第八章量子统计
量子力学中的统计物理与量子统计
量子力学中的统计物理与量子统计量子力学是现代物理学的基石之一，它描述了微观粒子的行为和相互作用。
统计物理是量子力学的一个重要分支，研究的是大量粒子的集体行为。
而量子统计则是在量子力学的框架下研究多粒子系统的统计性质。
本文将介绍量子力学中的统计物理和量子统计的基本概念和应用。
首先，我们来了解一下统计物理的基本原理。
统计物理的核心思想是将微观粒子的运动和相互作用转化为宏观物理量的统计规律。
根据统计物理的理论，我们可以通过统计大量粒子的行为来预测宏观物理现象。
统计物理的基础是热力学，热力学是研究热能转化和能量守恒的学科。
通过热力学的概念和方法，我们可以推导出统计物理的基本公式和定律。
在量子力学中，统计物理的理论需要考虑粒子的波粒二象性和波函数的统计解释。
根据波函数的统计解释，我们可以将粒子分为玻色子和费米子。
玻色子是具有整数自旋的粒子，如光子；费米子是具有半整数自旋的粒子，如电子。
根据波函数的对称性，玻色子的波函数在粒子交换下不变，而费米子的波函数在粒子交换下发生符号变化。
在量子统计中，我们使用的是玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。
玻色-爱因斯坦统计适用于玻色子，它描述的是多个玻色子处于同一量子态的概率。
根据玻色-爱因斯坦统计，多个玻色子可以占据同一量子态，它们的波函数是对称的。
而费米-狄拉克统计适用于费米子，它描述的是多个费米子不可能处于同一量子态的概率。
根据费米-狄拉克统计，多个费米子不能占据同一量子态，它们的波函数是反对称的。
量子统计在实际应用中有着广泛的应用。
一个典型的例子是玻色-爱因斯坦凝聚（Bose-Einstein condensation，BEC）。
BEC是指在极低温下，玻色子聚集在一个量子态中形成凝聚态的现象。
这种凝聚态具有超流性和相干性等特殊性质，对于研究超导和超流现象有着重要意义。
BEC的实验观测证实了量子统计的存在，并为研究凝聚态物理提供了新的途径。
另一个重要的应用是费米子的统计行为。
量子统计系综的基本原理[整理]
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一．量子统计系综的基本原理1．近点统计系综理论统计力学研究的对象是大量粒子组成的系统。
它的目的是一物质微观结构的动力学行为作为依据，应用统计的方法，解释物体在宏观上、整体上表现出来的物理性质。
物质微观粒子的动力学状态遵从量子力学的规律，在此基础上建立的统计力学称为量子统计力学。
近点统计力学是量子统计力学的经典极限。
引进系综和系综平均的概念是系综理论主要内容。
我们知道统计力学区别于力学的主要点在于：它不像力学那样，追求系统在一定初始条件下任何时刻所处的确切的动力学状态；而认为系统的动力学状态准从统计规律。
大量处于相同宏观条件下,性质完全相同而各处于某一微观运动状态、并各自独立的系统的集合称为统计系综。
系综理论中重要的物理量是密度函数。
密度函数对于整个像空间的积分应是一个与时间无关的常数，等于相点的总数。
因此引进几率密度函数()t p q ,,ρ是很方便的。
几率密度函数()t p q ,,ρ随时间的变化满足方程{}0,=+∂∂H t ρρ这个方程称为刘伟方程。
它表明，只要给出某一时刻的几率密度函数就可以确定以后任意时刻的几率密度。
容易看出，()t p q ,,ρ的函数形式与系统的宏观状态有关。
如果系统处于平衡态，则几率密度函数必不显含时间，只能()p q ,是的函数。
在平衡态的系综理论中，经常用到微正则系综、正则系综、巨正则系综和等温等压系综。
组成微正则系综的系统的特征是系统的能量、体积和总粒子数恒定，满足()E H p q <=,0,ρ和E E H ∆+>与温度恒定的大热源相接触，具有确定粒子数和体积的系统组成的统计系综称为正则系综。
正则系综的宏观状态的特征是系统的体积、粒子数和温度恒定；与温度恒定的大热源和化学势恒定的大粒子源接触，体积一定的系统组成的统计系统系综称为巨正则系统，巨正则系统的宏观状态的特征是系统的体积、化学势和温度恒定巨正则分配函数由下式决定()()[]γβμβμβd N p q H V N ⎰⎰+-∑=Ξ≥,exp ,,0与温度恒定的热源相接触，并通过无摩擦的活塞与恒压强源相接触，粒子数恒定的系统所组成的统计系综称为等温等压系综。
物理学中的量子统计研究
物理学中的量子统计研究量子统计在物理学中是一个重要的研究领域，它涉及到了微观粒子的组态分布和热力学行为。
在量子力学的框架下，物理学家们发现粒子的物理性质与其能量状态有一定的关联性，由此导致了一些奇特的量子统计现象。
本文将探讨量子统计的相关知识，包括玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计等。
1. 玻色-爱因斯坦统计玻色-爱因斯坦统计是一种适用于玻色子（具有整数自旋的粒子）的统计学方法。
在此统计方法下，对所有可能的微观状态进行计数，并考虑它们之间的相互作用。
在低温下，玻色子的组态将趋向于聚集在单一能量状态中，且其关联性较强。
玻色-爱因斯坦统计具有一些特别的性质。
首先，该统计方法允许多个粒子同时占据同一个能级，这被称为玻色凝聚（或玻色-爱因斯坦凝聚）。
其次，在高能态下，玻色子之间的相互作用会导致排斥力的出现，从而限制了其组态的多样性，即存在着一个极限——玻色子最多只能占据一个能级。
玻色-爱因斯坦统计在许多物理问题的研究中都有应用，尤其是在介观尺度系统（如凝聚态物理、量子计算等）中。
同时，它也是Bose-Einstein凝聚（Bose-Einstein condensation）的基础，后者是指在极低的温度下，玻色子将聚集成一个宏观量级的波函数，从而展现出量子效应。
2. 费米-狄拉克统计费米-狄拉克统计是适用于费米子（具有半整数自旋的粒子）的统计学方法。
与玻色-爱因斯坦统计不同，费米-狄拉克统计要求系统中的不同粒子不能占据同一个能级，即被称为泡利不相容原理（Pauli exclusion principle）。
在费米-狄拉克统计下，如果所有粒子都处在能量状态$E_i$上，其总能量为：$$U=\sum\limits_i n_i E_i$$其中$n_i$表示占据能量状态$E_i$ 的粒子数，由于泡利不相容原理的存在，$n_i$仅可能取0或1。
所以，费米子的能量状态受到了限制，只能进行单粒子跃迁。
费米-狄拉克统计在理论物理和凝聚态物理中广泛应用。
物理学中的量子力学中的量子统计
物理学中的量子力学中的量子统计在物理学中，量子力学是一门关于微观物理现象的学科，它描述了物质的微观粒子在量子力学的背景下如何相互作用。
在量子力学中，量子统计是其中一个非常重要而独特的部分。
它是研究如何理解在多个粒子的状态会如何相互作用的问题。
在这篇文章中，我们将探讨量子统计的概念，并了解在物理学中它有哪些应用。
量子统计的基本概念量子统计是量子力学中一个非常有趣和非经典的概念，因为它描述的是“量子”行为的特性。
我们来看二元粒子系统为例。
在经典物理中，二元粒子系统会有三种可能性：两个粒子相距很远，两个粒子相互碰撞或两个粒子以较低的速度一起前进。
然而在量子力学中，这三种情况并不可行，这是因为量子力学描述的是“粒子波函数”代表的概率性质。
换句话说，在量子物理学中，粒子的态是实数空间中的一个向量，他会按照矢量空间的规则进行相互作用。
换句话说，一个粒子可以有正衣荷，但是一个量子是按照向量的规则进行叠加的。
这就是量子统计的本质。
我们知道，湮灭和创造算符对于描述量子态是非常重要的，它们满足反对易和交换关系。
不同类型的粒子有不同的处理方式。
包括费米子和玻色子。
由于玻色子不受排斥力影响，因此它们可以具有相同的量子态，并且可以将它们全部创造在一个单一的态中。
而费米子则不同，因为他们只能拥有单个量子态。
简而言之，费米子是不可以挤在一个量子态中的，比如说电子就是费米子。
量子统计在物理学中的应用理解量子统计的概念在物理学中有着重要的应用。
在凝聚态物理学中，量子统计被广泛应用于描述玻色子比如说超流体，以及费米子，比如说超导材料的特性。
量子统计也被运用于核物理学，以及固体物理的理论计算研究。
在物理学中也有很多其他的应用。
比如说，量子统计在计算机科学中的应用也很常见。
总之，量子统计是物理学中的一个重要组成部分。
虽然它的概念可能比较抽象，但是它是量子力学中的一个非常重要的基础概念。
对于理解粒子在量子层面上行为的知识有着至关重要的作用。
量子统计(统计力学部分)
σ ( E ,V , N ) 其中 σ ( E , V , N ) = σ0
∫
E = H ( qν , pν )
d σ (5.8)
然而,因为要对很高维的空间作复杂的曲面积分,根 据(5.8)直接计算在很多情况下是很不方便的,而对这 样空间计算体积还相对容易些,根据卡伐里尔(cMal蛤)原 理,这对于所需的计算已经足够了. ω(E,V,N)为总的相空间体积,其边界被能量曲面 E=H(qv ,pv) 和容器的空间坐标所给出.然后我们有:
第5章
微观状态数Ω与嫡S
问题:热力学具有很大的普遍性,是因为唯象地描述物质 宏观性质的方程是从经验中获得的,然而从物理学观点来 看,对这些方程的解释并不能令人满意. 解决方法:统计力学——宏观量是微观性质平均的结果. 统计力学的任务:定义取平均值过程的严格方法,指出微 观与宏观的联系.
相空间
对一经典的系统,知道了t时刻所有广义坐标qv(t)与广 义动量pv(t)就已经足够了,这些广义坐标与广义动量唯 一地确定系统的状态,因此,对一力学系统,可以把一 组(qv ,pv)v=1,…,3N理解为系统的微观态,这里我 们简单地对坐标与动量从1到3N记数,只要对坐标与动 量没有限制.一组(qv ,pv)可以理解为6N维空间中的一 个点.这空间称为经典的相空间. 相空间的一个确定点严格对应于整个系统运动的一个 微观态. 系统随时间的演变对应于相空间的一条曲线(qv(t) , pv(t)),称为相空间轨迹.它被哈密顿运动方程所确定:
概率最大的状态,即平衡态,是微观态数目最大的状态, 即 = max以及d =o 若我们将(5.15)表示为全微分, 则有: d = 2 d 1 + 1d 2 (5.16) 再用(5.15)除,得 (5.17) d ln = d ln 1 + d ln 2 平衡条件为: d ln = 0 ln = ln max (5.18) 从纯粹热力学观点来考虑同样的系统.当闭合系 统的内能U与总能量E一致时,熵由下式给: S ( E , V , N ) = S ( E , V , N ) + S ( E , V , N ) (5.19) 全微分为: d S = d S 1 + d S 2 (5.20)
量子统计学
量子统计学
量子统计学：
1. 什么是量子统计学？
量子统计学是一个新兴的研究领域，它融合了量子物理学、统计力学和信息论，研究非常复杂的量子体系动态变化，量化研究系统的动荡状态。
它可以帮助我们更好地理解量子系统和量子现象，从而探索新物质、新能源和新能量。
2. 量子统计学的重要性
量子统计学具有重要的数学原理，为解决和研究复杂的物理现象提供了另一种独特的视角。
它被广泛应用于物理系统的稳定性分析、分子动力学，以及细胞生化反应的动力学模拟等领域。
因此，量子统计学的研究对物理、化学、材料科学、生物学、医学等学科都有重要的重大影响。
3. 量子统计学的应用
量子统计学在多种研究领域都有应用。
在材料科学中，它可以用于研究新薄膜、非晶材料、量子点等新材料的性质；在生物医学研究中，它可以发掘大量的相关数据，从而为药物研发、基因疗法研究、再生医学研究、肿瘤治疗研究等fieldsの提
供有力的支持；在金融保险领域，量子统计学还可以应用于金融风控、投资决策和资产管理等领域。
总之，量子统计学在科学研究和产业发展中都扮演着重要的角色。
4. 量子统计学的未来发展
量子统计学正迅速发展着，将成为现代物理学、材料科学、化学和生物科学研究的基础和前沿技术。
同时，随着计算科学发展，量子统计学受到了计算机模拟的支持，它将更全面地改变与量子现象有关的科学研究和产业应用。
未来，应用量子统计学将带来巨大的发展和机遇，为我们更好地理解量子物理现象和量子统计学的奥秘提供有力的支持。
量子统计法 Boltzmann分布律
§4. 量子统计法
自然界的微观粒子分为两大类: 玻色子(Bose particle): 不遵守保利不相容原理; 费米子(Fermi particle): 遵守保利不相容原理.
一、Bose-Einstein统计： Bose子：一个量子态可容纳多个粒子. 宏观体系的热力学平衡态拥有数目极其巨 大的微观运动状态。这些微观运动状态存 在于各种不同的分布中。
分布：在 满足体系宏观条件 (如U、 V、 T等 )
的前提下，粒子在各能级上的分配方式。
• 设体系含N个玻色子, 其在能级上的一种分布 是:﹛Ni﹜ 能级： ∈0, ∈1, … , ∈i … 粒子数： N0, N1, … , Ni … 条件： ∑i Ni∈i = E; ∑i Ni = N W：分布﹛Ni﹜具有的微观运动状态数目. • 首先求某一能级的不同微观状态数(即配容数): 设: 能级的能量： ∈i 能级的简并度: gi 能级的粒子数: Ni
(7)
W =∏i (gi Ni / Ni!)
体系拥有的种微观运动状态数为:
(8) (9)
Ω= ΣW (ΣNi=N;
ΣNii=E)
求最可几分布：
W =∏i (gi Ni / Ni!) lnW=∑i(Nilngi－NilnNi + Ni)
令:
(10)
f =lnW=∑i(Ni lngi－NilnNi + Ni) (11)
• 此状态数的求算是一排列组合问题: • 共有gi + Ni个无素, 如图排列, 方框代表量子态, 圆球表示微观粒子, 方框后面的小球均处于此 方框所代表的量子态：
□ 0 □ □ 0 0 □ □ 0 0 0 □ ……
gi 种选择
统计力学简介
p x i , p y i , pz i
为使问题更加普遍， 为使问题更加普遍，引入广义坐标 和广义动量 N个质点 个质点
q1 , q 2 ,L , qs
p1 , p2 ,L , ps
s = 3N
E = H ( q 1 , q 2 ,L , q s , p1 , p2 ,L ps )
E = H ( q 1 , q 2 ,L , q s , p1 , p2 ,L ps )
微观运动状态
• 微观运动状态即“力学运动状态” 微观运动状态即“力学运动状态”
• 以一维为例解释： 以一维为例解释：
总能量
E =∑
1 2mi
E = K +U
2 2
( px i + p y i + pz i ) + U ( x 1 , y 1 , z 1 ,L x N , y N , z N )
2
E =∑
1 2mi
( px2i + p y2i + pz2i ) + U ( x 1 , y 1 , z 1 ,L x N , y N , z N )
& pz i = mi z i
设质点组是一个保守力系统 势能为
U ( x 1 , y 1 , z 1 , x 2 , y 2 , z 2 ,L , x N , y N , z N )
作用在第i个质点的力为 作用在第 个质点的力为
∂U Xi = − ∂x i
由牛顿定律可得
∂U Yi = − ∂y i
二、微观状态和宏观状态
• 系统的宏观状态由其宏观性质 ( T、P、V 等) 来描述； 来描述； 、 、 • 系统的微观状态是指体系在某一瞬间的状态； 系统的微观状态是指体系在某一瞬间的状态； – 在经典力学中体系的微观状态用相空间来描述； 在经典力学中体系的微观状态用相空间来描述； – 在量子力学中体系的微观状态用波函数ψ来描述； 在量子力学中体系的微观状态用波函数ψ来描述； • 相应于某一宏观状态的微观状态数（Ω）是个很大的 相应于某一宏观状态的微观状态数（ 则由玻尔兹曼公式： 数，若知体系的 Ω 值，则由玻尔兹曼公式：
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三、求A的统计平均值
N
l
e l 1
l
l 1 1 l （归一化） N l e 1
A 1 N
A e
l
l
l
1
6
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§8.2 弱简并理想气体
2 2 2 p p p x y z
在体积V内，ε~ ε+ dε能量范围内，分子可能的微观状态 数为 （g为可能的自旋 3/ 2 1/ 2 2 V D( )d g 3 (2m) d 而引入的简并度） h
7
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系统的总分子数和内能分别为
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2. 广义力
l l l Y al l （y为外参量—广义坐标） y 1 y l l e
l 1 e
l l
l
l
（巨配分函数）
Y 1 ln y
【实例】
2 mkT N gV 2 h
3/ 2e 1ຫໍສະໝຸດ 3/ 21 e 23/ 2
2 mkT U 3 gVkT 2 2 h
e 1
1 e 25/ 2
h e N gV 2 mkT 3 U NkT 1 N 2 4 2 gV
在T < Tc时Bose气体的内能是处在ε> 0 的粒子能量的 统计平均值：
T 3/ 2 2 V d U 3 (2m) / kT 0.770 NkT 0 e h 1 TC
3/ 2
3/ 2
CV U T
4. 实验验证
V
T 5 U 1.925Nk 2T TC
一、Bose系统
1. 内能
N al
l l
e
l
l
1
l
（系统平均粒子数）
l 1 e
l l
l
（引入的巨配分函数）
2
N ln , U l al ln l
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p 1 ln V
3
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3. 熵 dN d ln ln dy d ln dU Ydy y
d ln ln d ln d ln dy {Ξ=Ξ[α,β,ε(y)]} y
16
U ( , T )d
e h / kT
1
3 V d 2 3 h / kT d 1 c e 1
（ 辐射场内的内能—Planck公式）
（1）斯特藩－玻耳兹曼定律
U
0
2 4 k VT 4 U ( , T )d 3 3
15c
（2）维恩定律 辐射场能量的极大值位于：
3/ 2 nc (T ) n 1 T / Tc
【结论】在临界温度之下，粒子将可能占据能量最低位 置。绝对0度下Bose子将全部占据最低能级。 12
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在T < Tc时有宏观量级的粒子在最低能级处凝聚—— Bose-Einstein凝聚（BEC）。Tc称为凝聚温度，凝聚在基 态的粒子集合称为Bose凝聚体。
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§8.3 Bose-Einstein凝聚
在弱简并条件下， nλ3很小，其影响十分微弱。当理想 Bose气体的nλ3大于或等于2.612时将出现一个独特的现象 — —Bose-Einstein凝聚现象。 1. BEC理论
考虑，由N个全同、近独立的Bose子组成的系统。假设 粒子的自旋为0。
一般气体满足经典极限条件（非简并条件）eα>>1 时，可 以用玻耳兹曼分布处理；而简并性气体需要用玻色分布或费 米分布讨论。这里讨论的弱简并气体（ e-α或nλ3虽小但不可 忽略 ）可以初步显示出Bose气体和Fermi气体的差异。 为 简单起见，不考虑分子的内部结构，即只有平动自由度。
1
2m
2 (2m)3/ 2 1/ 2 d n 0 e / kTc 1 h3
2 (2mkT )3/ 2 x1/ 2 dx n c 0 e x 1 h3 2 2/ 3 2 Tc n 3/ 2 2.612 mk
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x / kTc
3/ 2
（1）1938年，提出已经完成的4He的λ相变可能是一种 Bose凝聚； （2）1995－1997年，通过激光冷却、磁光陷阱和蒸发 冷却技术实现了碱金属Rb、Na和Li蒸气的Bose凝聚。
14
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§8.4 光子气体
前面在讨论弱简并气体和BEC时，其系统的粒子数是确 定的。但对于平衡辐射问题，其粒子数是不守恒的，这是 Bose统计的重要应用。 根据粒子观点，可以把空窖内的辐射场看作光子气体。 空窖内的辐射场可以分解为无穷多个单色平面波的叠加。具 有一定波矢k和圆频率ω的单色平面波与具有一定动量p和能 量ε的光子对应：
2
3/ 2
（0级近似）
h 2 mkT
2
3/ 2
显然：第1项是Boltzmann分布得到的内能；第2项是由粒 子全同性原理引起的粒子统计关联所导致的附加值，弱简并情 形下附加值是小的。注意到，Fermi气体的附加值为正而Bose 气体的附加值为负。因此，粒子的统计关联使Fermion 间出现 等效的排斥作用，Boson间则出现等效的吸引作用。 9
1/ 2 3/ 2 2 V N g 3 (2m) d 0 e h 1 3/ 2 3/ 2 2 V U g 3 (2m) d 0 h e 1 1/ 2 3/ 2 2 V x N g 3 (2kTm) x dx 0 e h 1
1
n0 / n
0
1
T / Tc
2. 凝聚体的特性
（1）凝聚体能量为0。 （2）凝聚体动量为0: K2=2mε。 （3）凝聚体熵为0：因为凝聚体的微观状态完全确定。 （4）凝聚体压强为0：无动量，无相互碰撞，无压强。
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3. 凝聚温度下Bose气体的热容量
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4
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4. 热力学函数
J U TS N k ln
（巨热力学势）
二、Fermi系统
l 1 e
l l
l
l
（巨配分函数）
【说明】 （1）若知道粒子的能级和简并度，求出巨配分函数的对 数作为α(μ)、β(T)和y(V)的函数，然后再求出理想玻色(费米) 系统的基本热力学函数，从而确定系统的全部平衡性质。 （2）若给定的宏观量是N、T、V，则应令N=N，利用平 均粒子数公式建立N与α(μ)的关系。
al
e l 1
l
光子的自旋量子数为1，自旋在动量方向上的投影有2个 可能值（为什么？）相当于左右偏振光。因此在体积内、在 p～p＋dp动量范围内，光子的量子态数为
V p2 dp d 2 43 h 2 d V d 2 3 c
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2 4 4 U ln k3 V T 15c 3
（4）光子气体的压强
2 4 1 k T4 1U p ln V 3V 45c3 3
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（5）光子气体的熵
S k 2 ln ln k ln U 2 4 4 k V T 3V 45 c3 3
3/ 2 3/ 2 2 V x U g 3 (2mkT ) x dx 0 h e 1 x x 1 1 e 1 e x x x e 1 e (1 e )
x
8
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al
e 1 l （对所有能级成立）
（设最低能级为0）
10
( l ) / kT
i
0
0 0 0
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N al
l l
e(l ) / kT
1
l 1 D( )d 3 ( ) / kT 0 e 1 1 h
第八章 量子统计
§8.1 热力学量的统计表述； §8.2 弱简并理想气体；
§8.3 Bose-Einstein凝聚；
§8.4 光子气体；
§8.5 自由电子气体
1
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§8.1 热力学量的统计表述
玻耳兹曼分布适用于定域系统和满足经典极限条件（非 简并条件）的量子系统。满足经典极限条件的气体称为非简 并气体。反之为简并气体，需要用玻色或费米分布处理—具 有T、V、μ的系统。将会看到：微观粒子的全同性原理带来 的量子统计关联对简并气体的宏观性质产生决定性的影响。
d U (, T ) 0 d
m 2.822 Tk
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（3）光子气体的内能
l
ln l ln 1 e l
V 2 3 2 ln 1 e l d c 0 2 V3 1 3 45c
p k