专题四 测度与可测函数

康托三分集是不可列集, 但其测度为零. 例3 康托三分集是不可列集 但其测度为零
已知G 证: 已知 0是开集
1 1 1 1 n m(G0 ) = + 2 × 2 + 4 × 3 + ... + 2 × n+1 + ... = 1 3 3 3 3
K=[0,1]-G0是有界闭集 是有界闭集, m(K)=1-m(G0)=0
β α f(x)
o a
x1
x2 x3 x4 x5 b x
E(f≥α ≥α)=[x1,x2]∪[x3,b] ≥α ∪ E(f>β)=[x4,x5] β
2.函数可测的充分必要条件 2.函数可测的充分必要条件 定理4 在可测集E上的可测函数 ≥α)可测 定理 f(x)在可测集 上的可测函数，即E(f≥α 可测 在可测集 上的可测函数， ≥α ⇔∀α β∈ E(α≤ β)={x|α≤ ∀α, α≤f<β α≤f(x)<β , x∈E}可测 ∀α β∈R, α≤ α≤ β ∈ 可测 ⇔∀α∈ E(f>α)={x|f(x)>α, x∈E}可测 ∀α∈R, ∀α∈ α α ∈ 可测 ⇔∀α∈ E(f≤α ∀α∈R, ≤α)={x|f(x)≤α x∈E}可测 ≤α, ∀α∈ ≤α ≤α ∈ 可测 ⇔∀α∈ E(f<α)={x|f(x)<α, x∈E}可测 ∀α∈R, ∀α∈ α α ∈ 可测 ∀α∈R, ⇒∀α∈ E(f=α)={x|f(x)=α, x∈E}可测 α α ∈ 可测 α≤f<β ≥α)-E(f≥β 可测 ≥β)可测 α≤ ≥α ≥β 证: (1) E(α≤ β)=E(f≥α E(f≥α ∪ E(α≤ α+n) ≥α)=∪ α≤ α≤f<α ≥α (2) E(f>α)=∪E(f≥α ≥α+1/n), E(f≥α ∩E(f>α－1/n) ≥α)=∩ α ∪ ≥α ≥α α (3) E(f≤α ≤α)=E-E(f>α)=∩{f<α+1/n} ≤α α ∩ α (4) E(f<α)=E-E(f≥α ≥α) α ≥α (5) E(f=α)=E(f≥α ≥α)-E(f>α) α ≥α α
二、点集上的勒贝格可测函数
1.可测函数的定义 1.可测函数的定义 定义6 定义 设E⊂R为任一可测集 ⊂ 为任一可测集 有界或无界） （有界或无界）, f(x)为定义 为定义 上的实值函数.若 在E上的实值函数 若∀α∈ 上的实值函数 ∀α∈R, E的子集 的子集 E(f≥α ≥α)={x|f(x)≥α x∈E} ≥α, ≥α ≥α ∈ 都是L有限可测集 则称f(x) 都是 有限可测集, 则称 有限可测集 上的L可测函数 是E上的 可测函数 上的
“⇐” ∀ε ⇐ ∀ε>0, ∃开集 和闭集 使F⊂E⊂G, 且m(G-F)<ε 开集G和闭集 和闭集F,使 ⊂ ⊂ ε
⇒ m(F)≤m (E)≤m∗(E) ≤m(G) ≤ ∗ ≤ ⇒ m∗(E)-m∗(E)<m(G)-m(F)<ε 的任意性） ⇒ m∗(E)≤m∗(E) (由ε的任意性） ≤
m(G) − m( F ) = m(G − F ) < ε
对于有界开集G, 对于有界开集 注: 1)对于有界开集 有m(G)=m*(G) 2)对于有界闭集 有m(F)=m∗(F) 对于有界闭集F, 对于有界闭集
根据定义) 3)对于任一非空有界集 有m∗(E)≤m*(E) (根据定义 对于任一非空有界集E, 对于任一非空有界集 ≤ 根据定义
4.可 4.可测集的性质 定理1 是基本集(有界 定理1 设X=(a,b)是基本集 有界 E, Ei⊂X(i=1,2,…)均为 是基本集 有界), 均为 有界可测集,则有E 有界可测集,则有 C=X-E、E1∪E2、E1∩E2、E1-E2、∪Ei、 、 均可测， ∩Ei均可测，且 1) m(E)≥0, 且E=Φ时, m(E)=0 ≥ Φ 2) 若E1⊂E2, 则 m(E1)≤ m(E2) ≤ m(E2–E1)=m(E2)-m(E1) 3) m(E1∪E2)≤m(E1)+m(E2) ≤ 4) 若E1∩E2=Φ, 则m(E1∪E2)=m(E1)+m(E2) Φ
2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度 2.直线上非空有界开集与有界闭集的测度 直线上非空有界开集 定义1 为直线R上的有界开集 定义 设G为直线 上的有界开集 即∃(a,b)⊃G), 为直线 上的有界开集(即 ⊃ (ai,bi)(i∈I)为G的构成区间，则定义 m(G)=Σ(bi–ai) 的构成区间， ∈ 为 的构成区间 Σ (0<m(G)<b-a) 定义2 为有界闭集， 则定义： 定义 设F⊂(a,b)⊂R为有界闭集，G=(a,b)-F, 则定义： ⊂ ⊂ 为有界闭集 m(F)=(b-a)-m(G) 的值与区间(a,b)的选取无关 的选取无关. 注: m(F)≥0, 且m(F)的值与区间 ≥ 的值与区间 的选取无关
例4 零测集的任何子集都是零测集. 零测集的任何子集都是零测集
是零测集 证: E是零测集 m(E)= m*(E)=m∗(E)=0 是零测集⇒ 开集G⊃ ⇒∀ε>0, ∃开集 ⊃E, 使 m(G) < m∗ (E) + ε = ε ∀ε E0⊂E⊂G ⇒ m∗(E0) ≤m(G)<ε⇒ m*(E0)=0 ⊂ ε (外测度定义) 外测度定义) (由ε的任意性） 由 的任意性）
又由于m 又由于 ∗(E0)≤m∗(E0) , 所以 m∗(E0)=m∗(E0)=0 ≤
5.几个值得注意的问题 5.几个值得注意的问题 1）关于无界集的测度问题 定义4 为任一无界点集， 定义 设E⊂R为任一无界点集，如果对∀x>0, 有界集 ⊂ 为任一无界点集 如果对∀ (-x, x)∩E可测 则称 是可测的 并记 可测, 是可测的. ∩ 可测 则称E是可测的 m( E ) = lim m((− x, x) ∩ E )
定义在R上连续函数都是 可测函数. 上连续函数都是L可测函数 例5 定义在 上连续函数都是 可测函数 (只要证明∀α∈R, 集E(f>α)是开集, 则它一定是可测集) 只要证明∀α∈ 只要证明∀α∈R, E(f>α 是开集, 则它一定是可测集) 证：∀x0∈E(f>α)⇒f(x0)>α α⇒ α f(x)连续⇒∀x0∈E(f>α)⊂R, f(x)→f(x0) (x→x0) 连续⇒ 连续 α⊂ → → ⇒∃O(x0,δ), 使∀x∈O(x0,δ), 有f(x)>α，即x∈ E(f>α) δ ∈ δ α ∈ α 极限保号性） (极限保号性） 的内点， ⇒O(x0, δ)⊂E(f>α)⇒x0 是E(f>α)的内点， E(f>α)是开集 ⊂ α⇒ α 的内点 α 是开集 ⇒E(f>α)是可测集 α 是可测集 ⇒f(x)是可测函数 是可测函数
3.直线上一般有界点集的勒贝格（lebesgue)测度 3.直线上一般有界点集的勒贝格（lebesgue)测度 直线上一般有界点集的勒贝格 定义3 为任一有界集. 定义 设E⊂R为任一有界集 ⊂ 为任一有界集 (1) (有界集的外测度 称一切包含 的有界开集的测度 有界集的外测度)称一切包含 有界集的外测度 称一切包含E的有界开集的测度 的下确界为E的 外测度 记为m 外测度， 的下确界为 的L外测度，记为 *(E), 即 为有界开集, m*(E)=inf{m(G)|G为有界开集 E⊂G} 为有界开集 ⊂ (2) (有界集的内测度 称一切包含于 的有界集的测度 有界集的内测度)称一切包含于 有界集的内测度 称一切包含于E的有界集的测度 的上确界为E的 内测度 记为m 内测度， 的上确界为 的L内测度，记为 ∗(E), 即 m∗(E)=sup{m(F)|F为有界闭集 F⊂E} 为有界闭集, 为有界闭集 ⊂ (3) (有界集的测度 如果 ∗(E)=m∗(E), 则称 的内测度 有界集的测度) 如果m 则称E的内测度 有界集的测度 与外测度的共同值为E的 测度 记为m(E), 即 测度， 与外测度的共同值为 的L测度，记为 m(E)=m*(E)=m∗(E) 这时,也称 也称E是勒贝格可测集(简称 可测集) 简称L可测集 这时 也称 是勒贝格可测集 简称 可测集
可测集类与波赖尔( 2）L可测集类与波赖尔(Borel)集 可测集类与波赖尔 ) 定义5 中所有L可测集构成的集合称为 可测集类. 定义 (1) R中所有 可测集构成的集合称为 可测集类 中所有 可测集构成的集合称为L可测集类 (2) 对R中的开集和并集进行至多可列次的交、 中的开集和并集进行至多可列次的交、 中的开集和并集进行至多可列次的交 波赖尔(Borel)集. 差运算所得到的集合称为波赖尔 并、差运算所得到的集合称为波赖尔 集 所有波赖尔 波赖尔(Borel)集都是 可测集 集都是L可测集 所有波赖尔 集都是 可测集. 注：大多数集合都是L可测集，但L不可测集确实存在. 大多数集合都是L可测集， 不可测集确实存在.
x → +∞
无界点集的测度可能是有限值,也可能是无穷大 注: 1)无界点集的测度可能是有限值 也可能是无穷大 无界点集的测度可能是有限值 也可能是无穷大. 例如, 有理数集Q是无界的零测集 是无界的零测集, 例如, 有理数集 是无界的零测集, E=(0,+∞)是测度为 ∞的可测集. 是测度为+∞ ∞ 是测度为 的可测集. 2)对于无界集 上述定理 的结论也成立 对于无界集,上述定理 的结论也成立. 对于无界集 上述定理1的结论也成立
(非负性) 非负性) (单调性) 单调性) (次可加性) 次可加性) (有限可加性) 有限可加性) (可列可加性) 可列可加性)
Φ ≠ ∪ Σ 5) 若Ei ∩Ej=Φ (i≠j, i,j=1,2,…), 则m(∪Ei)=Σm(Ei)
定理2 是基本集, 上的可测集列。 定理 设X=(a,b)是基本集 {Ek}是X上的可测集列。 是基本集 是 上的可测集列 1) 若E1⊂ E2⊂…⊂ Ek⊂…, 则E=∪Ek可测 m(E)=lim m(Ek) ⊂ ∪ 可测, 2) 若E1⊃ E2⊃…⊃ Ek⊃…, 则E=∩Ek可测 m(E)=lim m(Ek) ⊃ ∩定理3 设E⊂R有界 则E可测⇔存在开集 和闭集 ,使 有界 可测 存在开集G和闭集 F⊂E⊂G, 且m(G-F)<ε ⊂ ε