≈4.55＜5，所以它符合奖金总数不超过5万元的要求．变式训练市场营销人员对过去几年某商品的价格及销售数量的关系作数据分析发现有如下规律：该商品的价格每上涨x%(x＞0)，销售数量就减少kx%(其中k为正常数)．目前，该商品定价为a元，统计其销售数量为b个．点评：这类问题的关键在于列函数解析式建立函数模型，然后借助不等式进行讨论.思路2例1 某工厂有216名工人接受了生产1000台GH型高科技产品的总任务，已知每台GH型产品由4个G型装置和3个H型装置配套组成．每个工人每小时能加工6个G型装置或3个H型装置．现将工人分成两组同时开始加工，每组分别加工一种装置．设加工G型装置的工人有x人，他们加工完G型装置所需时间为g(x)，其余工人加工完H型装置所需时间为h(x)(单位：小时，可不为整数)．(1)写出g(x)，h(x)解析式；(2)比较g(x)与h(x)的大小，并写出这216名工人完成总任务的时间f(x)的解析式；(3)应怎样分组，才能使完成总任务用的时间最少？解：(1)由题意，知需加工G型装置4 000个，加工H型装置3 000个，所用工人分别为x人，216－x人．例2 民营企业生产A，B两种产品，根据市场调查与市场预测，A产品的利润与投资成正比，其关系如图11，B产品的利润与投资的算术平方根成正比，其关系如图12.(注：利润与投资单位：万元)(1)分别将A，B两种产品的利润表示为投资的函数关系式．(2)该企业已筹集到10万元资金，并全部投入A、B两种产品的生产，问：怎样分配这10万元投资，才能使企业获得最大利润，其最大利润约为多少万元？(精确到1万元)变式训练某商场计划投入一笔资金采购一批紧销商品，经过市场调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售，可获利30%，但要付出仓储费用700元，请根据商场情况，如何购销获利较多？设商场投资元，在月初出售，到月末可获利元，在月末出售，可获利元，则＝15%＋10%(＋15%)＝0.265，＝0.3－700.利用函数图像比较大小，在直角坐标系中，作出两函数的图像如图13所示，得两图像的交点坐标为(20 000，5 300)．由图像，知当x＞20 000时，y2＞y1.当x＝20 000时，y1＝y2；当x＜20 000时，y2＜y1.∴当投资小于20 000元时，月初出售；当投资等于20 000元时，月初、月末出售均可；当投资大于20 000元时，月末出售.光线通过一块玻璃，其强度要损失10%，把几块这样的玻璃重叠起来，设光线原来的强度为k，通过x块玻璃以后强度为y.(1)写出y关于x的函数关系式；(2)通过多少块玻璃以后，光线强度减弱到原来的以下．(lg3≈0.477 1)。
高中数学函数应用模型教案
高中数学函数应用模型教案
目标：学生能够在实际问题中运用函数模型解决问题。
一、引入
1. 通过一个实际问题引入本节课的主题：如何利用函数模型解决实际问题。
2. 引导学生思考函数模型在日常生活中的应用和重要性。
二、概念讲解
1. 复习函数的概念：输入、输出、定义域、值域等。
2. 解释函数模型在解决实际问题中的作用：通过建立数学模型来描述实际情况，并利用函数求解问题。
3. 引入常见的函数模型：线性函数、二次函数、指数函数等，并解释其特点和应用场景。
三、案例分析
1. 给出一个实际问题，如某商品的需求量随时间变化的情况，要求学生建立相应的函数模型。
2. 引导学生分析问题，确定变量间的关系，并建立对应的函数模型。
3. 让学生利用函数模型解决问题，如预测未来需求量、制定合理的生产计划等。
四、练习与拓展
1. 针对不同类型的函数模型，设计练习题让学生巩固所学内容。
2. 拓展延伸，让学生探索更复杂的实际问题，并运用函数模型解决。
五、总结与展望
1. 总结本节课的主要内容，强调函数模型在解决实际问题中的重要性。
2. 展望下节课的内容，引入更多的实际问题让学生继续探索函数模型的应用。
以上是一份高中数学函数应用模型的教案范本，希朋针对实际教学情况做出适当调整。
高一数学教学案4.2实际问题的函数建模北师大版必修1
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30
30
20
20
10
10
售价/(元/包)
75
210
330
450
380
460
发现该市在制定每包售价时，有一定的规则，如果现在按照这个规则制造一种新规格的垃圾袋，并以25个装成一包出售，设每个容量为xL。每包售价为y元，试确定x与y之间的关系。
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式： ， ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
X
16
20
24
28
y
42
30
18
6
实际问题的函数建模教案
实际问题的函数建模教案第一章：引言1.1 课程目标让学生了解函数建模的基本概念，理解函数建模在实际问题中的应用，培养学生运用数学知识解决实际问题的能力。
1.2 教学内容1.2.1 函数建模的定义与意义1.2.2 函数建模的步骤与方法1.2.3 函数建模在实际问题中的应用案例分析1.3 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等。
1.4 教学准备教材、多媒体设备、实际问题案例资料。
1.5 教学步骤1.5.1 导入新课：通过一个实际问题引出函数建模的概念。
1.5.2 讲解与演示：讲解函数建模的定义与意义，展示函数建模的步骤与方法。
1.5.3 案例分析：分析几个实际问题案例，让学生了解函数建模在实际中的应用。
1.5.4 小组讨论：让学生分组讨论，尝试运用函数建模解决实际问题。
第二章：线性函数建模2.1 课程目标让学生掌握线性函数建模的基本方法，能够运用线性函数解决实际问题。
2.2 教学内容2.2.1 线性函数的定义与性质2.2.2 线性函数建模的步骤与方法2.2.3 线性函数建模在实际问题中的应用案例分析2.3 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等。
2.4 教学准备教材、多媒体设备、实际问题案例资料。
2.5 教学步骤2.5.1 导入新课：通过一个实际问题引出线性函数建模的概念。
2.5.2 讲解与演示：讲解线性函数的定义与性质，展示线性函数建模的步骤与方法。
2.5.3 案例分析：分析几个实际问题案例，让学生了解线性函数建模在实际中的应用。
2.5.4 小组讨论：让学生分组讨论，尝试运用线性函数建模解决实际问题。
第三章：二次函数建模3.1 课程目标让学生掌握二次函数建模的基本方法，能够运用二次函数解决实际问题。
3.2 教学内容3.2.1 二次函数的定义与性质3.2.2 二次函数建模的步骤与方法3.2.3 二次函数建模在实际问题中的应用案例分析3.3 教学方法采用讲授法、案例分析法、小组讨论法等。
3.4 教学准备教材、多媒体设备、实际问题案例资料。
北师大版高中数学必修一教学案实际问题的函数建模
年级高一
学科数学
课题
实际问题的函数建模
授课时间
撰写人
学习重点
初步了解数学模型解决实际问题的过程
学习难点
实际问题抽象为数学问题的过程
学习目标
1.了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想
2.初步学会运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题
教学过程
一自主学习
1.写出我们已学习过的常见的函数模型
四课后反思
五课后巩固练习
1.某人2007年1月1日到银行存入一年存款a元，若按年利率为x的复利计算，则到2012年1月1日可取回款（）
A B C D
2.老师今年用7200元买了一台笔记本。由于电子技术的飞速发展，计算机的价格每隔一年降低三分之一。三年后老师这台笔记本价值元。
3.某商场经营一批进价为12元/个的小商品。在4天的试销中，对此商品的销售单价x（元）与相应的日销量y(个)作了统计，其数据如下：
例：（1）正比例函数模型： (R为常数)
2.总结解决实际应用题的基本步骤
二师生互动
例1有甲乙两种商品，经营销售这两种商品所获得的利润依次是P和Q（万元），它们与投入资金x（万元）的关系有经验公式： ， ，今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润。对甲、乙两种商品的资金投入分别应为多少？能获得的最大利润是多少？
例2某市实施“垃圾费用随袋征收”政策，垃圾袋的型号、规格及售价如表：
观察此表，
型号
特小型
小型
中型
大型
特大型
超大型
型号/(L/个)
5
14
33
45
76
92
规格/(个/包)
30
北师大版高中数学必修1《四章 函数应用 2 实际问题的函数建模 2.3 函数建模案例》优质课教案_6
《函数模型的应用实例》设计§3.2.2函数模型的应用实例（第二课时）教学设计一、教学内容解析1、本节课是普通高中课程标准实验教科书·数学必修1（人民教育出版社A版），3.2.2 函数模型的应用实例.（第二课时），属于“事实性知识”。
2、“函数模型的应用实例”是《函数的应用》这一章的核心内容，又是数学与生活实践相互衔接的枢纽。
本节课是上一节“几类不同增长的函数模型”的延续和发展，同时又为今后的选修中的线性回归及大学将学习的曲线拟合做了一个铺垫。
它要求学生能够对现实情境中采集的数据借助计算机或图形计算器进行观察分析，选择较为接近的函数模型，结合实际问题比较模型的优劣，最后应用所选择的模型解决实际问题.这种建立函数模型，刻画现实问题的基本方法是学生必须掌握的，函数建模的方法和函数拟合的思想在现实生活中的应用是非常广泛并且及其重要的.它的出现既强化了学生应用数学的意识，提高了学生应用数学的能力又让学生感受到达到目标并不是一帆风顺的，需要我们有不怕挫折，勇于探索、不断尝试的精神及较强的团队意识。
3、本小节重点：（1）收集数据信息、拟合数据，建立函数模型解决实际问题.（2）初步形成用函数观点处理问题的意识.二、教学目标设置1、知识与技能：（1）会收集图表数据信息，能整理数据，会使用图形计算器.（2）能拟合函数解决实际问题.2、过程与方法：（1）体验收集图表数据信息、拟合数据的过程与方法.（2）经历建立函数模型解决实际问题的过程，体会函数拟合、数形结合、函数方程、待定系数等数学思想方法.（3）通过转化实际应用问题为数学问题的过程，培养学生阅读理解、抽象概括、数据处理、语言转换、数学建模等数学能力.3、情感、态度与价值观：（1）培养学生的应用意识、创新意识和探索精神，以及求真务实的科学态度.（2）通过整个解决实际问题的过程，认识到生活处处皆数学，并感受到通过分组讨论、合作交流获得成功带来的快乐.三、学生学情分析1、学生具备的认知基础：①已掌握一些基本初等函数相关知识②初步体会了建立函数模型解决实际问题的过程③初步掌握了图形计算器和温度传感器的使用方法.2、有待提高的实际能力：①数形转化的意识有待加强.②从实际问题中抽象出数学问题的能力有待加强.3、教学难点: ①数据拟合②选择模型③求解模型.4、突破难点策略：借助图形计算器强大的拟合和解方程功能有效的进行了突破.对例1学生可能遇到的困难是：①不理解数据表格中销售单价与日均销售量的函数关系；②不会用销售单价x表示日均销售量和日均销售利润；③不能准确写出函数的定义域.④书写不规范.不说明x的含义. 面对这些困难我将采取学生讨论、相互评价和老师点评相结合的方式解决。
4.2实际问题的函数建模 教案 秋学期高中数学北师大版必修一
实4.2实际问题的函数建模际问题的函数建模学习目标：能够找出简单实际问题中的函数关系式，初步体会应用一次函数、二次函数模型解决实际问题.学习重点：运用一次函数、二次函数模型解决一些实际问题.学习难点：将实际问题转变为数学模型.知识点一 常见的函数模型自学导引在现实世界中，存在着许许多多的函数关系，建立合适的函数模型是解决这种关系的关键．怎样选择恰当的函数模型呢？问题1：在人口增长，复利计算中，选择什么样的函数模型呢？提示：指数函数模型．问题2：在加速直线运动中，物体运动的路程与时间的关系是什么样的函数模型？ 提示：二次函数模型．问题3：在使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大，这里常要说的里氏震级M ，使用的是什么样的函数模型？提示：对数函数模型．新知自解常用到的函数模型：(1)正比例函数模型：y ＝kx (k ≠0)；(2)反比例函数模型：y ＝k x(k ≠0)； (3)一次函数模型：y ＝kx ＋b (k ≠0)；(4)二次函数模型：y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)；(5)指数函数模型：y ＝m ·a x ＋b (a >0，且a ≠1，m ≠0)；(6)对数函数模型：y ＝m log a x ＋c (m ≠0，a >0，且a ≠1)；(7)幂函数模型：y ＝k ·x n ＋b (k ≠0).知识点二 函数建模自学导引某公司拟投资100万元获利，打算5年后收回本金和利息，有两种获利方式可供选择：一种是年利率10%按单利计算；另一种是年利率9%按每年复利一次计算．问题1：按单利(每年的本金不变，均为最初的投资)计算，5年后收回的本金和利息是多少？提示：100×(1＋10%×5)＝150(万元)．问题2：按复利(今年的本金和利息全作为明年的本金)计算，5年后收回的本金和利息是多少？提示：100×(1＋9%)5≈153.86(万元)．问题3：该公司应该选择哪种方式投资？提示：第二种．按复利投资．新知自解用数学眼光看问题，用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程叫作数学建模，可以用图表示数学建模的过程．1．函数模型就是用函数知识对我们日常生活中普遍存在的实际问题进行归纳加工，运用函数的方法进行求解，最后实际问题得以解决．2．解函数应用题的步骤把握热点考向高频考点题组化考点一一次、二次、分段函数模型[例1]某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从2月1日起的300天内，西红柿市场售价与上市时间的关系用图1的一条拆线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系用图2的抛物线表示．(1)写出图1表示的市场售价与上市时间的函数关系式P＝f(t)；写出图2表示的种植成本与上市时间的函数关系式Q＝g(t)．(2)认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？(注：市场售价和种植成本的单位：元/102 kg ，时间单位：天)[思路点拨] 本题由函数图像给出基本条件，解题时要抓住图像特征，抓住关键点的坐标，确定函数关系式解题．[精解详析] (1)f (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧－t ＋300，0≤t ≤200，2t －300，200<t ≤300.设g (t )＝a (t －150)2＋100(a ≠0)，将t ＝50，Q ＝150代入得a ＝1200. ∴g (t )＝1200(t －150)2＋100(0≤t ≤300)． (2)设纯收益为y 元，当0≤t ≤200时，y ＝f (t )－g (t )＝(－t ＋300)－[1200(t －150)2＋100] ＝－1200t 2＋12t ＋1752＝－1200(t －50)2＋100. 当t ＝50时，y 取到最大值，且最大值为100.当200<t ≤300时，y ＝f (t )－g (t )＝(2t －300)－[1200(t －150)2＋100]＝－1200t 2＋72t －1 0252＝－1200(t －350)2＋100.当t ＝300时取到最大，最大值为87.5.故从2月1日起第50天上市的西红柿纯收益最大．[一点通] 处理此类问题的一般思路是：认真读题、审题，弄清题意，明确题目中的数量关系，可充分借助图像、表格信息确定解析式，对于分段函数图像要特别注意虚实点，写准定义域，同时要注意它是一个函数．题组集训1．某商场以每件42元的价钱购进一种服装，根据试销得知：这种服装每天的销售量t (件)与每件的销售价x (元/件)可看成是一次函数关系：t ＝－3x ＋204.(1)写出商场卖这种服装每天的销售利润与每件的销售价x 之间的函数关系式(销售利润是指所卖出服装的销售价与购进价的差)；(2)通过对所得函数关系式进行配方，指出：商场要想每天获得最大的销售利润，每件的销售价定为多少最为合适？最大销售利润为多少？解：(1)由题意，销售利润y 与每件的销售价x 之间的函数关系为：y ＝(x －42)(－3x ＋204)， 即y ＝－3x 2＋330x －8 568；(2)配方，得y ＝－3(x －55)2＋507.∴当每件的销售价为55元时，可取得最大利润，每天最大销售利润为507元．2．甲、乙两人连续6年对某县农村甲鱼养殖业的规模(产量)进行调查，提供了两个方面的信息，如图．甲调查表明：每个甲鱼池平均产量从第1年1万只甲鱼上升到第6年2万只． 乙调查表明：甲鱼池个数由第1年30个减少到第6年10个．请你根据提供的信息说明：(1)第2年甲鱼池的个数及全县出产甲鱼总数；(2)到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由；(3)哪一年的规模最大？说明理由．解：(1)由图可知，直线y 甲＝kx ＋b 经过(1,1)和(6,2)，可求得k ＝0.2，b ＝0.8. ∴y 甲＝0.2(x ＋4)．同理可得y 乙＝4(－x ＋172)． 故第二年甲鱼池的个数为26个，平均生产量为1.2万只，全县出产甲鱼的总数为26×1.2＝31.2(万只)；(2)规模缩小，原因是：第一年出产甲鱼总数30万只，而第6年出产甲鱼总数为20万只；(3)设第x 年规模最大，即求y 甲·y 乙＝0.2(x ＋4)·4(－x ＋172)＝－0.8x 2＋3.6x ＋27.2的最大值．。
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2.同学们应注意在解决问题时应选择适当的函数模型进行拟合实现问题解
决
3.同学们学习过程中应了解一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，
幂函数，分段函数等函数模型.
【思考引导】
一、提问题
1.为什幺要用函数来刻画实际问题?
2.用函数来刻画应用题应注意哪些问题，具体步骤是什幺?
2.某服装公司从2007年1月份开始投产，前4个月的产量分别为1万件、
1.2万件、1.3万件和1.36万件。由于产品质地优良，款式新颖，前几个月的
产品销售情况较好，为使销售部在接受订单时不至于过多或过少，需要预测
以后几个月的产量。现有两个函数模型可用于模拟产品的产量y与月份x的
关系：(其中a,b,m,n,p均为常数)，选用那个模型更能合理预测以后几个月的
二、变题目
1.某种细菌在培养过程中,每15分种分裂一次(由一个分裂成两个),这种细菌
由1个繁殖成4096个需经过( )
小时小时小时小时
2.一根弹簧,挂重100N的重物时,伸长20cm,当挂重150N的重物时,弹簧长( )
3.今有一组数据如下表
1.99 3 4 5.1 6.12
1.5 4.04 7.5 12 18.01
学时: 1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本页
2.回答问题：
(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什幺?
(2)层次间有什幺联系?
(3)怎样用数学知识刻画实际问题(怎样解答应用题)?
(4)本节的重点，难点是什幺?
3.完成页练习.
4.小结.
二、方法指导
1.读题是解决实际问题的重要环节，一般的实际问题的叙述都比较长，需
高一数学教案：实际问题的函数建模
【摘要】欢迎来到高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规
律,培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高一数
学教案：实际问题的函数建模”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：实际问题的函数建模
第二节实际问题的函数建模(1)
实际问题的函数刻画
ƒ: ( , ) ( + , ),则(5,2)的原像是.
4.已知A=B=R,∈A,∈B,ƒ:→=+b,若1,8的原像相应是3
和10,则5在ƒ下的像是.
则选取拟合函数时,最好选( )
4.一等要三角形的周长是20,则其底边长关于其腰长的函数关系式是
____________________
5.下表显示出函数值随自变量变化的一组数据,由此判断它最可能的函数
模型是( )
4 5 6 7 8 9 10
15 17 19 21 2325 27
一次函数模型二次函数模型指数函数模型对数函数模型
6.某家报刊销售点从报社买进报纸的价格是每份0.35元,卖出的价格是每份
①集合A中不同元素在集合B中有不同的像;②集合A,B是非空的数集;③
集合B中的每一个元素在A中都有原像;④集合A中任何一个元素在集合B
中都有唯一的像.使对应ƒ成为从定义域A到值域B上的函数的条件是
( ).
A.①②③B.①②④C.①③④D.②③④
3.集合A,B是平面直角坐标系中的两个点集,给定从A到B的映射
【思考引导】
一、提问题
1.函数有哪几要素?
2.函数是一到N的映射中，下列说法正确的是( )
A.M中有两个不同的元素对应的象必不相同
B.N中有两个不同的元素的原象可能相同
C.N中的每一个元素都有原象
D.N中的某一个元素的原象可能不只一个
2.设A,B是两个集合,并有下列条件:
0.50元,卖不掉的报纸还可以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(30天)里,
有20天每天可以卖出400份,其余10天每天只能卖出250份,设每天从报社买
进的报纸数量相同,则应该每天从报社买进多少份,才能使每月所获得的利润最
大?并计算该销售点每天最多可赚多少元?
7.某桶装水经营部每天房租,工作人员工资等固定成本为200元,每桶水进
2.数学建模与传统应用题的区别：题设不同，过程不同，结论不同.
3.实际问题的函数刻画主要有以下步骤:
(1)_____________________,审清题意.
(2)设_________________________,表示题目中的有关量.
(3)根据题目中的等量关系用相关的符号来建立_____________,并用函数的
价为5元,销售单价与日销售量的关系如下表:
销售单价(元) 6 7 8 9 10 11 12
日销售量(桶) 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析,这个经营部怎样定价才能获得最大利润?最大利
润是多少?
【总结引导】
1.本节课的重点是了解数学建模的基本步骤，体会数学建模的基本思想.
【摘要】欢迎来到高一数学教案栏目，教案逻辑思路清晰，符合认识规律,
培养学生自主学习习惯和能力。因此小编在此为您编辑了此文：“高一数学教
案：对函数的进一步认识”希望能为您的提供到帮助。
本文题目：高一数学教案：对函数的进一步认识
学时: 1学时
【学习引导】
一、自主学习
1.阅读课本P32P33
2.回答问题
(1)课本内容分成几个层次?每个层次的中心内容是什幺?
(2)层次间有什幺联系?
(3)什幺是映射?什幺是一一映射原像和像分别指什幺?
(4)函数和映射有什幺区别和联系?
3.完成P33练习.
4.小结.
二、方法指导
本节通过简单的对应图示了解一一映射的概念，同学们在学习应该认识到
事物间是有联系的，对应、映射是一种联系方式.于此同时同学们的观察能
力、判断能力、论述能力都得应该到相应的提高.
观点解答问题
4.常用的一些实际生产,生活中的等量关系如下:
(1)利润=_________________;
(2)矩形的面积=_______________;
(3)平均增长率=________________.
【拓展引导】
1.一种商品连续两次降价后,现又想通过两次提价恢复原价,你知道每次应
提价多少吗?
产量?
高一数学教案：实际问题的函数建模参考答案
【思考引导】
一.提问题
1.把复杂的文字语言转化到我们熟悉的数字，符号语言上来，从而利用所
学知识解决实际问题.
2.①认真读题，缜密审题②引进数学符号，建立数学模型