重庆市万州区纯阳中学2020-2021学年第一学期高二期中考试数学试题
第I卷
一、单项选择题（每小题5分，共8小题40分）
1.下列命题正确的是（）
A.有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱
C.绕直角三角形的一边旋转所形成的几何体叫圆锥
四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共6小题60分）
17.已知 的顶点 ， ， 。
（1）求点C到边 的距离。
（2）求 的面积。
18.已知圆 ： .
（1）求圆心 的坐标和半径。
（2）已知过点 的直线 交圆 于 两点，且 ，求直线 的方程。
19.如图，在四棱锥 中，底面 是矩形，侧棱 ， 是 的中点，求证：
D.用一个面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台
2.过点 且与直线 垂直的直线方程为（）
A. B. C. D.
3.过点 且斜率为2的直线在 轴上的截距是（）
A.4 B. C.8 D.
4.不论 为何实数，直线 恒过定点（）
A. B. C. D.
5.已知 是两条不同的直线， 是三个不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若 ，则
B.若 ，则
C.若 ，且 ，则
D.若 ，且 ，则
6.已知圆 与圆 ，则圆 与圆 的位置关系为（）
A.相交B.内切C.外切D.相离
7.若圆心坐标为 的圆被直线 截得的弦长为 ，则这个圆的方程是（）
A. B.
C. D.
8.若实数 满足 ，则 的取值范围为（）
A. B. C. D.
二、多项选择题（每小题5分，共4小题20分）
A. B. C. D.
第II卷
三、填空题（每小题5分，共4小题20分）
13.已知空间两点 ， ，则它们之间的距离为_______.
14.两条平行直线 与 的距离是_______.
15.已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若正方体的体积为 ，则这个球的体积为________.
16.若关于 的方程 有两个实数解，则 的取值范围是______.
9. 为直线 外两点，则过这两点且与该直线平行的平面个数可能有（）
A.0个B.1个C.无数个D.2个
10.设 是两个不同的平面， 是一条直线，以下命题不正确的是（）
A.若 ，则 B.若 ，则
C .若 ，则 D.若 ，则
11.若直线 与直线 平行，则 的值为（）
A.1 B.0 C. D.
12.若过点 有两条直线与圆 相切，则实数 的可能取值是（）
纯阳中学2022级高二第一学期期中考试数学试题
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
（1） ；（2） .
20.已知圆 ： .
（1）求过点 且与圆 相切的直线方程；
（2）若 圆 上的任意一点，求 的最大值。
21.如图，在直棱柱 中， 是 上的一点， ，且 .
（1）求证： ；
（2）若 ，求点 到平面 的距离.
22.如图，多面体 ，平面 平面 ， ， ，
， 是 的中点， 是 上的点.
（1）若 是 的中点，求证： ；
（3）①当直线 的斜率不存在时，即直线 的方பைடு நூலகம்为：
由 得： 或 ，所以 ，成立
②当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为：
圆心到直线 的距离为
，
.
19.
20.解：（1） 在圆上， 过A点的切线方程为：
（2）设 ，
由
，整理得： ，
.
21.
22.
（1）证明：
（2）若 ，求二面角 的平面角的余弦值。
纯阳中学2022级高二第一学期期中考试数学试题答案
1、单选题
BCDC DBBC
2、多选题
ABC ABD BD CD
3、填空题
13. 14. 15. 16.
4、解答题
17解：（1） ，AB直线方程为： ，即：
所以，点C到AB直线的距离为：
（2） ，
18解：（1）由题意可以把圆方程化为 ，所以圆心为 ，半径为 .
重庆市万州第二高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
重庆市万州第二高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（ ） A ．1 B ．1- C ．4 D ．4- 2．在四面体O ABC -中，点P 为棱BC 的中点. 设OA a =, OB b =，OC c =，那么向量AP 用基底{},,a b c 可表示为（ ）A ．111222a b c -++ B ．1122a b c -++ C ．1122a b c ++ D ．111222a b c ++3．P 是圆()22:34M x y +-=上的动点，则P 到直线30l y --=的最短距离为（ ）A ．5B ．3C ．2D ．14．如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则点1A 到平面1ABC 的距离为（ ）A ．1B ．2C D5．如图，在四面体ABCD 中，已知35AE AB =，2AF FC =，3GD AG =，则四面体ABCD 被截面EFG 分得的上下两部分的体积之比为（ ）A ．18B ．19 C ．110 D ．415 6．已知直线1l ：310mx y m --+=与直线2l ：310x my m +--=相交于点P ，线段AB是圆C ：()()22114x y +++=的一条动弦，且AB =D 是线段AB 的中点.则PD 的最大值为（ ）A ．B ．C ．D ．1 7．如图在一个120︒的二面角的棱上有两点,A B ，线段,AC BD 分别在这个二面角的两个半平面内，且均与棱AB 垂直，若AB =1AC =，2BD =，则CD 的长为（ ）.A ．2B ．3C ．D ．48．在边长为a 菱形ABCD 中，60DAB ∠=︒，将这个菱形沿对角线BD 折起，使得平面DAB ⊥平面BDC ，若此时三棱锥A BCD -的外接球的表面积为5π，则a =（ ）A B C D ．3二、多选题9．已知α，β是空间中两个不同的平面，m ，n 是空间中两条不同的直线，则给出的下列说法中，正确的是（ ）A ．若m α⊥，n α⊥，则//m nB ．若//m α，m ∥β，则//αβC ．若,//m αββ⊥，则m α⊥D ．若//,m αβα⊥，则m β⊥ 10．如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为菱形，且60DAB ∠=，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是（ ）A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PMB B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90C ．二面角P BC A --的大小为45D ．BD ⊥平面PAC 11．圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（ ）A ．公共弦AB 所在直线方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线方程为10x y +-=C ．公共弦AB的长为2D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB1 12．如图，棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 为线段1A B 上的动点，则下列结论中正确的有（ ）A ．11DC D P ⊥B ．1APD ∠的最大值为90°C ．1AP PD +D ．1C P 与平面11A B BA所成角正弦值的取值范围是2⎣⎦三、填空题13．已知空间向量(3,1,3),(1,,1)m n λ==--，且//m n ，则实数λ=________．14．已知x ，y 满足约束条件221x y y x y +≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，则23z x y =-的最大值为________．15．已知四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是边长为2的正方形，PA PD ==面ABCD ⊥平面PAD ，M 是PC 的中点，O 是AD 的中点，则直线BM 与平面PCO 所成角的正弦值是__________.四、双空题16．已知圆224O x y +=：，过点)P 作两条互相垂直的直线1l ，2l ，其中1l 交该圆于A ，B 两点，2l 交该圆于C ，D 两点，则AB 的最小值是_____，AB CD +的最大值是_____．五、解答题17．一个如图所示的密闭容器，它的下部是一个底面半径为1m ，高为2m 的圆锥体，上半部是个半球，则这个密闭容器的表面积是多少？体积为多少？18．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过(3,4),(3,2),(0,1)P Q R -三点.（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，求a 的值.19．如图所示，在四面体A BCD -中，点P ，Q ，R 分别为棱,,BC BD AD 的中点，,2,AB BD AB PR CD ⊥===（1）证明：//CD 平面PQR ；（2）证明：平面ABD ⊥平面BCD ；（3）面 PQR 与四面体A BCD -的截面交AC 于F 点，指出F 点在AC 的什么位置，并说明理由．20．如图，面积为8的平行四边形ABCD ，A 为原点，点B 的坐标为()2,1-，点C ，D 在第一象限．（1）求直线CD 的方程；（2）若||BC =，求点D 的横坐标．21．如图，在等腰直角三角形ADP 中，90A ∠=︒，3AD =，B ，C 分别是AP ，DP 上的点，且//BC AD ，E ，F 分别是AB ，PC 的中点.现将PBC 沿BC 折起，得到四棱锥P ABCD -，连接EF .（1）证明：//EF 平面PAD ；（2）是否存在点B ，当将PBC 沿BC 折起到PA AB ⊥时，二面角P CD E --的余弦值等于5？若存在，求出AB 的长；若不存在，请说明理由.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆M 过坐标原点O 且圆心在曲线y x =上. （1）若圆与,x y 轴交于点A ，B (不同于原点O )，求证：AOB 的面积为定值；､F ，点P 为直线5x 上的动点，直线,PE PF 与圆M 的另一个交点分别为G ，H(点G ､H 与E ､F 不重合)，求证：直线GH 过定点.参考答案1．B【分析】根据斜率相乘等于1-列方程求解即可.【详解】直线210ax y ++=的斜率为2a -， 直线220x y +-=的斜率为2-，因为直线210ax y ++=与直线220x y +-=互相垂直， 所以()2112a a ⎛⎫-⨯-=-⇒=- ⎪⎝⎭， 故选：B.2．B【分析】先根据点P 为棱BC 的中点，则()12OP OB OC =+，然后利用空间向量的基本定理，用,,a b c 表示向量AP 即可.【详解】点P 为棱BC 的中点， ()12OP OB OC ∴=+， ()12AP OP OA OB OC OA ∴=-=+-， 又,,OA a OB b OC c ===，()111222AP OB OC OA a b c ∴=+-=-++，故选B. 【点睛】本题主要考查空间向量的基本定理，以及向量的中点公式，要求熟练掌握，同时考查了转化与划归的思想的应用，属于基础题.3．D【分析】利用点到直线的距离公式可求得圆心到直线的距离，再减去半径即为所求.【详解】如图，过M 作MA l ⊥于A ，当P 在线段MA 上时，PA为最短距离，3MA ==，21PA MA =-=.故选：D.【点睛】本题考查点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系，解决问题的灵活性. 4．B【分析】由已知求出棱锥11A ABC -的体积，再由等体积法求点1A 到平面1ABC 的距离．【详解】正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1， ∴1111122A AB S =⨯⨯=， 又1C 到平面11AA B B 的距离为1， ∴111111326C AA B V -=⨯⨯=， 而1AB BC ⊥，1BC，则1112ABC S =⨯= 设点1A 到平面1ABC 的距离为h ，由1111C AA B A ABC V V --=，得1136h =，h ∴． 故选：B ．【点睛】求点到面的距离常见方法：1、直接求出垂线段；2、利用体积相等求解；3、建立坐标系，利用空间向量求解.5．B【分析】设ABC 的面积为S ，点D 到平面ABC 的距离为h ，可得13ABCD V Sh =，根据题意得出25AEF S S =△，点G 到平面ABC 的距离为14h ，即可求得130AEFG V Sh =，进而得出体积之比. 【详解】设ABC 的面积为S ，点D 到平面ABC 的距离为h ，则13ABCD V Sh =， 35AE AB =，2AF FC =，∴322535AEF S S S ⋅⨯==△， 3GD AG =，∴点G 到平面ABC 的距离为14h ，于是121135430AEFG V S h Sh =⋅⋅=， 则四面体ABCD 被截面EFG 分得的上下两部分的体积之比为111:1:930330Sh Sh Sh ⎛⎫-= ⎪⎝⎭. 故选：B.【点睛】 关键点睛：本题考查三棱锥体积的有关计算，解题的关键是利用线段比例关系得出25AEF S S =△，点G 到平面ABC 的距离为14h ，即可求出体积之比. 6．D 【分析】根据条件可先判断出12l l ⊥并结合直线过定点确定出P 的轨迹方程，再根据条件计算出CD 的长度，结合图示说明何时PD 有最大值并计算出最大值.【详解】由题意得圆C 的圆心为()1,1--，半径2r ，易知直线1l ：310mx y m --+=恒过点()3,1M ，直线2l ：310x my m +--=恒过()1,3N ，且12l l ⊥，∴P 的轨迹是以MN 为直径的圆， ∴点P 的轨迹方程为()()22222x y -+-=，圆心为()2,2， 若点D 为弦AB 的中点，位置关系如图：连接CD ，由AB =2431CD .max max 11PD PC CD ∴=+==，此时,,P C D 三点共线且C 在线段PD 上，故选：D.【点睛】本题考查和圆有关的轨迹问题，解答此类问题时作出图示能有效帮助分析问题，这类问题对学生的分析与作图能力要求较高，难度较难.7．B【分析】由CD CA AB BD =++，两边平方后展开整理，即可求得2CD ，则CD 的长可求．【详解】 解：CD CA AB BD =++，∴2222222CD CA AB BD CA AB CA BD AB BD =+++++，CA AB ⊥，BD AB ⊥，∴0CA AB =，0BD AB =，()1||||cos 1801201212CA BD CA BD =︒-︒=⨯⨯=． ∴2124219CD =+++⨯=，||3CD ∴=，故选：B ．【点睛】本题考查了向量的多边形法则、数量积的运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查了空间想象能力，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．8．B【分析】分别找出,ABD BCD ∆∆外心的位置，过两个三角形的外心分别作出面的垂线相交于点O ，得到点O 为球的球心，并设三角形的边长为a ，利用勾股定理列出关于a 的方程.【详解】解:如图①所示，取BD 的中点M ，连接,AM CM ，由题意知,ABD BCD ∆∆都是等边三角形，设边长为a .如图②，由题意知AMC ∆为等腰直角三角形，在Rt AMC ∆中，,P Q 分别是,CM AM 上靠近M 的三等分点.OC 即为三棱锥A BCD -外接球的半径，所以245OC ππ=.在Rt OPC ∆中，222125334OC ππ⎫⎫⨯+⨯==⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得：a =故选:B【点睛】本题以平面图形的翻折为背景，考查三棱锥与球的切接问题，考查空间想象能力和运算求能能力，注意翻折前后的不变量及确定球的球心的常用方法.9．AD【分析】根据线面位置关系的判定定理和性质定理，逐项判定，即可求解.【详解】根据垂直于同一个平面的两条直线相互平行，所以A 正确；若l αβ=，当//m α，m ∥β时，平面α与β不一定平行，所以B 不正确；由,//m αββ⊥，则m 可能在平面α内，所以C 不正确；由两平面平行，其中一个平面的垂线也一定垂直于另外一个平面，所以D 也是正确的. 故选：AD.【点睛】本题主要考查了线面位置关系的判定与证明，其中解答中熟记线面位置关系的判定定理和性质定理是解答的关键，属于基础题.10．ABC【分析】取AD 的中点M ，连接,PM BM ，证明AD ⊥平面PMB 可判断AB ；证明BC ⊥平面PMB ，BC PB ⊥,BC BM ⊥，可求出PBM ∠是二面角P BC A --的平面角求出角的大小可判断C ；假设BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥，推出PA ⊥平面ABCD ，与PM ⊥平面ABCD 矛盾可判断D .【详解】如图，取AD 的中点M ，连接,PM BM ，∵侧面PAD 为正三角形，PM AD ∴⊥，又底面ABCD 是菱形，60DAB ︒∠=，ABD ∴是等边三角形，AD BM ∴⊥，又PM BM M ⋂=，,PM BM ⊂平面PMB ，AD ∴⊥平面PMB ，AD PB ⊥，故A ，B 正确；对于C ，∵平面PBC 平面ABCD BC =，//BC AD ，BC ∴⊥平面PMB ，BC PB ∴⊥,BC BM ⊥，PBM ∴∠是二面角P BC A --的平面角，设1AB =，则BM =PM = 在Rt PBM △中，tan 1PM PBM BM∠==，即45PBM ︒∠=，故二面角P BC A --的大小为45︒，故C 正确；对于D ，假设BD ⊥平面PAC ，则BD PA ⊥，又依题意平面PAD ⊥平面ABCD ，AD BM ⊥，则BM ⊥平面PAD ，故BM PA ⊥，而BD ，BM 相交，且在平面ABCD 内，故PA ⊥平面ABCD ，与PM ⊥平面ABCD 矛盾，因此BD 与平面PAC 不垂直，故D 错误.故选：ABC.【点睛】本题考查线面垂直的判定，异面直线夹角及二面角的求解，必须在熟练掌握有关的定理和性质的前提下，再利用已知来进行证明，对于一些证明，有时也可以考虑反证法，本题综合性较强.11．ABD【分析】两圆作差即可求解公共弦AB 所在直线方程，可判断A ；由公共弦所在直线的斜率以及其中圆1O 的圆心即可线段AB 中垂线方程，可判断B ；求出圆心1O 到公共弦所在的直线方程的距离，利用几何法即可求出弦长，可判断C ；求出圆心1O 到公共弦AB 所在直线方程的距离，加上半径即可判断D.【详解】对于A ，由圆221:20x y x O +-=与圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ， 两式作差可得440x y -=，即公共弦AB 所在直线方程为0x y -=，故A 正确；对于B ，圆221:20x y x O +-=的圆心为()1,0，1AB k =，则线段AB 中垂线斜率为1-，即线段AB 中垂线方程为：()011y x -=-⨯-，整理可得10x y +-=，故B 正确； 对于C ，圆221:20x y x O +-=，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为2d ==1r =所以AB ==，故C 不正确； 对于D ，P 为圆1O 上一动点，圆心1O ()1,0到0x y -=的距离为d =，半径1r =，即P到直线AB 距离的最大值为12+， 故D 正确.故选：ABD【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系、求公共弦所在的直线方程、求公共弦、点到直线的距离公式，圆上的点到直线距离的最值，考查了基本运算求解能力，属于基础题.12．ACD【分析】证明1DC ⊥平面11A BCD ，即可得出11DC D P ⊥；当112A P =时，求出11,,AP D P AD 的长度，再由余弦定理得出1cos 0APD ∠<，从而判断B 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，可知线段1AD 即为1AP PD +的最小值，再由余弦定理求出最小值；由11BC ⊥平面11A B BA 得出1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，结合直角三角形的边角关系得出1C P 与平面11A B BA 所成角正弦值的取值范围.【详解】连接1CD ，如下图所示对于A 项，由于11A D ⊥平面11CDD C ，则111A D DC ⊥，由1DC ⊥1CD ，结合线面垂直的判定定理可得1DC ⊥平面11A BCD ，又1D P ⊂平面11A BCD ，所以11DC D P ⊥对于B 项，当112A P =时，AP ==12D P ==，1AD =1APD △中，1552cos 0APD +-∠=<，则1APD ∠可以为钝角，则B 错误； 对于C 项，将面1AA B 与11A BCD 沿1A B 展开成平面图形，如下图所示则线段1AD 即为1AP PD +的最小值在11D A A △中，11135D A A ︒∠=由余弦定理得1AD ==，即1AP PD +的最小值为对于D 项，由于11B C ⊥平面11A B BA ，且111B C B P ⊥，则1C P 与平面11A B BA 所成角为11B PC ∠，则1111sin B PC C P ∠=1C P ≤≤116sin B PC ∠，即1C P 与平面11AB BA所成角正弦值的取值范围是,23⎣⎦故选：ACD【点睛】 方法点睛：求几何体表面上两点的最小距离的方法：利用展开图求立体图形表面上两点的最短距离.13．13-【分析】直接利用空间向量平行的性质列方程求解即可．【详解】空间向量(3,1,3),(1,,1)m n λ==--，且//m n ， ∴131λ-=， 解得实数13λ=-．故答案为：13-．14．4【分析】先根据约束条件画出可行域，将23z x y =-表示成斜截式，只需求出直线在y 轴上的截距最值即可．【详解】 x ，y 满足约束条件221x y y x y +⎧⎪-⎨⎪⎩，画出图形，如图，目标函数23z x y =-，化为233z y x =-， 由22x y y x +=⎧⎨=-⎩，解得点(2,0)A ， 直线233z y x =-经过A 时纵截距最小， 此时z 在点A 处有最大值：22304z =⨯-⨯=，故答案为：4．【点睛】求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.15【详解】以O 为坐标原点建立空间直角坐标系，设1(1,2,0),(1,2,0),(0,0,2)(,1,1)2B C P M -∴- 因此3(,1,1)2BM =-- ,设平面PCO 一个法向量为(,,)(0,0,2)00(,,)(,,)(1,2,0)02x y z z n x y z x y z x y ⋅==⎧⎧=∴∴⎨⎨⋅-==⎩⎩，取(2,1,0)n = 因此直线BM 与平面PCO所成角的正弦值是3cos ,17BM n --==16．2 【分析】将AB 用圆心到AB 的距离表示，再利用直角三角形中，直角边小于斜边，即可求得AB 的最小值；将AB CD +用圆心到两弦的弦心距表示，再利用基本不等式，即可求得AB CD +的最大值.【详解】过O 作OE AB ⊥，交AB于点E ，过O 作OF CD ⊥，交CD 于点F ，连接OA ，OC ，设圆心O 到AB 的距离为1d ，圆心O 到CD 的距离为2d ，则AB == 又OE OP ≤∴圆心O 到AB 的距离1d 的最大值为OP =，∴AB 的最小值为min 2AB ==，AB CD +== 又222123d d OP +==，≤==，当且仅当12d d ==时，等号成立，所以42AB CD +=≤⨯=所以AB 的最小值为2，AB CD +的最大值是.故答案为：2；.【点睛】本题主要考查的是圆的弦长的计算，其中涉及到基本不等式的应用，属于中档题.涉及直线被圆截得的弦长问题时，解法有以下两种：（1）几何法：利用半径长、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形求解；（2）代数法：将直线方程与圆的方程组成方程组，设出交点坐标，若交点坐标简单易求，则直接利用两点间的距离公式进行求解；若交点坐标不易求，则将方程组消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根与系数的关系可求弦长.17．表面积为22m π+，体积为343m π 【分析】 根据圆锥和球的表面积和体积的计算公式求解即可.【详解】=则该组合体的表面积为()()221141212m 22πππ⨯⨯+⨯⨯=+ 该组合体的体积为323m 14141122333πππ⎛⎫=⨯⨯+⨯⨯= ⎪⎝⎭ 18．（1）()()22319x y -+-=；（2）1a =或5-.【分析】（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为(),1t ，即可求出参数t ，得到圆心坐标，再求出圆的半径，从而求出圆的方程；（2）依题意可得ACB △为等腰直角三角形，则圆心到直线的距离3sin 45d =︒，从而求出参数的值；【详解】解：（1）因为圆C 的圆心在线段PQ 的垂直平分线上，所以可设圆C 的圆心为()1t ，， 则有()()()222231411t t -+-=+-，解得3t =.即圆心为()31，则圆C 3=.所以圆C 的方程为()()22319x y -+-=.（2）因为圆C 与直线0x y a -+=交于,A B 两点，且CA CB ⊥，所以ACB △为等腰直角三角形，点C 到直线AB 距离3sin 45d =︒=解得15a =-或.【点睛】本题考查几何意义法求圆的方程，直线与圆的位置关系求参数的值，属于基础题.19．（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）F 为AC 中点.【分析】（1）证明//PQ CD ，则可得//CD 平面PQR ；（2）证明RQ BD ⊥，RQ PQ ⊥，则可证明RQ ⊥平面BCD ，即可得平面ABD ⊥平面BCD ；（3）由直线与平面的性质可得//RF CD ，所以F 为AC 中点.【详解】（1）,P Q 分别为,BC BD 的中点，//PQ CD ∴，又PQ ⊂平面PQR ，CD ⊄平面PQR ，所以//CD 平面PQR ；（2）,R Q 分别为,AD BD 的中点，//RQ AB ∴，又AB BD ⊥，所以RQ BD ⊥，因为111,22RQ AB RP PQ CD =====222RQ PQ PR +=， 所以RQ PQ ⊥，,QP BD Q PQ ⋂=⊂平面,BCD BD ⊂平面BCD ，RQ ∴⊥平面BCD ，又RQ ⊂平面ABD ，所以平面ABD ⊥平面BCD ；（3）因为//CD 平面PQR ，且平面PQR 平面ACD RF =，CD ⊂平面ACD ， 所以//RF CD ，又R 为AD 中点，所以F 为AC 中点.20．（1）280x y +-=；（2）1.2或2.【分析】（1）设出直线CD 的方程220x y m +-=，根据平行四边形的面积、点到直线的距离公式求得m ，进而求得直线CD 的方程.（2）结合D 在直线CD上以及||BC =D 点的横坐标.【详解】（1）依题意1122AB CD k k -===-，设直线CD 的方程为12y x m =-+， 即220x y m +-=.设原点()0,0到直线CD 的距离为d ，AB ==，由于平行四边形ABCD 的面积为8，所以8,d AB d ⋅==由点到直线的距离公式得()0,0到直线CD 的距离为=，解得4m =±， 由于,C D 在第一象限，所以4m =.所以直线CD 的方程为280x y +-=.（2）设(),D a b，由于AD BC ==，所以280a b +-=⎧⎪= 1.2a =或2a =. 即D 点的横坐标为1.2或2.【点睛】本小题主要考查直线方程的求法，考查点到直线距离公式，属于中档题.21．（1）证明见解析（2）存在点B ，此时AB 的长为1【分析】（1）作//CM AB 交AD 于点M ，连接PM ，取PM 中点N ，连接AN ，FN ，证明四边形AEFN 是平行四边形，从而得到//EF AN ，利用线面平行的判定定理证明即可； （2）证明AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面PCD 和平面CDE 的法向量，求出法向量夹角的余弦值，可得二面角P CD E --的余弦值，结合题意，列方程求解即可.【详解】（1）证明：作//CM AB 交AD 于点M ，连接PM ，取PM 中点N ，连接AN ，FN ，由中位线定理得//FN CM ，且12FN CM =， 因为E 是AB 的中点，所以//AE CM ，且12AE CM =， 故//FN AE ，且FN AE =，所以四边形AEFN 是平行四边形，所以//EF AN ，因为AN ⊂平面PAD ，EF ⊄平面PAD ，所以//EF 平面PAD .（2）解：存在.理由如下：因为BC AB ⊥，BC PB ⊥，且AB PB B ⋂=，AB平面PAB ，PB ⊂平面PAB ，所以BC ⊥平面PAB ，又//BC AD ，所以AD ⊥平面PAB ，又PA ⊂平面PAB ，所以PA AD ⊥，又AB AD ⊥，PA AB ⊥，所以AB ，AD ，AP 两两垂直，以A 为坐标原点，AB ，AD ，AP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，设AB a ，则3PB BC a ==-，由PB AB >，得302a <<，PA = 所以(0,0,0)A ，(,3,0)C a a -，P ，(0,3,0)D ，所以(,,0)DC a a =-，(0,DP =-设平面PCD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则030DC n ax ay DP n y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 取1y =， 则1,1,9n ⎛= ⎝， 又平面CDE 的一个法向量(0,0,1)m =，若存在点B ，当将PBC 沿BC 折起到PA AB ⊥时，二面角P CD E --的余弦值等于5， |||cos ,|||||n m n m n m ⋅=<>=，=， 解得1a =，即AB 的长为1.故存在点B ，此时AB 的长为1.【点睛】本题考查了线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理与线面垂直的性质定理，考查了利用空间向量求二面角，考查了方程思想，属于中档题.22．（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）由题意设圆心为（t，t ），半径r=，可得圆的方程，分别令x＝0，y＝0，运用三角形的面积公式，计算即可得证；（2）设P（5，y0），G（x1，y1），H（x2，y2），求得E，F的坐标，PE和PF的方程，联立圆的方程,设直线GH的方程为y＝kx+b，代入圆的方程，运用韦达定理，可得k，b的关系，即可得到所求定点．【详解】（1）由题意设圆心为（t，半径r=，则圆M的方程为22223()x t y tt⎛-+-=+⎝⎭，即2220x y tx yt+--=.令0x=，得y=0y=，得2x t=.∴11|||||2|22AOBS OA OB t=⋅==(定值).（2）联立方程(yMyx⎧=⎪∴⎨=⎪⎩，可得圆M的方程为22(1)(4x y-+-=. 设()05,P y，()11,G x y，()22,H x y，又易知(E-，F，所以01161PE GEy yk kx-===+，02223PF FHy yk kx===-.则03PEPF y k k == 因为3PE PF k k =，所以(()(()22122212913y y x x ⨯=+-.因为G ，H满足圆的方程，得(()221141y x -=--，(()222241y x =--，并将它们代入上式中整理得()121227200x x x x -++= 设直线GH 的方程为y kx b =+，代入22(1)(4x y -+=，整理得()2221(22)0k x kb x b ++--+-=.所以12x x +=，12x x ⋅=代入①式，并整理得22(71030b k b k +-+-+=，即(250b k b k ++-=，解得2b k =或5b k =.当2b k =时，直线GH的方程为(2)y k x =-；当5b k =时，直线GH的方程为(5)y k x =-+检验定点和E ，F 共线，不合题意，舍去.故GH过定点.【点睛】本题考查圆的方程的求法和运用，注意运用联立直线方程和圆的方程，消去一个未知数，运用韦达定理，考查直线方程的运用和恒过定点的求法，考查运算能力，属于难题．。
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷(理科)B卷
重庆市2020年高二上学期期中数学试卷（理科）B卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）下列命题中错误的是（）A . 圆柱的轴截面是过母线的截面中面积最大的一个B . 圆锥的轴截面是所有过顶点的截面中面积最大的一个C . 圆台的所有平行于底面的截面都是圆D . 圆锥所有的轴截面是全等的等腰三角形2. （2分）直线x+（a2+1）y+1=0的倾斜角的取值范围是（）A . [0， ]B . [0，）∪[ π，π）C . （，π）D . [ π，π）3. （2分）直线l1：（a﹣1）x+2y+2=0，l2：（2﹣a）y﹣x﹣1=0，若l1∥l2 ，则实数a的值为（）A . 3B . 0或3C . 0D .4. （2分）如图所示，直观图四边形是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积是（）A .B .C .D .5. （2分） (2017高一上·威海期末) 设l、m两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题不正确的是（）A . 若l⊥α，m⊂α，则l⊥mB . 若l⊥α，l∥m，则m⊥αC . 若l⊥α，则m⊥α，则l∥mD . 若l∥α，m∥α，则l∥m6. （2分）已知a、b、c成等差数列，则直线ax-by+c=0被曲线截得的弦长的最小值为（）A .B . 1C .D . 27. （2分）一个空间几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积是（）A .B .C .D .8. （2分） (2019高二上·内蒙古月考) 过三点，，的圆交y轴于M，N两点，则（）A . 2B . 8C . 4D . 109. （2分）将圆平分的直线是（）A .B .C .D . x-y+3=010. （2分）已知A，B，C三点在球O的表面，△ABC是边长为5正三角形，球面上另外一点D到A，B，C三点的距离分别是3，4，5，则球O的表面积是（）A .B .C . 100πD . 400π11. （2分） (2018高一下·淮南期末) 圆与圆的公共弦长为（）A . 1B . 2C .D .12. （2分） (2019高三上·鹤岗月考) 在三棱锥中，点均在球的球面上，且，若此三棱锥体积的最大值为，则球的表面积为（）A .B .C .D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0，圆C1与圆C2的公切线有________条．14. （1分） (2016高二上·邗江期中) 过圆（x﹣1）2+y2=1外一点（3，0）作圆的切线，则切线的长为________15. （1分）(2020·湖南模拟) 已知实数满足约束条件，若的最大值为11，则实数 ________.16. （1分） (2016高三上·黑龙江期中) 已知向量 =（1，2）， =（1，1），则在方向上的投影为________．三、解答题 (共6题；共55分)17. （10分） (2017高一上·福州期末) 己知直线2x﹣y﹣4=0与直线x﹣2y+1=0交于点p．（1）求过点p且垂直于直线3x+4y﹣15=0的直线l1的方程；（结果写成直线方程的一般式）（2）求过点P并且在两坐标轴上截距相等的直线l2方程（结果写成直线方程的一般式）18. （10分） (2018高一上·洛阳月考) 如图，在四棱锥中P﹣ABCD，AB=BC=CD=DA，∠BAD=60°，AQ=QD，△PAD 是正三角形．（1）求证：AD⊥PB；（2）已知点M是线段PC上，MC=λPM，且PA∥平面MQB，求实数λ的值．19. （10分） (2017高三上·定州开学考) 若关于x的实系数方程x2+ax+b=0有两个根，一个根在区间（0，1）内，另一根在区间（1，3）内，记点（a，b）对应的区域为S．（1）设z=2a﹣b，求z的取值范围；（2）过点（﹣5，1）的一束光线，射到x轴被反射后经过区域S，求反射光线所在直线l经过区域S内的整点（即横纵坐标为整数的点）时直线l的方程．20. （10分） (2016高二上·苏州期中) 如图，经过B（1，2）作两条互相垂直的直线l1和l2 ， l1交y 轴正半轴于点A，l2交x轴正半轴于点C．（1）若A（0，1），求点C的坐标；（2）试问是否总存在经过O，A，B，C四点的圆？若存在，求出半径最小的圆的方程；若不存在，请说明理由．21. （5分） (2017高三下·正阳开学考) 如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，∠ADC=∠PAB=90°，BC=CD= AD．E为棱AD的中点，异面直线PA与CD所成的角为90°．（Ⅰ）在平面PAB内找一点M，使得直线CM∥平面PBE，并说明理由；（Ⅱ）若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°，求直线PA与平面PCE所成角的正弦值．22. （10分） (2015高一上·福建期末) 在平面直角坐标系xOy中，已知圆C1：x2+y2=16和圆C2：（x﹣7）2+（y﹣4）2=4，（1）求过点（4，6）的圆C1的切线方程；（2）设P为坐标平面上的点，且满足：存在过点P的无穷多对互相垂直的直线l1和l2，它们分别与圆C1和圆C2相交，且直线l1被圆C1截得的弦长是直线l2被圆C2截得的弦长的2倍．试求所有满足条件的点P的坐标．参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题；共55分) 17-1、17-2、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、。
重庆市万州二中高2021级高二上期期中考试 数学参考答案
14. 8 3
15. 2 m 2 2
16. 3 5 2
三、解答题 ( 本大题共 6 小题，共 70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.解：（1）由 a（a﹣1）﹣2×1＝0，得 a＝2 或﹣1，经检验，均满足．···············5 分
（2）由（a﹣1）×1+2a＝0，得 ．···············10 分
21.解：（Ⅰ）在线段 PD 上取一点 N，使得
，∵
，
∴MN∥DC 且
，
∵
，
∴
，AB∥DC 且 AB＝DC，
∴且 AE＝MN，
∴四边形为平行四边形，
∴ME∥AN，
又∵AN⊂平面 PFD，ME⊄平面 PFD， ∴ME∥平面 PFD．···············5 分
（Ⅱ）以 A 为坐标原点，分别以 AF，AB，AP 为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A（0，0，0），
时取得最大值．···············3 分
解法二：由已知圆柱的底面半径为 1，故三棱柱 ABC﹣A1B1C1 的体积
时等号成立． ．
设∠BAC＝α（0°＜α＜90°），则 AC＝ABcosα＝2cosα，BC＝ABsinα＝2sinα． 由于 AC•BC＝4sinαcosα＝2sin2α≤2，当且仅当 sin2α＝1 即α＝45°时等号成立，故 Vmax＝2． （2）由（1）知，V 取最大值时，OC⊥AB．于是，以 O 为坐标原点，OB 为 y 轴， OO1 为 z 轴，建立空间直角坐标系 O﹣xyz， 则 C（1，0，0），B（0，1，0），B1（0，1，2）．A1（0，-1，2）．
18.解：（1）由题意知圆心的坐标为（1，2），半径 r＝2， 当过点 M 的直线的斜率不存在时，方程为 x＝3． 由圆心（1，2）到直线 x＝3 的距离 3﹣1＝2＝r 知，此时，直线与圆相切． 当过点 M 的直线的斜率存在时，设方程为 y﹣5＝k（x﹣3），
重庆万州二中高2020级高二上期中期考试理科数学试题(解析附后)
重庆万州二中高2020级高二上期中期考试理科数学试题（解析附后）第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的1．直线的倾斜角是( )A．B．C．D．2．已知水平放置的，按“斜二测画法”得到如图所示的直观图，其中，，那么原的面积是( )A．B．C．D．3．在长方体中，，则异面直线所成角的余弦值为( )A．B．C．D．4．设m、n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题是真命题的是( )A．若则B．若则C．若则D．若则5．已知直线平行，则实数的值为( )A．7 B．-1 C．-1或-7 D．13/36．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是半径为1的半圆，则该几何体的表面积为( )A．B．C．D．7．已知从点发出的一束光线，经轴反射后，反射光线恰好平分圆：的圆周，则反射光线所在的直线方程为( )A．B．C．D．8．若过点有两条直线与圆相切，则实数的取值范围是( ) A ．B ．C ．D ．9．已知直线与直线的交点位于第一象限，则实数的取值范围是( )A ．B ．或C ．D ．10．如图，将边长为2的正方体ABCD 沿对角线BD 折起，得到三棱锥1A BCD -，则下列命题中，错误的为( )A ．直线BD ⊥平面1AOCB ．1A B CD ⊥C. 三棱锥1A BCD -D ．若E 为CD 的中点，则//BC 平面1AOE 11．《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马；将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，⊥平面,，, 三棱锥的四个顶点都在球的球面上, 则球的表面积为( ) A ．B ．C ．D ．12．设a ，则的最小值为( )A ．11B ．121C ．9D ．81第II 卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置上 13．已知空间两点，，则它们之间的距离为__________．14．已知直线截圆所得的弦的中点坐标为，则弦的垂直平分线方程为____________.15．在正方体中，对角线与底面所成角的正弦值为___________.16．在平面直角坐标系中，点，若圆上存在一点满足，则实数的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（本小题满分10分）已知圆()22:22C x y -+=．（1）求过圆心C 且在x 轴、y 轴上的截距相等的直线方程．（2）已知过点()1,3P 的直线l 交圆C 于A 、B 两点，且||2AB =，求直线l 的方程．18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，且90（2）若，四棱锥的体积为9，求四棱锥的侧面积19．（本小题满分12分）已知圆过两点，且圆心在上．（1）求圆的方程；（2）设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值.20．（本小题满分12分）如图，在直三棱柱中，是上的一点，，且.（1）求证：平面；（2）若，求点到平面的距离.21．（本小题满分12分）如图，在斜三棱柱中，底面是边长为的正三角形，，，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）求二面角的正切值.22.（本小题满分12分）已知过原点的动直线l 与圆C :228120x y y +-+=相交于不同的两点E,F . （1）求圆C 的圆心坐标；（2）求线段EF 的中点P 的轨迹1C 的方程；（3）是否存在实数m ，使得直线a:(y k x =+与曲线1C 只有一个交点？若存在，求出k 的取值范围；若不存在，说明理由．参考答案ABBCA CCDDBAD 13．14．15．16．16.【详解】由题意得圆的圆心为，半径为1．设点的坐标为，∵，∴， 整理得， 故点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆．由题意得圆和点Q 的轨迹有公共点， ∴，解得．∴实数的取值范围是． 17．【解析】（1）①若直线过原点，设l 为y kx =，过圆心为()2,0可得0k =， 此时直线方程为0y =． ②若直线不过原点，设l ，即0x y a +-= 由过圆心为()2,0可得2a =-，20x y ∴+-=， 综上所述，直线方程为0y =或20x y +-=． （2）①若斜率不存在，则直线方程为1x =，弦长距1d =2AB ==，符合题意． ②若斜率存在，设直线方程为()31y k x -=-，弦心距22d k ==得()223121k k ++=+，解得43k =-， 综上所述，直线l 的方程为1x =或41333y x =-+.18．【解析】（1）又又（2）设，则.过作,为垂足，为中点....四棱锥P-ABCD的侧面积为：,。
重庆市万州第三中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 PDF版含答案
2
15.已知三棱锥 A1 ACD 中，侧棱 AA1 底面 ACD ，AD CD ，AA1 AD CD 2 ，则三棱锥 A1 ACD 的外接球的表面积为
16.已知圆 O : x2 y2 1 ，圆 M : (x a)2 (y 2)2 2 .若圆 M 上存在点 P ，过点 P 作圆 O 的
PBC 平面ABC ？若存在，求出 B1P 的长；若不存在，说明理由.
22. （本小题满分 12 分）如图,点 A0,3 ,直线 l : y 2x 4 ,设圆 C 的半径为 1,圆
心在 l 上. (1)若圆心 C 也在直线 y x 1 上,过点 A 作圆 C 的切线,求切线的方程; (2)若圆 C 上存在点 M ,使 MA 2MO ,求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围.
易知 OD OA CM 1 BM 3 ，
则 P 0, 0, 3 ， D 0 , 1, 0 ， C 2 , 1, 0 ， B 2 , 3, 0 ，
DC (2,0,0),BC (0,4,0),PC (2,1,
3)
，
DC
2,0,0 ，
CD 平面 PDA，
可取平面
PDA的一个法向量
两条切线，切点为 A，B ，使得 PA PB ，则实数 a 的取值范围为 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）。 17．（本小题满分 10 分）如图 ABCD 是直角梯形，以上底边 CD 为轴将梯形旋转一周，得 到一个旋转体，求它的表面积和体积.
18．（本小题满分 12 分）已知圆 C 的方程为 x 12 y2 1，求：
则 BC 边上的高为
(
5)2 (
2 )2 2
32 2
， SPBC
1 2
2024-2025学年重庆市万州区高二(上)期中数学试卷(含答案)
2024-2025学年重庆市万州区高二（上）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线y =100−3x 的倾斜角为( )A. 30°B. 60°C. 120°D. 150°2.若直线l 1：ax +3y +6=0与直线l 2：x +(a +2)y−2=0平行，则a =( )A. −3B. 1C. −32D. −13.已知圆x 2+y 2+8x−4y +19=0的圆心为C ，O 为坐标原点，则以OC 为直径的圆的标准方程为( )A. (x−2)2+(y +1)2=5 B. (x +2)2+(y−1)2=5C. (x +2)2+(y−1)2=20D. (x−2)2+(y +1)2=204.若{a ,b ,c }构成空间的一个基底，则下列选项中能作为基底的是( )A. a−c ，a−b ，b−c B. a +c ，b ，a +c−b C. b +a ，b−a +c ，c +2bD. a +b ，b +c ，a +c5.空间内有三点P(−1,2,3)，E(2,1,1)，F(1,2,2)，则点P 到直线EF 的距离为( )A.2B.3C. 22D. 236.在空间四边形OABC 中，OA =a ，OB =b ，OC =c ，且AM =2MC ，BN =2NO ，则MN =( )A. −13a +13b +23c B. −13a +23b−23c C. −23a +13b−23cD. −13a +13b−23c7.某手机信号检测设备的监测范围是半径为200m 的圆形区域，一名人员持手机以每分钟50m 的速度从设备正东2003m 的A 处沿西偏北30°方向走向位于设备正北方向的B 处，则这名人员被持续监测的时长约为( )A. 2分钟B. 3分钟C. 4分钟D. 5分钟8.如图，在四面体ABCD 中，平面ACD ⊥平面ABC ，△ABC 是边长为6的正三角形，△ACD 是等腰直角三角形，∠ADC =90°，E 是AC 的中点，CF =13CB ，DG=λDB ，若AG//平面DEF ，则λ=( )A. 12B. 13C. 14D. 23二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2024—2025学年度上期高2026级半期考试数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过点()3,1，()2,0，则直线l 的倾斜角为（）A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由两点坐标结合斜率公式直接求出斜率，再求出倾斜角，然后由点斜式写出直线方程.【详解】设直线l 的倾斜角为θ.直线l 经过点()3,1，()2,0，所以01123l k -==-，所以tan 1θ=,又0πθ≤<，所以π4θ=.故选：A.2.若直线210x ay ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.1 B.－1 C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可.【详解】由题可知，220a +=，解得1a =-.故选：B3.如图，在空间四边形ABCD 中，设,E F 分别是BC ，CD 的中点，则1()2AD DB DC →→→++=（）A.AD →B.FA →C.AE →D.EF→【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，,E F 分别是BC ，CD 的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法法则，得出：11()222AD DB DC AD DE AD DE AE →→→→→→→→++=+⨯=+=.故选：C.4.平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，则动点P 的轨迹方程是（）A.221259x y += B.2212516x y +=C.221259y x += D.2212516y x +=【答案】B 【解析】【分析】求出,,a b c 即可得出动点P 的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，∴动点P 的轨迹E 为椭圆,焦点在轴上,3,210c a ==,解得：5a =，∴22216b a c =-=，∴轨迹方程为:2212516x y +=，故选:B.5.已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F 的面积等于（）A.24B.26C.D.【答案】A 【解析】【分析】由定义可得12214PF PF a +==，结合条件求出12,PF PF 即可求出面积.【详解】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =，5c ==，由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c == ，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P S F ⋅=⨯⨯∴==.故选：A.6.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A.2310x y -+=B.2310x y --=C.3210x y -+=D.3210x y --=【答案】A 【解析】【分析】求得点()5,3-关于x 轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程.【详解】由()()22115x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，由反射定律可知，点()5,3-关于x 轴的对称点()5,3--在反射光线上，又反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线过(1,1)C ，由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为113151y x --=----，即2310x y -+=.故选：A.7.点P 是圆C ：()()22332x y -+-=上一动点，过点P 向圆O ：221x y +=作两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最大值为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】将四边形PAOB 的面积表示为S =||PO 的最大值即可.【详解】由圆()()22:332C x y -+-=为，可得圆心为(3,3)，由22:1O x y +=，可得圆心(0,0)O ，半径为1，连接PO ，则在PAO 中，||PA ==，所以四边形PAOB 的面积122||1||2PAO S S PA PA ==⨯⨯⨯== 所以||PO 最大时，四边形PAOB 面积的最大值，因为||CO ==，所以max ||||PO CO ==，所以四边形PAOB =故选：D.8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，M 是C 上一点，且::3:5:7MA MB AB =，则C 的离心率为（）A.13B.182C.11D.143【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan 11MA MAB k ∠==，tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则22MA MBb k k a ⋅=-，得2245143b a =，结合离心率的概念即可求解.【详解】在MAB △中，由22237511cos 23714MAB +-∠==⨯⨯，得14sin MAB ∠=，所以tan 11MA MAB k ∠==，由22257313cos 25714MBA +-∠==⨯⨯，得sin MBA ∠=，所以tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则200022000MA MBy y y k k x a x a x a⋅=⋅=+--，又2200221x y a b +=，∴()2222002b y x a a =--，∴22MA MB b k k a⋅=-，又451113143MA MBk k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2245143b a =，∴143e ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于求得22MA MB b k k a ⋅=-，进而得2245143b a =，从而求得离心率，求解离心率问题常常需得到或构造,,a b c 的齐次式求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12F F 、在x 轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的方程为2214x y += B.椭圆C的离心率为2C.1PQ =D.23PF =【答案】ABC 【解析】【分析】求出,,a b c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F为椭圆的左焦点，x =将代入椭圆方程，可求得||PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C，由已知可得222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1,2b c a ===，.对于A 选项，因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的方程为2214xy +=，故A 对；对于B选项，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C 选项，设点1F为椭圆的左焦点，易知点1(F ，将x =代入椭圆方程可得12y =±，故||1PQ =，故C 正确；对于D 选项，111|||22|P PQ F ==，故212|17|2||42a PF PF =-=-=，故D 错误.故选：ABC.10.已知直线l ：10kx y -+=和圆M ：()()22124x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点()0,1B.圆M 与圆C ：221x y +=有三条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则474733k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解可判断A ，根据两圆的位置关系即可求解可判断B ，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解可判断C12<，求解即可判断D.【详解】对于A ，由直线l 的方程10kx y -+=，可知直线l 恒经过定点(0,1)P ，故A 正确；对于B ，由圆()()22124x y -+-=的方程，可得圆心(1,2)M ，半径2r =，由221x y +=，可得圆心(0,0)C ，半径为1，又||MC ==2121-<<+，所以圆M 与圆221x y +=相交，圆M 与圆C 有两条公切线，故B 错误；对于C ，由||PM =，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故C 正确；对于D ，当圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则圆心M 到直线l ：10kx y -+=的距离小于12，12<，整理得23830k k -+<，解得4433k +<<，故D 正确.故选：ACD.11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当P 在平面11BCC B 上运动时，三棱锥1P AA D -的体积为定值43B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 5D.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为2π42+【答案】AB 【解析】【分析】对A ：由1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离不变，求出体积即可；对B ：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),2,0P x x -，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，结合向量的夹角公式，可判定B 正确；对C ：设(),,0P m n ，求得平面11CB D 的一个法向量为()1,1,1n =--，得到()2216FP m =-+ C 错误.对D ：由直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒，作PM ⊥平面ABCD ，得到点P 的轨迹，可判定D 正确.【详解】对于A ：1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，所以三棱锥1P AA D -的体积不变，且1111142223323P AA D AA D V S AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，可得()12,0,2A ，()0,0,2D ，()10,2,2C ，设(),2,0P x x -，02x ≤≤，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，设直线1D P 与11A C 所成角为θ，则111111111cos cos ,D P A C D P A C D P A C θ⋅===，因为011x ≤-≤，当10x -=时，可得cos 0θ=，所以π2θ=；当011x <-≤时，1cos 2θ==，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ32θ≤<，所以异面直线1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B 正确；对于C ，由()12,2,2B ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,2F ，设(),,0P m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，则()12,0,2CB = ，()10,2,2CD =- ，()2,1,2FP m n =---设平面11CB D 的一个法向量为 =s s ，则11220220n CD b c n CB a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1a =，可得1b =-，1c =-，所以()1,1,1n =--，因为//PF 平面1B CD ，所以()()2120FP n m n ⋅=---+=，可得1n m =+，所以FP =，当1m =时，等号成立，所以C 错误.对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°，由1AA ⊥平面ABCD ，得直线AP 与1AA 所成的角为45°，若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为145B AB ∠=︒，145D AD ∠=︒，故不成立；在平面11ADD A 内，点P 的轨迹是12AD =；在平面11ABB A 内，点P 的轨迹是122AB =；在平面1111D C B A 时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为45PAM ∠=︒，所以PM AM =，又因为PM AB =，所以AM AB =，所以1A P AB =，所以点P 的轨迹是以1A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P 的轨迹的长度为12π2π4⨯⨯=，综上，点P 的轨迹的总长度为π42+D 错误；故选：AB.【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间的量()6,2,1a = ，()2,,3b x =，若()a b a -⊥ ，则x =______.【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示及数量积公式计算即可.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -=，所以20a a b -=，又因为()6,2,1a = ，()2,,3b x = ，所以3641(1223)0x ++-++=，解得13x =.故答案为：13.13.设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =有公共点，则实数b 的取值范围是______.【答案】2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】曲线x =表示是以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，画出图象，结合图象，即可得出答案.【详解】由x =可得()2240x y x +=≥，即x =表示以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，()2240x y x +=≥与y 轴交于两点分别是()0,2A ，()0,2B -，当点()0,2A 在直线y x b =+上时2b =；当直线y x b =+与()2240x y x +=≥2=，所以b =(舍)或b =-所以直线y x b =+与曲线x =有公共点，实数b满足2b -≤≤.实数b的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故答案为：2⎡⎤-⎣⎦.14.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数,x y 满足228130x y x +-+=，则x y +的最小值为______，______．【答案】①.4-②.13+【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得x y +的最小值，把转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由228130x y x +-+=得()2243x y -+=，令x y t +=，则直线x y t +=与圆()2243x y -+=有公共点，所以圆心到直线x y t +=的距离为d =≤44t ≤≤+所以x y +的最小值为4-2=可以看作点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，设过点()1,0A 的直线与圆相切于点(),P x y.设直线方程为()1y k x =-，由()()22143y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222182130k x k x k +-+++=，()()()22228241130k k k ∆=+-++=，解得2k =±，结合图形可知2k =，把2k =代入联立后的方程可得切点(P ，代入可得13+.故答案为：4613+.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得0,0,0，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为1 =1,1,1，则11n CFn CG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n =，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1MN n ⊥，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n =，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos ,3n AN n AN n AN θ⋅=====⋅ ，所以直线AN 与平面CFG所成角的正弦值为3.16.已知点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上．（1）求该圆的圆心坐标及半径长；（2）过点()1,1M -，斜率为43-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心坐标为()4,3-，半径长为2（2）165【解析】【分析】（1）先根据点在圆上求出参数m ，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式l =.【小问1详解】因为点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上，所以4916180m +--+=，解得21m =，所以该圆的标准方程为()()22434x y -++=，所以该圆的圆心坐标为()4,3-，半径长为2；【小问2详解】因为直线l 过点()1,1M -，斜率为43-，所以直线l 的方程为()4113y x +=--，即4310x y +-=，则圆心()4,3-到直线l 的距离65d ==，所以165AB ===.17.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =，P 是椭圆C 上的一个动点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ，求点P 的横坐标的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）(．【解析】【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a ，进而求得b 即可；（2）设(),(0,0)P x y x y >>，从而可求得()2212134PF PF x y ⋅=--+≤ ，再把2214x y =-代入求解即可.【小问1详解】由已知得2c =c ∴=，()1F ∴，)2F ，142MF +==，同理2432MF =，1224a MF MF ∴=+=，2a ∴=，1b ∴==，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】设(),(0,0)P x y x y >>，且2214x y +=，则()1,PF x y =- ，)2,PF x y =- ，()2212134PF PF x y ∴⋅=--+≤ ．由椭圆方程可得()2213144x x --+-≤，整理得239x ≤，所以0x <≤，即点P 的横坐标的取值范围是(．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；（3）若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析（2）4（3）1,22⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊥1AC ，又平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，又1//DE AC ，从而得到线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =- ，利用点到平面的距离向量公式求出答案；（3）设111,01C F C B λλ=<<，求出,Fλ，求出平面FBD 的法向量，结合平面BDE 的一个法向量为(10,3,A C =-，从而得到1cos ,A C m =，换元后，得到11cos ,,22AC m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .【小问1详解】连接11,C D AC ，因为1C 在平面ABC 内的射影为D ，所以1C D ⊥平面ABC ，因为,BD AC ⊂平面ABC ，所以1C D ⊥BD ，1C D ⊥AC ，因为ABC V 为边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为1C D AC D = ，1,C D AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥1AC ，因为112C C AC ==，四边形11ACC A 为平行四边形，所以平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，因为D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，所以1//DE AC ，故1AC ⊥DE ，因为DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，所以1AC ⊥平面BDE ；【小问2详解】由（1）知，1,,C D AC BD 两两垂直，以D 为坐标原点，1,,BD DA C D 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1C D ⊥AC ，D 是线段AC 的中点，所以由三线合一可得112C C AC ==，又2AC =，故1ACC △为等边三角形，(()()11110,,0,1,0,,,,,22A C B C F B ⎛- ⎝，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，点F 到平面BDE 的距离11334DF A C d A C⋅== ；【小问3详解】点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），设111,01C F C B λλ=<<，(,Fs t ，则()),,0s t λ=，故,s tλ==，故,Fλ，设平面FBD 的法向量为(),,m x y z =，则())(),,0,,,0mDB x y z m DF x y z x y λλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得0x =，令1y =，则33z =-，故30,1,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，故111cos ,A C m A C m A C m ⋅==⋅ ，令()32,3q λ-=∈，则1cos ,A C m ==，因为111,32q⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故2111124443q ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值取值范围是1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】立体几何二面角求解方法：（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.19.已知点A ，B 是平面内不同的两点，若点P 满足PAPBλ=(0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是以有序点对(),A B 为“稳点”的λ—阿波罗尼斯圆.若点Q 满足QA QB μ⋅=(0μ>)，则点Q 的轨迹是以(),A B 为“稳点”的μ—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，(),B a b (2a ≠-）.（1）当2a =，0b =时，若点P 的轨迹是以(),A B 为“稳点”阿波罗尼斯圆，求点P 的轨迹方程；（2）在(1)的条件下，若点Q 在以(),A B 为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求OQ (O 为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若0b =，λ=试判断是否存在实数a ，μ，使得以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数a ，μ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221240x y x +-+=（2）[]1,3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可知PA PB =，设：(),P x y=，整理计算即可求解；(2)设(),Q x y ，由定义得到()222242516x y x ++=+，从而有2240y x =-≥，求得209x ≤≤，再由OQ =(3)由0b =，λ=(),A B 为“稳点”一阿波罗尼斯圆的方程：()22244240x y a x a +-++-=，再结合对称性及QA QB μ⋅=得到μ—卡西尼卵形线，关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而得到2222a a -+=推出矛盾，即可解决问题.【小问1详解】由已知()2,0A -，()2,0B 且PA PB=(),P x y=，∴()()22222222++=-+x y x y ，整理得：221240x y x +-+=，∴点P 的轨迹方程为：221240x y x +-+=.【小问2详解】由(1)知()2,0A -，()2,0B ，设(),Q x y，由5QA QB ⋅=，5=，所以()222242516x y x ++=+，2240y x =-≥，整理得42890x x --≤，即()()22190x x +-≤，所以209x ≤≤，OQ ==209r ≤≤，得13OQ ≤≤，即OQ 的取值范围是[]1,3.【小问3详解】若0b =，则以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆的方程为()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得()22244240x y a x a +-++-=，该圆关于点()22,0a +对称.由点()2,0A -，(),0B a 关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称及QA QB μ⋅=，可得μ—卡西尼卵形线关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，令2222a a -+=，解得2a =-，与2a ≠-矛盾，所以不存在实数a ，μ，使得以(),A B 一阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.。
重庆市万州二中2023-2024学年高二上学期期中考试 数学试题试题(含答案解析)
万州二中教育集团高2022级高二（上）期中质量监测数学试题45的斜率为（．1B ．0C ．1-(2,0,1a =-，(0,1,2b =-2a b -=（ ）．()4,1,0-B ．(4,1,--C ．(4,1,0-．平面内点P 到)3,0-、F 的距离之和是）1C ．2．已知v 为直线l 的方向向量，1n 、2n 分别为平面α，那么下列说法中：①12////n n αβ⇔；②12n n α⊥⇔⊥1////v n l α⇔；④1v n l α⊥⇔⊥.其中正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个6．直线:120l mx m +-= 与圆2:(4)10C x --=相交所形成的长度为整数的弦的条数为（ ）．已知向量(1,1,1),(1,0,2)a b ==-，则（||3a = ．与a 同向的单位向量为．1a b ⋅=- 15cos ,15a b =2，1），（4，）四点共圆，则2 B 21+2x ．2F MN 的周长为11D 的表面上一个动点，则（上运动时，三棱锥1P AA D -1AC 所成角的平面1B CD13.已知向量(3,2,5)a =-，(1,,1)b x =-，且a b ⊥，则x 的值为________． 14．经过直线260x y +-=和220x y -+=的交点，且在两坐标轴上截距相等的直线方程为 .15. 若圆()()22:122C x y ++-=关于直线260ax by ++=对称，由点(),P a b 向圆C 作切线，切点为A ，则PA 的最小值是_______.40x -=及点(1,0A -23=， 成立？若存在，2===，AD PA将ABP沿AB(1)若M为PD(2)若PC=--的正弦值等于AB C使得PMN的面积等于【详解】由(2,0,1a =-(24,0,2a =-根据向量减法的坐标运算法则可得(24,0,2a b -=-()24,1,0a b -=-. 故选：C B【分析】求出,a b 的轨迹方程. 【详解】由题意，①12n n αβ⇔，判断正确；②12n n αβ⊥⇔⊥，判断正确； ③1vn l α⇔⊥，判断错误；④1//v n l α⊥⇔或l ⊂α，判断错误故选：B ．D ．C【分析】根据直线所过的定点，2424⎣⎭单位向量的定义求与a 同向的单位向量，22||11a =+，与a 同向的单位向量为3(,3||a a =由数量积的坐标运算得1(1)a b ⋅=⨯-2||(1)b =-，则15cos ,15a b a b a b⋅==⋅，故选：ABD ．AD ．AC；再根据离心率公式即可判断，所以2F MN 的周长为1M F M +111(,2,2),(2,2,0)D P x x AC =--=-对C ：设(,,0)Pmm，求得平面CB 的一个法向量为(1,1,n =--得到2(FP =可判定C 错误.对D ：由直线AP 与平面ABCD 45，作PM ⊥平面，得到点P 到平面的距离为正方体棱长，1AA DSAB ⋅为原点，(2,0,2),D ，则111(,2,2),(2,2,0)D P x x AC =--=-θ， 11111121111,(1)3D P AC x D P AC D P AC x ⋅-==-+，1≤，当10x -=时， ，所以π2θ=； 1x -=则11(2,0,2),(0,2,2),(2,CB CD FP m==-=-设平面11CB D的一个法向量为(,,)n a b c=，11220220n CD b cn CB a c⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，1=，可得b，所以(1,1,1)n=--因为//PF平面，所以(2)FP n m⋅=--所以22(424FP m m m=+=-1=时，等号成立，所以C错误.45，所成的角为45，145,45D AD∠=，故不成立；内，点P的轨迹是1AD内，点P的轨迹是AB45，所以的轨迹是以A的轨迹的长度为13.【答案】4【解析】【分析】由向量垂直可以直接利用向量数量积为0，代入坐标公式即可求解【详解】a b⊥可得0a b⋅=，即325280a b x x⋅=-+-=-=，解得4x=故答案为：4220x y的交点坐标为当直线过原点时，方程为y x=，当直线不过原点时，设直线方程为x y a a +综上所述，所求直线方程为y x =或4x y +=.故答案为：y x =或4x y +=.15.【答案】4【解析】【分析】由题意知圆心()1,2C -在直线260ax by ++=上，于是有30,a b --=即可得(),P a b 在直线30x y --=上，作出图象，由图可得当CP 与直线30x y --=垂直时，PA 有最小值,在Rt PCA △中由勾股定理求解即可.【详解】解：由题意知，直线260ax by ++=过圆心()1,2C -，即2260a b -++=， 化简得30,a b --=所以(),P a b 在直线30x y --=上，如图，为使PA 最小，只需圆心()1,2C -与直线30x y --=上的点的距离最小，如图所示：d ==所以PA 4=.故答案为：4.16.【答案】4-【分析】根据三角形三边之间的不等关系可得||||1MN ME ≥-，再结合椭圆定义将1MN MF -化为2||||MN MF +-||||1MN ME ≥-以及图形的几何性质即可求得答案.【详解】由题意知M 为椭圆22:132x y C +=上任意一点，N 为圆E ：22(5)(3)1x y -+-=上任意一点，故()()23,,105,F E ，故12||||||||1MF MF MN ME +=≥-，当且仅当,,M N E 共线时取等号，所以()12||||M M M N MF N F -=-222||||||||1||1MN MF ME MF EF =+-+-≥-， 当且仅当2,,,M N E F 共线时取等号，而2||5EF =,故1MN MF -的最小值为514-=-故答案为：4-()(11,1,2,1,0,1A E BF =--=-所以直线1A E 与BF 所成角的余弦值为1113,6A E BFA E BF A E BF ⋅〈=〉=（2）设平面BDF 的法向量为()(),,,2,2,0n x y z DB ==，0,0,n DB n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩得取1x =，则1,1y z =-=， 得平面BDF 的一个法向量为()1,1,1n =-，1211A E nn ⋅--=根据垂径定理可得圆心到直线l 的距离为|22|-<(2)x ∴-20．(1)点(2)213，由线面垂直判定定理即可证明；）建立空间直角坐标系，易得平面的一个法向量为(0,0,1)n =，设平面(,,)m x y z =(0,,1)m λ=-，再根据二面角5即可求出参数的位置. （1）由题意，，且//AD 是平行四边形2CD PA ==是正三角形，四边形ABC ∴是正三角形，则又PE EC E =，所以AB ⊥平面所以AB PC ⊥.取PC 的中点N 则////MN CD AB AB BN B ，,AB BN 平面ABM ）3PE CE =，6PC =，EC ⊥.又AB EC ⊥，,EC EP 所在直线为轴建立空间直角坐标系1,0,0)-，B 设(0)DM MP λλ=>⎝平面ABD 的一个法向量为(0,0,1)n =，设平面MAB 的一个法向量为(,,)m x y z =又(2,0,0)AB =，13,,111AM λλλ⎛-+= ++⎝20,133111m AB x m AM x z λλλλλ⎧⋅==⎪⎨-+⋅=++=⎪+++⎩则可取(0,,1)m λ=-.21cos ,n m n m n m λ⋅==+‖2，故2DM MP =，即点(1)22184x y +=存在；220x y --=或x +【详解】（1）84（2），使得PMN的面积等于【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：）的一元二次方程，必要时计算。
重庆市学校2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题含答案
2024-2025学年度上期期中考试高二数学试题（答案在最后）（满分：150分；考试时间：120分钟）注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上.2.答选择题时，必须使用2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用0.5毫米的黑色签字笔书写；必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整.3.考试结束后，将答题卡交回（试题卷自行保管，以备评讲）.一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(，则z 的共轭复数z =（）A.1+B.1-C.1-D.1-【答案】B 【解析】【分析】根据复数的几何意义得到1z =+，再利用共轭复数的定义，即可求解.【详解】因为复数z 对应的点的坐标是(，得到1z =+，所以1z =，故选：B.2.已知直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=，则“2a =-”是“12l l ⊥”的（）条件.A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A 【解析】【分析】利用两直线垂直的充要条件得到220a a +=，从而得到2a =-或0a =，再利用充分条件与必要条件的判断方法，即可求解.【详解】当直线1:10l ax y ++=与()2:130l a x ay ++-=垂直时，(1)0a a a ++=，即220a a +=，解得2a =-或0a =，所以2a =-可以推出12l l ⊥，但12l l ⊥推不出2a =-，即“2a =-”是“12l l ⊥”的充分不必要条件，故选：A.3.下列函数中，在区间(0,)+∞上单调递增的是（）A.()ln f x x =- B.1()2xf x =C.1()f x x=- D.|1|()3x f x -=【答案】C 【解析】【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC ，举反例排除D 即可.【详解】对于A ，因为ln y x =在()0,∞+上单调递增，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()ln f x x =-在()0,∞+上单调递减，故A 错误；对于B ，因为2x y =在()0,∞+上单调递增，1y x=在()0,∞+上单调递减，所以()12x f x =在()0,∞+上单调递减，故B 错误；对于C ，因为1y x=在()0,∞+上单调递减，y x =-在()0,∞+上单调递减，所以()1f x x=-在()0,∞+上单调递增，故C 正确；对于D ，因为111221332f -⎛⎫=== ⎪⎝⎭()()112101331,233f f --=====，显然()13x f x -=在()0,∞+上不单调，D 错误.故选：C.4.国家射击运动员甲在某次训练中的5次射击成绩（单位：环）为9,6,,4,8m ，其中m 为整数，若这5次射击成绩的第40百分位数为6，则m =（）A.4B.6C.8D.9【答案】B 【解析】【分析】根据条件，利用百分位数的求法，即可求解.【详解】将5次射击成绩除m 外，从小排到大为4,6,8,9，因为50.42i np ==⨯=，所以第40百分位数是：从小排到大后的第二个数与第三个数的平均数，又这5次射击成绩的第40百分位数为6，所以6m =，故答案为：B.5.已知直线1y kx =+与圆224x y +=交于点M ，N ，当k 变化时，则MN 的最小值为（）A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件得直线过定点，且定点在圆内，先求得圆心到直线距离d ，即可表示出弦长，从而知d 最大时，弦长最短，再利用几何关系，即可求解.【详解】易知直线1y kx =+过定点(0,1)P ，又1014+=<，所以点(0,1)在224x y +=内，又易知圆心为(0,0)O ，半径为2r =，设圆心(0,0)O 到直线的距离为d ，则MN ==，当d 最大时，M 最小，此时直线1y kx =+与直线OP 垂直，即1d OP ==，所以M 的最小值为MN ==故选：D.6.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是边长为4的正方形，4PA PB ==，PC PD ==该棱锥的高为（）.A.1B.2C.D.【答案】D 【解析】【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面PEF ⊥平面ABCD ，可知⊥PO 平面ABCD ，利用等体积法求点到面的距离.【详解】如图，底面ABCD 为正方形，当相邻的棱长相等时，不妨设4,PA PB AB PC PD =====，分别取,AB CD 的中点,E F ，连接,,PE PF EF ，则,PE AB EF AB ⊥⊥，且PE EF E ⋂=，,PE EF ⊂平面PEF ，可知AB ⊥平面PEF ，且AB ⊂平面ABCD ，所以平面PEF ⊥平面ABCD ，过P 作EF 的垂线，垂足为O ，即PO EF ⊥，由平面PEF 平面ABCD EF =，PO ⊂平面PEF ，所以⊥PO 平面ABCD ，由题意可得：2,4PE PF EF ===，则222PE PF EF +=，即PE PF ⊥，则1122PE PF PO EF ⋅=⋅，可得PE PF PO EF⋅==，当相对的棱长相等时，不妨设4PA PC ==，PB PD ==，因为BD PB PD ==+，此时不能形成三角形PBD ，与题意不符，这样情况不存在.故选：D.7.直线()()21250x y λλλ+--=∈R 的倾斜角范围为（）A.3,44ππ⎡⎤⎢⎣⎦ B.,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C. D.30,,44πππ⎡⎤⎡⎫⋃⎪⎢⎥⎢⎣⎦⎣⎭【答案】A 【解析】【分析】先对λ进行讨论，当0λ=时得到直线倾斜角为2π，当0λ≠时，由直线方程得到斜率，再由斜率可得倾斜角的范围.【详解】当0λ=时，直线为：5x =，故直线的倾斜角为：2π；当0λ≠时，直线为：21522y x λλλ+=-，设直线的倾斜角为θ，即211tan 222λλθλλ+==+，当0λ>时，1tan 122λθλ=+≥=，当且仅当“122λλ=”，即1λ=时取等号；即,42ππθ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，当0λ<时，11tan 12222λλθλλ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+=--+-≤=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，当且仅当“122λλ-=-”，即1λ=-时取等号；即3,24ππθ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，综上所述：3,44ππθ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.故选：A8.根据气象学上的标准，连续5天的日平均气温低于10℃即为入冬，将连续5天的日平均温度的记录数据（记录数据都是自然数）作为一组样本，现有4组样本①、②、③、④，依次计算得到结果如下：①平均数4x <；②平均数4x <且极差小于或等于3；③平均数4x <且标准差4s ≤；④众数等于5且极差小于或等于4．则4组样本中一定符合入冬指标的共有（）A.1组B.2组C.3组D.4组【答案】B 【解析】【分析】举反例否定①；反证法证明②符合要求；举反例否定③；直接法证明④符合要求.【详解】①举反例：0，0，0，4，11，其平均数34x =<．但不符合入冬指标；②假设有数据大于或等于10，由极差小于或等于3可知，则此组数据中的最小值为1037-=，此时数据的平均数必然大于7，与4x <矛盾，故假设错误.则此组数据全部小于10.符合入冬指标；③举反例：1，1，1，1，11，平均数34x =<，且标准差4s =.但不符合入冬指标；④在众数等于5且极差小于等于4时，则最大数不超过9.符合入冬指标.故选：B ．二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.连续抛掷一枚质地均匀的骰子两次.记事件A 为两次数字之和为7，事件B 为第一次数字小于等于3，事件C 为两次数字之积为奇数，则（）A.()14P C =B.A 与B 相互独立C.A 与C 为对立事件D.B 与C 相互独立【答案】AB 【解析】【分析】先求出总的样本空间数，再用列举法求出事件,,A B C ，选项A ，利用古典概率公式，即可求解；选项B 和D ，利用相互独立的判断方法，即可求解；选项C ，利用互斥事件和对立事件的定义，即可求解.【详解】用(,)x y 中的,x y 分别表示第一次、第二次掷一枚质地均匀的骰子的点数，易知，总的样本空间数为6636⨯=，事件A 包含的基本事件为：(1,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)，共6个，事件B 包含的基本事件为：(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)，(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6)，(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6)，共18个，事件C 包含的基本事件为：(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3),(5,5)，共9个对于选项A ，由古典概率公式得()91364P C ==，故选项A 正确，对于选项B ，由古典概率公式得61()366P A ==，181()362P B ==，31()3612P AB ==，因为()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立，故选项B 正确，对于选项C ，易知A 与C 互斥但不对立，所以选项C 错误，对于选项D ，由古典概率公式得61()366P BC ==，又111()()428P B P C =⨯=，所以()()()P BC P B P C ≠，即B 与C 不相互独立，故选项D 错误，故选：AB.10.已知点(),P x y 是圆:M ()()22424x y -+-=上任意一点，直线l ：2y x =-+分别与x 轴、y 轴相交于点,A B ，则（）A.直线l 与圆M 相离B.PBA △面积的最小值为4+C.y x 的最大值为43D.PBA ∠的最小值为15︒【答案】ACD 【解析】【分析】对于A ，由圆心到直线距离与半径大小即可判断，对于B ，确定圆心到直线的距离，即可求解，对于C ，设yk x=，通过直线与圆恒有交点即可，对于D ，由BP 与圆相切即可求解.【详解】对于A ，由()()22424x y -+-=，得圆心()4,2,2r =，圆心到2y x =-+2=>，直线与圆相离，A 正确；对于B ，易知()()2,0,0,2A B，AB =，由A知，圆心到直线距离为，故圆上点到直线距离的最小值为2-，所以PBA △面积最小值为)242-=-B 错误；对于C ，令yk x=，得y kx =，因为(),x y 为圆上的点，所以y kx =与圆()()22424x y -+-=有交点，2≤，解得403k ≤≤，C 正确；对于D ，结合图象可知当BP 与圆这种相切时，PBA ∠最小，设BP 斜率为()0k k <，直线方程为：2y kx =+2421k k=+，解得33k =-，即BP 的倾斜角为150︒，所以60PBO ︒∠=，易知45ABO ︒∠=，所以15PBA ︒∠=，D 正确.故选：ACD11.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，G 是棱11B C 上的一个动点，则下列说法正确的是（）A.平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为六边形B.点G 到平面AEF 的距离为定值C.若11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，则G 为棱11B C 的中点D.直线AG 与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为1510,1510⎣⎦【答案】BCD 【解析】【分析】利用平行线的传递性与平行线共面判断A ，利用线面平行的判定定理判断B ，利用空间向量推得1,,,A E D G 四点共面，结合面面平行的性质定理判断C ，建立空间直角坐标系，利用空间向量法求得线面角的取值范围判断D ，从而得解.【详解】对于A ，连接DF ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以//,EF BC EF BC =，//,AD BC AD BC =，所以//,EF AD EF AD =，则平面AEF 与平面AEFD 为同一平面，所以平面AEF 截正方体1111ABCD A B C D -所得截面为平面AEFD ，为四边形，故A 错误；对于B ，在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别为棱11,BB CC 的中点，所以11//B C EF ，又EF ⊂平面AEF ，11B C ⊄平面AEF ，所以11//B C 平面AEF ，又点G 是棱11B C 上的一个动点，所以点G 到平面AEF 的距离为定值，故B 正确；对于C ，连接111,,,AD D G GE BC ，因为11111=++AG xA A y A E z A D uuu r uuu r uuu r uuuu r ，且1x y z ++=，所以1,,,A E D G 四点共面，因为在正方体1111ABCD A B C D -中，平面11//ADD A 平面11BCC B ，又平面11ADD A ⋂平面11AEGD AD =，平面11BCC B 平面1AEGD GE =，所以1//AD GE ，在正方体1111ABCD A B C D -中，1111//,AB C D AB C D =，所以四边形11ABC D 是平行四边形，则11//AD BC ，则1//GE BC ，因为E 为棱1BB 的中点，所以G 为棱11B C 的中点，故C 正确；对于D ，以D 为原点，建立空间直角坐标系，如图，设()102C G x x =≤≤，则()()()()2,0,0,2,2,1,0,2,1,,2,2A E F G x ，所以()()()0,2,1,2,0,0,2,2,2AE EF AG x ==-=-，设平面AEF 的法向量为 =s s ，则2020AE n b c EF n a ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩，令1b =，则0,2a c ==-，故()0,1,2n =-，设直线AG 与平面AEF 所成角为π02θθ⎛⎫≤≤⎪⎝⎭，则sin cos ,AG n AG n AG nθ⋅=〈〉==，因为02x ≤≤，所以()2024x ≤-≤，则≤≤所以1510=≤≤=，所以直线AG与平面AEF 所成角的正弦值的取值范围为,1510⎣⎦，故D 正确.故选：BCD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，则实数a 的取值是_____.【答案】【解析】【分析】根据条件得到圆1C 与圆2C 外切，再利用圆与圆的位置关系，即可求解.【详解】因为圆221:1C x y +=与圆()()()222:1160C x a y a -+-=>有3条公切线，所以圆1C 与圆2C 外切，又圆221:1C x y +=的圆心为1(0,0)C ，半径为11r =，()()()222:1160C x a y a -+-=>的圆心为2(,1)C a ，半径为24r =，145=+=，得到224a =，又0a >，所以a =，故答案为：13.已知点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称.若1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3.则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为_____，方差为_____.【答案】①.1-②.3【解析】【分析】根据条件得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，再结合平均数、方差计算公式，即可求解.【详解】因为点()(),0110,N i i A x i i ≤≤∈与点()(),10110,N i i B y i i ≤≤∈关于点()2,5对称，则()N 4110,i i x i y i ≤+=≤∈，得到()1,N 410i i y i i x ≤=-≤∈，因为1x ，2x ，⋯，10x 的平均数为5，方差为3，则1y ，2y ，⋯，10y 这组数的平均数为451-=-，方差为2(1)33-⨯=，故答案为：1-；3.14.已知圆221x y +=上任意一点(),P x y ，23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，则a 的取值范围是_____.【答案】a ≥【解析】【分析】由题意可知直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=位于圆的两侧，且与圆均不相交，从而可列出不等式得出a 的范围．【详解】设直线1:2390l x y --=，直线2:230l x y a -+=，则s 到直线1l 的距离为1d =，s 到直线2l 的距离为2d =因为23239x y a x y -++--的取值与P 的位置无关，所以12d d +为常数，所以圆221x y +=在平行线12,l l 之间，又直线1l 在圆下方，所以直线2l 在圆上方，1≥，得到a ≥a ≤，故答案为：13a ≥四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某高校承办了成都世乒赛志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组[45,55)，第二组[55,65)，第三组[65,75)，第四组[75,85)，第五组[85,95]，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第三､四､五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同.（1）求,a b 的值；（2）估计这100名候选者面试成绩的众数､平均数和60%分位数（分位数精确到0.1）；（3）在第四､第五两组志愿者中，采用分层抽样的方法从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率.【答案】（1）0.005a =，0.025b =（2）众数为70，平均数为69.5，60%分位数为71.7（3）25【解析】【分析】（1）由第三､四､五组的频率之和为0.7，所有组频率之和为1，列方程求,a b 的值；（2）由频率分布直方图中众数､平均数和百分位数的定义公式计算；（3）根据分层抽样确定的人数，解决古典概型概率问题.【小问1详解】因为第三､四､五组的频率之和为0.7，所以()0.0450.020100.7a ++⨯=，解得0.005a =，所以前两组的频率之和为10.70.3-=，即()100.3a b +⨯=，所以0.025b =.【小问2详解】众数为70,平均数为500.05600.25700.45800.2900.0569.5⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=，前两个分组频率之和为0.3，前三个分组频率之和为0.75，所以60%分位数在第三组，且为0.60.3651071.70.45-+⨯≈.【小问3详解】第四､第五两组志愿者分别有20人，5人，采用分层抽样的方法从中抽取5人，则第四组抽4人，记为a b c d ,,,，第五组抽1人，记为A ，则从这5人中选出2人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,a b a c a d a A b c b d b A c d c A d A 共10种结果，两人来自不同组有()()()(),,,,,,,a A b A c A d A 共4种结果，所以两人来自不同组的概率为42105P ==.16.已知ABC V 的三个顶点分别是()5,1A ，()7,3B -，()9,5C -.（1）求AB 边上的高所在的直线方程；（2）求AB 边上的中线所在的直线方程；（3）求ABC ∠角平分线所在的直线方程.【答案】（1）2190x y -+=（2）2570x y +-=（3）40x y +-=【解析】【分析】（1）利用斜率坐标公式及垂直关系求出高所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（2）求出中点坐标及中线所在直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得；（3）先求出直线,BA BC 的单位向量，结合角平分线求出ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量，结合方向向量和直线斜率的关系即可求出斜率，再根据点斜式即可求解.【小问1详解】直线AB 的斜率1(3)257AB k --==--，则AB 边上的高所在的直线斜率为12，直线又过()9,5C -，所以A 边上的高所在的直线方程为[]15(9)2y x -=⨯--，即2190x y -+=.【小问2详解】依题意，AB 边的中点(6,1)-，因此AB 边上的中线所在直线的斜率()512965k --==---，直线又过(6,1)-，所以AB 边上的中线所在直线的方程为()21(6)5y x --=-⨯-，即2570x y +-=.【小问3详解】由题意知：()()2,4,16,8BA BC =-=-,故与BA 同方向的单位向量为：()2,455a ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭ ，与BC同方向的单位向量为：()25516,855b ⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭，故ABC ∠角平分线所在的直线的方向向量为：(),1,1555a b ⎛⎫+=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭ ，设ABC ∠角平分线所在的直线的斜率为k ，又 直线的方向向量可以表示为()1,k ，1k ∴=-，直线又过()7,3B -，故ABC ∠角平分线所在的直线方程为：()()37y x --=--，即40x y +-=.17.在ABC V 中，a ，b ，c 为A ∠，B ∠，C ∠sin cos 2C c B c +=.（1）求B ∠；（2）若BD 为ABC V 的角平分线，交AC 于点D ，7BD =，AC =，求ABC V 的面积.【答案】（1）π3B =（2）【解析】【分析】（1cos 2B B +=，再利用辅助角公式和特殊角的三角函数值，即可求角；（2）根据条件，利用等面积法，得到12()7ac a c =+，再利用余弦定理得213()3a c ac =+-，联立求出ac ，即可求解.【小问1详解】sin cos 2C c B c +=sin sin cos 2sin B C C B C +=，又sin 0C ≠cos 2B B +=，即π2sin()26B +=，得到πsin(16B +=，又ππ7π666B <+<，所以ππ62B +=，解得π3B =.【小问2详解】因为ABC ABD CBD S S S =+ ，π3B =，所以1π1π1πsin sin sin 232626ac a BD c BD =+，又1237BD =，得到12()7ac a c =+，在ABC V 中，由余弦定理得到22222cos ()3b a c ac B a c ac =+-=+-，又AC =236()()137a c a c +-+=，解得7a c +=(舍负)，所以12ac =，故ABC V 的面积为11sin 12222S ac B ==⨯=.18.如图，三棱柱111ABC A B C -的底面是等腰直角三角形，90ACB ∠= ，侧面11ACC A 是菱形，160A AC ∠= ，4AC =，平面ABC ⊥平面11ACC A .（1）证明：11A C AB ⊥；（2）求点1C 到平面11ABB A 的距离；（3）线段11A B 是否存在一点D ，使得平面1AC D ⊥平面11ABB A ，如果存在找出D 点的位置，不存在请说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）217（3）存在，答案见解析【解析】【分析】（1）利用线面垂直的判定可得1A C ⊥平面11AB C ，然后利用线面垂直性质定理结合平行即可得证.（2）根据给定条件，结合余弦定理，利用等体积法求出点1C 到平面11ABB A 的距离.（3）由面面垂直的性质得到点1C 到平面11ABB A 的距离为4217即是1C D 的长度，再由勾股定理确定D 点的位置即可.【小问1详解】连接1AC ，由四边形11A ACC 为菱形，得11AC A C ⊥，由90ACB ︒∠=，得BC AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11ACC A ，平面ABC 平面11ACC A AC =，⊂BC 面ABC ，则⊥BC 平面11ACC A ，又1A C ⊂平面11ACC A ，于是1BC A C ⊥，而11//BC B C ，则111B C A C ⊥，又111AC BC C ⋂=，111,AC B C ⊂平面11AB C ，因此1A C ⊥平面11AB C ，又1AB ⊂平面11AB C ，所以11A C AB ⊥【小问2详解】点1C 到平面11ABB A 的距离，即三棱锥111C AA B -的底面11AA B 上的高，由（1）知11B C ⊥平面11ACC A ，则三棱锥111B AA C -的底面11AA C 上的高为11B C ，设点1C 到平面11ABB A 的距离为d ，由111111B AA C C AA B V V --=，得1111111133AA C AA B S B C S d ⋅⋅= ，而14BC AA AC ===，160A AC ︒∠=，则11AA C 的面积113AA C S = ，由1114AA A C ==，11120AAC ︒∠=，得143AC =，又114B C =，111B C AC ⊥，则18AB =，又14AA =，1142A B =，由余弦定理得(222114823cos 2484A AB +-∠==⨯⨯，则117sin 4A AB ∠=，11AA B的面积1117484724AA B S =创� 则347d =，即4217d =，所以点1C 到平面11ABB A 的距离为4217.【小问3详解】设存在，如图，由平面1AC D ⊥平面11ABB A 可得1C D ⊥平面11ABB A ，由（2）可得点1C 到平面11ABB A 的距离为217即是1C D 的长度，在11Rt A DC 中，11121,47A C C D ==，所以221111121071677A D AC C D =-=-=.19.已知二次曲线220Ax Bxy Cy Dx Ey F +++++=表示圆的充要条件为0A C =≠，0B =且224D E AF +>.关于二次曲线，有以下结论：若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，为平面内三条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，31l l C ⋂=，则过A ，B ，C 三点的二次曲线系方程为1223310f f f f f f λμ++=（λ，μ为参数）.若11:0l f =，22:0l f =，33:0l f =，44:0l f =为平面内四条直线，且12l l A ⋂=，23l l B ⋂=，34l l C = ，41l l D = ，则过,,,A B C D 四点的二次曲线系方程为13240f f f f λ+=（λ为参数）.（1）若三角形三边所在直线方程分别为：320x y -+=，220x y ++=，340x y +-=.求该三角形的外接圆方程.（2）记（1）中所求的外接圆为ω，直线()110y k x k =>与ω交于A ，B 两点（A 在第一象限），直线()220y k x k =<与ω交于C ，D 两点（C 在第二象限），直线BC 交x 轴于点M ，直线AD 交x 轴于点N ，直线BC 与直线AD 交于点P .（i ）求证：=OM ON ；（ii ）求OP 的最小值.【答案】（1）22240x y y ++-=（2）（i ）证明见解析；（ii ）4【解析】【分析】（1）由题意，根据三条直线方程设出二次曲线系方程，通过方程表示圆的充要条件待定系数可得；（2）由四条直线方程设出二次曲线系方程，再由已知圆的一般方程，对比两方程寻找系数的等量关系，由关系120t t +=可证得OM ON =，由关系式212tm m =-（t 即1t ）可得交点P 在定直线上4y =上，进而求解最值.【小问1详解】则由题意，可设所求三角形的外接圆方程为：(32)(22)(22)(34)x y x y x y x y λ-+++++++-(34)(32)0x y x y μ++--+=（λ，μ为参数），即()()()()22133178623422x xy y xλμλμλμλμ+++-+-+-+-+++()26144880y λμλμ+--++--=，（*）若方程表示圆，则133********λμλμλμ++=-+-≠⎧⎨-+-=⎩，解得11λμ=-⎧⎨=-⎩.将11λμ=-⎧⎨=-⎩代入（*）式化简得22240x y y ++-=，验证：由22024(4)200+-⨯-=>，可知该方程表示圆.故该三角形的外接圆方程为22240x y y ++-=.【小问2详解】如图，在平面直角坐标系中，设直线BC 与x 轴的交点1(,0)M t ，直线AD 与x 轴的交点2(,0)N t ，由题意知直线,BC AD 均不与y 轴垂直，则直线BC 方程可设为11x m y t =+，直线AD 方程可设为22x m y t =+，由题意可知12m m ≠，且120,0t t ≠≠.不妨记直线,,,BA AD DC CB 分别为1234,,,l l l l ，且12233441,,,l l A l l D l l C l l B ==== ，其中11:0l k x y -=，222:0l x m y t --=，32:0l k x y -=，411:0l x m y t --=.故由题意，过,,,A D C B 四点的二次曲线系方程可设为()()()()1222110k x y k x y x m y t x m y t λ--+----=（λ为参数），即()()()22121212121k k x k k m m xy m m yλλλ⎡⎤+-+++++⎣⎦()12122112()0t t x m t m t y t t λλλ-++++=①，若0λ=时，方程()()120k x y k x y --=表示两条直线13,l l ，不表示圆，故0λ≠.由,,,A D C B 四点不共线，且都在圆22240x y y ++-=②上，所以方程①②表示同一圆，则有()120t t λ-+=③，且122112211212()2142m t m t m t m t t t t t λλ++===--④.（i ）由③式及0λ≠，可得120t t +=，即OM ON =；故（i ）得证；（ii ）由③式可得12t t =-，令1t t =，则2t t =-，代入④式可得212tm m =-，联立,BC AD 直线方程12x m y tx m y t=+⎧⎨=-⎩，解得2124t y m m ==-，即交点P 在定直线4y =上，故4OP ≥.如图2，由对称性可知，当12k k =-时，交点P 在y 轴上，即(0,4)P ，此时min 4OP .故OP 的最小值为4.【点睛】关键点点睛：解决本题的关键有两点，一是理解二次曲线系方程的设法，能够根据题目提供的条件由直线方程设出二次曲线方程；二是二次曲线系方程的应用，本题主要是三角形外接圆与四边形外接圆的应用，第（1）问通过方程表示圆的充要条件待定系数，第（2）问通过同一圆的两种不同方程表达形式寻求等量关系从而解决问题.。
人教版高二上册数学期中数学试卷带答案
2020-2021学年高二（上）期中数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.)1. 已知a>b，c>d>0，则（）A.1 a <1bB.a−c>b−dC.ac>bdD.dc<d+4c+42. 关于x的不等式x+1x−2≥0的解集为（）A.(−∞, −1]∪(2, +∞)B.[−1, 2)C.(−∞, −1]∪[2, +∞)D.[−1, 2]3. 设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差d＝1，且S6−S2＝10，则a3+a4＝（）A.2B.3C.4D.54. 若不等式ax2+bx−1<0的解集为{x|−1<x<2}，则a+b的值为（）A.−14B.0 C.12D.15. 已知等比数列{a n}中，a2a3a4=1，a6a7a8＝64，则a5＝（）A.±2B.−2C.2D.46. 已知在数列{a n}中，a1=2,a n+1=nn+1a n，则a2020的值为（）A.1 2020B.12019C.11010D.110097. 已知a>0，b>0，a+b＝3，则y=4a +1b+1的最小值为（）A.9 8B.94C.92D.98. 已知数列{b n}满足b n=2λ(−12)n−1−n2，若数列{b n}是单调递减数列，则实数λ的取值范围是（）A.(−1, 103) B.(−12, 103) C.(−1, 1) D.(−12, 1)二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.)9. 下列说法正确的有（）A.“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件B.“1a >1b”是“a<b”的既不充分又不必要条件C.“a≠0”是“ab≠0”的必要不充分条件D.“a>b>0”是“a n>b n(n∈N, n≥2)”的充要条件10. 已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且a1>0，2a5+a11＝0，则（）A.a8<0B.当且仅当n＝7时，S n取得最大值C.S4＝S9D.满足S n>0的n的最大值为1211. 已知a，b均为正实数，且a+b＝1，则（）A.a2+b2的最小值为12B.ab+1ab的最小值为2C.√a+√b的最大值为√2D.1a +1b的最大值为412. 对于数列{a n}，定义：b n=a n−1a n(n∈N∗)，称数列{b n}是{a n}的“倒差数列”．下列叙述正确的有（）A.若数列{a n}单调递增，则数列{b n}单调递增B.若数列{b n}是常数列，数列{a n}不是常数列，则数列{a n}是周期数列C.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}没有最小值D.若a n=1−(−12)n，则数列{b n}有最大值三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.)13. 命题“∃x∈R，x2−2x+m≤0”的否定是________．14. 在等比数列{a n }中，已知a 3⋅a 8=10，则a 53⋅a 7的值为________．15. 已知x >0，y >0，x +3y +xy =9，则x +3y 的最小值为________．16. 大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理．大衍数列中的每一项，都代表太极衍生过程中，曾经经历过的两仪数量总和，是中国传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其前10项依次是0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，则此数列第19项的值为________，此数列的通项公式a n ＝ {n 2−12(n)n 22(n)．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 在①f(x +1)−f(x)＝2ax ，②f(x)的对称轴为x =12，③f(1)＝2这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并回答下面问题．已知二次函数f(x)＝ax 2+bx +1，若_____，且不等式f(x)≥0对任意的x ∈R 恒成立，试求实数a 的取值范围．18. 已知数列{a n }是公比q >1的等比数列，若a 1+a 2+a 3＝14，且a 2+1是a 1，a 3的等差中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n ＝log 2a n ，数列{1b n b n+1}的前n 项和为T n ，若T n <m 2−1对n ∈N ∗恒成立，求满足条件的自然数m 的最小值．19. 已知数列{a n }中，a 1＝2，且满足a n+1−2a n ＝2n+1(n ∈N ∗)．（1）求证：数列{a n2n }是等差数列，并求数列{a n }的通项公式；（2）求证：对于数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．20. 已知函数f(x)=a⋅2x +12x −1,a ∈R ．（1）当a ＝1时，求不等式f(x)>3的解集；（2）若不等式|f(2x)−f(x)|≤1对任意x∈[1, 2]恒成立，求实数a的取值范围．21. 如图，某森林公园内有一条宽为2百米的笔直的河道（假设河道足够长），现拟在河道内围出一块直角三角形区域养殖观赏鱼．三角形区域记为△ABC，A到河两岸距离AE，AD相等，B，C分别在两岸上，AB⊥AC．为方便游客观赏，拟围绕△ABC区域在水面搭建景观桥，桥的总长度（即△ABC的周长）为l．设EC＝x百米．（1）试用x表示线段BC的长度；（2）求l关于x的函数解析式f(x)，并求f(x)的最小值．22. 已知数列{a n}为等差数列，公差为d，前n项和为S n．（1）若a1＝0，d＝2，求S100的值；,8)内，求d的取值范围；（2）若a1＝−1，{a n}中恰有6项在区间(12（3）若a1＝1，S2＝3，集合A={a n|n∈N∗}，问能否在集合A中抽取到无穷多个不全相等的元素组成一个新数列{b n}，使得此新数列{b n}满足从第二项开始，每一项都等于它的前一项和后一项的调和平均数．若能，请举例说明；若不能，请说明理由．（注：叫作数a和数b的调和平均数）．数2aba+b参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.1.【答案】D【解析】由不等式的性质逐一判断即可．2.【答案】C【解析】根据题意，原不等式变形可得(x+1)(x−2)>0或x+1＝0，解可得x的取值范围，即可得答案．3.【答案】B【解析】先根据求和公式和等差数列的性质可得a5+a4＝5，即可求出a3+a4．4.【答案】B【解析】不等式ax2+bx−1<0的解集是{x|−1<x<2}，故−1，2是方程ax2+bx−1＝0的两个根，由根与系数的关系求出a，b．5.【答案】C【解析】设等比数列{a n}的公比为q，由a2a3a4=1，a6a7a8＝64，可得(q4)3＝64，解得q2．又(a1q2)3=1，解得a1．利用通项公式即可得出．6.【答案】C【解析】直接利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步求出结果．7.【答案】B【解析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．8.【答案】A【解析】)n−2n−1<0，分类讨论，根据数列的根据函数为递减数列可得b n+1−b n＝6λ(−12函数特征即可求出．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分在每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置.上.9.【答案】A,B,C【解析】利用不等式的基本性质、简易逻辑的判定方法即可判断出正误．10.【答案】A,C,D【解析】2a5+a11＝0利用通项公式可得：a1＝−6d．根据a1>0，可得d<0，利用通项公式和求和公式进而判断出结论．11.【答案】A,C,D【解析】由已知结合基本不等式分别检验各选项即可判断．12.【答案】B,D【解析】对于A，根据函数f(x)＝x−1在(−∞, 0)和(0, +∞)上单调递增，但在整个定义域上不x是单调递增，即可判断；=t，通过数列的递推关系可得数列{a n}是以2为周期的周期数对于B，设b n＝a n−1a n列，)n，分了n为奇数和偶数，利用数列的单调性即可判断．对于CD，若a n＝1−(−12三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在答题卡相应位置.上.13.【答案】∀x∈R，x2−2x+m>0【解析】根据含有量词的命题的否定即可得到结论．14.【答案】100【解析】根据等比数列的性质即可求出．15.【答案】6【解析】此题暂无解析16.【答案】180【解析】直接利用数据求出数列的关系式和通项公式．四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【答案】选①f(x+1)−f(x)＝2ax，∵f(x)＝ax2+bx+1，∴a(1+x)2+b(1+x)+1−ax2−bx−1＝2ax，整理可得，2ax+a+b＝2ax，∴a+b＝0，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选②：f(x)的对称轴为x=12，∴−b2a =12，∴b＝−a，∵f(x)＝ax2−ax+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，1≥0对任意的x∈R恒成立，∴{a>0a2−4a≤0，解得0<a≤4，故0≤a≤4；选③：f(1)＝2，∴a+b+1＝2即b＝1−a，∵f(x)＝ax2+(1−a)x+1≥0对任意的x∈R恒成立，当a＝0时，x+1≥0不恒成立，当a≠0时，{a>0(1−a)2−4a≤0，解得3−2√2≤a≤3+2√2，故3−2√2≤a≤3+2√2．【解析】选①：f(x+1)−f(x)＝2ax，结合已知二次函数代入可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选②：f(x)的对称轴为x=12，结合已知二次函的对称轴方程可得a+b＝0，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求；选③：f(1)＝2，直接代入可得b＝1−a，然后由不等式恒成立，结合二次函数的性质可求．18.【答案】数列{a n}是公比q>1的等比数列，若a1+a2+a3＝14，且a2+1是a1，a3的等差中项．所以{a1+a2+a3=142(a2+1)=a1+a3，整理得{a1+qa1+a1⋅q2=142(a1⋅q+1)=a1+a1⋅q2，解得{a1=2q=2，故a n=2n．由于b n＝log2a n＝n，所以1b n b n+1=1n(n+1)=1n−1n+1，所以T n=1−12+12−13+⋯+1n−1n+1=1−1n+1<1，若T n<m2−1对n∈N∗恒成立，只需满足m2−1≥1即可，故m≥4，即满足条件的自然数m的最小值为4．【解析】（1）直接利用已知条件和关系式的应用求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法和恒成立问题的应用求出数列的和及m的最小值．19.【答案】数列{a n}中，a1＝2，且满足a n+1−2a n＝2n+1(n∈N∗)．整理得a n+12n+1−a n2n=1（常数），所以数列{a n2n}是以1为首项，1为公差的等差数列．所以a n2n=1+(n−1)=n，所以a n=n⋅2n．证明：由于a n=n⋅2n，所以b1+2b2+...+nb n＝n⋅2n①，当n＝1时，b1＝2，当n≥2时，b1+2b2+⋯+(n−1)b n−1=(n−1)⋅2n−1②，①-②得：nb n=n⋅2n−(n−1)⋅2n2=(n+1)⋅2n2，所以b n=(n+1)2n−1n，（首项符合通项），所以b n=(n+1)2n−1n，即数列{b n }，b 1+2b 2+...+nb n ＝a n 的充要条件是b n =(n+1)2n−1n．【解析】（1）直接利用构造新数列的应用求出数列的通项公式； （2）利用数列的递推关系式的应用求出结果． 20. 【答案】当a ＝1时，f(x)=2x +12x −1，由f(x)>3，即2x +12x −1>3，化为2−2x2x −1>0， 即1<2x <2，可得0<x <1， 则解集为(0, 1)； f(x)=a⋅2x +12x −1=a +a+12x −1，则f(2x)−f(x)=a+122x −1−a+12x −1=(a +1)⋅−2x22x −1，令t ＝2x ，因为x ∈[1, 2]，可得t ∈[2, 4]， 由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x=t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t )min ，而g(t)＝t −1t 在[2, 4]递增，可得g(t)min ＝g(2)=32， 则|a +1|≤32，解得−52≤a ≤12， 则a 的取值范围是[−52, 12]． 【解析】（1）由题意可得f(x)=2x +12x −1，由指数不等式的解法和指数函数的单调性，可得所求解集；（2）计算f(2x)−f(x)，令t ＝2x ，t ∈[2, 4]，由题意可得|a +1|≤22x −12x=2x −12x =t −1t恒成立，即有|a +1|≤(t −1t)min ，运用g(t)＝t −1t在[2, 4]的单调性，可得最小值，再由绝对值不等式的解法可得所求范围． 21.【答案】∵ AB ⊥AC ，∴ ∠EAC +∠BAD ＝90∘，在Rt △ABD 中，∠ABD +∠BAD ＝90∘，∴ ∠EAC ＝∠ABD ，则Rt △CAE ∽Rt △ABD ， ∴ ACAB =ECAD ．∵ EC ＝x ，AC =√AE 2+EC 2=√1+x 2，AD ＝1，∴AB=1×√1+x2x =√1+x2x，则BC=√AB2+AC2=√1+x2+1+x2x2=√x2+2+1x2=x+1x；f(x)=√1+x2+√1+x2x +x+1x，x>0．∵x>0，∴f(x)≥2√√1+x2⋅√1+x2x +2√x⋅1x=2√1x+x+2≥2√2+2．当且仅当√1+x2=√1+x2x ，且1x=x，即x＝1时取“＝”．∴f(x)min=2√2+2，故景观桥总长的最小值为(2√2+2)百米．【解析】（1）由已知证明Rt△CAE∽Rt△ABD，得ACAB =ECAD，由EC＝x，得AC=√AE2+EC2=√1+x2，AD＝1，再由勾股定理求BC；（2）写出f(x)的表达式，然后利用基本不等式求最值．22.【答案】因为a1＝0，d＝2，又因为S n＝na1+n(n−1)2⋅d，所以S100＝100×0+12×100×99×2＝9900；设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，则{a m>12 a m−1≤12a m+5<8 a m+6≥8，即有{−1+(m−1)d>12−1+(m−2)d≤12−1+(m+4)d<8−1+(m+5)d≥8，解得{32(m−1)<d≤32(m−2)9m+5≤d<9m+4，所以{32(m−1)<9m+49 m+5≤32(m−2)，解得m∈(2, 175]，所以m＝3，所以d∈[98, 97 )；因为a1＝1，S2＝a1+a2＝3，所以a2＝2，d＝a2−a1＝1，所以a n＝n，①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m，若a n=2a m a ma m+a m=a m，矛盾；若a m=2a n a ma n+a m，解得a m＝a n，所以a n，a m是两个不同项，且a m≥1，a n≥1，所以a n≠a m，所以新数列{b n}中有两个相同和一个不同项是不成立的；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，设m＝a m，n＝a n，r＝a r，且m<n<r，b1＝m，b2＝n，则a n=2a m a ra m+a r ，即n=2mrm+r，解得r=mn2m−n ，设第四项为p，则r=2npn+p，即p=nr2n−r =mn22m−n2n−mn2m−n=mn3m−2n，设第五项为t，则p=2rtr+t ，即t=rp2r−p=mn2m−n⋅mn3m−2n2mn2m−n−mn3m−2n=mn4m−3n，由数学归纳法可得b n=b1b2(n−1)b1−(n−2)b2，即(n−1)b1>(n−2)b2，b1b2>n−2n−1，当n非常大时，n−2n−1趋向于1，则b1b2≥1，即b1≥b2（与假设矛盾），故三项不同的数列{b n}也不存在．综上可得，{b n}不存在．【解析】（1）运用等差数列的通项公式和求和公式，可得所求和；（2）设从第m(m∈N∗, m≥2)项开始在(12, 8)内，运用等差数列的通项公式可得m，d的不等式组，解不等式可得所求范围；（3）分别讨论①新数列{b n}中有两个相同和一个不同项a m，a n，a m；②新数列{b n}中有三个不同项a m，a n，a r，推理论证即可判断存在性．试卷第11页，总11页。