2020年全国卷Ⅲ理数高考试题试卷含答案
空气质量不好
n ad bc2 附：K2= a b c d ) a cb d ，
P（K2≥k） k
0.050 0.010 3.841 6.635
0.001 10.828 ．
19．（12 分） 如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 E, F 分别在棱 DD1, BB1 上，且 2DE ED1 ， BF 2FB1 ． （1）证明：点 C1 在平面 AEF 内； （2）若 AB 2 ， AD 1 ， AA1 3 ，求二面角 A EF A1 的正弦值．
22．[选修 4—4：坐标系与参数方程]（10 分）
x 2 t t2
在直角坐标系
xOy
中，曲线
C
的参数方程为
y
2
3t
t2
（t
为参数且
t≠1），C
与坐标轴交于
A、B
两点．
（1）求 | AB | ；
（2）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线 AB 的极坐标方程．
23．[选修 4—5：不等式选讲]（10 分） 设 a，b，c∈R， a b c 0 ， abc 1． （1）证明： ab bc ca 0 ；
2 26
2
综上，△APQ 的面积为 5 . 2
21．解：（1） f (x) 3x2 b ．
依题意得 f (1) 0 ，即 3 b 0 .
2
4
故b3 ． 4
10
（2）由（1）知 f (x) x3 3 x c ， f (x) 3x2 3 .
D． 4+2 3 D．2
2
A．y=2x+1
B．y=2x+ 1 2
C．y= 1 x+1 2
D．y= 1 x+ 1 22
11．设双曲线
C：
x2 a2
y2 b2
1（a>0，b>0）的左、右焦点分别为
F1，F2，离心率为
5 ．P 是 C 上一点，
且 F1P⊥F2P．若△PF1F2 的面积为 4，则 a=
由已知可得
B(5, 0)
，直线
BP
的方程为
y
1 yQ
(x
5)
，所以 |
BP
|
yP
1 yQ2 ，| BQ |
1 yQ2 ，
因为| BP || BQ | ，所以 yP 1，将 yP 1代入 C 的方程，解得 xP 3 或 3 . 由直线 BP 的方程得 yQ 2 或 8.
所以点 P,Q 的坐标分别为 P1(3,1), Q1(6, 2); P2 (3,1), Q2 (6,8) .
A．1
B．2
C．4
D．8
12．已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则
A．a<b<c
B．b<a<c
C．b<c<a
D．c<a<b
二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
x y 0， 13．若x，y满足约束条件 2x y 0，则 z 3x 2 y 的最大值为__________．
A1E (0, 1, 2) ， A1F (2, 0,1) ．
设 n1 (x, y, z) 为平面 AEF 的法向量，则
n1 n1
AE AF
0, 0,
即
y z 0, 2x 2z
0,
可取
n1
(1, 1,1)
．
设 n2 为平面 A1EF 的法向量，则
n2 n2
A1E A1F
0, 0,
（3）若某天的空气质量等级为 1 或 2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为 3 或 4，则 称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的 2×2 列联表，并根据列联表，判断是否有 95%的 把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？
人次≤400
人次>400
4
空气质量好
，
C1F
(0,b, 1 c) ， 3
得 EA C1F ．
因此 EA∥C1F ，即 A, E, F,C1 四点共面，所以点 C1 在平面 AEF 内．
（ 2 ） 由 已 知 得 A(2,1,3) ， E(2, 0, 2) ， F (0,1,1) ， A1(2,1, 0) ， AE (0, 1, 1) ， AF (2, 0, 2) ，
A． 3 10
B． 1 10
1 C．
10
3 D．
10
4
3．在一组样本数据中，1，2，3，4 出现的频率分别为 p1, p2 , p3, p4 ，且 pi 1 ，则下面四种情形中，对应 i 1 样本的标准差最大的一组是
A． p1 p4 0.1, p2 p3 0.4
B． p1 p4 0.4, p2 p3 0.1
同理可取 n2
(1 , 2,1) ． 2
因为
cosn1,
n2
|
n1 n1 |
n2 | n2
|
7 7
，所以二面角 A EF A1 的正弦值为
42 ． 7
20．解：（1）由题设可得 25 m2 15 ，得 m2 25 ，
5
4
16
9
所以 C
的方程为
x2 25
y2 25
1.
16
（2）设 P(xP , yP ), Q(6, yQ ) ，根据对称性可设 yQ 0 ，由题意知 yP 0 ，
B． (1 , 0) 2
C． (1, 0)
D． (2, 0)
6．已知向量 a，b 满足 | a | 5 ， | b | 6 ， a b 6 ，则 cos a,a b =
A． 31 35
B． 19 35
17 C．
35
2 7．在△ABC 中，cosC= ，AC=4，BC=3，则 cosB=
3
A． 1 9
3
17．（12 分） 设数列{an}满足 a1=3， an1 3an 4n ． （1）计算 a2，a3，猜想{an}的通项公式并加以证明； （2）求数列{2nan}的前 n 项和 Sn．
18．（12 分）
某学生兴趣小组随机调查了某市 100 天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据 得到下表（单位：天）：
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。
1．已知集合 A {(x, y) | x, y N* , y x}， B {(x, y) | x y 8} ，则 A B 中元素的个数为
A．2
B．3
C．4
D．6
1 2．复数 1 3i 的虚部是
x 1， 14． (x2 2 )6 的展开式中常数项是__________（用数字作答）．
x 15．已知圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为__________． 16．关于函数f（x）= sin x 1 有如下四个命题：
sin x ①f（x）的图像关于y轴对称．
②f（x）的图像关于原点对称．
（2）用 max{a,b, c} 表示 a，b，c 的最大值，证明： max{a,b, c} ≥ 3 4 ．
2020 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题参考答案
选择题答案
6
一、选择题 1．C 5．B 9．D 非选择题答案 二、填空题 13．7 三、解答题
2．D 6．D 10．D
14．240
5
设函数 f (x) x3 bx c ，曲线 y f (x) 在点( 1 ，f( 1 ))处的切线与 y 轴垂直． 22
（1）求 b． （2）若 f (x) 有一个绝对值不大于 1 的零点，证明： f (x) 所有零点的绝对值都不大于 1．
（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
| P1Q1 |
10
，直线
P1Q1
的方程为
y
1 3
x
，点
A(5,
0)
到直线
P1Q1
的距离为
10 ，故 △AP1Q1 的面 2
积为 1 10 10 5 .
22
2
| P2Q2 |
130
，直线
P2Q2
的方程为
y
7 9
x
10 3
，点
A
到直线
P2Q2
的距离为
130 ，故△AP2Q2 的 26
面积为 1 130 130 5 .
绝密★启用前
2020 年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡
皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
所以 Sn (2n 1)2n1 2.
18．解：（1）由所给数据，该市一天的空气质量等级为 1，2，3，4 的概率的估计值如下表：
空气质量等级
1
2
3
4
概率的估计值
0.43
0.27
0.21
0.09
（2）一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值为 1 (100 20 300 35 500 4Fra bibliotek) 350 ．
锻炼人次
锻炼人次 空气质量等级
[0，200]
（200，400]
（400，600]
1（优）
2
16
25
2（良）
2020年全国卷理科数学真题试题后附答案(全国一二三卷)
全国Ⅰ卷理数1．设1i2i 1iz-=++，则||z = A ．0B ．12C ．1D ．22．已知集合{}220A x x x =-->，则A =RA ．{}12x x -<<B ．{}12x x -≤≤C ．}{}{|1|2x x x x <->D ．}{}{|1|2x x x x ≤-≥3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例，得到如下饼图：建设前经济收入构成比例 建设后经济收入构成比例则下面结论中不正确的是 A ．新农村建设后，种植收入减少B ．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上C ．新农村建设后，养殖收入增加了一倍D ．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 4．设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则=5aA ．12-B ．10-C ．10D ．12 5．设函数32()(1)f x x a x ax =+-+，若()f x 为奇函数，则曲线()y f x =在点(0,0)处的切线方程为A ．2y x =-B ．y x =-C ．2y x =D ．y x =6．在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =A ．3144AB AC- B ．1344AB AC -C ．3144AB AC +D ．1344AB AC +7．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图．圆柱表面上的点M 在正视图上的对应点为A ，圆柱表面上的点N 在左视图上的对应点为B ，则在此圆柱侧面上，从M 到N 的路径中，最短路径的长度为A ．172B ．5C ．3D ．28．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为23的直线与C 交于M ，N 两点，则FM FN ⋅= A ．5B ．6C ．7D ．89．已知函数e 0()ln 0x xf x x x ⎧≤=⎨>⎩，，，，()()g x f x x a =++．若g （x ）存在2个零点，则a 的取值范围是A ．[–1，0）B ．[0，+∞）C ．[–1，+∞）D ．[1，+∞）10．下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形．此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC 的斜边BC ，直角边AB ，AC ．△ABC 的三边所围成的区域记为I ，黑色部分记为II ，其余部分记为III ．在整个图形中随机取一点，此点取自I ，II ，III 的概率分别记为p 1，p 2，p 3，则A ．p 1=p 2B ．p 1=p 3C ．p 2=p 3D ．p 1=p 2+p 311．已知双曲线C ：2213x y -=，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N .若△OMN 为直角三角形，则|MN |= A ．32B ．3C ．23D ．412．已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面α所成的角相等，则α截此正方体所得截面面积的最大值为A 33B 23C ．324D 3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2020年全国卷Ⅲ普通高等学校招生全国统一考试理综生物高考试题(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试（新课标Ⅲ卷）理科综合生物能力测试一、选择题：本题共6小题，每小题6分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．关于真核生物的遗传信息及其传递的叙述，错误的是A．遗传信息可以从DNA流向RNA，也可以从RNA流向蛋白质B．细胞中以DNA的一条单链为模板转录出的RNA均可编码多肽C．细胞中DNA分子的碱基总数与所有基因的碱基数之和不相等D．染色体DNA分子中的一条单链可以转录出不同的RNA分子2．取燕麦胚芽鞘切段，随机分成三组，第1组置于一定浓度的蔗糖（Suc）溶液中（蔗糖能进入胚芽鞘细胞），第2组置于适宜浓度的生长素（IAA）溶液中，第3组置于IAA+ Suc溶液中，一定时间内测定胚芽鞘长度的变化，结果如图所示。
用KCI代替蔗糖进行上述实验可以得到相同的结果。
下列说法不合理的是A．KCI可进入胚芽鞘细胞中调节细胞的渗透压B．胚芽鞘伸长生长过程中，件随细胞对水分的吸收C．本实验中Suc是作为能源物质来提高IAA作用效果的D．IAA促进胚芽鞘伸长的效果可因加入Suc或KC1而提高3．细胞内有些tRNA分子的反密码子中含有稀有碱基次黄嘌呤（I），含有I的反密码子在与mRNA中的密码子互补配对时，存在如图所示的配对方式（Gly表示甘氨酸）。
下列说法错误的是A．一种反密码子可以识别不同的密码子B．密码子与反密码子的碱基之间通过氢键结合C．tRNA 分子由两条链组成，mRNA分子由单链组成D．mRNA中的碱基改变不一定造成所编码氨基酸的改变4．下列有关人体免疫调节的叙述，合理的是A．若病原体不具有细胞结构，就不会使人体产生抗体B．病原体裂解后再注射到人体，就不会使人体产生抗体C．病原体表面若不存在蛋白质分子，就不会使人体产生抗体D．病原体经吞噬细胞处理后暴露出的抗原可使人体产生抗体5．新冠病毒是一种RNA病毒。
新冠肺炎疫情给人们的生活带来了巨大影响。
2020年全国卷Ⅲ理综化学高考试题文档版(含答案)
2020年普通高等学校招生全国统一考试Ⅲ卷7．宋代《千里江山图》描绘了山清水秀的美丽景色，历经千年色彩依然，其中绿色来自孔雀石颜料(主要成分为Cu(OH)2·CuCO 3)，青色来自蓝铜矿颜料(主要成分为Cu(OH)2·2CuCO 3)。
下列说法错误的是 A ．保存《千里江山图》需控制温度和湿度B ．孔雀石、蓝铜矿颜料不易被空气氧化C ．孔雀石、蓝铜矿颜料耐酸耐碱D ．Cu(OH)2·CuCO 3中铜的质量分数高于Cu(OH)2·2CuCO 38．金丝桃苷是从中药材中提取的一种具有抗病毒作用的黄酮类化合物，结构式如下：下列关于金丝桃苷的叙述，错误的是 A ．可与氢气发生加成反应 B ．分子含21个碳原子 C ．能与乙酸发生酯化反应D ．不能与金属钠反应9．N A 是阿伏加德罗常数的值。
下列说法正确的是 A ．22.4 L(标准状况)氮气中含有7N A 个中子B ．1 mol 重水比1 mol 水多N A 个质子C ．12 g 石墨烯和12 g 金刚石均含有N A 个碳原子D ．1 L 1 mol·L −1 NaCl 溶液含有28N A 个电子10．喷泉实验装置如图所示。
应用下列各组气体—溶液，能出现喷泉现象的是11．对于下列实验，能正确描述其反应的离子方程式是A ．用Na 2SO 3溶液吸收少量Cl 2：323SO -+Cl 2+H 2O = 23HSO -+2Cl -+24SO -B ．向CaCl 2溶液中通入CO 2：Ca 2++H 2O+CO 2=CaCO 3↓+2H +C ．向H 2O 2溶液中滴加少量FeCl 3：2Fe 3+ +H 2O 2=O 2↑+2H ++2Fe 2+D ．同浓度同体积NH 4HSO 4溶液与NaOH 溶液混合：4NH ++OH －=NH 3·H 2O12．一种高性能的碱性硼化钒(VB 2)—空气电池如下图所示，其中在VB 2电极发生反应：32442VB 16OH 11e VO 2B(OH)4H O ----+-=++该电池工作时，下列说法错误的是A ．负载通过0.04 mol 电子时，有0.224 L(标准状况)O 2参与反应B ．正极区溶液的pH 降低、负极区溶液的pH 升高C ．电池总反应为3222444VB 11O 20OH 6H O 8B(OH)4VO ---+++=+D ．电流由复合碳电极经负载、VB 2电极、KOH 溶液回到复合碳电极 13．W 、X 、Y 、Z 为原子序数依次增大的短周期元素，四种元素的核外电子总数满足X+Y=W+Z ；化合物XW 3与WZ 相遇会产生白烟。
2024-2025学年高三一轮复习联考(三)_全国卷理数(含答案)
2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{12}A xx =<<∣，{||1}B x x =≤∣，则A B ⋃=（）A.[)12-，B.()2-∞，C.[)13-， D.[]12-，2.已知复数()i i 1z =+，则z =（）A.1B.C.D.23.已知命题p ：x ∀∈R ，220x x m -+>，则满足命题p 为真命题的一个充分条件是（）A.m>2B.0m <C.1m < D.m 1≥4.若函数()2220log 0x x x f x x x ⎧-=⎨>⎩，，，，则()2f f -=⎡⎤⎣⎦（）A.2- B.2C.3- D.35.已知{}n a 是各项不全为零的等差数列，前n 项和是n S ，且2024S S =，若()2626m S S m =≠，则正整数m =（）A.20B.19C.18D.176.已知平面向量a ，b满足a =，(b =，2a b -= ，则a 在b上的投影为（）A.B.1C.2D.7.函数()2e e 1x xf x x --=+在[]3,3-上的大致图象为（）A.B.C.D.8.已知角α的顶点与直角坐标系的原点重重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(2,)M m ，且sin 3α=-，则tan 2α=（）A.55-B.C.55-D.55或9.已知等比数列{}n a 满足21q ≠，24m n a a a =，（其中m ，*n ∈N ），则91m n+的最小值为（）A .6B.16C.32D.210.已知函数()cos 3f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，若()f x 在[]0a ，上的值域是112⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，则实数a 的取值范围为（）A .403π⎛⎤ ⎥⎝⎦， B.2433ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.23π∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭， D.2533ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，11.设4sin1a =，3sin2b =，2sin3c =，则（）A.a b c<< B.c b a<< C.c a b<< D.a c b<<12.已知函数14sin π,01()2,1x x x f x x x -<≤⎧=⎨+>⎩,若关于x 的方程2[()](2)()10f x m f x m --+-=恰有5个不同的实数解，则实数m 的取值集合为（）A.()35，B.[]35，C.()31--，D.[]31--，二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知1sin 62πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则2cos 23πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭___________.14.设m ，n 为不重合的直线，α，β，γ为不重合的平面，下列是αβ∥成立的充分条件的有___________（只填序号）.①m α⊂，//m β②m α⊂，n β⊥，n m ⊥③αγ⊥，βγ⊥④m α⊥，m β⊥15.已知数列{}n a 为递减数列，其前n 项和22n S n n m =-++，则实数m 的取值范围是___________.16.已知点A ，B ，C 均在球O 的球面上运动，且满足3AOB π∠=，若三棱锥O ABC -体积的最大值为6，则球O 的体积为___________.三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.17.已知函数()2cos 2cos 1f x x x x =-+，将函数()f x 的图象向左平移π3个单位长度，得到函数()g x 的图象.记ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，4a =，12bc =，12A g ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求角A ；（2）若角A 的平分线AD 交BC 于D ，求AD 的长.18.已知数列{}n a 满足()21112122222326n n n n n a a a a n -+-++++=-⋅+ .（1）求{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和n T .19.已知ABC 中，三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π4C =，cos cos 2cos a A c C b B +=.（1）求tan A .（2）若c =，求ABC 的面积.20.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，O 是BC 的中点，PB PC ==，22PD BC AB ===.（1）求证：平面PBC ⊥平面ABCD ；（2）求直线AD 与平面PCD 所成角的正弦值.21.已知函数()1ln 1f x x x=-+.（1）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）证明，对()0x ∀∈+∞，，均有()()11e 2ln 1f x x -+<++.22.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32212x a t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为22413sin ρθ=+.（1）求直线l 和曲线C 的直角坐标方程；（2）若曲线C 经过伸缩变换2x x y y⎧=⎪⎨⎪='⎩'得到曲线C '，若直线l 与与曲线C '有公共点，试求a的取值范围.23.已知函数()22f x x x t =++-（0t >），若函数()f x 的最小值为5.（1）求t 的值；（2）若a b c ，，均为正实数，且2a b c t ++=，求1412a b c++的最小值.2024届高三一轮复习联考（三）全国卷理科数学试题一､选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】A【2题答案】【答案】B【3题答案】【答案】A【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】C【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】A【9题答案】【答案】D【10题答案】【答案】B【11题答案】【答案】B【12题答案】【答案】C二､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】12 ##-0.5【14题答案】【答案】④【15题答案】【答案】()2,-+∞【16题答案】【答案】三､解答题：共70分.解答应㝍出文字说明､证明过程或演算政骤.第17-21题为必考题，每个试题考生者必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.【17题答案】【答案】（1）π3（2）13【18题答案】【答案】（1）21n a n =-；（2）2122323n n n T ++-=【19题答案】【答案】（1）tan 3A =（2）12【20题答案】【答案】（1）证明见解析（2）63【21题答案】【答案】（1）240x y +-=（2）证明见解析【22题答案】【答案】（1）:20l x a -=，2214x y +=（2）[]1,1-【23题答案】【答案】（1）3t =（2）16 3。
2020年全国卷Ⅲ理综物理高考试题(含答案)
绝密★启用前2020年普通高等学校招生全国统一考试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
二、选择题：本题共8小题，每小题6分，共48分。
在每小题给出的四个选项中，第14~18题只有一项符合题目要求，第19~21题有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，选对但不全的得3分，有选错的得0分。
14．如图，水平放置的圆柱形光滑玻璃棒左边绕有一线圈，右边套有一金属圆环。
圆环初始时静止。
将图中开关S由断开状态拨至连接状态，电路接通的瞬间，可观察到A．拨至M端或N端，圆环都向左运动B．拨至M端或N端，圆环都向右运动C．拨至M端时圆环向左运动，拨至N端时向右运动D．拨至M端时圆环向右运动，拨至N端时向左运动15．甲、乙两个物块在光滑水平桌面上沿同一直线运动，甲追上乙，并与乙发生碰撞，碰撞前后甲、乙的速度随时间的变化如图中实线所示。
已知甲的质量为1 kg，则碰撞过程两物块损失的机械能为A ．3 JB ．4 JC ．5 JD ．6 J16．“嫦娥四号”探测器于2019年1月在月球背面成功着陆，着陆前曾绕月球飞行，某段时间可认为绕月做匀速圆周运动，圆周半径为月球半径的K 倍。
已知地球半径R 是月球半径的P 倍，地球质量是月球质量的Q 倍，地球表面重力加速度大小为g ．则“嫦娥四号”绕月球做圆周运动的速率为 A ．RKgQPB ．RPKgQC ．RQgKPD ．RPgQK17．如图，悬挂甲物体的细线拴牢在一不可伸长的轻质细绳上O 点处；绳的一端固定在墙上，另一端通过光滑定滑轮与物体乙相连。
甲、乙两物体质量相等。
系统平衡时，O 点两侧绳与竖直方向的夹角分别为α和β。
全国卷Ⅲ理综高考试题word版含答案(2).doc
绝密★启用前2018 年一般高等学校招生全国一致考试理科综合能力测试注意事项：1．答卷前，考生务势必自己的姓名、准考据号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需变动，用橡皮擦洁净后，再选涂其余答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
可能用到的相对原子质量：H 1 C 12 N 14 O 16 Na 23 Mg 24 Al 27 S 32 Cr 52 Zn 65I 127一、选择题：此题共13个小题，每题 6 分，共 78 分。
在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的。
1．以下研究工作中由我国科学家达成的是A．以豌豆为资料发现性状遗传规律的实验B．用小球藻发现光合作用暗反响门路的实验C．证明 DNA 是遗传物质的肺炎双球菌转变实验D．首例拥有生物活性的结晶牛胰岛素的人工合成2．以下对于细胞的构造和生命活动的表达，错误的选项是A．成熟个体中的细胞增殖过程不需要耗费能量B．细胞的核膜、内质网膜和细胞膜中都含有磷元素C．两个相邻细胞的细胞膜接触可实现细胞间的信息传达D．哺乳动物造血干细胞分化为成熟红细胞的过程不行逆3．神经细胞处于静息状态时，细胞内外K+和 Na+的散布特点是A ．细胞外K+和 Na+浓度均高于细胞内B ．细胞外K+和 Na +浓度均低于细胞内C．细胞外K+浓度高于细胞内，Na+相反D ．细胞外K+浓度低于细胞内，Na+相反4．对于某二倍体哺乳动物细胞有丝分裂和减数分裂的表达，错误的选项是A．有丝分裂后期与减数第二次分裂后期都发生染色单体分别B．有丝分裂中期与减数第一次分裂中期都发生同源染色体联会C．一次有丝分裂与一次减数分裂过程中染色体的复制次数同样D．有丝分裂中期和减数第二次分裂中期染色体都摆列在赤道板上5．以下对于生物体中细胞呼吸的表达，错误的选项是A．植物在黑暗中可进行有氧呼吸也可进行无氧呼吸B．食品链上传达的能量有一部分经过细胞呼吸消散C．有氧呼吸和无氧呼吸的产物分别是葡萄糖和乳酸D ．植物光合作用和呼吸作用过程中都能够合成ATP6．某同学运用黑光灯诱捕的方法对农田中拥有趋光性的昆虫进行检查，以下表达错误的选项是A．趋光性昆虫是该农田生态系统的花费者B．黑光灯传达给趋光性昆虫的信息属于化学信息C．黑光灯诱捕的方法可用于检查某种趋光性昆虫的种群密度D．黑光灯诱捕的方法可用于研究该农田趋光性昆虫的物种数目7．化学与生活亲密有关。
2023年全国高考甲卷理数真题试卷及答案
2023年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁(∪)=（ ）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．23．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．894．已知向量,,a b c 满足1,a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉= （ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．455．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ）A ．158B ．658C ．15D ．406．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.47．设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）ABCD9．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）A ．120B ．60C ．30D ．2010．函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC 的面积为（ ）A．B．C．D．12．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A ．135BC ．145D二、填空题13．若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪⎝⎭为偶函数，则=a ________．14．若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．15．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．16．在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.(1)设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.010()20P k k ≥ 2.706 3.841 6.63520．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅=，求MFN △面积的最小值．21．已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)当8a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．22．已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23．设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．2023年高考全国甲卷数学（理）真题一、单选题1．设全集Z U =,集合{31,},{32,}M xx k k Z N x x k k Z ==+∈==+∈∣∣，∁(∪)=（ ）A ．{|3,}x x k k =∈Z B ．{31,}xx k k Z =-∈∣C ．{32,}xx k k Z =-∈∣D ．∅【答案】A【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出．【详解】因为整数集{}{}{}|3,|31,|32,x x k k x x k k x x k k ==∈=+∈=+∈Z Z Z Z ，U Z =，所以，∁∪=|=3,∈．故选：A ．2．设()()R,i 1i 2,a a a ∈+-=，则=a （ ）A ．-1B ．0 ·C ．1D ．2【答案】C【分析】根据复数的代数运算以及复数相等即可解出．【详解】因为()()()22i 1i i i 21i 2a a a a a a a +-=-++=+-=，所以22210a a =⎧⎨-=⎩，解得：1a =．故选：C.3．执行下面的程序框图，输出的B =（ ）A ．21B ．34C ．55D ．89【答案】B【分析】根据程序框图模拟运行，即可解出．【详解】当1k =时，判断框条件满足，第一次执行循环体，123A =+=，325B =+=，112k =+=；当2k =时，判断框条件满足，第二次执行循环体，358A =+=，8513B =+=，213k =+=；当3k =时，判断框条件满足，第三次执行循环体，81321A =+=，211334B =+=，314k =+=；当4k =时，判断框条件不满足，跳出循环体，输出34B =．故选：B.4．已知向量,,a b c 满足1,a b c === 0a b c ++= ，则cos ,a c b c 〈--〉= （ ）A ．45-B ．25-C ．25D ．45【答案】D【分析】作出图形,根据几何意义求解.【详解】因为0a b c ++=,所以+=−,即2222a b a b c ++⋅= ,即1+1+2⋅=2,所以0a b ⋅= .如图,设,,OA a OB b OC c ===,由题知,1,OA OB OC ==AB 边上的高2,2OD AD =所以2CD CO OD =+=1tan ,cos 3AD ACD CD ∠==cos ,cos a c b c ACB 〈--〉=∠ 5．设等比数列{}n a 的各项均为正数，前n 项和n S ，若11a =，5354S S =-，则4S =（ ）A ．158B ．658C ．15D ．40【答案】C【分析】根据题意列出关于q 的方程,计算出q ,即可求出4S .【详解】由题知()23421514q q q q q q ++++=++-,即34244q q q q +=+,即32440q q q +--=,即(2)(1)(2)0q q q -++=.由题知0q >,所以2q =.所以4124815S =+++=.故选:C.6．某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰，50%的同学爱好滑雪，70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学，若该同学爱好滑雪，则该同学也爱好滑冰的概率为（ ）A ．0.8B ．0.6C ．0.5D ．0.4【答案】A7．设甲：22sin sin 1αβ+=，乙：sin cos 0αβ+=，则（ ）A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件8．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y -+-=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A B C D9．现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（ ）A ．120B ．60C ．30D ．20【答案】B【分析】利用分类加法原理，分类讨论五名志愿者连续参加两天公益活动的情况，即可得解.【详解】不妨记五名志愿者为,,,,a b c d e ，假设a 连续参加了两天公益活动，再从剩余的4人抽取2人各参加星期六与星期天的公益活动，共有24A 12=种方法，同理：,,,b c d e 连续参加了两天公益活动，也各有12种方法，所以恰有1人连续参加了两天公益活动的选择种数有51260⨯=种.故选：B.10．函数()y f x =的图象由函数πcos 26y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向左平移π6个单位长度得到，则()y f x =的图象与直线1122y x =-的交点个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．42211．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为4的正方形，3,45PC PD PCA ==∠=︒，则PBC 的面积为（ ）A ．B ．C ．D ．因为底面ABCD 为正方形，AB =又3PC PD ==，PO OP =，所以又3PC PD ==，42AC BD ==，所以在PAC △中，3,42,PC AC ==因为底面ABCD 为正方形，AB =在PAC △中，3,45PC PCA =∠=则由余弦定理可得22PA AC PC =+17PA =，12．设O 为坐标原点，12,F F 为椭圆22:196x y C +=的两个焦点，点 P 在C 上，123cos 5F PF ∠=，则||OP =（ ）A ．135B C ．145D二、填空题13．若()()2π1sin 2f x x ax x ⎛⎫=-+++ ⎪为偶函数，则=a ________．故答案为：2.14．若x ，y 满足约束条件3232331x y x y x y -≤⎧⎪-+≤⎨⎪+≥⎩，设32z x y =+的最大值为____________．由图可知，当目标函数32y x =-由233323x y x y -+=⎧⎨-=⎩可得33x y =⎧⎨=⎩，即所以max 332315z =⨯+⨯=.故答案为：15．在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为AB ，11C D 的中点，以EF 为直径的球的球面与该正方体的棱共有____________个公共点．【答案】12【分析】根据正方体的对称性，可知球心到各棱距离相等，故可得解.【详解】不妨设正方体棱长为2，EF 中点为O ，取CD ，1CC 中点,G M ，侧面11BB C C 的中心为N ，连接,,,,FG EG OM ON MN ，如图，16．在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，由余弦定理可得，22222cos 60b b +-⨯⨯⨯ 0，解得：13b =+，S S =+12sin 60b ⨯⨯⨯三、解答题17．设n S 为数列{}n a 的前n 项和，已知21,2n n a S na ==．(1)求{}n a 的通项公式；(2)求数列12n n a +⎧⎫⎨⎬⎩的前n 项和n T ．18．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1A C ⊥底面ABC ，190,2ACB AA ∠=︒=，1A 到平面11BCC B 的距离为1．(1)证明：1A C AC =；(2)已知1AA 与1BB 的距离为2，求1AB 与平面11BCC B 所成角的正弦值．1AC ⊥ 底面ABC ，BC ⊂面ABC19．一项试验旨在研究臭氧效应.实验方案如下：选40只小白鼠，随机地将其中20只分配到实验组，另外20只分配到对照组，实验组的小白鼠饲养在高浓度臭氧环境，对照组的小白鼠饲养在正常环境，一段时间后统计每只小白鼠体重的增加量（单位：g ）.(1)设X 表示指定的两只小白鼠中分配到对照组的只数，求X 的分布列和数学期望；(2)实验结果如下：对照组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：15.2 18.8 20.2 21.3 22.5 23.2 25.8 26.5 27.5 30.132.6 34.3 34.8 35.6 35.6 35.8 36.2 37.3 40.5 43.2实验组的小白鼠体重的增加量从小到大排序为：7.8 9.2 11.4 12.4 13.2 15.5 16.5 18.0 18.8 19.219.8 20.2 21.6 22.8 23.6 23.9 25.1 28.2 32.3 36.5（i ）求40只小鼠体重的增加量的中位数m ，再分别统计两样本中小于m 与不小于的数据的个数，完成如下列联表：m<m≥对照组实验组（ii ）根据（i ）中的列联表，能否有95%的把握认为小白鼠在高浓度臭氧环境中与正常环境中体重的增加量有差异．附：()()()()22(),n ad bc K a b c d a c b d -=++++0k 0.1000.0500.01020．已知直线210x y -+=与抛物线2:2(0)C y px p =>交于,A B 两点，且||AB =(1)求p ；(2)设F 为C 的焦点，M ，N 为C 上两点，0FM FN ⋅= ，求MFN △面积的最小值．21．已知函数3sin π(),0,cos 2x f x ax x x ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭(1)当8a =时，讨论()f x 的单调性；(2)若()sin 2f x x <恒成立，求a 的取值范围．22．已知点(2,1)P ，直线2cos :1sin x t l y t αα=+⎧⎨=+⎩（t 为参数），α为l 的倾斜角，l 与x 轴正半轴，y 轴正半轴分别交于A ，B 两点，且||||4PA PB ⋅=．(1)求α；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求l 的极坐标方程．23．设0a >，函数()2f x x a a =--．(1)求不等式()f x x <的解集；(2)若曲线()y f x =与x 轴所围成的图形的面积为2，求a ．。
2024年高考全国甲卷理数-答案
2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）2．集合{}1,2,3,4,5,9,A BA ==，则∁AA (AA ∩BB )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y −−≥−−≤ +−≤ ，则5z x y =−的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2−D ．72−4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ） A ．2− B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b−=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F −，点()6,4P −在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）6．设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ） A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x x f x x x −=−+−在区间[2.8,2.8]−的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=−πtan 4α+=（ ）A ．1B ．1−CD ．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =−”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =−”是“//a b”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件 D ．“1x =−”是“//a b”的充分条件是两个平面，是两条直线，且①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n ⊥ 其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③. 【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α， 当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确； ②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误； ③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ∩=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误； ①③正确， 故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32BC D12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++−=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ） A ．2B ．3C ．4D ．【答案】C【分析】结合等差数列性质将c 代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解.【详解】因为,,a b c 成等差数列，所以2b a c =+，2c b a =−，代入直线方程0ax by c ++=得 20ax by b a ++−=，即()()120a x b y −++=，令1020x y −= += 得12x y = =− ，故直线恒过()1,2−，设()1,2P −，圆化为标准方程得：()22:25C x y ++=，故选C二、填空题13．1013x +的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r −和()213r r −，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，8115log log 42a a −=−，则=a ． 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间26 24 0 50乙车间70 28 2 100总计96 52 2 150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+则认为该工厂产品的优级品率提高了，根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d−=++++()2P K k≥0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+． (1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na −−，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．4,2AD AB BC EF ====，ED FB =M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M 在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =−+−．(1)当2a =−时，求()f x 的极值； 0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为cos 1ρρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x t y t a = =+（t 为参数），若C 与l 相交于A B 、两点，若2AB =，求a 的值.满足．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a −+−≥．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）直接利用22222()a b a b +≥+即可证明.（2）根据绝对值不等式并结合（1）中结论即可证明.。
2024年全国高考甲卷理数真题试卷含答案
2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）A ．10iB ．2iC ．10D ．2-2．集合{}{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则∁A (A ∩B )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2-D ．72-4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）A ．4B ．3C ．2D6．设函数()2e 2sin 1x xf x x+=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A．1B．1-CD．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“//b ”的必要条件C ．“0x =”是“a b ⊥”的充分条件D ．“1x =-”是“//a b ”的充分条件10．设αβ、是两个平面，m n 、是两条直线，且m αβ= .下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B=，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A．32B C D 12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，8115log log 42a a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =，设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++()2P K k ≥0.0500.0100.001k3.8416.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．19．如图，在以A ，B ，C ，D ，E ，F 为顶点的五面体中，四边形ABCD 与四边形ADEF 均为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；(2)求二面角F BM E --的正弦值．20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；(2)当0x ≥时，()0f x ≥恒成立，求a 的取值范围．22．在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.23．实数,a b 满足3a b +≥．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．2024年高考全国甲卷数学（理）一、单选题1．设5i z =+，则()i z z +=（ ）2．集合{}1,2,3,4,5,9,A B A ==，则∁A (A ∩B )=（ ）A ．{}1,4,9B ．{}3,4,9C ．{}1,2,3D ．{}2,3,53．若实数,x y 满足约束条件43302202690x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩，则5z x y =-的最小值为（ ）A ．5B ．12C ．2-D ．72-根据5z x y =-可得1155y x z =-，即则该直线截距取最大值时，z 有最小值，此时直线4．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若510S S =，51a =，则1a =（ ）A ．2-B ．73C ．1D ．25．已知双曲线2222:1(0,0)y x C a b a b-=>>的上、下焦点分别为()()120,4,0,4F F -，点()6,4P -在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（ ）6．设函数()2e 2sin 1x xf x x +=+，则曲线()y f x =在()0,1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为（ ）A ．16B ．13C ．12D ．237．函数()()2e e sin x xf x x x -=-+-在区间[ 2.8,2.8]-的大致图像为（ ）A ．B ．C ．D ．8．已知cos cos sin ααα=-πtan 4α⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．1B ．1-C D ．19．已知向量()()1,,,2a x x b x =+=，则（ ）A ．“3x =-”是“a b ⊥”的必要条件B ．“3x =-”是“ ”的必要条件10．设是两个平面，是两条直线，且.下列四个命题：①若//m n ，则//n α或//n β ②若m n ⊥，则,n n αβ⊥⊥③若//n α，且//n β，则//m n ④若n 与α和β所成的角相等，则m n⊥其中所有真命题的编号是（ ）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．①③④【答案】A【分析】根据线面平行的判定定理即可判断①；举反例即可判断②④；根据线面平行的性质即可判断③.【解析】①，当n ⊂α，因为//m n ，m β⊂，则//n β，当n β⊂，因为//m n ，m α⊂，则//n α，当n 既不在α也不在β内，因为//m n ，,m m αβ⊂⊂，则//n α且//n β，①正确；②，若m n ⊥，则n 与,αβ不一定垂直，②错误；③，过直线n 分别作两平面与,αβ分别相交于直线s 和直线t ，因为//n α，过直线n 的平面与平面α的交线为直线s ，则根据线面平行的性质定理知//n s ，同理可得//n t ，则//s t ，因为s ⊄平面β，t ⊂平面β，则//s 平面β，因为s ⊂平面α，m αβ= ，则//s m ，又因为//n s ，则//m n ，③正确；④，若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等，如果//,//αβn n ，则//m n ，④错误；①③正确，故选A.11．在ABC 中内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ，若π3B =，294b ac =，则sin sin A C +=（ ）A ．32B C D12．已知b 是,a c 的等差中项，直线0ax by c ++=与圆22410x y y ++-=交于,A B 两点，则AB 的最小值为（ ）故选C二、填空题13．1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，各项系数的最大值是 ．14．已知甲、乙两个圆台上、下底面的半径均为1r 和2r ，母线长分别为()212r r -和()213r r -，则两个圆台的体积之比=V V 甲乙．15．已知1a >，115log log 42a -=-，则=a ．16．有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球.记m 为前两次取出的球上数字的平均值，n 为取出的三个球上数字的平均值，则m 与n 差的绝对值不超过12的概率是 ．三、解答题17．某工厂进行生产线智能化升级改造，升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间70282100总计96522150(1)填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲，乙两车间产品的优级品率存在差异？(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p=，设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率.如果p p>+150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？12.247≈）附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++()2P K k≥0.0500.0100.001k 3.841 6.63510.82818．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，且434n n S a =+．(1)求{}n a 的通项公式；(2)设1(1)n n n b na -=-，求数列{}n b 的前n 项和为n T ．为等腰梯形，//,//BC AD EF AD ，4,2AD AB BC EF ====，ED FB ==M 为AD 的中点．(1)证明：//BM 平面CDE ；20．设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭在C 上，且MF x ⊥轴．(1)求C 的方程；(2)过点()4,0P 的直线与C 交于,A B 两点，N 为线段FP 的中点，直线NB 交直线MF 于点Q ，证明：AQ y ⊥轴．【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析由223412(4)x y y k x ⎧+=⎨=-⎩可得(34+()(42Δ102443464k k k =-+21．已知函数()()()1ln 1f x ax x x =-+-．(1)当2a =-时，求()f x 的极值；0f x ≥a．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为cos 1ρρθ=+.(1)写出C 的直角坐标方程；(2)设直线l ：x ty t a =⎧⎨=+⎩（t 为参数），若C 与l 相交于AB 、两点，若2AB =，求a 的值.【答案】(1)221y x =+满足．(1)证明：2222a b a b +>+；(2)证明：22226a b b a -+-≥．【答案】(1)见解析(2)见解析。
【全国1卷】【个题分析】(理科17)2020年高考全国Ⅲ卷数列题的研究
不仅仅只有错位相减法， 还有裂项相消法和待定系数法等方
法， 这体现了数学问题和方法的多样性， 掌握多种方法为我
们解题拓宽了新的思路， 也对培养和提高数学思维能力和数
学素养有很大的帮助.
（3） 近几年全国卷高考的解答题中， 数列大多以基础题
的形式出现. 主要是对基础知识， 基本技能， 基本思想和基本
活动经验的考查， 对这类问题我们要做到不丢分. 所以在平时
能够记住差比数列的前项和的形式才能够进行求解， 体现了
函数与方程的思想在解题中的应用. 而且此公式在教材中没有
给出， 所以不建议考生在解答题中直接应用， 但是可以借助
这个形式对自己的求解的结果做一个检验. 本题也可以由 SnSn-1=（2n+1）2n 列出方程组进行求解.
四、 归纳总结
(1) 数列通项公式是数列的核心内容之一， 构造法是求数
ｆ（n+1）与 ｆ（n）的差的形式的数列求和问题都可以用裂项相消
法. 用裂项相消法求差比数列的和时， 只需要用待定系数法把
通项公式裂成 ｆ（n+1）-ｆ（n）的形式即可 （其中 ｆ（n）=（kn+b）qn）.
此解法的优点在于运算量小， 准确率高， 但是需要考生能够
掌握差比数列通项公式裂项的技巧， 这个需要经过一定训练
(2) 数列求和的常用方法有公式求和法， 分组求和法， 裂
项相消法， 错位相减法， 并项求和法， 倒序相加法， 待定系
数法等. 在平时的学习中， 对数列求和的这些方法， 我们不仅
要知道它们适用的范围， 更应该知道这些方法所蕴含的数学
思想方法， 学法而不拘泥于法， 才能够在解题过程中做到融
会贯通， 得心应手. 从上述例题我们发现差比数列的求和问题