量子力学——算符
量子力学力学量用算符表达
,
y
i
x,
lˆx
,
z
i
y,
lˆy , z i x,
lˆz , z 0.
推出
lˆ , x ε i x
Levi-Civita符号
ε 是一个三阶反对称张量，定义如下：
ε ε ε
, , 1, 2,3或x, y, z
ε123 1
整理课件
9
还可以证明:
lˆ , pˆ ε i pˆ ,
第3章
力学量用算符表达
整理课件
1
3.1 算符的运算规则
量子力学中的算符, 表示对波函数(量子态)的一 种运算.例如
讨论
d ,V (r) , , 2
dx
量子力学中算符的一般性质:
(a)线性算符
凡满足下列规则的算符 Aˆ , 称为线性算符，
Aˆ c11 c2 2 整理c课1A件ˆ1 c2 Aˆ 2
ˆˆ ˆˆ
这是算符与通常数的运算规则的唯一不同之处!
整理课件
5
由下列关系式:
xpˆ x pˆ x x i ,
xpˆ y pˆ y x 0,
ypˆ y pˆ y y i ,
zpˆ z pˆ z z i ,
xpˆ z pˆ z x 0
概括
量子力学中最基本的对易关系:
x pˆ pˆ x i δ
n0 n!
则可定义算符 ˆ 的函数 F ˆ 为
例如 不难看出
F ˆ F n 0ˆ n n0 n!
F x eax , 可定义
F
d dx
ad
e dx
n0
an n!
dn dxn
.
ad
e dx
x
x
量子力学算符理论
量子力学算符理论量子力学算符理论是研究量子力学中的算符和其性质的一门学科。
在量子力学中，算符是用来描述物理量的数学对象，它们对应于实验中可以测量的物理量，例如位置、动量、能量等。
算符理论为我们提供了一种有效的方式来描述和计算量子系统的性质和行为。
一、算符的基本概念在量子力学中，算符是用来描述观测值的操作。
算符可以作用于态矢量，产生一个新的态矢量或者观测值。
量子力学中的算符是线性的，在数学上可以表示为一个矩阵。
我们使用希腊字母表示算符，例如用$\hat{A}$表示算符A。
算符通常具有以下性质：1. 线性性质：对于任意的态矢量$\psi_1$和$\psi_2$，以及实数a和b，有$\hat{A}(a\psi_1+b\psi_2)=a\hat{A}\psi_1+b\hat{A}\psi_2$。
2. 厄米性：如果算符$\hat{A}$满足$\hat{A}^{\dagger}=\hat{A}$，即算符$\hat{A}$的厄米共轭等于自身，则称该算符为厄米算符。
3. 算符的作用：算符可以作用于态矢量，产生一个新的态矢量或者观测值。
例如，位置算符就可以作用于一个态矢量，得到该态矢量在空间中的位置。
二、算符的性质和数学表达量子力学中的算符具有多个重要的性质和数学表达。
下面列举几个常用的例子：1. 算符的本征值和本征态：算符$\hat{A}$的本征值是对应于本征态的观测值，即在该本征态下，对应的物理量的测量结果。
本征态是算符作用下不发生改变的态矢量。
记本征值为$a$，本征态为$\psi_a$，则有$\hat{A}\psi_a=a\psi_a$。
2. 算符的对易关系：对于两个算符$\hat{A}$和$\hat{B}$，定义它们的对易子为$[\hat{A},\hat{B}]=\hat{A}\hat{B}-\hat{B}\hat{A}$。
如果两个算符的对易子为零，即$[\hat{A},\hat{B}]=0$，则称这两个算符是可对易的。
量子力学算符
量子力学算符量子力学是描述微观世界的基础理论，它通过使用数学算符来描述和计算微观粒子的性质和运动。
在量子力学中，算符是表示物理量的数学对象，与经典物理中的变量相对应。
本文将探讨量子力学算符的定义、性质和应用。
一、算符的定义在量子力学中，算符是对量子态进行操作的数学工具。
算符可以表示物理量，如位置、动量、能量等，也可以表示物理过程，如时间演化等。
算符通常用大写字母表示，如X、P、H等。
算符的本质是一个线性映射，它将一个量子态映射为另一个量子态。
量子态可以用波函数表示，在量子力学中，波函数描述了量子系统的状态。
算符作用在波函数上，将其转换为另一个波函数。
二、算符的性质1. 线性性质：算符是线性操作，满足线性叠加原理。
例如，对于两个波函数ψ1和ψ2，以及常数a和b，有A(aψ1 + bψ2) = aAψ1 + bAψ2。
2. 厄米性质：算符的厄米性质与其自伴性有关。
若算符A满足A†= A，则称A为厄米算符。
厄米算符的本征值是实数，并且本征态之间正交。
3. 正规性质：算符的正规性质与其对易性有关。
若算符A和B满足AB-BA = 0，则称A和B是对易的。
对于对易的算符，可以找到同时具有相同本征态的共同本征态。
三、算符的应用1. 算符的测量：在量子力学中，算符可以用来测量物理量。
例如，位置算符X可以测量粒子的位置，动量算符P可以测量粒子的动量。
测量的结果是算符的本征值，而测量后的量子态为对应本征值的本征态。
2. 算符的演化：算符可以描述量子系统的演化。
薛定谔方程描述了量子系统随时间的演化，其中哈密顿算符H起到了重要的作用。
哈密顿算符确定了系统的能量本征值和能量本征态。
3. 算符的相互作用：在量子力学中，不同算符之间可以相互作用。
例如，位置算符和动量算符满足不确定性原理，它们之间的对易关系导致了量子系统的不确定性和局域性。
四、结论量子力学算符是描述和计算量子系统的重要工具。
算符的定义、性质和应用使得我们能够更好地理解和解释微观世界中的现象。
高等量子力学_第二章_算符
条件（1） ：在值域中取一任意 ，证明在定义域有 存在：
1 AB AB
可见对于任意 ，确有 存在，这个 就是 B 。
条件（2） ：若 A 1 A 2 ，用 C 作用在此式两边：
CA 1 CA 2
但此式就是 1 2 ，条件(2)也得到满足，因此 A1 存在。
§2-2 算符的代数运算
在量子力学中，经常出现不可对易线性算符的代数运算， 在这一小节里，我们举几个较复杂的运算例子；并且用代数方 法证明两个常用的算符等式（2.9）和（2.14）两式。
设 A 和 B 为两个线性算符，互不对易。首先我们定义多重对 易式 [ Ai , B]和[ B, Ai ] ：
A A A A a A a
(2.1)
满足下列二条件的，称为反线性算符：
A A A A a A a
*
(2.2)
其中a是任意常数。在量子力学中出现的算符，绝大多数都是线 性算符，下面我们只讨论线性算符。 算符对其定义域中每一个右矢作用，都应有确定的结果。 定义一个具体的算符应当规定其定义域，并指出它对其定义域 中每一个矢量作用的结果。而确定一个具体的线性算符，只须 规定它对其定义域中的一组线性无关的右矢（例如一组基矢） 中每个右矢的作用结果即可。
A B
若两个算符 A和B 满足
[ A, B] AB BA
AB BA
则说这两个算符是可对易的，或称为两个算符对易。 定义： (2.2)
经常使用的几个对易关系：
ˆ ˆ ˆ ˆ [ F , G ] [G , F ]
ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ [F , G M ] [F , G ] [F , M ]
量子力学之算符
i
但是坐标算符与其非共轭动量 对易，各动量之间相互对易。
x pˆ pˆ x i
pˆ pˆ pˆ pˆ 0
, x, y, z
量子力学中最基本的 对易关系。
xpˆ y pˆ y x 0
xpˆ z
pˆ z
x
0
pˆ x pˆ y pˆ y pˆ x 0
ypˆ x pˆ x y 0 zpˆ x pˆ xz 0
~ x
x
)
0
由于ψ、φ是 任意波函数,
( ~ x
x
)
0
~ x
x
所以
同理可证:
~ pˆ x pˆ x
可以证明： ( Aˆ Bˆ ) B~ˆ A~ˆ
(11)厄密共轭算符
算符 Ô 之厄密共轭算符 Ô + 定义:
由此可得：:
d *Oˆ d (Oˆ )*
d *Oˆ d (Oˆ )*
pˆ* (i)* i pˆ
（10）转置算符
算 符Uˆ 的 转 置 算 符U~ˆ 定 义 为 ：
d *U~ˆ dUˆ *
式中 和 是两个任意函数。
例1：
~ x
x
证：
dx
*
~ x
利用波函数标准条件: 当|x|→∞ 时ψ,→ 0。
dx
x
*
* |
dx
*
x
dx
*
x
dx
*
(
（2）算符相等
若两个算符 Ô 、Û 对体系的任何波函数 ψ的运算结果都相 同，即Ô ψ= Û ψ，则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û 。
（3）算符之和
Hˆ Tˆ Vˆ
表明
Ham ilton算 符Hˆ 等 于
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是理论物理学中的重要分支，用于描述微观世界的粒子行为。
在量子力学中，算符是解释和计算系统性质的工具。
算符是操作符号，表示对物理量进行测量或变换的数学操作。
本文将探讨量子力学中的算符及其应用。
一、算符的基本概念在量子力学中，算符是一个函数，作用于量子力学中的态函数，给出经典力学量对应的观测值。
算符通常用大写字母表示，如位置算符X、动量算符P、能量算符H等。
算符的本质是线性变换，它可以将一个态函数变换为另一个态函数。
二、算符的性质1. 线性性：算符对态函数具有线性性质，即对任意态函数ψ和φ以及实数a和b，有A(aψ + bφ ) = aAψ + bAφ。
2. 非可交换性：在量子力学中，算符通常是非可交换的。
即A * B ≠ B * A，其中A和B分别表示两个算符。
3. 唯一性：每个物理量在量子力学中都对应一个唯一的算符。
4. 厄米性：若算符A满足A = A†，则称其为厄米算符。
具有良好的厄米性质的算符对应的物理量是实数。
三、常见算符1. 位置算符X：位置算符表示粒子在空间中的位置。
在一维情况下，位置算符为X = x，其中x是位置的本征值。
2. 动量算符P：动量算符描述粒子的运动状态。
动量算符P = -iħ∂/∂x，其中ħ是普朗克常数，∂/∂x是对位置的偏微分运算。
3. 能量算符H：能量算符描述系统的能量状况。
能量算符H作用于态函数时，能得到对应的能量本征值。
4. 自旋算符S：自旋算符用于描述粒子的自旋性质。
自旋算符具有非常特殊的性质，包括与角动量算符的关系等。
四、算符的应用算符在量子力学中具有重要的应用，下面分别介绍测量算符和演化算符两个方面。
1. 测量算符：量子力学中，算符的本质是测量物理量的工具。
测量算符用于计算在特定状态下的观测值。
以位置算符X为例，测量算符作用于态函数时，能够得到粒子在空间中的位置。
通过测量算符，可以确定微观量子系统的性质。
2. 演化算符：演化算符描述了量子力学中的态函数随时间的演化。
量子力学中的算符
量子力学中的算符量子力学是描述微观粒子行为的理论，其基本概念之一就是算符。
算符（operator）是量子力学中的基本数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文将从算符的定义、性质以及在量子力学中的应用等方面进行探讨。
一、算符的定义和性质在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，用于描述系统的状态演化和物理量的测量。
算符作用在量子态上，改变其状态或作用于态矢量的波函数。
1. 算符的基本性质算符具有线性性质，即对于任意的复数a和量子态|ψ⟩、|φ⟩，有：A(a|ψ⟩+ b|φ⟩) = aA|ψ⟩+ bA|φ⟩其中A为算符。
2.算符的厄米性在量子力学中，与每个物理量都有对应的算符。
一个算符是厄米算符，当且仅当它等于其自身的共轭转置，即：A† = A3.算符的本征值与本征态对于算符A，若存在一个常数a和一个非零的量子态|ψ⟩，满足：A|ψ⟩= a|ψ⟩则称a为算符A的本征值（eigenvalue），|ψ⟩为相应的本征态（eigenstate）。
二、算符在量子力学中的应用算符在量子力学中有广泛的应用，下面以几个典型例子来说明其用途。
1.位置算符和动量算符在量子力学中，位置和动量是物理量的基本概念。
对于位置算符X和动量算符P，其定义分别为：X = x，P = -iℏ(d/dx)其中x是位置的算符，ℏ是普朗克常数。
2.哈密顿算符哈密顿算符H在量子力学中描述了体系的能量。
在定态情况下，哈密顿算符作用于波函数后应得到该态的能量值，即：H|ψ⟩= E|ψ⟩其中E为能量的本征值，|ψ⟩为相应的能量本征态。
3.时间演化算符在量子力学中，时间演化算符描述了系统随时间的演化。
设系统在初始时刻t=0时处于量子态|ψ(0)⟩，则该态在后续时刻t的演化由时间演化算符U(t)给出，即：|ψ(t)⟩= U(t)|ψ(0)⟩三、结语算符是量子力学中的重要数学工具，用于描述物理量的测量和演化。
本文介绍了算符的定义、性质以及在量子力学中的应用。
量子力学第三章算符
第三章 算符和力学量算符3.1 算符概述设某种运算把函数u 变为函数v ，用算符表示为：ˆFuv = （3.1-1） ˆF 称为算符。
u 与v 中的变量可能相同，也可能不同。
例如，11du v dx=，22xu v =3v =，(,)x t ϕ∞-∞，(,)x i p x hx edx C p t -=，则ddx，x dx ∞-∞⎰，x ip x he-⋅都是算符。
1．算符的一般运算（1）算符的相等：对于任意函数u ，若ˆˆFuGu =，则ˆˆG F =。
（2）算符的相加：对于任意函数u ，若ˆˆˆFuGu Mu +=，则ˆˆˆM F G =+。
算符的相加满足交换律。
（3）算符的相乘：对于任意函数u ，若ˆˆˆFFu Mu =，则ˆˆˆM GF =。
算符的相乘一般不满足交换律。
如果ˆˆˆˆFGGF =，则称ˆF 与ˆG 对易。
2．几种特殊算符 （1）单位算符对于任意涵数u ，若ˆIu=u ，则称ˆI 为单位算符。
ˆI 与1是等价的。
（2）线性算符对于任意函数u 与v ，若**1212ˆˆˆ()F C u C v C Fu C Fv +=+，则称ˆF 为反线性算符。
（3）逆算符对于任意函数u ，若ˆˆˆˆFG u G F u u ==则称ˆF 与ˆG 互为逆算符。
即1ˆˆG F -=，111ˆˆˆˆˆˆ,1FG FF F F ---===。
并非所有的算符都有逆算符，例如把零作为算符时，称之为零算符，零算符就没有逆算符。
对于非齐次线性微分方程：ˆ()()Fux af x =，其中ˆF 为ddx与函数构成的线性算符，a 为常数。
其解u 可表示为对应齐次方程的通解u 。
与非齐次方程的特解υ之和，即0u u v =+。
因0ˆ0Fu =，所以不存在1ˆF -使100ˆˆF Fu u -=。
一般说来，在特解υ中应允许含有对应齐次方程的通解成分，但如果当a=0时，υ=0，则υ中将不含对应齐次方程的通解成分，这时存在1ˆF-使11ˆˆˆˆFFv FF v v --==，从而由ˆFvaf =得：1ˆF af υ-=。
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换另一种方法，设定
其中，
是狄拉克δ函数。
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，动量算符的 本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 都可以表达为本征函数的线性组合：
其中，系数
是
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三、角动量算符
在量子力学里，角动量算符(angular momentum operator) 是一种算符，类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋 转对称性(rotational symmetry)的理论里，角动量算符占有 中心的角色。角动量，动量，与能量是物体运动的三个基 本特性
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2.1动量算符 导引 (3)
将上述两个方程代入方程 (1)，可以得到
使用分部积分法，
(2) (3)
方程 (2) 与 (3) 的减差是
所以， 对于任意波函数 ，这方程都成立。 为
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因此，我们可以认定动量算符
。
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2.2 （动量算符）本征值与本征函数 (1)
假设，动量算符 的本征值为 的本征函数是 ：
采用球坐标。展开角动量算符的方程：
其中， 转换回直角坐标，
，分别为径向单位矢量、天顶角单位矢量、与方位角单位矢量。
其中， 所以，
，分别为 x-单位矢量、y-单位矢量、与 z-单位矢量。 分别是
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (2)
角动量平方算符是 其中，
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (3)
思考
与
的交换算符，
由于两者的对易关系不等于 0 ， 与 同的基底量子态。一般而言，
彼此是不相容可观察量。 与 的本征态不同。 ，所有本征值为
绝对不会有共
的本征态与
给予一个量子系统，量子态为 态
。对于可观察量算符
的本征
， =1,2,3…. 形成了一组基底量子态。量子态 。 ，所有本征值为 的本征态
可以表达为这基底量子态的线
性组合：
对于可观察量算符 底量子态。量子态
， =1,2,3….形成了另外一组基
可以表达为这基底量子态的线性组合：
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3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系（2）
根据哥本哈根诠释，量子测量可以用量子态坍缩机制来诠释。假若，我们测量可观察 量 ，得到的测量值为其本征值 ，则量子态几率地坍缩为本征态 ，量子态仍旧处于 。假若，我 。 ，而会坍缩
其中， 是动量算符， 是约化普朗克常数， 给予一个粒子的波函数
是虚数单位， 是位置。
，我们可以计算这粒子的动量的期望值：
其中， 是动量
目录
2.1 2.2 2.3 2.4 动量算符导引 本征值与本征函数 厄米算符 正则对易关系
动量算符中也包含厄米算符、正则对易关系的内容，详见1.1、1.3
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2.1动量算符 导引 (1)
对于一个非相对论性的自由粒子，位势 ，不含时薛定谔方程表达为 其中， 是约化普朗克常数， 是粒子的质量， 的能量。 这薛定谔方程的解答 其中， 是波数， 是一个平面波： 。 是粒子的波函数， 是粒子的位置， 是粒子
根据德布罗意假说，自由粒子所表现的物质波，其波数与自由粒子动量的关系是 自由粒子具有明确的动量 ，给予一个系综许多相同的自由粒子系统。每一个自由粒子系统的 量子态都一样。标记粒子的动量算符为 。假若，对于这系综内，每一个自由粒子系统的动量 所作的测量，都得到同样的测量值 ，那么，不确定性 ，这自由粒子的量子态是确定 态，是 的本征态，在位置空间(position space)里，本征函数为 ，本征值为 ： 换句话说，在位置空间里，动量算符的本征函数必须是自由粒子的波函数 为了要达到此目标，势必要令 所以，可以认定动量算符的形式为
因此， 是一个厄米算符。类似地， 与 总结，角动量算符是厄米算符。 总结，角动量算符是厄米算符 再思考 算符， 为 算符、
其伴随算符 由于 所以， 算符、
算符都是厄米算符，
算符是厄米算符
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3.4 对易关系
两个算符
与
的交换算符
，表
示出它们之间的对易关系
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3.4.1角动量算符算符与自己的对易关系 （1）
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3.1 角动量算符 简介
角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系 统里，如同能量和动量，角动量是守恒的。在量子力 学里，角动量算符的概念是必要的，因为角动量的计 算实现于描述量子系统的波函数，而不是经典地实现 于一点或一刚体。在量子尺寸世界，分析的对象都是 以波函数或量子幅来描述其几率性行为，而不是命定 性(deterministic)行为。
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[1]。
2.1动量算符 导引 (2)
在经典力学里，动量是质量乘以位置随时间的全导数： 在量子力学里，由于粒子的位置不是明确的，而是几率性的。所以，我们猜想这句话 是以期望值的方式来实现[2]： 那么，用积分方程来表达， 其中， 是波函数。 取微分于积分号下， 由于 只是一个位置的统计参数，不相依于时间， (1) 含时薛定谔方程为 其中， 是位势。 其共轭复数为
量子力学
算 符
目录
一、位置算符
1.1 厄米算符 1.2 （位置算符）本征值与本征函数 1.3 正则对易关系
七、自旋算符
7.1 概论 7.2 发展史 7.3 自旋量子数
7.3.1 基本粒子的自旋 7.3.2 亚原子粒子的自旋 7.3.3 原子和分子的自旋 7.3.4 自旋与统计
二、动量算符
2.1 动量算符导引 2.2 （动量算符）本征值与本征函数 2.3 厄米算符 2.4 正则对易关系
7.5 自旋与磁矩 7.6 量子力学中关于自旋的数学表示
7.6.1 自旋算符 7.6.2 自旋与泡利不相容原理 7.6.3 自旋与旋转 7.6.4 自旋与洛伦兹变换 7.6.5 泡利矩阵和自旋算符 7.6.6 沿x, y和 z 轴的自旋测量 7.6.7 沿任意方向的自旋测量 7.6.8 自旋测量的相容性 7.6.9 自旋1/2
这性质不是普通的正交归一性。称这性质为狄拉克正交归一性。因为这性质，位置算 符的本征函数是完备的。也就是说，任意波函数 合：
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都可以表达为本征函数的线性
1.3正则对易关系
位置算符与动量算符的交换算符，当作用于一个波函数时，有一个简单的结果： 所以， 。
这关系称为位置算符与动量算符的正则对易关系。由于两者的正则对易关系不等 于 0 ，位置与动量彼此是不相容可观察量。 态。一般而言， 的本征态与 与 绝对不会有共同的基底量子
经过一番繁杂的运算，终于得到想要的方程
满足算符
的本征函数是球谐函数 是正整数。
：
其中，本征值
球谐函数也是满足算符 其中，本征值
微分方程的本征函数： 。
是整数，
因为这两个算符的正则对易关系是 0 ，它们可以有共同的本征函数。 球谐函数 表达为
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (4)
球谐函数 表达为 其中， 是虚数单位， 是伴随勒让德多项式，用方程定义为
而
是 阶勒让德多项式，可用罗德里格公式表示为：
球谐函数满足正交归一性：
这样，角动量算符的本征函数，形成一组单范正交基。任意波函数 这单范正交基的线性组合： 其中，
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都可以表达为
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四、哈密顿算符
（1）
量子力学中，哈密顿算符(Hamiltonian) H 为一个可观测量，对应于系统 的总能量。一如其他所有算符，哈密顿算符的谱为测量系统总能时所有可 能结果的集合。如同其他自伴算符，哈密顿算符的谱可以透过谱测度 (spectral measure)被分解，成为纯点(pure point)、绝对连续(absolutely continuous)、奇点(singular)三种部分。纯点谱与本征矢量相应，而后者 又对应到系统的束缚态(bound states)。绝对连续谱则对应到自由态(free states)。奇点谱则很有趣地由物理学上不可能的结果所组成。举例来说， 考虑有限深方形阱的情形，其许可了具有离散负能量的束缚态，以及具有 连续正能量的自由态。
的本征态不同。
根据不确定性原理，
由于 所以，
与
是两个不相容可观察量，
。
的不确定性与 的不确定性的乘积 ，必定大于或等于
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二、动量算符
在量子力学里，动量算符(momentum operator)是一种算符，可以用来计算一个或多个粒 子的动量。对于一个不带电荷、没有自旋的粒子，作用于波函数 为 的动量算符可以写
定性原理，我们可以同时地测量到
类似地，
与
之间、 与
之间，都分别拥有类似的物理特性。
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3.4.4 在经典力学里的对易关系
在经典力学里，角动量算符也遵守类似的对易关系：
其中，﹛,﹜ 是泊松括号， 号， ，代表直角坐标
是列维-奇维塔符
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3.5 (角动量) 本征值与本征函数 (1)
们立刻再测量可观察量
，得到的答案必定是
可是，假若，我们改为测量可观察量 为
，则量子态不会停留于本征态
的本征态。假若，得到的测量值为其本征值
，则量子态几率地坍缩为本征态
根据不确定性原理， 的不确定性与 与 之间， 与 的不确定性的乘积 之间，也有类似的特性。 ，必定大于或等于 。
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3.4.2 角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系
这方程的一般解为， 其中， 是常数。 假设 的定义域是一个有限空间，从x =-L 到 x=L ，那么，我们可以将 归一化：