山东省烟台市2016-2017学年高二上学期期中考试数学试题 PDF版
'
k 为 常数)
则 k 值为
7
在 姒 BC 中
1
o sin B
内 角 及B C 的 对 边 分 别 是
,
a
,
b,
c
,
若
c
=
2a
,
a sm
A
=
a sm
C
,
2
则cosB 为
+
Jì
A
6[ 0
1[ 0
9
设X
,
A
满 足 不 等 式组 2 ×
3×
则z
"
x
十傾
的最 大值为
y
22 0
形状 为
九 正三
12
角形
a
'
B
直 角三 角 形
C
等腰 直 角三 角形
"
D
等腰 三 角形
若数列
* } 是等差 数列
•B
则称 数列 {•B }为 •B
等方差数列 丅 给 出以下 判 断
® 常数 列是 等 方差 数列
@若 数 列 {•B } 是等方差数列 则数列 •B
{C } 是等差数列 ) 是等方装数列
•B
@若数列 {
@ 若 数列 { a
八
¿<是等方差数列
ile
3
=
与小 岛 D 相 距 为 3 J 弘m i l e 小 岛 月 对 小 岛 B 与 乃 的 视 角
C
/
为钝 角
且 s in Å
S
.
( 1 ) 求 小 岛 爿 与 小 岛 D 之 间 的距 离 ( 2 ) 记 小 岛 D 对 小 岛 B 与 C 的视角 为 a
.
小 岛 B 对小
o
z
/
诩
' µ •[
.
则数列 车 则数列 { a
J是 等方差数列
B
} 也 是等方差数列
回国图
其中 确的序 寸 有
D
® 圆圆
回国图
高二 数学
C
圆圆图
第
2
页 ( 共 4 页)
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二 丄
填 空题 客 本大题共有 4 个 小题
每 小题
5
分
=
共
20
分
十o
13
已知 等差 数列 { a •B} 的前 n 项和为 足
c
1
且 三 角 形 的面 积 为
be
c o s
2
( 1 ) 求 角 爿 的 大小
(2) 若
c
=
8
点 D 在 Á C 边上
且 CD
一
2
,
C O S 与君
1
=
求 a 的值
3
18
( 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 等 差 数 列 { a •B} 的前 n 项 和 为 S
( 1 ) 求数列
且
,
Q
,
a 若 数 列 { b•B } 满足 偪 = 2 •B •B
民 是数 列 { b•B } 的前 n 项和 是 否 存在 正 实数
切的n
¬
k
对于 使不 等式 k 7t 5 •r 3 b•B
,
丙 恒 成 立 ? 若存在 请 求 出 k 的
'
22
取 值 范 围 若不 存在 ( 本 小题 满 分 10 分 )
·
若 口B
一
吗函
2•B
万 万
且 及B C 三
点 共 线 ( 0 为该 直 线 外
14
点)
则 昆o 16
若 锐 角 创 B C 的面 积 为 10 C百 且 Á B
右 a •r j
=
8
ÅC
一
5 则 B C 等于
1b
剿
a 十 a
1
的最 小值 是
3
16
已知数列
{ a •B} 的前 n
项和 为 民 且 满足 码
2 0 16 2 0 灯
-
学年度第
一
学期 期 中 自主 练 习
高二 数 学
注 意 事项 1 本试题 满 分 15 0 分 考 试 时 间为 12 0 分 钟 图时 可 用 2 B 2 使 用 答题 纸 时 必 须 使 用 0 5 毫 米 的黑 色 墨 水签 字笔 书 写 作 稿纸 试 题卷 铅 笔 要字 迹 工 整 笔 迹 清 晰 超 出答题 区 书写 的答 案无效 在 草 上 答题 无 效 3 答 卷 前 将 密 封 线 内的项 目填 写清 楚 选项 选 择 题 本 大题共 1 2 小题 每 小题 5 分 共 6 0 分 在每 小题 给 出 的 四个
E
[
1 1]
,
求 x 的取 值 范 围
( 本 小题 满 分 12 分 )
已 知 函数
八x )
2'
=
2
L五
( 1) 求f
(x ) + f (1
x
) 的值 扩
-
(
若数列 { a •B} 满 足 a •B
f (0 ) 十 僽 d
b
n
十僽
( )+
n
2
十僽(
" n
'
) + f 0)
(n
(
¬
N )
'
求 数列
} 的通项 公 式 丅
中
1
只有
,
个 选 项符合题 目要 求
d •q c
•q
把 正 确 选 项 的代号涂在 答 题 卡上
设 b •q O •q a
A
a e >
O
,
则下 列 各 不 等式中恒成 立 的 是
b
>
bd
B
a C
C
a + c >
b+ d
D
a
c >
b
d
d
a
-
2
已 知 数列 {a
的前 n 项 和 为 S •B}
7
对任意 的 n
•B
在 B 处 观 察灯塔
B
其方 向是北偏东 6 5 •B 那 么 B
10 4 百 海里
C
,
C 两 点1 司的 距 离 是 20万 海 里
A
0OÆ 海 里
2 0 西 海里
D
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6
等 比 数 列 { a •B} 的前 n 项 和 为 S
.
若S
=
3 2 •B十 k ( o¬ N
-
3
氓
=
25
{ a } 的通 项 公 式 Q
n
n
;
( 2 )
设数列
B 女}
1
=
的前
n
项和 为 .
是否存在 k
¬
N
'
使得等式
2
2 ë
歹
成立
若存在
求 出 k 的值
若不 存在
说© 理 由
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如 图 我 国南 海某 处 的
C 相距 都 为 5 n
m
个 圆形 海 域 上 有 四个 小 岛 小 岛 B 与 小 岛 儊 丄小 岛
¬
N
'
都有 a
•[
. .
2
+ a
.
.
则使 S 最 大 的 n 的值 为
.
A
3
B
4
C
5
D
6
4
海轮 从 爿 处 出 发
以每 小 时 4 0 海里 的速 度沿 南 偏 东 4 0 •B的 方 向直 线 航 行 在 C 处有
座 灯塔
30
分钟 后 到达 B 先
70
海 轮在 月 处观 察灯 塔
其 方 向是 南 偏 东
只 至
,
岛 C 与 D 的视 角 为 芦 求 s i n ( 2 a
20
+
ß ) 的值
一
一
' 8
( 本 小题 满 分
12
分)
设 f (x )
=
a x
2
(a
+
l )x
+
l
( 1 ) 解 关 于 x 的不 等式 僽( x
( 2 ) 若对 任意 的 a
21
) •r O
不 等式 f ( x ) •r O 恒 成 立
一
2
,
a
•B
-
2
+
l
则数列 {Q
n
}的
通 项 公式为
三 丄 解答 题
本 大题 共 6 个 小题
共
70
分 解答 时要 求 写 出必 要 的文字说 明 丄证 明
'
过 程 或推 理 步 骤
17
(
本 小题 满分
12
分)
,
-
www
?_
•B
, ,
在M BC 中
S
1
=
角 及 B C 的对 边 分 别 为 a b
Å
设 函数 八 x ) =
( 1) 当a
-
请 说 明理 由
lx
Å°
+
lx
5
1
<时
求 f (x ) 的最 小值
x
( 2 ) 如 果 对任 意 的 实 数
,
都有 厂 <成 立 (x ) Æ
2022-2023学年山东省烟台市高二年级上册学期期中考试数学试题【含答案】
2022-2023学年山东省烟台市高二上学期期中数学试题一、单选题1．已知空间向量，则向量在坐标平面上的投影向量是（ ）()1,2,3a =-aOyz A ．B ．C ．D ．()0,2,3()0,2,3-()1,2,0()1,2,3-B【分析】根据投影向量的定义即可得出正确的答案.【详解】根据空间中点的坐标确定方法知，空间中点在坐标平面上的投影坐标，(1,2,3)a =-Oyz 横坐标为0，纵坐标与竖坐标不变．所以空间向量在坐标平面上的投影向量是：(1,2,3)a =- Oyz (0,2,3)-故选：B.2．已知过坐标原点的直线经过点，直线的倾斜角是直线的2倍，则直线的斜率是l (A n l n （ ）A B ．C D ．A【分析】先求得直线的倾斜角，从而求得直线的倾斜角，进而求得直线的斜率.l n n【详解】直线过原点和，l (A π6所以直线的倾斜角为，斜率为n π3πtan 3故选：A 3．已知点，，，若，则的值为（ ）(),3,1A x -()1,0,3B (),1,4C x AB BC ⊥ x A ．2B ．C ．0或D ．0或22-2-D【分析】根据向量垂直时数量积为0即可.【详解】由题知 ，(1,3,4),(1,1,1)AB x BC x =--=-因为，AB BC ⊥所以，(1)(1)340AB BC x x =---+=解得 或2.0x =故选：D.4．以点为圆心，且与直线相切的圆的方程是（ ）()3,1-340x y +=A ．B ．()()22314x y -++=()()22314x y ++-=C ．D ．()()22311x y -++=()()22311x y ++-=D【分析】求出圆心到直线的距离即得圆的半径，即得圆的方程.【详解】由题得圆心到直线的距离，1d r===所以圆的方程为.22(3)(1)1x y ++-=故选：D.5．如图，在三棱柱中，点是底面的重心，若，，，111ABC A B C -M 111A B C △1AA a = AB b = AC c =则（ ）AM =A ．B ．1133a b c ++ 111333a b c ++C ．D ．2233a b c++ 222333a b c ++ A【分析】如图，连接，并延长交于点D ，根据重心的定义可得D 为的中点，1A M 11B C 11B C ，利用空间向量的线性运算即可求解.1123A M A D =【详解】由题意知，如图，连接，并延长交于点D ，1A M 11B C则D 为的中点，，11B C 1123A M A D =有，111111()2A D A B A C =+ 11AM AA A M=+ 1123AA A D=+1111121()32AA A B A C =+⨯+ 111111133AA A B A C =++ .1133a b c=++ 故选：A.6．若直线与圆相离，则过点的直线与圆的位置关系是（ ）10ax by +-=22:1C x y +=(),P a bC A ．相离B ．相切C ．相交D ．不确定C【分析】根据题意，求出圆心到直线的距离大于半径，得到，故点(0,0)10ax by +-=221a b +<在圆内，进而判断结果.(),P a b 【详解】因为直线与圆相离，10ax by +-=22:1C x y +=所以圆心到直线的距离大于半径，(0,0)10ax by +-=，所以，故点在圆内，1>221a b +<(),P a b所以过点的直线与圆相交，(),P a bC 故选：C.7．如图，和均是边长为2的正三角形，是以为斜边的等腰直角三角形，ABC ACD ABD △BD 则异面直线与夹角的大小为（ ）AD BCA ．B ．C ．D ．π6π4π3π2C【分析】根据向量的模长公式可得向量的夹角，进而可得异面直线的夹角.【详解】由于，所以CD CB BA AD =++ ，()22222=222CD CB BA ADCB BA AD CB BA CB AD BA AD=+++++×+×+×即,4=444222cos120222cos 222cos90CB,AD +++´´+´´+´´化简得，1cos =2CB,AD - 由于，所以，[]0πCB,AD Î，2π=3CB,AD 故异面直线与夹角的大小为，AD BC π3故选：C8．设过点的直线与圆相交于，两点，则经过中点与圆心的直线的斜()0,3()2269x y -+=A B AB 率的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．3,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3,04⎛⎫- ⎪⎝⎭30,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，利用点到直线的距离为半径求出与圆相切的直线斜率，如图，结合过AB 中点与圆心的连线必垂直于弦AB 可得，即可求解.(6,0)C 1CD AB k k =-【详解】由圆，知圆心，半径，22(6)9x y -+=(6,0)C 3r =设过点且与圆相切的直线方程为，即，(0,3)3y kx -=30kx y -+=则点到切线的距离为，(6,0)C 3d解得或，所以，0k =43-4(,0)3AB k ∈-因为过AB 中点与圆心的连线必垂直于弦AB ，(6,0)C 所以，得.1CD AB k k =-13(,)4CD AB k k =-∈+∞故选：B.二、多选题9．下列命题正确的有（ ）A ．若空间向量，与任意一个向量都不能构成基底，则a ba b∥ B ．若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面a b a b C ．若构成空间的一组基底，则也是空间的一组基底{},,a b c{},,a a c b c++ D ．若构成空间的一组基底，则，，共面{},,a b c2a b - a b c +-32a b c ++ AC【分析】根据空间共面向量定理，结合基底的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【详解】对A ：若空间向量，与任意一个向量都不能构成基底，则，故A 正确；a ba b ∥ 对B ：根据向量的可平移性可知，向量，一定共面，故错误；a bB 对：若共面，则一定存在实数使得，C ,,a a c b c ++ ,m n ()b c ma n a c +=++ 即，这与不共互矛盾，故不共面，可做基底，故C 正确；11n a b c m n m n -=+++,,a b c ,,a a c b c ++ 对D ：若，，共面，则一定存在实数，使得2a b - a b c +-32a b c ++ ,m n 32a b c++ ，()()2m a b n a b c=-++-即，这与不共互矛盾，故，，不共面，213232n m n a b cm n m n --+=----- ,,a b c 2a b - a b c +- 32a b c ++ D 错误.故选：AC.10．圆与圆相交于，两点，则（ ）221:2660C x y x y ++-+=222:2210C x y x y +--+=A B A ．的直线方程为B ．公共弦AB 4450x y -+=AB C ．圆与圆D ．线段的中垂线方程为1C 2C AB 20x y +-=ACD【分析】对于A ，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B ，利用弦心距、弦和半径的关系可AB 求公共弦的长，对于C ，求出，再由D ，线段的AB 12C C AB 中垂线就是直线，求出直线的方程即可.12C C 12C C 【详解】由，得，则，半径，222660x y x y ++-+=22(1)(3)4x y ++-=1(1,3)C -12r =由，得，则，半径，222210x y x y +--+=22(1)(1)1x y -+-=2(1,1)C 21r =对于A ，公共弦所在的直线方程为，AB 2222266(221)0x y x y x y x y ++-+-+--+=即，所以A 正确，4450x y -+=对于B ，到直线的距离2(1,1)C ABd所以公共弦的长为，所以B 错误，AB AB ===对于C ，因为，，，1C C =12r =21r =所以圆与圆C 正确，1C 2C ==对于D ，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为，AB 12C C 1231111C C k -==---所以直线为，即，所以D 正确，12C C 1(1)y x -=--20x y +-=故选：ACD11．已知直线与圆相交于，两点，则（ ）:sin cos 10l x y αα--=22:6O x y +=A B A ．的面积为定值B ．AOB 2cos 3AOB ∠=-C ．圆上总存在3个点到直线的距离为2D ．线段中点的轨迹方程是O l AB 221x y +=ABD【分析】根据圆的几何性质，求出圆心到直线的距离为定值1，可判断AD ，再由圆的几何性质知B ，根据点到直线的距离及与2的大小比较可判1cos 2d AOB r ∠==r d -断D.【详解】对A ，点O 到直线的距离，为定值，:sin cos 10l x y αα--=1d ==所以为定值，所以为定值，故正确；||AB =1||2△=⋅AOB S AB d对B ，由A 知，，故正确；1cos 2d AOB r ∠==212cos 2cos 123AOB AOB ∠=∠-=-对C ，因为圆的半径，所以，故圆上到直线的距r =1d =12r d -=<离为2的点只有2个，故错误；对D ，设线段中点，由圆的几何性质知，所以，AB (,)P x y ||1OP d ==P 1=即，故正确.221x y +=故选：ABD12．如图，在四棱锥中，是以为斜边的等腰直角三角形，P ABCD -PAD AD ，，，为的中点，则下列结论正确的有（ ）//BC AD AD CD ⊥222AD PC CD CB ====E PDA ．平面B ．平面平面CE ∥PABPAD ⊥ABCDC ．点到平面D ．二面角E PAB A PB C --ACD【分析】利用线面平行的判定定理即可判断A ；几何法找二面角的平面角，确定角度大小即可判断B ；建立空间直角坐标系，根据空间向量计算点到平面的距离，即可判断C ；根据空间向量计算二面角的余弦值，进而求正弦值，从而判断D ；【详解】取的中点为，连接，PA M ,BM EM 因为为的中点，所以，E PD 1////,2EM AD BC EM AD BC ==所以四边形为平行四边形，所以，BCEM //CE BM 因为平面，平面，所以平面，故A 正确；CE ⊄PAB BM ⊂PAB //CE PAB 取为，连接所以，且，AD N ,,BN PN 1BN CD ==BN ND ⊥又因为是等腰直角三角形，所以，PAD 1,PN ND PN ND ==⊥且平面，且，,PN NB ⊂PNB PN NB N = 所以平面，所以为平面与平面的夹角，ND ⊥PNB PNB ∠PAD ABCD 又因为，所以平面，且平面，所以，//BC ND BC ⊥PNB PB ⊂PNB BC PB ⊥，所以，故B 错误；PB ==222PB BN PN ≠+90PNB ∠≠ 以为原点，所在直线为轴，在平面内，作平面，B ,BC BN ,x y PNB Bz ⊥ABCD 建立如图所示空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,1,0),(1,1,0),(1,0,0),B A D C -因为 所以，1,BN PN==120PNB ∠=所以，3150,,,224P E ⎛⎛⎝⎝所以()()315(0,1,1,0,1,0,0,,,224BP BA BC BE ⎛==-== ⎝设平面的法向量为，PAB (,,)m x y z =则有即，令 则00m BP m BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3020yx y ⎧=⎪⎨⎪-+=⎩1,x =1,y z ==所以，所以点到平面(1,1,m =E PAB故C 正确；设平面的法向量为，PBC (,,)n a b c = 则有即，令则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩3020b a ⎧=⎪⎨⎪=⎩1,b=c =0,a =所以，(0,1,n =设二面角的大小为，则，A PBC --θcos cos ,m n m n m n θ⋅=<>===所以.故D 正确.sin θ故选:ACD.三、填空题13．已知直线与平行，则实数的值为______．1:2320l ax y a ++-=()2:140l x a y +++=a 1【分析】根据直线一般式平行时满足的关系即可求解.【详解】由得：，解得，12l l //()112432a a a a ⎧+=⨯⎨≠-⎩1a =故114．已知为空间中一点，四点共面且任意三点不共线，若，则O ,,,A B C D 2BD xOA OB OC =++的值为______．x 2-【分析】根据向量共面列方程，结合已知条件求得的值.x 【详解】依题意，四点共面且任意三点不共线，,,,A B C D 所以，BD mBA nBC =+ 所以，22mBA nBC xOA OB OC +=++ ，2222mOA mOB nOC nOB xOA OB OC -+-=++ ，()2222mOA m n OB nOC xOA OB OC-++=++所以，解得.()222121m x m n n =⎧⎪-+=⎨⎪=⎩2x =-故2-15．在平面直角坐标系中，，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线M N x y MN C 相切，则圆面积的最小值为______．250x y +-=C 5π4【分析】根据条件得到点在圆上，利用点到直线的距离公式，结合数形结合进行求解即可．O 【详解】是直径，，MN 90MON ∠=︒点在圆上，∴O 过作垂直直线，交点为，O OD 250x y +-=D 圆与直线相切，C 250x y +-=要使圆的面积最小，此时为圆的直径即可，∴C OD 到直线的距离O 250x y +-=OD，即圆的最小面积，25ππ4r =故5π416．中和殿是故宫外朝三大殿之一，位于紫禁城太和殿与保和殿之间，中和殿建筑的亮点是屋顶为单檐四角攒（cuán ）尖顶，体现天圆地方的理念，其屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此四棱锥的侧棱长为30°，则此四棱锥相邻两个侧面的夹角的余弦值为______．##340.75【分析】根据已知条件求得正四棱锥底面边长，再根据二面角的定义通过解三角形求得其余弦值.【详解】根据题意，取正四棱锥如下所示，其中侧棱长均为P ABCD -连接交于点，取中点为，连接.,ACBD O AB M ,,PO OM PM 因为为正四棱锥，故面，又为中点，故可得，则P ABCD -PO ⊥ABCD ,OA OB M =AB OM AB ⊥；30PMO ∠=︒设，在△中，因为为中点，故,则2AB a =PABPA PB ==MAB PM AB ⊥PM ==在△中，，故；POM OM a =cos OM PMO PM ∠==12a =过点作，连接，又△△，故即为所求二面角的平面角；C CH PB ⊥AH APB ≅CPB CHA ∠在△中，由等面积法可得：即PBC 1122CH PB BC⨯=⨯24CH ⨯=解得：，又CH =CH AH =AC =故在△中，由余弦定理可得.AHC 2224848224242737cos 1484824427AH HC ACCHA AH HC⨯⨯-⨯⨯+-∠===-=-⨯⨯⨯故相邻两个侧面的夹角的余弦值为.34故答案为.34四、解答题17．已知圆经过两点，且圆心在直线上．M ()1,2A ()1,0B -220x y -+=(1)求圆的标准方程；M (2)若过点的直线与圆相交于，两点，且，求直线的方程．()1,3P l M C D 2CD =l (1)()2212x y +-=(2)或3490x y -+=1x =【分析】（1）先求出线段的垂直平分线方程，再与直线联立，求出交点，即为圆心AB 220x y -+=坐标，再求出半径，可得圆的方程；（2）先根据弦，弦心距和半径的关系求出弦心距，然后分直线斜率存在和不存在两种情况求解即l 可.【详解】（1）由题知，所求圆的圆心为线段的垂直平分线和直线的交点．M AB 220x y -+=线段的中点坐标为，直线的斜率，AB ()0,1AB ()20111k -==--所以，的垂直平分线的方程为即．AB ()01y x -=--1y x =-+联立得，解得圆心．21010x y x y -+=⎧⎨+-=⎩()0,1M 半径．所以，圆的标准方程为．M ()2212x y +-=（2）由题意知圆心到直线的距离为，M 1d ==当直线斜率存在时，设直线方程为，即．l ()31y k x -=-30kx y k -+-=所以，，解得，1d 34k =所以直线的方程为．l 3490x y -+=当直线斜率不存在时，直线方程为，符合题意．l 1x =所以，直线的方程为或．l 3490x y -+=1x =18．如图，四边形是边长为2的菱形，，平面，，且ABCD 60BAD ∠=︒PD ⊥ABCD PD BQ ∥．22PD BQ ==(1)求证：；PQ AC ⊥(2)求直线与平面所成角的大小．AD PAQ (1)证明见解析；(2).4π【分析】（1）通过证明平面，即可由线面垂直证明线线垂直；AC ⊥PDBQ （2）以中点为坐标原点建立空间直角坐标系，求得的方向向量，以及平面的法向量，BD AD PAQ 利用向量法即可求得结果.【详解】（1）证明：连接，如下图所示：BD因为四边形是菱形，所以．ABCD AC BD ⊥又因为平面，平面，所以．PD ⊥ABCD AC ⊂ABCD AC PD ⊥因为，面，所以平面．BD PD D = ,BD PD ⊂PDBQ AC ⊥PDBQ 又因为平面，所以．PQ ⊂PDBQ PQ AC ⊥（2）设，取的中点，则，由（1）知，，．AC BD O = PQ M OM PD ∥AC BD ⊥AC OM ⊥以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立空间直角坐标系，如下所O OA OB OM x y z 示：则，，，．)A()0,1,0D -()0,1,2P -()0,1,1Q 所以，，，．()1,0AD =-()1,2AP =-()AQ =设平面的一个法向量，则，PAQ (),,n x y z = 00n AP n AQ ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 所以，所以，取．200y z y z ⎧-+=⎪⎨++=⎪⎩2z y x =⎧⎪⎨=⎪⎩)2n = 设直线与平面夹角为，AD PAQ α所以，，又，sin cos ,n α=< 0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭所以直线与平面夹角的大小为．AD PAQ 4π19．如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面，P ABCD -ABCD PD ⊥ABCD ，是的中点．22PD DC AD ===E PC (1)求直线到平面的距离；PA BDE (2)求平面与平面夹角的余弦值．BDE PAB【分析】（1）连接交于点，连接，则可得∥平面，所以点到平面的距AC BD F EF PA BDE P BDE 离即为直线到平面的距离，以为坐标原点，分别以，，所在的直线为，PA BDE D DA DC DP x ，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解；y z （2）求出平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角公式求解.BDE PAB 【详解】（1）连接交于点，连接．AC BD F EF 因为是的中点，所以∥．E PC EF PA 因为平面，平面，所以∥平面．PA ⊄BDE EF ⊂BDE PA BDE 所以点到平面的距离即为直线到平面的距离.P BDE PA BDE 由题知，，，两两垂直，所以，以为坐标原点，分别以，，所在的直线DP DA DC D DA DC DP 为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系．x y z 则，，，，，．()0,0,0D ()1,0,0A ()002P ,,()1,2,0B ()0,2,0C ()0,1,1E 所以，，．设面的一个法向量，()1,2,0DB =()0,1,1DE =BDE (),,n x y z =则，令，则200n DB x y n DE y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩1y =()2,1,1n =-- 又，()0,0,2DP =所以点到平面．PBDE即直线到平面．PA BDE （2）由（1）知，平面的一个法向量．BDE ()2,1,1n =--又，，()1,0,2PA =- ()1,2,2PB =-设平面的一个法向量面，则PAB (),,m a b c =，所以，取．20220m PA a c m PB a b c ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+-=⎪⎩ 20a c b =⎧⎨=⎩()2,0,1m = 设平面与平面的夹角为，由图可知为锐角，BDE BCE θθ则cos cos ,n θ=所以平面与平面BDE PAB 20．已知圆．22:240C x y x y m +--+=(1)若圆与圆外切，求的值；C 22812360x y x y +--+=m (2)当时，由直线上任意一点作圆的两条切线，（，为切点），试1m =:40l x y -+=P C PA PB A B 探究四边形的外接圆是否过定点？若过，求出该点的坐标；若不过，请说明理由．PACB (1)4m =(2)外接圆恒过定点和()1,217,22⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】（1）由两圆外切可得圆心距等于半径之和，从而可得出答案；（2）由题意可知四边形外接圆是以中点为圆心，为半径的圆，设，求得PACB PC 2PC(),4P a a +外接圆方程，过定点则跟参数无关，令参数的系数等于零，即可得出答案.a a 【详解】（1）解：圆的方程可化为：，C ()()22125x y m -+-=-所以，即，50m ->5m <方程可化为：，22812360x y x y +--+=()()224616x y -+-=因为两圆外切，所以圆心距，54d ===+解得，符合题意，4m =所以；4m =（2）解：由题意可知四边形外接圆是以中点为圆心，为半径的圆，PACB PC 2PC设，则圆的方程为，(),4P a a +()()()()1420x a x y a y --+---=整理得：，()()2216380x y a x a y a +-+-+++=式子可化为：，()226830x y x y a x y +--+-+-=联立方程，整理得：，2268030x y x y x y ⎧+--+=⎨+-=⎩2210x x --=解得或，1x =12x =-所以外接圆恒过定点和．()1,217,22⎛⎫- ⎪⎝⎭21．在如图所示的几何体中，与为全等的等腰直角三角形，111ABC A B C -ABC 111B C A ，四边形为正方形，且，．已知平面平11190BAC A B C ∠=∠=︒11BAA B 11B C AC ∥1AA AC ⊥11AA C ⋂面．11BB C l=(1)求证：；1l AA ∥(2)已知，为上一点，求直线与平面所成角的正弦值的最大值．1AB =P l AP BPC (1)见解析(2)13【分析】（1）证明平面，再根据线面平行的性质即可得证；1AA ∥1BB C （2）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.A 【详解】（1）证明：因为四边形为正方形，所以，11BAA B 11AA BB ∥因为平面，平面，所以平面，1AA ⊄1BB C 1BB ⊂1BB C 1AA ∥1BB C 又因为平面，平面平面，所以；1AA ⊂1AA C 11AA C ⋂1BB C l =1l AA ∥（2）解：以为坐标原点，分别以，，所在直线为，，轴，建立如图所示的空A AB AC 1AA x y z 间直角坐标系，则，，，()11,1,1C ()1,0,0B ()0,1,0C 由（1）知，可设，()1,1,P a 所以，，．()0,1,BP a =()1,1,0BC =-()1,1,AP a =设平面的一个法向量，BPC (),,n x y z =则，可取， 00n BP x az n BC x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩(),,1n a a =-- 设直线与平面所成的角为，AP BPC θ则sin cos ,AP θ=，13=≤当且仅当，即时，等号成立，2222a a =1a =±所以直线与平面所成角的正弦值的最大值为．AP BPC 1322．如图，经过原点的直线与圆相交于两点，过点且与垂直的O ()22:14M x y ++=,A B ()1,0C AB 直线与圆的另一个交点为．M D (1)当点坐标为时，求直线的方程；B ()1,2--CD(2)记点关于轴对称点为（异于点），求证：直线恒过轴上一定点，并求出该定点坐A x F ,A B BF x 标；(3)求四边形的面积的取值范围．ABCD S (1)210x y +-=(2)证明见解析，定点()3,0(3)(0,【分析】（1）根据垂直求出的斜率，由点斜式即可解决；CD （2）设直线方程，联立方程组到韦达定理，找等量关系，由，得()121121y y y y x x x x ++=--0y =，再根据，即可解决；()121112y x x x x y y -=++11y kx =22y kx =（3）分类讨论，运用弦长公式求得，由即可.AB CD，12S AB CD =【详解】（1）当点坐标为时，直线的斜率为2，B ()1,2--AB 因为，所以的斜率为．CD AB ⊥CD 12-因为，()1,0C 所以直线的方程为，即．CD ()1012y x -=--210x y +-=（2）证明：设，，()11,A x y ()22,B x y ()11,F x y -由题意可知，直线斜率存在且不为零，所以，可设直线方程为．AB AB ()0y kx k =≠联立方程，消得，，22230x y x y kx ⎧++-=⎨=⎩y ()221230k x x ++-=由韦达定理可得，，．12221x x k +=-+12231x x k =-+又直线的方程，令，得．BF ()121121y y y y x x x x ++=--0y =()121112y x x x x y y -=++又由，可得，，11y kx =22y kx =()()121121121112121223y x x x x x x xx x x y y x x x x --=+=+==+++所以，直线恒过轴上一定点．BF x ()3,0（3）当直线斜率不存在时，，，．AB AB =4CD =12S AB CD ==当直线斜率存在时，可设直线的方程为，AB AB ()0y kx k =≠所以，圆心到直线的距离为，M AB d所以，AB ==直线的方程可设为整理得，CD ()11y x k =--10x ky +-=圆心到直线的距离为，所以，M CD d =CD ==所以，，12S AB CD ==令，所以，上式可化为：，()210,11t k =∈+S ==()0,1t ∈所以，．综上，的取值范围是．(0,S ∈S (0,。
山东省烟台市2016-2017学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．不存在x0∈R，使得B．∀x∈R，都有x2＜0C．∃x0∈R，使得D．∃x0∈R，使得2．给出命题：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示椭圆，则mn＞0．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．03．命题p：若a＞b，则ac2＞bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1+lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）4．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2 B．3 C．4 D．65．平面内有两定点A，B及动点P，设命题甲：“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．77．已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣2）（3﹣x）＞0．若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6]B．（﹣∞，﹣1）C．（6，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）8．已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则||等于（）A．B．C．D．9．与x轴相切且和半圆x2+y2=4（0≤y≤2）内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．x2=﹣4（y﹣1）（0＜y≤1）B．x2=4（y﹣1）（0＜y≤1）C．x2=4（y+1）（0＜y≤1）D．x2=﹣2（y﹣1）（0＜y≤1）10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．11．设点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（）A．当m＜﹣1时，轨迹为焦点在x轴上的椭圆（除与x轴的两个交点）B．当﹣1＜m＜0时，轨迹为焦点在y轴上的椭圆（除与y轴的两个交点）C．当m＞0时，轨迹为焦点在x轴上的双曲线（除与x轴的两个交点）D．当0＜m＜1时，轨迹为焦点在y轴上的双曲线（除与y轴的两个交点）12．已知点F1、F2分别是双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点，过F1的直线l与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点，若|AB|：|BF2|：|AF2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（）A．2 B．4 C． D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=x2的焦点坐标是．14．已知在空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC中点，用表示，则等于．15．过椭圆右焦点的直线交M于A，B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为，则椭圆M的方程为．16．下列四个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”；②已知曲线C的方程是kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4；③“”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．上述命题中真命题的序号为．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知实数c＞0，设命题p：函数y=（2c﹣1）x在R上单调递减；命题q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，如果p∨q为真，p∧q为假，求c的取值范围．18．已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长．（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为，求点P的坐标．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．20．已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．21．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB⊥AD，BC∥AD且BC=4，点M为PC中点．（1）求证：DM⊥平面PBC；（2）若点E为BC边上的动点，且，是否存在实数λ，使得二面角P﹣DE ﹣B的余弦值为？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：+y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E 与椭圆F ：+=1是“相似椭圆”，求常数s 的值； （2）设椭圆G ： +y 2=λ（0＜λ＜1），过A 作斜率为k 1的直线l 1与椭圆G 仅有一个公共点，过椭圆E 的上顶点为D 作斜率为k 2的直线l 2与椭圆G 仅有一个公共点，当λ为何值时|k 1|+|k 2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E 与椭圆H ： +=1（t ＞2）是相似椭圆．椭圆H 上异于A 、B 的任意一点C （x 0，y 0），求证：△ABC 的垂心M 在椭圆E 上．2016-2017学年山东省烟台市高二（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．命题“∀x∈R，都有x2≥0”的否定为（）A．不存在x0∈R，使得B．∀x∈R，都有x2＜0C．∃x0∈R，使得D．∃x0∈R，使得【考点】命题的否定．【分析】直接由特称命题与全称命题的否定关系得答案．【解答】解：命题“∀x∈R，都有x2≥0”为全程命题，其否定为特称命题“∃x0∈R，使得”．故选：D．2．给出命题：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示椭圆，则mn＞0．在它的逆命题、否命题、逆否命题三个命题中，真命题的个数是（）A．3 B．2 C．1 D．0【考点】四种命题．【分析】根据椭圆的定义判断原命题的真假，从而求出逆否命题的真假，求出逆命题的真假，从而判断出否命题的真假即可．【解答】解：若方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示椭圆，则m＞0，n＞0，故mn ＞0，故原命题是真命题，逆否命题是真命题，若mn＞0，则方程mx2+ny2=1（m，n∈R）表示椭圆，是假命题，故否命题是假命题，故选：B．3．命题p：若a＞b，则ac2＞bc2；命题q：∃x0＞0，使得x0﹣1+lnx0=0，则下列命题为真命题的是（）A．p∧q B．（￢p）∧q C．p∨（￢q）D．（￢p）∧（￢q）【考点】复合命题的真假．【分析】分别判断出命题p，q的真假，从而判断出符合命题的真假即可．【解答】解：若a＞b，则推不出ac2＞bc2，c=0时，不成立，故命题p是假命题；显然∃x0=1＞0，使得x0﹣1+lnx0=0，故命题q是真命题；故（￢p）∧q是真命题，故选：B．4．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（）A．2 B．3 C．4 D．6【考点】共线向量与共面向量．【分析】根据所给的三个向量的坐标，写出三个向量共面的条件，点的关于要求的两个方程组，解方程组即可．【解答】解：∵=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），三个向量共面，∴，∴（2，﹣1，2）=x（﹣1，3，﹣3）+y（13，6，λ）∴解得：5．平面内有两定点A，B及动点P，设命题甲：“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值”，命题乙：“点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线”，那么命题甲是命题乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】根据双曲线的定义得到：若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B 为两个定点间的距离，从而判断出结论即可．【解答】解：设“|PA|与|PB|之差的绝对值是定值|k|，若动点P的轨迹为双曲线，则|k|要小于A、B为两个定点间的距离．当|k|大于A、B为两个定点间的距离时动点P的轨迹不是双曲线．故命题甲是命题乙的必要不充分条件，故选：B．6．已知F是抛物线y2=2x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=11，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．3 B．4 C．5 D．7【考点】抛物线的简单性质．【分析】求得抛物线的焦点坐标，根据抛物线的焦点弦公式，求得x1+x2=10，则线段AB的中点横坐标为，即可求得线段AB的中点到y轴的距离．【解答】解：∵F是抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程x=﹣，设A（x1，y1），B（x2，y2）∴|AF|+|BF|=x1++x2+=11∴x1+x2=10，∴线段AB的中点横坐标为=5，∴线段AB的中点到y轴的距离为5，7．已知命题p：|x﹣a|＜4，命题q：（x﹣2）（3﹣x）＞0．若￢p是￢q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是（）A．[﹣1，6]B．（﹣∞，﹣1）C．（6，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（6，+∞）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】求出命题p，q的等价条件，利用￢p是￢q的充分不必要条件，转化为q是p的充分不必要条件，即可求出a的取值范围．【解答】解：∵|x﹣a|＜4，∴a﹣4＜x＜a+4，即p：a﹣4＜x＜a+4，∵（x﹣2）（x3﹣x）＞0，∴2＜x＜3，即q：2＜x＜3．∵￢p是￢q的充分不必要条件，∴q是p的充分不必要条件，即，（等号不能同时取得），即，∴﹣1≤a≤6，故选：A．8．已知空间向量=（1，n，2），=（﹣2，1，2），若2﹣与垂直，则| |等于（）A．B．C．D．【考点】向量的数量积判断向量的共线与垂直．【分析】利用向量垂直关系，2﹣与垂直，则（2﹣）•=0，即可得出．【解答】解：∵=（1，n，2），=（﹣2，1，2），∴2﹣=（4，2n﹣1，2），∵2﹣与垂直，∴（2﹣）•=0，∴﹣8+2n﹣1+4=0，解得，n=，∴=（1，，2）∴||==．故选：B．9．与x轴相切且和半圆x2+y2=4（0≤y≤2）内切的动圆圆心的轨迹方程是（）A．x2=﹣4（y﹣1）（0＜y≤1）B．x2=4（y﹣1）（0＜y≤1）C．x2=4（y+1）（0＜y≤1）D．x2=﹣2（y﹣1）（0＜y≤1）【考点】轨迹方程．【分析】当两圆内切时，根据两圆心之间的距离等于两半径相减可得动圆圆心的轨迹方程．【解答】解：设动圆圆心为M（x，y），做MN⊥x轴交x轴于N．因为两圆内切，|MO|=2﹣|MN|，所以=2﹣y，化简得x2=4﹣4y（1≥y＞0）故选A．10．在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面为正三角形，侧棱垂直底面，AB=4，AA1=6．若E，F分别是棱BB1，CC1上的点，且，则异面直线A1E与AF 所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【考点】异面直线及其所成的角．【分析】由题意建立空间直角坐标系，利用空间向量求得与所成角的余弦值，即可得到异面直线A1E与AF所成角的余弦值．【解答】解：以AB中点为原点建立如图所示空间直角坐标系，∵AB=4，AA1=6，且，∴A（0，﹣2，0），A1（0，﹣2，6），E（0，2，3），F（﹣2，0，4），∴，．则cos＜＞==．∴异面直线A1E与AF所成角的余弦值为．故选：D．11．设点A，B的坐标分别为（4，0），（﹣4，0），直线AP，BP相交于点P，且它们的斜率之积为实数m，关于点P的轨迹下列说法正确的是（）A ．当m ＜﹣1时，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除与x 轴的两个交点）B ．当﹣1＜m ＜0时，轨迹为焦点在y 轴上的椭圆（除与y 轴的两个交点）C ．当m ＞0时，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除与x 轴的两个交点）D ．当0＜m ＜1时，轨迹为焦点在y 轴上的双曲线（除与y 轴的两个交点） 【考点】命题的真假判断与应用．【分析】把m ＜﹣1代入mx 2﹣y 2=16m ，轨迹为焦点在y 轴上的椭圆（除与y 轴的两个交点），判断A 不正确，把﹣1＜m ＜0代入mx 2﹣y 2=16m ，轨迹为焦点在在x 轴上的椭圆（除与x 轴的两个交点），判断B 不正确，把0＜m ＜1代入mx 2﹣y 2=16m ，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除与x 轴的两个交点），判断D 不正确，设出P 点坐标，由向量之积等于m 列式，可得P 的轨迹方程，核对四个选项得答案．【解答】解：设P （x ，y ），则=（x ≠4），（x ≠﹣4），由k BP •k AP =m ，得，∴mx 2﹣y 2=16m ． 当m ＞0时，方程化为（x ≠±4），轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除与x 轴的两个交点）． 故选：C ．12．已知点F 1、F 2分别是双曲线C ：﹣=1（a ＞0，b ＞0）的左右焦点，过F 1的直线l 与双曲线C 的左、右两支分别交于A 、B 两点，若|AB |：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．4C ．D ．【考点】双曲线的简单性质．【分析】根据双曲线的定义可求得a=1，∠ABF 2=90°，再利用勾股定理可求得2c=|F 1F 2|，从而可求得双曲线的离心率． 【解答】解：∵|AB |：|BF 2|：|AF 2|=3：4：5，不妨令|AB|=3，|BF2|=4，|AF2|=5，∵|AB|2+|BF2|2=|AF2|2，∴∠ABF2=90°，又由双曲线的定义得：|BF1|﹣|BF2|=2a，|AF2|﹣|AF1|=2a，∴|AF1|+3﹣4=5﹣|AF1|，∴|AF1|=3．∴|BF1|﹣|BF2|=3+3﹣4=2a，∴a=1．在Rt△BF1F2中，|F1F2|2=|BF1|2+|BF2|2=62+42=52，又|F1F2|2=4c2，∴4c2=52，∴c=，∴双曲线的离心率e==．故选：C．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．抛物线y=x2的焦点坐标是（0，1）．【考点】抛物线的简单性质．【分析】抛物线方程即x2=4y，从而可得p=2，=1，由此求得抛物线焦点坐标．【解答】解：抛物线即x2=4y，∴p=2，=1，故焦点坐标是（0，1），故答案为（0，1）．14．已知在空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM=3MA，N为BC中点，用表示，则等于﹣++．【考点】空间向量的基本定理及其意义．【分析】根据题意画出图形，结合图形，利用空间向量的线性运算法则，用、和表示出即可．【解答】解：如图所示，空间四边形OABC 中，，∵点M 在OA 上，且OM=3MA ，∴=；又N 为BC 中点， ∴=（+）∴=﹣=（+）﹣=﹣++．故答案为：．15．过椭圆右焦点的直线交M 于A ，B 两点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为，则椭圆M 的方程为 ．【考点】椭圆的简单性质．【分析】由直线方程，代入椭圆方程，求得焦点坐标，利用中点坐标公式及点差法即可求得a 和b 的关系，又由c=，即可取得a 和b 的值，求得椭圆方程．【解答】解：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．直线过椭圆的焦点，则焦点坐标为（，0），则x0=，y0=，直线AB的斜率k==﹣1．将A、B代入椭圆方程可得： +=1①， +=1②，相减可得：①﹣②得到﹣•=﹣1，又OP的斜率为=，∴a2=2b2，又c=，a2=b2+c2，解得a2=6，b2=3．椭圆的标准方程为．故答案为：16．下列四个命题：①“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0”，则a2+b2≠0”；②已知曲线C的方程是kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4；③“”是“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直”的充分不必要条件；④已知双曲线的一条渐近线经过点（1，2），则该双曲线的离心率的值为．上述命题中真命题的序号为③④．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】①，“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a2+b2≠0”；②，曲线kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R）是椭圆的充要条件是0＜k＜4且k≠2；③，当直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直时，或﹣2；④，当双曲线的渐近线经过点（1，2）时，则点（1，2）在渐近线y=上，故，可得双曲线的离心率；【解答】解：对于①，“a2+b2=0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b不全为0”，则a2+b2≠0”，故错；对于②，已知曲线C的方程是kx2+（4﹣k）y2=1（k∈R），曲线C是椭圆的充要条件是0＜k＜4且k≠2，故错；对于③，∵当直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m﹣2）x+（m+2）y﹣3=0相互垂直时，或﹣2，故正确；对于④，当双曲线的渐近线经过点（1，2）时，则点（1，2）在渐近线y=上，故，则该双曲线的离心率的值为=．故正确；故答案为：③④三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．已知实数c＞0，设命题p：函数y=（2c﹣1）x在R上单调递减；命题q：不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，如果p∨q为真，p∧q为假，求c的取值范围．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】如果p∨q为真，p∧q为假，则p，q只能一真一假，进而得到答案．【解答】解：由函数y=（2c﹣1）x在R上单调递减可得，0＜2c﹣1＜1，解得．设函数，可知f（x）的最小值为2c，要使不等式x+|x﹣2c|＞1的解集为R，只需，因为p或q为真，p且q为假，所以p，q只能一真一假，当p真q假时，有，无解；当p假q真时，有，可得c≥1，综上，c的取值范围为c≥1．18．已知抛物线y2=4x截直线y=2x+m所得弦长．（1）求m的值；（2）设P是x轴上的点，且△ABP的面积为，求点P的坐标．【考点】抛物线的简单性质．【分析】（1）将直线方程代入抛物线方程，由韦达定理及弦长公式可知．即可求得m的值；（2）由直线AB的方程，利用点到直线的距离公式求得，利用三角形的面积公式，即可求得点P的坐标．【解答】解：（1）将直线方程代入抛物线方程，整理得4x2+4（m﹣1）x+m2=0．设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=1﹣m，．于是==．因为，所以=，解得m=﹣1．∴m的值﹣1；（2）设P（a，0），P到直线AB的距离为d，因为l AB：2x﹣y+m=0，由点到直线的距离公式得，又，所以，于是，解得a=5或a=﹣4，故点P的坐标为（5，0）或（﹣4，0）．19．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，PA=AD=1，E、F分别为PD、AC的中点．（Ⅰ）求证：EF∥平面PAB；（Ⅱ）求直线EF与平面ABE所成角的大小．【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）取PA中点M，AB中点N，连接MN，NF，ME，容易证明四边形MNFE为平行四边形，所以EF∥MN，所以得到EF∥平面PAB；（Ⅱ）分别以向量的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系A﹣xyz．可以确定点P，A，B，C，D，E，F的坐标，从而确定向量的坐标，设平面ABE的法向量为，根据即可求得一个法向量，根据法向量和向量的夹角和EF与平面ABE所成的角的关系即可求出所求的角．【解答】解：（Ⅰ）证明：分别取PA和AB中点M，N，连接MN、ME、NF，则NF∥AD，且NF=，ME∥AD，且ME=，所以NF∥ME，且NF=ME所以四边形MNFE为平行四边形；∴EF∥MN，又EF⊄平面PAB，MN⊂平面PAB，∴EF∥平面PAB；（Ⅱ）由已知：底面ABCD为正方形，侧棱PA⊥底面ABCD，所以AP，AB，AD 两两垂直；如图所示，以A为坐标原点，分别以为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系A﹣xyz，所以：P（0，0，1），A（0，0，0，），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），；∴，；设平面ABE法向量，则；∴令b=1，则c=﹣1，a=0；∴为平面ABE的一个法向量；设直线EF与平面ABE所成角为α，于是：；所以直线EF与平面ABE所成角为．20．已知抛物线的焦点F也是椭圆的一个焦点，C1与C2的公共弦的长为．（1）求椭圆C2的方程；（2）经过点（﹣1，0）作斜率为k的直线l与曲线C2交于A，B两点，O是坐标原点，是否存在实数k，使O在以AB为直径的圆外？若存在，求k的取值范围；若不存在，请说明理由．【考点】圆锥曲线的综合．【分析】（1）由抛物线的焦点坐标（0，1），求得a和b的关系，由C1与C2的公共点的坐标为（±，），代入椭圆方程，即可求得a和b的值，求得椭圆方程；（2）设直线l的方程为y=k（x+1），代入椭圆方程，利用韦达定理及向量数量积的坐标运算，即可求得，可知O恒在为AB直径的圆内，故不存在实数k．【解答】解：（1）由C1：x2=4y知其焦点F的坐标为（0，1）．因为F也是椭圆C2的一个焦点，所以a2﹣b2=1．①又C1与C2的公共弦的长为，C1与C2都关于y轴对称，且C1的方程为x2=4y，由此易知C1与C2的公共点的坐标为（±，），所以．②联立①，②得a2=9，b2=8．故C2的方程为．（2）由题意直线l的斜率存在，设直线l的方程为y=k（x+1），联立方程，整理得（9+8k2）x2+16k2x+8k2﹣72=0．设A（x1，kx1+k），B（x2，kx2+k），于是有x1+x2=，x1x2=．因为，•=x 1x 2+（kx 1+k ）（kx 2+k ）==．所以． 可知O 恒在为AB 直径的圆内．∴不存在实数k ，使O 在以AB 为直径的圆外．21．如图，在四棱锥P ﹣ABCD 中，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=AD=2，四边形ABCD 满足AB ⊥AD ，BC ∥AD 且BC=4，点M 为PC 中点．（1）求证：DM ⊥平面PBC ；（2）若点E 为BC 边上的动点，且，是否存在实数λ，使得二面角P ﹣DE ﹣B 的余弦值为？若存在，求出实数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定．【分析】（1）取PB 中点N ，连结MN ，AN ．由三角形中位线定理可得四边形ADMN为平行四边形．由AP ⊥AD ，AB ⊥AD ，由线面垂直的判定可得AD ⊥平面PAB ．进一步得到AN ⊥MN ．再由AP=AB ，得AN ⊥PB ，则AN ⊥平面PBC ．又AN ∥DM ，得DM ⊥平面PBC ；（2）以A 为原点，方向为x 轴的正方向，方向为y 轴的正方向，方向为z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设E （2，t ，0）（0≤t ≤4），再求得P ，D ，B 的坐标，得到的坐标，求出平面PDE 的法向量，再由题意得到平面DEB 的一个法向量，由两法向量夹角的余弦值得到实数λ的值．【解答】（1）证明：如图，取PB 中点N ，连结MN ，AN ．∵M 是PC 中点，∴MN ∥BC ，MN=BC=2．又∵BC∥AD，AD=2，∴MN∥AD，MN=AD，∴四边形ADMN为平行四边形．∵AP⊥AD，AB⊥AD，AP∩AB=A，∴AD⊥平面PAB．∵AN⊂平面PAB，∴AD⊥AN，则AN⊥MN．∵AP=AB，∴AN⊥PB，又MN∩PB=N，∴AN⊥平面PBC．∵AN∥DM，∴DM⊥平面PBC；（2）解：存在符合条件的λ．以A为原点，方向为x轴的正方向，方向为y轴的正方向，方向为z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系．设E（2，t，0）（0≤t≤4），P（0，0，2），D（0，2，0），B（2，0，0），则，．设平面PDE的法向量=（x，y，z），则，令y=2，则z=2，x=t﹣2，取平面PDE的一个法向量为=（2﹣t，2，2）．又平面DEB即为xAy平面，故其一个法向量为=（0，0，1），∴cos＜＞==．解得t=3或t=1，∴λ=3或．22．设椭圆E1的长半轴长为a1、短半轴长为b1，椭圆E2的长半轴长为a2、短半轴长为b2，若=，则我们称椭圆E1与椭圆E2是相似椭圆．已知椭圆E：+y2=1，其左顶点为A、右顶点为B．（1）设椭圆E与椭圆F： +=1是“相似椭圆”，求常数s的值；（2）设椭圆G： +y2=λ（0＜λ＜1），过A作斜率为k1的直线l1与椭圆G仅有一个公共点，过椭圆E的上顶点为D作斜率为k2的直线l2与椭圆G仅有一个公共点，当λ为何值时|k1|+|k2|取得最小值，并求其最小值；（3）已知椭圆E与椭圆H： +=1（t＞2）是相似椭圆．椭圆H上异于A、B的任意一点C（x0，y0），求证：△ABC的垂心M在椭圆E上．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）运用“相似椭圆”的定义，讨论s＞2，0＜s＜2，列出等式，解方程可得s；（2）求得A，D的坐标，可得直线l1与直线l2的方程，代入椭圆G的方程，运用判别式为0，求得|k1|，|k2|，再由基本不等式即可得到所求最小值；（3）求得椭圆H的方程，设出椭圆H上的任意一点C（x0，y0），代入椭圆H的方程；设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），运用垂心的定义，结合两直线垂直的条件：斜率之积为﹣1，化简整理，可得M的坐标，代入椭圆E的方程即可得证．【解答】解：（1）显然椭圆E的方程为=1，由椭圆E与F相似易得：当s＞2时⇒s=4；当0＜s＜2时⇒s=1．则s=4或1；（2）易得，可得l1、l2的方程分别为、y=k2x+1，依题意联立：⇒（1+2k12）x2+4k12x+4k12﹣2λ=0，又直线l1与椭圆G相切，则△1=0（又0＜λ＜1），即32k14﹣4（1+2k12）（4k12﹣2λ）=0，即|k1|=，依题意再联立：⇒（1+2k22）x2+4k2x+2﹣2λ=0，又直线l2与椭圆G相切则△2=0（又0＜λ＜1），即16k22﹣4（1+2k22）（2﹣2λ）=0，即|k2|=，故|k1k2|=，即|k1|+|k2|≥2，当且仅当|k1|=|k2|时取到等号，此时λ=，所以当λ=时|k1|+|k2|取得最小值；（3）证明：显然椭圆E：=1，由=，可得t=4，即有椭圆H：=1．由椭圆H上的任意一点C（x0，y0），于是=1①设△ABC的垂心M的坐标为（x M，y M），由CM⊥AB得x M=x0，又AM⊥BC⇒=﹣1，将x M=x0代入=﹣1，得x02=2﹣y0y M②由①②得y0=2y M．又x0=x M代入（1）得2=1，即△ABC的垂心M在椭圆E上．2017年3月20日。
山东省烟台市蓬莱区(五四制)2024-2025学年九年级上学期期中考试数学试题(含答案)
蓬莱区2024-2025学年第一学期期中学业水平考试初四数学试题一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A ，B ，C ，D 四个备选答案，其中有且只有一个是正确的．1．如图，在中，，，，，则下列选项错误的是（）第1题图A ．B ．C ．D ．2．下列关系式中，属于二次函数的是（x 为自变量）（ ）A ．B ．C ．D ．3．在中，∠A 和∠C 都是锐角，且，的形状是（ ）A ．直角三角形 B ．钝角三角形C．等边三角形D ．不能确定4．如果在高为2米，坡度为1:2的楼梯上铺地毯，那么地毯长度至少需要（ ）A ．2米B ．6米C ．米D ．米5．已知反比例函数图像经过点，下列说法中不正确的是（ ）A ．该函数图像在第二、四象限B ．点在该函数图像上C ．当时，D ．y 随x 的增大而增大6．已知二次函数的图像与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）A ．B ．C ．且D ．且7．如图，在边长相等的小正方形组成的网格中，点A ，B ，C 都在格点上，那么的值（）ABC △90C ∠=︒BC a =AC b =AB c =sin a A c=cos a B c=tan a A b=tan b B c=218y x =y =21y x =22y a x=ABC △sin A =tan C =ABC △2+ky x=-()2,3-()1,6-1x >60y -<<()2321y k x x =-+-2k ≥2k ≤2k ≥3k ≠4k ≥-3k ≠sin ACB ∠第7题图ABCD ．8．如图，在中，O 是角平分线AD ，BE 的交点，若，，则的值是（）第8题图AB ．CD ．9．一次函数和反比例函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图①，在中，，，F 是边AB 的中点，P 是边BC 上一动点，设，，图②是y 关于x 的函数图象，图象中的最低点的坐标为，那么的值为（）13ABC △10AB AC ==12BC =tan OBD ∠2312y ax b =+cy x=2y ax bx c =+-ABC △AB AC =120BAC ∠=︒PC x =PA PE y +=(),b a a b +第10题图AB ．C ．D二、填空题（共6个小题，每小题3分，满分18分）11．函数x 的取值范围是______．12．点和点在反比例函数（k 为常数）的图象上，若，则，，0的大小关系为______．（用“<”连接）13．如图，在平面直角坐标系中，点O 是坐标原点，平行四边形ABCD 的顶点A 、B 在x 轴的正半轴上，顶点C 在第一象限内，顶点D 在y 轴的正半轴上，对角线AC 和BD 相交于点E 且，函数的图象经过点E ．若平行四边形ABCD 的面积为8，则k 的值为______．第13题图14．在中，，，则BC 的长为______．15．若抛物线与一次函数的图象都经过同一定点，则代数式的值是______．16．如图，已知开口向下的抛物线对称轴为直线，与x 轴交于点，与一次函数的图象交于，．下列结论正确的有______．（填序号）4+4+y =()11,M x y ()22,N x y 223k k y x-+=120x x <<1y 2y AC AB ⊥()0,0ky k x x=>>ABC △1tan 2B ∠=AB =2AC =()21y x a x a =+--y ax b =+23a ab +-()210y ax bx c a =++≠1x =-()1,0()20y mx n m =+≠()2,A p -()1.5,B q第16题图①；②；③使不等式成立的x 的取值范围是或；④若关于x 的一元二次方程有实数根，则；三、解答题（本大题共9个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程）17．（本题满分8分）计算：（1（2）．18．（本题满分6分）如图，AD 是的中线，，，，求：（1）BC 的长；（2）∠ADC 的值．19．（本题满分9分）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于，两点，连接AO ，BO ，延长AO 交反比例函数图象于点C ．（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）当时，自变量x 的取值范围；0abc <20a b +=2ax bx c mx n ++<+2x <- 1.5x >210ax bx cd ++-+=1d a c≥-+6045tan 60︒-︒︒-︒()112cos30tan 602π 3.142-⎛⎫︒+︒-+-+- ⎪⎝⎭ABC △1tan 3B =cos C =AC =1y ax b =+2ky x=()2,8A ()8,B n 1y 2y 12y y <（3）点P 是x 轴上一点，当时，请求出点P 的坐标．20．（本题满分10分）已知二次函数图象的顶点坐标为，且图象经过点，．（1）求二次函数的表达式；（2）将二次函数的图象向右平移个单位，图象经过点，求m 的值；（3）在由（2）平移后的图象上，当时，函数的最小值为－3，求n 的值．21．（本题满分9分）图1，2分别是某吊车在吊一物品时的实物图与示意图，已知吊车底盘CD 的高度为2米，支架BC 的长为4米，BC 的坡度为，吊绳AB 与支架BC 的夹角为80°，吊臂AC 与地面成70°角，求吊车的吊臂顶端A 点距地面的高度是多少米？（精确到0.1米；参考数据：，，，，）22．（本题满分9分）操作与探究：（1）在如图的平面直角坐标系xOy 中画出函数的图象；（2）仔细观察图象，结合所学知识解答下列问题：①当函数值时，自变量x 的取值范围是______；45PAC AOB S S =△△()1,4-()3,0()0,3-()0m m >151,4⎛⎫-⎪⎝⎭21n x n -≤≤+sin10cos800.17︒=︒≈cos10sin 800.98︒=︒≈sin 20cos 700.34︒=︒≈tan 70 2.75︒≈sin 700.94︒≈223y x x =--+0y ≥②当时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是______；③当时，函数值，直接写出n 的取值范围______．23．（本题满分9分）中国蓬莱，位于山东半岛东部，以其独特的地理条件和丰富的葡萄种植资源而闻名于世．如今，蓬莱凭借其得天独厚的气候与土壤条件，成功跻身世界七大葡萄海岸之列，吸引着众多葡萄酒爱好者和旅行者前来探索．某店购进一种葡萄酒，每瓶进价为50元，规定销售单价不低于成本．该葡萄酒月销售量y （瓶）与售价x （元/瓶）的变化情况部分数据如下表：售价x （元/瓶）…55606570…销售量y （瓶）…1500140013001200…（1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识直接判断y 是关于x 的哪种函数，并求出函数关系式；（2）若该种葡萄酒的每瓶利润不超过进价的30%，设这种葡萄酒每月的总利润为w （元），那么售价定为多少元可获得最大利润？最大利润是多少元？24．（本题满分12分）如图，抛物线与x 轴交于点，，与y轴交于点C ，连接BC ．（1）求抛物线的解析式；（2）点P 在BC 下方的抛物线上，连接BP ，CP ，若，求点P 的坐标；（3）点N 在线段OC 上，若存在最小值n ，求点N 的坐标及n 的值．x m <2x n -≤≤34y ≤≤24y ax bx =+-()1,0A -()4,0B 12BCP BOC S S =△△AN +2024-2025学年度第一学期期中学业水平考试初四数学试题参考答案及评分建议一、选择题（每小题3分，满分30分）题号12345678910答案D A C B D C C D B A 二、填空题（每小题3分，满分18分）11．且12．13．4 14．15．－3 16．③④三、解答题（满分72分）17．（本题满分8分）（1）解：原式（2）原式．18．（本题满分6分）（1）解：过点A作于点E，∵，∴，在中，，∴，在中，，即，∴，∴；（2）解：∵AD是的中线，∴，∴，∵，，∴．19．（本题满分9分）解：（1）将代入得，解得，∴反比例函数的解析式为，1x≥-1x≠12y y<<13352222 ==--=-=22231242=---+=+-=-AE BC⊥cos C=45C∠=︒Rt ACE△cos1CE AC C=⋅=1AE CE==Rt ABE△1tan3B=13AEBE=33BE AE==4BC BE CE=+=ABC△122CD BC==1DE CD CE=-=AE BC⊥DE AE=45ADC∠=︒()2,8A2kyx=82k=16k=216yx=把代入得，，∴，将，代入得，解得，∴一次函数为；（2）由图象可知，当时，自变量x 的取值范围为：或；（3）设一次函数与x 轴的交点为D由题意可知，把∴，代入得，，解得，∴，∴，∵，∴，∴，即，∴，∴或．20．（本题满分10分）解：（1）∵二次函数图象的顶点坐标为，设二次函数解析式为：，∵二次函数图象经过点，，∴，解得：，∴二次函数解析式为；（2）将二次函数的图象向右平移个单位后，二次函数解析式为，∵平移后二次函数图象经过点，∴，()8,B n 1628n ==()8,2B ()2,8A ()8,2B 1y ax b =+2881a b a b +=⎧⎨+=⎩110a b =-⎧⎨=⎩110y x =-+12y y <8x >02x <<1y OA OC =2APC AOP S S =△△0y =110y x =-+10x x =-+10x =()10,0D 111081023022AOB AOD BOD S S S =-=⨯⨯-⨯⨯=△△△44302455PAC AOB S S ==⨯=△△224AOP S =△12242A OP y ⨯⨯=128242OP ⨯⨯=3OP =()3,0P ()3,0P -()1,4-()214y a x =--()3,0()0,3-()23014a -=--1a =()221423y x x x =--=--()0m m >()214y x m =---151,4⎛⎫-⎪⎝⎭()2151144m -=---解得：，（舍去），∴m的值为；（3）由（2）可知：平移后二次函数解析式为，函数图像开口向上，对称轴为，当函数取值为－3时，则有，解得：，，∵当时，函数的最小值为－3，∴x 的取值为或，①当x 的取值为时，则有，解得：，②当x 的取值为时，则有，解得：，∴n 的值为或．21．（本题满分9分）解：如图，由题可知，，，米，米，，，∵BC 的坡度为，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，过点A 作于M ，∴米，∵在中，米，，∴，∴米，∵在中，米，，112m =212m =-122342y x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭32x =23342x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭152x =212x =21n x n -≤≤+212x =152x =212x =112n +=12n =-152x =522n -=92n =12-92BH HE ⊥AE HE ⊥2CD =4BC =80ABC ∠=︒70ACE ∠=︒tan BH BCH CH ∠===30BCH ∠=︒180BCH ACB ACE ∠+∠+∠=︒80ACB ∠=︒80ABC ∠=︒ABC ACB ∠=∠AB AC =AM BC ⊥2CM BM ==Rt ACM △2CM =80ACB ∠=︒cos cos800.17CM ACB AC ∠==︒≈22000.170.1717CM AC ===Rt ACE △20017AC =70ACE ∠=︒∴，∴米，∴米，∴点A 到地面的距离为13．1米22．（本题满分9分）（1）列表：x …－3－2－101…y…343…描点，连线，如图，（2）①根据图象可知，当函数值时，自变量x 的取值范围是；②根据图象可知，当时，y 随x 的增大而增大，当时，y 随x 的增大而增大，则m 的取值范围是；③根据图象可知，n 的取值范围是．23．（本题满分9分）解：（1）根据表格信息，设售价x （元/瓶）与销售量y （瓶）的解析式为：，且，，∴，解得，，∴函数解析式为：，当时，；当时，；符合题意，∴y 与x 是一次函数，解析式为：；（2）售价为x （元/瓶），进价为50（元/瓶），∴单件利润为：元/瓶，sin sin 700.94AE ACE AC =∠=︒≈2001880.9411.11717AE =⨯=≈11.1213.1AE CD +=+=0y ≥31x -≤≤1x <-x m <1m ≤-10n -≤≤()0y kx b k =+≠()55,1500()60,1400551500601400k b k b +=⎧⎨+=⎩202600k b =-⎧⎨=⎩202600y x =-+65x =1300y =70x =1200y =202600y x =-+()50x -∴，∴每盒利润不超过进价的30%，∴，解得，，∵，开口向下，且对称轴为，∴当时，w 随x 的增大而增大；当时，w 随x 的增大而减小；∴当时，利润取得最大值，且（元），∴售价为65元时可获得最大利润，最大利润为19500元．24．（本题满分12分）解：（1）将，坐标代入得，，解得，∴抛物线的解析式为：，（2）解：令，得，则；设直线BC 的解析式为，则，解得，∴直线BC 的解析式为，如图，过点P 作轴，交BC 于点D ．设点P 的坐标为，则点D 的坐标为．∴．由，得．解得．∴点P 的坐标为或；（3）解：如图，作，垂足为点E ．()()()25050202600203600130000w x y x x x x =-=--+=-+-505030%x -≤⨯65x ≤200-<()360090220x =-=⨯-90x <90x >65x =2206536006513000019500w =-⨯+⨯-=()1,0A -()4,0B 24y ax bx =+-4016440a b a b --=⎧⎨+-=⎩13a b =⎧⎨=-⎩234y x x =--0x =4y =-()0,4C -y mx n =+404m n n +=⎧⎨=-⎩14m n =⎧⎨=-⎩4y x =-PH x ⊥()2,34m m m --(),4m m -24DP m m =-+12BCP BOC S S =△△()21114444222m m -+⨯=⨯⨯⨯12m =+22m =-()24-()24-NE CB ⊥∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形．∴．∴．当点A ，N ，E 共线时，有最小值．最小值n 为线段AE 的长，∵为等腰直角三角形，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴为等腰直角三角形．∴，即点N 的坐标为．∴．∴n()0,4C -()4,0B 4OB OC ==45OCB ∠=︒NCE △sin 45NE NC =⋅︒=AN AN NE +=+AN NE +NCE △45CNE ∠=︒45ANO CNE ∠=∠=︒AON △45NAO ∠=︒ABE △1ON OA ==()0,1-sin 45AE AB =⋅︒=。
2016-2017学年山东省烟台市高一(上)期末数学试卷
2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜02．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．3．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．4．（5分）若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或45．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10 D．11+6．（5分）直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2 7．（5分）母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°9．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．（5分）已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．14．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是．15．（5分）已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．16．（5分）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．18．（12分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．20．（12分）如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．21．（12分）某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？22．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．2016-2017学年山东省烟台市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象限，则（）A．m＞0，n＞0 B．m＜0，n＞0 C．m＞0，n＜0 D．m＜0，n＜0【分析】根据题意，分析可得直线的斜率k为正，在y轴上的截距为正，即有﹣＞0，＜0，分析可得答案．【解答】解：根据题意，直线mx+ny﹣1=0过第一、三、四象，则直线的斜率k 为正，在y轴上的截距为正，如图：则必有﹣＞0，＜0，分析可得：m＞0，n＜0，故选：C．【点评】本题考查直线的一般式方程，关键是利用函数所过的象限分析直线的斜率、截距的关系，属于基础题．2．（5分）函数f（x）=e x﹣的零点所在的区间是（）A．B．C．D．【分析】根据零点存在定理，对照选项，只须验证f（0），f（），f（），等的符号情况即可．也可借助于图象分析：画出函数y=e x，y=的图象，由图得一个交点．【解答】解：画出函数y=e x，y=的图象：由图得一个交点，由于图的局限性，下面从数量关系中找出答案．∵，，∴选B．故选：B．【点评】超越方程的零点所在区间的判断，往往应用零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）＜0，则函数y=f（x）在区间[a，b]上有零点．3．（5分）设l，m，n表示三条直线，α，β，γ表示三个平面，则下面命题中不成立的是（）A．若l⊥α．m⊥α，则l∥mB．若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥nC．若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥αD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β．【分析】A，两条直线同垂直一平面，此两直线平行；B，由三垂线定理判定；C，由线面平行的判定定理判定；D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交；【解答】解：对于A，两条直线同垂直于一平面，此两直线平行，故正确；对于B，若m⊂β，m⊥l，n是l在β内的射影，则m⊥n，由三垂线定理知正确；对于C，若m⊂α，n⊄α，m∥n，则n∥α，由线面平行的判定知正确；对于D，若α⊥γ．β⊥γ时，α、β可能相交，故错；故选：D．【点评】本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题．4．（5分）若直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0垂直，则实数k的值是（）A．3或﹣3 B．3或4 C．﹣3或﹣1 D．﹣1或4【分析】利用两条直线相互垂直与斜率的关系即可得出．【解答】解：∵直线l1：（k﹣3）x+（k+4）y+1=0与l2：（k+1）x+2（k﹣3）y+3=0互相垂直，∴（k﹣3）×（k+1）+（k+4）×2（k﹣3）=0，即k2﹣9=0，解得k=3或k=﹣3，故选：A．【点评】本题考查了两条直线相互垂直与斜率的关系，属于基础题．5．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A．12+B．10+C．10 D．11+【分析】三视图复原的几何体是为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，求出几何体的表面积即可．【解答】解：由三视图知：原几何体为一个三棱柱截去一个三棱锥，三棱柱的底面为边长是2的等边三角形，高为2，所以该几何体的表面积为S==12+．故选：A．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的形状的判断，几何体的侧面积的求法，考查计算能力，空间想象能力．6．（5分）直线mx+y﹣1=0在y轴上的截距是﹣1，且它的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则（）A．m=﹣，n=﹣2 B．m=，n=2 C．m=，n=﹣2 D．m=﹣，n=2【分析】根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，由直线的一般式方程分析可得：直线=0的斜率k=，倾斜角为60°，结合题意可得直线l的倾斜角为120°，进而可得其斜率，又由其在y轴上的截距是﹣1，可得直线l的方程，结合直线的方程分析可得答案．【解答】解：根据题意，设直线mx+y﹣1=0为直线l，另一直线的方程为=0，变形可得y=（x﹣3），其斜率k=，则其倾斜角为60°，而直线l的倾斜角是直线=0的倾斜角的2倍，则直线l的倾斜角为120°，且斜率k=tan120°=﹣，又由l在y轴上的截距是﹣1，则其方程为y=﹣x﹣1；又由其一般式方程为mx+y﹣1=0，分析可得：m=﹣，n=﹣2；故选：A．【点评】本题考查直线的斜截式方程，关键是由直线的倾斜角求出直线的斜率．7．（5分）母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，则该圆锥的体积为（）A．B．C．D．【分析】先求出侧面展开图的弧长，从而求出底面圆半径，进而求出圆锥的高，由此能求出圆锥体积．【解答】解：∵母线长为1的圆锥的侧面展开图的圆心角等于120°，120°=，∴侧面展开图的弧长为：1×=，弧长=底面周长=2πr，∴r=，∴圆锥的高h==，∴圆锥体积V=×π×r2×h=π．故选：A．【点评】本题考查圆锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．8．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为（）A．30°B．60°C．90°D．120°【分析】由题意画出图形，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，则B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，可得B1G⊥BN，即异面直线C1M 与BN所成角为90°．【解答】解：如图，取AB中点G，连接MG，可得四边形MGB1C1为平行四边形，则B1G∥C1M，∴B1G与BN所成角即为异面直线C1M与BN所成角，由题意可得Rt△BAN≌Rt△B1BG，则有∠NBG+∠B1GB=90°，∴B1G⊥BN，即异面直线C1M与BN所成角为90°．故选：C．【点评】本题考查异面直线所成角，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9．（5分）已知点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的最小值为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】考虑a2+b2的几何意义，利用转化思想，求出原点到直线3x+4y﹣20=0的距离即可．【解答】解：∵点M（a，b）在直线3x+4y﹣20=0上，则的几何意义是点M（a，b）到原点的距离，而原点到直线的距离d==4，则的最小值为：4．故选：B．【点评】本题考查点到直线的距离公式，也利用利用二次函数的性质求解，考查计算能力，是基础题．10．（5分）已知边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC 折起，使BD=a，则三棱锥D﹣ABC的体积为（）A．B．C．D．【分析】三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．过B点作BO⊥底面ACD，则点O是底面的中心，由勾股定理求出BO，由此能求出三棱锥D﹣ABC的体积．【解答】解：∵边长为a的菱形ABCD中，∠ABC=60°，将该菱形沿对角线AC折起，使BD=a，∴由题意可得：三棱锥B﹣ACD是一个正四面体．如图所示：过B点作BO⊥底面ACD，垂足为O，则点O是底面的中心，AO==．在Rt△ABO中，由勾股定理得BO===．∴三棱锥D﹣ABC的体积V===．故选：D．【点评】本题考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．11．（5分）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【分析】本题考查的知识点是线面夹角，由已知中侧棱垂直于底面，我们过D 点做BC的垂线，垂足为E，则DE⊥底面ABC，且E为BC中点，则E为A点在平面BB1C1C上投影，则∠ADE即为所求线面夹角，解三角形即可求解．【解答】解：如图，取BC中点E，连接DE、AE、AD，依题意知三棱柱为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE=，DE=，tan∠ADE=，∴∠ADE=60°．故选：C．【点评】求直线和平面所成的角时，应注意的问题是：（1）先判断直线和平面的位置关系．（2）当直线和平面斜交时，常用以下步骤：①构造﹣﹣作出或找到斜线与射影所成的角；②设定﹣﹣论证所作或找到的角为所求的角；③计算﹣﹣常用解三角形的方法求角；④结论﹣﹣点明斜线和平面所成的角的值．12．（5分）如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，则该多面体的体积为（）A．B．5 C．6 D．【分析】法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，该多面体的体积V ABCDEF=V BCF﹣GHE+V E﹣AGHD，由此能求出结果．=6，由整个几何体大于法二：连接BE、CE，求出四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD四棱锥E﹣ABCD的体积，能求出结果．【解答】解法一：取AB中点G，CD中点H，连结GE、GH、EH，∵在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，EF=，且点E到平面ABCD的距离为2，∴该多面体的体积：V ABCDEF=V BCF﹣GHE+V E﹣AGHD=S△BCF×EF+=+=．故选：D．解法二：如下图所示，连接BE、CE=×3×3×2=6，则四棱锥E﹣ABCD的体积V E﹣ABCD又∵整个几何体大于四棱锥E﹣ABCD的体积，∴所求几何体的体积V ABCDEF＞V E，﹣ABCD故选：D．【点评】本题考查多面体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知直线3x+4y﹣5=0与直线6x+my+14=0平行，则它们之间的距离是．【分析】求出m，转化为直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离．【解答】解：由题意，m=8，直线3x+4y﹣5=0与直线3x+4y+7=0之间的距离是=，故答案为：．【点评】本题考查两条平行线间的距离，考查学生的计算能力，属于中档题．14．（5分）设函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．【分析】画出分段函数的图象，由题意可得f（x）=k有两个不等的实根，数形结合得答案．【解答】解：由y=f（x）﹣k=0，得f（x）=k．令y=k与y=f（x），作出函数y=k与y=f（x）的图象如图：由图可知，函数y=f（x）﹣k有且只有两个零点，则实数k的取值范围是（，+∞）．故答案为：（，+∞）．【点评】本题考查分段函数的应用，考查函数零点的判断，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．15．（5分）已知点（0，2）关于直线l的对称点为（4，0），点（6，3）关于直线l的对称点为（m，n），则m+n=．【分析】根据题意，得到折痕为A，B的对称轴；也是C，D的对称轴，求出A，B的斜率及中点，求出对称轴方程，然后求出C，D的斜率令其等于对称轴斜率的负倒数，求出C，D的中点，将其代入对称轴方程，列出方程组，求出m，n 的值，得到答案．【解答】解：根据题意，得到折痕为A（0，2），B（4，0）的对称轴；也是C （6，3），D（m，n）的对称轴，AB的斜率为k AB=﹣，其中点为（2，1），所以图纸的折痕所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣2）所以k CD==﹣，①CD的中点为（，），所以﹣1=2（﹣2）②由①②解得m=，n=，所以m+n=．故答案为：．【点评】解决两点关于一条直线的对称问题，利用两点的连线斜率与对称轴斜率乘积为﹣1，两点的中点在对称轴上，列出方程组来解决．16．（5分）定义点P（x0，y0）到直线l：Ax+By+C=0（A2+B2≠0）的有向距离为d=．已知点P1，P2到直线l的有向距离分别是d1，d2，给出以下命题：①若d1=d2，则直线P1P2与直线l平行；②若d1=﹣d2，则直线P1P2与直线l垂直；③若d1•d2＞0，则直线P1P2与直线l平行或相交；④若d1•d2＜0，则直线P1P2与直线l相交，其中所有正确命题的序号是③④．【分析】根据有向距离的定义，及点P（x0，y0）与Ax1+By1+C的符号，分别对直线P1P2与直线l的位置关系进行判断．【解答】解：对于①，若d1﹣d2=0，则若d1=d2，∴Ax1+By1+C=Ax2+By2+C，∴若d1=d2=0时，即Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴①错误．对于②，由①知，若d1=d2=0时，满足d1+d2=0，但此时Ax1+By1+C=Ax2+By2+C=0，则点P1，P2都在直线l，∴此时直线P1P2与直线l重合，∴②错误．对于③，若d1•d2＞0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＞0，∴点P1，P2分别位于直线l的同侧，∴直线P1P2与直线l相交或平行，∴③正确；对于④，若d1•d2＜0，即（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）＜0，∴点P1，P2分别位于直线l的两侧，∴直线P1P2与直线l相交，∴④正确．故答案为：③④．【点评】本题主要考查与直线距离有关的命题的判断，利用条件推出点与直线的位置关系是解决本题的关键．综合性较强，属于难题．三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（10分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，以上、下底面的内切圆为底面，挖去一个圆柱，求剩余部分几何体的体积V．【分析】求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积和圆柱的体积，由，能求出剩余部分几何体的体积V．【解答】解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的侧棱垂直于底面，其高为6cm，底面三角形的边长分别为3cm，4cm，5cm，∴△ABC是直角边长为3cm，4cm的直角三角形，∴．…（3分）设圆柱底面圆的半径为r，则，…（6分）．…（9分）所以．…（10分）【点评】本题考查剩余部分几何体的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．18．（12分）过点P（3，0）有一条直线l，它夹在两条直线l1：2x﹣y﹣2=0与l2：x+y+3=0之间的线段恰被点P平分，求直线l的方程．【分析】设出A与B两点的坐标，因为P为线段AB的中点，利用中点坐标公式即可列出两点坐标的两个关系式，然后把A的坐标代入直线l1，把B的坐标代入直线l2，又得到两点坐标的两个关系式，把四个关系式联立即可求出A的坐标，然后由A和P的坐标，利用两点式即可写出直线l的方程．【解答】解：如图，设直线l夹在直线l1，l2之间的部分是AB，且AB被P（3，0）平分．设点A，B的坐标分别是（x1，y1），（x2，y2），则有，（4分）又A，B两点分别在直线l1，l2上，所以．（8分）由上述四个式子得，即A点坐标是，B（，﹣）（11分）所以由两点式的AB即l的方程为8x﹣y﹣24=0．（12分）【点评】此题考查学生会根据两点的坐标写出直线的方程，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道综合题．19．（12分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，BC∥AD，BC=1，AD=2，AC⊥CD，且平面PCD⊥平面ABCD．（1）求证：AC⊥PD；（2）在线段PA上是否存在点E，使BE∥平面PCD？若存在，确定点E的位置，若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用面面垂直的性质定理证明AC⊥平面PCD，即可证明AC⊥PD；（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．利用已知条件，得到四边形BCFE为平行四边形，再利用线面平行的判定定理即可证明．【解答】证明：（1）连接AC，∵平面PCD⊥平面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，AC⊥CD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥平面PCD，…（4分）∵PD⊂平面PCD，所以AC⊥PD．…（5分）（2）当点E是线段PA的中点时，BE∥平面PCD．…（6分）证明如下：分别取AP，PD的中点E，F，连接BE，EF，CF．则EF为△PAD的中位线，所以EF∥AD，且，又BC∥AD，所以BC∥EF，且BC=EF，所以四边形BCFE是平行四边形，所以BE∥CF，…（10分）又因为BE⊄平面PCD，CF⊂平面PCD所以BE∥平面PCD．…（12分）【点评】熟练掌握面面垂直的性质定理、平行线分线段成比例定理在三角形中的应用、平行四边形的判定和性质定理、线面平行的判定定理是解题的关键．20．（12分）如图，在△ABC中，边BC上的高所在的直线方程为x﹣3y+2=0，∠BAC的平分线所在的直线方程为y=0，若点B的坐标为（1，3）．（1）求点A和点C的坐标；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）由，得顶点A．利用直线AB的斜率计算公式可得k AB，x轴是∠BAC的平分线，可得直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程．直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，可得直线BC 方程为．（2）利用两点之间的距离公式可得|BC|，又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，利用点到直线的距离公式可得：A到直线BC的距离d，即可得出△ABC的面积．【解答】解：（1）由，得顶点A（﹣2，0）．…（2分）又直线AB的斜率，x轴是∠BAC的平分线，故直线AC的斜率为﹣1，AC所在直线的方程为y=﹣x﹣2①直线BC上的高所在直线的方程为x﹣3y+2=0，故直线BC的斜率为﹣3，直线BC方程为y﹣3=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+6．②…（4分）联立方程①②，得顶点C的坐标为（4，﹣6）．…（6分）（2），…（8分）又直线BC的方程是3x+y﹣6=0，所以A到直线BC的距离，…（10分）所以△ABC的面积=．…（12分）【点评】本题考查了直线方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、两点之间的距离公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）某化工厂每一天中污水污染指数f（x）与时刻x（时）的函数关系为f（x）=|log25（x+1）﹣a|+2a+1，x∈[0，24]，其中a为污水治理调节参数，且a∈（0，1）．（1）若，求一天中哪个时刻污水污染指数最低；（2）规定每天中f（x）的最大值作为当天的污水污染指数，要使该厂每天的污水污染指数不超过3，则调节参数a应控制在什么范围内？【分析】（1）通过，化简，求出x=4．得到一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．（2）设t=log25（x+1），设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，得到，利用分段函数，函数的单调性最值求解即可．【解答】解：（1）因为，则．…（2分）当f（x）=2时，，得，即x=4．所以一天中早上4点该厂的污水污染指数最低．…（4分）（2）设t=log25（x+1），则当0≤x≤24时，0≤t≤1．设g（t）=|t﹣a|+2a+1，t∈[0，1]，则，…（7分）显然g（t）在[0，a]上是减函数，在[a，1]上是增函数，则f（x）max=max{g（0），g（1）}，…（9分）因为g（0）=3a+1，g（1）=a+2，则有，解得，…（11分）又a∈（0，1），故调节参数a应控制在内．…（12分）【点评】本题考查函数的实际应用，分段函数的应用，考查函数的单调性以及函数的最值的求法，考查计算能力．22．（12分）已知三棱锥P﹣ABC中，E、F分别是AC、AB的中点，△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB．（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P﹣AB﹣C的平面角的余弦值；（Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长．【分析】（I）连接CF，由△ABC，△PEF是正三角形且E，F为AC、AB的中点，可得PE=EF=BC=AC，可得PA⊥PC①，由已知易证AB⊥面PCF，从而可得AB ⊥PC，利用线面垂直的判定定理可证（II）：（法一定义法）由AB⊥PF，AB⊥CF可得，∠PFC为所求的二面角，由（I）可得△PEF为直角三角形，Rt△PEF中，求解即可（法二：三垂线法）作出P在平面ABC内的射影为O，即作PO⊥平面ABC，由已知可得O为等边三角形ABC的中心，由PF⊥AB，结合三垂线定理可得AB⊥OF，∠PFO为所求的二面角，在Rt△PFO中求解∠PFO（III）由题意可求PABC的外接球的半径R=，（法一）PC⊥平面PAB，PA⊥PB，可得PA⊥PB⊥PC，所以P﹣ABC的外接求即以PAPBPC为棱的正方体的外接球，从而有，代入可得PA，从而可求（法二）延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．即PD=2，在直角三角形PFO中由tan⇒PO=，而OA=，利用OA2=OP•OD，代入可求【解答】解（Ⅰ）证明：连接CF．∵PE=EF=BC=AC∴AP⊥PC．∵CF⊥AB，PF⊥AB，∴AB⊥平面PCF．∵PC⊂平面PCF，∴PC⊥AB，∴PC⊥平面PAB．（4分）（Ⅱ）解法一：∵AB⊥PF，AB⊥CF，∴∠PFC为所求二面角的平面角．设AB=a，则AB=a，则PF=EF=，CF=a．∴cos∠PFC==．（8分）解法二：设P在平面ABC内的射影为O．∵△PAF≌△PAE，∴△PAB≌△PAC．得PA=PB=PC．于是O是△ABC的中心．∴∠PFO为所求二面角的平面角．设AB=a，则PF=，OF=•a．∴cos∠PFO==．（8分）（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R．∵PC⊥平面PAB，PA⊥PB，∴x=2R．∵4πR2=12π，∴R=．得x=2．∴△ABC的边长为2．（12分）解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径．连接OA、AD，可知△PAD 为直角三角形．设AB=x，球半径为R．∵4πR2=12π，∴PD=2．∵PO=OFtan∠PFO=x，OA=•x，∴=x（2﹣x）．于是x=2．∴△ABC的边长为2．（12分）【点评】本小题主要考查空间线面垂直的关系、二面角的度量、几何体的构造的等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．。
山东省烟台市2016-2017学年高二上学期期末考试数学(文)试题Word版含答案
2016-2017学年度第一学期高二期末自主练习文科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.下列四个命题中，真命题的是（ ）A ．空间中两组对边分别相等的四边形为平行四边形B ．所有梯形都有外接圆C ．所有的质数的平方都不是偶数D ．不存在一个奇数，它的立方是偶数2.若命题p ：α是第一象限角；命题q ：α是锐角，则p 是q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件3.命题p ：若y x >，则y x tan tan >；命题q ：xy y x 222≥+.下列命题为假命题的是（ )A ．q p ∨B ．q p ∧C ．p ⌝D ．q4.命题“R x ∈∃0，01020<++x x ”的否定是（ ）A ．不存在R x ∈0，01020≥++x xB ．R x ∈∃0，01020≥++x xC ．R x ∈∀，012<++x xD ．R x ∈∀，012≥++x x5.平面内有两定点B A ,及动点P ，设命题甲：“PA 与B P 是定值”，命题乙：“点P 的轨迹是以B A ,为焦点的椭圆”，那么命题甲是命题乙的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件 C.充要条件 D ．既不充分也不必要条件6.已知点P 是椭圆1422=+y x 上的一点，且以点P 及焦点21,F F 为顶点的三角形的面积等于3，则这样的点P 的个数为（ ）A ．1B ．2 C.3 D ．47.在极坐标系中，圆)(cos 4R ∈=ρθρ的圆心到直线3πθ=的距离是（ ）A ．3B ．32 C.1 D ．2 8.与x 轴相切且和半圆)20(422≤≤=+y y x 内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）A ．)10)(1(42≤<--=y y xB ．)10)(1(42≤<-=y y xC.)10)(1(42≤<+=y y x D ．)10)(1(22≤<--=y y x 9.已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x ，F 是椭圆的右焦点，A 为左顶点，点P 在椭圆上，x PF ⊥轴，若AF PF 41=，则椭圆的离心率为（ ） A ．43 B ．21 C. 23 D ．22 10.已知抛物线的参数方程为⎩⎨⎧==t y t x 442，若斜率为1的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于B A ,两点，则线段AB 的长为（ ）A ．22B ．24 C.8 D ．411.设点B A ,的坐标分别为)0,4(),0,4(-，直线BP AP ,相交于点P ，且它们的斜率之积为实数m ，关于点P 的轨迹下列说法正确的是（ ）A ．当1-<m 时，轨迹为焦点在x 轴上的椭圆（除与x 轴的两个交点）B ．当01<<-m 时，轨迹为焦点在y 轴上的椭圆（除与y 轴的两个交点）C. 当0>m 时，轨迹为焦点在x 轴上的双曲线（除与x 轴的两个交点）D ．当10<<m 时，轨迹为焦点在y 轴上的双曲线（除与y 轴的两个交点）12.已知双曲线C 的方程为15422=-y x ，其左、右焦点分别是21,F F .若点M 坐标为)1,2(，过双曲线左焦点且斜率为125的直线与双曲线右支交于点P ，则=-∆∆21PMF PMF S S （ ） A ．1- B ．1 C. 2 D ．4第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.若命题“31,<++-∈∃a x x R x ”是真命题，则实数a 的取值范围是 ．14.已知命题p ：方程1422=-+my m x 表示焦点在x 轴上的椭圆，命题q ：1)3()1(22=-+-y m x m 表示双曲线.若q p ∨为真命题，则实数m 的取值范围是 ．15.如图，圆4)2(22=++y x 的圆心为点B ，)0,2(A ，P 是圆上任意一点，线段AP 的垂直平分线l 和直线BP 相交于点Q ，当点P 在圆上运动时，点Q 的轨迹方程为 ．16.下列三个命题：①“022=+b a ，则b a ,全为0”的逆否命题是“若b a ,全不为0”，则022≠+b a ”； ②“21=m ”是“直线013)2(=+++my x m 与直线03)2()2(=-++-y m x m 相互垂直”的充分不必要条件； ③已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的一条渐近线经过点)2,1(，则该双曲线的离心率的值为5.上述命题中真命题的序号为 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. 已知实数0>c ，设命题p ：函数xc y )12(-=在R 上单调递减；命题q ：不等式12>-+c x x 的解集为R ，如果q p ∨为真，q p ∧为假，求c 的取值范围.18. 已知命题p ：02082≥++-x x ；命题q ：041222≤-++m x x .（1）当R m ∈时，解不等式041222≤-++m x x ；（2）当0>m 时，若p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，求实数m 的取值范围.19. （1）求与双曲线14922=-y x 共渐近线，且过点)4,3(的双曲线的标准方程； （2）过椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x M 右焦点的直线03=-+y x 交M 于B A ,两点，O 为坐标原点，P 为AB 的中点，且OP 的斜率为21，求椭圆M 的方程. 20. 在直角坐标xOy 平面内，已知点)0,2(F ，直线2:-=x l ，P 为平面上的动点，过P 作直线l 的垂线，垂足为点Q ，且⋅=⋅.（1）求动点P 的轨迹C 的方程；（2）过点F 的直线交轨迹C 于B A ，两点，交直线l 于点M ，已知μλ==,，试判断μλ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.21. 已知点N M ,分别是椭圆)0(1:2222>>=+b a by a x C 的左右顶点，F 为其右焦点，MF 与FN 的等比中项是3，椭圆的离心率为21. （1）求椭圆C 的方程；（2）设不过原点O 的直线l 与该轨迹交于B A ,两点，若直线OB AB OA ,,的斜率依次成等比数列，求OAB ∆面积的取值范围. 22.已知曲线1C 的参数方程是θθθ(sin ,cos 2⎩⎨⎧==y x 为参数)，曲线2C 的参数方程是t t y t x (433,3⎪⎩⎪⎨⎧+=+-=为参数).（1）将曲线1C ，2C 的参数方程化为普通方程；（2）求曲线1C 上的点到曲线2C 的距离的最大值和最小值.高二文科数学参考答案及评分标准一、选择题1-5:D B B D B 6-10: B A A A C 11、12：C C二、填空题13. 42-<<a 14.14m << 15. 2213y x -= 16. ②③ 三、解答题17.解：由函数(21)x y c =-在R 上单调递减可得，0211c <-<，解得112c <<. 设函数22,2()|2|2,x c x c f x x x c c x c -≥⎧=+-=⎨<⎩，可知()f x 的最小值为2c ， 要使不等式|2|1x x c +->的解集为R ，只需121,2c c >>， 因为p 或q 为真，p 且q 为假，所以,p q 只能一真一假，当p 真q 假时，有11212c c ⎧<<⎪⎪⎨⎪≤⎪⎩，无解；当p 假q 真时，有10,1212c c c ⎧≤≤≥⎪⎪⎨⎪>⎪⎩，可得1c ≥， 综上，c 的取值范围为1c ≥.18.解：（1）22+214(12)(12)0+-=+-++=x x m x m x m ，所以22+2140x x m +-=对应的两根为12,12-+--m m ，当0m >时，1212m m -+>--，不等式的解集为{|1212}x m x m --≤≤-+，当0m =时，12121m m -+=--=-，不等式的解集为{|1}x x =-，当0m <时，1212m m -+<--，不等式的解集为{|1212}-+≤≤--x m x m ；（2）由28+200x x -+≥可得，(10)(2)0x x -+≤，所以210x -≤≤，即:210p x -≤≤由（1）知，当0m >时，不等式的解集为{|1212}x m x m --≤≤-+， 所以:1212q m x m --≤≤-+,∵p ⌝是q ⌝的必要不充分条件，∴q 是p 的必要不充分条件．即12212100m m m --≤-⎧⎪-+≥⎨⎪>⎩，且等号不能同时取， 解得112m ≥．故实数m 的取值范围为112m ≥. 19.解：（1）设与22194x y -=共渐近线的双曲线的方程为2294x y λ-=， 将点(3,4)代入双曲线中，可得91694λ-=，即3λ=-， 代入2294x y λ-=可得，双曲线的方程为2211227y x -=. （2）设112200(,),(,),(,)A x y B x y P x y ，将,A B 坐标代入椭圆可得，2211222222221(1)1(2)⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y a b x y a b ，(1)(2)-可得，20212210x y y b x x a y -=-⋅-， 由直线的斜率为1-可得，20201x b a y -⋅=-，而的斜率为， 所以222a b =，直线过椭圆的右焦点，可得c =由222a b c =+，得到226,3a b ==， 所以椭圆的标准方程为22163x y +=.20.解：（1）设(,)P x y ，则(2,)Q y -，所以(2,0),(4,),(2,),(4,)QP x QF y FP x y FQ y =+=-=-=-uu u r uuu r uu r uu u r ，由可得，24(2)4(2)x x y +=--+，整理可得：28y x =.(2)由题意可知，直线AB 的斜率存在且不为0，可设直线方程为，， 联立，消x 可得，所以，．又,即1114(2,)(2,)x y x y t λ++=--，114y y t λ+=-， 得，同理可得，所以.21.解：（1）解： |MF |=a c +，|BN |=a c -|MF |与|FN |的等比中项． ∴()()3a c a c +-=，∴b 2=a 2﹣c 2=3．又12c e a ==，解得2,1a c ==， ∴椭圆C 的方程为22143x y +=． （2）由题意可知，直线的斜率存在且不为0.故可设直线：，1122(,),(,)A x y B x y ，联立直线和椭圆2234120x x m y y k ⎧+-==+⎨⎩，消去y 可得， 222(34)84120k x kmx m +++-=，由题意可知，2222644(43)(412)48(43)0∆=-+-=-+>km k m k m ， 即2243k m +>， 且21212228412,3434km m x x x x k k -+=-=++， 又直线,,OA AB OB 的斜率依次成等比数列，所以21212y y k x x ⋅=， 将12,y y 代入并整理得22(43)0m k -=，因为0m ≠，k =±，206m <<，且23m ≠， 设d 为点O 到直线l 的距离，则有d =12||||AB x x =-=所以1||2OAB S AB d ∆==<，所以三角形面积的取值范围为.22.解：（1）曲线错误！未找到引用源。
山东省烟台市烟台经济技术开发区烟台爱华高级中学2024-2025学年高二上学期11月月考数学试题
上一点，且
uuuur C1E
=
uuur 2EC
，则（
）
A． BD1 = 2 C． A1E ^ 平面 BDD1B1
B．直线 BD1 与 AC 所成角的余弦值为 6 6
D．直线 BD1 与平面 ACC1A1 所成角为 π 4
试卷第31 页，共33 页
三、填空题
12．已知
A
(1,1,
0)
,
B
(
0,
3,
0)
3
所以a
=
p 6
，
故选：C. 2．D 【分析】根据空间向量的线性运算求解．
【详解】由已知
uuur PQ
=
uuur OC
+
uuur CQ
-
uuur OP
=
r c
+
2 3
uuur CB
-
1 2
uuur OA
=
r c
+
2 3
uuur (OB
-
uuur OC)
-
1 2
r a
=
r c
+
2 3
r (b
-
r c)
-
1 2
r a
=
-
1 2
av
+
2 3
v b
+
1 3
cv
，
故选：D． 3．A
【解析】作出异面直线 AM 和 CN 所成的角，然后解三角形求出两条异面直线所成角的余 弦值.
【详解】设 E, F 分别是 AB,CC1 的中点，由于 M , N 分别是 A1B1, BB1 的中点，结合正方体的
性质可知 B1E //AM , B1F //CN ，
山东省菏泽市单县2016-2017学年八年级(上)期中数学试卷(解析版)
2016-2017学年山东省菏泽市单县八年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分）1．下列图案属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（）A．B．C．D．3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD4．对分式，通分时，最简公分母是（）A．4（a﹣3）（a+3）2B．4（a2﹣9）（a2+6a+9）C．8（a2﹣9）（a2+6a+9）D．4（a﹣3）2（a+3）25．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（）A．70°B．35°C．110°或35°D．110°6．下列分式约分，正确的是（）A．=a2B．=C．=D．=07．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．8．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．=B．﹣=C．=2a+1 D．=9．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点F的运动时间为y秒，当y的值为（）秒时，△ABF和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或710．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，若∠2=40°，则∠1的度数为（）A．110°B．115°C．125°D．130°二、填空题（每题4分）11．若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第象限．12．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=（度）13．计算：=．14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=D C．其中所有正确结论的序号是．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AE=3ED，如果AC=12cm，那么DE的长为cm．16．化简+的结果是．17．如图，已知△ABC≌△ADE，∠C=79°，DE⊥AB，则∠D的度数为．18．如图，长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为．三、解答题19．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DE，∠A=∠D，AB=DF，（1）试说明：△ABC≌△DEF；（2）若BF=13，EC=7，求BC的长．20．计算下列各题：（1）（﹣）2•（）2+（﹣2ab）2（2）（x+3+）+．21．如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．22．先化简，再求值：÷+，其中x的值满足x+1与x+6互为相反数．23．如图，把两个含有45°的三角尺如图放置，∠ECD=ACB=90°，且AB=AE，连接AD交BE于点P，试说明：（1）AD=BE；（2）AD平分∠BAE．24．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．2016-2017学年山东省菏泽市单县八年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每题3分）1．下列图案属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的定义，寻找四个选项中图形的对称轴，发现只有，A有一条对称轴，由此即可得出结论．【解答】解：A、能找出一条对称轴，故A是轴对称图形；B、不能找出对称轴，故B不是轴对称图形；C、不能找出对称轴，故C不是轴对称图形；D、不能找出对称轴，故D不是轴对称图形．故选A．2．下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（）A．B．C．D．【考点】分式有意义的条件．【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，可得答案．【解答】解：∵2x2+1＞1，∴不论字母取何值都有意义，故选：D．3．如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【考点】全等三角形的判定．【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根据全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA 添加条件，逐一证明即可．【解答】解：∵AB=AC，∠A为公共角，A、如添加∠B=∠C，利用ASA即可证明△ABE≌△ACD；B、如添AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；C、如添BD=CE，等量关系可得AD=AE，利用SAS即可证明△ABE≌△ACD；D、如添BE=CD，因为SSA，不能证明△ABE≌△ACD，所以此选项不能作为添加的条件．故选：D．4．对分式，通分时，最简公分母是（）A．4（a﹣3）（a+3）2B．4（a2﹣9）（a2+6a+9）C．8（a2﹣9）（a2+6a+9）D．4（a ﹣3）2（a+3）2【考点】最简公分母；通分．【分析】确定最简公分母的方法是：（1）取各分母系数的最小公倍数；（2）凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；（3）同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母．【解答】解：分式与的最简公分母是4（a﹣3）（a+3）2，故选A．5．在△ABC中，∠A的相邻外角是70°，要使△ABC为等腰三角形，则∠B为（）A．70°B．35°C．110°或35°D．110°【考点】等腰三角形的判定．【分析】根据内角与相邻的外角的和等于180°求出∠A，再根据等腰三角形两底角相等解答．【解答】解：∵∠A的相邻外角是70°，∴∠A=180°﹣70°=110°，∵△ABC为等腰三角形，∴∠B==35°．故选B．6．下列分式约分，正确的是（）A．=a2B．=C．=D．=0【考点】约分．【分析】根据分式的基本性质分别进行化简，即可得出答案．【解答】解：A、=a3，故本选项错误；B、=，故本选项错误；C、=，故本选项正确；D、=1，故本选项错误；故选C．7．下列尺规作图，能判断AD是△ABC边上的高是（）A．B．C．D．【考点】作图—基本作图．【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则AD即为所求．【解答】解：过点A作BC的垂线，垂足为D，故选B．8．下列各式从左到右的变形正确的是（）A．=B．﹣=C．=2a+1D．=【考点】分式的基本性质．【分析】根据分子、分母、分式的值改变其中的两个的符号，分式的值不变，可得答案．【解答】解：=，故D符合题意；故选：D．9．已知：如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC﹣CD﹣DA向终点A运动，设点F的运动时间为y秒，当y的值为（）秒时，△ABF和△DCE全等．A．1 B．1或3 C．1或7 D．3或7【考点】矩形的性质；全等三角形的判定．【分析】分点F在BC上和点F在AD上两种情况进行讨论，根据题意得出BF=2t=2和AF=16﹣2t=2即可求得．【解答】解：当点F在BC上时，∵在△ABF与△DCE中，，∴△ABF≌△DCE，由题意得：BF=2t=2，所以t=1，点F在AD上时，∵在△ABF与△DCE中，，∴△ABF≌△DCE，由题意得：AF=16﹣2t=2，解得t=7．所以，当t的值为1或7秒时．△ABF和△DCE全等．故选C．10．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，若∠2=40°，则∠1的度数为（）A．110°B．115°C．125°D．130°【考点】平行线的性质；轴对称的性质；翻折变换（折叠问题）．【分析】先根据折叠的性质以及对顶角相等，得出∠A'FG=90°﹣40°=50°，再根据∠1+∠EFG=180°，可得∠1+∠1﹣50°=180°，进而得出∠1=115°．【解答】解：∵∠2=40°，∴∠FGA'=40°，又∵∠A'=∠A=90°，∴Rt△A'FG中，∠A'FG=90°﹣40°=50°，∴∠EFG=∠EFA'﹣50°，又∵∠1=∠EFA'，∴∠EFG=∠1﹣50°，又∵∠1+∠EFG=180°，∴∠1+∠1﹣50°=180°，解得∠1=115°，故选：B．二、填空题（每题4分）11．若点A（a﹣2，3）和点B（﹣1，b+5）关于y轴对称，则点C（a，b）在第四象限．【考点】关于x轴、y轴对称的点的坐标．【分析】关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案．【解答】解：由题意，得2﹣a=1，b+5=3，解得a=1，b=﹣2，点C（a，b）在第四象限，故答案为：四．12．已知射线OM．以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OM交于点A，再以点A为圆心，AO长为半径画弧，两弧交于点B，画射线OB，如图所示，则∠AOB=60（度）【考点】等边三角形的判定与性质．【分析】首先连接AB，由题意易证得△AOB是等边三角形，根据等边三角形的性质，可求得∠AOB的度数．【解答】解：连接AB，根据题意得：OB=OA=AB，∴△AOB是等边三角形，∴∠AOB=60°．故答案为：60．13．计算：=2．【考点】分式的加减法．【分析】根据同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减求解即可．【解答】解：原式===2．故答案为2．14．如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△ABO≌△ADO．下列结论：①AC⊥BD；②CB=CD；③△ABC≌△ADC；④DA=D C．其中所有正确结论的序号是①②③．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】根据全等三角形的性质得出∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，再根据全等三角形的判定定理得出△ABC≌△ADC，进而得出其它结论．【解答】解：∵△ABO≌△ADO，∴∠AOB=∠AOD=90°，OB=OD，∴AC⊥BD，故①正确；∵四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∴∠COB=∠COD=90°，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC（SAS），故③正确∴BC=DC，故②正确；故答案为①②③．15．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB于D，AE=3ED，如果AC=12cm，那么DE的长为3cm．【考点】角平分线的性质．【分析】根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CE=DE．【解答】解：∵∠ACB=90°，BE平分∠ABC，DE⊥AB，∴CE=DE，∵AE=3ED，如果AC=12cm，∴AE=3EC，∴CE=DE=3cm，∵故答案为：3．16．化简+的结果是．【考点】分式的加减法．【分析】先通分、再根据分式的加法法则计算即可．【解答】解：原式=+=，故答案为：．17．如图，已知△ABC≌△ADE，∠C=79°，DE⊥AB，则∠D的度数为68°．【考点】全等三角形的性质．【分析】根据全等三角形的性质得到AE=AC，∠DAE=∠BAC，根据三角形内角和定理求出∠DAB，根据垂直的定义计算即可．【解答】解：∵△ABC≌△ADE，∴AE=AC，∠DAE=∠BAC，∴∠EAC=180°﹣79°﹣79°=22°，∴∠DAB=22°，∵DE⊥AB，∴∠D=90°﹣22°=68°，故答案为：68°．18．如图，长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，点Q是线段CD上的动点，则AQ+QP的最小值为．【考点】轴对称﹣最短路线问题；矩形的性质．【分析】根据图形和题意，作点P关于直线CD的对称点P′，然后根据两点之间线段最短，可以解答本题．【解答】解：作点P关于直线CD的对称点P′，如右图所示，∵长方形ABCD中，AD=a，DC=b，（a，b为常数），∠CAB=30°，点P是对角线AC的中点，∴AE=a+0.5a=1.5a，EP′=0.5b，tan30°=，∴b=，∵两点之间线段最短，∴AQ+QP的最小值就是线段AP′的长度，∵∠AEP′=90°，EP′=0.5b，AE=1．a，∴AP′====，故答案为：．三、解答题19．如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，AC∥DE，∠A=∠D，AB=DF，（1）试说明：△ABC≌△DEF；（2）若BF=13，EC=7，求BC的长．【考点】全等三角形的判定与性质．【分析】（1）根据两角和其中的一角的对边对应相等的两个三角形全等即可判定．（2）根据全等三角形的性质可知BC=EF，推出BE=CF，由此即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AC∥DF，∴∠ACB=∠DFE，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS），（2）∵△ABC≌△DEF，∴BC=EF，即BE+EC=EC+CF，∴BF=CF，∵BF=13，EC=7，∴BE+CF=BF﹣EC=6，∴BE=CF=3，∴BC=BE+EC=3+7=10．20．计算下列各题：（1）（﹣）2•（）2+（﹣2ab）2（2）（x+3+）+．【考点】分式的混合运算．【分析】（1）根据分式乘除法法则即可化简运算．（2）根据因式分解以及分式的基本性质即可化简运算．【解答】解：（1）原式=•=（2）原式=（+）•=﹣•=1﹣x21．如图，△ABC中，AB=AD=AE，DE=EC，∠DAB=30°，求∠C的度数．【考点】等腰三角形的性质．【分析】首先根据AB=AD=AE，DE=EC，得到∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，从而得到∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，根据∠DAB=30°，求得∠B=∠ADB=75°，利用∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，求得∠C即可．【解答】解：∵AB=AD=AE，DE=EC，∴∠B=∠ADB，∠ADE=∠AED，∠C=∠EDC，∴∠ADE=∠AED=∠C+∠EDC=2∠C，∵∠DAB=30°，∴∠B=∠ADB=75°，∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=3∠C=105°，∴∠C=35°．22．先化简，再求值：÷+，其中x的值满足x+1与x+6互为相反数．【考点】分式的化简求值；相反数．【分析】先把除法变成乘法，算乘法，再算加法，最后代入求出即可．【解答】解：÷+=•+=+=，∵x的值满足x+1与x+6互为相反数，∴x+1+x+6=0，x+1=﹣（x+6），∴原式=﹣1．23．如图，把两个含有45°的三角尺如图放置，∠ECD=ACB=90°，且AB=AE，连接AD交BE于点P，试说明：（1）AD=BE；（2）AD平分∠BAE．【考点】全等三角形的判定与性质；三角形内角和定理；等腰三角形的性质．【分析】（1）由△ABC和△ECD为含45°的直角三角形，由此即可得出EC=DC、BC=AC，结合∠ECB=∠DCA=90°即可利用全等三角形的判定定理SAS证出△BCE≌△ACD，再根据全等三角形的性质即可得出结论；（2）由△BCE≌△ACD即可得出∠EBC=∠DAC，根据∠EBC+∠BEC=90°即可得出∠DAC+∠BEC=90°，结合三角形内角和定理即可得出∠APE=90°，再利用等腰三角形的三线合一即可证出AD平分∠BAE．【解答】证明：（1）∵两个含有45°的三角尺如图放置，∠ECD=ACB=90°，∴EC=DC，BC=A C．在△BCE和△ACD中，，∴△BCE≌△ACD（SAS），∴AD=BE．（2）∵△BCE≌△ACD，∴∠EBC=∠DA C．∵∠EBC+∠BEC=90°，∴∠DAC+∠BEC=90°，∴∠APE=90°，即AP⊥BE．又∵AB=AE，∴AD平分∠BAE．24．如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线l1交BC于点D，AC边的垂直平分线l2交BC 于点E，l1与l2相交于点O，连结0B，OC，若△ADE的周长为6cm，△OBC的周长为16cm．（1）求线段BC的长；（2）连结OA，求线段OA的长；（3）若∠BAC=120°，求∠DAE的度数．【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，EA=EC，根据三角形的周长公式计算即可；（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可；（3）根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质进行计算．【解答】解：（1）∵l1是AB边的垂直平分线，∴DA=DB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴EA=EC，BC=BD+DE+EC=DA+DE+EA=6cm；（2）∵l1是AB边的垂直平分线，∴OA=OB，∵l2是AC边的垂直平分线，∴OA=OC，∵OB+OC+BC=16cm，∴OA=0B=OC=5cm；（3）∵∠BAC=120°，∴∠ABC+∠ACB=60°，∵DA=DB，EA=EC，∴∠BAD=∠ABC，∠EAC=∠ACB，∴∠DAE=∠BAC﹣∠BAD﹣∠EAC=60°．2017年4月1日。
山东省烟台市2016-2017学年高二下期中数学试卷(理科)
2016-2017学年山东省烟台市高二（下）期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．因为i是虚数单位，复数，则z的共轭复数是（）A．B．C．D．2．用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=（a≠1，n∈N*），在验证n=1成立时，左边的项是（）A．1 B．1+a C．1+a+a2D．1+a+a2+a43．下列推理过程属于演绎推理的为（）A．老鼠、猴子与人在身体结构上有相似之处，某医药先在猴子身上试验，试验成功后再用于人体试验B．由1=12，1+3=22，1+3+5=32，…得出1+3+5+…+（2n﹣1）=n2C．由三角形的三条中线交于一点联想到四面体四条中线（四面体每一个顶点与对面重心的连线）交于一点D．通项公式形如a n=cq n（cq≠0）的数列{a n}为等比数列，则数列{﹣2n}为等比数列4．极坐标方程ρ2cos2θ+1=0表示的曲线是（）A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线5．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）等于（）A．﹣2 B．2 C．1 D．﹣46．直线（t为参数，α是直线的倾斜角）上有两点P1，P2，它们所对应的参数值分别是t1，t2，则|P1P2|等于（）A．t1+t2B．|t1|+|t2|C．|t1+t2|D．|t1﹣t2|7．已知函数f（x）=（2x﹣x2）e x，给以下四个结论：①f（x）＞0的解集为{x|0＜x＜2}；②是极小值，是极大值；③f（x）有极小值，但无最小值；④f（x）有极小值，也有最小值．其中正确的是（）A．①②B．①②③C．①②④D．②④8．如图，在平面直角坐标系xoy中，将直线与直线x=1及x轴所围成的图形绕x轴旋转一周得到一个圆锥，圆锥的体积，以此类比：将曲线y=x2（x≥0）与直线y=2及y轴所围成（）A．πB．2πC．3πD．4π9．若函数f（x）=x（x﹣c）2在x=3处有极大值，则c=（）A．9 B．3 C．3或9 D．以上都不对10．若函数f（x）=lnx+（x﹣b）2（b∈R）在区间hslx3y3h，2a，ba，ba，b ﹣1，1；（4）方程f（x）=4有唯一实根．其中正确的命题的序号是．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z=（2+i）m2﹣．（1）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（2）若z在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上，求|z|．18．（1）当n≥0时，试用分析法证明：；（2）已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证：a、b中至少有一个不小于0．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（1）若函数f（x）在0，1，2，2，2+2（x﹣b）a，ba，ba，b﹣1，1﹣1，1﹣1，11+3+…+（2n﹣1）；（4）方程f（x）=4有唯一实根．其中正确的命题的序号是（1）（2）．【考点】2K：命题的真假判断与应用．【分析】依题意，可求得函数f（x）=1+e x+，利用函数的奇偶性的定义可判断（1）正确；利用f′（x）=e x﹣e﹣x=，通过对x＞0与x＜0的情况的讨论，可判断（2）正确，（3）错误；方程f（x）=4⇔1+e x+=4⇔e x+=3，解得：e x=，x=ln，可判断（4）错误．【解答】解：依题意，f（x）=（e x）*=（e x*）*0=0*（e x•e﹣x）+（e x*0）+（0*）﹣2×0=1+e x+，对于（1），∵f（﹣x）=1+e﹣x+e x=f（x），∴f（x）为偶函数，故（1）正确；对于（2），∵f′（x）=e x﹣e﹣x=，当x＞0时，f′（x）＞0，函数f（x）=1+e x+在区间（0，+∞）上单调递增，当x＜0时，f′（x）＜0，函数f（x）=1+e x+在区间（﹣∞，0）单上调递减，∴f（x）的x=0处取极小值，故（2）正确；对于（3），由（2）知，函数f（x）=1+e x+在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（﹣∞，0）单调递减，故（3）错误；对于（4），方程f（x）=4⇔1+e x+=4⇔e x+=3，解得：e x=，x=ln，即方程f（x）=4有2个相异的实根，故（4）错误．综上所述，正确的命题的序号是：（1）（2）．故答案为：（1）（2）．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知复数z=（2+i）m2﹣．（1）当实数m取什么值时，复数z是纯虚数；（2）若z在复平面内对应的点在第二、四象限角平分线上，求|z|．【考点】A4：复数的代数表示法及其几何意义．【分析】（1）z=（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，当实部等于0，虚部不等于0时，列出方程组，求解即可得答案；（2）当2m2﹣3m﹣2=﹣（m2﹣3m+2），即m=0或m=2时，z为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数，分类当m=0和m=2时，求出|z|即可．【解答】解：z=（2+i）m2﹣3m（1+i）﹣2（1﹣i）=（2m2﹣3m﹣2）+（m2﹣3m+2）i，（1）当，即时，z为纯虚数；（2）当2m2﹣3m﹣2=﹣（m2﹣3m+2），即m=0或m=2时，z为复平面内第二、第四象限角平分线上的点对应的复数，若m=0，，若m=2，z=0，|z|=0，∴或|z|=0．18．（1）当n≥0时，试用分析法证明：；（2）已知x∈R，a=x2﹣1，b=2x+2．求证：a、b中至少有一个不小于0．【考点】R6：不等式的证明．【分析】（1）要证成立，即证成立，即证其下一个充分条件成立，最后只要证n2+2n＜n2+2n+1成立即可，而该式成立，于是命题得证；（2）利用反证法，假设a＜0且b＜0，依题意，可证得x＜﹣1，这与﹣1＜x＜1矛盾，从而否定假设，肯定原结论成立．【解答】（1）证明：要证，即证，只要证，即证，即证，只要证n2+2n＜n2+2n+1，而上式显然成立，所以成立．（2）证明：假设a＜0且b＜0，由a=x2﹣1＜0得﹣1＜x＜1，由b=2x+2＜0得x＜﹣1，这与﹣1＜x＜1矛盾，所以假设错误，所以a、b中至少有一个不小于0．19．已知函数f（x）=lnx﹣ax2+（2﹣a）x．（1）若函数f（x）在1，+∞）上恒成立，求出a的范围即可；（2）问题转化为b=lnx﹣2x2+3x，令T（x）=lnx﹣2x2+3x，根据函数的单调性求出b的范围即可．【解答】解（1）∵f（x）在1，+∞）上恒成立，∴=在1，+∞）上恒成立∵，∴a≥1；（2）当a=1时，f（x）=lnx﹣x2+x，∵f（x）与g（x）有两个交点，∴lnx﹣x2+x=x2﹣2x+b在上有两个根，∴b=lnx﹣2x2+3x，∴令T（x）=lnx﹣2x2+3x，∴，∴T'（x）＞0时，，∴T（x）在上单调递增，∴T'（x）＜0时，1＜x＜2，∴T（x）在（1，2）上单调递减，∴x=1处有极大值也是最大值，T（1）=1，T（2）=ln2﹣2＜0，∴1﹣ln2≤b＜1．=f'n（a n），20．已知函数f n（x）=，数列{a n}满足a n+1a1=3．（1）是否存在n，使得f n（x）在x=1处取得极值，若存在，求n的值，若不存在，说明理由；（2）求a2，a3，a4的值，请猜想数列{a n}的通项公式，并用数学归纳法证明．【考点】6D：利用导数研究函数的极值；8I：数列与函数的综合．【分析】（1）求出函数的导数，根据，求出n的值，判断结论即可；（2）猜想a n=n+2，根据数学归纳法证明即可．【解答】解：（1）（x）=x2﹣（n+1）x+1，（n∈N*），若f n（x）在x=1处取得极值，则，得n=1，此时，所以f n（x）在R上单调递增，不存在极值．所以不存在n，使得f n（x）在x=1处取得极值．（2）由（x）=x2﹣（n+1）x+1，（n∈N*），∴a1=3，又a n+1=﹣（n+1）a n+1，∴a2=﹣2a1+1=4，∴a3=﹣3a2+1=5，∴a4=﹣4a3+1=6，猜想a n=n+2，用数学归纳法证明，①n=1时显然成立．②假设当n=k（k∈N*）时，a k=k+2猜想成立，则n=k（k∈N*）时，a k=k+2，则当n=k+1（k∈N*）时，=﹣（k+1）a k+1=（k+2）2﹣（k+1）（k+2）+1=k+3=（k+1）+2，a k+1∴n=k+1时，猜想成立，由①②可知对一切n∈N*，a n=n+2成立．21．已知函数f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（k∈R）．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若g（x）=满足：对任意的x1，x2∈，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤1恒成立，试确定实数k的取值范围．【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】（1）求出导函数，通过当k≤0时，当k＞0时，判断导函数的符号，推出函数的单调区间即可．（2），通过对任意的x1，x2∈，都有|g（x1）﹣g （x2）|≤1恒成立，转化为：当x∈，有g max（x）﹣g min（x）≤1成立，求出g'（x）=x2﹣k，通过当k≤0时，当k＞0时，求解函数的最值，通过g max（x）﹣g min（x）=，令，，则，利用h（k）在为减函数，求解即可．【解答】解：（1）∵ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1（x＞1），∴，当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，令f'（x）=0，得当f'（x）＜0，即时，函数为减函数，当f'（x）＞0，即时，函数为增函数，综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，当k＞0时，函数f（x）在为减函数，在为增函数．（2），因为对任意的x1，x2∈，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤1恒成立所以当x∈，有g max（x）﹣g min（x）≤1成立g'（x）=x2﹣k当k≤0时，g'（x）=x2﹣k≥0恒成立，g（x）在为增函数由g max（x）﹣g min（x）=得，所以当k＞0时，由g'（x）=x2﹣k=0得易知g（x）在为减函数，在为增函数若k≥1，则g（x）在为减函数，由g max（x）﹣g min（x）=得，所以若，则g（x）在为减函数，在为增函数，所以g max（x）﹣g min（x）=，而时恒成立，所以适合题意若，则g（x）在为减函数，在为增函数，所以g max（x）﹣g min（x）=，令，，则，所以h（k）在为减函数，所以，所以适合题意综上所述：．22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为，（φ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρsin（θ﹣）=，直线l2的极坐标方程为θ=，l1与l2的交点为M．（I）判断点M与曲线C的位置关系；（Ⅱ）点P为曲线C上的任意一点，求|PM|的最大值．【考点】Q4：简单曲线的极坐标方程；QH：参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）分别根据极坐标和直角坐标构造方程组解得即可，（Ⅱ）设与点P的坐标，根据二次函数的性质即可求出最值．【解答】解：（Ⅰ）方法一：由，得ρ=1，所以l1与l2的交点M的极坐标为（1，）．即点M的直角坐标为（0，1），又曲线C的普通方程为+y2=1，且+12=1，所以点M在曲线C上，方法二：直线l1的直线方程为x﹣y+1=0，直线l1的直线方程为x=0，由，得，所以所以l1与l2的交点M的直角坐标为（0，1），又曲线C的普通方程为+y2=1，且+12=1，所以点M在曲线C上，（Ⅱ）方法一：设点P的直角坐标为（2cosφ，sinφ），所以|PM|2=4cos2φ+（sinφ﹣1）2=﹣3sin2φ﹣2sinφ+5=﹣3（sinφ+）2+，当sinφ=﹣时，|PM|2max=，所以|PM|的最大值为，方法二：设点P（x0，y0），其中x02+4y02=4．则|PM|2=x02+（y0﹣1）2=﹣3y02﹣2y0+5=﹣3（y0+）2+，当y0=﹣时，|PM|2max=，所以|PM|的最大值为．2017年5月26日。
人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)2
人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案)学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知扇形的周长是5cm ，面积是322cm ，则扇形的中心角的弧度数是（ ） A ．3B ．43C ．433或 D ．2【来源】江西省九江第一中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学（文)试题 【答案】C2．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2，则扇形的面积为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5【来源】四川省双流中学2017-2018学年高一1月月考数学试题 【答案】C3．《掷铁饼者》 取材于希腊的现实生活中的体育竞技活动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的手臂长约为4π米，肩宽约为8π米，“弓”所在圆的半径约为1.25米，你估测一下掷铁饼者双手之间的距离约为（ ）1.732≈≈）A ．1.012米B ．1.768米C ．2.043米D ．2.945米【来源】安徽省五校(怀远一中、蒙城一中、淮南一中、颍上一中、淮南一中、涡阳一中)2019-2020学年高三联考数学（理)试题 【答案】B4．已知扇形的周长为4，圆心角所对的弧长为2，则这个扇形的面积是（ ） A ．2B ．1C ．sin 2D ．sin1【来源】福建省泉州市南安侨光中学2019-2020学年高一上学期第二次阶段考试数学试题 【答案】B5．已知α是第三象限角，且cos cos22αα=-，则2α是（ ） A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第三象限角D ．第四象限角【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.2任意角的三角函数练习题 【答案】B6．如图,2弧度的圆心角所对的弦长为2,这个圆心角所对应的扇形面积是( )A ．1sin1B ．21sin 1C ．21cos 1D ．tan1【来源】广西河池市高级中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题 【答案】B7．半径为10cm ，面积为2100cm 的扇形中，弧所对的圆心角为（ ） A ．2 radB ．2︒C ．2π radD ．10 rad【来源】第一章滚动习题（一) 【答案】A8．若一扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ，则扇形的面积为（ ）． A ．240πcmB ．280πcmC ．240cmD ．280cm【来源】陕西省西安市长安区第一中学2016-2017学年高一下学期第一次月考数学试题 【答案】D9．如图，把八个等圆按相邻两两外切摆放，其圆心连线构成一个正八边形，设正八边形内侧八个扇形（无阴影部分）面积之和为1S ，正八边形外侧八个扇形（阴影部分）面积之和为2S ，则12S S =（ ）A ．34B ．35C ．23D ．1【来源】广西省南宁市马山县金伦中学、武鸣县华侨中学等四校2017-2018学年高一10月月考数学试题. 【答案】B10．在－360°到0°内与角1250°终边相同的角是( ) . A ．170° B ．190° C ．－190°D ．－170°【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（一)（带解析) 【答案】C11．下列各角中，终边相同的角是 ( ) A ．23π和240o B ．5π-和314oC ．79π-和299π D ．3和3o【来源】新疆伊西哈拉镇中学2018-2019学年高一上学期第二次月考数学试题 【答案】C12．已知2弧度的圆心角所对的弧长为2，则这个圆心角所对的弦长是（ ） A ．sin 2B ．2sin 2C ．sin1D ．2sin1【来源】广东省东莞市2018-2019学年高一第二学期期末教学质量检查数学试题 【答案】D13，弧长是半径的3π倍，则扇形的面积等于（ ） A ．223cm πB ．26cm πC ．243cm πD ．23cm π【来源】河北省隆华存瑞中学（存瑞部)2018-2019学年高一上学期第二次数学试题 【答案】D14．如图所示，用两种方案将一块顶角为120︒，腰长为2的等腰三角形钢板OAB 裁剪成扇形，设方案一、二扇形的面积分别为12S , S ，周长分别为12,l l ，则（ ）A ．12S S =，12l l >B ．12S S =，12l l <C ．12S S >，12l l =D ．12S S <，12l l =【来源】浙江省省丽水市2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】A15．已知sin sin αβ>，那么下列命题成立的是( ) A ．若,αβ是第一象限角，则cos cos αβ> B ．若,αβ是第二象限角，则tan tan αβ> C ．若,αβ是第三象限角，则cos cos αβ> D ．若,αβ是第四象限角，则tan tan αβ>【来源】正定中学2010高三下学期第一次考试（数学文) 【答案】D16．半径为1cm ，中心角为150°的角所对的弧长为（ ）cm ． A ．23B ．23π C ．56D ．56π 【来源】宁夏石嘴山市第三中学2018-2019学年高一5月月考数学试题 【答案】D 17．设5sin 7a π=，2cos 7b π=，2tan 7c π=，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．b a c <<【来源】2008年高考天津卷文科数学试题 【答案】D18．扇形的中心角为120o ）A ．πB ．45πC D 2【来源】辽宁省大连市第八中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A19．若扇形的周长为8，圆心角为2rad ，则该扇形的面积为（ ） A ．2B ．4C ．8D ．16【来源】河南省洛阳市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试卷 【答案】B20．-300° 化为弧度是（ ） A ．-43πB ．-53πC ．-54πD ．-76π【来源】2014-2015学年山东省宁阳四中高一下学期期中学分认定考试数学试卷（带解析) 【答案】B21．一个扇形的面积为3π，弧长为2π，则这个扇形的圆心角为（ ） A ．3π B ．4π C ．6π D ．23π 【来源】湖北省荆门市2017-2018学年高一（上)期末数学试题 【答案】D22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就.其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦×矢＋矢×矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差.现有圆心角为23π，弦长为的弧田.其实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（ ）平方米.（其中3π≈，1.73≈）A ．15B ．16C ．17D ．18【来源】湖北省2018届高三5月冲刺数学（理)试题 【答案】B23．下列各式不正确的是( ) A ．－210°＝76π-B ．405°＝49πC ．335°＝2312πD ．705°＝4712π【来源】河南信阳市息县第一高级中学、第二高级中学、息县高中2018-2019学年高一下学期期中联考数学（文)试题 【答案】C24．下列函数中，最小正周期为π2的是( )A ．y =sin (2x −π3)B ．y =tan (2x −π3)C ．y =cos (2x +π6) D ．y =tan (4x +π6)【来源】20102011年山西省汾阳中学高一3月月考数学试卷 【答案】B25．已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的弧长为 （ ） A ．4cmB ．6cmC ．8cmD ．10cm【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（理)试卷 【答案】C二、填空题26．已知扇形的圆心角18πα=，扇形的面积为π，则该扇形的弧长的值是______.【来源】上海市黄浦区2018-2019学年高一下学期期末数学试题 【答案】3π 27．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的底面半径为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题 【答案】128．一个扇形的弧长与面积的数值都是5，则这个扇形中心角的弧度数为__________． 【来源】河南省灵宝市实验高中2017-2018学年高一下学期第一次月考考数学试题 【答案】5229．已知圆锥的侧面展开图是一个扇形，若此扇形的圆心角为65π、面积为15π，则该圆锥的体积为________.【来源】上海市杨浦区2019-2020学年高三上学期期中质量调研数学试题 【答案】12π30．圆O 的半径为1，P 为圆周上一点，现将如图放置的边长为1的正方形（实线所示 ，正方形的顶点A 和点P 重合）沿着圆周顺时针滚动，经过若干次滚动，点A 第一次回到点P 的位置，则点A 走过的路径的长度为 ．【来源】2015届山东省日照市高三3月模拟考试理科数学试卷（带解析)31．已知扇形的圆心角为1弧度，扇形半径为2，则此扇形的面积为______． 【来源】上海市复兴高级中学2018-2019学年高一下学期3月份质量检测数学试题 【答案】232．一个球夹在120°的二面角内，且与二面角的两个面都相切，两切点在球面上的最短距离为π，则这个球的半径为_______ .【来源】上海市七宝中学2017-2018学年高二下学期期中数学试题 【答案】333．用半径为，面积为cm 2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ．【来源】2012届江苏省泗阳中学高三上学期第一次调研考试数学试卷（实验班) 【答案】31000cm 3π34．《九章算术》是体现我国古代数学成就的杰出著作，其中(方田)章给出的计算弧田面积的经验公式为:弧田面积12=(弦⨯矢+矢2)，弧田(如图阴影部分)由圆弧及其所对的弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦的长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，现有弧长为43π米，半径等于2米的弧田，则弧所对的弦AB 的长是_____米，按照上述经验公式计算得到的弧田面积是___________平方米.【来源】山东省济南市2018-2019学年高一下学期期末学习质量评估数学试题【答案】1235．设扇形的半径长为2cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 【来源】2013-2014学年山东济南商河弘德中学高一下学期第二次月考数学试卷（带解析) 【答案】236．已知一个圆锥的展开图如图所示，其中扇形的圆心角为120o ，弧长为2π，底面圆的半径为1，则该圆锥的体积为__________．【来源】2018年春高考数学（文)二轮专题复习训练：专题三 立体几何【答案】337．现用一半径为10cm ，面积为280cm π的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（假定衔接部分及铁皮厚度忽略不计，且无损耗），则该容器的容积为__________3cm . 【来源】江苏省苏州市2018届高三调研测试（三)数学试题 【答案】128π38．已知扇形的周长为6，圆心角为1，则扇形的半径为___；扇形的面积为____. 【来源】浙江省宁波市镇海区镇海中学2018-2019学年高一上学期期中数学试题 【答案】2 2 39．给出下列命题：①第二象限角大于第一象限角；②三角形的内角是第一象限角或第二象限角；③不论用角度制还是用弧度制度量一个角，它们与扇形所在半径的大小无关； ④若sin sin αβ=，则α与β的终边相同；⑤若cos 0θ<，则θ是第二或第三象限的角． 其中正确的命题是______．（填序号）【来源】江苏省南通市启东中学2018-2019学年高二5月月考数学（文)试题 【答案】③40．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是________． 【来源】广东省中山市第一中学2016-2017学年高一下学期第一次段考（3月)数学（理)试题 【答案】2三、解答题41．已知扇形AOB 的周长为8．（1）若这个扇形的面积为3，求其圆心角的大小．（2）求该扇形的面积取得最大时，圆心角的大小和弦长AB ．【来源】2015-2016学年四川省雅安市天全中学高一11月月考数学试卷（带解析) 【答案】（1）或；（2）；．42．已知一扇形的中心角是120︒，所在圆的半径是10cm ，求： （1）扇形的弧长； （2）该弧所在的弓形的面积【来源】福建省福州市平潭县新世纪学校2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】（1）203π；（2）1003π-43．某公司拟设计一个扇环形状的花坛（如图所示），该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点AD 的两条线段围成．设圆弧AB 、CD 所在圆的半径分别为()f x 、R 米，圆心角为θ（弧度）．（1）若3πθ=，13r =，26=r ，求花坛的面积；（2）设计时需要考虑花坛边缘（实线部分）的装饰问题，已知直线部分的装饰费用为60元/米，弧线部分的装饰费用为90元/米，预算费用总计1200元，问线段AD 的长度为多少时，花坛的面积最大？【来源】江苏省泰州市泰州中学2019~2020学年高一上学期期中数学试题 【答案】（1）292m π（2）当线段AD 的长为5米时，花坛的面积最大44．已知一个扇形的周长为30厘米，求扇形面积S 的最大值，并求此时扇形的半径和圆心角的弧度数.【来源】上海市华东师范大学第二附属中学2018-2019学年高一上学期期末数学试题 【答案】()2rad α= 152r =45．如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U 型槽上的横截面图，已知图中ABCD 为等腰梯形（AB ∥DC ），支点A 与B 相距8m ，罐底最低点到地面CD 距离为1m ，设油罐横截面圆心为O ，半径为5m ，56D ∠=︒，求：U 型槽的横截面（阴影部分）的面积.（参考数据：sin530.8︒≈，tan56 1.5︒≈，3π≈，结果保留整数）【来源】上海市闵行区七宝中学2019-2020学年高一上学期9月月考数学试题 【答案】202m46．明朝数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》:“平地秋千未起,踏板一尺离地,送行二步恰竿齐,五尺板高离地…”某教师根据这首词的思想设计如下图形,已知CE l ⊥,DF l ⊥,CB CD =,AD BC ⊥,5DF =,2BE =,AD =则在扇形BCD 中随机取一点求此点取自阴影部分的概率.【来源】山西省阳泉市2018-2019学年高一第一学期期末考试试题数学试题【答案】1)4(P A π=-47．某企业欲做一个介绍企业发展史的铭牌，铭牌的截面形状是如图所示的扇形环面（由试卷第11页，总11页 扇形OAD 挖去扇形OBC 后构成的）.已知10, (0<<10)OA=OB =x x ，线段BA 、CD与弧BC 、弧AD 的长度之和为30米，圆心角为θ弧度.（1）求θ关于x 的函数解析式；（2）记铭牌的截面面积为y ，试问x 取何值时，y 的值最大？并求出最大值.【来源】上海市黄浦区2018届高三4月模拟（二模)数学试题【答案】（1）210(010)10x x x θ+=<<+；（2）当52x =米时铭牌的面积最大，且最大面积为2254平方米. 48．已知一扇形的圆心角为()0αα>，所在圆的半径为R .（1）若90,10R cm α==o ，求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积；（2）若扇形的周长是一定值()0C C >，当α为多少弧度时，该扇形有最大面积?【来源】2019高考备考一轮复习精品资料 专题十五 任意角和弧度制及任意角的三角函数 教学案【答案】（1）2550π-；（2）见解析49．已知在半径为10的圆O 中，弦AB 的长为10.（1）求弦AB 所对的圆心角α(0<α<π)的大小；（2）求圆心角α所在的扇形弧长l 及弧所在的弓形的面积S .【来源】（人教A 版必修四)1.1.2弧度制（第一课时)同步练习02【答案】（1）π3（2）10π3；50(π3−√32) 50．已知在半径为6的圆O 中，弦AB 的长为6，(1)求弦AB 所对圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形的弧长l 以及扇形的面积S.【来源】江西省玉山县一中2018-2019学年高一（重点班)下学期第一次月考数学（文)试卷【答案】（1）3π ；（2）2l π= ，6S π=。
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期中数学试题
山东省烟台市2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则ba=（ ）. A ．112-B ．112 C ．16-D ．162．已知10a <<﹣，0b <，则b ，ab ，2a b 的大小关系是（ ） A ．2b ab a b <<B ．2a b ab b <<C ．2a b b ab <<D ．2b a b ab <<3．已知数列{}n a 的前n 项和3()nn S k k =+为常数，那么下述结论正确的是（ ）A ．k 为任意实数时，{}n a 是等比数列B ．k = －1时，{}n a 是等比数列C ．k =0时，{}n a 是等比数列D ．{}n a 不可能是等比数列 4．若1a >，则11a a +-的最小值是 ( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．“中国剩余定理”又称“孙子定理”1852年英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{}n a ，则此数列的项数为（ ） A ．134B ．135C ．136D ．1376．定义在()1,-+∞上的函数()f x 满足()cos 0f x x '+<，且()01f =，则不等式()sin 1f x x +<的解集为（ ）.A ．(),0-∞B ．()1,0-C ．()0,∞+D ．()1,1-7．数列()12n n ⎧⎫⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭的前n 项和为（ ）.A ．2354(1)(2)n n n n +++ B ．2352(1)(2)n nn n +++ C ．()122n n ++D ．12n n ++ 8．在各项均为正数的等比数列{}n a 中63a =，则484a a +（ ） A ．有最小值12B ．有最大值12C ．有最大值9D ．有最小值99．函数3()2f x x ax =+-在区间(1,)+∞内是增函数，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[3，+∞) B ．[-3，+∞) C ．(-3，+∞)D ．(-∞，-3)10．函数()f x 的定义域为(),a b ，其导函数()f x '在(),a b 的图象如图所示，则函数()f x 在(),a b 内的极小值点个数为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1二、多选题11．下列说法正确的是（ ）A ．若x ，y >0，x +y =2，则22x y +的最大值为4；B ．若12x <，则函数y=1221x x +-的最大值为-1；C ．若x,y >0，x +y +xy =3，则xy 的最小值为1;D ．函数2214sin cos y x x=+的最小值为9. 12．已知{}n a 为等差数列，其前n 项和为n S ，且13623a a S +=，则以下结论正确的是（ ）. A ．10a =0B ．10S 最小C ．712S S =D ．190S =13．已知函数()ln f x x x =，若120x x <<，则下列结论正确的是（ ）. A ．()()2112x f x x f x <B ．()()1122x f x x f x +<+C ．()()12120f x f x x x -<-D ．当ln 1x >-时，()()()1122212x f x x f x x f x +>三、填空题14．已知b 克糖水中含有a 克糖（0b a >>），再添加m 克糖（0m >）（假设全部溶解），糖水变甜了.请将这一事实表示为一个不等式__________．15．已知数列{}n a 的前n 项和为2233n S n n =++，则数列{}n a 的通项公式为__________．16．设()ln =f x x ，若函数()()g x f x ax =-在区间(0,4)上有三个零点，则实数a 的取值范围是__________．四、双空题17．将边长分别为()*1,2,3,,,n n ∈N 的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，把各阴影部分所在图形的面积由小到大依次记为(1),(2),(3),,(),f f f f n ，则()f n =_________，前n 个阴影部分图形的面积的平均值为__________．五、解答题18．设函数323(1)4()1()322a f f x x x x a '+=-++∈R .（1）若函数()f x 在1x =处取得极值，求a 的值；（2）若不等式2()1f x x x a '>--+对任意()0,a ∈+∞都成立，求实数x 的取值范围.19．已知正项等比数列{}n a 是单调递增数列，且34a 与53a 的等差中项为44a ，3a 与7a 的等比中项为16.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）令21log n n b a +=，求数列{}n n a b +的前n 项和n S .20．甲、乙两地相距120km ，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不超过110/km h .已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v （单位：/km h ）的平方成正比，且比例系数为b ，固定部分为a 元.（1）把全程运输成本y （元）表示为速度v 的函数，并求出当64a =，1144b =时，汽车应以多大速度行驶，才能使得全程运输成本最小；（2）随着汽车的折旧，运输成本会发生一些变化，那么当100a =，1144b =元，此时汽车的速度应调整为多大，才会使得运输成本最小. 21．已知函数()1x f x ex -=-.（1）求()y f x =在点()()22f ,处的切线方程；（2）若存在40,1ln 3x ⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，满足10x a e x --+<成立，求实数a 的取值范围.22．已知函数()tan 1f x x =-在()0,∞+上的零点按从小到大的顺序构成数列{}()*n a a N ∈.（1）试判断数列{}n a 是否为等差数列，并说明理由； （2）设42n n n b a π=⋅，求数列{}n b 的前n 项和n S .23．已知函数2()ln f x x ax x =-+- （1）判断()f x 的单调性；（2）若函数()f x 存在极值，求这些极值的和的取值范围.参考答案1．D 【解析】 【分析】根据不等式对应方程的韦达定理得到1123b a -=-+，计算得到答案. 【详解】不等式220ax bx ++>的解集是11|23x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭则根据对应方程的韦达定理得到：1123b a -=-+即16b a = 故选：D 【点睛】本题考查了不等式的系数关系，转化为对应方程的根与系数的关系是解题的关键. 2．D 【分析】利用不等式的性质，判断出三者的大小关系. 【详解】由于10a -<<，0b <，所以20,0ab a b ><，故ab 为三者中的最大值.由于10a -<<，所以()20,1a ∈，所以()22210,a b b a b a b b -=->>，所以2b a b ab <<.故选D. 【点睛】本小题主要考查不等式的性质，考查比较大小的方法，属于基础题. 3．B 【分析】先根据等比数列求 1k =－，再验证k = －1时，{}n a 是等比数列. 【详解】因为3n n S k =+，所以当2n ≥时111=3323n n n n n n a S S ----=-=⋅，当1n =时1=3+a k ， 若{}n a 是等比数列，则01=3+=231,a k k ⨯∴=-，若k = －1，则11=23,(1),3n n n na a n a -+⋅≥=∴{}n a 是等比数列.因此选B. 【点睛】等比数列的判定方法(1)定义法：若1(n na q q a +=为非零常数)，则{}n a 是等比数列； (2)等比中项法：在数列{}n a 中，0n a ≠且212n n a a a a ++=，则数列{}n a 是等比数列； (3)通项公式法：若数列通项公式可写成(,nn a cq c q =均是不为0的常数)，则{}n a 是等比数列；(4)前n 项和公式法：若数列{}n a 的前n 项和(0,1,nn S kq k q q k =-≠≠为非零常数)，则{}n a 是等比数列.4．C 【解析】 【分析】 配凑()111111a a a a +=-++--，再利用均值不等式。