量子力学 算符之间的对易关系
3.7算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系
§3.6算符的对易 两力学量同时有确定值的条件 不确定关系 一． 算符的对易关系对易关系(对易式)为了表述简洁，运算便利和研究量子力学与经典力学的关系，人们定义了对易括号：[]A B B A B A -=, 对易式 (4-5) []A B B A B A+=+, 反对易式 (4-7)若ˆˆˆˆABBA ≠，则称Â与ˆB 不对易。
若A B B Aˆˆˆˆ=，则称Â与ˆB 对易。
若算符满足ˆˆˆˆABBA =-， 则称ˆA 和ˆB 反对易。
1) ˆˆˆˆ[,][,]AB B A =- (4-6a) 2) ˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B A C +=+ (4-6b) 3) ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]A BC B A C A B C =+ ，ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,][,][,]AB C A B C A C B =+，]ˆ,ˆ[]ˆ,ˆ[B A k B k A = (4-6c) 4) [][][]B C A C B A C B A,,,+= (4-6d)5)ˆˆˆˆˆˆˆˆˆ[,[,]][,[,]][,[,]]0A B C B C A C A B ++=——称为 Jacobi （雅克比恒等式）。
(4-6e)1.坐标算符和动量算符的对易关系算符x ,和ˆx pi x∂=-∂ 不对易 证明：(1) ˆ()x xpx i x ψψ∂=-∂ i x x ψ∂=-∂ (2) ˆ()x px i x x ψψ∂=-∂ i i x x ψψ∂=--∂ 显然二者结果不相等，所以：ˆˆx x xpp x ≠ ˆˆ()x x xpp x i ψψ-= （3.7.1） 因为ψ是体系的任意波函数，所以ˆˆx x xpp x i -= 对易关系 （3.7.2） 同理可证其它坐标算符与共轭动量满足ˆˆy y ypp y i -= ， ˆˆz z zpp z i -= （3.7.3） 但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对易。
§3.7算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件.
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时有确定值的条件测不准关系一、泊松括号 “ [” 1．定义：∧∧∧∧∧∧-=A B B A B A ],[ 2．性质：],[],[∧∧∧∧-=A B B A为常数λλλλ],[],[],[∧∧∧∧∧∧==B A B A B A],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧+=+C A B A C B A （1）],[],[],[∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=C A B C B A C B A∧∧∧∧∧∧∧∧∧+=B C A C B A C B A ],[],[],[0]],[[]],[,[]],[,[=++∧∧∧∧∧∧∧∧∧B A C A C B C B A计算力学量算符对易式的基本方法有二：一是将对易式作用在任意函数上，进行运算，以求之。
二、量子力学的基本对易式下面我们用第一种方法求出坐标、动量算符之间的对易式。
对于任意函数ψ，有()ψψψψψψψ i i x x i x x i x x i x x i x P P x x x =+∂∂+∂∂-=∂∂+∂∂-=⎪⎭⎫⎝⎛-∧∧由ψ的任意性，设i P x x =∧∧],[ （2） 同理： i P y y =∧∧],[],[0],[0],[],[====∧∧∧∧∧∧∧∧y x x y z P P P y P x i P z将以上式子写成通式有：αββαδ i P x =∧∧],[ （3）0],[=∧∧βαP P （4） 其中 ⎪⎩⎪⎨⎧≠===βαβαδβααβ1,,,zy x由上可知：动量分量和它所对应的坐标是不对易的，而和它不对应的坐标是对易的；动量各分量之间也是对易的。
力学量都是坐标和动量的函数，知道了坐标和动量之间的对易关系后，就可以得出其他力学之间的对易关系。
三、角动量算符的对易式)(],[],[0]],[],[],[],[00],[],[],[],[],[],[],[],[x y y x yz z x z x z yz z y z x x z z y x y z z y z z x y z y x P y P x i P x i P y i P P x z P z x P z P P P z y P P x z P x P z P P z y P z P y P x P z P z P z P x P y P z P y P x P z P z P y l l ∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧-=+-=⎭⎬⎫⎩⎨⎧+++⎭⎬⎫⎩⎨⎧+=++-++=+--=--=z l i = （5）同理： x z y l i l l ∧∧∧= ],[ （6） y x z l i l l ∧∧∧= ],[ （7） （5）、（6）和（7）三式可以合写为一个矢量公式∧∧∧=⨯L i L L（8）上式可看作是角动量算符的定义。
非厄米算符对易关系
非厄米算符对易关系非厄米算符对易关系是量子力学中一个重要的概念，它描述了非厄米算符之间的对易关系。
在量子力学中，算符是描述物理量的数学对象，而非厄米算符与厄米算符不同的地方在于其不是自伴的。
非厄米算符对易关系可以帮助我们理解量子系统的性质和演化规律。
首先，我们需要了解算符的对易关系。
在量子力学中，两个算符A和B的对易关系定义为[A, B] = AB - BA，其中[A, B]是所谓的对易子。
如果对易子为零，即[A, B] = 0，那么算符A和B是对易的；如果对易子不为零，那么算符A和B是不对易的。
对于厄米算符，它们的对易关系通常为零，即厄米算符之间对易。
但对于非厄米算符，情况就会有所不同。
非厄米算符之间的对易关系可以为非零，这意味着它们之间存在一定的关联和相互作用。
非厄米算符的对易关系的研究对于理解开放量子系统、量子耗散和退相干等问题至关重要。
一个经典的例子是描述量子系统的退相干过程。
在实际的物理系统中，量子系统常常与环境相互作用，导致量子态的演化过程不再是幺正的。
这时，我们需要引入非厄米算符来描述系统的演化，而非厄米算符之间的对易关系将决定系统的演化规律。
通过研究非厄米算符对易关系，我们可以更好地理解量子系统的耗散过程和量子态的演化。
除了在开放量子系统的研究中起到关键作用之外，非厄米算符对易关系还在量子信息、量子光学和量子力学的其他领域有着重要的应用。
在量子信息处理中，非厄米算符对易关系的研究有助于设计更有效的量子算法和量子通信协议。
在量子光学中，非厄米算符对易关系可以帮助我们理解量子态的非经典性质和光子的量子相干性。
总之，非厄米算符对易关系是量子力学中的一个重要概念，它对理解量子系统的性质和演化规律具有重要意义。
通过研究非厄米算符对易关系，我们可以深入理解量子力学的基本原理，推动量子技术的发展，以及探索量子系统的新奇现象。
希望以上内容能够对您有所帮助。
如果您对此有更多的疑问，欢迎继续交流讨论。
算符的对易关系 共同本征态函数 测不准关系
因此，
xpx
(n1) 22
不确定关系是量子力学中的基本关系，它反 映了微观粒子波粒二象性。
2021/8/17
23
例2：一维谐振子的不确定关系
【解】 振子的平均能量是 x 0 ，（见4.22式）
p 0 ， （见4.32式）
2021/8/17 又（： 见4.23x式2 n）(n1 2)M
22
px2
n
(n1)M
2
，
（见4.33式）
x x2 x2 x2 (n1)
n
n
2M
p xp x 2np x2 p xp x 2n(n 1 2 )M
16
2. 不确定关系的严格证明 在量子力学中力学量的不确定关系 FG ？
证明： 第1步：设两任意厄米算符 Fˆ , Gˆ的对易关系为
F ˆ,G ˆ iK ˆ——
或厄米算符
F ˆG ˆG ˆF ˆiK ˆ ——Kˆ
为实数
构造态函数
对任意态函数 ，再构造出一个新的任意态 (Fˆ iGˆ) 函数（其中 是实参数），
G (G ˆG)2
所以
：
FG 1 2
K
这就是常见的不确定关系的一般表达式。
例1：坐标和动量的不确定关系
取 Fˆx,G ˆpˆx
xˆ,p ˆxi对比对易关系 F ˆ,G ˆ iK ˆ
2021/8/17
21
得 Kˆ 由公式 FG1 K
2
xpx 2 ，这正是大家所熟悉的不确定关系。具 体的 xpx ? 需要具体来求。
2021/8/17
17
第2步 ——计算态函数内积
I()(F ˆiG ˆ,F ˆiG ˆ)0（被积函数不小于零）
展开为 :
J(三章4讲)算符对易关系
ˆ , xp ˆ , yp ˆ , zp ˆ ˆ ˆz ] [l ] [ l ] [ l x x x y x ˆ,p ˆ , y] p ˆ,p ˆ , z] p ˆ ˆ ˆ ˆz 0 0 y[l ] [ l z [ l ] [ l x y x y x z x ˆ z izp ˆ y izp ˆ y iyp ˆz 0 iyp
ˆ y , xp ˆ z ] zx[ p ˆy, p ˆ z ] z[ p ˆ y , x] p ˆz z[ p
ˆ z , z] p ˆ x x[ z, p ˆz ]p ˆy y[ p
ˆ z ][ xp ˆ y yp ˆx] [ z, p
ˆ iL z
角动量与角动量平方的对易关系
ˆ , p ˆ p 0 , 1, 2, 3
ˆ1 p ˆ x, p ˆ 2 p ˆ y, p ˆ 3 p ˆz ) (p
ˆ x i x, p ˆy y, p i ˆ z i z, p
ˆy ˆz 0 x, p x, p ˆ x y, p ˆz 0 y, p ˆx ˆy z, p z, p 0
实例：
1. 若一组力学量彼此相互对易，则它们具有共同 本征函数系；当体系处于某一共同本征态时，它们 同时具有确定值。
2. 能完全确定一个量子态所需要的一组彼此对易的 力学量算符的最小（数目）集合称为一组力学量完 全集，这组集所含力学量的数目与体系的自由度数 目相同
矢量空间的自由度为3,用3个彼此对易的矢量构成的集，比如
ˆ z , zp ˆ x ] [ zp ˆ y , xp ˆz] [ yp
ˆ z , zp ˆ x ] [ y , zp ˆ x ]p ˆ z z[ p ˆ y , xp ˆ z ] [ z , xp ˆ z ]p ˆy y[ p
量子力学中的算符对易性
量子力学中的算符对易性量子力学是描述微观物理世界的理论框架，而算符是量子力学中的重要概念之一。
算符对易性是研究算符之间的关系和性质的重要问题。
本文将探讨量子力学中的算符对易性。
在量子力学中，算符是一种用来描述物理量和物理过程的数学对象。
它们相当于经典力学中的函数，但在量子力学中却具有更加丰富和复杂的性质。
算符可以描述粒子的位置、动量、自旋等物理量，也可以描述粒子的运动和变化过程。
算符的对易性是指两个算符之间的交换顺序对物理量计算结果的影响。
在量子力学中，我们知道不同物理量的算符之间并不总是对易的，而是存在一定的对易规则。
这些对易规则用对易子来描述。
一个对易子可以理解为两个算符相乘的差值，并非总为零。
例如，在经典力学中，两个物理量的乘积的计算结果与乘积的顺序无关，即A×B=B×A。
然而，在量子力学中，情况则不同。
量子力学中的算符通常不满足对易性质，即A×B≠B×A。
这种对易性质的不同，使得量子力学具有独特的特性和规律。
在量子力学的数学框架中，算符的对易性由量子力学的基本原理和公式决定。
其中，最基本的对易关系是著名的海森堡不确定性原理。
根据海森堡不确定性原理，粒子的位置和动量之间的测量精度存在一定的限度。
也就是说，位置算符和动量算符之间的对易关系不等于零。
除了位置和动量之外，量子力学中还存在许多其他物理量，它们之间的对易性也被严格地规定。
例如，自旋算符和角动量算符之间满足一定的对易关系，这些对易关系可以被量子力学的数学框架所描述。
算符的对易性对量子力学的数学表达和实际计算具有重要影响。
通过研究算符的对易性，我们可以更好地理解物理量之间的相互作用和变化规律。
同时，这也为我们提供了有效的计算工具和数学方法。
对易性的研究在量子力学的各个领域都有广泛的应用。
在量子力学中，我们可以通过对易性的分析，推导出不同物理量之间的关系和约束条件。
例如，通过研究多粒子体系中的算符对易性，可以得到泡利不相容原理，进一步解释了为什么两个具有相同自旋的费米子不能处于同一量子态。
角动量算符平方与动量分量的对易关系
标题：深度探究：角动量算符平方与动量分量的对易关系一、引言在量子力学中，角动量算符是描述微观粒子旋转运动的重要数学工具。
它的平方与动量分量的对易关系，对于揭示微观世界的奥秘具有重要意义。
本文将从深度和广度两个方面对这一主题展开全面探讨，以期帮助读者更深入地理解这一复杂且抽象的概念。
二、角动量算符平方与动量分量的对易关系的基本概念在量子力学中，角动量算符平方（通常用L^2表示）与动量分量（例如L_x、L_y、L_z）的对易关系是指它们的对易性质，即它们之间是否满足对易关系。
根据量子力学的基本原理，若两个物理量的对易子为零，那么它们就是可测量的物理量。
在三维空间中，角动量算符和动量算符是复杂的矢量算符，它们的平方与分量之间的对易关系不是显而易见的。
然而，通过深入的数学推导和物理分析，我们可以揭示它们之间复杂而又精妙的关系。
三、角动量算符的平方与动量分量的对易关系的深入解析为了更好地理解角动量算符的平方与动量分量之间的对易关系，我们需要从角动量算符的定义和性质出发，通过数学推导和物理分析逐步揭示其对易性质。
我们可以利用角动量算符的定义和本征值方程推导出角动量算符的平方与分量的对易关系。
结合量子力学中的角动量组合定理和对易子的性质，我们可以更深入地理解角动量算符平方与动量分量之间的关系。
接下来，我们将从角动量算符的本征态、角动量分量算符的本征态以及角动量算符平方的本征态等方面展开进一步的分析，探讨它们之间的对应关系和相互作用，以便更加全面地理解角动量算符平方与动量分量的对易性质。
四、角动量算符平方与动量分量的对易关系的物理意义和应用角动量算符平方与动量分量的对易关系在物理学中具有重要的物理意义和广泛的应用。
它不仅是理解微观粒子旋转运动的基础，而且在原子物理、分子物理、固体物理等领域都有着重要的应用价值。
在原子物理中，角动量算符平方与动量分量的对易关系被广泛应用于描述原子的电子结构和原子谱线的选择定则。
在分子物理中，它也被用于研究分子的振动和转动行为。
量子力学 第04章-2
ˆ xp ˆy y p ˆx L z
在直角坐标系中的分量表达式
ˆ yp ˆz z p ˆy L x
I .角动量分量和坐标分量对易关系： ˆ , y] [ yp ˆ z zp ˆ y , y] 例如： [ L x
ˆ z , y ] [ zp ˆ y , y] [ yp ˆ z , y] z[ p ˆ y , y] [ z, y] p ˆy y[ p ˆ y ] iz z[ y, p
m
ˆ2Y l (l 1) 2Y L lm lm ˆ LzYlm mYlm l 0,1,2, m l , l 1,,l 1,l
17
由上述本征值方程可以看出：
2 ˆ ˆ 的本征值都是量子化的。 L和L z
其中l称为轨道量子数，m 称为磁量子数。 2 ˆ 对于给定的l，L 的本征值是一定的，但
ˆˆ z zp ˆ ˆ z ) ( zp ˆ ˆ z )( yp ˆˆ z zp ˆ ˆ y )( zp ˆ ˆ x xp ˆ ˆ x xp ˆˆ y ) ( yp ˆzz ˆ ˆ y yp ˆˆ x ) ˆˆ z p ˆ )( xp ( zp ˆ i L
z
这里 称为Levi Civita符号。
, , 按顺序排布，则为1；
任何两个指标换位时都变号； 若有两指标相同则为0，如 112 121 0.
6
II .角动量分量之间的对易关系：
ˆ ,L ˆ ] L ˆ L ˆ L ˆ L ˆ 例如： [L x y x y y x
x z y z z z
ˆ [L ˆ ,L ˆ ] [L ˆ ,L ˆ ]L ˆ L ˆ [L ˆ ,L ˆ ] [L ˆ ,L ˆ ]L ˆ L x x z x z x y y z y z y
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能唯一确定这一状态吗？
解：能。因为三个力学量对易，
n3,l1,m1
故共同本征态为
3( 1 r ,1 ,) R 3( r 1 ) Y 1(1 ,)
• 例题三 求粒子处于Ylm 时角动量x分量和 y分量的平均
值 Lx , Ly , L2x 。
解：首先应注意，Y lm
是
L2
,
Lz
的共同本征函数，而 Lx , Ly , Lz
Fn nn
（25）
F (Gn)G (Fn)n(Gn)
（26）
可见G
n
也是算符
F
的属于本征值
n
的本征函数。已经
假定 n 非简并，所以对应 n 的两个本征函数 n 和 G n 最多
只能相差一个常数，所以
Gn nn
（27）
•
可见， n
同时也是G
的属于本征值
n 的本征函数。同
理，对 F 的其它本征函数也有此结论。所以，F 和G 有组
xpxpxxi
x,
px
i
（14a）
但是
x,py0 x,pz0
（14b）
同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式
可概括为
xi
,
pj
ii
j
(14c)
其中 xi (i 1 ,2 ,3 ) (x ,y,z) pj(j1,2,3)(px,py,pz)
※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其
不对易，故Y lm 不是 L x , L y 的本征函数。
利用对易关系
[Ly,Lz]iLx
，则
Lx Yl*mLxYlmd
i1 Yl*mL yL zYlmd
Yl*mLz
L yYlm d
i1 Yl*mL y(L zYlm)d (L zYlm)*L yYlm d i1mYl*mL yYlm dmYl*mL yYlm d0
pz]ipx
[Lz,px]ipy,[Lz,py]ipx,[Lz, pz]0
（16）
另外有
[ L x ,L y ] i L z [ L y ,L z ] i L x [ L z ,L x ] i L y（17）
LLiL
（18）
• 1.4 几个重要的推论
•
(1)
[L 2 ,L z] [L 2 x ,L z] [L 2 y ,L z] [L 2 z,L z] 0
2 A 20 ( 2 x 2 x 2 ) e 2 x d x 2 A 2 2( 2 1 ) 2 2 ( 2 2 ) 3 2 2
• 所以
( p )2p2p22 2
( x )2( p x)2 4 3 2
2 2 3 2 1 2 44
满足不确定关系
作业:3.11、13
n
），如果F 和G
有
一组完备的共同本征函数，对于任意态函数
cnn
n
（23）
• 有 (FG G F ) cn(FG G F )n0则
n
FG G F0或[F,G ]0
（24）
这时才说
F
和
G
是对易的。这个结论可以推广到多个算
符，即
如果一组算符有共同的本征函数完备系
n
，则这组算符对易
例如 L 2Y m (, )l(l 1 ) 2 Y lm (, ) LzYm(,)m Ylm (,)
[L 2,L j]0, j(1 ,2 ,3 )(x,y,z)
（19）
(2) [L j,p 2 ] 0 , [L ,p 2 ] 0 , [L 2 ,p 2 ] 0 （20）
• （3）球坐标下L 是 , 的函数，若有径向函数算符U (r)
则
[L,U (r) ]0, [L 2,U (r) ]0
（21）
(4) [L i,r2]0, [L ,r2]0
• 同理
Ly 0
• 由于坐标 x与 y的对称性，可得 L2x L2y ，故
L 2 x 1 2 ( L 2 L 2 z ) 1 2 [ l( l 1 ) 2 m 2 2 ] 2 2 ( l2 l m 2 )
• 3 不确定关系
若算符 F 和G 不对易时，常记为
FGGF[F,G]iK
0
84 2
x2 *x2dxA 2 x4e2xd x43 33
0
0
45 2
所以
( x)2x2x23 24 9 24 32
p
*
pdxiA2
x ex
d(x ex)dx
0
0
dx
i A 2 (xx2)e2xd x0 0
p2 0
* p2
dx2A2
x ex
0
dd22 x(x ex)dx
y[pz,y][y,y]pzz[py,y][z,y]py
z[py,y]iz
• 记忆方法：从左至右以 x y z x依次循环指标为
正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。
• 以相同的推导方法和记忆规律，有
[Lx,
px]0,[Lx,
py]ipz,[Lx,
pz]ipy
[Ly,
px]ipz,[Ly,
Байду номын сангаас
py]0,[Ly,
(FG)F(G)
（2）
算符之积对函数的作用有先后作用次序问题 一般不能颠倒
FGGF0
（3）
n个相同算符F
的积定义为算符
F
的n次幂
例如
F
d
dx
则
F2
d2
dx 2
Fn
dn
dx n
为了运算上的方便，引入量子括号
F,G
FGGF
（5）
•若
F
,
G
0
（6）
•
称算符 F与 G 是不对易的（不能交换位置）
§3.7 算符的对易关系 两力学量同时 有确定值的条件 测不准关系
• 讨论微观态中某一力学量 F时，总是以F 的本征值谱作 为力学量 F的可能值。若我们同时观测状态 中的一组不同
力学量 F,G,，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论 这个问题。 • 主要内容有：
一个关系：力学量算符之间的对易关系
三个定理:
99
99
• 解法二 由 cn n*d 得 clm Y l* m (,)(,)d
由 Ylm(,) 正交归一性得
2
2
1
clm 3l,3m ,13l,2m ,23l,1m , 1
2
2
1
c3,13 c2,23 c1,13
• 例题二
在对某一状态进行测量时，同时得到能量
E n 1e s 2 8 2, L 22 2, L z
即
FG GF
•若
F
,
G
0
（7）
•
称算符
F与
G
是对易的
即 FGGF
• 下面几个经常使用的对易关系 请自行证明
[F ,G ]
[G,
F]
(8)
[F,G
M]
[F,G][F,
M]
(9)
[F,GM] G[F, M][F,G]M
(10)
[FG,M] F[G,M][F,M]G
(11)
• 1.2 坐标算符与动量算符的对易关系 坐标算符是乘数因子 相互对易
数 RnYlm(,)，在该态中三者同时有确定值：En,l(l1)2,m
• 2.3 力学量完全集
有些情况下，力学量 F 的本征值是全部简并或部分简
并的，一个本征值对应若干个本征函数。所以，只以 F的本
征值不足以完全确定本征函数，这时必定存在和F 独立且和
F
对易的其它力学量
G
。如果F , G
的共同的本征函数仍然
• 例题一 任意态 3 2 Y 3 ,1 (, ) 3 2 Y 2 ,2(, ) 1 3 Y 1 , 1 (, )
解法一 求可以态看中出L2 , L是z 的L2可, L 能z 的值共、同概本率征及函L数2 ,所L z组成。，
列表对应求解：
Y 3 ,1
Y 2,2 Y 1, 1
L 2Y lm (,
（22）
• 2 共同本征函数完备系
2.1共同本征函数完备系带来算符对易
设两个算符
Fn an
F及和GGn有一b个n共，同即的在本 n征态函中数可以n 同，时则确必定有
这两个力学量的数值，那么
(F G G F )n (abab)n 0
这似乎提醒我们有 (FGGF)0，但下结论过早，因为
这只是针对某一个特殊函数（本征函数
)l(l 1 ) 2 Y lm (,
)
L zYlm (,)m Y lm (,)
c2
L21 2 2
Lz
2
c3,1 4/9
L262
Lz 2
c2,2 2 4/9
L222
Lz
2
c1,1 1/9
L 2 1 2 2 4 6 2 4 2 2 17 4 2 9 9 99
44
1 11
Lz 2 ( )
它力学量的对易关系均可由此导出。
• 1.3 角动量算符的对易关系
[Lx,
x]
0,[Lx,
y]
iz,[Lx,
z]
iy
[Ly
,
x]
iz,[Ly
,
y]
0,[Ly,
z]
ix
(15)
[Lz,x]iy,[Lz, y]ix,[Lz,z]0
• 只证明其中一个，请注意证明方法
[Lx,y][ypzzpy,y][ypz,y][zpy,y]
(F)2
(G)2
K2
4
（34）