公开课(解直角三角形).PPT课件
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九年级数学解直角三角形省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
八回 月圆夜里共话别|（耿老爹坦言明心志，三兄妹年少不知难；共“拜月”分吃大“团月”，何年何月再团圆？）还是耿老爹打破了 这几乎窒息旳沉闷。只见他环顾一圈在场旳每一种人，轻轻地叹了一口气，这才说：“唉，其实哇，带娃娃们出去闯荡，也不全是因为 今年这旱灾。当然啦，暑日里又看到人们在祈雨，也更坚定了俺一定要带娃娃们出去闯荡旳决心。这人哪，没有文化知识就是不行呢！ 咱是小老百姓，管不了国家旳那些个大事儿，可咱们还是有能力想某些方法，让周围旳乡亲们过得有意义某些啊！”见大家伙儿都在看 着自己，他接着说：“所以啊，就俺说过旳那样，等俺父子们赚发了回来之后，首先做旳就是在咱们镇上建一种小学堂！假如可能，最 佳还能再盖一座戏台。让咱镇上旳娃娃们都能上得起学，也乐意学习文化知识。然后啊，俺再把咱们镇上旳那些个爱热闹，有说唱天赋 旳人们组织起来，编排某些有意思旳土戏。这到时候哇，逢年过节旳，咱就多多地来他几场，平时逢集什么旳也能够安排某些。想想看 哇，这辛勤劳作一天儿旳乡亲们，吃了晚饭后假如能看上咱们旳这些个土戏，那肯定是不但解乏乐呵，而且还修身养性呢！”说到这里， 耿老爹自个儿旳脸上露出了欣喜旳笑容，好像这些好事儿真成了似旳！但董家成听了，却重重地叹了一口气，说：“唉，弟兄你这个想 法当然是很好哩，只是这，这也太不轻易了哇！你们父子四个这后来指不定要吃多大旳苦呢！”耿老爹收敛笑容后，又轻轻地笑了。他 倔强地说：“想做事嘛，就得付出辛劳哇！”耿憨挨着个儿看看耿正、耿英和耿直后，也叹了一口气说：“唉，你一种大男人吃点儿苦 也就罢了，可娃娃们还小哩，这，这真还让人有些个不放心呢！”看到三家旳女人都已经在撩起衣襟擦眼泪了，耿老爹赶快说：“娃娃 们从小吃点儿苦不是坏事儿，能锻炼人儿哇！这要学到了真本事，那可是让他们受益一辈子旳好事儿呢！再说啦，有俺这个还算不错旳 爹带着他们呢，他们苦不到哪里去旳，倒是有机会增长诸多见识呢！”听了爹爹旳这些话，即将离家南下旳耿正、耿英和耿直甚至有些 兴奋起来了。耿正大声说：“你们都放心哇，俺们才不怕吃苦哪！有机会学本事，增长见识多好哇！俺们跟着爹呢，怕什么啊！再说了， 俺也这么大了，能帮着俺爹照顾俺妹和俺弟兄呢！”秀儿悄悄地问坐在身旁旳耿英：“英妹妹，你真乐意去吗？真不怕吃苦？”耿英坚 定地说：“吃苦算什么啊！俺爹和俺娘经常和俺们说，不吃苦中苦，难为人上人！俺很乐意跟着俺爹和俺哥南下去学本事旳！”“那你 就不怕时间长了想家吗？”“没事儿，过几年就回来了！”耿直则兴奋得脸都红了。他依偎在爹旳身边骄傲地对青山、青海和二壮说： “俺爹
解直角三角形PPT课件
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
正切定理
在直角三角形中，锐角的正切值等于其对边比邻边，即 tanα = a/b。
6
02
勾股定理及其逆定 理
2024/1/25
7
勾股定理内容及证明
2024/1/25
勾股定理内容
在直角三角形中，直角边的平方 和等于斜边的平方。
勾股定理证明
可以通过相似三角形、面积法、 向量法等多种方法进行证明。
2024/1/25
正弦、余弦定理
已知任意两边和夹角，可以利用正弦定理$frac{a}{sin A} = frac{b}{sin B} = frac{c}{sin C}$或余弦定理$c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$求出第三边和角度。
16
已知一边一角求其他元素
正弦、余弦函数
已知一条边和一个锐角，可以利用正弦或余弦函数求出另一条直角边和斜边。例如，已知直角边$a$和锐角$A$ ，则可以利用$sin A = frac{a}{c}$求出斜边$c$，再利用勾股定理求出另一条直角边$b$。
正切函数
正切（tangent）是一个 角的对边长度与邻边长度 的比值，即 tan(θ) = 对边 / 邻边。
12
特殊角度三角函数值
0°、30°、45°、60°、90°等特殊角 度的三角函数值，如 sin(30°) = 1/2 ，cos(45°) = √2/2，tan(60°) = √3 等。
特殊角度三角函数值的推导过程及其 在解题中的应用。
2024/1/25
13
三角函数图像与性质
正弦、余弦、正切函数的图像及其周期性、奇偶性、单调性等性质。 利用三角函数图像解决相关问题的思路和方法。
2024/1/25
25.3解直角三角形及其应用市公开课特等奖市赛课微课一等奖PPT课件
l
l
例3.一铁路路基横断面是等腰梯形,路基顶部宽 为9.8米,路基高为5.8米,斜坡与地面所成角A为 60度.求路基低部宽(准确到0.1米)
第4页
• 练习：热气球探测器显示，从热气球看一栋高楼 顶部仰角为30°，看这栋高楼底部俯角为60°， 热气球与高楼水平距离为120m，这栋高楼有多 高？（结果准确到0.1m)?
A 已知一直角边和所正确角 B 已知两个锐角
C 已知斜边和一个锐角
D 已知两直角边
（目标1） 2 在Rt△ABC中,∠C=900,cosB=2/3,则 a:b:c=( )
A 2:√5:3 B 1:√2:√3 C 2:√5:√3 D 1:2:3
3 在Rt△ ABC中,CD为斜边AB上高,则以下线段比等于sinA是( )
B
A D
C 第5页
例4：海上有一座灯塔P，在它周围3海里内有暗 礁，一艘客轮以每小时9海里速度由西向东航行， 行至A处测得灯塔P在它北偏东60°,继续行驶20 分钟后，抵达B处，又测得灯塔P在它北偏东 45°,问客轮不改变方向，继续前进有没有触礁 危险？
解：过P点作PD垂直于AB，交AB延长线于D
解：过点A作AB垂直于MN，垂足为B点。
∵ PBA=90°， BPA=30°， PA=160米
∴AB=80米〈100米
∴受影响.
以A为圆心，100米为半径作圆弧，与
B
PN交于点C、D. 连接AC，AD。 ∵AC=100米，AB=80米
C
∴BC=60米 ∴CD=2BC =120米
MP
30° 160
∵v=18千米/小时=5米/秒
45°
A 设BE为x，列方程
C
.30° 45°
解直角三角形-ppt课件
，∴
∴CH = ，
∴AH=
∴AB=2AH=
−
.
=
，∵∠B=30°，
=
，
26.3 解直角三角形
重 ■题型 解双直角三角形
难
例 如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，D 是 AC 上一
题
型
点，BD=10
，∠BDC=45°，sinA=
，求 AD 的长．
突
∴S
AB·AE= ×4×4 =8 ，
CD·DE= ×5 ×15=
四边形 ABDC=S△CDE-S△ABE=
，
．
（方法二）如图 2，过点 A 作 AF⊥CD 于点 F，过点
B 作 BG⊥AF 于点 G，则∠ABG=30°，
∴AG=
AB=2，BG= − =2 ，
况讨论，求出不同情况下的答案.
26.3 解直角三角形
■方法：运用割补法求不规则图形的面积
方
法
割补法是求不规则图形面积问题的最常用方法，割补法
技
巧 包含三个方面的内容：一是分割原有图形成规则图形；二
点
拨 是通过作辅助线将原有图形补为规则图形；三是分割和补
形兼而有之.
26.3 解直角三角形
例 如图，在四边形 ABDC 中，∠ABD=120°，AB⊥AC，
＝
2
＝25
26.3 解直角三角形
变式衍生 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D 是 AB
解直角三角形完整版PPT课件
余弦或正切函数计算得出。
已知一边和一角求另一边
02
在直角三角形中，已知一边长和一个锐角大小可以求出另一边
长，通过正弦、余弦或正切函数计算得出。
解直角三角形的实际应用
03
例如测量建筑物高度、计算航海距离等。
三角函数在实际问题中应用
测量问题
在测量问题中，可以利用三角函数计算高度、距离等未知量。例如，利用正切函数可以计算 山的高度或者河的宽度。
直角三角形重要定理
勾股定理
如上所述，勾股定理描述了直角三角 形三边之间的数量关系。
射影定理
相似三角形判定定理
若两个直角三角形的对应角相等，则 这两个直角三角形相似。根据此定理， 可以推导出一些重要的直角三角形性 质和定理。
射影定理涉及直角三角形中斜边上的 高与斜边及两直角边之间的数量关系。
02
三角函数在解直角三角形中应用
• 性质：正弦、余弦函数值域为[-1,1]，正切函数值域为R；正弦、余弦函 数在第一象限为正，第二象限正弦为正、余弦为负，第三象限正弦、余 弦都为负，第四象限余弦为正、正弦为负；正切函数在第一、三象限为 正，第二、四象限为负。
利用三角函数求边长和角度
已知两边求角度
01
在直角三角形中，已知两边长可以求出锐角的大小，通过正弦、
注意单位换算和精确度
在求解过程中，要注意单位换算和精确度的控制，避免因单位或精 度问题导致答案错误。
拓展延伸：非直角三角形解法简介
锐角三角形和钝角三角形的解法
对于非直角三角形，可以通过作高线或利用三角函数等方法将其转化为直角三角形进行 求解。
三角形的边角关系和面积公式
了解三角形的边角关系和面积公式，有助于更好地理解和解决非直角三角形问题。
沪科版数学九年级上册 23.2 解直角三角形 课件(共14张PPT)
在Rt△PAD中，∵∠PAD＝90°－60°＝30°
AD 3PD, 12 x 3x,
x 12 6( 3 1) 18. 3 1
∴渔船不改变航线继续向东航行，有触礁危险．
巩固练习
1.小明为了测量其所在位置，A点到 河对岸B点之间的距离，沿着与AB垂 A m C 直的方向走了m米，到达点C，测得 ∠ACB＝α，那么AB等于（ B）
两边
2
（2）根据AC= 2 ，BC= 6
C
6 B 你能求出这个三角形的其他元素吗？
∠A ∠B AB
（3）根∠A=60°,∠B=30°, 两角
你能求出这个三角形的其他元
素吗? 不能
解直角三角形
解直角三角形:在直角三角形中，由已知元素求未知元素的
程．
A
事实上，在直角三角形的六个元素
（三条边，三个角）中，除直角外，
分析：作PD⊥BC，设PD=x,则 BD=x,AD=x+12,根据AD= 3 PD, 得x+12= 3 x,求出x的值,再 比较PD与18的大小关系.
D
解：
有触礁危险
D
理由：过点P作PD⊥AC于D.设PD为x， 在Rt△PBD中，∠PBD=90°－45°＝45°． ∴BD＝PD＝x,AD=12+x.
b
c
如果再知道两个元素（其中至少有一
个是边），这个三角形就可以确定下 来，这样就可以由已知的两个元素求
Ca
B
出其余的三个元素．
在解直角三角形的过程中，一般要用到下面一些关系：
（1）三边之间的关系 a2 b2 c2（勾股定理）
B
斜边c （2）两锐角之间的关系 ∠A＋∠B＝90°
∠A的对边a
《解直角三角形》-完整版PPT课件
整理，得4t2-26t+39=0
解之，得
t1
13413,t2
13 13 4
∴台风抵达D港的时间为 1 3 1 3 小时.
B
∵轮船从A处用 1 3
≈25.5.
4
13
4
小时到达D港的速度为60÷
1
3413∴为台风抵达D港之前轮船到D港，轮船至少应提速6里/时.
例7 如图，公路MN和公路N上沿PN方向行驶时，学校是否会受 到噪声影响？请说明理由（2）如果受影响，已知拖拉机的速 度为18千米/时，那么学校受影响的时间为多少秒？
（1）切割法：把图形分成一个或几个直角三角形与 其 他特殊图形的组合；
（2）粘补法：此方法大都通过延长线段来实现
例1 要求tan30°的值，可构造如图所示的直角三角形进行
计算：作Rt△ABC，使∠C=90°，斜边AB=2，直角边AC=1，
那么BC= ，
3
∴tan30°= AC 1 3 BC 3 3
A
D
C
B
祝同学们学习进步！ 再见！
∴C1D0=201208（02米）
学校受噪声影响的时间t=120米÷18千米/时= 时=1 24秒
150
小结：
1、将实际问题经提炼数学知识，建立数学模 型转化为数学问题 2、设法寻找或构造可解的直角三角形，尤其 是对于一些非直角三角形图形，必须添加 适当的辅助线，才能转化为直角三角形的 问题来解决
C FG
∵ sinB= ，AG AB
D E
AG=AB•sinB=415•sin37°=415 06=
A
37 °B
249 25cm，
即EF 25cm
答：球的直径约为25cm
《解直角三角形(第一课时)》教学PPT课件【初中数学】公开课
活动五
2..直角三角形中一共有六个元素,即三条边和三个角,除直 角外,另外的五个元素中,只要已知一条边和一个角或两条 边,就可以求出其余的所有未知元素.
3.求未知元素时，有时可选择的关系式不止一 种,应考虑计算的方便,先求角后求边。
4.计算时要尽量利用原始数据,以防误差扩大。
教学活动6、课堂练习：
斜边,一锐角(如c,∠A) 一直角边,一锐角(如a,∠A)
1)∠B=90°-∠A; (2)由sin A=,得a=c·sin A; (3)由cos A=,得b=c·cos A
(1)∠B=90°-∠A;
(2) 由tan A= a ,得b a
b
tan A
(3) 由sinA= a ,得c a
c
sin A
或者AB=2AC=4
BC 42 22 2 3
活动四
2.在RtΔABC中,∠C=90°,若AC=2,AB=4,求∠A,∠B的度数和 BC的长.
解：∵ AC 2BC2 AB2
BC 42 22 2 3
sin B AC 1 AB 2
∴∠B=30° ∴∠A=90°-30°=60°
复习回顾
2. 特殊角的三角函数
1
2
3
sin30°＝ 2 ，sin45°＝ 2 ，sin60°＝ 2 ；
3
2
1
cos30°＝ 2 ，cos45°＝ 2 ，cos60°＝ 2 ；
3 tan30°＝ 3 ，tan45°＝ 1 ，tan60°＝ 3 .
活动一
如图所示，轮船在A处时，灯塔B位于它的北偏东35°的方 向上，轮船向东航行5 km，到达C处时，轮船位于灯塔的 正南方，此时轮船距灯塔多少千米? (tan55°≈1.4281，结果保留两位小数)
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问题：1、解直角三角形至少 需要几个条件？
2、解直角三角形的条 件可分为哪几类？
1、解直角三角形除直角外，至少要知道 两个元素（这两个元素中至少有一条边）
2、解直角三角形的条件可分为两大类： ①、已知一锐角、一边 （一锐角、一直角边或一斜边） ②、已知两边 （一直角边，一斜边或者两条直角边）
1、在下列直角三角形中 不能求解的是（D ） A、已知一直角边一锐角 B、已知一斜边一锐角 C、已知两边 D、已知两角
（2）如图，在Rt△ABC 中∠C=90°，a、 b、c、∠A、∠B这五个 元素间有哪些等量关系呢？ c B
a
a
Ab
C
直角三角形中元素间的三种关系：
(1)两锐角关系 ： ∠ A＋ ∠ B＝ 90º
(2)三边关系： a2＋b2＝c2（勾股定理）；
B
(3)边与角关系：
c
sinA＝
a c
cosA＝
b c
参考数据：(sin36°≈0.588; cos36° ≈0.809; tan36° ≈0.727）
D
E O.
C
367°2°
A
HB
小结与回顾
1、通过这节课的学 习你有什么收获？
2、本节课你有什么疑惑？
你能根据图上信息，提出一个用锐角三角 函数解决的实际问题吗？试一试
P
30° 45°
A 400米 B
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
B
C 2
60°
1
A
D
如图，在四边形ABCD中， A来自=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°，求 此四边形ABCD的面积。
B
C 2
60°
1
A
D
E
E
B
C 2
1 A 60°
D
B
C 2Ｆ
1 A 60°
E
D
如图, ⊙O的半径为10,求⊙O的内接正五边形 ABCDE的边长(精确到0.1)
C
2.已知：在Rt△ABC中，∠C=90，b=2 3 、
c=4.
求:(1)a、∠B=
B
A
C
3、如图所示，已知：在△ABC中，∠A=60°， ∠B=45°，AB=8.求：△ABC的面积(结果可保 留根号).
3、已知：如图，在ΔABC中，∠ACB＝ 90°，CD⊥AB，垂足为D， 若∠B＝30°，CD＝6，求AB的长．
C
A
B
D
4、(2011青岛中考)已知AB是⊙o的弦，半径等 于6cm, ∠ACB=120°,求AB的长
o
A
B
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
27
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
学习目标：
1、理解解直角三角形的概念 2、会根据三角形中的已知量正确地求未知量 3、体会数学中的“转化” 思想
自学指导
认真看课本P85---P86 注意： 1.小组内完成探究问题，并找一名代表回答。 2.看例1例2注意解题格式和步骤，能做与其类 似的检测题。
（1）在直角三角形中，除直角外共有几个 元素？
A
b
a
C
tanA＝
a b
1、在Rt△ABC中,∠C=90°： （1）已知a=4，c=8，求b, ∠A ,∠B （2）已知b=10，∠B=60°,求 ∠A ,a，c．
（3）已知c=20，∠A=60°，求 ∠B, a，b．
（4）已知a=1，b= 3 ，求c, ∠A， ∠B
定义：
由直角三角形中的已知 元素，求出所有末知元素的 过程，叫做解直角三角形.
“卡努” 台风将一棵大树刮断,经测量，大树刮断一端 的着地点A到树根部C的距离为4米，倒下部分AB与地平面AC的夹 角为300，你知道这棵大树有多高吗？
30°
A
4米
1、如图，在⊿ABC中,∠A=30°,
tanB=
,AC=2
3
,求AB. C
A
D
B
如图，在四边形ABCD中， AB=2， CD=1， ∠A= 60°， ∠D= ∠B= 90°，求 此四边形ABCD的面积。