悬臂梁 弹性力学

《弹性理论及其工程应用》课程三级项目说明书
学生姓名：李志鹏
专业班级： 10级工设一班
指导教师：周庆田
得分：
一、设计任务
使用matlab 软件对端部受集中载荷的悬臂梁进行数值分析
具体内容
1. 对悬臂梁进行应力及位移分析，并以云图形式给出结果。

2. 由图形结果确定梁最易折断部分。

1.首先讨论梁内应力分布。

其边界条件为: (σx )0x ==0; (τxy )h ±=y =0; (σy )h ±=y =0;
F= -⎰
+-h
h
dy xy τ
σx =
2
f
2y ∂∂ϕ=
xy c 1 (a) (f ϕ为应力函数）
双调和方程为：4
4x
f ∂∂ϕ+
2 2
2
4y
x f ∂∂∂ϕ+
4
4y f
∂∂ϕ=0 （b ）
通过对（a ）、（b ）两式积分可得：
)(2)(673622
2c y c x c y c x
f y +++=∂∂=
ϕσ （c ）
4322212232
1c x c x c y c y x f
xy ----=∂∂∂-=ϕτ （d ）
2.系数的确定
由上述边界条件及（c ）、（d ）可得： 07632
====c c c c ;
2
14
21h c c -= ; I
F
h F c -=-=3123δ ( 3
3
2h I δ=为截面对中性轴的截面二次矩【惯性矩】)
至此，所有常数均已求出，于是可得应力场：
I
Fxy x -
=σ
0=y σ
)(222
y h I
F xy
--=τ
3.然后讨论梁内位移分布
（1）应用应变位移关系及胡克定律，由应力场方程可得出：
)](2[)1(222x y h I
F E
G x v
y u EI
Fxy E y v
EI
Fxy
E x u xy xy y y x --+===∂∂+∂∂=-==∂∂-===∂∂ντγννσεσε
通过对上式积分得到位移表达式：
2
12
322
132)1(62)2(62C x C EI
Fxh EI Fx EI Fxy v C y C y EI F EI y Fx u +-+-+=++++-=ννν（p ）
常数321C C C ，，由阻止梁在Oxy 面内作刚体运动所必需的三个约束条件连确定，如在固定端（0,==y l x
处） 有：
00===∂∂v u y u } （q ）
代入式（p ）求得：
EI
Flh EI Fl C C EI Fl C )1(3,0,2233221ν++===
于是可得梁的位移场方程：
)]
)(1()(2
36[6)2()(222
233322x l h l y x l x EI F v EI Fy y x l EI F u -++-++=++
-=ννν在固定端)(l x =，由位移场方程可得：
GI
Fh EI Fh x v h y EI F x v EI
ly F v y l x l x l x 2)1()()]1(2[)(2220222
-=+-=∂∂+-=∂∂=
====νννν）（ 梁轴的竖向位移为：
)()
1(326)(23220
x l EI
Fh EI Fl EI x Fl EI Fx v y -+++-==ν 而端部挠度为：
GI
l Fh EI Fl EI l Fh EI Fl v y x 23)1(3)(23230
+=++===ν 上式等号右边的第一项，是我们熟悉的材料力学中所得
到的悬臂梁端部挠度的结果。

第二项显然是切力对挠度的影响。

而这部分与弯曲的影响之比为
2
22
232)2()2)(1(43233/2/l
h l h G l E h EI Fl GI l Fh ≈+==ν 所以当2h<<l
时，梁的挠度主要由于弯曲所引起的。

由
此可见，材料力学中所得到的结果，对于细而长的梁是足够精确的。

二、设计过程（流程，代码）
1.流程
（1）确定悬臂梁各项参数
E=2.01e5 弹性模量,MPa v=0.3 泊松比 delta=10 梁厚度, mm h=15 梁半高, mm length=500 梁的跨度, mm F=30 集中载荷,N
I=2/3*delta*h^3; %截面惯性矩
（2）根据弹性力学公式编写代码
2.代码
clc
clear
disp('梁弹性平面弯曲场变量可视化')
E=2.01e5 %弹性模量,MPa
v=0.3 %泊松比
delta=10 %梁厚度, mm
h= 0.5 %梁半高, dm
length=10 %梁的跨度, dm
F=30 %集中载荷,N
I=2/3*delta*h^3; %截面惯性矩
Nx=10;Ny=20; %横纵方向离散数量
for i=1:Nx+1
x=0+length/Nx*(i-1); %横向离散
for j=1:Ny+1
y=-h+2*h/Ny*(j-1); %纵向离散
T(i,j)=-F*(h^2-y^2)/(2*I); %计算切应力
fx(i,j)=-F*x*y/I; %计算x方向应力
ux(i,j)=F/(E*I)*(length^2-x^2)+(2+v)*F*y^3/(6*E*I); %计算位移ux
uy(i,j)=F/(E*I)*(x^2/6+length^3/3+x/2*(v*y^2-length^2)+h^2*(1+v)*(lengt h-x)); %计算位移uy
end
end
x=0:length/Nx:length;
y=-h:2*h/Ny:h;
[X,Y]=meshgrid(x',y);
subplot(221)
surf(X,Y,ux')
colorbar
title('x方向位移')
subplot(222)
surf(X,Y,uy')
colorbar
title('y方向位移')
subplot(223)
surf(X,Y,fx')
colorbar
title('轴线方向正应力')
subplot(224)
surf(X,Y,T')
title('切应力')
colorbar
三、设计心得体会
采用ＭＡＴＬＡＢ数值分析软件的三维绘图功能对简单的结构进行应力、位移分析，让计算结果直观明了，便于理性理解。

计算机技术在机械设计的应用越来越广泛，分析软件就是很具有代表性的一部分，人力的解析计算耗费人力和时间，还不能保证足够的准确性，分析软件节省时间而且分析更全面，结果更直观。

所以，多学习和了解各个相关方面的软件不仅有助于以后知识的学习，更重要的是帮助我们与工厂的实际接轨，增加自己的知识筹码。

书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。

我们有理由相信，当我们没有停下追逐梦想的脚步，继续怀着执着、踏实、严谨、奋进的心前行，我们将在今后的人生路上走得更远，更长；我们有理由相信，当我们拥有了自信、谦虚、沉稳以及对成功的渴望与追求，我们终将会柳暗花明，在自己所从事的领域里走出自己的一片天空。